Rancangan Blok Acak Tak Lengkap [PDF]

Citation preview

RANCANGAN BLOK ACAK TAK LENGKAP BALANCED INCOMPLETE BLOCK DESIGN (BIBD)



Apabila dalam suatu keadaan tertentu tidak memungkinkan menggunakan keseluruhan kombinasi perlakuan-perlakuan dalam masing-masing blok, maka kita akan bekerja dengan menggunakan BIBD yaitu tidak semua perlakuan akan ada dalam masing-masing blok.



Ilustrasi penggunaan BIBD Misal membandingkan 4 perlakuan dalam blok ukuran 3 perlakuan. Treat\Blok 1 2 3 4



1 x x x



2 x x x -



3 x x x



4 x x x



Kemunculan tiap pasangan 2 perlakuan adalah sama2 kali Ciri BIBD



Banyaknya perlakuan = a Banyaknya blok = b



 bila a = b, disebut rancangan simetris



Dengan : k = ukuran dari blok = jumlah perlakuan yang terisi dalam satu blok Blok mempunyai ukuran yang sama, dan ukuran blok lebih kecil dari jumlah perlakuan (k < a) r = Ukuran dari replikasi = jumlah replikasi dari blok yang terisi dalam satu perlakuan N = jumlah seluruh observasi = a×r = k×b λ = banyaknya setiap 2 perlakuan yang muncul bersama-sama dalam seluruh percobaan







r k  1 a  1



Model dan Tabel ANOVA BIBD Model untuk BIBD dapat ditunjukkan sebagai berikut. Yij     i   j   ij



Dengan : Yij = hasil observasi ke-i dalam blok ke-j



 = rata-rata keseluruhan  i = efek treatmen ke-I



i = 1,2, …, a



 j = efek blok ke-j



j = 1,2, …, b



 ij = Error (sesatan random)~ NID 0,  2  a



Dengan diasumsikan



 i 1



i



 0 dan



b



 j 1



j



0



Berikut akan ditunjukkan tabel ANOVA bila rancangan simetris a=b -Tabel ANOVA untuk mengetahui EFEK TREATMEN-



Tabel ANOVA Sumber Variasi τ adjusted β Error Total



db a-1 b-1 N-a-b-1 N-1



SS SSτ Adjust SSβ unadjust SSe SStot



MS MSτ adjust MSβ unadjust MSe



Fhit MSτ Adjust/MSe



Dengan menggunakan rumusan :



Y2 SStot  Y  N i 1 j 1 a



b



2 ij



= SS adjusted  SS unadjust  SSe a



SS adjust 



k   i2 i 1



 untuk memisah efek perlakuan dengan efek blok



a



dengan  i  Yi 



1 b   ij  Y j  k j 1



i = 1,2, …, a



dimana  ij  1, bila perlakuan i muncul pada blok ke j



 ij  0, bila tidak



a



Catatan :



 i 1



b



Y2j



j 1



k



SS unadjust  







i



0



Y2 N



-Tabel ANOVA untuk mengetahui EFEK TREATMEN dan EFEK BLOK-



Bila ingin melihat efek blok, maka pengujian yang dilakukan adalah sebagai berikut. Partisi analisis : SStot = SSτ Unajust + SSβ Adjust + SSe a



b



SStot  Yij2  i 1 j 1



Y2 N



= SS unadjusted  SS adjust  SSe



 



b



SS adjust 



r   'j



2



j 1



 b



dengan  'j  Y j 



1 a   ij  Yi  r i 1



j =1,2, … b



dimana  ij  1, bila perlakuan i muncul pada blok ke j



 ij  0, bila tidak SS unadjust



Yi2 Y2   N i 1 k a



Tabel ANOVA Sumber Variasi τ adjust τ unadjust β unadjust β adjust Error Total



db a-1 a-1 b-1 b-1 N-a-b+1 N-1



SS SSτ adjust SSτ unadjust SSβ unadjust SSβ adjust SSe SStot



MS MSτ adjust MSτ unadjust MSβ unadjust MSβ adjust MSe



Fhit MSτ adjust/MSe MSβ adjust/MSe



Apabila didalam BIBD, kita mengabaikan efek blok (sering terjadi), maka disebut analisis INTRABLOK. Didalam analisis ini tidak diperhatikan apakah blok itu random atau tetap.



CONTOH KASUS (MANUAL) Sebuah rancangan dilakukan dilakukan untuk menguji tekanan pada empat buah jenis logam (j). Pengujian dilakukan terhadap 4 tekanan yang berbeda. Hasil dari eksperimen berupa rancangan blok acak tak lengkap yang ditampilkan dalam tabel berikut. Tekanan (treatmen), i 1 2 3 4 Y.j



1 80 86 92 258



83 75 88 246



Logam (Blok), j 2 3 78 90 94 262



Yi. 4 86 84 88 258



249 237 264 274 1024



Jawab : Dengan asumsi bahwa varians antar blok maupun antar treatmen telah terpenuhi, selanjutnya dilakukan uji ANOVA dua arah untuk BIBD. a = 4; b=4;



k=3;



r=3



N = a×r = 4×3 = 12







r k  1 33  1  2 a  1 4  1



Model : Yij     i   j   ij



Dengan : Yij = hasil observasi ke-i dalam blok ke-j



 = rata-rata keseluruhan  i = efek tekanan ke-i  j = efek jenis logam ke-j



 Untuk mengetahui efek perlakuan



 i  Yi 



1 b   ij  Y j  k j 1



1  Y1 



1 4  ij  Y j   249  1 1  258   1  246   0  1  258    15  3 j 1 3 3



 2  Y2 



1 4  ij  Y j   237  1 0  1  246   1  262   1  258    55  3 j 1 3 3



 3  Y3 



1 4  ij  Y j   264  1 1  258   1  246   1  262   0  26  3 j 1 3 3



 4  Y4 



1 4  ij  Y j   274  1 1  258   0  1  262   1  258   44  3 j 1 3 3



4



 i 1



i



0



Maka, didapatkan perhitungan







a



SS adjust



k   i2



 



    



2 2 2 2 3    15   55  26  44  3 3 3 3    i 1   244,25 a 2 4



b



Y2j



j 1



k



SS unadjust  







Y2 2582  2462  2622  2582 10242    48 N 3 12



 Untuk mengetahui efek blok



 'j  Y j 



1 a   ij  Yi  r i 1



1'  Y1 



1 4  ij  Yi   258  1 1 249   0  1  264   1 274    13  3 i 1 3 3



 2'  Y2 



1 4  ij  Yi   246  1 1 249   1  237   1 264   0   12  3 i 1 3 3



 3'  Y3 



1 4  ij  Yi   262  1 0  1  237   1 264   1 274   11  3 i 1 3 3



 4'  Y4 



1 4  ij  Yi   258  1 1 249   1 237   0  1 274   14  3 i 1 3 3



4



 i 1



' i



0



Maka, didapatkan perhitungan b



SS adjust 



 



r   'j j 1



 b



2







 



    



2 2 2 2 3    13   12  11  14  3 3 3 3     26 ,25 2 4



Yi2 Y2 249 2  237 2  264 2  274 2 1024 2     266 N 3 12 i 1 k a



SS unadjust  



Dengan perhitungan SStotal a



b



SStot  Yij2  i 1 j 1











Y2 10242  802  832  ...  882   352,667 N 12



Maka, didapatkan tabel ANOVA sebagai berikut. Sumber Variasi τ adjust τ unadjust β unadjust β adjust Error Total



db 3 3 3 3 5 11



SS 244,25 266 48 26,25 60,416 352,667



MS 81,467 88,667 16 8,75 12,0834



Fhit 6,7379 7,3379 1,3241 0,724



Uji Perlakuan τ:



H 0 :1   2   3   4  0 H1 : Paling tidak ada satu τi ≠ 0,



i=1,2,3,4



α = 0,05 Fhit = 6,7379 Ftabel = F 0,05(3,5) = 5,41 Kesimpulan : Fhit > Ftabel, maka tolak H0, artinya terdapat perbedaan efek kekuatan logam ketika tekanannya berbeda. *dilanjutkan dengan uji perbandingan ganda



Uji Blok β : H0 : β1 = β2 = β3 = β4 =0 H1 : Paling tidak terdapat satu βj ≠0,



j=1,2,3,4



α = 0,05 Fhit = 1,321 Ftabel = F0,05 (3,5) = 5,41 Kesimpulan : Fhit < Ftabel, maka gagal tolak H0 artinya tidak ada perbedaan efek kekuatan pada logam yang berbeda.



APLIKASI DENGAN MINITAB Berdasarkan soal pada contoh, dapat dilakukan perhitungan dengan menggunakan aplikasi dengan minitab. Langkah-langkah yang dijalankan dengan menggunakan minitab adalah sebagai berikut. 1) Susun crosstabs sebagai berikut.



2) Klik Stat – ANOVA – General Linear Model sehingga muncul tampilan sebagai berikut.



Dan menginputkan Responsen : Kekuatan Model : Temperatur, Jenis Logam (blok) 3) Output yang didapat adalah sebagai berikut. General Linear Model: Kekuatan versus Temperatur, Jenis Logam(blok) Factor Temperatur Jenis Logam(blok)



Type fixed fixed



Levels 4 4



Values 1, 2, 3, 4 1, 2, 3, 4



Analysis of Variance for Kekuatan, using Adjusted SS for Tests Source Temperatur Jenis Logam(blok) Error Total S = 3.47611



DF 3 3 5 11



Seq SS 266.00 26.25 60.42 352.67



R-Sq = 82.87%



Adj SS 244.25 26.25 60.42



Adj MS 81.42 8.75 12.08



F 6.74 0.72



R-Sq(adj) = 62.31%



Unusual Observations for Kekuatan Obs 16



Kekuatan 88.0000



Fit 92.5833



SE Fit 2.6549



Residual -4.5833



4) Interpretasi model berdasarkan output pada poin (3)



St Resid -2.04 R



P 0.033 0.580



Berdasarkan perhitungan secara manual, pada dasarnya dihasilkan angka angka yang sama. Hal ini akan diperjelas pada tabel berikut.



Source



DF



Seq SS



Adj SS



Adj MS



F



P



Temperatur



3



266,00



244.25



81.42



6.74



0.033



Jenis Logam(blok)



3



26.25



26.25



8.75



0.72



0.580



Error



5



60.42



60.42



12.08



Total



11



352.67



SSβ adjusted



SSτ unadjusted



SSτ adjusted



τ adjusted



β adjusted



Sama dengan penyelesaian dengan menggunakan cara manual, karena statistic uji yang digunakan adalah statistic uji τ adjust dan β adjust, maka uji hipotesisnya adalah : Uji Perlakuan τ:



H 0 :1   2   3   4  0 H1 : Paling tidak ada satu τi ≠ 0,



i=1,2,3,4



α = 0,05 Fhit = 6,7379



;P-value =0,033



Ftabel = F 0,05(3,5) = 5,41 Kesimpulan : Fhit > Ftabel atau P-value α, maka gagal tolak H0 artinya tidak ada perbedaan efek kekuatan pada logam yang berbeda.



APLIKASI DENGAN SPSS 1) Sama halnya seperti pada penyelesaian dengan minitab, berdasarkan soal manual, maka di inputkan data pada SPSS dengan format sebagai berikut.



2) Selanjutnya, pada SPSS, klik Analyze  General Linear Model  Univariate , sehingga muncul tampilan berikut



Dengan menginputkan Dependent variable : kekuatan uji Fixed Factor(s) : Temperatur dan Jenis Logam (blok)  Klik Model :



Costom dengan modelnya adalah mendeteksi main effect dari temperature dan logam SS Type 3 dan tidak memasukkan intersep dalam model.  Klik Post-Hoc untuk uji perbandingan ganda:



Dengan memasukkan post hoc test for temperature dan logam, kemudian metode yang digunakan adalah Duncan dan Tamhane’s T2 OK 3) Output yang didapatkan dari SPSS adalah sebagai berikut. Tests of Between-Subjects Effects Dependent Variable:Kekuatan Uji Source



Type III Sum of Squares



Model



87673.583a



7



244.250



3



81.417



6.738



.033



Logam



26.250



3



8.750



.724



.580



Error



60.417



5



12.083



Total



87734.000



12



Tekanan



df



Mean Square



F



12524.798 1.037E3



Sig. .000



a. R Squared = .999 (Adjusted R Squared = .998) Sama seperti pengujian sebelumnya bahwa output yang didapat dengan menggunakan SPSS adalah statistic uji τ adjust dan β adjust. Berdasarkan p-value juga dapat dilihat bahwa terdapat perbedaan efek kekuatan ketika ada perbedaan tekanan dalam pengujian. Oleh karena itu, dilakukan uji perbandingan ganda untuk variabel tekanan adalah sebagai berikut.