6 0 222 KB
Rancangan Blok Acak Lengkap (Randomized Complete Block Design)
By : Ika Damayanti, S.Si. M.Si
eksperimen
RBAL
faktor pengganggu
faktor yang dapat menimbulkan efek terhadap respon
faktor : diketahui tapi tidak dapat dikontrol
analisis kovarians
faktor : diketahui dan bisa dikontrol.
blocking
RBAL Rancangan untuk mengontrol variabilitas yang
timbul akibat unit percobaan yang tidak seragam (homogen), sehingga perlu dilakukan blok. Pada rancangan ini semua blok mengandung semua
treatment, sehingga disebut rancangan blok lengkap. Pengacakan dilakukan pada masing – masing blok
RBAL blok 1
blok 2
blok b
y11
y12
y1b
y 21
y 22
y 2b
.
.
.
.
.
.
.
.
y a1
ya2
y ab
K
.
Misalkan terdapat a perlakuan yang dibandingkan dengan b blok. Terdapat satu observasi per perlakuan dalam masing2 blok, urutan treatment dilakukan dalam masing2 blok ditentukan secara random.
Model RBAL ⎧ i = 1,2,..., a y ij = µ + τ i + β j + ∈ij ⎨ ⎩ j = 1,2,..., b y ij
adalah variable yang akan dianalisis, dimisalkan berdistribusi normal
µ τi βj
adalah rata-rata umum atau rata-rata sebenarnya adalah efek perlakuan ke-i adalah efek dari blok ke-j
∈ij
adalah kesalahan, berupa efek yang berasal dari unit eksperimen ke j yang dikenai perlakuan ke i ( ∈ij ~ NID (0, σ 2 ) )
batasan : a
∑τ i =1
i
= 0,
b
∑β j =1
j
=0
Hipotesis H 0 : µ1 = µ 2 = µ 3 = ... = µ a H 1 : Paling tidak terdapat 1 mean antar perlakuan berbeda
H 0 : µ1 = µ 2 = µ 3 = ... = µ b H1 : paling tidak terdapat 1 mean pd blok berbeda
Desain RBAL Blok
Perlakuan
y i.
y i.
1
2
...
b
1
y11
y12
…
y1b
y1.
y 1.
2
y 21
y 22
…
y 2b
y 2.
y 2.
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
a
y a1
ya2
…
M
y ab
y a.
y a.
Jumlah ( y . j )
y .1
y .2
…
y .b
y ..
-
Rata-rata ( y . j )
y .1
y .2
…
y .b
-
y ..
ANOVA Sumber Perlakuan Blok Error Total
SS 1 b
∑
y..2 y − N
1 a
b
y ..2 y − N
a
i =1
∑ j =1
2 i.
2 .j
SS E = SS T − SS Treatments − SS Blok a
b
∑∑ i =1
j =1
y..2 y − N 2 ij
db a-1 b-1 (a-1)(b-1) N-1
MS SS Treatments a −1 SS blok b −1 SS E (a − 1)(b − 1)
F MS Treatment MS E
MS Blok MS E
Contoh RCBD : Sebuah eksperimen dilakukan untuk menguji kekuatan.
Terdapat empat tip dan empat lempeng logam yang tersedia. Masing2 tip diuji sekali pada masing-masing lempeng, menghasilkan randomized complete block design. Urutan data tip mana yang diuji, ditentukan secara random. Tipe tip 1 2 3 4
1 9.3 9.4 9.2 9.7
Lempeng (Blok) 2 3 4 9.4 9.6 10.0 9.3 9.8 9.9 9.4 9.5 9.7 9.6 10.0 10.2
Hipotesis H 0 : µ1 = µ 2 = µ 3 = ... = µ a H 1 : Paling tidak terdapat 1 perbedaan antar tipe tip
H 0 : µ1 = µ 2 = µ 3 = ... = µ b H1 : paling tidak terdapat 1 mean pd blok berbeda
Perhitungan blok 9.3 9.4 9.2 9.7 perlakuan 37.6 y.j*y.j 1413.76
9.4 9.3 9.4 9.6 37.7 1421.29
9.6 9.8 9.5 10 38.9 1513.21
10 9.9 9.7 10.2 39.8 1584.04
38.3 38.4 37.8 39.5 154 5932.3
yi.*yi. 1466.89 1474.56 1428.84 1560.25 5930.54
Jawab (perhitungan) : 4
4
SS Total = ∑ ∑ ( y ij − y..)
2
i =1 j =1
(154 ) 2 = 1483.54 − 16 = 1.29
SS Treatment
SS blok
1 4 2 y ..2 = ∑ y i. − b i =1 N
1 (154 ) 2 2 2 2 2 = [(38.3 ) + (38.4 ) + (37.8 ) + (39.5 ) ] − 4 16 = 0.385 1 4 2 y ..2 = ∑ y. j − a j =1 N
1 (154 ) 2 2 2 2 2 = [(37.6 ) + (37.7 ) + (38.9 ) + (39.8 ) ] − 4 16 = 0.825 SS E = SS T − SS Treatment − SS Blok
= 1.29 − 0.385 − 0.825 = 0.08
ANOVA Sumber Perlakuan (tipe tip) Blok (kupon) Error Total •
•
SS 0.385
db 3
0.825 0.08 1.29
3 9 15
MS
F
0.1283
14.4375
0.2750 0.0089
30.9375
Tolak H0 jika F0 > Fα , a −1, N − a maka menggunakan α = 0.05 maka F0.05,3,15 = 2.87 keputusan adalah Tolak H 0 karena 14.44 > 2.87 Tolak H0 jika F0 > Fα ,b −1, N − a maka menggunakan α = 0.05 maka F0.05,3,15 = 2.87 keputusan adalah Tolak H 0 karena 30.94 > 2.87
Kesimpulan : Terdapat perbedaan antar tipe tip dan antar blok
Penyelesaian menggunakan MINITAB
Penyelesaian menggunakan MINITAB Two-way ANOVA: kekuatan uji versus tipe tip, kupon(blok) Source tipe tip kupon(blok) Error Total S = 0.09428
DF 3 3 9 15
SS 0.385 0.825 0.080 1.290
MS 0.128333 0.275000 0.008889
R-Sq = 93.80%
F 14.44 30.94
P 0.001 0.000
R-Sq(adj) = 89.66%
Penyelesaian menggunakan MINITAB Residuals Versus the Order of the Data
Normal Probability Plot of the Residuals
(response is kekuatan uji)
(response is kekuatan uji) 99
0.15
95
0.10
90
Residual
70 60 50 40
0.05 0.00
30 20
-0.05
10 5
-0.10 1
-0.2
-0.1
0.0 Residual
0.1
1
0.2
2
3
4
5
6
7 8 9 10 11 Observation Order
Residuals Versus the Fitted Values (response is kekuatan uji) 0.15 0.10
Residual
Percent
80
0.05 0.00 -0.05 -0.10 9.2
9.4
9.6
9.8 Fitted Value
10.0
10.2
12
13
14
15
16