14 0 635 KB
RESUME
RUANG TOPOLOGI DOSEN PENGAMPU: RODY SATRIAWAN, M.Pd.
Oleh: KELOMPOK III 1. 2. 3. 4.
ZUL FIKRI SUPRATMAN MARIATI MIFTAHUL JANNAH
(NPM.14210027) (NPM.14210020) (NPM.14210012) (NPM.14210003)
Resume ini disusun untuk memenuhi sebagian tugas Ujian Akhir Semester (UAS) pada Mata Kuliah Pengantar Topologi Program Studi Pendidikan Matematika
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITS HAMZANWADI 2018
RUANG TOPOLOGI I.
Pendahuluan Konsep tentang topologi dan ruang topologi berawal dari pembahasan mengenai himpunan terbuka dalam โ dimana, dibahas mengenai titik dalam, titik batas, dan titik limit (Bartle, 1992 dalam Albert Ch. Soewongsono, Ariyanto dan Jafaruddin, 2015).
Definisi 1. Ruang Topologi Diberikan himpunan tak kosong X, suatu koleksi ๐ yang berisikan himpunanhimpunan bagian dari X dikatakan topologi pada ๐, jika memenuhi sifat-sifat: (i) X dan himpunan โ
termuat di dalam ๐ โ
, ๐ ๐ ๐ (ii) Gabungan (berhingga ataupun tak hingga) dari himpunan-himpunan di ๐ termuat di ๐ juga ๐ด๐ ๐ ๐, โ๐ ๐ ๐ผ โน
๐ด๐ ๐ ๐ ๐๐๐ผ
๐ผ adalah himpunan indeks (iii) Irisan berhingga dari himpunan-himpunan di ๐ berada di ๐ juga. ๐ด, ๐ต ๐ ๐ โน ๐ด โฉ ๐ต ๐ ๐ Dan pasangan (X, ๐) disebut sebagai ruang topologi.
Contoh 1.1. Diberikan ๐ = {๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐} dan ๐1 = {๐, โ
, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ }
Maka ๐1 merupakan topologi di ๐ karena memenuhi sifat-sifat (i), (ii), dan (iii) pada Definisi 1.
Contoh 1.2. Diberikan ๐ = {๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐} dan ๐2 = {๐, โ
, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ } Maka ๐2 bukan merupakan topologi di X, karena gabunga ๐, ๐ โช ๐, ๐, ๐ = {๐, ๐, ๐, ๐} Tidak termuat di ๐2 . Sehingga ๐2 tidak memenuhi sifat (ii) dari Definisi 1.
Contoh 1.3. Diberikan ๐ = {๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐} dan ๐3 = {๐, โ
, ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ , {๐, ๐, ๐, ๐, ๐}} Maka ๐3 bukan topologi di X, karena irisan ๐, ๐, ๐ โฉ ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ = {๐, ๐} Tidak termuat di ๐3 , sehingga ๐3 tidak memenuhi sifat (iii) dari Definisi 1.
Definisi 2. Titik Dalam (Interior Point) pada Ruang Topologi Diketahui (X, ๐) adalah ruang topologi dan ๐ด โ ๐, titik ๐ disebut titik dalam (interior point) himpunan ๐ด bila ada ๐บ๐ ๐ ๐ dan ๐บ๐ โ ๐ด.
Definisi 3. Himpunan Terbuka Himpunan ๐ด dikatakan terbuka jika semua anggotanya adalah titik dalam (interior point) dari A.
Teorema 3.1. Setiap persekitaran adalah himpunan terbuka
Bukti. Diambil sembarang ๐ ๐ โ dan โฐ > 0. Akan ditunjukkan, ๐โฐ ๐ = {๐ฅ ๐ โ: ๐ฅ โ ๐ < ๐ธ}. Diambil sembarang titik ๐ฆ ๐ ๐โฐ ๐ . Selanjutnya, dibentuk ๐ = |๐ฆ โ ๐| dan jelas ๐ < ๐ธ. Misalkan, ๐ฟ = โฐ โ ๐ maka ๐ฟ > 0. Dibuat pesekitaran ๐๐ ๐ฆ dan diambil sembarang titik ๐ง ๐ ๐๐ ๐ฆ maka diperoleh, ๐ง โ ๐ โค ๐ง โ ๐ฆ + ๐ฆ โ ๐ < ๐ฟ + ๐ = ๐ฟ + (โฐ โ ๐ฟ) = โฐ atau ๐ง โ ๐ < ๐ธ yang berarti, ๐ง ๐ ๐โฐ ๐ . Jadi, jika z ๐ ๐๐ฟ ๐ฆ maka ๐ง ๐ ๐โฐ ๐ ekuivalen dengan ๐๐ ๐ฆ โ ๐๐ ๐ . Sehingga, menurut definisi titik dalam (interior point), ๐ฆ merupakan titik dalam ๐โฐ ๐ . Selanjutnya, karena ๐ฆ diambil sembarang maka terbukti bahwa persekitaran ๐โฐ ๐ merupakan himpunan terbuka.
Definisi 4. Topologi Diskrit Diberikan X himpunan tak kosong dan ฯ adalah koleksi dari semuahimpunan bagian dari X, maka ๐ disebut topologi diskrit, sedangkanruang topologi (X, ๐) disebut rung diskrit. Dapat kita cek bahwa Definisi 4. memenuhi semua sifat dari Definisi 1, jadi Definisi 4 juga merupakan ruang topologi. Contoh 4.1. Diberikan himpunan ๐ = ๐, ๐, ๐ dan ๐ merupakan topologi di ๐ dengan ๐ ๐ ๐, ๐ ๐ ๐, dan ๐ ๐ ๐. Buktikan bahwa ๐ merupakan topologi diskrit.
Penyelesaian Diketahui bahwa ๐ merupakan topologi dan ๐ ๐ ๐, ๐ ๐ ๐, dan ๐ ๐ ๐. Kita akan menunjukkan bahwa ๐ merupakan topologi diskrit. Berdasarkan Definisi 4. Maka kita harus menunjukkan bahwa ๐ memuat semua subhimpunan dari X. ingat bahwa ๐ merupakan topologi, jadi pastilah memenuhi semua sifat dari Definisi 1. Selanjutnya perhatikan bahwa himpunan ๐ memuat 3 elemen, jadi ada 23 subhimpunan dari ๐, yaitu ๐1 = โ
, ๐2 = {๐}, ๐3 = {๐}, ๐4 = {๐}, ๐5 = ๐, ๐ , ๐6 = {๐, ๐}, ๐7 = {๐, ๐}, dan ๐8 = {๐, ๐, ๐}. Kita harus mengecek apakah ๐1 , ๐2 , ๐3 , ..., ๐8 termuat di ๐ atau tidak. Perhatikan bahwa Definisi 1 menunjukkan bahwa ๐ dan โ
termuat di ๐, jadi ๐ 1 ๐ ๐ dan ๐8 ๐ ๐. Selanjutnya karena didefinisikan ๐ ๐ ๐, ๐ ๐ ๐, dan ๐ ๐ ๐, maka ๐ 2 ๐ ๐, ๐ 3 ๐ ๐ dan ๐4 ๐ ๐. Kemudian kita harus menunjukkan ๐ 5 ๐ ๐, ๐ 6 ๐ ๐ dan ๐7 ๐ ๐. Karena ๐ ๐ ๐, ๐ ๐ ๐, dan ๐ ๐ ๐, maka pasilah ๐5 = ๐, ๐ = ๐ โช {๐} โ ๐ ๐6 = ๐, ๐ = ๐ โช {๐} โ ๐ ๐7 = ๐, ๐ = ๐ โช {๐} โ ๐ Sehingga terbukti bahwa ๐ merupakan topologi diskrit.
Definisi 5. Ruang Metrik Misalkan ๐ adalah sembarang himpunan tidak kosong. (i) Fungsi ๐: ๐ ร ๐ โ โ yang memenuhi sifat-sifat: (๐1 ) ๐ ๐ฅ, ๐ฆ โฅ 0, โ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐ ๐ ๐ฅ, ๐ฆ = 0 โบ ๐ฅ = ๐ฆ
๐2 ๐ ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ ๐ฆ, ๐ฅ โ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐, (๐3 ) ๐ ๐ฅ, ๐ฆ โค ๐ ๐ฅ, ๐ง + ๐ ๐ง, ๐ฆ , โ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง โ ๐. Disebut metrik atau jarak pada ๐. (ii) Himpunan ๐ dilengkapi dengan suatu metrik ๐, dituliskan dengan (๐, ๐) disebut metrik. Jika metriknya telah diketahui maka ruang metrik cukup ditulis ๐ saja. (iii) Anggota ruang metrik (๐, ๐) disebut titik dan untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐, bilangan non negatif ๐(๐ฅ, ๐ฆ) disebut jarak titik ๐ฅ dengan titik ๐ฆ.
Proposisi 5.1 Misalkan (X, ๐) merupakan ruang topologi dan setiap ๐ฅ โ ๐, jika himpunan tunggal {๐ฅ} termuat di ๐, maka ๐ merupakan topologi diskrit.
Bukti Kita tahu bahwa setiap himpunan merupakan gabungan dari subset-sabset tunggal dari himpunan tersebut. Misalkan ๐ merupakan subset dari ๐, maka ๐=
{๐ฅ} ๐ฅ๐๐
Karena {๐ฅ} termuat di ๐, serta berdasarkan Definisi 1 menunukkan bahwa ๐ โ ๐, maka terbukti bahwa ๐ merupakan topologi diskrit.
Definisi 6. Topologi Indiskrit Diberikan himpunan ๐ tak kosong dan ๐ = {๐, โ
}, maka ๐ tersebut topologi indiskrit, sedangkan ruang topologi (๐, ๐) disebut ruang indiskrit. Definisi 5 juga
memenuhi semua sifat dari Definisi 1. Jadi Definisi 5 juga merupakan topologi. Oleh karena itu, emua himpunan tak kosong dapat kita bentuk menjadi topologi baik topologi diskrit maupun topologi indiskrit.
II. Pembahasan Pada bagian ini akan dibahas mengenai aksioma separasi dalam ruang ๐1 , ruang ๐2 (Ruang Hausdorff), ruang ๐3 , dan ruang ๐4 sehingga, dapat diperoleh teorema yang menghubungkan ruang-ruang topologi tersebut dan ruang metrik. Sebelum itu, akan diberikan definisi yang menghubungkan ruang metrik dan ruang topologi sebagai berikut: Misalkan d adalah sebuah metrik pada himpunan tidak kosong X. Suatu topologi ๐ pada ๐ yang dihasilkan oleh kelas dari persekitaran dalam ๐ disebut topologi metrik atau topologi yang dihasilkan oleh metrik ๐. Selanjutnya, himpunan ๐ dengan topologi ๐ yang dihasilkan oleh metrik ๐ dinamakan, ruang metrik dan dinotasikan oleh (๐, ๐). Dengan demikian, suatu ruang metrik adalah ruang topologi dimana topologinya dihasilkan oleh sebuah metrik. Oleh karena itu, semua konsep yang didefinisikan dalam ruang topologi juga didefinisikan dalam ruang metrik. Akibatnya, dapat dicari hubungan antara ruang metrik dan ruang-ruang topologi lainnya dengan mengambil suatu topologi yang dihasilkan oleh suatu metrik.
2.1. Hubungan Aksioma Separasi dalam Ruang ๐ป๐ dan ๐ป๐ Definisi 7. Aksioma Separasi dalam Ruang ๐ป๐ Ruang topologi (๐, ๐), disebut ruang ๐1 jika untuk setiap ๐, ๐ โ ๐ dengan ๐ โ ๐ terdapat ๐บ, ๐ป โ ๐ sedemikian sehingga ๐ โ ๐บ, ๐ โ ๐ป dan ๐ โ ๐บ, ๐ โ ๐ป
Teorema 7.1. Ruang topologi (๐, ๐) merupakan ruang ๐1 jika dan hanya jika untuk setiap ๐ฅ โ ๐ , singleton {๐} adalah himpunan tertutup.
Bukti. (โ) Diketahui bahwa (๐, ๐) merupakan ruang ๐1 . Diambil sebarang ๐ โ ๐ dan didefinisikan : {p} adalah singleton. Diambil sebarang ๐ โ ๐
๐
โ ๐ maka,๐ โ ๐
sebab ๐ ๐ โฉ ๐ = โ
Karena (๐, ๐) adalah ruang ๐1 maka terdapat ๐บ, ๐ป โ ๐ dengan ๐ โ ๐ป, ๐ โ ๐บ dan ๐ โ ๐ป, ๐ โ ๐บ. Jadi, โ๐ป โ ๐ dengan sifat ๐ โ ๐บ, ๐ โ ๐ป dan ๐ โ ๐ป, ๐ โ ๐บ. Menurut Definisi 2 tenang titik dalam (interior point) pada himpunan terbuka maka, ๐ titik dalam (interior point) himpunan ๐ ๐ . Karena ๐ diambil sebarang maka
๐
๐
himpunan terbuka dan {๐}. Jadi,terbukti bahwa apabila (๐, ๐)
merupakan rung ๐1 maka setiap singleton dari ๐ adalah himpunan terutup. (โ) Diketahui bahwa setiap singleton dari ๐ adalah himpunan tertutup. Diambil sebarang ๐, ๐ โ ๐ dan ๐ โ ๐. Dibentuk {๐} dan {q} singleton akibatnya, {๐} dan {๐} terutup. Selanjutnya didefinisikan : ๐บ = ๐ dan ๐ป terbuka. Jelas bahwa, ๐ โ ๐ป, ๐ โ ๐บ dan ๐ โ ๐บ, ๐ โ ๐ป.
๐
dan ๐ป = ๐
๐
maka, ๐บ
Jadi, โ๐, ๐ โ ๐, โ๐บ, ๐ป โ ๐ โ ๐ โ ๐ป, ๐ โ ๐บ dan ๐ โ ๐บ, ๐ โ. Dari Definisi 7 tentang ruang ๐1 terbukti bahwa ๐, ๐ merupakan ruang ๐1 Dari bukti syarat perlu dan syarat cukup maka, Teorema 7.1 terbukti.
Definisi 8. Aksioma Separasi dalam Ruang ๐ป๐ Ruang topologi (๐, ๐) merupakan ruang ๐2 (Ruang Hausdorff) jika untuk setiap ๐, ๐ โ ๐ dengan ๐ โ ๐, terdapat ๐บ, ๐ป โ ๐ โ ๐ โ ๐บ, ๐ โ ๐ป dan ๐บ โฉ ๐ป = โ
.
Teorema 8.1 Setiap ruang ๐2 (Ruang Hausdorff) merupakan ruang ๐1 .
Bukti. Misalkan (๐, ๐) adalah ruang topologi dan diketahui bahwa (๐, ๐) adalah ruang ๐2 . Ambil sebarang ๐, ๐ โ ๐ dengan ๐ โ ๐. Karena (๐, ๐) adalah ruang ๐2 maka, โ ๐บ, ๐ป โ ๐ โ ๐ โ ๐บ dan ๐ โ ๐ป, ใฑ โฉ ๐ป = โ
. Karena ๐ โ ๐บ, ๐ โ ๐ป dan ๐บ โฉ ๐ป = โ
maka, ๐ โ ๐ป, ๐ โ ๐บ. Jadi, โ๐บ, ๐ป โ ๐ โ ๐ โ ๐บ, ๐ โ ๐ป dan ๐ โ ๐ป, ๐ โ ๐บ sehingga menurut Definisi 7 terbukti bahwa ๐, ๐ adalah ruang ๐1 .
Akibat 8.1 Tidak semua ruang ๐1 adalah ruang ๐2 (Ruang Hausdorff).
Bukti. Andaikan pernyataan salah maka setiap ruang ๐1 adalah ruang ๐2 . Ambil sebarang ๐, ๐ โ ๐ dengan ๐ โ ๐ maka, โ๐บ, ๐ป โ ๐ โ ๐ โ ๐บ, ๐ โ ๐ป dan ๐บ โฉ ๐ป =
โ
. Karena, ๐บ, ๐ป โ ๐ maka, ๐บ dan ๐ป adalah himpunan terbuka tidak berhingga sebab ๐บ๐ dan ๐ป๐ adalah himpunan tertutup dan berhingga . Karena, ๐บ โฉ ๐ป = โ
maka ๐บ โฉ ๐ป โ โ
dan ๐บ โ ๐ป๐ . Pernyataan ๐บ โ ๐ป๐ tidak mungkin terjadi sebab, G tidak berhingga dan ๐ป๐ berhingga. Jadi, pengandaian salah dan pernyataan benar yakni, tidak semua ruang ๐1 adalah ruang ๐2 .
2.2. Hubungan Aksioma Separasi dalam Ruang ๐ป๐ dan ๐ป๐ Definisi 9. Aksioma Separasi dalam Ruang Regular Ruang topologi (๐, ๐) adalah ruang regular jika untuk setiap himpunan tertutup ๐น โ ๐ dan ๐ โ ๐, ๐ โ ๐น maka terdapat ๐บ, ๐ป โ ๐, ๐บ โฉ ๐ป = โ
โ ๐น โ ๐บ dan ๐ โ ๐ป. Definisi 10.
Aksioma Separasi dalam Ruang T3
Ruang topologi (๐, ๐) merupakan ruang ๐3 apabila (๐, ๐) adalah ruang regular dan memenuhi aksioma separasi dalam ruang ๐1 . Selanjutnya, ruang ๐3 disebut juga sebagai ruang regular ๐1 .
Teorema 10.1 Setiap ruang T3 adalah ruang T2. Bukti. Diketahui (๐, ๐) adalah ruang ๐3 . Diambil sebarang ๐, ๐ โ ๐, ๐ โ ๐. Dibentuk singleton {๐} sedemikian hingga {๐} tertutup. Jelas bahwa, ๐ โ {๐} sebab, ๐ โ ๐. Karena (๐, ๐) adalah ruang ๐1 maka, (๐, ๐) adalah ruang reguler sehingga, โ๐บ, ๐ป โ ๐, ๐บ โฉ ๐ป = โ
โ ๐ โ ๐บ dan ๐ โ ๐ป. Jelas bahw, ๐ โ ๐บ sebab, ๐ โ ๐บ dan ๐ โ {๐}.
Jadi โ๐บ, ๐ป โ ๐ โ ๐ โ ๐บ, ๐ โ ๐ป dan ๐บ โฉ ๐ป = โ
. sehingga menurut Definisi 8 tentang ruang ๐2 , terbukti bahwa (๐, ๐) merupakan ruang ๐2 .
Sifat 10.1 Tidak semua ruang regular merupakan ruang ๐1 .
Bukti. Akan ditunjukkan bahwa pernyataan benar dengan menggunakan sebuah contoh penyangkal berikut. Pandang suatu ruang topologi (๐, ๐) dimana ๐ = {ใฐ, ๐, ๐, } dan ๐ = โ
, ๐, ๐ , ๐, ๐
adalah suatu topologi pada X. Akan ditunjukkan bahwa (๐, ๐)
adalah ruang regular. Karena ๐ = โ
, ๐, ๐ , ๐, ๐
maka, himpunan-himpunan
tertutup pada ๐ adalah, ๐ sebab, ๐๐ = โ
โ ๐ terbuka โ
sebab, โ
= ๐ โ ๐ terbuka {๐} sebab, ๐ ๐ = ๐, ๐ โ ๐ terbuka ๐, ๐ sebab, ๐, ๐ ๐ = ๐ โ ๐ terbuka Dimana, himpunan-himpunan bagian tertutup dari ๐ dan memenuhi aksioma separasi dalam ruang regular yakni, (i)
Untuk โ
โ ๐ berlaku, ๐
โ ๐, ๐ โ โ
maka โ๐บ = ๐ , ๐ป = ๐, ๐ โ ๐, ๐บ โฉ ๐ป = โ
โ โ
โ ๐ป
dan
๐ โ ๐บ.๐ โ ๐, ๐ โ โ
maka โ๐บ = ๐ , ๐ป = ๐, ๐ โ ๐, ๐บ โฉ ๐ป = โ
โ โ
โ ๐บ dan ๐ โ ๐ป, ๐ โ ๐, ๐ โ โ
maka โ๐บ = ๐ , ๐ป = ๐, ๐ โ ๐, ๐บ โฉ ๐ป = โ
โ โ
โ ๐บ dan ๐ โ ๐ป
(ii)
Untuk ๐, ๐ โ ๐ berlaku ๐ โ ๐, โ ๐ maka โ๐บ = ๐ , ๐ป = ๐, ๐ โ ๐, ๐บ โฉ ๐ป = โ
โ ๐ โ dan ๐ โ ๐ c โ X, c โ a maka โG = a , H = b, c โ ฯ, G โฉ H = โ
โ a โdan c โ H Jadi, ๐, ๐ โ ๐ memenuhi aksioma separasi dalam ruang reguler.
(iii) Untuk ๐, ๐ โ ๐ berlaku a โ X, a โ b, c
maka
โG = a , H = b, c โ ฯ, G โฉ H = โ
โ โ
โ Hdan
๐โ๐บ Jadi, ๐, ๐ โ ๐ memenuhi aksioma separasi dalam ruang regular. Dari (i), (ii) dan (iii) terbukti bahwa ( ๐, ๐) adalah ruang regular. Akan tetapi,(๐, ๐) bukan merupakan ruang ๐1 sebab, terdapat sebuah singleton {๐} yang tidak tertutup. Terbukti bahwa tidak semua ruang regular merupakan ruang ๐1 .
Akibat 10.1. Syarat Cukup Suatu Ruang Regular Merupakan Ruang T1 Jika suatu ruang regular (๐, ๐) dengan ๐ adalah suatu topologi diskrit maka (๐, ๐) merupakan ruang ๐1 .
Bukti. Diketahui (๐, ๐)adalah suatu regular dengan ๐ adalah suatu topologi diskrit yakni, ๐ = 2๐ฅ , โ๐ฅ โ ๐. Ambil sebarang ๐, ๐ โ ๐, ๐ =โ ๐ dan bentuk singleton, ๐ , ๐ โ ๐. Jelas bahwa, {๐} dan {๐} adalah himpunan tertutup sebab, ๐ ๐ , ๐ ๐ โ ๐ = 2๐ฅ . Dipilih, ๐น = ๐ โ ๐ dan ๐ โ ๐, ๐ โ ๐น ๐ . ๐ โ ๐. Karena, ๐, ๐ adalah ruang reguler maka, โ๐บ, ๐ป โ ๐ sebab, ๐ โ ๐. Karena, ๐ โ ๐ป reguler maka, โ๐บ, ๐ป โ ๐, ๐บ โฉ ๐ป = โ
โ ๐น = ๐ โ ๐บ dan ๐ โ ๐ป. Jelas bahwa, ๐ โ ๐บ
sebab, ๐ โ {๐} dan ๐ โ ๐บ tatapi, ๐ โ ๐ป sebab, ๐บ โฉ ๐ป = โ
. Berlaku juga ๐โ๐ป, ๐ โ ๐บ sebab, ๐บ โฉ ๐ป = โ
. Jadi โ๐บ, ๐ป โ ๐ โ ๐ โ ๐บ\๐ป dan ๐ โ ๐ป sehingga menurut Definisi 7 tentang ruang ๐1 terbukti bahwa ruang reguler (๐, ๐) juga merupkan ruang ๐1 .
2.3. Hubungan Aksioma Separasi dalam Ruang T3 dan T4 Definisi 11.
Aksioma Separasi dalam Ruang Normal
Ruang topologi (๐, ๐) adalah ruang normal jika untuk setiap ๐น1 dan ๐น2 masingmasing adalah himpunan bagian tertutup dari ๐ yang saling lepas maka, โ๐บ, ๐ป โ ๐, ๐บ โฉ ๐ป = โ
โ ๐น1 โ ๐บ dan ๐น2 โ ๐ป.
Definisi 12.
Aksioma Separasi dalam Ruang T4
Ruang topologi (๐, ๐) adalah ruang ๐4 apabila, (๐, ๐) merupakan ruang normal dan memenuhi aksioma separasi dalam ruang ๐1 . Selanjutnya, ruang ๐4 dikenal juga sebagai ruang normal ๐1 .
Teorema 12.1. Setiap ruang T4 adalah ruang T3.
Bukti. Diketahui bahwa ๐, ๐ adalah ruang ๐4 . Diambil sebarang ๐น โ ๐ merupakan himpunan bagian tertutup dan ( ๐ โ ๐, ๐ โ ๐น). Karena ( ๐, ๐) adalah ruang ๐4 maka, ( ๐, ๐) merupakan ruang ๐1 . Dibentuk singleton {๐} himpunan tertutup. Jelas bahwa, ๐น โ ๐ = โ
sebab, ๐ โ ๐น. Selanjutnya, karena ( ๐, ๐) adalah ruang
๐4 maka, (๐, ๐) adalah ruang normal sehingga, โ๐บ, ๐ป โ ๐, ๐บ โฉ ๐ป = โ
โ ๐น โ ๐บ dan ๐ โ ๐ป, karena, ๐ โ {๐} dan ๐ โ ๐ป dan ๐ โ ๐ป. jadi โ๐บ, ๐ป โ ๐, ๐บ โฉ ๐ป = โ
โ ๐น โ ๐บ dan ๐ โ ๐ป sehingga, menurut Definisi 9 (๐, ๐) adalah ruang reguler, karena, (๐, ๐) adalah ruang dan ruang ๐1 maka, berdasarkan Definisi 10 terbukti bahwa (๐, ๐) adalah ruang ๐3 .
Sifat 12.1 Tidak semua ruang normal adalah ruang T1.
Bukti. Akan dibuktikan sifat tersebut dengan menggunakan sebuah contoh penyangkal berikut. Misalkan ๐ = {๐, ๐, ๐ฅ} dan ๐ = โ
, ๐, ๐ , ๐ , ๐, ๐ ditunjukkan
bahwa
๐ = โ
, ๐, ๐ , ๐ , ๐, ๐
(๐, ๐)
merupakan
adalah topologi pada . Akan ruang
normal.
Karena
maka, himpunan-himpunan tertutup dari ๐ adalah:
โ
sebab, โ
= ๐ โ ๐ himpunan terbuka. ๐ sebab, ๐ = โ
โ ๐ himpunan terbuka. {๐, ๐} sebab, ๐, ๐ ๐ = ๐ โ ๐ himpunan terbuka {๐, ๐} sebab, ๐, ๐ ๐ = ๐ โ ๐ himpunan terbuka {๐} sebab, ๐ ๐ = ๐, ๐ โ ๐ himpunan terbuka Dari himpunan-himpunan tertutup di atas, dapat dilihat bahwa himpunanhimpunan tertutup yang saling lepas yaitu, ๐น1 = โ
dan ๐น2 = ๐ atau {๐, ๐} atau {๐, ๐} atau ๐ โ โ๐บ = โ
, ๐ป = ๐ โ ๐ dimana, ๐บ โฉ ๐ป = โ
dan berlaku ๐น1 = โ
โ ๐บ
dan ๐น2 โ ๐ป, jadi, terbukti bahwa (๐, ๐) di atas merupakan ruang normal, akan tetapi, (๐, ๐) di atas bukan merupakan ruang ๐1 sebab, terdapat sebuah singleton ๐ โ ๐ yang tidak tertutup. Terbukti bahwa tidak semua ruang normal adalah ruang ๐1 .
Akibat 12.1 Syarat Cukup Suatu Ruang Normal Merupakan Ruang T1 Jika (X, ๐) merupakan suatu ruang normal dengan ๐ adalah suatu topologi diskrit maka, (X, ๐) marupakan Ruang T1
Bukti. Diketahui (X, ๐) adalah suatu ruang normal dengan ๐ adalah suatu topologi diskrit yakni, ๐ = 2x , โ๐ฅ โ ๐. Diambil sebarang ๐, ๐ โ ๐ dengan ๐ โ ๐. Dibentuk ๐๐๐๐๐ก๐๐ ๐น1 = ๐ , ๐น2 = {๐} โ ๐. Jelas bahwa, F1 = ๐ dan ๐น2 = {๐} himpunan tertutup sebab, {p}c , {q}c โ ฯ = 2x dengan F1 โฉ F2 = {p}โฉ{q}= โ
. Karena (X, ๐) adalah ruang normal maka, โ๐บ, ๐ป โ ๐ ๐บ โฉ ๐ป = โ
โ F1 = {p} โ ๐บ dan F2 = {q}โ ๐ป. Jelas bahwa, ๐ โ ๐บ sebab ๐ โ {๐} = F1 dan F1 = {p} โ ๐บ tetapi ๐ โ ๐ป sebab, ๐บ โฉ ๐ป = โ
. Berlaku juga, ๐ โ ๐บ sebab ๐ โ {๐} = F2 dan F2 = {q} โ ๐บ tetapi ๐ โ ๐ป sebab, ๐บ โฉ ๐ป = โ
. Jadi โ๐บ, ๐ป โ ๐ โ ๐ โ ๐บ/๐ป dan ๐ โ ๐บ/๐ป. Sehingga, menurut Definisi 7 tentang T1 terbukti bahwa, ruang normal (X, ๐) merupakan ruang T1.
2.4. Hasil Utama: Teorema Fundamental Separasi Dalam Ruang Topologi Pada bagian ini, akan diberikan kumpulan teorema yang menghubungkan ruang metrik dengan ruang-ruang topologi yang dinamakan ruang fundamental separasi dalam ruang topologi Teorema 2.4.1 Setip ruang metrik merupakan ruang ๐1 . Bukti. Didefinisikan ๐, ๐ adalah ruang metrik. Diambil sebarang ๐, ๐ โ ๐ dengan ๐ โ ๐. Karena
๐, ๐
adalah ruang metrik maka, ๐ ๐, ๐ > 0. Selanjutnya, 1
dibentuk persekitaran ๐๐ ๐ dan ๐๐ ๐ dengan ๐ = 2 ๐(๐, ๐). Akibatnya, diperoleh ๐๐ ๐ โฉ ๐๐ ๐ = โ
. Menurut Teorema 2.1.3 ๐๐ ๐
dan
๐๐ ๐ adalah himpunan terbuka. Akibatnya, ๐๐ ๐ โฉ ๐๐ ๐ โ ๐. Jelas bahwa, ๐ โ ๐๐ ๐ , ๐ โ ๐๐ ๐ dan ๐ โ ๐๐ ๐ , ๐ โ ๐๐ ๐ sebab ๐๐ ๐ โฉ ๐๐ ๐ = โ
. Jadi,
โ๐๐ ๐ , ๐๐ ๐ โ ๐ โ ๐ โ ๐๐ ๐ , ๐ โ ๐๐ ๐
dan
๐ โ ๐๐ ๐ , ๐ โ ๐๐ ๐ .
Sehingga, terbukti bahwa(๐, ๐) adalah topologi ruang T1.
Teorema 2.4.2 Setiap ruang metrik merupakan ruang ๐2 (๐
๐ข๐๐๐ ๐ป๐๐ข๐ ๐๐๐๐๐).
Bukti. Didefinisiskan ๐, ๐ adalah ruang matrik. Selanjutnya, diambil sebarang ๐, ๐ โ ๐ dengan ๐ โ ๐. Karena ๐, ๐ adalah ruang metrik maka ๐ ๐, ๐ > 0. Dibentuk persekitaran ๐๐ ๐
dan ๐๐ ๐
1
dengan, ๐ = 2 ๐ ๐, ๐ . Akibatnya, diperoleh
๐๐ ๐ โฉ ๐๐ ๐ = โ
. Dari Teorema 2.1.3, ๐๐ ๐ dan ๐๐ ๐ adalah himpunan terbuka. Akbatnya, ๐๐ ๐ โฉ ๐๐ ๐ โ ๐. Selanjutnya, diperoleh, ๐ โ ๐๐ ๐ , ๐ โ ๐๐ ๐
sebab ๐๐ ๐ โฉ ๐๐ ๐ = โ
. Jadi, โ๐๐ ๐ , ๐๐ ๐ โ ๐ โ ๐ โ ๐๐ ๐ , ๐ โ
๐๐ ๐ dan ๐๐ ๐ โฉ ๐๐ ๐ = โ
. Sehingga, terbukti bahwa (๐, ๐) merupakan ruang T2.
Teorema 2.4.3 Setiap ruang metrik merupakan ruang ๐3.
Bukti. Misalkan ๐ adalah suatu topologi pada X oleh metriks atau jarak d. ambil sebarang himpunan tertutup ๐น โ ๐ dan ๐ โ ๐, ๐ โ ๐น. sehingga, โ๐ > 0, โ๐ฅ โ ๐น berlaku ๐ ๐ฅ, ๐ > ๐ > 0. Dibentuk : ๐บ =
๐ฅ๐๐
๐๐
4
๐ฅ dan ๐ป = ๐๐ ๐ dimana, 4
menurut Teorema 2.1.3, G dan H adalah himpunan terbuka. Sehingga, ๐บ, ๐ป โ ๐ dan ๐บ โฉ ๐ป = โ
. ๐ฎ
๐ฏ
๐น .๐
๐ .๐
Gambar 1. Abstraksi pembentuk ๐บ dan ๐ป
Jika โ๐บ, ๐ป โ ๐, ๐บ โฉ ๐ป = โ
โโ ๐น โ ๐บ dan ๐ โ ๐ป. Menurut definisi ruang regular, dapat disimpulkan bahwa (๐, ๐) merupakan ruang regular. Berdasarkan Teorema
2.4.1, telah ditunjukkan bahwa (๐, ๐) merupakan ruang T1. Karena, (๐, ๐) memenuhi aksioma separasi dalam ruang regular dan ruang T 1 maka menurut definisi ruang T3 terbukti bahwa (๐, ๐) merupakan ruang T3. Teorema 2.4.4 Setiap ruang metrik merupakan ruang ๐4 .
Bukti Misalkan ๐ adalah topologi pada ๐ oleh metrik atau jarak ๐. Diambil sembarang himpunan-himpunan bagian tertutup ๐น1 , ๐น2 โ ๐ dengan ๐น1 โฉ ๐น2 = โ
. Sehingga, โ๐ > 0, โ๐ฅ โ ๐น1 , ๐ฆ โ ๐น2 dengan, ๐ ๐ฅ, ๐ฆ > ๐ > 0. Dibentuk : G =
๐ฅ ๐ ๐น1
๐๐
4
(๐ฅ) dah H=
๐ฆ ๐ ๐น2
๐๐
4
(๐ฆ) dimana, Teorema 3.1
diperoleh, ๐บ dan ๐ป himpunan terbuka. Sehingga, ๐บ, ๐ป โ ๐ dan ๐บ โฉ ๐ป = โ
๐ฎ
๐ฏ
๐ญ๐ .๐
๐
๐ญ๐ .๐
Gambar 2. Abstraksi pembentuk ๐บ dan ๐ป Jadi โ๐บ, ๐ป โ ๐, ๐บ โฉ ๐ป = โ
โ ๐น1 โ ๐บ dam ๐น2 โ ๐ป. Menurut definisi ruang normal, dapat disimpulkan bahwa (๐, ๐) adalah ruang normal. Selanjutnya, berdasarkan teorema 2.4.1, telah ditunjukkan bahwa (๐, ๐) memenuhi aksioma separasi dalam ruang normal dan ruang ๐1 maka terbukti bahwa (๐, ๐) merupakan ruang ๐4 .
Dari Torema 2.4.1, Teorema 2.4.2, Teorema 2.4.3, dan Torema 2.4.4 dapat dikatakan bahwa suatu ruang metrik memenuhi semua aksioma separasi dalam ruang-ruang topologi yakni, ruang ๐1 , ruang ๐2 , ruang ๐3 , dan ruang ๐4 . Sehingga ruang metrik termuat dalam setiap ruang-ruang topologi tersebut sebagaimana ditunjukkan oleh gambar berikut yang menunjukkan hubungan antara ruang-ruang topologi dan ruang metrik.
Ruang Topologi Ruang ๐1 Ruang ๐2 (Ruang Hausdorff) Ruang ๐3 (Ruang Regular ๐1 ) Ruang ๐4 (Ruang Normal ๐1 ) Ruang Metrik
Gambar 3. Pengelompokan ruang-ruang topologi
Dari Gambar 3 terlihat bahwa ruang metrik memiliki lingkup tersempit sebab, termuat di semua ruang-ruang topologi sedangkan, ruang topologi memiliki lingkup terluas sebab, memuat ruang-ruang topologi lain dari ruang metrik.
III. Kesimpulan Dari hasil kajian ini diperoleh bahwa dengan menggabungkan premis dari aksioma-aksioma separasi dalam masing-masing ruang topologi tersebut, diperoleh beberapa sifat sebagai berikut. Setiap ruang T2 (Ruang Hausdorff) merupakan ruang T1. Selanjutnya, setiap ruang T3 (Ruang Regular T1) merupakan ruang T2 (Ruang Hausdorff) dan setiap ruang T4 (Ruang Normal T1 ) merupakan ruang T3 (Ruang Regular T1 ) serta, setiap ruang metrik merupakan ruang-ruang topologi tersebut. Akan tetapi, sifat-sifat hubungan antara ruang-ruang topologi tersebut tidak berlaku untuk kebalikannya.
Dari hasil kajian ini, diperoleh juga suatu teorema fundamental separasi ruang topologi yang merupakan gabungan dari beberapa teorema yang menyimpulkan bahwa ruang metrik memenuhi semua aksioma separasi dalam ruang-ruang topologi yakni, ruang T1, ruang T2 (Ruang Hausdorff), ruang T3 , dan ruang T4.
DAFTAR PUSTAKA
Albert Ch. Soewongsono, Ariyanto dan Jafaruddin. (2015). Teorema Berbasis Aksioma Separasi dalam Ruang Topologi. Jurnal Matematika Integratif. Volume 11, Nomor 2, hal. 85-96. Julaeha, Siti. (2015). Pengantar Topologi. Bandung: Matematika Sains 2012 UIN SGD.