Rangkuman Himpunan Kelas 7 [PDF]

Citation preview

HIMPUNAN BAB 2 2.1. Konsep Himpunan - Himpunan adalah kumpulan benda-benda (objek) yang dapat didefinisikan Dengan jelas - Suatu himpunan dilambangkan dengan huruf capital - Objek dalam suatu himpunan disebut anggota atau elemen (ϵ) darai himpunan itu - Suatu himpunan dapat ditulis dengan menggunakan pasangan kurung kurawal {} - Himpunan ditulis diantara kurung kurawal itu.



Contoh : 1. A adalah himpunan bilangan cacah yang kurang dari 6 Anggota himpunan tersebut adalah : 0,1,2,3,4,5 Jadi, A = {0,1,2,3,4,5} 2. B adalah himpunan kendaraan bermotor Anggotanya adalah : motor, mobil, truk, dll. Jadi, B = {motor, mobil, truk . . .} 1.1. Penyajian Himpunan Cara 1 : Dinyatakan dengan menyebutkan anggotanya (enumerasi) Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan semua anggotanya yang ditulis dalam kurung kurawal. Jika anggotanya sangat banyak bias dimodifikasi yaitu diberi tanda tiga titik (“ . . . “) dengan pengertian dan seterusnya. Contoh : A = { a,i,o,e,o } B = { 2,3,5,7 } C = {. . . ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4, . . . } Cara 2 : Dinyatakan dengan menulis sifat yang dimiliki anggotanya (menyatakan dengan kata-kata) Yaitu menuliskan syarat keanggotaan himpunan diantara kurung kurawal. Contoh : {bilangan cacah kurang dari 5} Syarat keanggotaan himpunan



Cara 3 : Dinyatakan dengan Notasi pembentuk himpunan Yaitu anggota himpunan dinyatakan dengan variable yang diikuti dengan garis tegak dan syarat keanggotaannya. Contoh : C = { x | x < 5, x bilangan cacah } Syarat keanggotaan himpunan 1.2. Himpunan kosong dan himpunan semesta Himpunan kosong yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota dan dinotasikan dengan { } atau  Contoh : R adalah himpunan bilangan ganjil antara 3 dan 5 Karena tidak ada bilangan ganjil antara 3 dan 5 , maka himpunan R merupakan himpunan kosong Ditulis R = { } atau R =  Himpunan Semesta yaitu himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang ditulis dengan notasi S Contoh : Apabila A = {2,4,6,8}, maka himpunan semesta yang mungkin dari himpunan A adalah : S = { bilangan genap } S = { bilangan kelipatan 2}, dsb 1.3. Diagram Venn Diagram Venn yaitu suatu bentuk diagram yang digunakan untuk menggambarkan suatu himpunan atau beberapa himpunan yang sedang berhubungan. Petunjuk membuata diagram Venn : 1. Himpunan semesta (S) digambarkan dgn persegi panjang dan lambing S ditulis pada sudut kiri atas. 2. Setiap himpunan yg ada dalam himpunan semesta ditunjukkan oleh kurva tertutup sederhana. 3. Setiap anggota himpunan ditunjukkan dengan titik. 4. Bila anggota suatu himpunan mempunyaii banyak anggta, maka anggotaanggotanya tidak perlu dituliskan



Contoh : Diketahui S = {0,1,2,3,4,5,6 ,7,8} dan A = {2,4,6,8} Gambarkan diagram venn untuk menyatakan kedua himpunan tersebut adalah :



Diketahui : S = { 1,2,3,4,5,6,7,8 }, himpunan A = { 1,2,3,4 } Himpunan B = { 4,5,6 } Gambar diagram venn untuk menyatakan himpunan tersebut adalah



2.2. Sifat-sifat Himpunan 2.1. Kardinalitas Himpunan Kardinalitas Himpunan adalah : bilangan yang menyatakan banyaknya Anggota dari suatu himpunan dan dinotasikan dengan n(A). 1. Himpunan hingga adalah himpunan yg memiliki anggota hingga (finite set) Contoh : A = {1,2,3,4} 2. Himpunan tak terhingga adalah himpunan yang memiliki anggota tak Terhingga (infinite set) Contoh : B = {1,2,3,4 . . . } 3. Kardinalitas Himpunan hanya untuk himpunan yang hingga (finite set) Contoh : A = {2,4,6,8,10} B = {1,3,5,7,…, 27,29} Banyak anggota A adalah 5, dinotasikan dengan n(A) = 5 Banyak anggota B adalah 15, dinotasikan dengan n(A) = 15 2.2. Himpunan Bagian Contoh: Seluruh siswa kelas VIIA SMP Taman Siswa berjumlah 32 orang yang terdiri dari 15 siswa laki-laki dan 17 siswa pereempuan. 10 siswa laki-laki gemar sepak bola, 5 siswa laki-laki gemar bola voli, 9 siswa perempuan gemar menari dan 8 siswa perempuan gemar menyanyi. Jika S = himpunan semesta A = himpunan siswa laki-laki B = himpunan siswa perempuan C = himpunan siswa laki-laki yang gemar sepak bola D = himpunan siswa laki-laki yang gemar bola voli E = himpunan siswa perempuan yang gemar menari F = himpunan siswa perempuan yanh gemar menyanyi Jadi : Himpuna A adalah himpunan bagian dari S (A



S)



Himpunan B adalah himpunan bagian dari S (B



S)



Himpunan C adalah himpunan bagian dari S (C



S)



Himpunan D adalah himpunan bagian dari S (D



S)



Himpunan E adalah himpunan bagian dari S (E



S)



Himpunan F adalah himpunan bagian dari S (F



S)



Himpunan C adalah himpunan bagian dari A (C A) Himpunan D adalah himpunan bagian dari A (D



A)



Himpunan E adalah himpunan bagian dari B (E



B)



Himpunan F adalah himpunan bagian dari B (F



B)



Himpunan C bukan himpunan bagian dari B (C



B)



Himpunan D bukan himpunan bagian dari B (D



B)



Himpunan E bukan himpunan bagian dari A (E



A)



Himpunan F bukan himpunan bagian dari A (F



A)



2.3. Himpunan Kuasa Himpunan Kuasa dari himpunan A adalah himpunan-himpunan bagian dari A dilambangkan dengan P(A). Banyak anggota himpunan kuasa dari himpunan A dilambangkan dengan n(P(A)). Contoh : A = {1,2} : n(A) = 2 Himpunan bagian dari a adalah : { },{1},{2}, dan {1,2}. Himpunan kuasa A adalah P(A) = {{ },{1},{2},{1,2}} dan n(P(A)) = 2n = 22 = 4



2.4. Kesamaan Dua Himpunan Dua himpunan A dan B dikatakan sama jika A



B dan B A dinotasikan dengan A = B



jika n(A) = n(B), maka himpunan A ekuivalen dengan himpunan B Contoh : No 1 2 3 4



Himpunan A {1,2,3} {3,2,1} {1,2,3,4} {a,b,c}



Himpunan B {1,2,3} {1,2,3} {1,2,3} {1,2,3}



Sama/tidak sama Sama Sama Tidak sama Tidak sama



2.3. Operasi Himpunan Himpunan juga bias dioperasikan satu sama lain. Operasi-operasi himpunan itu mencakup : -



Irisan (Intersection) Gabungan (Union) Selisih (Difference) Komplemen (Complement) Sifat-sifat operasi himpunan



3.1. Irisan (Intersection) Diketahui : himpunan Semesta S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} P = himpunan bilangan ganjil dalam himpunan semesta S = {1,3,5,7,9} Q = himpunan bilangan prima dalam himpunan semesta S = {2,3,5,7} Irisan himpunan P dan Q adalah himpunan semua anggota persekutuan himpunan P dan Q. Irisan himpunan P dan Q dilambangkan dengan P ∩ Q dibaca P irisan Q. Notasi himpunannya : P ∩ Q = {x | x ϵ P dan ϵ x Q} P ∩ Q = {3,5.7}.



3.2. Gabungan (Union) Gabungan himpunan P da Q adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota P atau anggota Q Diketahui : himpunan Semesta S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} P = himpunan bilangan ganjil dalam himpunan semesta S = {1,3,5,7,9} Q = himpunan bilangan prima dalam himpunan semesta S = {2,3,5,7} Gabungan himpunan P dan Q dilambangkan dengan P ᴗ Q Notasi himpunannya : P ᴗ Q = {x|x ϵ P atau x ϵ Q} P ᴗ Q = {1,4,3,5,7,2} .



3.3. Komplemen (Complement) Komplemen adalah operasi uner yang hanya memerlukan satu unsur. Berbeda dengan operasi biner (gabungan, irisan dan selisih) yang semestanya tidak perlu ditetapkan. Operasi komplemen perlu menetapkan himpunan semesta. Operasi komplemen ini mirip dengan operasi selisih, hanya saja yang dicari adalah selisih dari semesta dari himpunan tertentu. Contoh : Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan semua anggota himpunan S yang bukan anggota himpunan A, dinotasikan dengan Ac. Notasi pembentuk himpunan Ac = {x|x ϵ S tetapi ϵ A} S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}



A = {1,2,3},



B = {4,5,6}



A saling asing (disjoin) dengan B Ac = {4,5,6,7,8,9}



Bc = {1,2,3,7,8,9}



3.4. Selisih (Difference) Selisih himpunan B terhadap himpunan A adalah himpunan semua anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B. dinotasikan dengan A – B. Notasi pembentuk himpunan A – B = {x|x ϵ A dan x ϵ B} = A ∩ Bc S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}



A = {1,2,3},



B = {4,5,6}



A saling asing (disjoin) dengan B A – B = {12,3} B – A = {4,5,6} Diketahui : 30 orang siswa senang pelajaran matematika, 25 orang senang fisika, dan orang senang pelajaran matematika dan fisika. A = yang senang matematika maka n(A) = 30 B = yang senang fisika maka n(A) = 25. A ∩ B adalah himpunan siswa senang pelajaran matematika dan fisika Maka n(A ∩ B) = 10 Diagram Venn



Siswa yang hanya senang pelajaran matematika : n(A) = n(M) + n(A∩B) 30



= n(M) + 10



n(M) = 30 – 10 = 20



.



Siswa yang senang pelajaran fisika : n(B) = n(F) + n(A∩B 25



= n(F)



n(F) = 25 – 10 = 15



.



Banyak siswa dalam kelas : n(S) = n(M) + n(F) + n(A∩B) = 20



+ 15 + 10 = 45



3.5. Sifat-sifat Operasi Himpunan Sifat-sifat himpunan antara lain adalah : A. Sifat Idempoten Diketahui K= {sepak bola, bola voli, catur} 1. Jika K ᴗ K Jika K digabung dengan K itu sendiri maka : K ᴗ K = {sepak bola, bola voli, catur} ᴗ {sepakbola, bola voli, catur} = {sepak bola, bola voli,catur} Ternyata : K ᴗ K = K



2. Jika K ∩ K Jika K diiriskan dengan K itu sendiri maka : K ∩ K = {sepak bola, bola voli, catur] ∩ {sepak bola, bola voli, catur} = {sepak bola, bola voli, catur} Ternyata : K ∩ K = K Jadi : A ᴗ A = A dan



A∩A=A



B. Sifat Identitas Misal : A adalah himpunan semua pelajaran yang disenangi Budi. B adalah himpunan semua pelajaran yang disenangi Badu. 1. Kedua himpunan tersebut adalah : A = {matematika, Bahasa Indonesia, kimia} B adalah himpunan pelajaran yang disenangi Badu B={} 2. Himpunan semua pelajaran yanag daisenangi Budi digabung dengan himpunan semua pelajaran yang disenangi Badu dilambangkan dengan A ᴗ B A ᴗ B = {matematika, Bahasa Indonesia, kimia} ᴗ { } = {matematika, Bahasa Indonesia, kimia} Jadi : A ᴗ B = A



3. Himpunan semua pelajaran yang sama-sama disenangi Budi dn Badu. Dilambangkan dengan : A ∩ B A ∩ B = {matematika, Bahasa Indonesia,kimia} ∩ { } Jadi : A ∩ B = { }



C. Sifat Komutatif Diketahui A = {1,3,5}dan B = {5,7,9,11} A ᴗ B = {1,3,5,7,9,11} B ᴗ A = {1,3,5,7,9,11} A ∩ B = {5} B ∩ A = {5}



Jadi : A ᴗ B = B ᴗ A A∩B=B∩A



D. Sifat Asosiatif Diketahui : P = {a,b,c,d,e} Q = {d,e,f,g,h,i} R = {c,e,i,j,k,l,m} P ᴗ Q = {a,b,c,d,e,f,g,h,i} Q ᴗ R = {c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m} (P ᴗ Q) ᴗ R = {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m} (P ∩ Q) ∩ R = {e} P ∩ (Q ∩ R) = {e} Jadi : (P ᴗ Q) ᴗ R = P ᴗ (Q ᴗ R) (P ∩ Q) ∩ R = P ∩ (Q ∩ R)



E. Sifat Distributif Diketahui : : P = {a,b,c,d,e} Q = {d,e,f,g,h,i} R = {c,e,i,j,k,l,m} P ᴗ (Q ∩ R) = {a,b,c,d,e,i} (P ᴗ Q) ∩ (P ᴗ R) = {a,b,c,d,e,i} P ∩ (Q ᴗ R) = {c,d,e} (P ∩ Q) ᴗ (P ∩ R) = {c,d,e}



Jadi : P ᴗ (Q ∩ R) = (P ᴗ Q) ∩ (P ᴗ R) P ∩ (Q ᴗ R) = (P ∩ Q) ᴗ (P ∩ R)