22 0 72 KB
Rumus Euler Ingat kembali Deret Maclaurin ∞
f ( x )=∑ an ¿ ¿ dengan a n= n =0
f ( n) (x 0) n!
Menyebabkan f ( x )=e x =1+ x+
x2 x3 + +… 2! 3!
Misalkan x=ix , i x2 i x3 e =1+ ix+ + +… 2! 3 ! ix
x2 x4 x6 x 3 x5 x 7 e = 1− + − … + i x− + − … 2! 4! 6! 3 ! 5 ! 7! ix
(
) (
)
e i x =cosx+ isin x e i θ=cosθ +i sinθ Secara umum rumus Euler dapat didefinisikan e z =e x+ iy=e x ( cosy +i siny ) Sehingga bilangan kompleks z dapat ditulis dalam bentuk z=r ( cosθ +i sinθ )=ℜiθ Contoh : e iθ + e−iθ Buktikan bahwa cosθ= 2 Jawab : cosθ=
e iθ + e−iθ 2
Pembuktian dari ruas kanan,
e iθ =cosθ +i sinθ Jadi, eiθ +e−iθ ( cosθ+i sinθ ) +( cosθ−i sinθ) = 2 2 ¿ cos θ (Terbukti)
Pembuktian dari ruas kiri,
cosθ=
e iθ + e−iθ 2
e iθ =cosθ +i sinθ e−iθ =cosθ−i sinθ e iθ + e−iθ =2 cosθ cos θ=
eiθ +e−iθ (Terbukti) 2