Riset Operasi Big M [PDF]

Citation preview

RISET OPERASI “Linear Programming : Solusi Awal untuk Primal Simpleks”



OLEH : KELOMPOK V 1. Ni Putu Purnama Dewi



(1702012894)



2. Ni Made Melati Widyarini



(1702012895)



3. Kadek Dina Saraswati



(1702012898)



Kelas



: IIIB Manajemen Sore



UNIVERSITAS HINDU INDNESIA TAHUN AJARAN 2018/2018



KATAPENGANTAR



Puji syukur penulis ucapkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa. Bahwa penulis telah menyelesaikan tugas mata kuliah Riset Operasi dengan membahas topik “Linear programming : solusi awal untuk primal simpleks” dalam bentuk makalah. Dalam penyusunan tugas atau materi ini, banyak hambatan yang penulis hadapi. Namun penulis menyadari bahwa kelancaran dalam penyusunan materi ini tidak lain berkat bantuan, dorongan dan bimbingan dosen pembimbing dan sahabat, sehingga kendala-kendala yang penulis hadapi teratasi. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada: Bapak Dosen Pembimbing mata kuliah yang telah memberikan tugas, petunjuk kepada penulis sehingga penulis termotivasi dan menyelesaikan tugas ini. Teman satu kelompok yang telah turut membantu, membimbing, dan mengatasi berbagai kesulitan sehingga tugas ini selesai. Semoga materi ini dapat bermanfaat dan menjadi sumbangan pemikiran bagi pihak yang membutuhkan, khususnya bagi penulis sehingga tujuan yang diharapkan dapat tercapai. Sekian dan terima kasih.



Denpasar, oktober 2018 Penulis



DAFTAR ISI



KATA PENGANTAR..............................................................................



i



DAFTAR ISI............................................................................................



ii



BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang........................................................................



1



1.2 Rumusan Masalah...................................................................



1



1.3 Tujuan Makalah......................................................................



1



BAB II PEMBAHASAN 2.1 METODE BIG M..................................................................



2



2.1.1 Istilah dalam metode simpleks.................................



3



2.1.2 Langkah Penyelesaian Metode Simpleks................



4



2.2 KASUS KHUSUS DALAM SIMPLEKS............................



8



2.2.1 Solusi Tidak Terbatas...........................................



8



BAB III PENUTUP 3.1 KESIMPULAN....................................................................



DAFTAR PUSTAKA



10



BAB I PENDAHULUAN



1.1 LATAR BELAKANG Salah satu teknik penentuan solusi optimal yang digunakan dalam Linear Programming adalah metode algoritma simpleks atau lebih dikenal dengan metode simpleks. Metode ini digunakan karena adanya keterbatasan penyelesaian masalah bila menggunakan metode grafis maupun substitusi. Metode ini mampu menyelesaikan masalah dengan jumlah variable 2 atau lebih. Metode ini pertama kalinya diperkenalkan oleh George B. Dantzig pada tahun 1947 dan telah diperbaiki oleh beberapa ahli lainnya. Penyelesaian masalah optimalisasi dengan metode simpleks didasarkan pada teknik eliminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim satu persatu dengan cara perhitungan iteratif.



1.2 RUMUSAN MASALAH 1. Apa ysng dimaksud dengan Big M ? 2. Istilah dalam Medode Big M ? 3. Langkah Penyelesaian Metode Simpleks ? 4. Penyelesaian kasus untuk variabel nilai tak terbatas



1.3 TUJUAN MAKALAH 1. Agar mahasiswa dapat menyelesaian linear programing untuk primal simpleks dengan Metode Big M 2. Agar mahasiswa mengetahui istilah dalam Metode Big M 3. Agar mahasiswa mengetahui Langkah Penyelesaian Metode Simpleks 4. Agar mahasiswa mampu menyelesaikan kasus variabel nilai tak terbatas



BAB II PEMBAHASAN



2.1 METODE BIG M Sering kita menemukan bahwa fungsi kendala tidak hanya dibentuk oleh pertidaksamaan≤ tapi juga oleh pertidakasamaan≥ dan/atau persamaan (=). Fungsi kendala dengan pertidaksamaan≥ mempunyai surplus variable, tidak ada slackvariables. Surplus variable tidak bisa menjadi variabel basis awal. Dengan demikian harus ditambahkan satu variabel baru yang dapat berfungsi sebagai variabel basis awal. Variabel yang dapat berfungsi sebagai variabel basis awal hanya slackvariables dan artificialvariables (variabel buatan).



Metode Big M digunakan untuk menyelesaikan fungsi-fungsi dalam program linier yang tidak berada dalam bentuk baku atau standar ( bentuk standar adalah memaksimalkan Z sesuai dengan kendala fungsional dalam bentuk ≤ dan kendala nonegativitas di semua variabel) dan salah satu contoh masalah dalam kendala funsional adalah bila fungsi dalam bentuk-bentuk = atau ≥ atau bahkan ruas kanan yang negatif.



2.2.1 Istilah dalam metode simpleks Beberapa Istilah yang digunakan dalam metode simpleks,diantaranya sebagai berikut. 1.



Iterasi, seperti yang disebutkan sebelumnya adalah tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya.



2.



Variabel non basis, adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistem persamaan.



3.



Variabel basis, merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan atau =). Secara umum, jumlah variabel batas selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non negatif) 4.



Solusi atau Nilai Kanan (NK), merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan.



5.



Variabel Slack, adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan < menjadi persamaan (=). Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis.



6.



Variabel Surplus, adalah variabel yang dikurangkan dari model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan > menjadi persamaan (=). Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel bebas.



7.



Variabel Buatan, adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala dengan bentuk >atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada. Variabel ini hanya ada di atas kertas.



8.



Kolom Pivot (Kolom Kerja), adalah kolom yang memuat variabel masuk. Koefisien pada kolom ini akan menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris pivot (baris kerja).



9.



Baris Pivot (Baris Kerja), adalah salah satu baris dari antara variabel baris yang memuat variabel keluar.



10. Elemen Pivot (Elemen Kerja), adalah elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya. 11. Variabel Masuk, adalah variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif.



12. Variabel Keluar, variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan digantikan dengan variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu dari antara variabel basis pada setiap iterasi dan bernilai 0.



1.2.2 Langkah Penyelesaian Metode Simpleks Beberapa ketentuan yang perlu diperhatikan, menurut Abdullah (2009:12) antara lain: ·



Nilai kanan (NK / RHS) fungsi tujuan harus nol (0).



·



Nilai kanan (RHS) fungsi kendala harus positif. Apabila negatif, nilai tersebut harus dikalikan –1.



·



Fungsi kendala dengan tanda “≤” harus diubah ke bentuk “=” dengan menambahkan variabel slack/surplus. Variabel slack/surplus disebut juga variabel dasar.



·



Fungsi kendala dengan tanda “≥” diubah ke bentuk “≤” dengan cara mengalikan dengan –1, lalu diubah ke bentuk persamaan dengan ditambahkan variabel slack. Kemudian karena RHS-nya negatif, dikalikan lagi dengan –1 dan ditambah artificial variabel/variabel buatan (M).



·



Fungsi kendala dengan tanda “=” harus ditambah artificial variabel (M).



Perbedaan metode Big M dengan primal simpleks biasa (teknik penyelesaian yang sudah dipelajari sebelumnya), terletak pada pembentukan tabel awal. Jika fungsi kendala menggunakan bentuk pertidaksamaan≥, perubahan dari bentuk umum ke bentuk baku memerlukan satu variabel surplus. Variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis awal, karena koefisiennya bertanda negatif. Sebagai variabel basis pada solusi awal, harus ditambahkan satu variabel buatan. Variabel buatan pada solusi optimal harus bernilai 0, karena variabel ini memang tidak ada. Teknik yang digunakan untuk memaksa variabel buatan bernilai 0 pada solusi optimal adalah dengan cara berikut: •



Penambahan variabel buatan pada fungsi kendala yang tidak memiliki variabel slack, menuntut penambahan variabel buatan pada fungsi tujuan.



•



Jika fungsi tujuan adalah maksimisasi, maka variabel buatan pada fungsi tujuan mempunyai koefisien +M; jika fungsi tujuan adalah minimisasi, maka variabel buatan pada fungsi tujuan mempunyai koefisien -M.



•



Karena koefisien variabel basis pada tabel simpleks harus bernilai 0, maka variabel buatan pada fungsi tujuan harus digantikan nilai dari fungsi kendala yang memuat variabel buatan tersebut.



Perhatikan contoh di bawah ini. Bentuk Umum Min. z = 4 x1 + x2 Terhadap:



3x1 + x2 = 3 4x1 + 3x2≥ 6 x1 + 2x2 ≤ 4 x1, x2 ≥ 0



Bentuk Baku: Min. z = 4 x1 + x2 Terhadap:



3x1 + x2 = 3 4x1 + 3x2 - s1 = 6 x1 + 2x2 + s2 = 4 x1, x2, s1, s2 ≥ 0



Kendala 1 dan 2 tidak mempunyai slackvariables, sehingga tidak ada variabel basis awal. Untuk berfungsi sebagai variabel basis awal, pada kendala 1 dan 2 ditambahkan masing-masing satu variabel buatan (artificialvariable). Maka bentuk baku Big M-nya adalah: Min. z = 4 x1 + x2 + MA1 + MA2 Terhadap:



3x1 + x2 + A1 = 3 4x1 + 3x2 - s1 + A2 = 6



x1 + 2x2 + s2 = 4 x1, x2, s1, s2 ≥ 0



1. Nilai A1 digantikan dari fungsi kendala pertama. A1 = 3 - 3x1 - x2 MA1 berubah menjadi M(3 - 3x1 - x2)



3M-3Mx1-Mx2



2. Nilai A2 digantikan dari fungsi kendala ketiga. A2 = 6 - 4x1 - 3x2 + s1 MA2 berubah menjadi M(6 - 4x1 - 3x2 + s1) 6M- 4Mx1 - 3Mx2 + Ms1 3. Fungsi tujuan berubah menjadi Min z = 4x1 + x2 + 3M-3Mx1-Mx2 +6M-4Mx1-3Mx2+Ms1 = (4 -7M)x1+(1 - 4M)x2 + Ms1 +9M



4. Tabel awal simpleks VB



X1



X2



S1



A1



A2



S2



Solusi



-4 +7M



-1 +4M



-M



0



0



0



9M



A1



3



1



0



1



0



0



3



A2



4



3



-1



0



1



0



6



1



2



0



0



z



S2



0



1



4



5. Perhitungan iterasinya sama dengan simpleks sebelumnya.



Iterasi-0 VB



X1



X2



S1



-1 +4M



-M



A1



A2



S2



Solusi



Rasio



0



0



0



9M



-



z



-4 +7M



A1



3



1



0



1



0



0



3



1



A2



4



3



-1



0



1



0



6



3/2



S2



1



2



0



0



0



1



4



2



A2



S2



Solusi



Rasio



4+2M



-



Iterasi-1 VB X1



X2



z



0



(1 +5M)/3



X1



1



1/3



A2



0



S1



A1



-M



(4-7M)/3 0



0



0



1/3



0



0



1



3



-1



-4/3



1



0



2



6/5



0



-1/3



0



1



3



9/5



5/3 S2



0



5/3



Iterasi-2 VB



X1



X2



S1



z



0



0



1/5



8/5 – M



X1



1



0



1/5



3/5



X2



0



1



-3/5



S2



0



0



1



Iterasi-3 VB



X1



A1



A2 -1/5 – M



S2



Solusi



Rasio



0



18/5



-



-1/5



0



3/5



25/3



-4/5



3/5



0



6/5



-



1



-1



1



1



1



optimal X2



S1



A1



A2



S2



Solusi



z



0



0



0



7/5-M



-M



-1/5



17/5



X1



1



0



0



2/5



0



-1/5



2/5



X2



0



1



0



-1/5



0



3/5



9/5



S1



0



0



1



1



-1



1



1



2.2 KASUS KHUSUS DALAM SIMPLEKS Ada beberapa kasus khusus dalam simpleks. Kadang kala kita akan menemukan bahwa iterasi tidak berhenti, karena syarat optimalitas atau syarat kelayakan tidak pernah dapat dipenuhi. Adakalanya juga solusi yang dihasilkan antara satu iterasi dengan iterasi berkutnya tidak berbeda. Kasus khusus ini terdiri dari solusi optimal lebih dari satu, degeneracy, solusi tidak terbatas dan solusi tidak layak. Dua terakhir dapat terjadi karena kesalahan baik dalam perhitungan iteratif ataupun dalam pembentukan model atau formulasi permasalahan.



1.2.1 Solusi Tidak Terbatas Ada kalanya kita menemukan nilai variabel meningkat tak terbatas tanpa melanggar pembatas, artinya ruang solusi tidak terbatas paling tidak untuk satu arah. Sebagai akibatnya, nilai tujuan akan meningkat (untuk kasus maksimisasi) atau menurun (untuk kasus minimisasi) tanpa ada batas. Dalam kasus kita sebut ruang solusi dan nilai tujuan optimum tidak terbatas. Solusi tidak terbatas hanya mengindikasikan satu hal, yaitu model myang dibangun salah. Mendapatkan keuntungan yang tidak terbatas misalnya tentunya tidak masuk akal. Salah satu yang paling umum yang menyebabkan solusi tidak terbatas adalah tidak memasukan pembatas yang bukan redundan pada model atau parameter (konstanta) beberapa pembatas tidak dihitung dengan benar. Perhatikan kasus berikut: Maks z = 2x1 + x2 Terhadap



x1 - x2≤ 10



2x1≤ 40 x1, x2≥ 0 iterasi-0 VB



X1



X2



S1



S2



Solusi



Rasio



Z



-2



-1



0



0 0



S1



1



-1



1



0 10



10



S2



2



0



0



1 40



20



Iterasi-1 VB



X1



X2



S1



S2



Solusi



Z



0



-1



0



1



40



S1



0



-1



1



-1/2



-10



X1



1



0



0



½



20



Rasio



Jika iterasi itu diteruskan, tidak akan pernah berhenti. Nilai z akan meningkat terus. Pada tabel awal sebenarnya kita sudah dapat mengidentikasi bahwa nilai tujuan akan meningkat terus tanpa ada batas dengan memperhatikan koefisien pembatas kolom x2 yang bernilai -1 dan 0. Nilai koefisien pembatas ini menunjukkan bahwa x2 dapat dinaikkan tanpa ada batas, sehingga nilai z juga akan meningkat tanpa ada batas.



BAB III PENUTUP



3.1 KESIMPULAN



Metode Big M digunakan untuk menyelesaikan fungsi-fungsi dalam program linier yang tidak berada dalam bentuk baku atau standar ( bentuk standar adalah memaksimalkan Z sesuai dengan kendala fungsional dalam bentuk ≤ dan kendala nonegativitas di semua variabel) dan salah satu contoh masalah dalam kendala funsional adalah bila fungsi dalam bentuk-bentuk = atau ≥ atau bahkan ruas kanan yang negatif. Ada kalanya kita menemukan nilai variabel meningkat tak terbatas tanpa melanggar pembatas, artinya ruang solusi tidak terbatas paling tidak untuk satu arah. Sebagai akibatnya, nilai tujuan akan meningkat (untuk kasus maksimisasi) atau menurun (untuk kasus minimisasi) tanpa ada batas. Dalam kasus kita sebut ruang solusi dan nilai tujuan optimum tidak terbatas. Solusi tidak terbatas hanya mengindikasikan satu hal, yaitu model myang dibangun salah. Mendapatkan keuntungan yang tidak terbatas misalnya tentunya tidak masuk akal. Salah satu yang paling umum yang menyebabkan solusi tidak terbatas adalah tidak memasukan pembatas yang bukan redundan pada model atau parameter (konstanta) beberapa pembatas tidak dihitung dengan benar.



DAFTAR PUSTAKA http://misranindustri.blogspot.com/2014/02/metode-simpleks_26.html https://www.academia.edu/11623031/METODE_BIG_M