![SMK Matematika Paket 11 Kalkulus PKB2019 DIKMEN [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/smk-matematika-paket-11-kalkulus-pkb2019-dikmen.jpg)
5 0 10 MB
Paket Unit Pembelajaran PROGRAM PENGEMBANGAN KEPROFESIAN BERKELANJUTAN (PKB) MELALUI PENINGKATAN KOMPETENSI PEMBELAJARAN (PKP) BERBASIS ZONASI MATA PELAJARAN MATEMATIKA SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN (SMK)
Kalkulus Penulis: Iwan Gunawan, M.Pd., M.PMat. Wahyu Purnama, S.Si., M.Pd. Dr. Joko Soebagyo, M.Pd. Penyunting: Iwan Gunawan, M.Pd., M.PMat. Desainer Grafis dan Ilustrator: TIM Desain Grafis
Copyright © 2019 Direktorat Pembinaan Guru Pendidikan Menengah dan Pendidikan Khusus Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang Dilarang mengopi sebagian atau keseluruhan isi buku ini untuk kepentingan komersial tanpa izin tertulis dari Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
Paket Unit Pembelajaran Kalkulus
KATA SAMBUTAN Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Saya menyambut baik terbitnya Paket Unit Pembelajaran dalam rangka pelaksanaan Program Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan (PKB) melalui Peningkatan Kompetensi Pembelajaran (PKP) Berbasis Zonasi. Peningkatan Kompetensi Pembelajaran merupakan salah satu upaya Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga
Kependidikan
(Ditjen
GTK)
dalam
meningkatkan
kualitas
pembelajaran yang berfokus pada upaya mencerdaskan peserta didik melalui pembelajaran berorientasi keterampilan berpikir tingkat tinggi. Program berbasis zonasi ini dilakukan mengingat luasnya wilayah Indonesia dan kualitas pendidikan yang belum merata, sehingga peningkatan pendidikan dapat berjalan secara masif, merata, dan tepat sasaran. Paket unit pembelajaran ini dikembangkan mengikuti arah kebijakan Kemendikbud yang menekankan pada pembelajaran berorientasi pada keterampilan berpikir tingkat tinggi atau higher order thinking skills (HOTS). Keterampilan berpikir tingkat tinggi adalah proses berpikir kompleks dalam menguraikan materi, membuat kesimpulan, membangun representasi, menganalisis, dan membangun hubungan dengan melibatkan aktivitas mental yang paling dasar. Sasaran Program PKB melalui PKP berbasis zonasi ini adalah seluruh guru di wilayah NKRI yang tergabung dalam komunitas guru sesuai bidang tugas yang diampu di wilayahnya masing-masing. Komunitas guru dimaksud meliputi kelompok kerja guru (KKG), Musyawarah Guru Mata Pelajaran (MGMP), dan Musyawarah Guru Bimbingan Konseling (MGBK).
iii
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Semoga Paket Unit Pembelajaran ini dapat digunakan dengan baik sebagaimana
mestinya
sehingga
dapat
menginspirasi
guru
dalam
mengembangkan materi dan melaksanakan proses pembelajaran yang berorientasi pada keterampilan berpikir tingkat tinggi yang bermuara pada meningkatnya kualitas lulusan peserta didik. Untuk itu, kami ucapkan terima kasih atas kerja keras dan kerja cerdas para penulis dan semua pihak terkait yang dapat mewujudkan Paket Unit Pembelajaran ini. Semoga Allah Swt. senantiasa meridai upaya yang kita lakukan. Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Jakarta, Juli 2019 Direktur Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan,
Dr. Supriano, M.Ed. NIP. 196208161991031001
iv
Paket Unit Pembelajaran Kalkulus
KATA PENGANTAR Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Puji syukur kita panjatkan ke hadirat Allah Swt., Tuhan YME, karena atas izin dan karunia-Nya Paket Unit Pembelajaran Program Pengembangan Keprofesian
Berkelanjutan
(PKB)
melalui
Peningkatan
Kompetensi
Pembelajaran (PKP) Berbasis Zonasi ini dapat diselesaikan. Paket Unit Pembelajaran ini disusun berdasarkan analisis Standar Kompetensi Lulusan, Standar Isi, Standar Proses, dan Standar Penilaian serta analisis Ujian Nasional (UN). Hasil UN tahun 2018 menunjukkan bahwa peserta didik masih lemah dalam keterampilan berpikir tingkat tinggi (higher order thinking skills) seperti menganalisis, mengevaluasi, dan mengkreasi. Hasil tersebut ternyata selaras dengan capaian PISA (Programme for International Student Assessment) maupun TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study). Oleh karena itu, perserta didik harus dibiasakan dengan pembelajaran dan soalsoal yang berorientasi kepada keterampilan berpikir tingkat tinggi agar meningkat kemampuan berpikir kritisnya. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan (Ditjen GTK), berupaya meningkatkan kualitas pembelajaran yang bermuara pada peningkatan kualitas lulusan peserta didik dengan Program Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan (PKB) melalui Peningkatan Kompetensi Pembelajaran (PKP) Berbasis Zonasi. Program ini dikembangkan dengan menekankan pembelajaran yang berorientasi pada keterampilan berpikir tingkat tinggi.
v
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Untuk meningkatkan efisiensi, efektivitas, dan pemerataan mutu pendidikan, maka pelaksanaan Program PKP dilakukan dengan mempertimbangkan aspek kewilayahan (Zonasi). Melalui zonasi ini, pengelolaan komunitas guru seperti Musyawarah Guru Mata Pelajaran (MGMP) SMA/SMK dan SLB, dan Musyawarah Guru Bimbingan Konseling (MGBK) dilaksanakan dengan memperhatikan keragaman mutu pendidikan. Kami ucapkan terima kasih dan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada seluruh tim penyusun yang berasal dari Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan (PPPPTK), Lembaga Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan bidang Kelautan dan Perikanan Teknologi Informasi dan Komunikasi (LPPPTK KPTK), Lembaga Penjaminan Mutu Pendidikan (LPMP), dan Perguruan Tinggi serta semua pihak yang telah berkontribusi dalam mewujudkan penyelesaian Paket Unit Pembelajaran ini. Semoga Allah Swt. senantiasa meridai upaya yang kita lakukan. Wassalamu’alaikum Warahmatulahi Wabarakatuh
Direktur Pembinaan Guru Pendidikan Menengah dan Pendidikan Khusus,
Ir. Sri Renani Pantjastuti, M.P.A. NIP. 196007091985032001
vi
Paket Unit Pembelajaran Kalkulus
DAFTAR ISI Hal KATA SAMBUTAN __________________________________ III KATA PENGANTAR __________________________________ V DAFTAR ISI _____________________________________ VII PENGANTAR PAKET UNIT PEMBELAJARAN ________________ 1 UNIT PEMBELAJARAN 1 LIMIT FUNGSI ALJABAR ___________ 3 UNIT PEMBELAJARAN 2 TURUNAN FUNGSI ALJABAR_______ 65 UNIT PEMBELAJARAN 3 APLIKASI TURUNAN PERTAMA ___ 119 UNIT PEMBELAJARAN 4 INTEGRAL TAK TENTU DAN TENTU _ 189 UNIT PEMBELAJARAN 5 LUAS DAERAH DAN VOLUME BENDA PUTAR _________________________________________ 255 PENUTUP _______________________________________ 295 DAFTAR PUSTAKA ________________________________ 297
vii
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
viii
Paket Unit Pembelajaran Kalkulus
PENGANTAR PAKET UNIT PEMBELAJARAN Paket unit Kalkulus disusun sebagai kumpulan sumber bahan ajar alternatif bagi guru yang tersusun atas Unit Limit Fungsi Aljabar, Turunan Fungsi Aljabar, Aplikasi Turunan Pertama, Integral Tak Tentu dan Tertentu, serta Luas Daerah dan Volume Benda Putar. Melalui bahan bacaan pada paket unit tersebut diharapkan guru mendapatkan tambahan pengetahuan untuk mengajarkan materi tersebut ke peserta didiknya sesuai capaian kompetensi dasar (KD), terutama dalam memfasilitasi kemampuan bernalar peserta didik. Selain itu, unit ini juga aplikatif bagi guru dan peserta didik agar dapat menerapkan dasar-dasar pengetahuan kalkulus dalam kehidupan sehari-hari. Paket unit kalkulus terdiri dari komponenen penting dalam dalam setiap unitnya
yaitu
kompetensi
dasar,
perumusan
indikator
pencapaian
kompetensi, aplikasi di dunia nyata, soal-soal tes UN/USBN, aktivitas pembelajaran,
lembar
kerja
peserta
didik
(LKPD),
bahan
bacaan,
pengembangan penilaian, kesimpulan dan umpan balik. Komponenkomponen di dalam setiap unit tersebut disesuaikan dengan topik kalkulus masing-masing dengan tujuan agar dapat dilihat kesesuaian dengan strategi pembelajaran yang digunakan.
1
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
LKPD pada setiap unit dikembangkan agar guru dapat memfasilitasi peserta didik untuk melatihkan kemampuan bernalar dan berketerampilan proses sain dengan mendayagunakan media yang sudah menjadi standar kelengkapan sekolah. LKPD tersebut disajikan melalui serangkaian aktivitas pembelajaran dengan menggunakan pendekatan saintifik dan model pembelajaran yang di rekomendasikan dalam Kurikulum 2013.
2
Unit Pembelajaran PROGRAM PENGEMBANGAN KEPROFESIAN BERKELANJUTAN (PKB) MELALUI PENINGKATAN KOMPETENSI PEMBELAJARAN (PKP) BERBASIS ZONASI MATA PELAJARAN MATEMATIKA SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN (SMK)
Limit Fungsi Aljabar Penulis: Iwan Gunawan, M.Pd., M.PMat. Penyunting: Dr. Joko Soebagyo, M.Pd. Desainer Grafis dan Ilustrator: TIM Desain Grafis
Copyright © 2019 Direktorat Pembinaan Guru Pendidikan Menengah dan Pendidikan Khusus Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang Dilarang mengopi sebagian atau keseluruhan isi buku ini untuk kepentingan komersial tanpa izin tertulis dari Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
Unit Pembelajaran Limit Fungsi Aljabar
DAFTAR ISI
Hal DAFTAR ISI ___________________________________ 5 DAFTAR GAMBAR_______________________________ 6 DAFTAR TABEL ________________________________ 6 PENDAHULUAN ________________________________ 7 KOMPETENSI DASAR DAN PERUMUSAN IPK __________ 8 A. Kompetensi Dasar dan Target Kompetensi ________________________________ 8 B. Indikator Pencapaian Kompetensi _________________________________________ 8 APLIKASI DI DUNIA NYATA _____________________ 10 A. Korosi Pada Kapal__________________________________________________________ 10 SOAL-SOAL UN/USBN __________________________ 12 A. Soal UN Limit Fungsi Aljabar ______________________________________________ 12 BAHAN PEMBELAJARAN ________________________ 16 A. Aktivitas Pembelajaran ____________________________________________________ 16 Aktivitas Pembelajaran ke-1 _____________________________________________________ 16 Aktivitas Pembelajaran ke-2 _____________________________________________________ 18 Aktivitas Pembelajaran ke-3 _____________________________________________________ 20 Aktivitas Pembelajaran ke-4 _____________________________________________________ 22
B. Lembar Kerja Peserta Didik _______________________________________________ 24 LKPD 1. Menjelaskan dan memahami konsep limit ____________________________ 24 LKPD 2. Menentukan nilai limit fungsi aljabar polinomial _____________________ 27 LKPD 3. Menentukan nilai limit fungsi aljabar pecahan________________________ 30 LKPD 4. Menyelesaikan masalah limit fungsi ___________________________________ 32
C. Bahan Bacaan ______________________________________________________________ 34 Memahami Konsep Limit _________________________________________________________ 34 Limit Fungsi Aljabar ______________________________________________________________ 39
PENGEMBANGAN PENILAIAN ____________________ 44
5
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
A. Pembahasan Soal-soal _____________________________________________________ 44 B. Pengembangan Soal HOTS _________________________________________________ 48 C. Refleksi Pembelajaran _____________________________________________________ 57 KESIMPULAN _________________________________ 58 UMPAN BALIK ________________________________ 60
DAFTAR GAMBAR
Hal Gambar 1 Korosi pada kapal _____________________________________________________ 11 Gambar 2 : Nilai fungsi pada saat 𝑥 mendekati 3_______________________________ 25 Gambar 3 : Nilai fungsi saat 𝑥 mendekati 1 _____________________________________ 26 Gambar 4. Augustin Louis Cauchy (1789-1857) _______________________________ 35 Gambar 5. Nilai fungsi saat 𝑥 mendekati 2 _____________________________________ 36 Gambar 6. Grafik fungsi pecahan ________________________________________________ 37 Gambar 7. Grafik fungsi diskontinu _____________________________________________ 38
DAFTAR TABEL
Hal Tabel 1 Nilai fungsi linear pada saat 𝑥 mendekati 3 ___________________________ 25 Tabel 2 Nilai fungsi pecahan pada saat 𝑥 mendekati 1 ________________________ 26 Tabel 4: Nilai fungsi linear pada saat 𝑥 mendekati 2 __________________________ 28 Tabel 5. Nilai fungsi kuadrat pada saat 𝑥 mendekati 4 ________________________ 28 Tabel 6: Nilai fungsi polinom pada saat 𝑥 mendekati 2 _______________________ 29 Tabel 7: Nilai fungsi pecahan pada saat 𝑥 mendekati 1________________________ 30
6
Unit Pembelajaran Limit Fungsi Aljabar
PENDAHULUAN
Unit limit fungsi aljabar merupakan salah satu unit dari unit-unit yang ada dalam materi matematika SMK. Unit ini disajikan untuk membantu saudara dalam memberikan pemahaman kepada peserta didik untuk topik limit khususnya limit fungsi aljabar. Unit limit fungsi aljabar disajikan dengan terlebih dahulu menganalisis kompetensi dasar yang harus dicapai berdasarkan amanat Perdirjen 464. Berdasarkan kompetensi dasar inilah selanjutnya dikembangkan dengan menentukan indikator yang mencirikan dari kompetensi dasar tersebut. Dengan mengacu pada indikator tersebut, kemudian disinkronisasi dengan soal-soal UN yang keluar pada tiga tahun terakhir. Soal UN dianalisis mulai dari tahun keluarnya soal, tingkat kognitif soal, materi yang berkaitan dengan soal, serta indikator dari komptensi dasar. Istilah limit
digunakan untuk menunjukkan sesuatu yang tidak dapat
dijangkau secara langsung, namun hanya dapat didekati sedekat-dekatnya. Dalam bahasa matematika terdapat suatu kondisi fungsi pada titik tertentu tidak kontinu, namun nilai-nilai disekitar titik-titik tersebut masih dapat ditentukan. Untuk menentukan nilai pada titik-titik yang mendekati titik tidak kontinu tersebut maka digunakan istilah limit.
7
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
KOMPETENSI DASAR DAN PERUMUSAN IPK
A. Kompetensi Dasar dan Target Kompetensi Sub unit pembelajaran ini dikembangkan berdasarkan Kompetensi Dasar kelas XII: Kompetensi Dasar
Target Kompetensi
Kelas
3.30 Menentukan nilai limit fungsi 1. Menentukan nilai limit XII aljabar
fungsi aljabar
4.30 Menyelesaikan masalah yang 1. Memecahkan
masalah XII
berkaitan dengan limit fungsi
yang berkaitan dengan
aljabar
limit fungsi aljabar
B. Indikator Pencapaian Kompetensi IDIKATOR PENCAPAIAN
INDIKATOR PENCAPAIAN
KOMPETENSI (IPK)
KOMPETENSI (IPK)
PENGETAHUAN
KETERAMPILAN
3.30 Menentukan nilai limit fungsi 4.30 Menyelesaikan masalah yang aljabar
berkaitan dengan limit fungsi aljabar
IPK Pendukung 3.30.1 Menjelaskan
IPK Pendukung konsep
limit 4.30.1
fungsi 3.30.2 Memahami fungsi
8
Mengidentifikasi
masalah
yang berkaitan dengan limit konsep
limit
fungsi aljabar
Unit Pembelajaran Limit Fungsi Aljabar
IPK Kunci
IPK Kunci
3.30.3 Menentukan nilai limit fungsi 4.30.2 Menyelesaikan masalah yang polinomial 3.30.4 Menentukan
berkaitan nilai
fungsi
aljabar fungsi pecahan IPK Pengayaan 3.30.5 Menganalisis masalah limit fungsi aljabar
dengan
limit
fungsi pecahan IPK Pengayaan 4.30.3 Memecahkan masalah yang berkaitan fungsi
dengan aljabar
limit bentuk
pecahan
9
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
APLIKASI DI DUNIA NYATA
A. Korosi Pada Kapal Matematika merupakan ilmu yang tidak bisa lepas dari kehidupan sehari-hari. Semua konsep dalam matematika pasti terkait dengan kondisi kehidupan sehari-hari. Limit merupakan salah satu konsep dalam matematika yang erat hubungannya dengan kehidupan sehari hari. Limit merupakan suatu istilah dalam matematika untuk mewakili pemahaman tentang “mendekati”, mencari nilai yang mendekati pada nilai yang ingin dicapai namun tidak dapat dicapai. Salah satu contoh pemanfaatan konsep limit dalam kehidupan sehari hari seperti tampak pada gambar 1. Gambar tersebut memperlihatkan gambar sebuah kapal yang sudah sedikit berkarat. Kapal sebagian besar bahan bakunya berasal dari besi. Ketika kapal itu berlayar dilautan, maka akan terjadi gesekan air laut dengan badan kapal yang terbuat dari besi. Karena air laut mengandung garam maka ketika bergesekan dengan kapal akan mengakibatkan berkurangnya kekuatan kapal tersebut yang diakibatkan adanya pengkaratan atau korosi. Ketahanan kapal tersebut terhadap korosi tidak dapat ditentukan dengan pasti. Hanya dapat diperkirakan mendekati kepastian. Menghitung lama ketahanan kapal dalam menghadapi pengkaratan itu dapat menggunakan konsep limit.
10
Unit Pembelajaran Limit Fungsi Aljabar
Gambar 1 Korosi pada kapal Sumber: www.gambar.com
11
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
SOAL-SOAL UN/USBN
Bagian Soal-soal UN/USBN menyajikan soal-soal yang dianalisis sesuai dengan kompetensi dasar dan indikator dari kompetensi dasar. Diharapkan soal-soal yang disajikan ini dapat menjadi standar dalam membuat soal-soal latihan yang setingkat level kognitifnya. Dan dapat pula dijadikan prediksi dalam menghadapi UN tahun berikutnya.
A. Soal UN Limit Fungsi Aljabar Berikut merupakan contoh soal Ujian Nasional yang berkaitan dengan topik limit fungsi aljabar. Soal ini sesuai dengan Kompetensi Dasar 3.30 menentukan limit fungsi aljabar (perdirjen 464 tahun 2018). Soal soal ini dapat dijadikan sebagai bahan pembelajaran untuk saudara ajarkan kepada peserta didik dan dijadikan bahan latihan dengan mengembangkan soal sejenis. a. Soal UN tahun 2019 No.
1
Soal UN Tahun 2019 Nilai Nilai lim
𝑥−4
𝑥→4 𝑥 2 −2𝑥−8
A. B. C. D. E.
adalah ….
0 1/6 ½ 1
Identifikasi Kelas / Semester
:
XII/1
Level Kognitif
:
C3
12
Unit Pembelajaran Limit Fungsi Aljabar
Indikator
yang :
bersesuaian
Menentukan nilai limit fungsi aljabar bentuk pecahan
Diketahui
:
Limit fungsi aljabar bentuk pecahan
Ditanyakan
:
Nilai limit fungsi aljabar bentuk pecahan
Materi yang dibutuhkan
:
Limit Fungsi Aljabar
No.
2
Soal UN Tahun 2019
Nilai dari lim (√3𝑥 + 2 − √3𝑥 + 3) adalah …. 𝑥→∞
A. B. C. D. E.
−∞ −1 1 − 6 √3 0 5
Identifikasi Kelas / Semester
:
XII/1
Level Kognitif
:
C3
Indikator yang
:
Menentukan nilai limit fungsi aljabar
Diketahui
:
Limit fungsi aljabar
Ditanyakan
:
Nilai limit fungsi aljabar
Materi yang dibutuhkan
:
Limit Fungsi Aljabar
bersesuaian
13
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
b. Soal UN tahun 2018 No.
1
Soal UN Tahun 2018 2𝑥 2 −7𝑥−4 𝑥→4 3𝑥−12
Nilai dari lim
=⋯
A. -3
D. 3
B. -1
E. 9
C. 1 Identifikasi Kelas / Semester
:
XII/1
Level Kognitif
:
C3
Indikator yang
:
Menentukan nilai limit fungsi aljabar
bersesuaian
bentuk pecahan
Diketahui
:
Limit fungsi aljabar bentuk pecahan
Ditanyakan
:
Nilai limit fungsi aljabar bentuk pecahan
Materi yang dibutuhkan
:
Limit Fungsi Aljabar
c. Soal UN tahun 2017 No.
2
Soal UN Tahun 2017 𝑥 2 +2𝑥−15 𝑥+5 𝑥→−5
Nilai dari lim A. 3
D. -6
B. 0
E. -8
C. -3
14
=⋯
Unit Pembelajaran Limit Fungsi Aljabar
Identifikasi Kelas / Semester
:
XII/1
Level Kognitif
:
C3
Indikator yang
:
Menentukan nilai limit fungsi aljabar
bersesuaian
bentuk pecahan
Diketahui
:
Limit fungsi aljabar bentuk pecahan
Ditanyakan
:
Nilai limit fungsi aljabar bentuk pecahan
Materi yang dibutuhkan
:
Limit Fungsi Aljabar
d. Soal UN tahun 2016 No.
3
Soal UN Tahun 2016 𝑥−1
Nilai dari lim 𝑥 2 −3𝑥+2 = ⋯ 𝑥→1
A. -3
D. 1
B. -1
E. 2
C. 0 Identifikasi Kelas / Semester
:
XII/1
Level Kognitif
:
C3
Indikator yang
:
Menentukan nilai limit fungsi aljabar
bersesuaian
bentuk pecahan
Diketahui
:
Limit fungsi aljabar bentuk pecahan
Ditanyakan
:
Nilai limit fungsi aljabar bentuk pecahan
Materi yang dibutuhkan
:
Limit Fungsi Aljabar
15
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
BAHAN PEMBELAJARAN
Bahan pembelajaran yang disajikan dalam unit pembelajaran ini merupakan panduan bagi saudara dalam melaksanakan pembelajaran untuk topik limit fungsi aljabar. Unit pembelajaran ini dikembangkan untuk membantu saudara dalam membelajarkan peserta didik agar terjadi pembelajaran yang terpusat pada peserta didik dan berusaha memfasilitasi kemampuan berpikir tingkat tinggi. Bahan pembelajaran ini meliputi aktivitas pembelajaran dan lembar kegiatan peserta didik yang dilengkapi dengan bahan bacaan.
A. Aktivitas Pembelajaran Aktivitas pembelajaran ini merupakan rincian pelaksanaan pembelajaran yang ditawarkan menjadi salah satu alternatif aktivitas pembelajaran yang dapat
diimplementasikan
oleh
saudara
ketika
akan
melaksanakan
pembelajaran pada topik limit fungsi aljabar.
Aktivitas Pembelajaran ke-1 Aktivitas pembelajaran kali ini akan mempelajari topik limit fungsi aljabar. Sebagai langkah awal peserta didik diperkenalkan dengan konsep limit dalam kehidupan sehari-hari. Apabila kita memandang jalan raya yang lurus, melihat kendaraan yang melintas bergerak semakin jauh dan semakin kecil. Hal ini menunjukkan bahwa pandangan kita terbatas. Kita sering mendengar kata “hampir pada ambang batas” kata tersebut dalam matematika disebut sebagai istilah limit. Aktivitas pembelajaran ini akan mencapai indikator 3.30.1 dan 3.30.2 yang dilakukan dengan model pembelajaran saintifik dengan langkah-langkah pembelajarannya sebagai
berikut:
1) mengamati; 2) menanya; 3)
mengumpulkan informasi; 4) mengasosiasi; 5) mengomunikasikan.
16
Unit Pembelajaran Limit Fungsi Aljabar
Menjelaskan dan memahami konsep limit fungsi Tujuan aktivitas pembelajaran ke-1 Setelah melakukan aktivitas pembelajaran ke-1, ini diharapkan peserta didik mampu: a. Menjelaskan konsep limit dalam kehidupan sehari-hari b. Memahami konsep limit fungsi Estimasi waktu aktivitas pembelajaran 6 x 45 menit. Kegiatan yang saudara lakukan: a. Memberikan stimulus dan mengingatkan pendidikan karakter seperti berdoa, dan mengajarkan bersikap yang baik, jujur, bertanggungjawab, disiplin dan pantang menyerah. b. Membagikan LKPD 1, kemudian memberikan penjelasan mengenai tata cara mengisi LKPD 1 c. Memberikan satu contoh ilustrasi tentang konsep limit dalam kehidupan sehari-hari d. Menginstruksikan peserta didik untuk mengamati fenomena-fenomena alam dan kejadian sehari-hari yang mengilustrasikan konsep limit seperti contoh yang telah diberikan sebelumnya e. Memfasilitasi peserta didik untuk bertanya atau memberikan pendapat terhadap hasil pengamatan fenomena-fenomena alam dan kejadian seharihari yang mengilustrasikan konsep limit. f. Menginstruksikan peserta didik untuk menuliskan hasil pengamatan fenomena-fenomena alam dan kejadian yang mengilustrasikan konsep limit. g. Menginstruksikan peserta didik untuk mengamati dua contoh masalah yang diberikan pada LKPD 1. (mengamati)
17
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
h. Membagi peserta didik ke dalam kelompok yang beranggotakan 4-5 orang i.
Memfasilitasi peserta didik untuk berpendapat mengenai dua masalah yang diberikan pada LKPD 1, dan menuliskan hasil pengamatannya dalam LKPD 1. Peserta didik dapat mengakses pengetahuan barunya melalui kegiatan membaca dari hasil brosing di internet, atau modul yang disediakan, atau sumber-sumber terkait yang berhubungan dengan permasalahan. (Mengumpulkan informasi)
j.
Mendiskusikan hasil belajar yang telah ditulis pada LKPD 1, kemudian mengkonfirmasi dan menyepakati hasil diskusi, dan peserta didik memperbaiki hasil kesepakatannya dalam LKPD 1. (menanya dan mengasosiasi)
k. Memfasilitasi peserta didik perwakilan dari setiap kelompok untuk mempresentasikan hasil pengamatan dan diskusinya di depan kelas. (mengomunikasikan)
Aktivitas Pembelajaran ke-2 Aktivitas pembelajaran ke-2 ini akan mencapai indikator 3.30.3, yaitu menentukan nilai limit fungsi polinomial yang dilakukan dengan pendekatan pembelajaran saintifik. Adapun langkah-langkah aktivitas nya meliputi aktivitas 1) mengamati; 2) menanya; 3) mengumpulkan informasi; 4) mengasosiasi; 5) mengomunikasikan. Menghitung nilai limit fungsi polinomial Tujuan aktivitas pembelajaran a. Mampu menentukan nilai limit fungsi linear b. Mampu menentukan nilai limit fungsi kuadrat c. Mampu menentukan nilai limit fungsi polinom
18
Unit Pembelajaran Limit Fungsi Aljabar
Aktivitas pembelajaran disusun menggunakan model pembelajaran Discovery Learning dengan estimasi waktu 6 x 45 Menit. Kegiatan yang saudara lakukan: a. Membagikan LKPD 2, kemudian memberikan penjelasan mengenai tata cara mengisi LKPD 2. Tahap Stimulation (Pemberian Rangsangan) b. Saudara memberikan motivasi kepada peserta didik dengan memberikan penguatan pendidikan karakter baik dalam bentuk cerita atau ajakan melakukan perbuatan yang berkarakter baik. Selanjutnya mengajak peserta didik mengamati permasalahan dari soal yang diberikan pada LKPD 2. (Mengamati) c. Memfasilitasi peserta didik untuk bertanya atau memberikan pendapat terhadap hasil pengamatan soal yang diberikan. (bertanya) Tahap Problem Statement (Identifikasi masalah) d. Meminta peserta didik untuk menuliskan hasil pengamatan soal dalam LKPD 2 terkait dengan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan dari soal dan kondisi penting apa yang menjadi kata kunci untuk menyelesaikan masalah pada soal tersebut. e. Membagi peserta didik ke dalam kelompok yang beranggotakan 4-5 orang Tahap Data Collection (Pengumpulan data) f. Menginstruksikan peserta didik untuk menggali informasi agar dapat menyelesaikan soal yang telah diidentifikasi sebelumnya, materi terkait soal, mencari tahu prosedur penyelesaian. Peserta didik dapat mengakses pengetahuan barunya melalui kegiatan membaca dari hasil brosing di internet, modul yang disediakan, atau sumber-sumber terkait yang berhubungan dengan permasalahan. (Mengumpulkan informasi) Tahap Verification (Pembuktian)
19
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
g. Peserta didik menyelesaikan soal yang telah diidentifikasi, dan mencoba saling mengecek dengan sesama anggota kelompoknya Tahap Generalization (Kesimpulan) h. Menginstruksikan peserta didik untuk menuliskan penyelesaian soal dalam LKPD 2 i.
Memfasilitasi peserta didik perwakilan dari setiap kelompok untuk mempresentasikan hasil pengamatan dan diskusinya di depan kelas. (mengomunikasikan)
Aktivitas Pembelajaran ke-3 Aktivitas pembelajaran ke-3 ini untuk mencapai indikator 3.30.4, yaitu menentukan nilai limit fungsi pecahan yang dilakukan dengan pendekatan pembelajaran saintifik. Adapun langkah-langkah aktivitas nya meliputi aktivitas 1) mengamati; 2) menanya; 3) mengumpulkan informasi; 4) mengasosiasi; 5) mengomunikasikan. Menghitung nilai limit fungsi polinomial Tujuan aktivitas pembelajaran a. Mampu menentukan nilai limit fungsi pecahan b. Mampu menyelesaikan masalah limit fungsi aljabar Aktivitas pembelajaran disusun menggunakan model pembelajaran Discovery Learning dengan estimasi waktu 6 x 45 Menit. Kegiatan yang saudara lakukan: a. Membagikan LKPD 3, kemudian memberikan penjelasan mengenai tata cara mengisi LKPD 3. Tahap Stimulation (Pemberian Rangsangan)
20
Unit Pembelajaran Limit Fungsi Aljabar
b. Saudara memberikan motivasi kepada peserta didik dengan memberikan penguatan pendidikan karakter baik dalam bentuk cerita atau ajakan melakukan perbuatan yang berkarakter baik. Selanjutnya mengajak peserta didik untuk mengamati permasalahan dari soal yang diberikan pada LKPD 3. (Mengamati) c. Memfasilitasi peserta didik untuk bertanya atau memberikan pendapat terhadap hasil pengamatan soal yang diberikan. (bertanya) Tahap Problem Statement (Identifikasi masalah) d. Meminta peserta didik untuk menuliskan hasil pengamatan soal dalam LKPD 3 terkait dengan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan dari soal dan kondisi penting apa yang menjadi kata kunci untuk menyelesaikan masalah pada soal tersebut. e. Membagi peserta didik ke dalam kelompok yang beranggotakan 4-5 orang Tahap Data Collection (Pengumpulan data) f. Menginstruksikan peserta didik untuk menggali informasi agar dapat menyelesaikan soal yang telah diidentifikasi sebelumnya, materi terkait soal, mencari tahu prosedur penyelesaian. Peserta didik dapat mengakses pengetahuan barunya melalui kegiatan membaca dari hasil brosing di internet, modul yang disediakan, atau sumber-sumber terkait yang berhubungan dengan permasalahan. (Mengumpulkan informasi) Tahap Verification (Pembuktian) g. Peserta didik menyelesaikan soal yang telah diidentifikasi, dan mencoba saling mengecek dengan sesama anggota kelompoknya Tahap Generalization (Kesimpulan) h. Menginstruksikan peserta didik untuk menuliskan penyelesaian soal dalam LKPD 3
21
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
i.
Memfasilitasi peserta didik perwakilan dari setiap kelompok untuk mempresentasikan hasil pengamatan dan diskusinya di depan kelas. (mengomunikasikan)
Aktivitas Pembelajaran ke-4 Aktivitas pembelajaran ke-3 ini untuk mencapai indikator 3.30.5, yaitu menganalisis masalah limit fungsi
yang dilakukan dengan pendekatan
pembelajaran saintifik. Adapun langkah-langkah aktivitas nya meliputi aktivitas 1) mengamati; 2) menanya; 3) mengumpulkan informasi; 4) mengasosiasi; 5) mengomunikasikan. Menganalisis masalah limit fungsi Tujuan aktivitas pembelajaran a. Mampu menyelesaikan masalah limit fungsi aljabar
Aktivitas pembelajaran disusun menggunakan model pembelajaran Discovery Learning dengan estimasi waktu 6 x 45 Menit. Kegiatan yang saudara lakukan: a. Membagikan LKPD 4, kemudian memberikan penjelasan mengenai tata cara mengisi LKPD 4. Tahap Stimulation (Pemberian Rangsangan) b. Saudara memberikan motivasi kepada peserta didik dengan memberikan penguatan pendidikan karakter baik dalam bentuk cerita atau ajakan melakukan perbuatan yang berkarakter baik. Selanjutnya mengajak peserta didik untuk mengamati permasalahan dari soal yang diberikan pada LKPD 4. (Mengamati)
22
Unit Pembelajaran Limit Fungsi Aljabar
c. Memfasilitasi peserta didik untuk bertanya atau memberikan pendapat terhadap hasil pengamatan soal yang diberikan. (bertanya) Tahap Problem Statement (Identifikasi masalah) d. Meminta peserta didik untuk menuliskan hasil pengamatan soal dalam LKPD 4 terkait dengan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan dari soal dan kondisi penting apa yang menjadi kata kunci untuk menyelesaikan masalah pada soal tersebut. e. Membagi peserta didik ke dalam kelompok yang beranggotakan 4-5 orang Tahap Data Collection (Pengumpulan data) f. Menginstruksikan peserta didik untuk menggali informasi agar dapat menyelesaikan soal yang telah diidentifikasi sebelumnya, materi terkait soal, mencari tahu prosedur penyelesaian. Peserta didik dapat mengakses pengetahuan barunya melalui kegiatan membaca dari hasil brosing di internet, modul yang disediakan, atau sumber-sumber terkait yang berhubungan dengan permasalahan. (Mengumpulkan informasi) Tahap Verification (Pembuktian) g. Peserta didik menyelesaikan soal yang telah diidentifikasi, dan mencoba saling mengecek dengan sesama anggota kelompoknya. Tahap Generalization (Kesimpulan) h. Menginstruksikan peserta didik untuk menuliskan penyelesaian soal dalam LKPD 4 i.
Memfasilitasi peserta didik perwakilan dari setiap kelompok untuk mempresentasikan hasil pengamatan dan diskusinya di depan kelas. (mengomunikasikan)
23
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
B. Lembar Kerja Peserta Didik Berikut ini Lembar Kerja Peserta didik yang digunakan dalam aktivitas pembelajaran, yaitu 1) LKPD 1. Menjelaskan dan memahami konsep limit; 2) LKPD 2. Menentukan nilai limit fungsi aljabar bentuk polinom; 3) LKPD 3. Menentukan limit fungsi aljabar bentuk pecahan, dan 4) LKPD 4. Menyelesaikan masalah limit fungsi aljabar.
LKPD 1. Menjelaskan dan memahami konsep limit Tujuan: Menemukan konsep limit dan memahami konsep limit Prosedur kegiatan 1. kamu perhatikan contoh peristiwa berikut, proses berkaratnya besi kapal yang diakibatkan oleh gesekan air laut yang asin, tidak dapat ditentukan secara pasti, namun kita dapat memperkirakan waktu tersebut misalkan sekitar 6 bulan. Padahal tidak pasti 6 bulan. 2. Buatlah peristiwa fenomena dalam kehidupan sehari hari yang mirip dengan peristiwa pada contoh di atas. ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................
24
Unit Pembelajaran Limit Fungsi Aljabar
3. Amatilah
fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 untuk 𝑥 ∈ 𝑅. Kita tentukan nilai
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 pada saat 𝑥 mendekati 3 dengan memisalkan 𝑦 = 𝑓(𝑥) Tabel 1 Nilai fungsi linear pada saat 𝑥 mendekati 3 𝑥
2
2,5
...
....
2,99
2,999
...
3
...
3,001
....
3,1
....
3,8
4
𝑦
4
4,5
....
.....
4,99
4,999
...
...
...
5,001
....
5,1
....
....
6
Perhatikan sketsa grafik berikut:
Gambar 2 : Nilai fungsi pada saat 𝑥 mendekati 3
25
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Tuliskan hasil pengamatannya; a. ...................................................................................................................... b. ....................................................................................................................... c. ........................................................................................................................ Secara matematis, nilai-nilai fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 mendekati 5 pada saat 𝑥 mendekati 3. Hal ini ditulis 𝐥𝐢𝐦(𝑥 + 2) = 5 𝑥→3
4. Amatilah
fungsi 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 −1 𝑥−1
untuk 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 ≠ 1. Kita tentukan nilai
𝑓(𝑥)pada saat 𝑥 mendekati 1 dengan memisalkan 𝑦 = 𝑓(𝑥) Tabel 2 Nilai fungsi pecahan pada saat 𝑥 mendekati 1 𝑥
0
0,5
...
....
0,99
0,999
...
1
...
1,001
....
1,1
....
1,8
2
𝑦
1
1,5
....
.....
1,99
1,999
...
...
...
2,001
....
2,1
....
....
3
Perhatikan sketsa grafik berikut:
Gambar 3 : Nilai fungsi saat 𝑥 mendekati 1
26
Unit Pembelajaran Limit Fungsi Aljabar
Tuliskan hasil pengamatannya; a. ...................................................................................................................... b. ....................................................................................................................... c. ........................................................................................................................ d. ........................................................................................................................ Secara matematis, nilai-nilai fungsi (𝑥) = mendekati 1. Hal ini ditulis 𝐥𝐢𝐦 𝑥→1
(𝑥 2 −1) 𝑥−1
𝑥 2 −1 𝑥−1
mendekati 2 pada saat 𝑥
=2
LKPD 2. Menentukan nilai limit fungsi aljabar polinomial Tujuan: a. Mampu menentukan nilai limit fungsi linear b. Mampu menentukan nilai limit fungsi kuadrat c. Mampu menentukan nilai limit fungsi polinom Prosedur kegiatan 1. Kalian perhatikan soal berikut : a. Tentukan nilai dari lim 5𝑥 − 3 𝑥→2
b. Tentukan nilai dari lim 2𝑥 2 + 3𝑥 − 5 𝑥→4
c. Tentukan nilai dari lim 𝑥 4 − 𝑥 2 + 5𝑥 − 4 𝑥→2
27
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
2. Amatilah
fungsi 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 3 untuk 𝑥 ∈ 𝑅. Kita tentukan nilai
𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 3 pada saat 𝑥 mendekati 2 dengan memisalkan 𝑦 = 𝑓(𝑥) Tabel 3: Nilai fungsi linear pada saat 𝑥 mendekati 2 𝑥
1
1,5
...
....
1,99
1,999
...
2
...
2,001
....
2,1
....
2,8
3
𝑦
2
4,5
....
.....
6,95
6,995
...
...
...
7,005
....
7,5
....
....
12
Tuliskan hasil pengamatannya; a. ...................................................................................................................... b. ....................................................................................................................... c. ........................................................................................................................ d. ........................................................................................................................ Secara matematika, nilai-nilai fungsi 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 3 mendekati 7 pada saat 𝑥 mendekati 2. Hal ini ditulis 𝐥𝐢𝐦(5𝑥 − 3) = 7 𝑥→2
3. Amatilah fungsi 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 + 3𝑥 − 5 untuk 𝑥 ∈ 𝑅. Kita tentukan nilai 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 + 3𝑥 − 5 pada saat 𝑥 mendekati 4 dengan memisalkan 𝑦 = 𝑓(𝑥) Tabel 4. Nilai fungsi kuadrat pada saat 𝑥 mendekati 4
28
𝑥
3
3,5
...
....
3,99
3,999
...
4
..
4,001
...
4,1
...
4,8
5
𝑦
31
30
....
.....
38,810
38,98
...
...
..
44,01
...
40,9
....
....
60
Unit Pembelajaran Limit Fungsi Aljabar
Tuliskan hasil pengamatannya; a. ...................................................................................................................... b. ....................................................................................................................... c. ........................................................................................................................ d. ........................................................................................................................ Secara matematika, nilai-nilai fungsi 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 + 3𝑥 − 5 mendekati 39 pada saat 𝑥 mendekati 4. Hal ini ditulis lim 2𝑥 2 + 3𝑥 − 5 𝑥→4
4. Amatilah fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 2 + 5𝑥 − 4 untuk 𝑥 ∈ 𝑅. Kita tentukan nilai 𝑓(𝑥) pada saat 𝑥 mendekati 2 dengan memisalkan 𝑦 = 𝑓(𝑥) Tabel 5: Nilai fungsi polinom pada saat 𝑥 mendekati 2 𝑥
1
1,5
...
....
1,99
1,999
...
2
...
2,001
....
2,1
....
2,8
3
𝑦
1
6,31
....
.....
17,6
17,9
...
...
...
18,03
....
21,5
....
....
83
Tuliskan hasil pengamatannya; a. ...................................................................................................................... b. ....................................................................................................................... c. ........................................................................................................................ d. ........................................................................................................................ Secara matematika, nilai-nilai fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 2 + 5𝑥 − 4 mendekati 18 pada saat 𝑥 mendekati 2. Hal ini ditulis
lim 𝑥 4 − 𝑥 2 + 5𝑥 − 4 = 18
𝑥→2
29
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
5. Apa yang dapat kalian simpulkan dari poin 2, 3, dan 4 a. ..................................................................................................................................................... b. ................................................................................................................................................... c. ...................................................................................................................................................
LKPD 3. Menentukan nilai limit fungsi aljabar pecahan Tujuan: a. Mampu menentukan nilai limit fungsi aljabar pecahan Prosedur kegiatan 1. Kalian perhatikan soal berikut : a. Tentukan nilai dari lim
𝑥 2 +4𝑥−5 𝑥−1
𝑥→1
2. Amatilah 𝑓(𝑥) =
fungsi 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 +4𝑥−5 𝑥−1
𝑥 2 +4𝑥−5 𝑥−1
, 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 ≠ 1. Kita tentukan nilai
pada saat 𝑥 mendekati 1 dengan memisalkan 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Tabel 6: Nilai fungsi pecahan pada saat 𝑥 mendekati 1
30
𝑥
0
0,5
...
....
0,99
0,999
...
1
...
1,001
....
1,1
....
1,8
2
𝑦
5
5,5
....
.....
5,99
5,999
...
...
...
6,001
....
6,1
....
6,8
7
Unit Pembelajaran Limit Fungsi Aljabar
Tuliskan hasil pengamatannya; a. ...................................................................................................................... b. ....................................................................................................................... c. ........................................................................................................................ d. ........................................................................................................................ 3. Gunakan software geogebra atau sejenisnya untuk menggambar grafik fungsi 𝑓(𝑥) = berikut
𝑥 2 +4𝑥−5 𝑥−1
kemudian salin grafik tersebut pada kolom
4. Perhatikan grafik tersebut pada saat 𝑥 = 1, dan pada saat 𝑥 mendekati satu dari kiri dan dari kanan, tuliskan hasil pengamatannya a. ...................................................................................................................... b. ....................................................................................................................... c. ........................................................................................................................ 5. Berdasarkan hasil pengamatan dari tabel 6 dan sketsa grafik, maka nilai lim
𝑥→1
𝑥 2 +4𝑥−5 𝑥−1
adalah.......
6. Lengkapi langkah-langkah menyelesaikan soal tersebut secara aljabar
31
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
𝑥 2 + 4𝑥 − 5 (𝑥 − ⋯ )(𝑥 + ⋯ ) = lim 𝑥→1 𝑥→1 𝑥−1 𝑥−1 lim
= lim(𝑥 + ⋯ ) = ⋯
Jadi nilai lim
𝑥→1 𝑥 2 +4𝑥−5
𝑥→1
𝑥−1
adalah .....
LKPD 4. Menyelesaikan masalah limit fungsi Tujuan : a. Mampu menyelesaikan masalah limit fungsi prosedur kegiatan 1. Kalian perhatikan masalah berikut ini, Sebuah garis 𝑦 − 2𝑥 − 3 = 0 menyinggung kurva 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑥 + 2. a. coba kalian tunjukkan koordinat pendekatan kedua kurva (titik singgung). Gunakan strategi numerik untuk mendapatkannya! b. Carilah metode lain untuk mendapatkan titik singgung tersebut! c. Sketsalah permasalahan tersebut! 2. Berdasarkan soal tersebut, kalian tuliskan hal-hal yang diketahui, dan ditanyakan jika perlu tuliskan model matematikanya pada kolom berikut; .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................
32
Unit Pembelajaran Limit Fungsi Aljabar
3. Diskusikan dengan teman-teman sekelompok cara menyelesaikan masalah pada soal poin 1, lalu tuliskan hasil diskusi kalian pada kolom berikut; ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................
4. Tuliskan dengan rapi penyelesaian soal tersebut pada kolom berikut; ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................
5. Berikan kesimpulan dari hasil pembelajaran kalian ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................
33
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
C. Bahan Bacaan Memahami Konsep Limit Konsep limit merupakan konsep yang terkenal dalam matematika dan termasuk dalam kajian pada kalkulus. Augustin Louis Cauchy (1789-1857) merupakan salah seorang ilmuan dari Perancis yang ikut berjasa dalam menyumbangkan ide-idenya dalam kalkulus. Cauchy, begitu nama yang sering didengar dikalangan para ilmuan. Beliau dilahirkan di Perancis, dan bersama para ilmuan yang lain sepert Gauss, Abel, Bolzano telah mengembangkan kalkulus. Cauchy sangat berjasa dalam mengembangkan definisi konsep limit secara formal dan fundamental. Terdapat sebuah paradox yang dikemukakan oleh Zeno (495-435 SM) berkaitan dengan konsep limit ini. Paradox ini sering disebut paradox Zeno. Dalam paradox ini diceritakan tentang kisah Achilles seorang pahlawan perang Troya yang terkenal sebagai pelari yang tangguh. Suatu ketika Achilles ini berlomba lari dengan seekor kura-kura. Dalam lomba tersebut strat lomba untuk Archilles dan kura-kura berbeda, posisi Archiles berada di posisi start, namun kura-kura berada sudah jauh di depan dari posisi start. Ketika Archilles berada pada posisi 1 km dari strat, posisi kura-kura sudah berada pada posisi 1,5 km, mereka terus berlari dan ketika posisi archilles pada posisi 1,5 km, posisi kura-kura berada pada posisi 1,75, kemudian ketika Archilles berada pada posisi 1,75 km maka posisi kura-kura berada pada posisi 1,875 km, dan seterusnya. Sehingga timbul pertanyaan kapan Archiles dapat menyusul kurakura? Nah, jika kegiatan ini dilanjutkan terus, maka Archiless bagaimanapun tidak akan pernah dapat menyusul kura-kura tersebut, ini aneh bukan? Maka paradox Zeno ini dijadikan landasan awal untuk memunculkan ide limit fungsi.
34
Unit Pembelajaran Limit Fungsi Aljabar
Gambar 4. Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
Mari kita perhatikan fungsi berikut, 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 untuk 𝑥 ∈ 𝑅, kemudian kita cari nilai 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 pada saat 𝑥 mendekati 2. Cara nya terlebih dahulu kita misalkan 𝑦 = 𝑓(𝑥). Untuk mempermudah penyajian kita sajikan dalam tabel berikut 1
1,5 1,7 1,99 1,999 ...
2
...
2,001 2,01 2,1 2,3 2,9 3
𝑦 2
2,5 2,7 2,99 2,999 ...
?
...
3,001 3,01 3,1 3,3 3,9 4
𝑥
35
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Selanjutnya kita coba buatkan dalam sketsa grafik
Gambar 5. Nilai fungsi saat 𝑥 mendekati 2
Selanjutnya kita amati tabel dan sketsa grafik di atas, maka ada beberapa hal yang bisa kita katakan a. karena 𝑥 bilangan real, maka terdapat tak berhingga bilangan real yang mendekati 2 b. karena 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 merupakan sebuah fungsi maka setiap pasangan di sumbu 𝑥 mempunyai pasangan di sumbu 𝑦 c. perhatikan setiap 𝑥 mendekati 2 maka nilai fungsi 𝑓 mendekati 3
36
Unit Pembelajaran Limit Fungsi Aljabar
d. setiap 𝑥 yang mendekati 2 baik dari kiri maupun dari kanan, menghasilkan nilai fungsi yang sama mendekati 3 baik dari kiri maupun dari kanan. Dalam konsep matematika jika nilai-nilai fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 mendekati bilangan 3 untuk 𝑥 mendekati 2 maka ditulis dengan simbol lim 𝑥 + 1 = 3 . 𝑥→2
Selanjutnya perhatikan pula kasus berikut, kita amati fungsi 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 −1 𝑥−1
untuk
𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 ≠ 1, jika kita lihat sketsa grafiknya, maka akan tampak seperti berikut,
Gambar 6. Grafik fungsi pecahan
Perhatikan grafik tersebut, pada saat 𝑥 = 1 tampak grafiknya tidak utuh (bolong), artinya ketika kita substitusikan nilai 𝑥 = 1 ke dalam fungsi itu 0
hasilnya 0 (tidak tentu), namun kita masih dapat mencari nilai terdekat untuk 𝑥 yang mendekati 1 dan akan mendapat nilai fungsi yang mendekati nilai 2, kasus ini dalam matematika disebut limit dan ditulis dalam simbol lim
𝑥 2 −1
𝑥→1 𝑥−1
= 2.
37
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Mari kita perhatikan kasus berikutnya, misalkan f sebuah fungsi yang didefinisikan 𝑓(𝑥) = {
𝑥2 𝑥+1
𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≤ 1 kita akan mencari nilai fungsi f 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 > 1
untuk x yang mendekati 1. Kita tuliskan nilai nilai 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑦 dalam tabel berikut, 𝑥
0
0,5
0,9
0,99
0,999 ...
1
...
1,001 1,5 1,8 2
𝑦
0
0,25 0,81 0,98
0,998 ...
?
...
2,001 2,5 2,8 3
Perhatikan pula grafik fungsi tersebut tampak sebagai berikut,
Gambar 7. Grafik fungsi diskontinu
Berdasarkan tabel di atas, untuk 𝑥 yang mendekati 1 dari kiri maka nilai 𝑦 mendekati 1, sedangkan untuk 𝑥 mendekati 1 dari kanann nilai 𝑦 mendekati 2. Dan berdasarkan gambar 4 , untuk nilai yang mendekati 𝑥 dari kiri dan dari kanan menghasilkan nilai 𝑦 yang berbeda, maka dalam matematika kasus untuk fungsi seperti ini tidak memiliki nilai limit untuk x mendekati 1. Berdasarkan ketiga kasus di atas, maka dapat dikatakan bahwa kita dapat mencari suatu nilai yang mendekati nilai tertentu untuk domain yang
38
Unit Pembelajaran Limit Fungsi Aljabar
mendekati nilai tertentu pula, dan ada pula yang tidak dapat kita cari nilai yang mendekati tersebut. Secara formal dapat kita tulis, misalkan 𝑓 suatu fungsi 𝑓: 𝑅 → 𝑅, dan misalkan pula 𝐿 dan 𝑐 anggta himpunan bilangan real, maka lim 𝑓(𝑥) = 𝐿, jika dan hanya 𝑥→𝑐
jika 𝑓(𝑥) mendekati 𝐿 untuk 𝑥 mendekati 𝑐
Limit Fungsi Aljabar Limit fungsi aljabar merupakan bagian dari topik limit. Topik limit itu sendiri merupakan topik yang luas, karena selain limit fungsi aljabar, ada pula limit fungsi trigonometri. Pada bahasan kali ini kita fokus pada limit funsi aljabar. Akan kita bahas mulai dari limit fungsi aljabar bentuk polinomial dan limit fungsi aljabar bentuk pecahan. a. limit fungsi aljabar bentuk polinomial Kita akan bahas limit fungsi aljabar polinomial dengan terlebih dahulu membahas limit aljabar fungsi linear.
Setiap fungsi linear akan dapat
memasangkan semua domain yang mendekati nilai tertentu dengan pasangan di kodomain yang mendekati nilai tertentu pula. Sebagai contoh saya punya fungsi linier 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 10, saya menginginkan sebuah pasangan nilai untuk 𝑥 yang mendekati 3, maka fungsi 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 10, akan memberikan pasangan nilai yang mendekati 16. Nah dalam matematika ditulis sebagai berikut lim 2𝑥 + 10 = 16. Contoh lain misalnya kita ingin 𝑥→3
mencari pasangan bilangan untuk domain (𝑥) yang mendekati -4 oleh fungsi 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 12 , maka akan diperoleh bilangan yang mendekati -20, dan ditulis dalam simbol matematika lim 2𝑥 − 12 = −20. 𝑥→−4
39
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Dengan memperhatikan dua contoh sebelumnya, maka kita dapat menulis lebih banyak lagi simbol-simbol matematika untuk limit fungsi aljabar linier ini. a. lim 4𝑥 − 12 = 0 ; 𝑥→3
b. lim 2𝑥 − 10 = −10; 𝑥→0
c. lim2 𝑥 + 5 = 𝑥→
17 3
;
3
d.
lim 3𝑥 − 6 = −4,5;
𝑥→0,5
Semua domain dalam bilangan real dapat dicarikan pasangannya oleh fungsi linear ini, begitu pula untuk bilangan-bilangan yang mendekati bilangan tertentu, maka akan dipasangakan oleh fungsi linear dengan bilanganbilangan yang mendekati pasangan bilangn tertentu. Limit fungsi kuadrat dan polinom, prinsip pemahamannya sama dengan prinsip kuadrat dan polinom, bahwa fungsi kuadrat dan fungsi polinom dapat memasangkan domain suatu bilangan yang mendekati bilangan tertentu dengan kodomain suatu bilangan yang mendekati bilangan tertentu. Contoh, a. lim 4𝑥 2 − 3𝑥 + 12 = 22 ; 𝑥→2
b.
lim 𝑥 2 + 4𝑥 − 5 = 0 ;
𝑥→−1
c. lim 𝑥 2 − 3𝑥 − 2 = −2 ; 𝑥→0
d. lim 𝑥 4 − 3𝑥 2 − 1 = 3 ; 𝑥→2
40
Unit Pembelajaran Limit Fungsi Aljabar
b. Limit fungsi aljabar bentuk pecahan Selanjutnya kita bahas limit fungsi aljabar bentuk pecahan, pada bahasan ini terdapat perbedaan perilaku untuk fungsi pecahan ini, karena ada syarat tertentu yang harus dipenuhi ketika berbicara fungsi aljabar bentuk pecahan. Dalam matematika ada konsep terdefinisi dan ada konsep tidak terdefinisi. Salah satu contoh konsep ketidak terdefisian adalam pembagian dengan bilangan no. jika kita membagi dengan bilangan nol maka hasil pembagiannya tidak terdefinisi. Oleh karena itu akan ditemukan suatu kasus dalam funsi pecahan penyebut bernilai nol akibatnya ketika penyebutnya bernilai nol maka fungsi tersebut tidak terdefinisi. Untuk menghindari terjadinya kasus 0/0 maka terdapat beberapa strategi dalam menyelesaikan perhitungan pada limit fungsi pecahan, misalnya dengan teknik pemfaktoran. Mari kita bahas contoh contoh perhitungannya. Misalkan kita akan menentukan pasangan nilai untuk 𝑥 yang mendekati 2 oleh fungsi 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 −6 𝑥+2
dalam simbol lim
, maka akan kita dapat nilai yang mendekati -1. Jika ditulis 𝑥 2 −6
𝑥→2 𝑥+2
= −1; contoh lain
𝑥−2
a. lim 𝑥+4 = 0 𝑥→2
b. lim
𝑥−4
c. lim
(𝑥−4)(𝑥+1)
𝑥→0 𝑥
𝑥→3
=∞
𝑥+3
4
= −6
Contoh nomor b, kita mencari pasangan bilangan yang domainnya mendekati bilangan nol, oleh fungsi 𝑓(𝑥) =
𝑥−4 𝑥
maka hasilnya adalah bilangan yang
mendekati takhingga.
41
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Sekarang kita perhatikan contoh soal berikut jika kita mempunyai fungsi 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 −4 𝑥−2
maka untuk 𝑥=2 akan menghasilkan
0 0
(tak tentu), sehingga
grafiknya terputus di 𝑥 = 2 dalam hal ini dikatakan 𝑓(𝑥) diskontinu di 𝑥 = 2. Sedangkan untuk interval {𝑥|𝑥 < 2, 𝑥 ∈ 𝑅} dan interval {𝑥|𝑥 > 2, 𝑥 ∈ 𝑅} grafiknya kontinu, dalam hal ini dikatakan 𝑓(𝑥) kontinu di 𝑥 ≠ 2. Secara formal suatu fungsi dikatakan kontinu di 𝑥 = 𝑐, jika dipenuhi a. lim 𝑓(𝑥) ada 𝑥→𝑐
b. 𝑓(𝑐) ada c. lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) 𝑥→𝑐
Jika pada suatu fungsi 𝑓(𝑥)diskontinu di 𝑥 = 𝑐, maka dapat dibuat sedemikian hingga lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐), maka dikatakan diskontinuitas di 𝑥 = 𝑐 ini dapat 𝑥→𝑐
dihapuskan. Jadi andaikan kita akan mencari nilai 𝑓(𝑥) = kita tulis prosedurnya sebagai berikut; (𝑥 − 2)(𝑥 + 2) 𝑥2 − 4 = lim 𝑥→2 𝑥 − 2 𝑥→2 𝑥−2 lim
= lim (𝑥 + 2) = 4 𝑥→2
Contoh lain, 𝑥 3 −8
Misalkan tentukan nilai lim 𝑥 2 −4 𝑥→2
Jawab 𝑥3 − 8 𝑥 3 − 23 = lim 𝑥→2 𝑥 2 − 4 𝑥→2 𝑥 2 − 22 lim
42
𝑥 2 −4 𝑥−2
untuk 𝑥 mendekati 2, maka
Unit Pembelajaran Limit Fungsi Aljabar
(𝑥 − 2)(𝑥 2 + 2𝑥 + 4) 𝑥→2 (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
= lim
(𝑥 2 + 2𝑥 + 4) = lim 𝑥→2 (𝑥 + 2) =
12 =3 4 𝑥 3 −8
Jadi nilai lim 𝑥 2 −4 adalah 3 𝑥→2
43
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
PENGEMBANGAN PENILAIAN
Pada bagian pengembangan penilaian ini akan disajikan contoh soal-soal topik limit aljabar yang muncul pada ujian nasional tiga tahun terakhir. Soal soal ini merupakan soal soal yang telah dianalisis dianggap sulit oleh peserta didik. Pada bagian ini pula disajikan pengembangan soal HOTS yang diharapkan dapat dijadikan rujukan oleh saudara ketika saudara membuat soal soal yang menuntut kemampuan peserta didik berpikir tingkat tinggi. Diharapkan saudara dapat dengan terampil mengembangkan soal HOTS yang tetap mengacu pada indikator pencapaian kompetensi yang telah ditetapkan sebelumnya.
A. Pembahasan Soal-Soal Topik limit aljabar merupakan topik yang selalu muncul dalam soal-soal UN. Berdasarkan hasil analisis PAMER UN, topik ini termasuk topik yang kurang berhasil dijawab oleh peserta didik di lingkup nasional. Berikut ini pembahasan soal-soalnya. Soal UN tahun 2016 𝑥−1
1. Nilai dari lim 𝑥 2−3𝑥+2 = ⋯ 𝑥→1
A. -3
D. 1
B. -1
E. 2
C. 0
Kunci Jawab : B Pembahasan :
44
Unit Pembelajaran Limit Fungsi Aljabar
Nilai limit dari soal tersebut dapat dicari dengan terlebih dahulu mensubstitusikan nilai 𝑥 = 1 ke fungsi dalam limit tersebut, jika hasilnya 0/0 maka
lakukan
pemfaktoran
𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = (𝑥 − 2)(𝑥 − 1)
selanjutnya
perhatikan langkah-langkah berikut, lim
𝑥→1 𝑥 2
𝑥−1 𝑥−1 = lim 𝑥→1 − 3𝑥 + 2 (𝑥 − 2)(𝑥 − 1) 1 𝑥→1 𝑥 − 2
= lim
=
1 1−2
= −1 𝑥−1
Jadi nilai dari lim 𝑥 2 −3𝑥+2 adalah -1 𝑥→1
Soal UN tahun 2017 𝑥 2 +2𝑥−15 𝑥+5 𝑥→−5
1. Nilai dari lim
=⋯
A. 3
D. -6
B. 0
E. -8
C. -3
Kunci Jawab : E Pembahasan : Nilai limit dari soal tersebut dapat dicari dengan terlebih dahulu mensubstitusikan nilai 𝑥 = − 5 ke fungsi dalam limit tersebut, jika hasilnya 0/0 maka lakukan pemfaktoran 𝑥 2 + 2𝑥 − 15 = (𝑥 − 3)(𝑥 + 5). Selanjutnya perhatikan langkah-langkah berikut, 𝑥 2 + 2𝑥 − 15 𝑥 2 + 2𝑥 − 15 = lim 𝑥→−5 𝑥→−5 𝑥+5 𝑥+5
lim
45
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
(𝑥 − 3)(𝑥 + 5) 𝑥→−5 𝑥+5
= lim
= lim (𝑥 − 3) 𝑥→−5
= −5 − 3 = −8 𝑥 2 +2𝑥−15 𝑥+5 𝑥→−5
Jadi nilai dari lim
adalah -8
Soal UN tahun 2018 2𝑥 2 −7𝑥−4 𝑥→4 3𝑥−12
1. Nilai dari lim
=⋯
A. -3
D. 3
B. -1
E. 9
C. 1
Kunci Jawab : D Pembahasan : Nilai limit dari soal tersebut dapat dicari dengan terlebih dahulu mensubstitusikan nilai 𝑥 = 4 ke fungsi dalam limit tersebut, jika hasilnya 0/0 maka lakukan pemfaktoran 2𝑥 2 − 7𝑥 − 4 = (𝑥 − 4)(2𝑥 + 1) dan 3𝑥 − 12 = 3(𝑥 − 4). Selanjutnya perhatikan langkah-langkah berikut, 2𝑥 2 − 7𝑥 − 4 (𝑥 − 4)(2𝑥 + 1) = lim 𝑥→4 𝑥→4 3𝑥 − 12 3(𝑥 − 4)
lim
2𝑥 + 1 𝑥→4 3
= lim
=
2(4) + 1 =3 3
2𝑥 2 −7𝑥−4 𝑥→4 3𝑥−12
Jadi nilai lim
46
adalah 3
Unit Pembelajaran Limit Fungsi Aljabar
Soal UN tahun 2019 𝑥−4
1. Nilai dari lim 𝑥 2 −2𝑥−8 = ⋯ 𝑥→4
A. 0
D. 1
B. 1/6
E. ∞
C. 1/2
Kunci Jawab : B Pembahasan : Nilai limit dari soal tersebut dapat dicari dengan terlebih dahulu mensubstitusikan nilai 𝑥 = 4 ke fungsi dalam limit tersebut, jika hasilnya 0/0 maka
lakukan
pemfaktoran
𝑥 2 − 2𝑥 − 8 = (𝑥 − 4)(𝑥 + 2).
Perhatikan
langkah-langkah berikut, lim
𝑥→4 𝑥 2
𝑥−4 𝑥−4 = lim − 2𝑥 − 8 𝑥→4 (𝑥 − 4)(𝑥 + 2) = lim
𝑥→4 𝑥
=
1 +2
1 = 1/6 4+2
𝑥−4
Jadi nilai lim 𝑥 2 −2𝑥−8 adalah 1/6 𝑥→4
2. Nilai dari lim (√3𝑥 + 2 − √3𝑥 + 3) adalah …. 𝑥→∞
A. −∞ B. −1 1 C. − 6 √3 D. 0 E. 5
Kunci Jawab : D Pembahasan :
47
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Menyelesaikan soal lim (√3𝑥 + 2 − √3𝑥 + 3) dengan mensubstitusikan 𝑥 = ∞ 𝑥→∞
kedalam lim (√3𝑥 + 2 − √3𝑥 + 3) jika menghasilkan ∞ − ∞ maka lakukan 𝑥→∞
perkalian dengan akar sekawan. Perhatikan langkah-langkah berikut; lim (√3𝑥 + 2 − √3𝑥 + 3)
𝑥→∞
= lim (√3𝑥 + 2 − √3𝑥 + 3) × 𝑥→∞
= lim
𝑥→∞
= lim
𝑥→∞
(√3𝑥 + 2 + √3𝑥 + 3) (√3𝑥 + 2 + √3𝑥 + 3)
(3𝑥 + 2) − (3𝑥 + 3) (√3𝑥 + 2 + √3𝑥 + 3) −1 (√3𝑥 + 2 + √3𝑥 + 3)
=0 Jadi nilai dari lim (√3𝑥 + 2 − √3𝑥 + 3) adalah 0 𝑥→∞
Limit fungsi aljabar bentuk pecahan masih sangat banyak variasinya, namun untuk melengkapi bahan bacaan pada unit ini hanya disajikan beberapa contoh saja yang mewakili.
B. Pengembangan Soal HOTS Pada bagian ini saudara akan diajak untuk memodelkan pembuatan soal yang memenuhi indikator pencapaian kompetensi yang telah diturunkan dari kompetensi dasar pengetahuan. Pembuatan soal diawali dari kisi-kisi untuk memudahkan melihat kesesuaian antara kompetensi dasar, indikator kompetensi dasar, ruang lingkup materi, dan indikator soal. Kemudian dilakukan penyusunan soal dalam kartu soal berdasarkan kisi-kisi yang telah ditetapkan sebelumnya. Soal disajikan secara bertingkat dari soal dengan level low order thinking skill (LOTS) sampai soal level high order thinking (HOTS).
48
Unit Pembelajaran Limit Fungsi Aljabar
1. Mata Pelajaran Matematika Jenis Sekolah
: SMK
Kelas
: XII
Mata Pelajaran
: Matematika
No.
Kompetensi
Lingkup
Dasar
Materi
1 1
2
3
3.30
Kalkulus
Menentukan nilai
limit
fungsi aljabar
Indikator Materi
Nomor Level
Soal Soal
4
5
6
Limit Fungsi
Menemukan
Aljabar
konsep limit
1
7 C1
Bentuk Soal
8 Pilihan Ganda
Menghitung nilai
limit
2
C2 Pilihan
fungsi aljabar
Ganda
bentuk polinom Menentukan nilai
3
C3
limit
Pilihan Ganda
fungsi aljabar bentuk pecahan Menyelesaika n
masalah
limit
4
C4
fungsi
aljabar
49
Pilihan Ganda
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Kartu Soal 1 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN KARTU SOAL Tahun Pelajaran 2018/2019 Jenis Sekolah
: SMK
Kurikulum
: 2013
Kelas
: XII
Bentuk Soal
: Pilihan Ganda
Mata Pelajaran
: Matematika
Nama Penyusun
:
KOMPETENSI DASAR
Buku Sumber :
Pengetahuan/
√
Aplikasi Pemahaman RUMUSAN BUTIR SOAL Perhatikan gambar berikut,
3.30 Menentukan nilai limit fungsi aljabar
LINGKUP MATERI Kalkulus MATERI Limit fungsi Aljabar
50
Nomor Soal
I
1
II
Penalaran
Unit Pembelajaran Limit Fungsi Aljabar
III INDIKATOR SOAL Menemukan konsep limit
Kunci Jawaban
Manakah diantara gambar tersebut yang merupakan fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) mempunyai nilai limit pada saat 𝑥 mendekati c
B A. I B. I dan II C. I dan III D. III E. I, II dan III
51
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Kartu Soal 2 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN KARTU SOAL Tahun Pelajaran 2018/2019 Jenis Sekolah
: SMK
Kurikulum
: 2013
Kelas
: XII
Bentuk Soal
: Pilihan Ganda
Mata Pelajaran
: Matematika
Nama Penyusun
:
Pengetahuan/
KOMPETENSI
Buku Sumber :
DASAR
Pemahaman
3.30
√ Aplikasi
RUMUSAN BUTIR SOAL
Menentukan nilai limit fungsi aljabar
Nomor
Nilai dari lim 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 5 adalah... 𝑥→42
Soal A. 1
LINGKUP MATERI
2
Kalkulus
B. 3 C. 5 D. -3
MATERI
E. -2
Limit Fungsi Aljabar
Kunci Jawaban
INDIKATOR SOAL Menghitung
nilai
limit fungsi aljabar bentuk polinom
52
C
Penalaran
Unit Pembelajaran Limit Fungsi Aljabar
Kartu Soal 3 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN KARTU SOAL Tahun Pelajaran 2018/2019 Jenis Sekolah
: SMK
Kurikulum
: 2013
Kelas
: XII
Bentuk Soal
: Pilihan Ganda
Mata Pelajaran
: Matematika
Nama Penyusun
:
Pengetahuan/
KOMPETENSI
Buku Sumber :
DASAR
√ Aplikasi
Pemahaman
3.30
Penalaran
RUMUSAN BUTIR SOAL
Menentukan nilai limit fungsi aljabar
Nomor Soal
LINGKUP MATERI 3
Nilai dari lim
𝑥→4
𝑥 2 −3𝑥−4 𝑥−4
adalah...
A. 1 B. 2
Kalkulus C. 3 MATERI
D. 4
Limit fungsi Aljabar
Kunci Jawaban
INDIKATOR SOAL Menentukan
E. 5
E
nilai
limit fungsi aljabar bentuk pecahan
53
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Kartu Soal 3 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN KARTU SOAL Tahun Pelajaran 2018/2019 Jenis Sekolah
: SMK
Kurikulum
: 2013
Kelas
: XII
Bentuk Soal
: Pilihan Ganda
Mata Pelajaran
: Matematika
Nama Penyusun
:
KOMPETENSI DASAR
Pengetahuan/ Buku Sumber :
Aplikasi Pemahaman
3.30
RUMUSAN BUTIR SOAL
Menentukan
Sebuah mesin produksi mampu menghasilkan produk dalam
nilai limit fungsi aljabar
waktu t jam sebanyak 𝑄(𝑡) = Nomor Soal
LINGKUP MATERI 4
A. 6 B. 7
MATERI
C. 8 Kunci Jawaban
INDIKATOR SOAL Menyelesaikan masalah limit fungsi aljabar
54
C
𝑡 2 −9 √𝑡 2+7−4
. Jika mesin tersebut
telah bekerja hampir 3 jam, maka banyak produk yang telah dihasilkan adalah...
Kalkulus
Limit fungsi Aljabar
√ Penalaran
D. 9 E. 10
Unit Pembelajaran Limit Fungsi Aljabar
2. Mata Pelajaran Matematika Jenis Sekolah
: SMK
Kelas
: XII
Mata Pelajaran
: Matematika
No. 1 1
Kompetensi Dasar 2 3.30 Menentukan nilai limit fungsi aljabar
Lingkup Materi 3 Kalkulus
Materi 4 Limit fungsi Aljabar
Indikator Soal 5 Menyelesaika n masalah limit fungsi aljabar
Nomor Soal 6 5
Level 7 C4
Bentuk Soal 8 Uraian
KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN KARTU SOAL Tahun Pelajaran 2018/2019 Jenis Sekolah Kelas Mata Pelajaran KOMPETENSI DASAR
: SMK : XII : Matematika Buku Sumber : Nomor Soal
LINGKUP MATERI Kalkulus
5
Kurikulum Bentuk Soal Nama Penyusun Pengetahuan/ Pemahaman
: 2013 : Uraian : Aplikasi
√ Penalaran
RUMUSAN BUTIR SOAL Seorang mekanik mau memasang mur dengan menggunakan bor listri. Pada saat bor itu di gunakan untuk memasukan mur, mengalami perlambatan kecepatan yang dinyatakan dalam fungsi 𝑣(𝑡) = 0,25𝑡 2 + 0,5𝑡. Cm/s Tentukan perubahan perlambatan kecepatan bor tersebut pada saat 𝑡 = 5 menit.
MATERI Limit fungsi aljabar
INDIKATOR SOAL Menyelesaikan masalah limit fungsi aljabar
55
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Pedoman Penskoran Kunci Jawaban
Skor
Diketahui : 𝑓(𝑡) = 0,25𝑡 2 + 0,5𝑡 Ditanyakan lim
3
𝑓(𝑡)−𝑓(5)
𝑡→5
𝑡−5
(0,25𝑡 2 + 0,5𝑡) − (8,75) 𝑓(𝑡) − 𝑓(5) lim = lim 𝑡→5 𝑡→5 𝑡−5 𝑡−5 0,25(𝑡 2 + 2𝑡 − 35) = lim 𝑡→5 𝑡−5 0,25(𝑡 − 5)(𝑡 + 7) 𝑡→5 𝑡−5
= lim
5
= lim 0,25(𝑡 + 7) 𝑡→5
= 0,25(5 + 7) = 𝟎, 𝟐𝟓(𝟏𝟐) = 𝟑 cm2/s Jadi perubahan perlambatan kecepatan bor tersebut pada saat 𝑡 = 5 menit.adalah 3 cm2/s
56
2
Unit Pembelajaran Limit Fungsi Aljabar
C. Refleksi Pembelajaran Penyempurnaan
kegiatan
pembelajaran
yang
saudara
lakukan
disempurnakan dengan kegiatan refleksi. Kegiatan refleksi unit pembelajaran limit fungsi aljabar dimulai dengan merefleksi proses pembelajaran, peserta didik, penilaian, dan ketercapaian kompetensi dasar. Adapun refleksi untuk masing masing tersebut saudara lakukan melalui kegiatan berikut: 1. pada proses pembelajaran saudara melihat kembali, apakah langkahlangkah aktivitas pembelajaran dan sintar model pembelajaran yang sudah direncanakan secara tertulis dilaksanakan ketika kegiatan pembelajaran berlangsung, berikan penilaian ketercapaian dalam persentase berapa persen dari langkah-langkah tersebut telah terlaksana. 2. pada proses pembelajaran saudara perhatikan peserta didik dalam melaksanakan aktivitas belajar, apakah sudah sesuai dengan LKPD yang telah disusun, kemudian berikan penlaian ketercapaian siswa dalam mengerjakan LKPD dalam persentase. Berapa persen dari LKPD tersebut siswa laksanakan. 3. pada proses penilaian, saudara perhatikan kesesuaian bentuk soal dengan Kompetensi dasar (KD) dan IPK, apakah sudah sesuai level kognitif yang ditetapkan pada masing-masing IPK. 4. tahap akhir refleksi saudara memperhatikan hasil pekerjaan siswa dalam menyelesaikan soal, apakah sudah memenuhi target KKM, jika belum mencapai KKM maka belum tercapai target dari kompetensi dasar yang telah ditetapkan. Buatlah penilaian ketercapaian kompetensi dasar dari hasil pekerjaan siswa dengan mengacu pada KKM untuk unit limit fungsi aljabar.
57
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
KESIMPULAN
Isi unit pembelajaran limit fungsi aljabar ini dimulai dari memaparkan kompetensi dasar 3.30, yaitu menentukan nilai limit fungsi aljabar dan kompetensi keterampilan 4.30, yaitu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan limit fungsi aljabar. KD 3.30 setelah diturunkan termasuk dalam ruang lingkup materi limit fungsi aljabar yang diberikan pada kelas XII SMK. Agar KD ini dapat terukur, maka diturunkan dalam indikator pencapaian kompetensi. Setelah di turunkan maka gradasi capaian kompetensi dimulai dari C1, C2, C3, dan C4. Dengan memperhatikan level kognitif dalam pencapaian kompetensi ini saudara dituntut mengembangkan kemampuan siswa secara bergradasi mulai dari pengetahuan, pemahaman, aplikasi sampai penalaran. Sedangkan kompetensi dasar keterampilan menuntuk saudara memberikan kesempatan kepada pesertadidik untuk mengembangkan kreativitasnya. Untuk mencapai tingkat level berpikir tingkat tinggi,
peserta didik
memerlukan proses pembelajaran yang relevan. Oleh karena itu secara berjenjang aktivitas pembelajaran limit fungsi aljabar menggunakan model pembelajaran saintifik dan discovery learning. Dalam model discovery learning saudara merekayasa masalah yang harus diselesaikan oleh peserta didik. Kedua model tersebut disajikan dalam tiga aktivitas pembelajaran. Untuk menunjang kegiatan aktivitas pembelajaran, peserta didik difasilitasi dengan lembar kerja peserta didik (LKPD). Dengan LKPD ini diharapkan level kognitif dalam pembelajaran dapat tersusun dengan baik. Pada unit ini dikembangkan konten materi sesuai dengan KD yaitu Limit fungsi aljabar dengan memaparkan materi mulai dari bagaimana peserta didik menemukan konsep limit, kemudian menghitung limit aljabar, menentukan limit fungsi aljabar dan menyelesaikan masalah limit fungsi aljabar. Materi
58
Unit Pembelajaran Limit Fungsi Aljabar
limit aljabar ini sangat luas sehingga pada unit ini dibatasi hanya pada limit fungsi aljabar dan aljabarnya dibatasi lagi hanya pada aljabar polinom dan pecahan. Materi ini dikerucutkan karena mengacu pada soal-soal UN empat tahun terakhir yang muncul hanya limit fungsi aljabar bentuk pecahan. Pada unit ini juga disajikan bagian penilaian yang didalamnya menguraikan soal-soal UN beberapa tahun terakhir serta diberikan cara pembahasan dan identifikasi terhadap soal-soal UN tersebut. Berdasarkan analisis ditemukan bahwa tiga tahunterakhir sosl-soal UN hanya pada level kognitif C3, oleh karena itu saudara harus menyakinkan peserta didik telah mampu pada level C1, dan C2, yaitu pada level pengetahuan dan pemahaman sebagai jembatan untuk mencapai level C3 aplikasi. Selain itu saudara juga harus memfasilitasi soal-soal dengan mengembangkan menjadi soal penalaran atau HOTS.
59
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
UMPAN BALIK
Sebuah proses yang baik harus selalu disertai dengan refleksi terhadap apa yang telah kita lakukan. Begitu pula untuk mengetahui pemahaman saudara terhadap unit pembelajaran limit fungsi aljabar ini, saudara harus mengisi lembar persepsi pemahaman ini. Dengan mengisi lembar persepsi pemahaman ini saudara akan mengetahui posisi saudara dalam memahami unit pembelajaran ini. Oleh karena itu isilah lembar persepsi diri ini sebagai refleksi saudara terhadap unit pembelajaran limit fungsi aljabar dengan objektif dan jujur. No 1 2 3
4 5 6 7 8 9
60
Aspek Memahami indikator yang telah dikembangkan berdasarkan Kompetensi Dasar Mampu menghubungkan konten materi dengan fenomena kehidupan sehari-hari Merasa bahwa tahapan aktivitas pembelajaran dapat mengembangkan HOTS peserta didik Memahami tahapan aktivitas yang disajikan dngan baik Mampu dengan baik mengaplikasikan aktivitas pembelajaran di dalam kelas Memahami dengan baik Lembar Kerja Peserta Didik yang dikembangkan Mampu melaksanakan dengan baik Lembar Kerja Peserta Didik yang dikembangkan Memahami konten secara menyeluruh dengan baik Memahami prosedur penyusunan soal HOTS dengan baik
1
Kriteria 2 3
4
Unit Pembelajaran Limit Fungsi Aljabar
10
Mampu membahas soal HOTS yang disajikan dengan tepat Jumlah Jumlah Total
Keterangan 1= tidak menguasai 2 = cukup menguasai 3 = menguasai 4 = sangat menguasai
Pedoman penskoran Skor =
Jumlah Total x 100 40
Keterangan Umpan Balik Skor < 70
Umpan Balik Masih banyak yang belum dipahami, diantara konten, cara membelajarkan, mengembangkan penilaian dan melaksanakan penilaian berorientasi HOTS. Saudara membaca ulang unit ini dan mendiskusikannya dengan fasilitator di MGMP sampai saudara memahaminya.
70 - 79
Masih ada yang belum dipahami dengan baik, di antara konten,
cara
membelajarkan,
mengembangkan
penilaian dan melaksanakan penilaian berorientasi HOTS. Saudara perlu mendiskusikan bagian yang belum dipahami dengan fasilitator atau teman lain di MGMP 80 - 89
Memahami
konten,
mengembangkan
cara
penilaian
dan
membelajarkan, melaksanakan
penilaian berorientasi HOTS dengan baik.
61
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
62
Unit Pembelajaran Limit Fungsi Aljabar
63
Unit Pembelajaran PROGRAM PENGEMBANGAN KEPROFESIAN BERKELANJUTAN (PKB) MELALUI PENINGKATAN KOMPETENSI PEMBELAJARAN (PKP) BERBASIS ZONASI MATA PELAJARAN MATEMATIKA SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN (SMK)
Turunan Fungsi Aljabar Penulis: Iwan Gunawan, M.Pd., M.PMat. Penyunting: Dr. Joko Soebagyo, M.Pd. Desainer Grafis dan Ilustrator: TIM Desain Grafis
Copyright © 2019 Direktorat Pembinaan Guru Pendidikan Menengah dan Pendidikan Khusus Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang Dilarang mengopi sebagian atau keseluruhan isi buku ini untuk kepentingan komersial tanpa izin tertulis dari Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
Unit Pembelajaran Turunan Fungsi Aljabar
DAFTAR ISI
Hal DAFTAR ISI __________________________________ 67 DAFTAR GAMBAR______________________________ 68 PENDAHULUAN _______________________________ 69 KOMPETENSI DASAR DAN INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI (IPK) ____________________________ 70 A. Kompetensi Dasar dan Target Kompetensi ______________________________ 70 B. Indikator Pencapaian Kompetensi _______________________________________ 70 APLIKASI DI DUNIA NYATA _____________________ 72 A. Laju Arus Listrik ___________________________________________________________ 72 SOAL-SOAL UN/USBN __________________________ 74 A. Soal UN Turunan Fungsi Aljabar __________________________________________ 74 BAHAN PEMBELAJARAN ________________________ 78 A. Aktivitas Pembelajaran ____________________________________________________ 78 Aktivitas Pembelajaran ke-1 _____________________________________________________ 78 Aktivitas Pembelajaran ke-2 _____________________________________________________ 80 Aktivitas Pembelajaran ke-3 _____________________________________________________ 82 Aktivitas Pembelajaran ke-4 _____________________________________________________ 83
B. Lembar Kerja Peserta Didik _______________________________________________ 85 LKPD 1. Menjelaskan dan memahami konsep turunan ________________________ 85 LKPD 2. Menentukan turunan dengan limit fungsi _____________________________ 88 LKPD 3. Menentukan turunan dengan sifat sifat turunan ______________________ 90 LKPD 4. Memecahkan masalah turunan fungsi _________________________________ 92
C. Bahan Bacaan ______________________________________________________________ 94 Memahami Konsep Turunan _____________________________________________________ 94
PENGEMBANGAN PENILAIAN ____________________ 99 A. Pembahasan Soal-soal _____________________________________________________ 99
67
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
B. Pengembangan Soal HOTS _______________________________________________ 103 C. Refleksi Pembelajaran ___________________________________________________ 112 KESIMPULAN ________________________________ 113 UMPAN BALIK _______________________________ 115
DAFTAR GAMBAR
Hal Gambar 1. Switch Volume ________________________________________________________ 72 Gambar 2 Rangkaian arus listrik tertutup ______________________________________ 73 Gambar 3 Garis singgung kurva _________________________________________________ 86 Gambar 4 Garis sinngung, garis normal dan tali busur ________________________ 94
68
Unit Pembelajaran Turunan Fungsi Aljabar
PENDAHULUAN
Unit ini merupakan salah satu unit dari unit-unit yang ada dalam materi matematika SMK. Unit ini disajikan untuk membantu saudara dalam memberikan pemahaman kepada peserta didik dalam topik turunan fungsi aljabar. Unit ini disajikan dengan terlebih dahulu menganalisis kompetensi dasar yang harus dicapai berdasarkan amanat Perdirjen 464. Berdasarkan kompetensi dasar
inilah
selanjutnya
dikembangkan
indikator
yang
mencirikan
kompetensi dasar tersebut. Indikator disusun secara bergradasi dari mulai indikator pengetahuan, pemahaman, dan aplikasi. Dengan mengacu pada indikator tersebut, kemudian disinkronisasi dengan soal-soal UN yang keluar pada tiga tahun terakhir, maka akan menambah kekuatan sajian dalam unit ini. Soal UN dianalisis terlebih dahulu mulai dari tahun keluarnya soal, tingkat kognitif
soal, materi yang berkaitan dengan soal, serta indikator dari
komptensi dasar. Topik turunan erat kaitannya dengan topik limit bila ditinjau dari keterkaitan materi dalam matematika. Konsep turunan merupakan salah satu aplikasi dari limit dalam menentukan gradien garis dinggung pada kurva di suatu titik tertentu. Sedangkan salah satu contoh aplikasi turunan dalam kehidupan sehari-hari adalah dalam mengatur volume alat-alat elektronik. Besar kecilnya volume pada alat-alat elektronik diatur oleh besar kecilnya arus listrik dengan laju kecepatan arus listriknya dapat dihitung dengan konsep turunan.
69
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
KOMPETENSI DASAR DAN INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI (IPK)
A. Kompetensi Dasar dan Target Kompetensi Sub unit pembelajaran ini dikembangkan berdasarkan Kompetensi Dasar kelas XII: Kompetensi Dasar 3.31 Menentukan turunan
Target Kompetensi 1 Menentukan turunan
fungsi aljabar
fungsi aljabar
menggunakan definisi
menggunakan definisi
limit fungsi atau sifat-sifat
limit fungsi atau sifat-
turunan fungsi serta
sifat turunan fungsi serta
penerapannya
penerapannya
4.31 Menyelesaikan masalah
Kelas
XII
4.31 Memecahkan masalah
yang berkaitan dengan
yang berkaitan
turunan fungsi aljabar
dengan turunan
XII
fungsi aljabar
B. Indikator Pencapaian Kompetensi IPK Pengetahuan 3.31 Menentukan turunan fungsi
70
IPK Keterampilan 4.31 Menyelesaikan masalah yang
aljabar menggunakan definisi
berkaitan dengan turunan
limit fungsi atau sifat-sifat
fungsi aljabar
Unit Pembelajaran Turunan Fungsi Aljabar
turunan fungsi serta penerapannya IPK Pendukung 3.31.1 3.31.2
Menjelaskan konsep
4.31.1 Mengidentifikasi masalah
turunan fungsi aljabar
yang berkaitan dengan
Memahami konsep turunan
turunan fungsi aljabar
fungsi aljabar IPK Kunci 3.31.3
3.31.4
Menentukan turunan fungsi 4.31.2
Menyelesaikan masalah
aljabar dengan definisi limit
yang berkaitan dengan
fungsi
turunan fungsi aljabar
Menentukan turunan
(prosedural)
aljabar dengan menggunakan sifat-sifat turunan fungsi IPK Pengayaan 3.31.5
Memecahkan masalah turunan fungsi aljabar
4.31.3
memecahkan masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi aljabar
71
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
APLIKASI DI DUNIA NYATA
A. Laju Arus Listrik Konsep Turunan merupakan salah satu konsep dalam matematika dari kajian kalkulus. Setiap konsep dalam kajian matematika pasti memiliki manfaat dalam kehidupan sehari-hari, baik secara langsung maupun tidak langsung. Saudara dapat menyampaikan salah satu manfaat dalam kehidupan seharihari dari konsep diperensial ini adalah dalam arus listrik. Arus listrik adalah banyaknya muatan listrik yang mengalir melalui suatu titik dalam sirkuit listrik tiap satuan waktu. Dalam jaringan tubuh manusia saja terdapat aliran listrik kekuatannya sangat lemah sedangkan aliran listrik yang kekuatannya sangat kuat yaitu pada petir kekuatannya bisa sampai 1-200 kiloamper. Saudara pasti pernah mendengan suara nyanyian, percakapan, dari handphon (HP), televisi, atau alat elektronik yang lainnya. Saudara dapat mengatur volume suara yang keluar dari alat-alat tersebut sesuai keinginan, dapat dikencangkan suaranya dapat pula dikecilkan suaranya. Besar kecilnya volume yang keluar dari alat elektronik tersebut tergantung besar kecilnya arus listrik yang mengalir dalam alat elektronik tersebut.
Gambar 1. Switch Volume
72
Unit Pembelajaran Turunan Fungsi Aljabar
Besar kecilnya laju arus listrik terhadap waktu dalam alat elektro itu dapat dihitung menggunakan konsep diferensial atau turunan. Perhatikan gambar 1, gambar tersebut merupakan rangkaian arus listrik. Berdasarkan hukum Kirchof, jumlah tegangan pada loop tertutup dari suatu rangkaian listrik adalah nol. Jika ditulis dalam sebuah persamaan matematika seperti berikut: 𝑉𝑠 = 𝑉𝑅 + 𝑉𝐶 Dengan 𝑉𝑠 = Tegangan sumber; 𝑉𝑐 = tegangan pada kapasitor; 𝑉𝑅 = tegangan pada resistor . berdasarkan hukum Ohm, arus yang mengalir pada resistor (rangkaian tertutup) dapat dicari dengan aturan 𝑖=
𝑉𝑠 −𝑉𝑐 𝑅
;
dan arus yang mengalir pada kapasitor adalah 𝑉𝑠 − 𝑉𝑐 𝑑𝑉𝑐 =𝐶∙ 𝑅 𝑑𝑡 Karena arus yang mengalir pada kapasitor sama dengan arus yang mengalir pada resistor, maka diperoleh; 𝑑𝑉𝑐 𝑉𝑠 − 𝑉𝑐 = 𝑑𝑡 𝑅𝐶 Persamaan tersebut merupakan persamaan turunan, yaitu turunan pertama 𝑉𝑐 terhadap waktu.
Gambar 2 Rangkaian arus listrik tertutup
73
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
SOAL-SOAL UN/USBN
A. Soal UN Turunan Fungsi Aljabar Berikut merupakan contoh soal ujian nasional yang berkaitan dengan topik turunan fungsi aljabar. Soal ini sesuai dengan Kompetensi Dasar 3.31 yaitu menentukan turunan fungsi aljabar (perdirjen 464 tahun 2018). Soal ini dapat dijadikan sebagai bahan pembelajaran untuk saudara ajarkan kepada siswa dan dijadikan bahan latihan dengan mengembangkan soal sejenis. Soal UN tahun 2019 No.
1
Soal UN Tahun 2019
Jika 𝑓(𝑥) = A.
3𝑥+2 4−𝑥
untuk 𝑥 ≠ 4, 𝑓′(𝑥) adalah...
−6𝑥+10 (4−𝑥)2
D.
3𝑥−5
B. (4−𝑥)2 14
C. (4−𝑥)2 10
D. (4−𝑥)2 5
E. (4−𝑥)2 Identifikasi Kelas / Semester
:
XII/Ganjil
Level Kognitif
:
C3
Indikator yang bersesuaian
:
Menentukan turunan fungsi aljabar
74
Unit Pembelajaran Turunan Fungsi Aljabar
Diketahui
:
Fungsi aljabar bentuk pecahan
Ditanyakan
:
Menentukan hasil turunan pertama fungsi aljabar bentuk pecahan
Materi yang dibutuhkan
:
Turunan Fungsi Aljabar
Soal UN Tahun 2018 No.
1
Soal UN Tahun 2018 2𝑥
Turunan pertama dari fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −5 adalah ... 2𝑥 2 +10 −5)2
A. − (𝑥 2
𝑥 2 +10
B. − (𝑥 2 −5)2 C.
D.
2𝑥 2 +10 𝑥 4 +25
E.
2𝑥 2 −10 𝑥 4 −25
2𝑥 2 −10 𝑥 4 −10𝑥 2 +25
Identifikasi Kelas / Semester
:
XII/Ganjil
Level Kognitif
:
C3
Indikator
yang :
Menentukan turunan fungsi aljabar
bersesuaian Diketahui
:
Fungsi aljabar bentuk pecahan
Ditanyakan
:
Menentukan hasil turunan pertama fungsi aljabar bentuk pecahan
Materi yang dibutuhkan
:
Turunan Fungsi Aljabar
75
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Soal UN Tahun 2017 No.
1
Soal UN Tahun 2017 Turunan pertama dari 𝑓(𝑥) = (3𝑥 2 − 2)(𝑥 2 + 5) adalah ... A. 6𝑥 3 − 10𝑥 3
D. 12𝑥 3 − 26𝑥
B. 6𝑥 3 + 10𝑥 2
E. 12𝑥 3 + 26𝑥
C. 6𝑥 3 + 10𝑥 Identifikasi Kelas / Semester
:
XII/Ganjil
Level Kognitif
:
C3
Indikator
yang :
Menentukan turunan fungsi aljabar
bersesuaian Diketahui
:
fungsi aljabar berbentuk perkalian dua buah suku aljabar
Ditanyakan
:
Menentukan hasil turunan pertama fungsi aljabar berbentuk perkalian dua buah suku aljabar
Materi yang dibutuhkan
76
:
Turunan Fungsi Aljabar
Unit Pembelajaran Turunan Fungsi Aljabar
Soal UN Tahun 2016 No.
Soal UN Tahun 2016
1
Jika 𝑓′(𝑥) adalan turunan pertama dari 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 + 6𝑥 2 + 3𝑥 + 6 maka 𝑓 ′ (3) = ⋯ A. 99
D. 85
B. 93
E. 75
C. 90 Identifikasi Kelas / Semester
:
XII/Ganjil
Level Kognitif
:
C3
Indikator yang bersesuaian
:
Menentukan
turunan fungsi aljabar
derajat 3 Diketahui
:
fungsi aljabar derajat 3
Ditanyakan
:
Menentukan nilai turunan pertama fungsi aljabar derajat 3
Materi yang dibutuhkan
:
Turunan Fungsi Aljabar
77
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
BAHAN PEMBELAJARAN
Bahan pembelajaran yang disajikan dalam unit pembelajaran ini merupakan panduan bagi saudara dalam melaksanakan pembelajaran untuk topik turunan fungsi aljabar. Unit pembelajaran ini dikembangkan untuk membantu saudara dalam membelajarkan peserta didik agar terjadi pembelajaran yang terpusat pada peserta didik dan berusaha memfasilitasi kemampuan berpikir tingkat tinggi. Bahan pembelajaran ini meliputi aktivitas pembelajaran dan lembar kegiatan peserta didik yang dilengkapi dengan bahan bacaan.
A. Aktivitas Pembelajaran Aktivitas pembelajaran ini merupakan rincian pelaksanaan pembelajaran yang ditawarkan menjadi salah satu alternatif aktivitas pembelajaran yang dapat
diimplementasikan
oleh
saudara
ketika
akan
melaksanakan
pembelajaran pada topik turunan fungsi aljabar.
Aktivitas Pembelajaran ke-1 Aktivitas pembelajaran kali ini akan mempelajari topik turunan fungsi aljabar. Sebagai langkah awal peserta didik diperkenalkan dengan konsep turunan dalam kehidupan sehari-hari. Perhatikan switch volume tv, radio, hp atau alat elektronik yang lainnya, baik digital ataupun manual, besar kecilnya volume pada alat elektronik tersebut diatur berdasarkan hasil perhitungan, nah perhitungannya itu menggunakan konsep turunan yaitu menghitung kecepatan laju arus listrik pada rangkaian tertutup resistor. Tentu peserta didik akan mengenal istilah-istilah tersebut. Aktivitas pembelajaran ini diharapkan dapat mencapai indikator 3.31.1, yaitu menjelaskan konsep turunan fungsi dan 3.31.2, yaitu memahami konsep turunan fungsi aljabar. Pencapaian indikator tersebut akan dibantu dalam
78
Unit Pembelajaran Turunan Fungsi Aljabar
pembelajaran dengan model pembelajaran saintifik yang langkah-langkah pembelajarannya
sebagai
berikut
1)
mengamati;
2)
menanya;
3)
mengumpulkan informasi; 4) mengasosiasi; 5) mengomunikasikan. Menjelaskan dan Memahami Konsep Turunan fungsi Tujuan Aktivitas Pembelajaran ke 1 Setelah melakukan aktivitas pembelajaran ke 1, ini diharapkan peserta didik mampu: a. Menjelaskan konsep turunan dalam kehidupan sehari-hari b. Memahami konsep turunan fungsi aljabar Estimasi waktu aktivitas pembelajaran 6 x 45 menit. Apa yang saudara lakukan: a. Membagikan LKPD 1, kemudian memberikan penjelasan mengenai tata cara mengisi LKPD 1 b. Memberikan satu contoh ilustrasi tentang konsep turunan dalam kehidupan sehari-hari c. Menginstruksikan peserta didik untuk mengamati penomena penomena alam dan kejadian sehari-hari yang mengilustrasikan konsep turunan seperti contoh yang telah diberikan sebelumnya d. Memfasilitasi peserta didik untuk bertanya atau memberikan pendapat terhadap hasil pengamatan penomena-penomena alam dan kejadian sehari-hari yang mengilustrasikan konsep turunan. e. Menginstruksikan peserta didik untuk menuliskan hasil pengamatan penomena-penomena
alam
dan
kejadian
sehari-hari
yang
mengilustrasikan konsep turunan. f. Menginstruksikan peserta didik untuk mengamati masalah yang diberikan pada LKPD 1. (mengamati)
79
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
g. Membagi peserta didik ke dalam kelompok yang beranggotakan 4-5 orang h. Memfasilitasi peserta didik untuk berpendapat mengenai dua masalah yang diberikan pada LKPD 1, dan menuliskan hasil pengamatannya dalam LKPD 1. (Mengumpulkan informasi) i.
Mendiskusikan hasil belajar yang telah ditulis pada LKPD 1, kemudian mengkonfirmasi dan menyepakati hasil diskusi, dan peserta didik memperbaiki hasil kesepakatannya dalam LKPD 1. (menanya dan mengasosiasi)
j.
Memfasilitasi peserta didik perwakilan dari setiap kelompok untuk mempresentasikan hasil pengamatan dan diskusinya di depan kelas. (mengomunikasikan)
Aktivitas Pembelajaran ke-2 Aktivitas pembelajaran ke-2 ini diharapkan dapat mencapai indikator 3.31.3, yaitu Menentukan turunan fungsi aljabar dengan definisi limit fungsi, yang dilakukan dengan pendekatan pembelajaran saintifik. Adapun aktivitasnya meliputi
1) mengamati; 2) menanya; 3) mengumpulkan informasi; 4)
mengasosiasi; 5) mengomunikasikan. Menghitung turunan dengan limit fungsi Tujuan aktivitas pembelajaran a. Mampu menentukan turunan fungsi aljabar dengan definisi limit fungsi Aktivitas pembelajaran disusun menggunakan model pembelajaran Discovery Learning dengan estimasi waktu 6 x 45 Menit. Apa yang saudara lakukan sebagai berikut;
80
Unit Pembelajaran Turunan Fungsi Aljabar
a. Membagikan LKPD 2, kemudian memberikan penjelasan mengenai tata cara mengisi LKPD 2. Tahap Stimulation (Pemberian Rangsangan) b. Saudara memberikan motivasi kepada peserta didik agar mengamati permasalahan dari soal yang diberikan pada LKPD 2. (Mengamati) c. Memfasilitasi peserta didik untuk bertanya atau memberikan pendapat terhadap hasil pengamatan soal yang diberikan. (bertanya) Tahap Problem Statement (Identifikasi masalah) d. Meminta peserta didik untuk menuliskan hasil pengamatan soal dalam LKPD 2 terkait dengan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan dari soal dan kondisi penting apa yang menjadi kata kunci untuk menyelesaikan masalah pada soal tersebut. k. Membagi peserta didik ke dalam kelompok yang beranggotakan 4-5 orang Tahap Data Collection (Pengumpulan data) e. Menginstruksikan peserta didik untuk menggali informasi agar dapat menyelesaikan soal yang telah diidentifikasi sebelumnya, materi terkait soal, mencari tahu prosedur penyelesaian, (Mengumpulkan informasi) Tahap Verification (Pembuktian) f. Peserta didik menyelesaikan soal yang telah diidentifikasi, dan mencoba saling mengecek dengan sesama anggota kelompoknya Tahap Generalization (Kesimpulan) g. Menginstruksikan peserta didik untuk menuliskan penyelesaian soal dalam LKPD 2 h. Memfasilitasi peserta didik perwakilan dari setiap kelompok untuk mempresentasikan hasil pengamatan dan diskusinya di depan kelas. (mengomunikasikan)
81
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Aktivitas Pembelajaran ke-3 Aktivitas pembelajaran ke-3 ini diharapkan dapat mencapai indikator 3.31.4, yaitu menentukan turunan fungsi aljabar dengan sifat-sifat turunan fungsi, yang dilakukan dengan pendekatan pembelajaran saintifik. Adapun aktivitasnya meliputi
1) mengamati; 2) menanya; 3) mengumpulkan
informasi; 4) mengasosiasi; 5) mengomunikasikan. Menentukan turunan fungsi aljabar dengan sifat turunan Tujuan aktivitas pembelajaran a. Mampu menentukan turunan fungsi aljabar dengan sifat-sifat turunan fungsi Aktivitas pembelajaran disusun menggunakan model pembelajaran Discovery Learning dengan estimasi waktu 6 x 45 Menit. Apa yang saudara lakukan sebagai berikut; a. Membagikan LKPD 3, kemudian memberikan penjelasan mengenai tata cara mengisi LKPD 3. Tahap Stimulation (Pemberian Rangsangan) b. Saudara memberikan motivasi kepada peserta didik agar mengamati permasalahan dari soal yang diberikan pada LKPD 3. (Mengamati) c. Memfasilitasi peserta didik untuk bertanya atau memberikan pendapat terhadap hasil pengamatan soal yang diberikan. (bertanya) Tahap Problem Statement (Identifikasi masalah) d. Meminta peserta didik untuk menuliskan hasil pengamatan soal dalam LKPD 3 terkait dengan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan dari soal dan kondisi penting apa yang menjadi kata kunci untuk menyelesaikan masalah pada soal tersebut. l.
Membagi peserta didik ke dalam kelompok yang beranggotakan 4-5 orang
82
Unit Pembelajaran Turunan Fungsi Aljabar
Tahap Data Collection (Pengumpulan data) e. Menginstruksikan peserta didik untuk menggali informasi agar dapat menyelesaikan soal yang telah diidentifikasi sebelumnya, materi terkait soal, mencari tahu prosedur penyelesaian, (Mengumpulkan informasi) Tahap Verification (Pembuktian) f. Peserta didik menyelesaikan soal yang telah diidentifikasi, dan mencoba saling mengecek dengan sesama anggota kelompoknya Tahap Generalization (Kesimpulan) g. Menginstruksikan peserta didik untuk menuliskan penyelesaian soal dalam LKPD 3 h. Memfasilitasi peserta didik perwakilan dari setiap kelompok untuk mempresentasikan hasil pengamatan dan diskusinya di depan kelas. (mengomunikasikan)
Aktivitas Pembelajaran ke-4 Aktivitas pembelajaran ke-3 ini diharapkan dapat mencapai indikator 3.31.5, yaitu memecahkan masalah turunan fungsi aljabar, yang dilakukan dengan pendekatan pembelajaran saintifik. Adapun aktivitasnya meliputi
1)
mengamati; 2) menanya; 3) mengumpulkan informasi; 4) mengasosiasi; 5) mengomunikasikan. Memecahkan masalah turunan fungsi Tujuan aktivitas pembelajaran a. Mampu menentukan turunan fungsi aljabar dengan sifat-sifat turunan fungsi
83
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Aktivitas pembelajaran disusun menggunakan model pembelajaran Discovery Learning dengan estimasi waktu 6 x 45 Menit. Apa yang saudara lakukan sebagai berikut; a. Membagikan LKPD 4, kemudian memberikan penjelasan mengenai tata cara mengisi LKPD 4. Tahap Stimulation (Pemberian Rangsangan) b. Saudara memberikan motivasi kepada peserta didik agar mengamati permasalahan dari soal yang diberikan pada LKPD 4. (Mengamati) c. Memfasilitasi peserta didik untuk bertanya atau memberikan pendapat terhadap hasil pengamatan soal yang diberikan. (bertanya) Tahap Problem Statement (Identifikasi masalah) d. Meminta peserta didik untuk menuliskan hasil pengamatan soal dalam LKPD 3 terkait dengan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan dari soal dan kondisi penting apa yang menjadi kata kunci untuk menyelesaikan masalah pada soal tersebut. e. Membagi peserta didik ke dalam kelompok yang beranggotakan 4-5 orang Tahap Data Collection (Pengumpulan data) f. Menginstruksikan peserta didik untuk menggali informasi agar dapat menyelesaikan soal yang telah diidentifikasi sebelumnya, materi terkait soal, mencari tahu prosedur penyelesaian, (Mengumpulkan informasi) Tahap Verification (Pembuktian) g. Peserta didik menyelesaikan soal yang telah diidentifikasi, dan mencoba saling mengecek dengan sesama anggota kelompoknya Tahap Generalization (Kesimpulan) h. Menginstruksikan peserta didik untuk menuliskan penyelesaian soal dalam LKPD 4
84
Unit Pembelajaran Turunan Fungsi Aljabar
i.
Memfasilitasi peserta didik perwakilan dari setiap kelompok untuk mempresentasikan hasil pengamatan dan diskusinya di depan kelas. (mengomunikasikan)
B. Lembar Kerja Peserta Didik Berikut ini Lembar Kerja Peserta didik yang digunakan dalam aktivitas pembelajaran, yaitu 1) LKPD 1. Menjelaskan dan memahami konsep turunan; 2) LKPD 2. Menentukan turunan fungsi aljabar dengan menggunakan konsep limit fungsi; 3) LKPD 3. Menentukan turunan fungsi aljabar dengan menggunakan sifat-sifat turunan fungsi; 4) LKPD 4 Memecahkan masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi aljabar.
LKPD 1. Menjelaskan dan memahami konsep turunan Tujuan: Menjelaskan dan memahami konsep turunan fungsi aljabar Prosedur kegiatan 1. Kalian perhatikan contoh peristiwa berikut, di rumah kalian pasti kalian mempunyai alat-alat elektronik, seperti TV, radio, HP, dan lain-lain. Nah pada alat-alat elektronik tersebut pasti ada switch volumenya kan? Baik yang otomatis maupun yang manual. Kalian dapat memperbesar volumenya dan dapat pula mengecilkan volumenya sehingga suara yang keluar dapat sesuai dengan keinginan. Besar kecilnya volume itu tergantung dari arus listrik yang mengalir dan diatur perlambatannya oleh resistor, perubahan percepatan arus terhadap waktu itu merupakan konsep turunan. 2. Buatlah peristiwa penomena dalam kehidupan sehari hari yang mirip dengan peristiwa pada contoh di atas.
85
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................
3. Perhatikan gambar berikut,
Gambar 3 Garis singgung kurva
Perhatikan titik P dan Q, Andaikan kita tarik garis dari titik Q ke titik P, maka garis itu kita sebut tali busur. Jika titik Q kita gerakkan mendekati titik P maka tali busur itu akan menjadi garis singgung. Jika 𝑦 = 𝑓(𝑥) Maka gradien garis PQ adalah 𝑚𝑃𝑄 =
𝑓(𝑥2 ) − 𝑓(𝑥1 ) 𝑥2 − 𝑥1
Untuk 𝑥2 mendekati 𝑥1 maka 𝑓(𝑥2 ) akan mendekati 𝑓(𝑥1 ) dan 𝑋2 − 𝑥1 = ∆𝑥 dan jika titik P mendekati titik Q, maka ∆𝑥 mendekati nol , dengan memanfaatkan konsep limit, maka dapat kita peroleh, 𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1 ) ∆𝑥→0 ∆𝑥
𝑚𝑃𝑄 = lim
86
Unit Pembelajaran Turunan Fungsi Aljabar
4. Perhatikan contoh tentukan persamaan garis singgung di titik dengan absis x=2 pada kurva 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 Jawab, Misalkan 𝑥1 = 2 dan 𝑦1 = ⋯. Sehingga titik singgung di P(2,4). Gradien garis singgung adalah 𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1 ) ∆𝑥→0 ∆𝑥
𝑚 = lim
𝑓(… + ∆𝑥) − 𝑓(… . . ) ∆𝑥→0 ∆𝑥
⟺ 𝑚 = lim
(… + ∆𝑥)2 − (… . . ) ⟺ 𝑚 = lim ∆𝑥→0 ∆𝑥 (… + ⋯ . + ⋯ . ) − (… . . ) ∆𝑥→0 ∆𝑥
⟺ 𝑚 = lim
(… + ⋯ ) ∆𝑥→0 ∆𝑥
⟺ 𝑚 = lim ⟺ 𝑚=⋯
Jadi persamaan garis singgung adalah 𝑦 − ⋯ = ⋯ (𝑥 − ⋯ ) 5. Berdasarkan hasil pengamatan pada contoh soal di poin 4, jika f kontinu di P selanjutnya gradien garis itu disebut turunan dan dinotasikan sebagai berikut; 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) ∆𝑥→0 ∆𝑥
𝑓 ′ (𝑥) = 𝑚 = lim
Notasi untuk turunan itu dapat pula ditulis dengan Notasi Newton 𝑓′(𝑥) atau 𝑦′ untuk turunan pertama fungsi f
87
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Notasi Liebniz
𝑑𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑑𝑦
atau 𝑑𝑥 untuk turunan pertama fungsi f
6. Kalian tuliskan kesimpulan dari hasil penelusuran dan pengamatan masalah di atas .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .....................................
LKPD 2. Menentukan turunan dengan limit fungsi Tujuan : a. Mampu menentukan turunan dengan definisi limit fungsi prosedur kegiatan 1. Kalian perhatikan soal berikut, identifikasi dan selesaikan dengan menggunakan definisi limit fungsi 𝑑𝑦
a. Diketahui kurva dengan persamaan 𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥, tentukan 𝑑𝑥 di 𝑥 = 1 2. Silahkan kalian tuliskan masalah yang ada dalam soal tersebut, kemudian tanyakan hal-hal yang tidak kalian pahami dari soal tersebut. ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................
88
Unit Pembelajaran Turunan Fungsi Aljabar
3. Gambarlah sketsa grafik fungsi 𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥 dan singgung di titik 𝑥 = 1, boleh gunakan software geogebra untuk menggambar sketsa grafik tersebut .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... ........................................................................................................................
4. Lengkapi langkah-langkah menentukan turunan tersebut Misalkan 𝑥1 = 2 dan 𝑦1 = ⋯. Sehingga titik singgung di P(..., ....). 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) = (𝑥 + ∆𝑥)2 + 2(𝑥 + ∆𝑥) Gradien garis singgung adalah 𝑑𝑦 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) = 𝑚 = lim ∆𝑥→0 𝑑𝑥 ∆𝑥 ⟺
𝑑𝑦 𝑓(… + ∆𝑥) − 𝑓(… . . ) = lim ∆𝑥→0 𝑑𝑥 ∆𝑥
⟺
(… + ∆𝑥)2 − (… . . ) 𝑑𝑦 = lim ∆𝑥→0 𝑑𝑥 ∆𝑥
⟺
(… + ⋯ . + ⋯ . ) − (… . . ) 𝑑𝑦 = lim ∆𝑥→0 𝑑𝑥 ∆𝑥
⟺
(… + ⋯ ) 𝑑𝑦 = lim ∆𝑥→0 𝑑𝑥 ∆𝑥
89
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
⟺
𝑑𝑦 =⋯ 𝑑𝑥
5. Buat kesimpulan dari hasil pengaaan dan pekerjaan di atas ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................
LKPD 3. Menentukan turunan dengan sifat sifat turunan Tujuan : a. Mampu menentukan turunan dengan sifat-sifat turunan fungsi prosedur kegiatan 1. Dengan menggunakan pengetahuan yang sudah kalian dapat sebelumnya, tentukan turunan dari 2. Dengan cara yang sama seperti pada point 1, maka lengkapilah sifat-sifat turunan tersebut pada kolom berikut; Misalkan 𝑓, 𝑢, 𝑣 adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan pada interval 𝐼, 𝑎 bilangan real dapat diturunkan maka: 1. 𝑓(𝑥) = 𝑎 → 𝑓 ′ (𝑥) = 0 2. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 → 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑎
90
Unit Pembelajaran Turunan Fungsi Aljabar
3. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑛 → 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑛𝑎𝑥 𝑛−1 4. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑢(𝑥) → 𝑓 ′ (𝑥) = ⋯ 5. 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) ± 𝑣(𝑥) → 𝑓 ′ (𝑥) = ⋯ 6. 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) → 𝑓 ′ (𝑥) = ⋯ 7. 𝑓(𝑥) =
𝑢(𝑥) 𝑣(𝑥)
→ 𝑓 ′ (𝑥) = ⋯
3. Dengan menggunakan sifat-sifat turunan pada poin 2, tentukan nilai-nilai a. 𝑓(𝑥) = 25 b. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 c. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 3 d. 𝑓(𝑥) = 3(2𝑥 + 1) e. 𝑓(𝑥) = (4𝑥 + 2)3 f. 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 1) + (5𝑥 + 10) g. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)(2𝑥 + 1) h. 𝑓(𝑥) =
2𝑥−5 𝑥+1
4. Diskusikan dengan teman-teman sekelompok untuk menyelesaian soal pada poin 3 dan tuliskan jawabannya pada kolom berikut: ..................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................
91
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... 5. Tuliskan kesimpulan dari hasil pembelajaran kalian hari ini pada kolom berikut: ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................
LKPD 4. Memecahkan masalah turunan fungsi Tujuan : a. Mampu memecahkan masalah turunan fungsi prosedur kegiatan 1. Kalian perhatikan masalah berikut ini, 𝑉
arus listrik 𝐼 = 𝑅, dengan 𝑉 = 200 𝑣, dan 𝑅 = 16 Ω . jika berkurang dengan kecepatan 1𝑣/𝑑𝑒𝑡, dan 𝑅 berkurang dengan kecepatan 0,5 Ω/𝑑𝑒𝑡. Maka tentukan perubahan kecepatan arus listrik tersebut! 2. Berdasarkan soal tersebut, kalian tuliskan hal-hal yang diketahui, dan ditanyakan jika perlu tuliskan model matematikanya pada kolom berikut; .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................
92
Unit Pembelajaran Turunan Fungsi Aljabar
.................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... 3. Diskusikan dengan teman-teman sekelompok cara menyelesaikan masalah pada soal poin 1, lalu tuliskan hasil dikusi kalian pada kolom berikut; ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................
4. Tuliskan dengan rapih penyelesaian soal tersebut pada kolom berikut; ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... 5. Berikan kesimpulan dari hasil pembelajaran kalian ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................
93
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
C. Bahan Bacaan
Memahami Konsep Turunan Konsep turunan mulai dirintis oleh Archimides (287-212 SM), Kepler (15711630), Galileo (1564-1642), Newton (1642-1727) dan Leibniz (1646-1716). Mereka itu semua sebagai peletak dasar dari kalkulus diferensial. Namun para ahli berpendapat bahwa Newton dan Leibniz lah yang lebih banyak berkontribusi terhadap perkembangan diferensial. Konsep turunan identik dengan garis singgung dan laju perubahan nilai fungsi. Memahami konsep turunan berawal dari laju perubahan nilai fungsi. Perhatikan gambar berikut
Gambar 4 Garis sinngung, garis normal dan tali busur
Andaikan saya mempunyai fungsi 𝑓(𝑥) yang melalui titik 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ) dan 𝑄(𝑥2 , 𝑦2 ) seperti pada gambar. Kemudian saya tarik garis melalui titik P ke titik Q. jika titik Q digerakkan mendekati P sejauh ∆𝑥, maka 𝑄 ′ = 𝑓(𝑥2 + ∆𝑥). Perubahan rata-rata nilai fungsi 𝑓 terhadap 𝑥 adalah 𝑓(𝑥2 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥2 ) 𝑓(𝑥2 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥2 ) = (𝑥2 + ∆𝑥) − 𝑥2 ∆𝑥
94
Unit Pembelajaran Turunan Fungsi Aljabar
Jika ∆𝑥 semakin kecil, sampai mendekati nol, maka nilai lim
𝑓(𝑥2 +∆𝑥)−𝑓(𝑥2 )
∆𝑥→0
∆𝑥
disebut laju perubahan nilai fungsi 𝑓 pada 𝑥 = ∆𝑥. Kemudian bentuk ini disebu turunan atau derivatif fungsi 𝑓 pada 𝑥 = ∆𝑥. Notasi untuk simbol turunan, Newton menotasikan turunan fungsi f adalah 𝑓′, namun Liebniz menotasikan 𝑑𝑓
dengan 𝑑𝑥 . Contoh perhitungan turunan Tentukan turunan fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 Jawab 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) = (𝑥 + ∆𝑥)2 − 2(𝑥 + ∆𝑥) 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) ∆𝑥→0 ∆𝑥
𝑓 ′ (𝑥) = lim
(𝑥 + ∆𝑥)2 + 2(𝑥 + ∆𝑥) − (𝑥 2 + 2𝑥) ∆𝑥→0 ∆𝑥
⟺ 𝑓 ′ (𝑥) = lim
𝑥 2 + 2𝑥∆𝑥 + (∆𝑥)2 + 2𝑥 + 2∆𝑥 − (𝑥 2 + 2𝑥) ∆𝑥→0 ∆𝑥
⟺ 𝑓 ′ (𝑥) = lim
𝑥 2 + 2𝑥∆𝑥 + (∆𝑥)2 + 2𝑥 + 2∆𝑥 − 𝑥 2 − 2𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥
⟺ 𝑓 ′ (𝑥) = lim
2𝑥∆𝑥 + (∆𝑥)2 + 2∆𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥
⟺ 𝑓 ′ (𝑥) = lim
2𝑥 + ∆𝑥 + 2 = 2𝑥 + 2 ∆𝑥→0 1
⟺ 𝑓 ′ (𝑥) = lim
Jadi turunan fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 adalah 𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥 + 2
95
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Selain menggunakan pendekatan definisi limit, turunan dapat pula dicari dengan menggunakan sifat-sifat turunan fungsi sebagai berikut; Misalkan 𝑓, 𝑢, 𝑣 adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan pada interval 𝐼, jika 𝑎 bilangan real maka: 1. 𝑓(𝑥) = 𝑎 → 𝑓 ′ (𝑥) = 0 2. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 → 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑎 3. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑛 → 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑛𝑎𝑥 𝑛−1 𝑛
4. 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑢(𝑥)) → 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑎𝑛(𝑢(𝑥)𝑛−1 )𝑢′(𝑥) 5. 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) ± 𝑣(𝑥) → 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑢′(𝑥) ± 𝑣′(𝑥) 6. 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) → 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑢′ (𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) + 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣′(𝑥) 7. 𝑓(𝑥) =
𝑢(𝑥) 𝑣(𝑥)
→ 𝑓 ′ (𝑥) =
𝑢′ (𝑥)∙𝑣(𝑥)−𝑢(𝑥)∙𝑣 ′ (𝑥) (𝑣(𝑥))
2
Sebagai contoh menggunakan prosedur sifta-sifat turunan perhatikan soal berikut, Tentukan turunan dari a. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 b. 𝑓(𝑥) = (2𝑥 2 − 3𝑥)4 c. 𝑓(𝑥) = (𝑥 2 − 3)(4𝑥 + 2)2 d. 𝑓(𝑥) =
96
2𝑥 2 −10 𝑥−4
Unit Pembelajaran Turunan Fungsi Aljabar
a. untuk menjawab soal nomor a kita gunakan sifat 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 → 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑎 dan 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑛 → 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑛𝑎𝑥 𝑛−1 , sehingga 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 → 𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥 − 2 Jadi turunan 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 adalah 𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥 − 2 b. untuk menjawan soal b gunakan sifat 𝑛
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑢(𝑥)) → 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑎𝑛(𝑢(𝑥)𝑛−1 )𝑢′(𝑥) Misalkan 𝑢(𝑥) = 2𝑥 2 − 3𝑥 → 𝑢′ (𝑥) = 4𝑥 − 3 Maka 𝑓(𝑥) = (2𝑥 2 − 3𝑥)4 → 𝑓 ′ (𝑥) = 4(2𝑥 2 − 3𝑥)3 (4𝑥 − 3) Jadi turunan dari 𝑓(𝑥) = (2𝑥 2 − 3𝑥)4 adalah 𝑓 ′ (𝑥) = 4(2𝑥 2 − 3𝑥)3 (4𝑥 − 3) c. untuk menjawab soal c kita gunakan sifat 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) → 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑢′ (𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) + 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣′(𝑥), maka Misalkan 𝑢(𝑥) = 𝑥 2 − 3 → 𝑢′ (𝑥) = 2𝑥 𝑣(𝑥) = (4𝑥 + 2)2 → 𝑣 ′ (𝑥) = 2(4𝑥 + 2)(4) = 8(4𝑥 + 2) 𝑓(𝑥) = (𝑥 2 − 3)(4𝑥 + 2)2 → 𝑓 ′ (𝑥) = (2𝑥)(4𝑥 + 2)2 + (𝑥 2 − 3)(8(4𝑥 + 2)) 𝑓 ′ (𝑥) = (4𝑥 + 2)[(2𝑥)(4𝑥 + 2) + (𝑥 2 − 3)8] 𝑓 ′ (𝑥) = (4𝑥 + 2)[(16𝑥 2 + 4𝑥 − 24)] Jadi turunan dari 𝑓(𝑥) = (𝑥 2 − 3)(4𝑥 + 2)2 adalah 𝑓 ′ (𝑥) = (4𝑥 + 2)[(16𝑥 2 + 4𝑥 − 24)]
97
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
d. untuk menjawab soal d, gunakan sifat
𝑓(𝑥) =
𝑢(𝑥) 𝑣(𝑥)
→ 𝑓 ′ (𝑥) =
𝑢′ (𝑥)∙𝑣(𝑥)−𝑢(𝑥)∙𝑣 ′ (𝑥) (𝑣(𝑥))
2
,
Misalkan 𝑢(𝑥) = 2𝑥 2 − 10 → 𝑢′ (𝑥) = 4𝑥 dan 𝑣(𝑥) = 𝑥 − 4 → 𝑣 ′ (𝑥) = 1 Maka, 𝑓(𝑥) =
2𝑥 2 −10 𝑥−4
→ 𝑓 ′ (𝑥) =
𝑓
Jadi turunan dari 𝑓(𝑥) =
′ (𝑥)
2𝑥 2 −10 𝑥−4
(4𝑥)(𝑥−4)−(2𝑥 2 −10)(1) (𝑥−4)2
(2𝑥 2 − 16𝑥 + 10) = (𝑥 − 4)2 adalah
𝑓 ′ (𝑥) =
(2𝑥 2 − 16𝑥 + 10) (𝑥 − 4)2
Pada unit ini hanya diuraikan bahan materi sampai hal yang sifatnya prosedur, sedangkan aplikasi dari turunan yang lebih luas lagi akan diuraikan pada topik aplikasi turunan yaitu megenai nilai ektrim fungsi.
98
Unit Pembelajaran Turunan Fungsi Aljabar
PENGEMBANGAN PENILAIAN
Pada bagian pengembangan penilaian ini akan disajikan contoh soal-soal topik turunan aljabar yang muncul pada ujian nasional tiga tahun terakhir. Soal soal ini merupakan soal soal yang telah dianalisis dianggap sulit oleh peserta didik. Pada bagian ini pula disajikan pengembangan soal HOTS yang diharapkan dapat dijadikan rujukan oleh saudara ketika saudara membuat soal soal yang menuntut kemampuan peserta didik berpikir tingkat tinggi. Diharapkan saudara dapat dengan terampil mengembangkan soal HOTS yang tetap mengacu pada indikator pencapaian kompetensi yang telah ditetapkan sebelumnya.
A. Pembahasan Soal-soal Topik turunan fungsi aljabar merupakan topik yang selalu muncul dalam soalsoal UN. Berdasarkan hasil analisis PAMER UN, topik ini termasuk topik yang kurang berhasil dijawab oleh peserta didik di lingkup nasional. Berikut ini pembahasan soal-soalnya. Soal UN Tahun 2019 Jika 𝑓(𝑥) = A.
3𝑥+2 4−𝑥
−6𝑥+10 (4−𝑥)2 3𝑥−5
B. (4−𝑥)2
untuk 𝑥 ≠ 4, 𝑓′(𝑥) adalah... 10
D. . (4−𝑥)2 5
E. (4−𝑥)2
14
C. (4−𝑥)2 Kunci Jawab : C
99
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Pembahasan Penyelesaian turunan pada soal ini dengan menggunakan sifat-sifat turunan. Sifat turunan yang digunakan 𝑓(𝑥) =
𝑢(𝑥) 𝑣(𝑥)
⟼ 𝑓 ′ (𝑥) =
𝑢′ (𝑥)𝑣(𝑥)−𝑢(𝑥)𝑣 ′ (𝑥) ((𝑣(𝑥))
2
.........(1)
Maka untuk menyelesaiakan soal di atas kita misalkan terlebih dahulu 𝑢(𝑥) = 3𝑥 + 2 ⟼ 𝑢′ (𝑥) = 3 𝑣(𝑥) = 4 − 𝑥 ⟼ 𝑣 ′ (𝑥) = −1 Sehingga 𝑓(𝑥) =
3𝑥 + 2 3(4 − 𝑥) − (−1)(3𝑥 + 2) ⟼ 𝑓 ′ (𝑥) = (4 − 𝑥)2 4−𝑥
⇔ 𝑓 ′ ( 𝑥) =
⇔ 𝑓 ′ ( 𝑥) =
12 − 3𝑥 + 3𝑥 + 2
( 4 − 𝑥) 2 14
( 4 − 𝑥) 2
Jadi turunan pertama dari fungsi 𝑓(𝑥) =
2𝑥+2 adalah 𝑓 ′ (𝑥) 4−𝑥
Soal UN Tahun 2018 2𝑥
Turunan pertama dari fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −5 adalah ... 2𝑥 2 +10 −5)2
D.
2𝑥 2 +10 𝑥 4 +25
𝑥 2 +10 −5)2
E.
2𝑥 2 −10 𝑥 4 −25
A. − (𝑥 2 B. − (𝑥 2
2𝑥 2 −10
C. 𝑥 4 −10𝑥2 +25
100
14
= (4−𝑥)2
Unit Pembelajaran Turunan Fungsi Aljabar
Kunci Jawab : A Pembahasan : Penyelesaian turunan pada soal ini dengan menggunakan sifat-sifat turunan. Sifat turunan yang digunakan 𝑓(𝑥) =
𝑢(𝑥) 𝑣(𝑥)
⟼ 𝑓 ′ (𝑥) =
𝑢′ (𝑥)𝑣(𝑥)−𝑢(𝑥)𝑣 ′ (𝑥) ((𝑣(𝑥))
2
.........(1)
Maka untuk menyelesaiakan soal di atas kita misalkan terlebih dahulu 𝑢(𝑥) = 2𝑥 ⟼ 𝑢′ (𝑥) = 2 𝑣(𝑥) = 𝑥 2 − 5 ⟼ 𝑣 ′ (𝑥) = 2𝑥 Sehingga 𝑓(𝑥) =
2𝑥 2(𝑥 2 − 5) − 2𝑥(2𝑥) ′ (𝑥) ⟼ 𝑓 = (𝑥 2 − 5)2 𝑥2 − 5
′
⇔ 𝑓 ( 𝑥) =
⇔ 𝑓 ′ ( 𝑥) =
⇔ 𝑓 ′ ( 𝑥) =
2𝑥2 − 10 − 4𝑥2
( 𝑥 2 − 5) 2 −2𝑥2 − 10
( 𝑥 2 − 5) 2 −(2𝑥2 + 10)
( 𝑥 2 − 5) 2 2𝑥
Jadi turunan pertama dari fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −5 adalah 𝑓 ′ (𝑥) =
−(2𝑥 2 +10) (𝑥 2 −5)2
Soal UN tahun 2017 Turunan pertama dari 𝑓(𝑥) = (3𝑥 2 − 2)(𝑥 2 + 5) adalah ... A. 6𝑥 3 − 10𝑥 3
D. 12𝑥 3 − 26𝑥
101
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
B. 6𝑥 3 + 10𝑥 2
E. 12𝑥 3 + 26𝑥
C. 6𝑥 3 + 10𝑥
Kunci Jawab : E Pembahasan : Penyelesaian turunan pada soal ini dengan menggunakan sifat-sifat turunan. Sifat turunan yang digunakan 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) ⟼ 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑢′ (𝑥)𝑣(𝑥) + 𝑢(𝑥)𝑣 ′ (𝑥) .........(1) Maka untuk menyelesaiakan soal di atas kita misalkan terlebih dahulu 𝑢(𝑥) = 3𝑥 2 − 2 ⟼ 𝑢′ (𝑥) = 6𝑥 𝑣(𝑥) = 𝑥 2 + 5 ⟼ 𝑣 ′ (𝑥) = 2𝑥 Sehingga 𝑓(𝑥) = (3𝑥 2 − 2)(𝑥 2 + 5) ⟼ 𝑓 ′ (𝑥) = 6𝑥(𝑥 2 + 5) + (3𝑥 2 − 2)(2𝑥)
⇔ 𝑓′ (𝑥) = 6𝑥3 + 30𝑥 + 6𝑥3 − 4𝑥 ⇔ 𝑓′ (𝑥) = 12𝑥3 + 26𝑥 Jadi turunan pertama dari 𝑓(𝑥) = (3𝑥 2 − 2)(𝑥 2 + 5) adalah 𝑓 ′ (𝑥) = 12𝑥 3 + 26𝑥
Soal UN tahun 2016 Jika 𝑓′(𝑥) adalan turunan pertama dari 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 + 6𝑥 2 + 3𝑥 + 6 maka 𝑓 ′ (3) = ⋯
Kunci Jawab : B Pembahasan : Penyelesaian turunan pada soal ini dengan menggunakan sifat-sifat turunan. Sifat turunan yang digunakan
102
Unit Pembelajaran Turunan Fungsi Aljabar
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑛 ⟼ 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑛𝑎𝑥 𝑛−1 .........(1) Maka 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 + 6𝑥 2 + 3𝑥 + 6 ⟼ 𝑓 ′ (𝑥) = 6𝑥 2 + 12𝑥 + 3 Untuk 𝑥 = 3 maka 𝑓 ′ (3) = 6(3)2 + 12(3) + 3 = 54 + 36 + 3 = 93 Jadi 𝑓′(3) untuk 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 + 6𝑥 2 + 3𝑥 + 6 adalah 93.
B. Pengembangan Soal HOTS Pada bagian ini saudara akan diajak untuk memodelkan pembuatan soal yang memenuhi indikator pencapaian kompetensi yang telah diturunkan dari kompetensi dasar pengetahuan. Pembuatan soal diawali dari kisi-kisi untuk memudahkan melihat kesesuaian antara kompetensi dasar, indikator kompetensi dasar, ruang lingkup materi, dan indikator soal. Kemudian dilakukan penyusunan soal dalam kartu soal berdasarkan kisi-kisi yang telah ditetapkan sebelumnya. Soal disajikan secara bertingkat dari soal dengan level low order thinking skill (LOTS) sampai soal level high order thinking (HOTS). 1. Mata Pelajaran Matematika Jenis Sekolah
: SMK
Kelas
: XII
Mata Pelajaran
: Matematika
103
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
No.
Kompetensi
Lingkup
Dasar
Materi
1 1
2
3
3.31
Kalkulus
Materi
Level Soal
4
5 Menjelaskan
Menentukan
Fungsi
konsep
turunan
Aljabar
turunan
turunan
definisi
limit
pertama
fungsi
atau
fungsi
sifat-sifat
aljabar
turunan
dengan sifat-
serta
penerapannya
6 1
7 C2
Bentuk Soal 8 Pilihan Ganda
Menentukan
menggunakan
fungsi
Nomor
Soal
turunan
fungsi aljabar
104
Indikator
sifat turunan
Pilihan 2
C3
Ganda
Unit Pembelajaran Turunan Fungsi Aljabar
Kartu Soal 1 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN KARTU SOAL Tahun Pelajaran 2018/2019 Jenis Sekolah
: SMK
Kurikulum
: 2013
Kelas
: XII
Bentuk Soal
: Pilihan Ganda
Mata Pelajaran
: Matematika
Nama Penyusun
:
KOMPETENSI
Buku Sumber :
DASAR
√
Pengetahuan/
RUMUSAN BUTIR SOAL
fungsi
Perhatikan sifat-sifat turunan berikut yang benar
aljabar
I.
menggunakan definisi
limit
fungsi atau sifatsifat
turunan
fungsi
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑛 ⟼ 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑛𝑎𝑥 𝑛−1
II. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 ⟼ 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 Nomor Soal
serta
penerapannya
1
III. 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) − 𝑣(𝑥) → 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑢′ (𝑥) − 𝑣′(𝑥) VI. 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) → 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑢′ (𝑥)𝑣(𝑥) − 𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥) Manakah diantara sifat-sifat itu yang benar
LINGKUP MATERI Kalkulus
A. I
MATERI
B. I dan III
Turunan
fungsi
Aljabar
Kunci Jawaban
INDIKATOR SOAL
Menjelaskan konsep
Penalaran
Pemahaman
3.31 Menentukan turunan
Aplikasi
B
C. I, II, dan III D. II dan IV E. IV
turunan
fungsi aljabar
105
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Kartu Soal 2 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN KARTU SOAL Tahun Pelajaran 2018/2019 Jenis Sekolah
: SMK
Kurikulum
: 2013
Kelas
: XII
Bentuk Soal
: Pilihan Ganda
Mata Pelajaran
: Matematika
Nama Penyusun
:
Pengetahuan/ KOMPETENSI DASAR
√
Buku Sumber : Pemahaman
3.31 Menentukan turunan fungsi aljabar menggunakan definisi limit fungsi atau sifat-sifat turunan fungsi serta penerapannya
RUMUSAN BUTIR SOAL
Nomor Soal 2
LINGKUP MATERI
Aplikasi
Turunan pertama 𝑓(𝑥) = A. 𝑓 ′ (𝑥) =
6 2𝑥−1
B. 𝑓 ′ (𝑥) = −
6 1 4
4(𝑥 2 −𝑥+ )
Kalkulus 6
C. 𝑓 ′ (𝑥) = (2𝑥−1)2
MATERI Turunan fungsi Aljabar
Kunci Jawaban
INDIKATOR SOAL
3.31.3
Menentukan
turunan fungsi aljabar dengan
sifat-sifat
turunan fungsi
106
B
D. 𝑓 ′ (𝑥) =
6 4𝑥+1 6
E. 𝑓 ′(𝑥) = − (4𝑥+1)2
4𝑥+1 2𝑥−1
adalah...
Penalaran
Unit Pembelajaran Turunan Fungsi Aljabar
2. Mata Pelajaran Matematika Jenis Sekolah
: SMK
Kelas
: XII
Mata Pelajaran
: Matematika
No. 1 1
Kompetensi Dasar 2 3.31 Menentukan turunan fungsi aljabar menggunakan definisi limit fungsi atau sifatsifat turunan fungsi serta penerapannya
Lingkup Materi 3 Kalkulus
Materi 4 Turunan fungsi Aljabar
Indikator Soal 5 Menentukan
Nomor Soal 6 3
7 C3
Bentuk Soal 8 Uraian
C4
uraian
Level
turunan fungsi aljabar dengan definisi limit Memecahkan masalah turunan fungsi aljabar
4
107
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Kartu 4 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN KARTU SOAL Tahun Pelajaran 2018/2019
Jenis Sekolah Kelas Mata Pelajaran
: SMK : XII : Matematika
KOMPETENSI DASAR 3.31 Menentukan turunan fungsi aljabar menggunakan definisi limit fungsi atau sifatsifat turunan fungsi serta penerapannya LINGKUP MATERI Kalkulus MATERI Turunan fungsi aljabar INDIKATOR SOAL Memecahkan masalah limit fungsi aljabar
108
Buku Sumber :
Kurikulum Bentuk Soal Nama Penyusun Pengetahuan/ Pemahaman
: 2013 : Uraian : Aplikasi
√ Penalaran
RUMUSAN BUTIR SOAL Nomor Soal 4
Dengan menggunakan konsep limit, tentukan turunan dari (𝑥) = 𝑥 2 + 3 !
Unit Pembelajaran Turunan Fungsi Aljabar
Pedoman Penskoran Kunci Jawaban
Skor
Diketahui : 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 3 Ditanyakan : tentukan turunan 𝑓(𝑥) dengan konsep limit
20
Turunan dari 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 3 adalah 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) = (𝑥 + ∆𝑥)2 + 3 (𝑥 + ∆𝑥)2 + 3 − (𝑥 2 + 3) 𝑓 ′ (𝑥) = lim ∆𝑥→0 ∆𝑥 2 𝑥 + 2𝑥∆𝑥 + (∆𝑥)2 − 𝑥 2 − 3 ⟺= lim ∆𝑥→0 ∆𝑥 2 (∆𝑥) 2𝑥∆𝑥 + ⟺= lim ∆𝑥→0 ∆𝑥 ⟺= lim 2𝑥 + ∆𝑥
75
∆𝑥→0
⟺= 2𝑥 Jadi turunan dari 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 3 adalah 2𝑥
5
109
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN KARTU SOAL Tahun Pelajaran 2018/2019
Jenis Sekolah Kelas Mata Pelajaran
: SMK : XII : Matematika
KOMPETENSI DASAR
Buku Sumber : Nomor Soal
LINGKUP MATERI Kalkulus MATERI Turunan fungsi aljabar INDIKATOR SOAL Memecahkan masalah limit fungsi aljabar
110
4
Kurikulum Bentuk Soal Nama Penyusun Pengetahuan/ Pemahaman
: 2013 : Uraian : Aplikasi
√ Penalaran
RUMUSAN BUTIR SOAL Tentukan persamaan garis singgung kurva 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 di titik yang berabsis 3?
Unit Pembelajaran Turunan Fungsi Aljabar
Kunci Jawaban
Skor
Diketahui : 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 − 3
20
Absis = 3 Ditanyakan : persamaan garis singgung Langakah 1 Menentukan titik singgung kurva, karena absis = 3 maka kita dapat mencari ordinatnya dengan cara mensubstitusikan ke 75 kurva 𝑦 = 𝑓(3) = (3)2 − 2(3) − 3 = 0 Jadi titik singgungnya di (3,0) Langkah 2 Menentukan gradien garis singgung untuk 𝑥 = 3 𝑚 = 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 − 2 𝑚 = 𝑓 ′ (3) = 2(3) − 2 = 4 Langkah 3 Menentukan persamaan garis singgung dengan gradien 4 melalui titik (3,0) 𝑦 − 0 = 4(𝑥 − 3) 𝑦 = 4𝑥 − 12 Jadi
persamaan
garis
singgung
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 di titik yang
kurva
kurva
berabsis 3 adalah
5
𝑦 = 4𝑥 − 12
111
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
C. Refleksi Pembelajaran Penyempurnaan
kegiatan
pembelajaran
yang
saudara
lakukan
disempurnakan dengan kegiatan refleksi. Kegiatan refleksi unit pembelajaran turunan fungsi aljabar dimulai dengan merefleksi proses pembelajaran, peserta didik, penilaian, dan ketercapaian kompetensi dasar. Adapun refleksi untuk masing masing tersebut saudara lakukan melalui kegiatan berikut: 1. pada proses pembelajaran saudara melihat kembali, apakah langkahlangkah aktivitas yang sudah direncanakan secara tertulis dilaksanakan ketika kegiatan pembelajaran berlangsung, berikan penilaian ketercapaian dalam persentase berapa persen dari langkah-langkah tersebut telah terlaksana. 2. pada proses pembelajaran saudara perhatikan peserta didik dalam melaksanakan aktivitas belajar, apakah sudah sesuai dengan LKPD yang telah disusun, kemudian berikan penlaian ketercapaian siswa dalam mengerjakan LKPD dalam persentase. Berapa persen dari LKPD tersebut siswa laksanakan. 3. pada proses penilaian, saudara perhatikan kesesuaian bentuk soal dengan Kompetensi dasar (KD) dan IPK, apakah sudah sesuai level kognitif yang ditetapkan pada masing-masing IPK. 4. tahap akhir refleksi saudara memperhatikan hasil pekerjaan siswa dalam menyelesaikan soal, apakah sudah memenuhi target KKM, jika belum mencapai KKM maka belum tercapai target dari kompetensi dasar yang telah ditetapkan. Buatlah penilaian ketercapaian kompetensi dasar dari hasil pekerjaan siswa dengan mengacu pada KKM untuk unit turunan fungsi aljabar.
112
Unit Pembelajaran Turunan Fungsi Aljabar
KESIMPULAN
isi unit pembelajaran turunan fungsi aljabar ini dimulai dari memaparkan kompetensi
dasar 3.31,
yaitu
menentukan
turunan
fungsi
aljabar
menggunakan definisi limit fungsi atau sifat-sifat turunan fungsi serta penerapannya dan kompetensi keterampilan 4.31, yaitu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi aljabar. KD 3.31 setelah diturunkan termasuk dalam ruang lingkup materi turunan fungsi aljabar yang diberikan pada kelas XII SMK. Agar KD ini dapat terukur, maka diturunkan dalam indikator pencapaian kompetensi. Setelah di turunkan maka gradasi capaian kompetensi dimulai dari C1, C2, C3, dan C4. Dengan memperhatikan level
kognitif
dalam
mengembangkan
pencapaian
kemampuan
kompetensi
siswa
secara
ini
saudara
bergradasi
dituntut
mulai
dari
pengetahuan, pemahaman, aplikasi sampai penalaran. Sedangkan kompetensi dasar keterampilan menuntut saudara memberikan kesempatan kepada peserta didik untuk mengembangkan kreativitasnya. Pencapaian level berpikir tingkat tinggi tidak mudah untuk dicapai, pencapaian hanya akan tercapai jika pembelajaran dilakukan secara bergradasi
dari
mulai
mengetahui,
kemudian
memahami
dapat
mengaplikasikan sehingga sampai pada level bernalar. Oleh karena itu pembelajaran turunan fungsi aljabar harus dilakukan secara berjenjang. Pendekatan pembelajaran disesuaikan dengan pendekatan yang disarankan oleh pemerintah yaitu pendekatan saintifik sehingga jenjangnya tampak mulai dari mengamati masalah, dilanjutkan dengan menany, setelah itu dilanjutkan dengan
mengumpulkan
informasi
,
mengasosiasi
dan
terakhir
mengkomunikasikan hasil belajarnya. Dalam melatihkan konsep turunan fungsi aljabar permasalahan lebih banyak direkayasa sehingga model pembelajaran yang dapat mendukung pencapaian kompetensi dasar adalah model discovery learning. Model DC ini merupakan model yang di susun
113
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
dengan pola student center, sehingga dalam prakteknya dibantu oleh Lembar Kerja Siswa (LKPD) supaya dalam pembelajaran dapat mandiri dan terarah. Diharapkan dengan ini level kognitif penalaran dapat tercapai. Selain perencanaan secara administratif, konten materi tidak kalah penting, maka konten materi disusun sesuai dengan KD untuk turunan fungsi aljabar. Pada unit ini materi disusun mulai dari menjelaskan apa iti turunan, keterkaitan dengan materi limit fungsi, dan sifat-sifat turunan fungsi sebagai alat bantu prosedur untuk menyelesaikan masalah turunan fungsi aljabar. Sebagai pelengkap dari unit ini, disajikan beberapa soal UN yang pernah dikeluarkan dalam ujian nasional tiga tahun terakhir. Soal-soal UN ini dianalisis dari mulai level kognitif, lingkup materi, dan kompetensi dasar. Dan pada bagian lain soal-soal ini dibahas cara menyelesaikannya. Selain soal-soal UN pada unit ini dikembangkan juga cara mengembangkan soal dari mulai soal yang level kognitifnya C1 smapai yang level kognitifnya penalaran yaitu C4, C5, dan C6. Diharapkan pembaca dapat mengembangkan soal-soal secara bergradasi dari level yang rendah sampai level yang HOTS.
114
Unit Pembelajaran Turunan Fungsi Aljabar
UMPAN BALIK
Sebuah proses yang baik harus selalu disertai dengan refleksi terhadap apa yang telah kita lakukan. Begitu pula untuk mengetahui pemahaman saudara terhadap unit pembelajaran limit fungsi aljabar ini, saudara harus mengisi lembar persepsi pemahaman ini. Dengan mengisi lembar persepsi pemahaman ini saudara akan mengetahui posisi saudara dalam memahami unit pembelajaran ini. Oleh karena itu isilah lembar persepsi diri ini sebagai refleksi saudara terhadap unit pembelajaran turunan fungsi aljabar dengan objektif dan jujur. No 1 2 3
4 5 6 7 8 9
Aspek
1
Kriteria 2 3
4
Memahami indikator yang telah dikembangkan berdasarkan Kompetensi Dasar Mampu menghubungkan konten materi dengan fenomena kehidupan sehari-hari Merasa bahwa tahapan aktivitas pembelajaran dapat mengembangkan HOTS peserta didik Memahami tahapan aktivitas yang disajikan dngan baik Mampu dengan baik mengaplikasikan aktivitas pembelajaran di dalam kelas Memahami dengan baik Lembar Kerja Peserta Didik yang dikembangkan Mampu melaksanakan dengan baik Lembar Kerja Peserta Didik yang dikembangkan Memahami konten secara menyeluruh dengan baik Memahami prosedur penyusunan soal HOTS dengan baik
115
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
10
Mampu membahas soal HOTS yang disajikan dengan tepat Jumlah Jumlah Total
Keterangan 1= tidak menguasai 2 = cukup menguasai 3 = menguasai 4 = sangat menguasai
Pedoman penskoran Skor =
Jumlah Total x 100 40
Keterangan Umpan Balik Skor < 70
Umpan Balik Masih banyak yang belum dipahami, diantara konten, cara membelajarkan, mengembangkan penilaian dan melaksanakan penilaian berorientasi HOTS. Saudara membaca ulang unit ini dan mendiskusikannya dengan fasilitator di MGMP sampai saudara memahaminya.
70 - 79
Masih ada yang belum dipahami dengan baik, di antara konten,
cara
membelajarkan,
mengembangkan
penilaian dan melaksanakan penilaian berorientasi HOTS. Saudara perlu mendiskusikan bagian yang belum dipahami dengan fasilitator atau teman lain di MGMP 80 - 89
Memahami
konten,
mengembangkan
cara
penilaian
dan
membelajarkan, melaksanakan
penilaian berorientasi HOTS dengan baik.
116
Unit Pembelajaran Turunan Fungsi Aljabar
117
Unit Pembelajaran PROGRAM PENGEMBANGAN KEPROFESIAN BERKELANJUTAN (PKB) MELALUI PENINGKATAN KOMPETENSI PEMBELAJARAN (PKP) BERBASIS ZONASI MATA PELAJARAN MATEMATIKA SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN (SMK)
Aplikasi Turunan Pertama Penulis: Iwan Gunawan, M.Pd., M.PMat. Penyunting: Dr. Joko Soebagyo, M.Pd. Desainer Grafis dan Ilustrator: TIM Desain Grafis
Copyright © 2019 Direktorat Pembinaan Guru Pendidikan Menengah dan Pendidikan Khusus Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang Dilarang mengopi sebagian atau keseluruhan isi buku ini untuk kepentingan komersial tanpa izin tertulis dari Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
Unit Pembelajaran Aplikasi Turunan Pertama
DAFTAR ISI
Hal DAFTAR ISI _________________________________ 121 DAFTAR GAMBAR_____________________________ 122 PENDAHULUAN ______________________________ 123 KOMPETENSI DASAR DAN PERUMUSAN (IPK) ______ 123 A. Kompetensi Dasar dan Target Kompetensi _____________________________ 123 B. Indikator Pencapaian Kompetensi ______________________________________ 124 APLIKASI DI DUNIA NYATA ____________________ 126 A. Aplikasi Turunan Pertama _______________________________________________ 126 SOAL-SOAL UN/USBN _________________________ 128 A. Soal Interval Kemonotonan Fungsi ______________________________________ 128 BAHAN PEMBELAJARAN _______________________ 133 A. Aktivitas Pembelajaran ___________________________________________________ 133 Aktivitas Pembelajaran ke-1 ____________________________________________________ 133 Aktivitas pembelajaran ke-2 ____________________________________________________ 135 Aktivitas pembelajaran ke-3 ____________________________________________________ 138 Aktivitas pembelajaran ke-4 ____________________________________________________ 140 Aktivitas pembelajaran ke-5 ____________________________________________________ 142 Aktivitas pembelajaran ke-6 ____________________________________________________ 144 Aktivitas pembelajaran ke-7 ____________________________________________________ 146
B. Lembar Kerja Peserta Didik ______________________________________________ 148 LKPD 1. Nilai maksimum dan minimum fungsi ________________________________ 148 LKPD 2. Kemonotonan fungsi ___________________________________________________ 150 LKPD 3. Gradien garis singgung kurva _________________________________________ 152 LKPD 4. Analisis nilai maksimum dan minimum ______________________________ 154 LKPD 5. Analisis interval kemonotonan kurva_________________________________ 155 LKPD 6. Analisis gradien garis singgung _______________________________________ 156 LKPD 7. Memecahkan masalah aplikasi turunan pertama ____________________ 158
121
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
C. Bahan Bacaan _____________________________________________________________ 159 Nilai maksimum dan minimum fungsi__________________________________________ 159 Kemonotonan kurva _____________________________________________________________ 161 Garis singgung kurva ____________________________________________________________ 162
PENGEMBANGAN PENILAIAN ____________________ 164 A. Pembahasan Soal-soal UN _______________________________________________ 164 B. Pengembangan Soal HOTS _______________________________________________ 167 C. Refleksi Pembelajaran ___________________________________________________ 182 KESIMPULAN ________________________________ 183 UMPAN BALIK _______________________________ 185
DAFTAR GAMBAR
Hal Gambar 1 Pabrik mobil _________________________________________________________ 126 Gambar 2 Grafik fungsi maksimum dan minimum___________________________ 148 Gambar 3. Fungsi naik dan turun ______________________________________________ 150 Gambar 4. Fungsi naik dan turun ______________________________________________ 162
122
Unit Pembelajaran Aplikasi Turunan Pertama
PENDAHULUAN
KOMPETENSI DASAR DAN PERUMUSAN (IPK)
A. Kompetensi Dasar dan Target Kompetensi Sub unit pembelajaran ini dikembangkan berdasarkan Kompetensi Dasar kelas XII: Kompetensi Dasar
Target Kompetensi
3.32 Menganalisis keberkaitan 1. Menganalisis
keberkaitan
turunan pertama fungsi
turunan
dengan nilai maksimum,
dengan
nilai
dan nilai minimum,
minimum,
selang
dan
kemonotonan
fungsi, serta kemiringan garis singgung kurva
pertama nilai
2. Menganalisis turunan
Kelas XII
fungsi
maksimum
keberkaitan
pertama
fungsi
dengan
selang
kemonotonan fungsi 3. Menganalisis turunan
keberkaitan
pertama
fungsi
dengan kemiringan garis singgung kurva 4.32
Menyelesaikan kontektual berkaitan
masalah
Menyelesaikan
masalah
yang
kontektual yang berkaitan
dengan
dengan turunan pertama
turunan pertama fungsi
XII
fungsi aljabar
aljabar
123
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
B. Indikator Pencapaian Kompetensi IPK Pengetahuan 3.32
Menganalisis turunan
IPK Keterampilan
keberkaitan 4.32
pertama
fungsi
Menyelesaikan
kontektual yang berkaitan
dengan nilai maksimum, nilai
dengan
minimum,
fungsi aljabar
dan
selang
masalah
turunan
pertama
kemonotonan fungsi, serta kemiringan garis singgung kurva IPK Pendukung 3.32.1 Menentukan nilai maksimum 4.32.1
Mengidentifikasi
masalah
dan minimum fungsi aljabar
kontektual yang berkaitan
dengan
dengan turunan pertama
memanfaatkan
turunan pertama 3.32.2 Menentukan
fungsi aljabar selang
kemonotonan fungsi aljabar dengan
memanfaatkan
turunan pertama 3.32.3 Menentukan gradien garis singgung kurva IPK Kunci 3.32.4 Menganalisis nilai maksimum 4.32.2
masalah
dan minimum fungsi aljabar
kontektual yang berkaitan
dengan
dengan turunan pertama
memanfaatkan
turunan pertama 3.32.5 Menganalisis
fungsi aljabar selang
kemonotonan fungsi aljabar
124
Menyelesaikan
Unit Pembelajaran Aplikasi Turunan Pertama
dengan
memanfaatkan
turunan pertama 3.32.6 Menganalisis gradien garis singgung kurva IPK Pengayaan 3.32.7 Memecahkan masalah nilai maksimum dan minimum fungsi
aljabar
memanfaatkan
dengan turunan
pertama 3.32.8 Memecahkan masalah selang kemonotonan fungsi aljabar dengan
memanfaatkan
turunan pertama 3.32.9
Memecahkan gradien
garis
masalah singgung
kurva
125
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
APLIKASI DI DUNIA NYATA
A. Aplikasi Turunan Pertama Misalkan, kita mempunyai sebuah fungsi 𝑓(𝑥), maka jika fungsi 𝑓(𝑥) tersebut diturunkan satu kali menjadi 𝑓′(𝑥) akan banyak manfaat yang diperoleh dari turunan pertama tersebut. Selanjutnya manfaat turunan pertama tersebut kita beri nama aplikasi dari turunan pertama sebuah fungsi. Salah satu manfaat turunan pertama dari fungsi tersebut adalah untuk menentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi atau nilai ektrim fungsi. Salah satu contoh aplikasi dalam kehidupan sehari-hari berkaitan dengan biaya produksi sebuah perusahan mobil dalam memproduksi mobil setiap hari. Perhatikan Gambar 1. Aktivitas produksi sebuah pabrik mobil. Biaya produksi pabrik mobil tersebut berasal dari beberapa komponen biaya, sehingga biaya produksi dinyatakan dalam sebuah fungsi biaya produksi. Dengan memperhatikan fungsi tersebut biaya produksi, maka biaya minimum produksi dapat dihitung dengan memanfaatkan turunan fungsi pertama.
Gambar 1 Pabrik mobil
Secara matematis, jika turunan pertama sebuah fungsi sama dengan nol, maka nilai fungsi tersebut akan maksimum pada titik tersebut. Misalnya kita punya
126
Unit Pembelajaran Aplikasi Turunan Pertama
fungsi 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 − 4𝑥, turunan pertama fungsi tersebut adalah 𝑓 ′ (𝑥) = 4𝑥 − 4 jika turuna pertama fungsi tersebut nol yaitu 𝑓′(𝑥) = 0, maka 0 = 4𝑥 − 4 kita peroleh 𝑥 = 1, nah fungsi 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 − 4𝑥 akan memiliki nilai maksimum pada saat 𝑥 = 1. Selain dimanfaatkan dalam bidang dunia nyata yang real, aplikasi turunan pertama juga dapat dimanfaatkan untuk bidang matematika yang lain. Aplikasi untuk matematika diantaranya untuk menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi, untuk menentukan kemonotonan grafik sebuah fungsi, dan untuk mencari persamaan garis singgung pada kurva.
127
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
SOAL-SOAL UN/USBN
A. Soal Interval Kemonotonan Fungsi Berikut merupakan contoh soal Ujian Nasional yang berkaitan dengan topik Turunan fungsi aljabar. Soal ini sesuai dengan Kompetensi Dasar 3.32 menganalisis keberkaitan turunan pertama fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, dan selang kemonotonan fungsi, serta kemiringan garis singgung kurva (perdirjen 464 tahun 2018). Soal ini dapat dijadikan sebagai bahan pembelajaran untuk saudara ajarkan kepada siswa dan dijadikan bahan latihan dengan mengembangkan soal sejenis. Soal UN tahun 2019 No.
Soal UN Tahun 2019
1
Grafik fungsi 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 45𝑥 2 + 216𝑥 − 195 turun pada interval adalah ... A. 𝑥 < 3 atau 𝑥 > 12 B. 𝑥 < −3 atau 𝑥 < 12 C. 𝑥 < −12 atau 𝑥 > −3 D. −12 < 𝑥 < −3 E. 3 < 𝑥 < 12
Identifikasi Kelas / Semester
:
XII/Ganjil
Level Kognitif
:
C4
128
Unit Pembelajaran Aplikasi Turunan Pertama
Indikator
yang :
bersesuaian
3.32.7 Menganalisis
selang
kemonotonan fungsi aljabar dengan memanfaatkan turunan pertama
Diketahui
:
fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 9𝑥 2 + 15𝑥 − 14
Ditanyakan
:
Pada interval mana 𝑓(𝑥) turun
Materi yang dibutuhkan
:
Kemonotonan fungsi
No.
Soal UN Tahun 2019
2
Garis 𝑘 menyinggung kurva 𝑦 = 2𝑥 2 − 5𝑥 + 7 di titik (2,5). Titik lain yang juga terletak pada garis 𝑘 adalah.... A.( 1, 8 ) B. ( 1, -3 ) C. ( 1, -2 ) D. ( 1, 1 ) E. (1, 2 )
Identifikasi Kelas / Semester
:
XII/Ganjil
Level Kognitif
:
C4
Indikator bersesuaian
yang :
3.32.6
Menganalisis
gradien
garis
singgung kurva
129
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Diketahui
:
Garis 𝑘 menyinggung kurva 𝑦 = 2𝑥 2 − 5𝑥 + 7 di titik (2,5)
Ditanyakan
:
Titik lain yang terletak pada garis 𝑘
Materi yang dibutuhkan
:
Garis singgung kurva
Soal UN tahun 2018 No.
Soal UN Tahun 2018
1
Grafik fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 9𝑥 2 + 15𝑥 − 14 turun pada interval adalah ... A. 𝑥 < 1 atau 𝑥 > 5 B. 𝑥 < −3 atau 𝑥 > 3 C. 1 < 𝑥 < 5 D. −5 < 𝑥 < 3 E. −5 < 𝑥 < −1
Identifikasi Kelas / Semester
:
XII/Ganjil
Level Kognitif
:
C4
Indikator bersesuaian
yang :
3.32.7 Menganalisis selang kemonotonan fungsi aljabar dengan memanfaatkan turunan pertama
Diketahui
:
Fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 9𝑥 2 + 15𝑥 − 14
Ditanyakan
:
Pada interval mana 𝑓(𝑥) turun
Materi yang dibutuhkan
:
Kemonotonan fungsi
130
Unit Pembelajaran Aplikasi Turunan Pertama
Soal UN Tahun 2017 No.
1
Soal UN Tahun 2017 1 3
Interval 𝑥 agar 𝑓(𝑥) = 2 + 𝑥 2 − 𝑥 3 , naik adalah ... A.
−2 < 𝑥 < 0
B.
−1 < 𝑥 < 0
C.
0 0
Identifikasi Kelas / Semester
:
XII/Ganjil
Level Kognitif
:
C4
Indikator
yang :
bersesuaian
3.32.7 Menganalisis
selang
kemonotonan fungsi aljabar dengan memanfaatkan turunan pertama
Diketahui
:
fungsi 𝑓(𝑥) = 2 + 𝑥 2 − 3 𝑥 3
Ditanyakan
:
Pada interval mana 𝑓(𝑥) naik
Materi yang dibutuhkan
:
Kemonotonan fungsi
1
131
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Soal UN Tahun 2016 No.
Soal UN Tahun 2016
1
Diketahui 𝑓(𝑥) = 2 + 𝑥 2 − 𝑥 3 ,interval 𝑥 agar 𝑓(𝑥) naik adalah ...
1 3
A. −2 < 𝑥 < 0 B. −1 < 𝑥 < 0 C.
0 0
Identifikasi Kelas / Semester
:
XII/Ganjil
Level Kognitif
:
C4
Indikator
yang :
bersesuaian
3.32.7 Menganalisis
selang
kemonotonan fungsi aljabar dengan memanfaatkan turunan pertama
Diketahui
:
fungsi 𝑓(𝑥) = 2 + 𝑥 2 − 3 𝑥 3
Ditanyakan
:
Pada interval mana 𝑓(𝑥) naik
Materi yang dibutuhkan
:
Kemonotonan fungsi
132
1
Unit Pembelajaran Aplikasi Turunan Pertama
BAHAN PEMBELAJARAN
Bahan pembelajaran yang disajikan dalam unit pembelajaran ini merupakan panduan bagi saudara dalam melaksanakan pembelajaran untuk aplikasi turunan pertama. Unit pembelajaran ini dikembangkan untuk membantu saudara dalam membelajarkan peserta didik agar terjadi pembelajaran yang terpusat pada peserta didik dan berusaha memfasilitasi kemampuan berpikir tingkat tinggi. Bahan pembelajaran ini meliputi aktivitas pembelajaran dan lembar kegiatan peserta didik yang dilengkapi dengan bahan bacaan.
A. Aktivitas Pembelajaran Aktivitas pembelajaran ini merupakan rincian pelaksanaan pembelajaran yang ditawarkan menjadi salah satu alternatif aktivitas pembelajaran yang dapat
diimplementasikan
oleh
saudara
ketika
akan
melaksanakan
pembelajaran pada topik aplikasi turunan pertama.
Aktivitas Pembelajaran ke-1 Aktivitas pembelajaran kali ini akan mempelajari topik aplikasi turunan pertama. Sebagai langkah awal peserta didik diperkenalkan dengan konsep aplikasi turunan pertama dalam kehidupan sehari-hari. Aktivitas pembelajaran ini diharapkan dapat mencapai indikator 3.32.1, yaitu menentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi aljabar dengan memanfaatkan turunan pertama. Aktivitas pembelajaran ini dilakukan dengan pendekatan pembelajaran saintifik. Adapun aktivitasnya meliputi
1)
mengamati; 2) menanya; 3) mengumpulkan informasi; 4) mengasosiasi; 5) mengomunikasikan.
133
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Tujuan aktivitas pembelajaran a. Mampu menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi berkaitan dengan turunan pertama Aktivitas pembelajaran disusun menggunakan model pembelajaran Discovery Learning dengan estimasi waktu 6 x 45 Menit. Apa yang saudara lakukan sebagai berikut; a. Membagikan LKPD 1, kemudian memberikan penjelasan mengenai tata cara mengisi LKPD 1. Tahap Stimulation (Pemberian Rangsangan) b. Saudara memberikan motivasi kepada peserta didik dengan memberikan penguatan pendidikan karakter baik dalam bentuk cerita atau ajakan melakukan perbuatan yang berkarakter baik. Selanjutnya mengajak peserta didik mengamati permasalahan dari soal yang diberikan pada LKPD 1. (Mengamati) c. Memfasilitasi peserta didik untuk bertanya atau memberikan pendapat terhadap hasil pengamatan soal yang diberikan. (bertanya) Tahap Problem Statement (Identifikasi masalah) d. Meminta peserta didik untuk menuliskan hasil pengamatan soal dalam LKPD 1 terkait dengan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan dari soal dan kondisi penting apa yang menjadi kata kunci untuk menyelesaikan masalah pada soal tersebut. e. Membagi peserta didik ke dalam kelompok yang beranggotakan 4-5 orang Tahap Data Collection (Pengumpulan data) f. Menginstruksikan peserta didik untuk menggali informasi agar dapat menyelesaikan soal yang telah diidentifikasi sebelumnya, materi terkait soal, mencari tahu prosedur penyelesaian. Peserta didik dapat mengakses
134
Unit Pembelajaran Aplikasi Turunan Pertama
pengetahuan barunya melalui kegiatan membaca dari hasil brosing di internet, modul yang disediakan, atau sumber-sumber terkait yang berhubungan dengan permasalahan. (Mengumpulkan informasi) Tahap Verification (Pembuktian) g. Peserta didik menyelesaikan soal yang telah diidentifikasi, dan mencoba saling mengecek dengan sesama anggota kelompoknya h. Menyarankan peserta didik mengecek hasil pekerjaannya dengan menggunakan software geogebra Tahap Generalization (Kesimpulan) i.
Menginstruksikan peserta didik untuk menuliskan penyelesaian soal dalam LKPD 1
j.
Memfasilitasi peserta didik perwakilan dari setiap kelompok untuk mempresentasikan hasil pengamatan dan diskusinya di depan kelas. (mengomunikasikan)
Aktivitas pembelajaran ke-2 Aktivitas pembelajaran kali ini akan mempelajari topik aplikasi turunan pertama. Sebagai langkah awal peserta didik diperkenalkan dengan konsep aplikasi turunan pertama dalam kehidupan sehari-hari. Aplikasi dalam kehidupan sehari-hari harus diberikan untuk memberikan motivasi minat belajar matematika khususnya pada materi aplikasi turunan pertama. Aktivitas pembelajaran ini diharapkan dapat mencapai indikator 3.32.2, yaitu menentukan selang kemonotonan fungsi aljabar dengan memanfaatkan turunan pertama. Pencapaian IPK tersebut dilakukan pembelajaran dengan pendekatan pembelajaran saintifik yaitu pendekatan pembelajaran yang disarankan oleh amanat kurikulum 2013. Adapun aktivitasnya meliputi 1)
135
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
mengamati; 2) menanya; 3) mengumpulkan informasi; 4) mengasosiasi; 5) mengomunikasikan. Menentukan Kemonotonan Fungsi Tujuan aktivitas pembelajaran a. Mampu menentukan selang kemonotonan fungsi aljabar dengan memanfaatkan turunan pertama Aktivitas pembelajaran disusun menggunakan model pembelajaran Discovery Learning dengan estimasi waktu 6 x 45 Menit. Apa yang saudara lakukan sebagai berikut; a. Membagikan LKPD 2, kemudian memberikan penjelasan mengenai tata cara mengisi LKPD 2. Tahap Stimulation (Pemberian Rangsangan) b. Saudara memberikan motivasi kepada peserta didik dengan memberikan penguatan pendidikan karakter baik dalam bentuk cerita atau ajakan melakukan perbuatan yang berkarakter baik. Selanjutnya mengajak peserta didik mengamati permasalahan dari soal yang diberikan pada LKPD 2. (Mengamati) c. Memfasilitasi peserta didik untuk bertanya atau memberikan pendapat terhadap hasil pengamatan soal yang diberikan. (bertanya) Tahap Problem Statement (Identifikasi masalah) d. Meminta peserta didik untuk menuliskan hasil pengamatan soal dalam LKPD 2 terkait dengan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan dari soal dan kondisi penting apa yang menjadi kata kunci untuk menyelesaikan masalah pada soal tersebut.
136
Unit Pembelajaran Aplikasi Turunan Pertama
e. Membagi peserta didik ke dalam kelompok yang beranggotakan 4-5 orang. Pembentukan kelompok dapat dilakukan dengan pemilihan secara acak atau berdasarkan homogenitas prestasi siswa.
Tahap Data Collection (Pengumpulan data) f. Menginstruksikan peserta didik untuk menggali informasi agar dapat menyelesaikan soal yang telah diidentifikasi sebelumnya, materi terkait soal, mencari tahu prosedur penyelesaian. Peserta didik dapat mengakses pengetahuan barunya melalui kegiatan membaca dari hasil brosing di internet, modul yang disediakan, atau sumber-sumber terkait yang berhubungan dengan permasalahan. (Mengumpulkan informasi) Tahap Verification (Pembuktian) g. Peserta didik menyelesaikan soal yang telah diidentifikasi, dan mencoba saling mengecek dengan sesama anggota kelompoknya Tahap Generalization (Kesimpulan)
h. Menginstruksikan peserta didik untuk menuliskan penyelesaian soal dalam LKPD 2
i. Memfasilitasi peserta didik perwakilan dari setiap kelompok untuk mempresentasikan hasil pengamatan dan diskusinya di depan kelas. (mengomunikasikan)
137
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Aktivitas pembelajaran ke-3 Aktivitas pembelajaran kali ini akan mempelajari topik aplikasi turunan pertama. Sebagai langkah awal peserta didik diperkenalkan dengan konsep aplikasi turunan pertama dalam kehidupan sehari-hari. Aktivitas pembelajaran ini diharapkan dapat mencapai indikator 3.32.3, yaitu menentukan gradien garis singgung kurva dengan memanfaatkan turunan pertama. Pencapaian IPK tersebut dilakukan melalui pembelajaran dengan pendekatan pembelajaran saintifik. Adapun aktivitasnya meliputi
1)
mengamati; 2) menanya; 3) mengumpulkan informasi; 4) mengasosiasi; 5) mengomunikasikan. Menentukan Gradien Garis Singung Kurva Tujuan aktivitas pembelajaran a. Mampu menentukan gradien garis singgung kurva dengan memanfaatkan turunan pertama Aktivitas pembelajaran disusun menggunakan model pembelajaran Discovery Learning dengan estimasi waktu 3 x 45 Menit. Apa yang saudara lakukan sebagai berikut; a. Membagikan LKPD 3, kemudian memberikan penjelasan mengenai tata cara mengisi LKPD 3. Tahap Stimulation (Pemberian Rangsangan) b. Saudara memberikan motivasi kepada peserta didik dengan memberikan penguatan pendidikan karakter baik dalam bentuk cerita atau ajakan melakukan perbuatan yang berkarakter baik. Selanjutnya mengajak peserta didik mengamati permasalahan dari soal yang diberikan pada LKPD 3. (Mengamati)
138
Unit Pembelajaran Aplikasi Turunan Pertama
c. Memfasilitasi peserta didik untuk bertanya atau memberikan pendapat terhadap hasil pengamatan soal yang diberikan. (bertanya) Tahap Problem Statement (Identifikasi masalah) d. Meminta peserta didik untuk menuliskan hasil pengamatan soal dalam LKPD 3 terkait dengan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan dari soal dan kondisi penting apa yang menjadi kata kunci untuk menyelesaikan masalah pada soal tersebut. e. Membagi peserta didik ke dalam kelompok yang beranggotakan 4-5 orang Tahap Data Collection (Pengumpulan data) f. Menginstruksikan peserta didik untuk menggali informasi agar dapat menyelesaikan soal yang telah diidentifikasi sebelumnya, materi terkait soal, mencari tahu prosedur penyelesaian. Peserta didik dapat mengakses pengetahuan barunya melalui kegiatan membaca dari hasil brosing di internet, modul yang disediakan, atau sumber-sumber terkait yang berhubungan dengan permasalahan. (Mengumpulkan informasi) Tahap Verification (Pembuktian) g. Peserta didik menyelesaikan soal yang telah diidentifikasi, dan mencoba saling mengecek dengan sesama anggota kelompoknya Tahap Generalization (Kesimpulan)
h. Menginstruksikan peserta didik untuk menuliskan penyelesaian soal dalam LKPD 3.
i. Memfasilitasi peserta didik perwakilan dari setiap kelompok untuk mempresentasikan hasil pengamatan dan diskusinya di depan kelas. (mengomunikasikan)
139
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Aktivitas pembelajaran ke-4 Aktivitas pembelajaran kali ini akan mempelajari topik aplikasi turunan pertama. Sebagai langkah awal peserta didik diperkenalkan dengan konsep aplikasi turunan pertama dalam kehidupan sehari-hari. Aktivitas pembelajaran ini diharapkan dapat mencapai indikator 3.32.4, yaitu menganalisis nilai maksimum dan minimum dengan memanfaatkan turunan pertama. Pencapaian IPK tersebut dilakukan melalui pembelajaran dengan pendekatan pembelajaran saintifik. Adapun aktivitasnya meliputi
1)
mengamati; 2) menanya; 3) mengumpulkan informasi; 4) mengasosiasi; 5) mengomunikasikan. Menganalisis nilai Maksimum dan nilai minimum Tujuan aktivitas pembelajaran a. Mampu menganalisis nilai maksimum dan minimum fungsi aljabar dengan memanfaatkan turunan pertama. Aktivitas pembelajaran disusun menggunakan model pembelajaran Discovery Learning dengan estimasi waktu 3 x 45 Menit. Apa yang saudara lakukan sebagai berikut; a. Membagikan LKPD 4, kemudian memberikan penjelasan mengenai tata cara mengisi LKPD 4. Tahap Stimulation (Pemberian Rangsangan) b. Saudara memberikan motivasi kepada peserta didik dengan memberikan penguatan pendidikan karakter baik dalam bentuk cerita atau ajakan melakukan perbuatan yang berkarakter baik. Selanjutnya mengajak peserta didik mengamati permasalahan dari soal yang diberikan pada LKPD 4. (Mengamati)
140
Unit Pembelajaran Aplikasi Turunan Pertama
c. Memfasilitasi peserta didik untuk bertanya atau memberikan pendapat terhadap hasil pengamatan soal yang diberikan. (bertanya) Tahap Problem Statement (Identifikasi masalah) d. Meminta peserta didik untuk menuliskan hasil pengamatan soal dalam LKPD 4 terkait dengan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan dari soal dan kondisi penting apa yang menjadi kata kunci untuk menyelesaikan masalah pada soal tersebut. e. Membagi peserta didik ke dalam kelompok yang beranggotakan 4-5 orang Tahap Data Collection (Pengumpulan data) f. Menginstruksikan peserta didik untuk menggali informasi agar dapat menyelesaikan soal yang telah diidentifikasi sebelumnya, materi terkait soal, mencari tahu prosedur penyelesaian. Peserta didik dapat mengakses pengetahuan barunya melalui kegiatan membaca dari hasil brosing di internet, modul yang disediakan, atau sumber-sumber terkait yang berhubungan dengan permasalahan. (Mengumpulkan informasi) Tahap Verification (Pembuktian) g. Peserta didik menyelesaikan soal yang telah diidentifikasi, dan mencoba saling mengecek dengan sesama anggota kelompoknya Tahap Generalization (Kesimpulan)
h. Menginstruksikan peserta didik untuk menuliskan penyelesaian soal dalam LKPD 4.
i. Memfasilitasi peserta didik perwakilan dari setiap kelompok untuk mempresentasikan hasil pengamatan dan diskusinya di depan kelas. (mengomunikasikan)
141
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Aktivitas pembelajaran ke-5 Aktivitas pembelajaran kali ini akan mempelajari topik aplikasi turunan pertama. Sebagai langkah awal peserta didik diperkenalkan dengan konsep aplikasi turunan pertama dalam kehidupan sehari-hari. Aktivitas pembelajaran ini diharapkan dapat mencapai indikator 3.32.5, yaitu menganalisis selang kemonotonan fungsi aljabar, dengan memanfaatkan turunan pertama. Pencapaian IPK tersebut dilakukan melalui pembelajaran dengan pendekatan pembelajaran saintifik. Adapun aktivitasnya meliputi 1) mengamati; 2) menanya; 3) mengumpulkan informasi; 4) mengasosiasi; 5) mengomunikasikan. Menganalisis selang kemonotonan fungsi Tujuan aktivitas pembelajaran a. Menganalisis selang kemonotonan fungsi aljabar dengan memanfaatkan turunan pertama Aktivitas pembelajaran disusun menggunakan model pembelajaran Discovery Learning dengan estimasi waktu 3 x 45 Menit. Apa yang saudara lakukan sebagai berikut; a. Membagikan LKPD 5, kemudian memberikan penjelasan mengenai tata cara mengisi LKPD 5. Tahap Stimulation (Pemberian Rangsangan) b. Saudara memberikan motivasi kepada peserta didik dengan memberikan penguatan pendidikan karakter baik dalam bentuk cerita atau ajakan melakukan perbuatan yang berkarakter baik. Selanjutnya mengajak peserta didik mengamati permasalahan dari soal yang diberikan pada LKPD 5. (Mengamati)
142
Unit Pembelajaran Aplikasi Turunan Pertama
c. Memfasilitasi peserta didik untuk bertanya atau memberikan pendapat terhadap hasil pengamatan soal yang diberikan. (bertanya) Tahap Problem Statement (Identifikasi masalah) d. Meminta peserta didik untuk menuliskan hasil pengamatan soal dalam LKPD 5 terkait dengan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan dari soal dan kondisi penting apa yang menjadi kata kunci untuk menyelesaikan masalah pada soal tersebut. e. Membagi peserta didik ke dalam kelompok yang beranggotakan 4-5 orang Tahap Data Collection (Pengumpulan data) f. Menginstruksikan peserta didik untuk menggali informasi agar dapat menyelesaikan soal yang telah diidentifikasi sebelumnya, materi terkait soal, mencari tahu prosedur penyelesaian. Peserta didik dapat mengakses pengetahuan barunya melalui kegiatan membaca dari hasil brosing di internet, modul yang disediakan, atau sumber-sumber terkait yang berhubungan dengan permasalahan. (Mengumpulkan informasi) Tahap Verification (Pembuktian) g.
Peserta didik menyelesaikan soal yang telah diidentifikasi, dan mencoba saling mengecek dengan sesama anggota kelompoknya. Tahap Generalization (Kesimpulan)
h.
Menginstruksikan peserta didik untuk menuliskan penyelesaian soal dalam LKPD 5.
i.
Memfasilitasi peserta didik perwakilan dari setiap kelompok untuk mempresentasikan hasil pengamatan dan diskusinya di depan kelas. (mengomunikasikan)
143
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Aktivitas pembelajaran ke-6 Aktivitas pembelajaran kali ini akan mempelajari topik aplikasi turunan pertama. Sebagai langkah awal peserta didik diperkenalkan dengan konsep aplikasi turunan pertama dalam kehidupan sehari-hari. Aktivitas pembelajaran ini diharapkan dapat mencapai indikator 3.32.6, yaitu menganalisis gradien garis singgung kurva, dengan memanfaatkan turunan pertama. Pencapaian IPK tersebut dilakukan melalui pembelajaran dengan pendekatan pembelajaran saintifik. Adapun aktivitasnya meliputi
1)
mengamati; 2) menanya; 3) mengumpulkan informasi; 4) mengasosiasi; 5) mengomunikasikan. Menganalisis gradien Garis singgung kurva Tujuan aktivitas pembelajaran a. Menganalisis gradien garis singgung kurva dengan memanfaatkan turunan pertama Aktivitas pembelajaran disusun menggunakan model pembelajaran Discovery Learning dengan estimasi waktu 3 x 45 Menit. Apa yang saudara lakukan sebagai berikut; a. Membagikan LKPD 6, kemudian memberikan penjelasan mengenai tata cara mengisi LKPD 6. Tahap Stimulation (Pemberian Rangsangan) b. Saudara memberikan motivasi kepada peserta didik dengan memberikan penguatan pendidikan karakter baik dalam bentuk cerita atau ajakan melakukan perbuatan yang berkarakter baik. Selanjutnya mengajak peserta didik mengamati permasalahan dari soal yang diberikan pada LKPD 6. (Mengamati)
144
Unit Pembelajaran Aplikasi Turunan Pertama
c. Memfasilitasi peserta didik untuk bertanya atau memberikan pendapat terhadap hasil pengamatan soal yang diberikan. (bertanya) Tahap Problem Statement (Identifikasi masalah) d. Meminta peserta didik untuk menuliskan hasil pengamatan soal dalam LKPD 6 terkait dengan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan dari soal dan kondisi penting apa yang menjadi kata kunci untuk menyelesaikan masalah pada soal tersebut. e. Membagi peserta didik ke dalam kelompok yang beranggotakan 4-5 orang Tahap Data Collection (Pengumpulan data) f. Menginstruksikan peserta didik untuk menggali informasi agar dapat menyelesaikan soal yang telah diidentifikasi sebelumnya, materi terkait soal, mencari tahu prosedur penyelesaian. Peserta didik dapat mengakses pengetahuan barunya melalui kegiatan membaca dari hasil brosing di internet, modul yang disediakan, atau sumber-sumber terkait yang berhubungan dengan permasalahan. (Mengumpulkan informasi) Tahap Verification (Pembuktian) g.
Peserta didik menyelesaikan soal yang telah diidentifikasi, dan mencoba saling mengecek dengan sesama anggota kelompoknya. Tahap Generalization (Kesimpulan)
h.
Menginstruksikan peserta didik untuk menuliskan penyelesaian soal dalam LKPD 6.
i.
Memfasilitasi peserta didik perwakilan dari setiap kelompok untuk mempresentasikan hasil pengamatan dan diskusinya di depan kelas. (mengomunikasikan)
145
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Aktivitas pembelajaran ke-7 Aktivitas pembelajaran kali ini akan mempelajari topik aplikasi turunan pertama. Sebagai langkah awal peserta didik diperkenalkan dengan konsep aplikasi turunan pertama dalam kehidupan sehari-hari. Aktivitas pembelajaran ini diharapkan dapat mencapai indikator 3.32.7, 3.32.8 dan 3.32.9 yaitu memecahkan masalah aplikasi turunan pertama. Pencapaian IPK
tersebut
dilakukan
melalui
pembelajaran
dengan
pembelajaran saintifik. Adapun aktivitasnya meliputi menanya;
3)
mengumpulkan
informasi;
4)
pendekatan
1) mengamati; 2) mengasosiasi;
5)
mengomunikasikan. Memecahkan masalah aplikasi turunan pertama Tujuan aktivitas pembelajaran a. Memecahkan masalah aplikasi turunan pertama, Aktivitas pembelajaran disusun menggunakan model pembelajaran Discovery Learning dengan estimasi waktu 3 x 45 Menit. Apa yang saudara lakukan sebagai berikut; a. Membagikan LKPD 7, kemudian memberikan penjelasan mengenai tata cara mengisi LKPD 7. Tahap Stimulation (Pemberian Rangsangan) b. Saudara memberikan motivasi kepada peserta didik dengan memberikan penguatan pendidikan karakter baik dalam bentuk cerita atau ajakan melakukan perbuatan yang berkarakter baik. Selanjutnya mengajak peserta didik mengamati permasalahan dari soal yang diberikan pada LKPD 7. (Mengamati) c. Memfasilitasi peserta didik untuk bertanya atau memberikan pendapat terhadap hasil pengamatan soal yang diberikan. (bertanya)
146
Unit Pembelajaran Aplikasi Turunan Pertama
Tahap Problem Statement (Identifikasi masalah) d. Meminta peserta didik untuk menuliskan hasil pengamatan soal dalam LKPD 7 terkait dengan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan dari soal dan kondisi penting apa yang menjadi kata kunci untuk menyelesaikan masalah pada soal tersebut. e. Membagi peserta didik ke dalam kelompok yang beranggotakan 4-5 orang Tahap Data Collection (Pengumpulan data) f. Menginstruksikan peserta didik untuk menggali informasi agar dapat menyelesaikan soal yang telah diidentifikasi sebelumnya, materi terkait soal, mencari tahu prosedur penyelesaian. Peserta didik dapat mengakses pengetahuan barunya melalui kegiatan membaca dari hasil brosing di internet, modul yang disediakan, atau sumber-sumber terkait yang berhubungan dengan permasalahan. (Mengumpulkan informasi) Tahap Verification (Pembuktian) g.
Peserta didik menyelesaikan soal yang telah diidentifikasi, dan mencoba saling mengecek dengan sesama anggota kelompoknya. Tahap Generalization (Kesimpulan)
h. Menginstruksikan peserta didik untuk menuliskan penyelesaian soal dalam LKPD 7. i.
Memfasilitasi peserta didik perwakilan dari setiap kelompok untuk mempresentasikan hasil pengamatan dan diskusinya di depan kelas. (mengomunikasikan)
147
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
B. Lembar Kerja Peserta Didik
LKPD 1. Nilai maksimum dan minimum fungsi Tujuan: a. Mampu menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi aljabar dengan memanfaatkan turunan pertama Prosedur kegiatan 1. Kalian perhatikan soal berikut : a. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari 𝑓(𝑥) = −2𝑥 3 + 3𝑥 2 pada interval −0,5 ≤ 𝑥 ≤ 2 2. Amatilah permasalahan tersebut, a. tuliskan yang diketahui dari soal....................... b. tuliskan yang ditanyakan soal tersebut? .......................... 3. Pelajarilah materi aplikasi turunan mengenai nilai maksimum dan nilai minimum fungsi. Perhatikan gambar berikut:
Gambar 2 Grafik fungsi maksimum dan minimum
148
Unit Pembelajaran Aplikasi Turunan Pertama
a. berdasarkan gambar 2, apakah 𝑓(𝑥) mempunyai nilai maksimum atau minimum pada daerah asal S ? ...................................................................................... b. kapan nilai maksimum dan minimum ada pada suatu fungsi? ...................................................................................... c. apa yang dimaksud dengan titik-titik kritis ?...... d. tuliskan prosedur untuk menghitung nilai maksimum dan nilai minimum (1) ............................................................... (2) ................................................................. 4. Lengkapi langkah-langkah menyelesaikan soal tersebut secara aljabar a. titik- titik kritis 𝑓(𝑥) = −2𝑥 3 + 3𝑥 2 pada interval −0,5 ≤ 𝑥 ≤ 2 adalah .................................................................... b. nilai nilai fungsi pada titik-titik kritis , 𝑓(… . . ) = ⋯ 𝑓(… . . ) = ⋯ 𝑓(… . . ) = ⋯ c. berdasarkan nilai-nilai pada titik-titik kritis, maka nilai maksimum fungsi adalah.... dicapai pada saat nilai 𝑥 = ⋯, dan nilai minimum fungsi adalah... dicapai pada saat 𝑥 =... 5. untuk mengecek jawaban kalian, silahkan gunakan geogebra untuk menggambar fungsi 𝑓(𝑥) = −2𝑥 3 + 3𝑥 2 dan perhatikan nilai maksimum dan minimum pada selang interval −0,5 ≤ 𝑥 ≤ 2 ................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................
149
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
LKPD 2. Kemonotonan fungsi Tujuan: a. Mampu menentukan selang kemonotonan fungsi aljabar dengan memanfaatkan turunan pertama Prosedur kegiatan 1. Kalian perhatikan soal berikut : b. Misalkan 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 12𝑥 + 7 , tentukan dimana 𝑓 naik dan turun? 2. Amatilah permasalahan tersebut, a. tuliskan yang diketahui dari soal....................... b. tuliskan yang ditanyakan soal tersebut? .......................... 3. Pelajarilah materi aplikasi turunan mengenai kemonotonan fungsi. Perhatikan gambar berikut:
Gambar 3. Fungsi naik dan turun
e. berdasarkan gambar 3, apakah yang dapat kalian definisikan terkait fungsi naik dan fungsi turun ? (1) 𝑓(𝑥) naik pada interval I jika ................................................................... (2) 𝑓(𝑥) turun pada interval I jika ...................................................................
150
Unit Pembelajaran Aplikasi Turunan Pertama
4. Lengkapi langkah-langkah menyelesaikan soal tersebut secara aljabar a. 𝑓 ′ (𝑥) = ⋯ b. Nilai 𝑥 yang memenuhi 𝑓′(𝑥) > 0 adalah ..................................................................................... c. Nilai 𝑥 yang memenuhi 𝑓 ′ (𝑥) < 0 adalah ..................................................................................... d. berdasarkan jawaban pada b, dan c, maka fungsi 𝑓 naik pada interval........................ dan fungsi 𝑓 turun pada interval ............. 5. untuk mengecek jawaban kalian, silahkan gunakan geogebra untuk menggambar fungsi 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 12𝑥 + 7 dan perhatikan fungsi naik dan turun.
151
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
LKPD 3. Gradien garis singgung kurva Tujuan: a. Mampu menentukan gradien garis singgung kurva dengan memanfaatkan turunan pertama Prosedur kegiatan 1. Kalian perhatikan soal berikut : a. Tentukan gradien garis singgung kurva 𝑓(𝑥) = 4𝑥 2 + 2𝑥 − 1 di titik absis 𝑥 = 2 2. Amatilah permasalahan tersebut, a. tuliskan yang diketahui dari soal....................... b. tuliskan yang ditanyakan soal tersebut? .......................... 3. Pelajarilah materi aplikasi turunan mengenai gradien garis singgung. Kemudian tuliskan informasi yang diperoleh pada kotak berikut;
152
Unit Pembelajaran Aplikasi Turunan Pertama
4. Lengkapi langkah-langkah menyelesaikan soal tersebut secara aljabar a. 𝑓 ′ (𝑥) = ⋯ b. 𝑓 ′ (… ) = ..................................................................................... c. berdasarkan jawaban pada b, maka gradien garis pada 𝑓(𝑥) = 4𝑥 2 + 2𝑥 − 1 di titik absis 𝑥 = 2 adalah ............. 5. untuk mengecek jawaban kalian, silahkan gunakan geogebra untuk menggambar fungsi 𝑓(𝑥) = 4𝑥 2 + 2𝑥 − 1 di titik absis 𝑥 = 2
153
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
LKPD 4. Analisis nilai maksimum dan minimum Tujuan: a. Mampu menganalisis nilai maksimum dan minimum fungsi aljabar dengan memanfaatkan turunan pertama Prosedur kegiatan 1. Kalian perhatikan soal berikut : a. Jika fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑝𝑥 2 − 9𝑥 hanya didefinisikan untuk nilai-nilai 𝑥 yang memenuhi −6 ≤ 𝑥 ≤ 0 dan mencapai nilai maksimum pada saat 𝑥 = −3, maka tentukanlah nilai 𝑝? 2. Amatilah permasalahan tersebut, a. tuliskan yang diketahui dari soal....................... b. tuliskan yang ditanyakan soal tersebut? .......................... 3. Pelajarilah materi aplikasi turunan mengenai nilai maksimum dan nilai minimum fungsi. 4. Lengkapi langkah-langkah menyelesaikan soal tersebut secara aljabar pada kolom berikut:
154
Unit Pembelajaran Aplikasi Turunan Pertama
5. untuk mengecek jawaban kalian, silahkan gunakan geogebra dan perhatikan grafik fungsinya
LKPD 5. Analisis interval kemonotonan kurva Tujuan: a. Mampu menganalisis kemonotonan kurva dengan memanfaatkan turunan pertama Prosedur kegiatan 1. Kalian perhatikan soal berikut : a. Diketahui 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 + 9𝑥 2 − 24𝑥 + 5, jika 𝑓 ′ (𝑥) < 0 maka tentukan nilai x? 2. Amatilah permasalahan tersebut, a. tuliskan yang diketahui dari soal....................... b. tuliskan yang ditanyakan soal tersebut? .......................... 3. Pelajarilah materi aplikasi turunan mengenai kemonotonan kurva .
155
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
4. Lengkapi langkah-langkah menyelesaikan soal tersebut secara aljabar pada kolom berikut:
LKPD 6. Analisis gradien garis singgung Tujuan: a. Mampu menganalisis gradien garis singgung kurva dengan memanfaatkan turunan pertama Prosedur kegiatan 1. Kalian perhatikan soal berikut : a. Jika melalui titik P(1,1) pada parabola 𝑦 = 3𝑥 2 + 5𝑥 − 7 dibuat garis singgung, maka tentukanlah gradien garis singgung tersebut? 2. Amatilah permasalahan tersebut, a. tuliskan yang diketahui dari soal....................... b. tuliskan yang ditanyakan soal tersebut? .......................... 3. Pelajarilah materi aplikasi turunan mengenai gradien garis singgung kurva.
156
Unit Pembelajaran Aplikasi Turunan Pertama
4. Lengkapi langkah-langkah menyelesaikan soal tersebut secara aljabar pada kolom berikut:
5. untuk mengecek jawaban kalian, silahkan gunakan geogebra dan perhatikan grafik fungsinya
157
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
LKPD 7. Memecahkan masalah aplikasi turunan pertama Tujuan: a. Mampu memecahkan masalah turunan pertama Prosedur kegiatan 1. Kalian perhatikan soal berikut : a. Seorang teknisi bengkel sedang melakukan repair body mobil dengan menyemprotkan cat pada mobil. Reaksi cat mobil tersebut t menit setelah
disemprotkan
dinyatakan
dalam
fungsi
𝑓(𝑡) = 15𝑡 2 − 𝑡 3 . Tentukan waktu reaksi maksimum dari cat tersebut? 2. Amatilah permasalahan tersebut, a. tuliskan yang diketahui dari soal....................... b. tuliskan yang ditanyakan soal tersebut? .......................... 3. Pelajarilah materi aplikasi turunan mengenai gradien garis singgung kurva. Dengan memanfaatkan buku, modul, internet atau sumber belajar yang lainnya 4. Lengkapi langkah-langkah menyelesaikan soal tersebut secara aljabar pada kolom berikut:
5. Jika diperlikan untuk mengecek jawaban kalian, silahkan gunakan geogebra dan perhatikan grafik fungsinya
158
Unit Pembelajaran Aplikasi Turunan Pertama
C. Bahan Bacaan
Nilai maksimum dan minimum fungsi Kita sering mendengar kata maksimum dan minimum dalam kehidupan sehari-hari. Kita selalu menginginkan kerja mesin yang maksimum dengan bahan bakar yang minimum, kita selalu menginginkan menjual produk yang kita buat dengan harga maksimum namun biaya produksi yang minimum. Kenyataan tersebut dalam sekala besar dapat dimodelkan dalam sebuah model matematika seperti dalam fungsi polinom, fungsi eksponen atau fungsi logaritma. Ketika sebuah penomena sudah dapat dibuat modelnya maka akan dengan mudah mencari nilai maksimum atau nilai minimumnya. Sebagai contoh sebuah pabrik mobil akan menyelesaikan pembuatan mobilnya dalam x hari dengan biaya produksi per hari menyerupai model fungsi 𝑏(𝑥) = 2𝑥 + 1000 𝑥
− 40 ratus juta rupiah maka kita dapat menghitung biaya minimum
pembuatan mobil pabrik tersebut. Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi kurva 𝑓(𝑥) pada suatu interval tertentu dapat ditentukan dengan turunan. Adapun langkah-langkah menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi 𝑓(𝑥) pada interval 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 meliputi 1) menentukan nilai titik a dan titik b (f(a) dan f(b)); 2) menentukan titik titik dan nilai stasioner pada interval tersebut; 3) menentukan mana nilai terbesar dan nilai terkecil (minimum ) dan (maksimum) dari semua nilai di atas. Untuk menjawab pertanyaan pada contoh di atas, mari kita uraikan Diketahui fungsi biaya produksi mobil per hari 𝑏(𝑥) = 2𝑥 +
1000 𝑥
− 40, maka
biaya total pembuatan produksi mobil adalah 𝑏(𝑥) = 𝑥(2𝑥 +
1000 − 40) 𝑥
159
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
𝑏(𝑥) = 2𝑥 2 + 1000 − 40𝑥 Nilai kritis 𝑏(𝑥) = 2𝑥 2 + 1000 − 40𝑥 dicapai pada saat 𝑏 ′ (𝑥) = 0, yaitu 𝑏 ′ (𝑥) = 4𝑥 − 40 = 0 ⟺ 4𝑥 − 40 = 0 ⟺ 4𝑥 = 40 ⟺ 𝑥 = 10 Maka nilai kritis nya 𝑏(10) = 800 Dengan demikian biaya minimum pembuatan mobil di pabrik tersebut adalah 80 milyar rupiah dicapai dalam waktu 10 hari. Definisi : Misalkan 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, merupakan daerah asal fungsi 𝑓 dan 𝑐 berada pada interval 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 sehingga 𝑎 ≤ 𝑐 ≤ 𝑏, maka i) 𝑓(𝑐) merupakan nilai maksimum 𝑓 pada 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 jika 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) untuk semua 𝑥 di 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 ii) 𝑓(𝑐) merupakan nilai minimum 𝑓 pada 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 jika 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) untuk semua 𝑥 di 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 iii) 𝑓(𝑐) merupakan nilai ekstrim 𝑓 pada 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 jika ia merupakan nilai maksimum atau nilai minimum. Satu hal lagi yang harus diperhatikan adalah nilai maksimum atau nilai minimum itu pada fungsi akan ditemukan apabila fungsi tersebut tertutup pada interval tertentu. Sedangkan jika pada selang tertentu fungsi itu tidak kontinya, maka tidak akan ditemukan nilai maksimum atau nilai minimum fungsi.
160
Unit Pembelajaran Aplikasi Turunan Pertama
Kemonotonan kurva Definisi Misalkan 𝑓 terdefinisi pada interval I, maka kita katakan bahwa (i) 𝑓 naik pada I, jika untuk setiap pasangan bilangan 𝑥1 dan 𝑥2 dalam I, 𝑥1 > 𝑥2 ⟹ 𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 ) (ii) 𝑓 turun pada I, jika untuk setiap pasangan bilangan 𝑥1 dan 𝑥2 dalam I, 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ) Melihat suatu fungsi kapan naik atau turun sebenarnya dapat dengan melihat grafik fungsi kurva tersebut. Misalkan 𝑓 kontinu pada interval I dan terdiferensial pada setiap titik dalam I, maka (i) jika 𝑓 ′ (𝑥) > 0 untuk semua titik dalam I, maka 𝑓 naik pada I. (ii) jika 𝑓 ′ (𝑥) < 0 untuk semua titik dalam I, maka 𝑓 turun pada I. Contoh soal 1
Tentukan interval naik dan turun untuk 𝑓(𝑥) = 3 𝑥 3 − 𝑥 2 − 3𝑥 + 4 Jawab 1
Diketahui 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 2 − 3𝑥 + 4 ⟹ 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 3
Fungsi naik jika 𝑓 ′ (𝑥) > 0, sehingga 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 > 0 ⟺ (𝑥 + 1)(𝑥 − 3) > 0 ⟺ 𝑥 < −1 atau 𝑥 > 3
161
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Jadi 𝑓(𝑥) naik pada interval 𝑥 < −1 atau 𝑥 > 3 Fungsi turun jika 𝑓 ′ (𝑥) < 0, sehingga 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 < 0 ⟺ (𝑥 + 1)(𝑥 − 3) < 0 ⟺ −1 < 𝑥 < 3 Jadi 𝑓(𝑥) turun pada interval −1 < 𝑥 < 3
Garis singgung kurva Garis singgung kurva merupakan garis lurus yang menyinggung terhadap kurva. Garis singgung pada kurva ini dapat kita tentukan persamaannya. Menentukan garis singgung lingkaran sama hal nya dengan menentukan persamaan garis lurus yang diketahui gradien dan satu titik yang dilaluinya. Keterkaitan dengan turunan pertama yaitu turunan pertama fungsi di suatu titik pada kurva merupakan gradien garis singgung. Persamaan garis lurus dengan gradien 𝑚 melalui titik (𝑥1 , 𝑦1 ) adalah 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ). Perhatikan gambar berikut,
Gambar 4. Fungsi naik dan turun
162
Unit Pembelajaran Aplikasi Turunan Pertama
Gambar 4. Menunjukkan bahwa garis k menyinggung kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) di titik A. gradien garis singgung kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) di titik 𝐴 (𝑎, 𝑓(𝑎)) adalah 𝑚 = 𝑓 ′ (𝑎) maka persamaan garis singgung di titik (𝑎, 𝑓(𝑎)) pada kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) adalah 𝑦 − 𝑓(𝑎) = 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) 𝑦 = 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) Contoh soal Tentukan persamaan garis singgung kurva 𝑦 = 𝑥 2 + 2 di titik (2,6)! Jawab Diketahui 𝑦 = 𝑥 2 + 2, maka 𝑦 ′ = 𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥 gradien
garis
singgung
kurva
tersebut
di
titik
(2, 6)
adalah
𝑚 = 𝑦 ′ = 𝑓 ′ (2) = 2(2) = 4. Jadi persamaan garis singgung kurva 𝑦 = 𝑥 2 + 2 di titik (2,6)adalah 𝑦 − 6 = 4(𝑥 − 2) 𝑦 = 4𝑥 − 8 + 6 𝑦 = 4𝑥 − 2 Dengan memperhatikan uraian di atas, maka salah satu aplikasi turunan pertama pada fungsi adalah untuk menentukan garis singgung kurva.
163
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
PENGEMBANGAN PENILAIAN
Pada bagian pengembangan penilaian ini akan disajikan contoh soal-soal topik nilai maksimum, nilai minimum, selang kemonotonan fungsi, dan kemiringan garis singgung sebagai aplikasi dari turunan pertama fungsi yang muncul pada ujian nasional tiga tahun terakhir. Soal soal ini merupakan soal soal yang telah dianalisis dianggap sulit oleh peserta didik. Pada bagian ini pula disajikan pengembangan soal HOTS yang diharapkan dapat dijadikan rujukan oleh saudara ketika saudara membuat soal soal yang menuntut kemampuan peserta didik berpikir tingkat tinggi. Diharapkan saudara dapat dengan terampil mengembangkan soal HOTS yang tetap mengacu pada indikator pencapaian kompetensi yang telah ditetapkan sebelumnya.
A. Pembahasan Soal-soal UN Topik nilai maksimum, nilai minimum, selang kemonotonan fungsi, dan kemiringan garis singgung sebagai aplikasi dari turunan pertama fungsi merupakan topik yang selalu muncul dalam soal-soal UN. Berdasarkan hasil analisis PAMER UN, topik ini termasuk topik yang kurang berhasil dijawab oleh peserta didik di lingkup nasional. Berikut ini pembahasan soal-soalnya. Soal UN tahun 2016 dan 2017 1
Diketahui 𝑓(𝑥) = 2 + 𝑥 2 − 3 𝑥 3 , interval 𝑥 agar 𝑓(𝑥) naik adalah ... A. −2 < 𝑥 < 0 B. −1 < 𝑥 < 0 C.
0 0
164
Unit Pembelajaran Aplikasi Turunan Pertama
Kunci Jawab : C Pembahasan : 1
Diketahui 𝑓(𝑥) = 2 + 𝑥 2 − 3 𝑥 3 Ditanyakan selang interval 𝑥 agar 𝑓(𝑥) naik, Agar 𝑓(𝑥) naik, maka 𝑓 ′ (𝑥) > 0 sehingga 1
𝑓(𝑥) = 2 + 𝑥2 − 3 𝑥3 ⟹ 𝑓′ (𝑥) = 2𝑥 − 𝑥2 Karena 𝑓 ′ (𝑥) > 0 maka 2𝑥 − 𝑥 2 > 0
⟺ 𝑥(2 − 𝑥) > 0 ⟺0 3 C. 1 < 𝑥 < 5 D. −5 < 𝑥 < 3 E. −5 < 𝑥 < −1
Kunci Jawab : E Pembahasan : Diketahui 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 9𝑥 2 + 15𝑥 − 14
165
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Ditanyakan selang interval 𝑥 agar 𝑓(𝑥) turun Agar 𝑓(𝑥) turun, maka 𝑓 ′ (𝑥) < 0 sehingga
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 9𝑥2 + 15𝑥 − 14 ⟹ 𝑓′ (𝑥) = 3𝑥2 − 18𝑥 + 15 Karena 𝑓 ′ (𝑥) < 0 maka 3𝑥 2 − 18𝑥 + 15 < 0
⟺ (3𝑥 − 3)(𝑥 − 5) < 0 ⟺1 7
MATERI Turunan Fungsi Aljabar Kunci
C.
turun dalam selang 𝑥 < 3 dan naik pada selang 𝑥 > 7
Jawaban D. naik untuk semua nilai 𝑥 INDIKATOR SOAL
3.32.5 Menganalisis selang kemonotonan fungsi aljabar dengan memanfaatkan turunan pertama
E
E.
turun untuk semua nilai 𝑥
173
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Kartu Soal 6 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN KARTU SOAL Tahun Pelajaran 2018/2019 Jenis Sekolah
: SMK
Kurikulum
: 2013
Kelas
: XII
Bentuk Soal
: Pilihan Ganda
Mata Pelajaran
: Matematika
Nama Penyusun
:
KOMPETENSI DASAR 3.32 Menganalisis keberkaitan
Buku Sumber :
turunan pertama fungsi dengan
√ Pengetahuan/ Pemahaman
Aplikasi
Penalaran
nilai maksimum, nilai minimum, RUMUSAN BUTIR SOAL
dan selang kemonotonan fungsi, serta kemiringan garis singgung kurva Nomor LINGKUP MATERI Kalkulus
Soal 6
Ditentukan kurva dengan persamaan 𝑦 = 𝑥 3 + 2𝑝𝑥 2 + 𝑞. Jika garis 𝑦 = −5𝑥 − 1 menyinggung kurva di titik dengan absis 1, maka nilai p adalah... A. 2
MATERI
B. ½
Turunan Fungsi Aljabar Kunci Jawaban
C. – ½ D. -2
INDIKATOR SOAL
3.32.6 Menganalisis gradien garis singgung kurva
174
A
E. -8
Unit Pembelajaran Aplikasi Turunan Pertama
2. Mata Pelajaran Matematika Jenis Sekolah
: SMK
Kelas
: XII
Mata Pelajaran
: Matematika
Kompetensi Dasar
:
3.32
Menganalisis keberkaitan turunan
pertama fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, dan selang kemonotonan fungsi, serta kemiringan garis singgung kurva Lingkup Materi
: Kalkulus
Materi
: Turunan fungsi aljabar dan aplikasinya
Indikator
Nomor soal
3.32.7 Memecahkan masalah 7
Level
Bentuk Soal
C5
Uraian
C5
Uraian
C5
Uraian
nilai maksimum dan minimum aljabar
fungsi dengan
memanfaatkan turunan pertama 3.32.8 Memecahkan masalah 8 selang kemonotonan fungsi
aljabar
dengan memanfaatkan turunan pertama 3.32.9
Memecahkan masalah
9 gradien
garis singgung kurva
175
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Kartu soal uraian 1 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN KARTU SOAL Tahun Pelajaran 2018/2019 Jenis Sekolah Kelas Mata Pelajaran KOMPETENSI DASAR
3.32Menganalisis keberkaitan turunan pertama fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, dan selang kemonotonan fungsi, serta kemiringan garis singgung kurva LINGKUP MATERI Kalkulus MATERI Aplikasi turunan pertama fungsi aljabar INDIKATOR SOAL 3.32.7 Memecahkan masalah nilai maksimum dan minimum fungsi aljabar dengan memanfaatkan turunan pertama
176
: SMK : XII : Matematika Buku Sumber :
Kurikulum Bentuk Soal Nama Penyusun Pengetahuan/ Pemahaman
: 2013 : Uraian :
√ Penalaran
Aplikasi
RUMUSAN BUTIR SOAL Sebuah perusahan elektronik memproduksi radio sebanyak 𝑥 buah 1
Nomor Soal 7
radio perhari dengan biaya produksi 𝐵(𝑥) = 𝑥 2 + 35𝑥 + 25 juta 4
1
rupiah, sedangkan harga jual persatuan adalah 𝐻𝐽(𝑥) = 50 − 𝑥 2
juta rupiah, berapa banyak radio yang harus diproduksi setiap hari agar perusahaan tersebut mendapat keuntungan maksimum?
Unit Pembelajaran Aplikasi Turunan Pertama
Pedoman Penskoran Kunci jawaban
Skor 30
1
Diketahui : biaya produksi 𝑥 radio 𝐵(𝑥) = 4 𝑥 2 + 35𝑥 + 25 1
Harga jual persatuan radio 𝐻𝐽(𝑥) = 50 − 2 𝑥 1
1
Harga jual x radio 𝐻𝐽(𝑥) = 𝑥 (50 − 2 𝑥) = 50𝑥 − 2 𝑥 2 Ditanyakan : Keuntungan maksimum Misalkan keuntungan 𝑘(𝑥), maka 𝑘(𝑥) = 𝐻𝐽(𝑥) − 𝐵(𝑥) 1 1 𝑘(𝑥) = 50𝑥 − 𝑥 2 ] − [ 𝑥 2 + 35𝑥 + 25] 2 4
30
3 = − 𝑥 2 + 15𝑥 − 25 4 Agar keuntungan maksimum, maka 𝑘 ′ (𝑥) = 0 3 𝑘 ′ (𝑥) = − 𝑥 + 15 2 3 0 = − 𝑥 + 15 2
10 10 10
3𝑥 = 30 𝑥 = 10 Jadi Agar keuntungan maksimum maka perusahan tersebut harus memproduksi radio sebanyak 10 buah perhari
10
177
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Kartu soal uraian 2 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN KARTU SOAL Tahun Pelajaran 2018/2019 Jenis Sekolah Kelas Mata Pelajaran
: SMK : XII : Matematika
KOMPETENSI DASAR
3.32 Menganalisis keberkaitan turunan pertama fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, dan selang kemonotonan fungsi, serta kemiringan garis singgung kurva LINGKUP MATERI Kalkulus MATERI Aplikasi turunan pertama fungsi aljabar INDIKATOR SOAL Memecahkan masalah selang kemonotonan fungsi aljabar dengan memanfaatkan turunan pertama
178
Buku Sumber :
Kurikulum Bentuk Soal Nama Penyusun Pengetahuan/ Pemahaman
: 2013 : Uraian : Aplikasi
√ Penalaran
RUMUSAN BUTIR SOAL
Nomor Soal 8
Jika 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 12𝑥 + 7 tentukan semua nilai 𝑥 agar fungsi 𝑓 turun?
Unit Pembelajaran Aplikasi Turunan Pertama
Pedoman Penskoran Kunci jawaban
Skor
Diketahui : 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 12𝑥 + 7
20
Ditanyakan : semua nilai 𝑥 agar 𝑓(𝑥) turun?
Agar 𝑓(𝑥) turun maka 𝑓 ′ (𝑥) < 0
70
𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 12𝑥 + 7 ⟹ 𝑓 ′ (𝑥) = 6𝑥 2 − 6𝑥 − 12 6𝑥 2 − 6𝑥 − 12 < 0 ⟺ 6(𝑥 2 − 𝑥 − 2) < 0 ⟺ 𝑥2 − 𝑥 − 2 < 0 ⟺ (𝑥 − 2)(𝑥 + 1) < 0 ⟺
−1 < 𝑥 < 2
Jadi fungsi 𝑓 turun pada interval −1 < 𝑥 < 2
10
179
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Kartu soal uraian 3 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN KARTU SOAL Tahun Pelajaran 2018/2019 Jenis Sekolah Kelas Mata Pelajaran KOMPETENSI DASAR
: SMK : XII : Matematika Buku Sumber :
3.32
Menganal isis keberkaitan turunan pertama fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, dan selang kemonotonan fungsi, serta kemiringan garis singgung kurva LINGKUP MATERI Kalkulus MATERI Aplikasi turunan pertama fungsi aljabar INDIKATOR SOAL 3.32.9 Memecahkan masalah gradien garis singgung kurva
180
Kurikulum Bentuk Soal Nama Penyusun Pengetahuan/ Pemahaman
: 2013 : Uraian : Aplikasi
√ Penalaran
RUMUSAN BUTIR SOAL Garis singgung kurva 𝑦 = 𝑥 4 − 𝑥 2 di titik (1,0) dan (-1,0) berpotongan di (a,b). tentukan nilai 𝑎 − 𝑏?
Nomor Soal 9
Unit Pembelajaran Aplikasi Turunan Pertama
Pedoman Penskoran Kunci jawaban
Skor
Diketahui : 𝑦 = 𝑥 4 − 𝑥 2
20
Ditanyakan : tentukan nilai 𝑎 − 𝑏 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 2 ⟹ 𝑓 ′ (𝑥) = 4𝑥 3 − 2𝑥
70
Gradien garis singgung kurva 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 2 di titik (1,0) adalah 𝑚 = 𝑓 ′ (1) = 4(1)3 − 2(1) = 2 Persamaan garis singgung kurva 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 2 melalui titik (1,0) dengan gradien 2 adalah 𝑦 − 0 = 2(𝑥 − 1) 𝑦 = 2𝑥 − 2 ...........persamaan garis 1 Gradien garis singgung kurva 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 2 di titik (-1,0) adalah 𝑚 = 𝑓 ′ (−1) = 4(−1)3 − 2(−1) = −2 Persamaan garis singgung kurva 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 2 melalui titik (-1,0) dengan gradien -2 adalah 𝑦 − 0 = −2(𝑥 + 1) 𝑦 = −2𝑥 − 2 ...........persamaan garis 2 Titik potong garis persamaan 1 dan garis persamaan 2 adalah 2𝑥 − 2 = −2𝑥 − 2 𝑥=0 Untuk 𝑥 = 0 maka 𝑦 = 2(0) − 2 = −2 Jadi titik potong kedua garis singgung tersebut adalah (𝑎, 𝑏) = (0, −2) maka nilai 𝑎 − 𝑏 = 0 − (−2) = 2
10
181
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
C. Refleksi Pembelajaran Penyempurnaan
kegiatan
pembelajaran
yang
saudara
lakukan
disempurnakan dengan kegiatan refleksi. Kegiatan refleksi unit pembelajaran aplikasi turunan pertama fungsi aljabar dimulai dengan merefleksi proses pembelajaran, peserta didik, penilaian, dan ketercapaian kompetensi dasar. Adapun refleksi untuk masing masing tersebut saudara lakukan melalui kegiatan berikut: 1. pada proses pembelajaran saudara melihat kembali, apakah langkahlangkah aktivitas pembelajaran dan sintar model pembelajaran yang sudah direncanakan secara tertulis dilaksanakan ketika kegiatan pembelajaran berlangsung, berikan penilaian ketercapaian dalam persentase berapa persen dari langkah-langkah tersebut telah terlaksana. 2. pada proses pembelajaran saudara perhatikan peserta didik dalam melaksanakan aktivitas belajar, apakah sudah sesuai dengan LKPD yang telah disusun, kemudian berikan penlaian ketercapaian siswa dalam mengerjakan LKPD dalam persentase. Berapa persen dari LKPD tersebut siswa laksanakan. 3. pada proses penilaian, saudara perhatikan kesesuaian bentuk soal dengan Kompetensi dasar (KD) dan IPK, apakah sudah sesuai level kognitif yang ditetapkan pada masing-masing IPK. 4. tahap akhir refleksi saudara memperhatikan hasil pekerjaan siswa dalam menyelesaikan soal, apakah sudah memenuhi target KKM, jika belum mencapai KKM maka belum tercapai target dari kompetensi dasar yang telah ditetapkan. Buatlah penilaian ketercapaian kompetensi dasar dari hasil pekerjaan siswa dengan mengacu pada KKM untuk unit aplikasi turunan pertama fungsi aljabar.
182
Unit Pembelajaran Aplikasi Turunan Pertama
KESIMPULAN
Isi unit pembelajaran aplikasi turunan pertama ini dimulai dari memaparkan kompetensi dasar 3.32., yaitu menganalisis keberkaitan turunan pertama fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, dan selang kemonotonan fungsi, serta kemiringan garis singgung kurva dan kompetensi keterampilan 4.32, yaitu Menyelesaikan masalah kontektual yang berkaitan dengan turunan pertama fungsi aljabar. KD 3.32 setelah diturunkan termasuk dalam ruang lingkup materi limit fungsi aljabar yang diberikan pada kelas XII SMK. Agar KD ini dapat terukur, maka diturunkan dalam indikator pencapaian kompetensi. Setelah di turunkan maka gradasi capaian kompetensi dimulai dari C1, C2, C3, dan C4. Dengan memperhatikan level kognitif dalam pencapaian kompetensi ini saudara dituntut mengembangkan kemampuan siswa secara bergradasi mulai dari pengetahuan, pemahaman, aplikasi sampai penalaran. Sedangkan kompetensi dasar keterampilan menuntuk saudara memberikan kesempatan kepada pesertadidik untuk mengembangkan kreativitasnya. Untuk mencapai tingkat level berpikir tingkat tinggi,
peserta didik
memerlukan proses pembelajaran yang relevan. Oleh karena itu secara berjenjang aktivitas pembelajaran limit fungsi aljabar menggunakan model pembelajaran saintifik dan discovery learning. Dalam model discovery learning saudara merekayasa masalah yang harus diselesaikan oleh peserta didik. Kedua model tersebut disajikan dalam tiga aktivitas pembelajaran. Untuk menunjang kegiatan aktivitas pembelajaran, peserta didik difasilitasi dengan lembar kerja peserta didik (LKPD). Dengan LKPD ini diharapkan level kognitif dalam pembelajaran dapat tersusun dengan baik. Pada unit ini dikembangkan konten materi sesuai dengan KD yaitu aplikasi turunan pertama fungsi dengan memaparkan materi mulai dari bagaimana peserta didik menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi, kemudian
183
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
menentukan selang interval fungsi naik dan turun, dan menentukan persamaan garis singging kurva. Pada unit ini juga disajikan bagian penilaian yang didalamnya menguraikan soal-soal UN beberapa tahun terakhir serta diberikan cara pembahasan dan identifikasi terhadap soal-soal UN tersebut. Berdasarkan analisis ditemukan bahwa tiga tahun terakhir sosl-soal UN hanya pada level kognitif C3, oleh karena itu saudara harus menyakinkan peserta didik telah mampu pada level C1, dan C2, yaitu pada level pengetahuan dan pemahaman sebagai jembatan untuk mencapai level C3 aplikasi. Selain itu saudara juga harus memfasilitasi soal-soal dengan mengembangkan menjadi soal penalaran atau HOTS.
184
Unit Pembelajaran Aplikasi Turunan Pertama
UMPAN BALIK
Sebuah proses yang baik harus selalu disertai dengan refleksi terhadap apa yang telah kita lakukan. Begitu pula untuk mengetahui pemahaman saudara terhadap unit pembelajaran masalah minimum dan maksimum fungsi, saudara harus mengisi lembar persepsi pemahaman ini. Dengan mengisi lembar persepsi pemahaman ini saudara akan mengetahui posisi saudara dalam memahami unit pembelajaran ini. Oleh karena itu isilah lembar persepsi diri ini sebagai refleksi saudara terhadap unit pembelajaran masalah nilai minimum dan nilai maksimum fungsi dengan objektif dan jujur. No 1 2 3
4 5 6 7 8 9
Aspek
1
Kriteria 2 3
4
Memahami indikator yang telah dikembangkan berdasarkan Kompetensi Dasar Mampu menghubungkan konten materi dengan fenomena kehidupan sehari-hari Merasa bahwa tahapan aktivitas pembelajaran dapat mengembangkan HOTS peserta didik Memahami tahapan aktivitas yang disajikan dngan baik Mampu dengan baik mengaplikasikan aktivitas pembelajaran di dalam kelas Memahami dengan baik Lembar Kerja Peserta Didik yang dikembangkan Mampu melaksanakan dengan baik Lembar Kerja Peserta Didik yang dikembangkan Memahami konten secara menyeluruh dengan baik Memahami prosedur penyusunan soal HOTS dengan baik
185
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
10
Mampu membahas soal HOTS yang disajikan dengan tepat Jumlah Jumlah Total
Keterangan 1= tidak menguasai 2 = cukup menguasai 3 = menguasai 4 = sangat menguasai
Pedoman penskoran Skor =
Jumlah Total x 100 40
Keterangan Umpan Balik Skor < 70
Umpan Balik Masih banyak yang belum dipahami, diantara konten, cara membelajarkan, mengembangkan penilaian dan melaksanakan penilaian berorientasi HOTS. Saudara membaca ulang unit ini dan mendiskusikannya dengan fasilitator di MGMP sampai saudara memahaminya.
70 - 79
Masih ada yang belum dipahami dengan baik, di antara konten,
cara
membelajarkan,
mengembangkan
penilaian dan melaksanakan penilaian berorientasi HOTS. Saudara perlu mendiskusikan bagian yang belum dipahami dengan fasilitator atau teman lain di MGMP 80 - 89
Memahami
konten,
mengembangkan
cara
penilaian
dan
membelajarkan, melaksanakan
penilaian berorientasi HOTS dengan baik.
186
Unit Pembelajaran Aplikasi Turunan Pertama
187
Unit Pembelajaran PROGRAM PENGEMBANGAN KEPROFESIAN BERKELANJUTAN (PKB) MELALUI PENINGKATAN KOMPETENSI PEMBELAJARAN (PKP) BERBASIS ZONASI MATA PELAJARAN MATEMATIKA SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN (SMK)
Integral Tak Tentu dan Tertentu Penulis: Dr. Joko Soebagyo, M.Pd Penyunting: Iwan Gunawan, M.Pd., M.PMat Desainer Grafis dan Ilustrator: TIM Desain Grafis
Copyright © 2019 Direktorat Pembinaan Guru Pendidikan Menengah dan Pendidikan Khusus Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang Dilarang mengopi sebagian atau keseluruhan isi buku ini untuk kepentingan komersial tanpa izin tertulis dari Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
Unit Pembelajaran Integral Tak Tentu dan Tentu
DAFTAR ISI
Hal DAFTAR ISI _________________________________ 191 DAFTAR GAMBAR_____________________________ 193 DAFTAR TABEL ______________________________ 193 PENDAHULUAN ______________________________ 194 KOMPETENSI DASAR DAN PERUMUSAN IPK ________ 195 A. Kompetensi Dasar dan Target Kompetensi _____________________________ 195 B. Indikator Pencapaian Kompetensi ______________________________________ 195 APLIKASI DI DUNIA NYATA ____________________ 197 A. Integral Tak Tentu ________________________________________________________ 197 1.
Masalah Gerak (Motion) ___________________________________________________ 197
2.
Masalah Kelistrikan 1 ______________________________________________________ 199
3.
Masalah Kelistrikan 2 ______________________________________________________ 201
B. Integral Tertentu __________________________________________________________ 202 1.
Masalah Teknik Elektro ____________________________________________________ 202
2.
Masalah Gerak (Motion) ___________________________________________________ 203
3.
Masalah Sentroid (Mekanik) ______________________________________________ 204
4.
Masalah Gaya Akibat Tekanan Fluida _____________________________________ 207
5.
Masalah Panjang Kurva ____________________________________________________ 209
SOAL-SOAL UN/USBN _________________________ 211 A. Integral Tak Tentu ________________________________________________________ 211 1.
Soal UN Tahun 2015 _______________________________________________________ 211
2.
Soal UN Tahun 2016 _______________________________________________________ 212
3.
Soal UN Tahun 2017 _______________________________________________________ 213
4.
Soal UN Tahun 2019 _______________________________________________________ 214
B. Integral Tentu _____________________________________________________________ 215 1.
Soal UN Tahun 2015 _______________________________________________________ 215
2.
Soal UN Tahun 2016 _______________________________________________________ 216
191
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
3.
Soal UN Tahun 2017 _______________________________________________________ 217
BAHAN PEMBELAJARAN ________________________ 218 A. Aktivitas Pembelajaran (12 JP)__________________________________________ 218 Aktivitas 1 (6 JP) _________________________________________________________________ 218 Aktivitas 2 (6 JP) _________________________________________________________________ 222
B. Lembar Kerja Peserta Didik _____________________________________________ 225 Lembar Kerja Peserta Didik 1 ___________________________________________________ 225 Lembar Kerja Peserta Didik 2 ___________________________________________________ 228
C. Bahan Bacaan _____________________________________________________________ 231 1.
Integral Tak Tentu _________________________________________________________ 231
2.
Integral Tertentu ___________________________________________________________ 233
PENGEMBANGAN PENILAIAN ____________________ 237 A. Pembahasan Soal-soal UN _______________________________________________ 237 1.
Soal UN Tahun 2015 No. 36 _______________________________________________ 237
2.
Soal UN Tahun 2015 No. 37 _______________________________________________ 237
3.
Soal UN Tahun 2016 No. 39 _______________________________________________ 238
4.
Soal UN Tahun 2016 No. 38 _______________________________________________ 238
5.
Soal UN Tahun 2017 No. 39 _______________________________________________ 239
6.
Soal UN Tahun 2017 No. 40 _______________________________________________ 239
7.
Soal UN Tahun 2019 No. 36 _______________________________________________ 240
B. Pengembangan Soal HOTS _______________________________________________ 241 C. Pengembangan Refleksi Pembelajaran _________________________________ 244 1. Refleksi Komponen ___________________________________________________________ 244 2. Refleksi Menyeluruh __________________________________________________________ 246
KESIMPULAN ________________________________ 249 UMPAN BALIK _______________________________ 250 DAFTAR PUSTAKA ____________________________ 252
192
Unit Pembelajaran Integral Tak Tentu dan Tentu
DAFTAR GAMBAR
Hal Gambar 1.
Grafik Perpindahan ................................................................................. 198
Gambar 2.
Grafik Kecepatan...................................................................................... 198
Gambar 3.
Grafik Percepatan .................................................................................... 198
Gambar 4.
Rangkaian Tegangan Listrik Melalui Kapasitor ........................... 199
Gambar 5.
Sentroid Pelat Tipis dan Rata ............................................................. 204
Gambar 6.
Koordinat Sentroid Plat Tipis ............................................................. 205
Gambar 7.
Plat Terendam di Dalam Air ................................................................ 207
Gambar 8.
Pintu Air Bendungan .............................................................................. 207
Gambar 9.
Panjang Kurva Halus Kontinu............................................................. 209
Gambar 10.
Kurva 𝑦 = 𝑥 3/2 .......................................................................................... 210
DAFTAR TABEL
Hal Tabel 1. Kompetensi Dasar dan Perumusan IPK _____________________________ 195 Tabel 2. Indikator Pencapaian Kompetensi___________________________________ 195 Tabel 3. Indikator Pencapaian Kompetensi Aktivitas 1 ______________________ 218 Tabel 4. Indikator Pencapaian Kompetensi Aktivitas 2______________________ 222
193
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
PENDAHULUAN
Konsep integral tak tentu dan tentu menjadi materi dengan tingkat kebergunaan yang cukup signifikan, mulai dari menjadi materi prasyarat bagi materi penentuan luas daerah dan volume benda putar, sampai dengan kalkulus lanjut. Integral tak tentu dan tentu merupakan pengembangan dari limit dan diferensial yang sudah dipelajari pada pertemuan sebelumnya, dan juga pengembangan dari materi fisika, mulai dari melakukan perhitungan perubahan kecepatan dan hukum Newton kedua. Konsep persamaan linear dua variabel dalam masalah kontekstual terdapat dalam KD Pengetahuan 3.33 yaitu menentukan nilai integral tak tentu dan tertentu fungsi aljabar. Inti dari KD 3.33 adalah memberikan pondasi integral kalkulus sederhana, sehingga diharapkan dapat membantu memudahkan memecahkan permasalahan kontekstual terkait integral tak tentu dan tentu, dan memberikan pondasi prasyarat untuk materi matematika tingkat lanjut. Begitu pula, pada KD Keterampilan 4.33 menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan integral tak tentu dan tertentu fungsi aljabar merupakan tindak lanjut dari KD 3.33 Pengetahuan, dengan harapan perolehan pengetahuan dapat dibarengi dengan perolehan keterampilan yang sesuai.
194
Unit Pembelajaran Integral Tak Tentu dan Tentu
KOMPETENSI DASAR DAN PERUMUSAN IPK A. Kompetensi Dasar dan Target Kompetensi Sub unit pembelajaran ini dikembangkan berdasarkan Kompetensi Dasar kelas XII: Tabel 1. Kompetensi Dasar dan Perumusan IPK
Kompetensi Dasar 3.33 Menentukan nilai integral tak tentu dan tertentu fungsi aljabar 4.33
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan integral tak tentu dan tertentu fungsi aljabar
Target Kompetensi Menentukan nilai integral tak tentu fungsi aljabar Menentukan nilai integral tertentu fungsi aljabar Memecahkan masalah yang berkaitan dengan integral tak tentu dan tertentu fungsi aljabar
Kelas XII
XII
B. Indikator Pencapaian Kompetensi Tabel 2. Indikator Pencapaian Kompetensi
3.33
3.33.1 3.33.2
3.33.3 3.33.4
Pengetahuan Menentukan nilai integral tak tentu dan tertentu fungsi aljabar
4.33
Keterampilan Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan integral tak tentu dan tertentu fungsi aljabar
IPK Pendukung Menghitung nilai integral tak 4.33.1 Mengidentifikasi masalah tentu fungsi aljabar yang berkaitan dengan Menghitung nilai integral integral tak tentu fungsi tertentu fungsi aljabar aljabar 4.33.2 Mengidentifikasi masalah yang berkaitan dengan integral tertentu fungsi aljabar IPK Kunci Menentukan integral tak 4.33.3 Menyelesaikan masalah yang tentu fungsi aljabar berkaitan dengan integral Menentukan nilai integral tak tentu fungsi aljabar tertentu fungsi aljabar 4.33.4 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan integral tertentu fungsi aljabar
195
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
IPK Pengayaan 3.33.5 Menjustifikasi langkah4.33.5 Memvalidasi langkahlangkah penyelesaian langkah penyelesaian masalah integral tak tentu masalah yang berkaitan fungsi aljabar dengan integral tak tentu 3.33.6 Menjustifikasi langkahfungsi aljabar langkah penyelesaian 4.33.6 Memvalidasi langkahmasalah integral tertentu langkah penyelesaian fungsi aljabar masalah yang berkaitan dengan integral tertentu fungsi aljabar
196
Unit Pembelajaran Integral Tak Tentu dan Tentu
APLIKASI DI DUNIA NYATA
A. Integral Tak Tentu Kegunaan integral tak tentu cukup banyak, diantaranya adalah untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan gerak, kelistrikan, dan teknik elektro.
1. Masalah Gerak (Motion) Pada masalah kecepatan kita melihat bahwa kecepatan 𝑣 yang bergerak dari suatu titik didefinisikan sebagai laju perubahan perpindahan 𝑠 dari titik tersebut (Calter, Calter, Wraight, & White, 2016). Dengan demikian 𝑑𝑠
kecepatannya sama dengan turunan dari perpindahan, atau 𝑣 = 𝑑𝑡 . Sekarang kita membalikkan proses dan menemukan perpindahan ketika diberi kecepatan. Karena 𝑑𝑠 = 𝑣 𝑑𝑡, mengintegrasikan memberikan persamaan berikut: Perpindahan: 𝑠 = ∫ 𝑣 𝑑𝑡 Serupa dengan perpindahan, percepatan 𝑎 sama dengan turunan dari kecepatan
atau
𝑎=
𝑑𝑣 𝑑𝑡
,
sehingga
𝑑𝑣 = 𝑎 𝑑𝑡
dan
mengintegrasikan
memberikan persamaan berikut: Kecepatan Sesaat: 𝑣 = ∫ 𝑎 𝑑𝑡 Perhatikan contoh berikut : Suatu partikel bergerak dengan percepatan konstan 4 m/𝑠 2 . Ia memiliki kecepatan awal 6 m/s dan perpindahan awal 2 m. Temukan persamaan untuk kecepatan dan perpindahan, dan grafik perpindahan, kecepatan, dan percepatan untuk t = 0 hingga 10 s.
197
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Penyelesaian: Diberikan 𝑎 =
𝑑𝑣 𝑑𝑡
= 4, sehingga: 𝑣 = ∫ 4 𝑑𝑡 = 4𝑡 + 𝐶1
Karena 𝑣 = 6 m/s ketika 𝑡 = 0, maka diperoleh 𝐶1 = 6, jadi: 𝑣 = 4𝑡 + 6 m/s 𝑑𝑠
Kemudian, karena 𝑣 = 𝑑𝑡 , maka: 𝑑𝑠 = (4𝑡 + 6)𝑑𝑡 Dengan mengintegralkan diperoleh: 𝑠 = 2𝑡 2 + 6𝑡 + 𝐶2 Karena perpindahan awal 2 m ketika 𝑡 = 0, maka diperoleh 𝐶2 = 2, jadi: 𝑠 = 2𝑡 2 + 6𝑡 + 2 m
Gambar 1. Grafik Perpindahan
Gambar 2. Grafik Kecepatan
Gambar 3. Grafik Percepatan
198
Unit Pembelajaran Integral Tak Tentu dan Tentu
2. Masalah Kelistrikan 1 Aplikasi integral tak tentu berikutnya berasal dari bidang listrik. Menurut definisi, arus 𝑖 dalam rangkaian listrik sama dengan laju waktu perubahan muatan 𝑞 (dalam coulomb) yang melewati titik tertentu dalam rangkaian, atau secara matematis (Washington & Evans, 2018): 𝑖= Bentuk di
atas
dapat
𝑑𝑞 𝑑𝑡
dituliskan
kembali
menjadi
𝑑𝑞 = 𝑖 𝑑𝑡,
dan
mengintegrasikan kedua sisi, diperoleh: 𝑞 = ∫ 𝑖 𝑑𝑡 Sekarang, tegangan listrik 𝑉𝐶 melalui sebuah kapasitor dengan kapasitas 𝐶 𝑞 seperti pada Gambar 1 adalah 𝑉𝐶 = . Dengan mengkombinasikan kedua 𝐶 persamaan, maka diperoleh: 𝑉𝐶 =
1 ∫ 𝑖 𝑑𝑡 𝐶
Dimana 𝑉𝐶 dalam satuan volt, 𝐶 dalam faraday, 𝑖 dalam ampere, dan 𝑡 dalam detik (second).
Gambar 4. Rangkaian Tegangan Listrik Melalui Kapasitor
Perhatikan contoh berikut: Suatu kapasitor dilalui tegangan listrik sebesar 100 V. Saat ini, arus 𝑖 = 1
0,06𝑡 2 dikirim melalui rangkaian listrik. Setelah 0,25 s, tegangan yang melintasi kapasitor adalah 140 V. Berapa kapasitansi dari kapasitor tersebut?
199
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Penyelesaian: 1
Substitusi 𝑖 ke dalam 𝑉𝐶 = 𝐶 ∫ 𝑖 𝑑𝑡, diperoleh: 1
1
1
1 2
𝑉𝐶 = 𝐶 ∫ (0,06𝑡 2 ) 𝑑𝑡 =
0,06 𝐶
1
∫ 𝑡 2 𝑑𝑡
= 𝐶 ∫ (0,06𝑡 ) 𝑑𝑡 = =
0,06 𝐶
1
∫ 𝑡 2 𝑑𝑡
0,04 3 𝐶
𝑡 2 + 𝐶1
Dari informasi yang ada pada soal, diketahui bahwa 𝑉𝐶 = 100 V ketika 𝑡 = 0, maka diperoleh 𝐶1 = 100 V. Sehingga: 𝑉𝐶 =
0,04 3 𝑡 2 + 100 𝐶
Dari soal juga diketahui bahwa 𝑉𝐶 = 140 V ketika 𝑡 = 0,25 s, maka diperoleh: 140 =
3 0,04 (0,25)2 + 100 𝐶
Dan diperoleh 𝐶 = 1,25 × 10−4 Faraday atau 𝐶 = 125𝜇𝐹.
200
Unit Pembelajaran Integral Tak Tentu dan Tentu
3. Masalah Kelistrikan 2 Menurut definisi, tegangan listrik yang melalui induktor diberikan dengan formula: 𝑉=𝐿
𝑑𝑖 𝑑𝑡
Dimana 𝐿 adalah induktan dalam satuan henrys (H). Dari bentuk di atas dapat diubah menjadi: 𝑑𝑖 =
1 𝑉 𝑑𝑡 𝐿
Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh: 𝑖=
1 ∫ 𝑉 𝑑𝑡 𝐿
Perhatikan contoh berikut: Suatu tegangan listrik yang melalui induktor dengan nilai induktan 10,6 H adalah 𝑉 = √3𝑡 + 25,4 Volt. Tentukan besar arus listrik dalam induktor pada saat waktu 5,25 s jika arus awalnya 6,15 A! Penyelesaian: 1
𝑖 = 10,6 ∫ √3𝑡 + 25,4 𝑑𝑡 1
1
= 0,09434 (3) ∫ (3𝑡 + 25,4)2 (3 𝑑𝑡) 3
= 0,0210(3𝑡 + 25,4)4 + 𝐶1 Karena 𝑖 = 6,15 A ketika 𝑡 = 0, maka 𝐶1 = 3,46 A. Sehingga diperoleh: 3
𝑖 = 0,0210(3𝑡 + 25,4)4 + 3,46 Maka pada saat 𝑡 = 5,25 s, diperoleh: 3
𝑖 = 0,0210(3(5,25) + 25,4)4 + 3,46 = 9,00 A.
201
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
B. Integral Tertentu 1. Masalah Teknik Elektro Suatu sirkuit listrik mengandung induktansi 𝐿 = 0,5 henry dan resistansi 𝑟 = 20 ohm. Pada saat 𝑡 = 0 arus 𝑖 = 0,6 amp. Diberikan, dari teknik elektro, 𝑑𝑖
bahwa 𝐿 (𝑑𝑡) + 𝑟𝑖 = 0 (untuk masalah ini), menunjukkan bahwa arus 𝑖 pada waktu 𝑡 = 0,01 s diberikan oleh integral tentu (Cell, 1943): 𝑖
0,01 𝑑𝑖 = −40 ∫ 𝑑𝑡 0,6 𝑖 0
∫ Tentukan nilai 𝑖! Penyelesaian:
𝑖
0,01 𝑑𝑖 = −40 ∫ 𝑑𝑡 0,6 𝑖 0
∫
𝑖
𝑑𝑖 = −0,4 0,6 𝑖
∫
ln 𝑖 − ln 0,6 = −0,4 ln 𝑖 = −0,911 Maka 𝑖 = 0,402 A.
202
Unit Pembelajaran Integral Tak Tentu dan Tentu
2. Masalah Gerak (Motion) Menurut Hukum Newton kedua, gaya berelasi dengan momentum p dengan formula: 𝐹=
𝑑𝑝 𝑑𝑡
Dari bentuk di atas dapat diubah menjadi: 𝑑𝑝 = 𝐹 𝑑𝑡 Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh: 𝑝 = ∫ 𝐹 𝑑𝑡 Perhatikan contoh berikut: Gaya yang mengeluarkan proyektil dari sebuah pistol berubah seiring waktu setelah penembakan sesuai dengan persamaan (Cell, 1943): 𝐹=
4,35 (0,05 + 𝑡)4
𝐹 dalam satuan lbf dan t dalam sekon. Total "momentum" yang diberikan proyektil (momentum didefinisikan sebagai massa kali kecepatan) selama 0,04 detik yang diperlukan agar proyektil melewati lubang pistol diperoleh dengan mengevaluasi integral tentu berikut: 𝑡2
0,04
𝑝 = ∫ 𝐹 𝑑𝑡 = ∫ 𝑡1
0
4,35 𝑑𝑡 (0,05 + 𝑡)4
Tentukan besar momentum! Penyelesaian: 𝑡2
0,04
𝑝 ∫ 𝐹 𝑑𝑡 = ∫ 𝑡1
0
4,35 𝑑𝑡 (0,05 + 𝑡)4
𝑡2
∫ 𝐹 𝑑𝑡 = 9610,97 𝑡1
Maka momentum yang diberikan ≈ 9610 lbfs.
203
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
3. Masalah Sentroid (Mekanik) Dalam studi mekanika, properti yang sangat penting dari sebuah objek adalah pusat massanya. Pada bagian ini, kita akan mencar penjelasan arti pusat massa dan kemudian menunjukkan bagaimana integrasi digunakan untuk menentukan pusat massa untuk daerah dan padatan revolusi. Jika suatu massa 𝑚 pada jarak 𝑑 dari titik tertentu 𝑂, momen dari massa 𝑂 didefinisikan sebagai 𝑚𝑑. Jika beberapa massa 𝑚1 , 𝑚2 , … , 𝑚𝑛 berada pada jarak 𝑑1 , 𝑑2 , … , 𝑑𝑛 , masing-masing, dari titik 𝑂, total momen (sebagai kelompok) 𝑂 didefinisikan sebagai 𝑚1 𝑑1 + 𝑚2 𝑑2 + … + 𝑚𝑛 𝑑𝑛 . Pusat massa adalah titik 𝑑 unit dari 𝑂 di mana semua massa dapat terkonsentrasi untuk mendapatkan momen total yang sama. Oleh karena itu 𝑑 didefinisikan oleh persamaan: 𝑚1 𝑑1 + 𝑚2 𝑑2 + … + 𝑚𝑛 𝑑𝑛 = (𝑚1 + 𝑚2 + … + 𝑚𝑛 )𝑑 Jika pelat tipis dan rata menutupi daerah yang dibatasi oleh 𝑦1 = 𝑓1 (𝑥), 𝑦2 = 𝑓2 (𝑥), 𝑥 = 𝑎 dan 𝑥 = 𝑏 seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2, momen dari massa elemen area sekitar sumbu 𝑦 diberikan oleh (𝑘𝑑𝐴)𝑥, di mana 𝑘 adalah massa per satuan luas.
Gambar 5. Sentroid Pelat Tipis dan Rata
Dalam ekspresi ini, 𝑘𝑑𝐴 adalah massa elemen, dan 𝑥 adalah jaraknya (lengan momen) dari sumbu 𝑦. Elemen 𝑑𝐴 dapat ditulis sebagai (𝑦2 − 𝑦1 )𝑑𝑥, yang berarti bahwa momen tersebut dapat ditulis 𝑘𝑥(𝑦2 − 𝑦1 )𝑑𝑥. Jika kita
204
Unit Pembelajaran Integral Tak Tentu dan Tentu
kemudian meringkas momen semua elemen dan menyatakan ini sebagai integral (yang, tentu saja, berarti penjumlahan), kita memiliki: 𝑏
𝑘 ∫ 𝑥(𝑦2 − 𝑦1 )𝑑𝑥 𝑎
Jika kita menganggap semua massa pelat terkonsentrasi pada satu titik 𝑥 unit dari sumbu 𝑦, momennya adalah (𝑘𝐴)𝑥, di mana 𝑘𝐴 adalah massa seluruh pelat dan 𝑥 adalah jarak pusat massa dari sumbu 𝑦. Dengan diskusi sebelumnya, kedua ungkapan ini harus sama. Ini berarti : 𝑏
𝑘 ∫ 𝑥(𝑦2 − 𝑦1 )𝑑𝑥 = 𝑘𝐴𝑥 𝑎
Karena 𝑘 muncul di setiap sisi persamaan, kami membaginya (kita mengasumsikan bahwa massa per satuan luas adalah konstan). Area A ditemukan oleh integral: 𝑏
∫ (𝑦2 − 𝑦1 )𝑑𝑥 𝑎
Oleh karena itu, koordinat 𝑥 dari pusat massa lempeng diberikan oleh: 𝑏
𝑥=
∫𝑎 𝑥(𝑦2 − 𝑦1 )𝑑𝑥 𝑏
∫𝑎 (𝑦2 − 𝑦1 )𝑑𝑥
Perhatikan contoh berikut: Temukan koordinat centroid dari plat tipis yang menutupi wilayah yang dibatasi oleh parabola 𝑦 = 𝑥 2 dan garis 𝑦 = 4 seperti pada gambar .3
Gambar 6. Koordinat Sentroid Plat Tipis
205
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Penyelesaian: Kurva yang terbentuk adalah parabola yang porosnya adalah sumbu 𝑦. [Karena wilayahnya simetris dengan sumbu−𝑦, centroid harus berada pada sumbu ini. ] Ini berarti bahwa koordinat 𝑥 dari centroid adalah nol, atau 𝑥 = 0. Untuk menemukan koordinat 𝑦 dari centroid, kita peroleh: 4
𝑦=
𝑦=
∫0 𝑦(2𝑥)𝑑𝑦 4
∫0 2𝑥 𝑑𝑦 4 3 2 ∫0 𝑦 2 𝑑𝑦 4 1 2 ∫0 𝑦 2 𝑑𝑦
4
=
=
∫0 𝑦(2√𝑦)𝑑𝑦 4
∫0 2√𝑦 𝑑𝑦 2
5
2
3 2
[(5) 𝑦 2 ] [(3) 𝑦 ]
4 0 4 0
2
(32) 128 3 12 𝑦 = 52 = × = 5 32 5 (8) 5
12
Maka koordinat sentroid adalah (0, 5 ). Pelat ini akan seimbang jika satu penyangga runcing diletakkan di bawah titik ini.
206
Unit Pembelajaran Integral Tak Tentu dan Tentu
4. Masalah Gaya Akibat Tekanan Fluida Aplikasi integrasi berikutnya berkaitan dengan gaya akibat tekanan cairan. Gaya 𝐹 pada area 𝐴 dengan kedalaman ℎ dalam cairan dengan densitas 𝑤 adalah 𝐹 = 𝑤ℎ𝐴. Misal kita asumsikan bahwa pelat yang ditunjukkan pada Gambar. 4 terendam secara vertikal dalam air.
Gambar 7. Plat Terendam di Dalam Air
Menggunakan integrasi untuk menjumlahkan gaya pada elemen-elemen area, gaya total pada pelat diberikan oleh: 𝑏
𝐹 = 𝑤 ∫ 𝑙ℎ 𝑑ℎ 𝑎
Di mana, 𝑙 adalah panjang elemen area, ℎ adalah kedalaman elemen area, 𝑤 adalah berat per satuan volume cairan, 𝑎 adalah kedalaman bagian atas, dan 𝑏 adalah kedalaman bagian bawah area di mana gaya diberikan. Perhatikan contoh berikut: Pintu air bendungan persegi panjang vertikal selebar 5,00 kaki dan tinggi 4,00 kaki. Temukan kekuatan di pintu air jika tepi atasnya 3,00 kaki di bawah permukaan air. Lihat Gambar 5.
Gambar 8. Pintu Air Bendungan
207
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Penyelesaian: Setiap elemen dari area pintu banjir memiliki panjang 5,00 kaki, yang berarti bahwa 𝑙 = 5,00 kaki. Karena bagian atas gerbang adalah 3,00 kaki di bawah permukaan, 𝑎 = 3,00 kaki, dan karena gerbang tingginya 4,00 kaki, 𝑏 = 7,00 kaki. Menggunakan 𝑤 = 62,4 lb / kaki 3, kita memiliki gaya di gerbang sebesar: 7,00
𝐹 = 62,4 ∫
5,00ℎ 𝑑ℎ
3,00 7,00
𝐹 = 312 ∫
ℎ 𝑑ℎ
3,00
𝐹 = [156ℎ2 ]7,00 3,00 𝐹 = 156(49,00 − 9,00) 𝐹 = 6240 lb
208
Unit Pembelajaran Integral Tak Tentu dan Tentu
5. Masalah Panjang Kurva Salah satu aplikasi integral tertentu yang jarang diketahui adalah menghitung panjang suatu kurva antara dua titik, dimana bentuk kurva di “tarik” mendekati garis lurus kemudian diukur panjangnya (Washington & Evans, 2018). Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut.
Gambar 9. Panjang Kurva Halus Kontinu
Pada Gambar 9, kita dapat berpikir bahwa kurva terbentuk dari banyak segmen garis pendek dengan panjang Δ𝑠. Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh: (Δ𝑠)2 ≈ (Δ𝑥)2 + (Δ𝑦)2 Dengan membagi kedua ruas dengan (Δ𝑥)2 diperoleh: (Δ𝑠)2 (Δ𝑦)2 ≈1+ (Δ𝑥)2 (Δ𝑥)2 Kemudian kedua ruas di akarkan, diperoleh: (Δ𝑦)2 Δ𝑠 ≈ √1 + (Δ𝑥)2 Δ𝑥
209
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Misalkan banyaknya segmen garis pendek dari kurva mendekati tak hingga dimana Δ𝑥 mendekati nol, maka diperoleh: 𝑑𝑠 Δ𝑠 𝑑𝑦 2 √ = lim = 1+( ) 𝑑𝑥 Δ𝑥→0 Δ𝑥 𝑑𝑥 Atau 𝑑𝑠 = √1 + (
𝑑𝑦 2 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥
Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh: 𝑏 𝑑𝑦 2 𝑠 = ∫ √1 + ( ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑎
Sebagai contoh: 3
Tentukan panjang kurva 𝑦 = 𝑥 2 dari 𝑥 = 0 sampai 𝑥 = 4 seperi pada Gambar 10.
3
Gambar 10. Kurva 𝑦 = 𝑥 2
Jika Saudara memahami materi integral tertentu dengan baik, maka jawabannya adalah 9.07.
210
Unit Pembelajaran Integral Tak Tentu dan Tentu
SOAL-SOAL UN/USBN
A. Integral Tak Tentu 1. Soal UN Tahun 2015 No. 36
Soal UN Tahun 2015
∫ 2𝑥
2 (4𝑥
− 1)𝑑𝑥 = … 2
D. 2𝑥 4 − 2𝑥 2 + 𝐶
2
E. 2𝑥 4 − 𝑥 3 + 𝐶
A. 2𝑥 4 + 3 𝑥 3 + 𝐶
2
B. 2𝑥 4 − 𝑥 3 + 𝐶 C. 2𝑥 − 4
3 3 3 𝑥 2
3
+𝐶
Identifikasi Kelas / Semester
:
X dan I
Level Kognitif
:
C3
Indikator yang bersesuaian
:
Diketahui
3.33.3 Menentukan integral tak tentu fungsi aljabar : ∫ 2𝑥 2 (4𝑥 − 1)𝑑𝑥
Ditanyakan
:
Integral tak tentu
Materi yang dibutuhkan
:
Integral tak tentu
211
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
2. Soal UN Tahun 2016 No. 39
Soal UN Tahun 2016
∫ 6𝑥(2𝑥 2 + 3𝑥 + 4)𝑑𝑥 = … A. 12𝑥 3 + 18𝑥 2 + 34𝑥 + 𝐶 B. 12𝑥 3 + 18𝑥 2 + 24𝑥 + 𝐶 C. 3𝑥 4 + 6𝑥 3 + 12𝑥 2 + 𝐶
D. 4𝑥 4 + 6𝑥 3 + 12𝑥 2 + 𝐶 E. 12𝑥 4 + 6𝑥 3 + 12𝑥 2 + 𝐶
Identifikasi Kelas / Semester
:
X dan I
Level Kognitif
:
C3
Indikator yang bersesuaian
:
Diketahui
3.33.3 Menentukan integral tak tentu fungsi aljabar : ∫ 6𝑥(2𝑥 2 + 3𝑥 + 4)𝑑𝑥
Ditanyakan
:
Integral tak tentu
Materi yang dibutuhkan
:
Integral tak tentu
212
Unit Pembelajaran Integral Tak Tentu dan Tentu
3. Soal UN Tahun 2017 No. 39
Soal UN Tahun 2017 1 2
Nilai ∫ (3𝑥 2 + 2) 𝑑𝑥 adalah … A.
𝑥5 + 𝑥2 + 4 𝑥 + 𝐶 5
1
D.
B.
9 5 𝑥 5 9 5 𝑥 5
1
E.
C.
9
+ 𝑥3 + 4 𝑥 + 𝐶
9
1
9
𝑥5 + 𝑥3 + 4 𝑥2 + 2 + 𝐶
𝑥5 + 𝑥3 + 4 𝑥 + 1 + 𝐶 5 5
1
1
+ 𝑥3 + 4 𝑥2 + 𝐶
Identifikasi Kelas / Semester
:
X dan I
Level Kognitif
:
C3
Indikator yang bersesuaian
:
3.33.3 Menentukan integral tak tentu fungsi aljabar
Diketahui
:
∫ (3𝑥 2 + 2) 𝑑𝑥
Ditanyakan
:
Integral tak tentu
Materi yang dibutuhkan
:
Integral tak tentu
1 2
213
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
4. Soal UN Tahun 2019 No. 36
Soal UN Tahun 2019 1
2
Nilai ∫ (3 𝑥 3 − 3 𝑥 2 + 3𝑥 + 2) 𝑑𝑥 adalah … A.
4
B.
𝑥 4 − 9 𝑥 3 + 2 𝑥 2 + 2𝑥 + 𝐶 12
C. D.
3 1
2
3
𝑥 4 − 3 𝑥 3 + 2 𝑥 2 + 2𝑥 + 𝐶
1 12 1
2
3
2
𝑥 4 − 9 𝑥 3 + 6𝑥 2 + 2𝑥 + 𝐶
12 2
2
𝑥 4 − 9 𝑥 3 + 3𝑥 + 2 + 𝐶 4
E. 𝑥 − 3 𝑥 + 3 + 𝐶 Identifikasi Kelas / Semester
:
X dan I
Level Kognitif
:
C3
Indikator yang bersesuaian
:
3.33.3 Menentukan integral tak tentu fungsi aljabar
Diketahui
:
∫ (3 𝑥 3 − 3 𝑥 2 + 3𝑥 + 2) 𝑑𝑥
Ditanyakan
:
Integral tak tentu
Materi yang dibutuhkan
:
Integral tak tentu
214
1
2
Unit Pembelajaran Integral Tak Tentu dan Tentu
B. Integral Tentu 1. Soal UN Tahun 2015 No. 37
Soal UN Tahun 2015
Nilai
3 ∫2 (3𝑥 2
+ 6𝑥 + 4) 𝑑𝑥 adalah …
A. 28 B. 38
C. 48 D. 53
E. 58
Identifikasi Kelas / Semester
:
X dan I
Level Kognitif
:
C3
Indikator yang bersesuaian
:
Diketahui
3.33.4 Menentukan nilai integral tertentu fungsi aljabar 3 : ∫ (3𝑥 2 + 6𝑥 + 4) 𝑑𝑥 2
Ditanyakan
:
Nilai Integral tentu
Materi yang dibutuhkan
:
Integral tentu
215
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
2. Soal UN Tahun 2016 No. 38
Soal UN Tahun 2016
Nilai
2 ∫−1(2𝑥 2
+ 4𝑥 + 5) 𝑑𝑥 adalah …
A. 29 B. 28
C. 27 D. 25
E. 24
Identifikasi Kelas / Semester
:
X dan I
Level Kognitif
:
C3
Indikator yang bersesuaian
:
Diketahui
3.33.4 Menentukan nilai integral tertentu fungsi aljabar 2 : ∫−1(2𝑥 2 + 4𝑥 + 5) 𝑑𝑥
Ditanyakan
:
Nilai Integral tentu
Materi yang dibutuhkan
:
Integral tentu
216
Unit Pembelajaran Integral Tak Tentu dan Tentu
3. Soal UN Tahun 2017 No. 40
Soal UN Tahun 2017
Nilai A. B.
0 ∫−1 (2
1
− 3𝑥 − 2 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 adalah …
10 3 11 3
C. D.
20
E.
3 22
25 3
3
Identifikasi Kelas / Semester
:
X dan I
Level Kognitif
:
C3
Indikator yang bersesuaian
:
3.33.4 Menentukan nilai integral tertentu fungsi aljabar
Diketahui
:
∫−1 (2 − 3𝑥 − 2 𝑥 2 ) 𝑑𝑥
Ditanyakan
:
Nilai Integral tentu
Materi yang dibutuhkan
:
Integral tentu
0
1
217
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
BAHAN PEMBELAJARAN
A. Aktivitas Pembelajaran (12 JP) Bagian ini merupakan rincian kegiatan pembelajaran yang dapat dilakukan guru dan peserta didik untuk mencapai kompetensi pada materi intergral tak tentu dan tentu.
Aktivitas 1 (6 JP) Tabel 3. Indikator Pencapaian Kompetensi Aktivitas 1
3.33
Pengetahuan Menentukan nilai integral tak tentu dan tertentu fungsi aljabar
Indikator Pendukung 3.33.1 Menghitung nilai integral tak tentu fungsi aljabar Indikator Kunci 3.33.3 Menentukan integral tak tentu fungsi aljabar Indikator Pengayaan 3.33.5 Menjustifikasi langkahlangkah penyelesaian masalah integral tak tentu fungsi aljabar
218
Keterampilan Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan integral tak tentu dan tertentu fungsi aljabar Indikator Pendukung 4.33.1 Mengidentifikasi masalah yang berkaitan dengan integral tak tentu fungsi aljabar Indikator Kunci 4.33.3 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan integral tak tentu fungsi aljabar 4.33
Indikator Pengayaan 4.33.5 Memvalidasi langkah-langkah penyelesaian masalah yang berkaitan dengan integral tak tentu fungsi aljabar
Unit Pembelajaran Integral Tak Tentu dan Tentu
Untuk memulai pembelajaran tentang menentukan nilai integral tak tentu fungsi aljabar, mari kita perhatikan beberapa permasalahan berikut. Aplikasi dalam Gerak (Motion) 1 Suatu partikel mulai bergerak dari asalnya. Komponen kecepatan 𝑥 adalah 𝑡 2 − 4, dan komponen 𝑦 adalah 4𝑡 cm/s. (a) Tulis persamaan untuk 𝑥 dan 𝑦. 1
(b) Tulis persamaan untuk 𝑥 dan 𝑦 jika pada saat 𝑡 = 0, 𝑥 = 1 cm dan 𝑦 = 2 cm . Aplikasi dalam Gerak (Motion) 2 Sebuah Titik berasal dari (1, 1) dengan kecepatan awal 𝑣𝑥 = 4 cm/s dan 𝑣𝑦 = 15 cm/s dan bergerak di sepanjang jalur lengkung. Titik tersebut memiliki komponen percepatan 𝑥 dan 𝑦 dengan 𝑎𝑥 = 𝑡 dan 𝑎𝑦 = 5𝑡. Tuliskan ekspresi untuk komponen kecepatan dan perpindahan dari 𝑥 dan 𝑦! Mengapa kita memulai pembelajaran integral dengan aplikasi dalam gerak? Kita ingin memulai pembelajaran ini dengan masalah nyata dan membiasakan Saudara
menggunakan
metode
pemecahanan
masalah
(problem
solving)(Polya, 2004). Pertanyaannya adalah bagaimana cara Saudara memulai dan menyelesaikan soal-soal tersebut?. Tahap Pembelajaran 1. Understanding The Problem (Memahami Masalah) Kegiatan Pembelajaran a. Menuliskan apa yang diketahui pada soal b. Menuliskan apa yang tidak diketahui dalam soal c. Melakukan penalaran terhadap yang diketahui dan tidak diketahui
219
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
d. Melakukan analisis kecocokan pola dengan pola yang sudah diketahui Pada tahap ini, Saudara dipersilahkan melakukan variasi analisis dari persoalan. Tahap Pembelajaran 2. Devising A Plan (Memikirkan Suatu Rencana Penyelesaian) Kegiatan Pembelajaran a. Menanyakan ke dalam diri sendiri, apakah Saudara pernah melihat soal itu sebelumnya? b. Menanyakan ke dalam diri sendiri, apakah Saudara pernah melihat soal yang sama dengan bentuk yang berbeda? c. Apakah Saudara mengetahui masalah serupa? d. Apakah Saudara mengetahui suatu teorema/aturan/sifat-sifat yang mungkin berguna? e. Jika Saudara belum dapat menyelesaiakn masalah yang diberikan, cobalah untuk menyelesaikan masalah yang mirip atau masalah yang lebih mudah. Pada tahap ini, Saudara dipersilahkan melakukan variasi dalam merencanakan strategi penyelesaian persoalan. Tahap Pembelajaran 3. Carrying Out The Plan (Melaksanakan Rencana) Kegiatan Pembelajaran a. Menuliskan penyelesaian dan mengecek setiap langkah b. Apakah Saudara menuliskan secara jelas bahwa setiap langkah sudah benar? c. Apakah
Saudara
dapat
membuktikan
bahwa
langkah-langkah
penyelesaian tersebut benar? Pada tahap ini, Saudara dipersilahkan melakukan pengecekan dari setiap langkah penyelesaian.
220
Unit Pembelajaran Integral Tak Tentu dan Tentu
Tahap Pembelajaran 4. Looking Back (Meninjau Pelaksanaan Rencana) Kegiatan Pembelajaran a. Dapatkah Saudara menguji hasil akhir yang di peroleh? b. Dapatkah Saudara mengecek argumen yang muncul di setiap langkah? c. Dapatkah Saudara menggunakan hasil akhir, atau metode yang digunakan untuk permasalahan lain? Selanjutnya, silahkan Saudara selesaikan persoalan integral tak tentu dalam lembar kerja dan jika memungkinkan sekaligus, analisis sifat-sifat yang berlaku di dalamnya.
221
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Aktivitas 2 (6 JP) Tabel 4. Indikator Pencapaian Kompetensi Aktivitas 2
Keterampilan Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan integral tak tentu dan tertentu fungsi aljabar Indikator Pendukung Indikator Pendukung 3.33.2 Menghitung nilai integral 4.33.2 Mengidentifikasi masalah tertentu fungsi aljabar yang berkaitan dengan integral tertentu fungsi aljabar Indikator Kunci Indikator Kunci 3.33.4 Menentukan nilai integral 4.33.4 Menyelesaikan masalah yang tertentu fungsi aljabar berkaitan dengan integral tertentu fungsi aljabar 3.33
Pengetahuan Menentukan nilai integral tak 4.33 tentu dan tertentu fungsi aljabar
Indikator Pengayaan 3.33.6 Menjustifikasi langkahlangkah penyelesaian masalah integral tertentu fungsi aljabar
Indikator Pengayaan 4.33.6 Memvalidasi langkah-langkah penyelesaian masalah yang berkaitan dengan integral tertentu fungsi aljabar
Untuk memulai pembelajaran tentang menentukan nilai integral tak tentu fungsi aljabar, mari kita perhatikan beberapa permasalahan berikut. Aplikasi dalam Gerak (Motion) Suatu partikel mulai bergerak dari asalnya. Komponen kecepatan 𝑥 adalah 𝑡 2 − 4, dan komponen 𝑦 adalah 4𝑡 cm/s. Temukan jarak antara partikel dan asal ketika 𝑡 = 2,0 sekon. Aplikasi dalam Rangkaian Listrik Suatu arus listrik ke kapasitor tertentu adalah 𝑖 = 3,25 + 𝑡 3 Amp. Jika muatan awal pada kapasitor adalah 16,8 C, cari muatan ketika t = 3,75 sekon.
222
Unit Pembelajaran Integral Tak Tentu dan Tentu
Mengapa kita memulai pembelajaran integral tentu dengan aplikasi dalam gerak dan rangkaian listrik? Kita ingin memulai pembelajaran ini dengan masalah nyata dan membiasakan Saudara untuk metode pemecahanan masalah dalam pembelajaran (Polya, 2004). Pertanyaannya adalah bagaimana cara Saudara memulai dan menyelesaikan soal-soal tersebut?. Tahap Pembelajaran 1. Understanding The Problem (Memahami Masalah) Kegiatan Pembelajaran a. Menuliskan apa yang diketahui pada soal b. Menuliskan apa yang tidak diketahui dalam soal c. Melakukan penalaran terhadap yang diketahui dan tidak diketahui d. Melakukan analisis kecocokan pola dengan pola yang sudah diketahui Pada tahap ini, Saudara dipersilahkan melakukan variasi analisis dari persoalan. Tahap Pembelajaran 2. Devising A Plan (Memikirkan Suatu Rencana Penyelesaian) Kegiatan Pembelajaran a. Menanyakan ke dalam diri sendiri, apakah Saudara pernah melihat soal itu sebelumnya? b. Menanyakan ke dalam diri sendiri, apakah Saudara pernah melihat soal yang sama dengan bentuk yang berbeda? c. Apakah Saudara mengetahui masalah serupa? d. Apakah Saudara mengetahui suatu teorema/aturan/sifat-sifat yang mungkin berguna? e. Jika Saudara belum dapat menyelesaiakn masalah yang diberikan, cobalah untuk menyelesaikan masalah yang mirip atau masalah yang lebih mudah. Pada tahap ini, Saudara dipersilahkan melakukan variasi dalam merencanakan strategi penyelesaian persoalan.
223
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Tahap Pembelajaran 3. Carrying Out The Plan (Melaksanakan Rencana) Kegiatan Pembelajaran a. Menuliskan penyelesaian dan mengecek setiap langkah b. Apakah Saudara menuliskan secara jelas bahwa setiap langkah sudah benar? c. Apakah
Saudara
dapat
membuktikan
bahwa
langkah-langkah
penyelesaian tersebut benar? Pada tahap ini, Saudara dipersilahkan melakukan pengecekan dari setiap langkah penyelesaian. Tahap Pembelajaran 4. Looking Back (Meninjau Pelaksanaan Rencana) Kegiatan Pembelajaran a. Dapatkah Saudara menguji hasil akhir yang di peroleh? b. Dapatkah Saudara mengecek argumen yang muncul di setiap langkah? c. Dapatkah Saudara menggunakan hasil akhir, atau metode yang digunakan untuk permasalahan lain? Selanjutnya, silahkan Saudara kerjakan soal-soal terkait integral tentu pada lembar kerja dan jika memungkinkan sekaligus analisis dengan sifat-sifat yang berlaku di dalamnya.
224
Unit Pembelajaran Integral Tak Tentu dan Tentu
B. Lembar Kerja Peserta Didik Lembar Kerja Peserta Didik 1 a. b.
c. d. e.
Judul Tujuan
: Integral Tak Tentu : Menentukan integral tak tentu fungsi aljabar Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan integral tak tentu fungsi aljabar Identitas Mata Pelajaran : Matematika Teknik Petunjuk Kerja : Isilah setiap pertanyaan beserta penalarannya Form kegiatan :
1.
Isilah bagian yang kosong berikut ini: 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) = 2 maka 𝐹(𝑥) = ∫. . . = … 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) = 2𝑥 maka 𝐹(𝑥) = ∫. . . = … 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 maka 𝐹(𝑥) = ∫. . . = …
2.
Jika 𝐹(𝑥) = ∫ (2𝑥 + 3) 𝑑𝑥 = 𝑥 2 + 3𝑥 + 𝐶, maka apakah maksud dari 𝐶 itu? Jelaskan!
3.
Jika 𝐹(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 dan 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 2, maka 𝐹(𝑥) = ∫ (2𝑥 + 2)𝑑𝑥 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 𝐶. Apakah pasti 𝐶 = 1? Jika ya berikan penjelasan! Jika tidak berikan penjelasan!
4.
Hitunglah integral-integral berikut ini: ∫ (3𝑥 2 + 5) 𝑑𝑥 = … ∫ (5𝑥 6 + 2𝑥 3 − 4𝑥 + 3) 𝑑𝑥 = … ∫ (80𝑥19 − 32𝑥15 − 12𝑥 −3 ) 𝑑𝑥 = … ∫ 3(𝑥 3 − 1)2 (3𝑥 2 ) 𝑑𝑥 = … ∫ 5(4𝑥 − 3)4 (4) 𝑑𝑥 = …
5.
Hitunglah integral-integral berikut. ∫ √𝑥 𝑑𝑥 = … ∫ √(2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = … ∫ (√𝑥 − 2𝑥 −3 ) 𝑑𝑥 = … 3 ∫ √𝑥 4 𝑑𝑥 = … ∫ 𝑥 2 √𝑥 3 + 2 𝑑𝑥 = …
225
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
6.
∫ (𝑥 3 + 6𝑥)5 (6𝑥 2 + 12)𝑑𝑥 =…
7.
Suatu partikel mulai bergerak dari asalnya. Komponen kecepatan 𝑥 adalah 𝑡 2 − 4, dan komponen 𝑦 adalah 4𝑡 cm/s. (a) Tulis persamaan untuk 𝑥 dan 𝑦. (b) Tulis persamaan untuk 𝑥 dan 𝑦 jika pada saat 𝑡 = 0, 𝑥 = 1 cm dan 1
𝑦 = cm . 2
8.
Sebuah titik berasal dari (1, 1) dengan kecepatan awal 𝑣𝑥 = 4 cm/s dan 𝑣𝑦 = 15 cm/s dan bergerak di sepanjang jalur lengkung. Titik tersebut memiliki komponen percepatan 𝑥 dan 𝑦 dengan 𝑎𝑥 = 𝑡 dan 𝑎𝑦 = 5𝑡. Tuliskan ekspresi untuk komponen kecepatan dan perpindahan dari 𝑥 dan 𝑦!
9.
Pada setiap titik (𝑥, 𝑦) kurva tertentu, kemiringannya sama dengan 8 kali absis. Temukan persamaan kurva jika melewati (1,3).
10. Untuk kurva tertentu 𝑦” = 6𝑥 − 10. Temukan persamaannya jika melewati titik (1, 1) dengan kemiringan -1. 11. Sebuah batu dijatuhkan dari atas bangunan setinggi 400 kaki. Asumsikan batu berasal dari bagian atas bangunan dan arah positif ke bawah, temukan (a) kecepatan batu pada waktu 𝑡 (b) posisi pada waktu 𝑡. 12. Laju perubahan suhu 𝑇 (dalam °C) dari pusat ledakan pembakaran ke 𝑑𝑇 jarak 𝑟 (dalam m) dari pusat diberikan oleh 𝑑𝑟 = −4500(𝑟 + 1)−3 . Ekspresikan 𝑇 sebagai fungsi 𝑟 jika 𝑇 = 2500 °C untuk 𝑟 = 0? 13. Di lokasi tertentu, laju perubahan tahunan 𝑓 dari energi yang dipasok oleh energi surya sehubungan dengan area pengumpul surya 𝐴 (dalam 𝑑𝑓 0,005 m2 ) adalah 𝑑𝐴 = 0,01𝐴+1. Temukan 𝑓 sebagai fungsi 𝐴 jika 𝑓 = 0 untuk 𝐴 = 0 m2 .
226
√
Unit Pembelajaran Integral Tak Tentu dan Tentu
14. Perhatikan langkah penyelesaian sistem linier berikut! Tugas Saudara adalah menjustifikasi setiap langkah dalam penyelesaiannya. ∫ 6𝑥(2𝑥 2 + 3𝑥 + 4)𝑑𝑥 = ∫ (12𝑥 3 + 18𝑥 2 + 24𝑥) 𝑑𝑥 =∫ 12𝑥 3 𝑑𝑥 + ∫ 18𝑥 2 𝑑𝑥 + ∫ 24𝑥 𝑑𝑥 12
18
24
= 3+1 𝑥 3+1 + 𝐶1 + 2+1 𝑥 2+1 + 𝐶2 + 1+1 𝑥1+1 + 𝐶2 = 3𝑥 4 + 6𝑥 3 + 12𝑥12 + 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 = 3𝑥 4 + 6𝑥 3 + 12𝑥12 + 𝐶 15. Perhatikan langkah penyelesaian sistem linier berikut! Tugas Saudara adalah menjustifikasi setiap langkah dalam penyelesaiannya. 1 1 2 − 𝑟 −3 ) 𝑑𝑟 ) 𝑑𝑟 = ∫ (𝑟 𝑟3 1 1 3 1 −2 ∫ (√𝑟 − 3 ) 𝑑𝑟 = 3 𝑟 2 − 𝑟 +𝐶 𝑟 −2
∫ (√𝑟 −
2
1 2 3 1 ∫ (√𝑟 − 3 ) 𝑑𝑟 = 𝑟 2 + 𝑟 −2 + 𝐶 𝑟 3 2 1 2 3 1 ∫ (√𝑟 − 3 ) 𝑑𝑟 = 𝑟 2 + 2 + 𝐶 𝑟 3 2𝑟
227
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Lembar Kerja Peserta Didik 2 a. b.
c. d. e.
Judul Tujuan
: Integral Tentu : Menentukan nilai integral tentu fungsi aljabar Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan integral tentu fungsi aljabar Identitas Mata Pelajaran : Matematika Teknik Petunjuk Kerja : Isilah setiap pertanyaan beserta penalarannya Form kegiatan :
1.
Perhatikan integral berikut. ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 =
𝑥3 +𝐶 3
Misalkan kita ambil sebarang 𝑥 = 6 dan 𝑥 = 3 kemudian disubstitusikan ke dalam hasil integral di atas, diperoleh: 2
∫ 𝑥 𝑑𝑥|𝑥=6
63 = + 𝐶 = 72 + 𝐶 3
∫ 𝑥 2 𝑑𝑥|𝑥=3 =
33 +𝐶 = 9+𝐶 3
Sekarang, kurangi hasil integral pertama dengan kedua, diperoleh: ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥|𝑥=6 − ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥|𝑥=3 = 72 + 𝐶 − (9 + 𝐶) = 63 Sekarang kita tuliskan dalam notasi baru: 6
∫ 𝑥 2 𝑑𝑥|𝑥=6 − ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥|𝑥=3 = ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 3
Dalam kasus ini jelaskan kemana perginya 𝐶? 2.
Dengan menggunakan penjelasan pada soal nomor 1, hitunglah integral-integral berikut. 5
a) ∫0 4𝑥 𝑑𝑥 = … 2
b) ∫−1 4𝑦 2 𝑑𝑦 = … 4
c) ∫−2(8 − 2𝑧 − 𝑧 2 ) 𝑑𝑧 = … 0
d) ∫−2(𝑇 2 + 2𝑇 − 3) 𝑑𝑇 = …
228
Unit Pembelajaran Integral Tak Tentu dan Tentu
3.
0
3
Jika 𝐴 = ∫−2(𝑥 3 − 9𝑥)𝑑𝑥 dan 𝐵 = ∫0 (𝑥 3 − 9𝑥)𝑑𝑥 . Hitunglah: a) 𝐴 b) 𝐵 c) 𝐴 + 𝐵 3
d) ∫−2(𝑥 3 − 9𝑥)𝑑𝑥. Apakah hasilnya sama dengan 𝐴 + 𝐵? Mengapa? Jelaskan! 4.
Hitunglah integral-integral berikut. 10
∫ 1 1
∫ 0 1
∫ 0
5.
𝑑𝑣 = …. 𝑣
𝑡 𝑑𝑡 = …. 4 + 𝑡2 𝑑𝑠 √3 − 2𝑠 2
= ….
Evaluasi integral berikut, yang muncul dalam studi hidrodinamika: ℎ
∫ 𝐻
6.
𝐴𝑦 1/2 𝑑𝑦 √3 − 2𝑥 2
Evaluasi integral berikut, yang muncul dalam studi aeronautika: 𝑟 𝑅 𝐺2 a) ∫ ( 2 ) ( 2 2 ) 𝑑𝑟 4𝜋 𝑟 𝑟0 𝑟
dimana 𝑅, 𝐺 dan 𝑟0 adalah kontanta. 𝑠
2 𝑅𝑠𝑉 2 2𝑥 2 √ b) 𝑇 = ( ) ∫ 1 − ( ) 𝑑𝑥 𝑠 2 3 − 2
7.
Suatu partikel mulai bergerak dari asalnya. Komponen kecepatan 𝑥 adalah 𝑡 2 − 4, dan komponen 𝑦 adalah 4𝑡 cm/s. Temukan jarak antara partikel dan asal ketika 𝑡 = 2,0 sekon.
229
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
8.
Suatu arus listrik ke kapasitor tertentu adalah 𝑖 = 3,25 + 𝑡 3 Amp. Jika muatan awal pada kapasitor adalah 16,8 C, tentukan muatan ketika 𝑡 = 3,75 sekon.
9.
Tubuh seseorang bergerak dalam garis lurus memiliki akselerasi sama dengan 6𝑡 2 , di mana waktu (𝑡) diukur dalam detik dan jarak s diukur dalam kaki. Jika tubuh mulai dari istirahat, seberapa jauh tubuh akan bergerak selama 2 detik pertama?
10. Sebuah bola dilemparkan ke atas dari atas bangunan setinggi 320 kaki dengan kecepatan awal 128 kaki/s. Tentukan kecepatan di mana bola akan menabrak jalan di bawahnya. (Asumsikan akselerasi 32 ft / s, diarahkan ke bawah.) 11. Sebuah batu dijatuhkan dari atas bangunan setinggi 400 kaki. Asumsikan batu berasal dari bagian atas bangunan dan arah positif ke bawah, temukan (a) waktu yang diperlukan batu sampai ke tanah (b) kecepatan batu ketika menghantam tanah. 12. Perhatikan langkah penyelesaian sistem linier berikut! Saudara
adalah
menjustifikasi
setiap
langkah
penyelesaiannya 2
2
4
∫−1(2𝑥 2 + 4𝑥 + 5) 𝑑𝑥 = [2+1 𝑥 2+1 + 1+1 𝑥1+1 + 5𝑥] 2
= [3 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 5𝑥]
2 −1
2 −1
2
2
= (3 (2)3 + 2(2)2 + 5(2)) − (3 (−1)3 + 2(−1)2 + 5(−1)) 16
2
= ( 3 + 8 + 10) − (− 3 + 2 − 5) = 6 +18+3 = 27
230
Tugas dalam
Unit Pembelajaran Integral Tak Tentu dan Tentu
C. Bahan Bacaan 1. Integral Tak Tentu Untuk mengetahui pengertian integral, akan lebih mudah jika kita pahami dulu materi turunan yang telah dipelajari sebelumnya. Definisi : Integral merupakan antiturunan, sehingga jika terdapat fungsi F(x) yang kontinu pada interval [a, b] diperoleh
d ( F ( x)) = F’(x) = f(x) (Varberg, Purcell, dx
& Rigdon, 2007). Antiturunan dari f(x) adalah mencari fungsi yang turunannya adalah f (x), ditulis f(x) dx (Permana & Minarti, 2018). Secara umum dapat kita tuliskan (Ayres & Schmidt, 1976): ∫f(x) dx = ∫F’(x) dx = F(x) + C Catatan: f(x) dx : disebut unsur integrasi, dibaca ” integral f(x) terhadap x” f(x)
: disebut integran (yang diitegralkan)
F(x)
: disebut fungsi asal (fungsi primitive, fungsi pokok)
C
: disebut konstanta / tetapan integrasi
Integral fungsi aljabar 1.∫ 𝑘 𝑑𝑥 = k x + C
x n 1 x dx n 1 C , bila n ≠ -1 2. n
231
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
3. 4.
ax
n
dx
a x n1` c, n 1` dengan n 1
( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx
5. a. f ( x)dx a f ( x)dx, dimana a konstanta sebarang 1
6. ∫ 𝑥 dx = ln IxI + c
Integral fungsi trigonometri 1. sin x dx cos x C 1 2. sin(ax b)dx cos(ax b) C a
3. cos x dx sin x C 1
cos(ax b)dx a sin(ax b) C
4.
Contoh soal :
x6 C 1. x dx = 6 5
1 1 1 2. sin 2 xdx (1` cos 2 x)dx x sin 2 x C 2 2 4
1) Kegunaan integral tak tentu Kegunaan integral tak tentu cukup banyak, diantaranya adalah untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kecepatan, jarak, dan waktu.
232
Unit Pembelajaran Integral Tak Tentu dan Tentu
Perhatikan contoh berikut : Sebuah molekul bergerak sepanjang suatu garis koordinat dengan persamaan percepatan a(t)= -12t + 24 m/detik. Jika kecepatannya pada t = 0 adalah 20 m/detik. Tentukan persamaan kecepatan molekul tersebut ! Penyelesaian: Percepatan molekul a(t) = -12t +24 Sehingga : v =
a dt
v = (12t 24) dt v = -6t2 + 24t + C pada t=0, vo = 20 m/detik, maka 20 = 0 + 0 + C, C = 20 Jadi, persamaan kecepatannya adalah v = -6t2 + 24t + 20
2. Integral Tertentu Integral tertentu dinotasikan dengan ∫ 𝑓(𝑥) dx = F ( x)a = F(b) – F(a) b
Keterangan: f(x) adalah integran, yaitu f(x) = F’(x) a, b adalah batas-batas pengintegralan [a, b] adalah interval pengintegralan
233
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Contoh soal: 2
2
1 1 1 2 2 0 cos x dx= 0 2 (1 cos 2 x) dx = 2 x 4 sin 2 x 0
1 1 = . sin 2( ) 2 2 2 4 =
1 1 ( 0) (0 0) 2 2 4 4
a. Teknik Pengintegralan 1) Integral Substitusi
Pada bagian ini akan dibahas teknik integrasi yang disebut metode substitusi. Konsep dasar dari metode ini adalah dengan mengubah integral yang kompleks menjadi bentuk yang lebih sederhana. Bentuk umum integral substitusi adalah sebagai berikut. du
[ f (u) dx ]dx f (u)du Contoh soal : Tentukan sin 3 x.cos x dx !
Penyelesaian:
Misalkan u = sin x, maka
Sehingga diperoleh,
234
du du cos x atau dx dx cos x
sin
3
x.cos x dx =
du
u cos x cos x 3
Unit Pembelajaran Integral Tak Tentu dan Tentu
= u 3 du =
1 4 u C 4
=
1 sin 4 x C 4
2) Integral Parsial
Teknik integral parsial ini digunakan bila suatu integral tidak dapat diselesaikan dengan cara biasa maupun dengan cara substitusi. Prinsip dasar integral parsial adalah sebagai berikut. y = u .v
dy = du.v + u.dv dy = v du + u dv y = v du + u dv u.v = v du + u dv u dv = u.v - v du
Contoh soal : Tentukan x 2 sin x dx! Penyelesaian: Cara 1: dengan menggunakan rumus
u dv = uv - v du
Misal : u = x2, du 2 xdx dv = sin x dx v sin xdx = - cos x
235
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Selain cara di atas, dapat pula diselesaikan dengan cara sebagai berikut : untuk menentukan integral parsial bentuk udv, yang turunan ke-k dari u adalah 0 dan integral ke- k dari v selalu ada. Cara 2: Diturunkan
Diintegralkan
Tanda +
x2
-
2x
∫ sin 𝑥
-cos x
+
2
--sin x
-
0
Ccos x
Didiferensialkan sampai bernilai nol
Sehingga diperoleh,
236
x
2
sin xdx = - x2. cos x + 2x. sin x +2 cos x + C
Unit Pembelajaran Integral Tak Tentu dan Tentu
PENGEMBANGAN PENILAIAN
A. Pembahasan Soal-soal UN 1. Soal UN Tahun 2015 No. 36 ∫ 2𝑥 2 (4𝑥 − 1)𝑑𝑥 = … 2
C. 2𝑥 4 − 2 𝑥 3 + 𝐶
3
2
D. 2𝑥 4 − 2𝑥 2 + 𝐶
A. 2𝑥 4 + 3 𝑥 3 + 𝐶 B. 2𝑥 4 − 3 𝑥 3 + 𝐶
2
E. 2𝑥 4 − 3 𝑥 3 + 𝐶
Pembahasan 8
2
∫ 2𝑥 2 (4𝑥 − 1)𝑑𝑥 = ∫ 8𝑥 3 − 2𝑥 2 𝑑𝑥 = 3+1 𝑥 3+1 − 2+1 𝑥 2+1 + 𝐶 2
= 2𝑥 4 − 3 𝑥 3 + 𝐶 Maka jawaban yang tepat adalah B.
2. Soal UN Tahun 2015 No. 37 3
Nilai ∫2 (3𝑥 2 + 6𝑥 + 4) 𝑑𝑥 adalah … A. 28 B. 38
C. 48 D. 53
E. 58
Pembahasan 3
3
6
∫2 (3𝑥 2 + 6𝑥 + 4) 𝑑𝑥 = [2+1 𝑥 2+1 + 1+1 𝑥1+1 + 4𝑥]
3 2
= [𝑥 3 + 3𝑥 2 + 4𝑥]32 = ((3)3 + 3(3)2 + 4(3)) − ((2)3 + 3(2)2 + 4(2)) = (27 + 27 + 12) − (8 + 12 + 8) = 54 – 16 = 38 Maka jawaban yang tepat adalah B.
237
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
3. Soal UN Tahun 2016 No. 39 ∫ 6𝑥(2𝑥 2 + 3𝑥 + 4)𝑑𝑥 = … A. 12𝑥 3 + 18𝑥 2 + 34𝑥 + 𝐶 B. 12𝑥 3 + 18𝑥 2 + 24𝑥 + 𝐶 C. 3𝑥 4 + 6𝑥 3 + 12𝑥 2 + 𝐶
D. 4𝑥 4 + 6𝑥 3 + 12𝑥 2 + 𝐶 E. 12𝑥 4 + 6𝑥 3 + 12𝑥 2 + 𝐶
Pembahasan ∫ 6𝑥(2𝑥 2 + 3𝑥 + 4)𝑑𝑥 = ∫ (12𝑥 3 + 18𝑥 2 + 24𝑥) 𝑑𝑥 12
18
24
= 3+1 𝑥 3+1 + 2+1 𝑥 2+1 + 1+1 𝑥1+1 + 𝐶 = 3𝑥 4 + 6𝑥 3 + 12𝑥12 + 𝐶 Maka jawaban yang tepat adalah C.
4. Soal UN Tahun 2016 No. 38 2
Nilai ∫−1(2𝑥 2 + 4𝑥 + 5) 𝑑𝑥 adalah … A. 29 B. 28
C. 27 D. 25
E. 24
Pembahasan 2
2
4
∫−1(2𝑥 2 + 4𝑥 + 5) 𝑑𝑥 = [2+1 𝑥 2+1 + 1+1 𝑥1+1 + 5𝑥] 2
= [3 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 5𝑥]
2 −1
2 −1
2
2
= (3 (2)3 + 2(2)2 + 5(2)) − (3 (−1)3 + 2(−1)2 + 5(−1)) 16
2
= ( 3 + 8 + 10) — 3 + 2 − 5 = 6 +18+3 = 27 Maka jawaban yang tepat adalah C.
238
Unit Pembelajaran Integral Tak Tentu dan Tentu
5. Soal UN Tahun 2017 No. 39 1 2
Nilai ∫ (3𝑥 2 + 2) 𝑑𝑥 adalah … 9
A.
5 9
B.
𝑥5 5 9 5 𝑥 5
C.
1
D.
1
E.
𝑥5 + 𝑥2 + 4 𝑥 + 𝐶 + 𝑥3 + 4 𝑥 + 𝐶
9 5 1 𝑥 + 𝑥3 + 4 𝑥 + 1 + 𝐶 5 9 5 1 𝑥 + 𝑥3 + 4 𝑥2 + 2 + 𝐶 5
1
+ 𝑥3 + 4 𝑥2 + 𝐶
Pembahasan 1 2
1
∫ (3𝑥 2 + 2) 𝑑𝑥 = ∫ (9𝑥 4 + 3𝑥 2 + 4) 𝑑𝑥 9
=
4+1
3
1
𝑥 4+1 + 2+1 𝑥 2+1 + 4 𝑥 + 𝐶
9
1
= 5 𝑥5 + 𝑥3 + 4 𝑥 + 𝐶 Maka jawaban yang tepat adalah B.
6. Soal UN Tahun 2017 No. 40 0
1
Nilai ∫−1 (2 − 3𝑥 − 2 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 adalah … A. B.
10
C.
3 11
D.
3
20
E.
3 22
25 3
3
Pembahasan 0
1
3
1
∫−1 (2 − 3𝑥 − 2 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 = [2𝑥 − 1+1 𝑥1+1 − 2(2+1) 𝑥 2+1 ] 3
1
= [2𝑥 − 2 𝑥 2 − 6 𝑥 3 ] 3
0 −1
0 −1
1
3
1
= (2(0) − 2 (0)2 − 6 (0)3 ) − (2(−1) − 2 (−1)2 − 6 (−1)3 ) 3
1
3
1
= (0 + 0 + 0)— 2 − 2 + 6 = 2 + 2 − 6 =
12 6
9
1
+6−6=
20 6
=
10 3
Maka jawaban yang tepat adalah A.
239
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
7. Soal UN Tahun 2019 No. 36 1
2
Nilai ∫ (3 𝑥 3 − 3 𝑥 2 + 3𝑥 + 2) 𝑑𝑥 adalah … A.
4
B.
𝑥 4 − 9 𝑥 3 + 2 𝑥 2 + 2𝑥 + 𝐶 12
C. D.
2
3
𝑥 4 − 3 𝑥 3 + 2 𝑥 2 + 2𝑥 + 𝐶
3 1 1
12 1
2
3
2
𝑥 4 − 9 𝑥 3 + 6𝑥 2 + 2𝑥 + 𝐶
12 2
2
𝑥 4 − 9 𝑥 3 + 3𝑥 + 2 + 𝐶 4
E. 𝑥 − 3 𝑥 + 3 + 𝐶 Pembahasan 1
2
∫ (3 𝑥 3 − 3 𝑥 2 + 3𝑥 + 2) 𝑑𝑥 =
1
.
1
3 3+1
2
1
3
𝑥 3+1 − 3 . 2+1 𝑥 2+1 + 1+1 𝑥1+1 + 2𝑥 + 𝐶
1 1
2 1
3
= 3 . 4 𝑥 4 − 3 . 3 𝑥 3 + 2 𝑥 2 + 2𝑥 + 𝐶 1
2
3
= 12 𝑥 4 − 9 𝑥 3 + 2 𝑥 2 + 2𝑥 + 𝐶 Maka jawaban yang tepat adalah B.
240
Unit Pembelajaran Integral Tak Tentu dan Tentu
B. Pengembangan Soal HOTS KISI-KISI SOAL HOTS Jenis Sekolah Mata Pelajaran Alokasi Waktu Jumlah Soal Tahun Pelajaran KD
: Sekolah Menengah Kejuruan : Matematika Teknik : 10 menit :2 : 2018/2019
Kompetensi
Lingkup
yang Diuji
Materi
Menentukan
Kalkulus
nilai integral 3.33
Materi
Indikator Soal
Integral
Mengevaluasi
Tentu
jarak tempuh
tak tentu dan
suatu
tertentu fungsi
terkait
aljabar
integral
No
Level Kognitif
Bentuk Soal
1
C5
Essay
2
C4
Essay
objek
dalam masalah kontekstual Menentukan nilai integral 3.33
Kalkulus
Integral
Menyusun
Tentu
fungsi terkait
tak tentu dan
integral
tertentu fungsi
dalam
aljabar
masalah kontekstual
241
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Dari kisi-kisi diatas, dikembangkan kartu soal seperti dibawah. KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN KARTU SOAL Tahun Pelajaran 2018/2019 Jenis Sekolah
: SMK
Kurikulum
: 2013 Revisi
Kelas Mata Pelajaran
: XII
Bentuk Soal
: Essay
: Matematika
Nama Penyusun
: Joko Soebagyo
KOMPETENSI DASAR
3.33
Level Kognitif : C5 Nomor Soal
LINGKUP MATERI
1
Kalkulus
Pengetahuan/ Pemahaman
Aplikasi
INDIKATOR SOAL Mengevaluasi jarak tempuh suatu objek terkait integral dalam masalah kontekstual
Sebuah mobil mulai berjalan dari keadaan diam dan berjalan 1 dengan kecepatan 𝑣 = 𝑡 2 m/s. Buatlah fungsi yang 8 menghubungkan jarak yang ditempuh mobil dengan waktu t dalam detik. Seberapa jauh mobil akan berjalan dalam waktu 4 detik?
Kunci Jawaban 8 3
Sumber Buku : (Calter et al., 2016)
Pedoman Penskoran Kunci Jawaban Seluruh rangkaian jawaban benar Melakukan integrasi dengan benar tetapi hasil berikutnya salah Menyusun fungsi jarak benar, tetapi hasil berikutnya salah Melakukan manipulasi dengan tepat, hasil berikutnya salah Tidak menjawab
242
Penalaran
RUMUSAN BUTIR SOAL
MATERI Integral Tentu
√
Skor 4 3 2 1 0
Unit Pembelajaran Integral Tak Tentu dan Tentu
KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN KARTU SOAL Tahun Pelajaran 2018/2019 Jenis Sekolah
: SMK
Kurikulum
: 2013 Revisi
Kelas Mata Pelajaran
: XII
Bentuk Soal
: Essay
: Matematika
Nama Penyusun
: Joko Soebagyo
KOMPETENSI DASAR
3.33
Level Kognitif : C5 Nomor Soal 2
LINGKUP MATERI
√
Penalaran
RUMUSAN BUTIR SOAL Jika baterai E volt dan nol resistansi internal dihubungkan farad yang tidak bermuatan dan resistansi R ohm (masingmasing per mil), arus baterai t detik yang diberikan oleh
Kunci Jawaban
MATERI
INDIKATOR SOAL
Aplikasi
ke kabel bawah laut yang panjang dengan kapasitansi G
Kalkulus
Integral Tentu
Pengetahuan/ Pemahaman
formula: 1
𝐶 2 𝑖 = 𝐸 ( ) 𝐴𝑚𝑝 𝜋𝑅
𝑄= 1
𝐶𝑇 2 2𝐸 ( ) 𝜋𝑅 𝑊 = 𝐸𝑄
Menyusun fungsi terkait integral dalam masalah kontekstual
Buatlah fungsi Q dan W jika: 𝑇
𝑄 = ∫ 𝑖 𝑑𝑡 0
dan 𝑇
𝑊 = ∫ 𝑃 𝑑𝑡 𝑜
Sumber Buku : (Cell, 1943)
Pedoman Penskoran Kunci Jawaban Seluruh rangkaian jawaban benar Melakukan integrasi dengan benar tetapi hasil berikutnya salah Menyusun fungsi jarak benar, tetapi hasil berikutnya salah Melakukan manipulasi dengan tepat, hasil berikutnya salah Tidak menjawab
Skor 4 3 2 1 0
243
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
C. Pengembangan Refleksi Pembelajaran Dalam rangka mengetahui pemahaman peserta didik terhadap materi dalam unit ini, Saudara perlu mengembangkan refleksi pembelajaran. Berdasarkan hasil pengisian refleksi ini, Saudara dapat mengetahui posisi pemahaman peserta didik setelah melakukam pembelajaran. 1. Refleksi Komponen 1.
Apakah kegiatan membuka pelajaran yang saya lakukan dapat mengarahkan dan mempersiapkan siswa mengikuti pelajaran dengan baik ? Contoh jawaban: Kegiatan membuka pelajaran yang saya lakukan sudah dapat mengarahkan dan mempersiapkan siswa mengikuti pelajaran dengan baik.
2.
Bagaimana tanggapan siswa terhadap materi/bahan ajar yang saya sajikan sesuai dengan yang diharapkan? (Apakah materi terlalu tinggi, terlalu rendah, atau sudah sesuai dengan kemampuan awal siswa? ) Contoh jawaban: Siswa menanggapi materi yang saya sajikan sesuai dengan harapan karena sesuai dengan kemampuan awal siswa.
3.
Bagaimana respons siswa terhadap media pembelajaran yang digunakan? ( Apakah media sesuai dan mempermudah siswa menguasai kompetensi/materi yang diajarkan ? ) Contoh jawaban: Respons siswa terhadap media pembelajaran yang saya gunakan yaitu Mathematica telah mempermudah siswa menguasai kompetensi/materi yang saya ajarkan.
4.
Bagaimana tanggapan siswa terhadap kegiatan belajar yang telah saya rancang ?
244
Unit Pembelajaran Integral Tak Tentu dan Tentu
Contoh jawaban: Tanggapan siswa sangat antusias terhadap kegiatan belajar yang telah saya rancang dalam Rencana Pelaksanaan Pembelajaran ( RPP ) dibuktikan dengan partisipasi siswa dalam mengikuti pembelajaran. 5.
Bagaimana tanggapan siswa terhadap metode/teknik pembelajaran yang saya gunakan ? Contoh jawaban: Metode pembelajaran yang saya gunakan mendapatkan tanggapan yang positif dari siswa.
6.
Bagaimana tanggapan siswa terhadap pengelolaan kelas ( perlakuan saya terhadap siswa, cara saya mengatasi masalah, memotivasi siswa ) yang saya lakukan ? Contoh jawaban: Saya berkesimpulan bahwa secara garis besar telah baik dengan terciptanya suasana kelas yang kondusif
7.
Apakah siswa dapat menangkap penjelasan/instruksi yang saya berikan dengan baik ? Contoh jawaban: Sebagian besar siswa dapat menangkap penjelasan/instruksi yang saya berikan dengan baik
8.
Bagaimanakah tanggapan siswa terhadap latihan atau penilaian yang saya berikan ? Contoh jawaban: Penilaian yang saya berikan mampu dikerjakan dengan baik oleh 80% siswa.
9.
Apakah siswa telah mencapai penguasaaan kemampuan yang telah ditetapkan ? Contoh jawaban: Setelah menyelesaikan pembelajaran siswa telah mencapai indikator sebagaimana tercantum dalam Rencana Pelaksanaan pembelajaran.
245
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
10.
Apakah saya telah dapat mengatur dan memanfaatkan pembelajaran dengan baik ? Contoh jawaban: Pengelolaan waktu yang saya lakukan telah berjalan dengan baik, diindikasikan dengan tercapainya proses pembelajaran sesuai dengan langkah - langkah pembelajaran dan alokasi waktu.
11.
Apakah kegiatan menutup pelajaran yang saya gunakan sudah dapat meningkatkan pemahaman siswa terhadap meteri pelajaran yang saya sampaikan ? Contoh jawaban: Kegiatan penutup dengan mengerjakan soal latihan dan menarik kesimpulan dari pembelajaran yang telah dilakukan sudah dapat meningkatkan kemampuan pemahaman siswa
2. Refleksi Menyeluruh 1.
Apakah rencana pembelajaran yang saya susun dapat berjalan sebagaimana
mestinya? ( Jika tidak seluruhnya, apakah saya telah
melakukan penyesuaian rencana pembelajaran dengan baik ? ) Contoh jawaban: Rencana pembelajaran yang telah saya susun berjalan sebagaimana mestinya. 2.
Apakah kelemahan-kelemahan saya dalam menyusun dan melakukan pembelajaran ? dalam hal apa saja penguasaan materi, penggunaan bahan dan media, penataan kegiatan, penggunaan metode dan teknik pembelajaran, penataan kegiatan, pengelolaan kelas, komunikasi dan pendekatan terhadap belajar?
246
siswa, penggu naan
waktu,
serta
penilaian
Unit Pembelajaran Integral Tak Tentu dan Tentu
Contoh jawaban: Kelemahan saya adalah dalam penggunaan waktu yang ternyata kurang, sebab setiap siswa harus memahami aplikasi dalam dunia nyata. 3.
Apa
saja
penyebab
kelemahan
saya
tersebut
dan
bagaimana
memperbaikinya ke depan ? Contoh jawaban: Karena keterbatasan waktu, lebih berhati-hati dalam menyusun kegiatan pembelajaran. 4.
Apakah kekuatan saya atau hal-hal baik yang telah saya capai dalam merancang dan melaksanakan pembelajaran ? Contoh jawaban: Tanya jawab yang saya jadikan metode ternyata mendapat tanggapan yang antusias dari siswa.
5.
Apa penyebab kelebihan dan kebaikan yang telah saya capai dalam merancang dan melaksanakan pembelajaran ? Contoh jawaban: Antusiasme siswa dengan pembelajaran yang saya sampaikan sangat berkesan.
6.
Bagaimana kebaikan dan kekuatan saya dalam mengajar dapat dipertahankan bahkan ditingkatkan ? Contoh jawaban: Kelebihan, kebaikan dan kekuatan saya dalam mengajar dapat dipertahankan bahkan ditingkatkan.
247
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
7.
Hal - hal unik ( positif atau negatif ) apa yang terjadi dalam pembelajaran yang saya lakukan ? Contoh jawaban: Ada beberapa siswa yang bingung memulai mengerjakan soal.
8.
Ketika ditanya tentang dasar dan alasan pengambilan keputusan dan tindakan
mengajar
yang
saya
lakukan,
apakah
saya
dapat
mempertanggungjawabkannya secara ilmiah dan moral ? Contoh jawaban: Saya dapat mempertanggungjawabkan seluruh kegiatan secara ilmiah dan moral.
248
Unit Pembelajaran Integral Tak Tentu dan Tentu
KESIMPULAN
Materi integral tak tentu dan tentu yang terdapat dalam kompetensi dasar 3.33, merupakan pengetahuan dasar matematika yang wajib dipelajari oleh peserta didik. Materi-materi ini diharapkan mampu memberi kontribusi pembelajaran matematika pada materi selanjutnya atau tingkat selanjutnya. Selain itu, dalam bidang teknik banyak digunakan juga sebagai alat untuk membantu
menyederhanakan
dan
memudahkan
pemahaman
serta
memecahkan permasalahan keteknikan. Pembelajaran konsep integral tak tentu dan tentu pada unit pembelajaran ini, diupayakan mengaitkan dengan aplikasi atau terapan pada bidang teknik, sehingga peserta didik tidak merasa asing dan jauh dari dunia masing-masing. Di sisi lain, pembelajaran konsep-konsep tersebut diupayakan dilalui dengan cara menemukan sendiri (discovery learning) dari pola, aturan dan sifat-sifat yang ada pada materi tersebut, dengan harapan peserta didik memiliki pemahaman yang kuat dan dapat mengembangkan proses berpikir dan kemampuan bernalarnya. Indikator kunci sebagai tolak ukur dan target kompetensi yang harus di capai oleh peserta didik diupayakan dalam pembelajaran menggunakan metode pembelajaran berbasis masalah (problem based learning) dengan tujuan membiasakan peserta didik untuk mengasah kemampuan menganalisis, mencari hubungan dan mengevaluasi serta mengembangkan kepekaan dari setiap permasalahan. Aktivitas pembelajaran dalam mempelajari materi integral tak tentu dan tentu ini juga disertai dengan soal-soal ujian nasional 5 tahun terakhir agar peserta didik memiliki wawasan dan pengetahuan tentang kemungkinan munculnya soal-soal yang serupa pada tahun berikutnya.
249
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
UMPAN BALIK
Sebagai umpan balik apakah Saudara memiliki pemahaman yang baik dan memadai tentang integral tak tentu dan tentu, jawablah pertanyaanpertanyaan berikut! 1.
Apakah yang dimaksud dengan integral tak tentu? Jelaskan!
2.
Apakah yang dimaksud dengan integral tentu? Jelaskan!.
3.
Apakah hubungan antara integral tak tentu dan tentu? Jelaskan!
4.
Apakah hubungan antara integral tak tentu dengan turunan? Jelaskan!
5.
Apakah hubungan antara integral tentu dengan turunan? Jelaskan
6.
Jika ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶, apa yang di maksud dengan C ? Jelaskan!
7.
Jika ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎), kemana perginya C dan mengapa 𝐹(𝑏) −
𝑏
𝐹(𝑎) ? Jelaskan! 8.
Jika 𝑓(𝑥) = 𝐹 ′ (𝑥) dimana 𝐹(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 maka 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 2. Kenyataannya ketika diintegralkan ∫ (2𝑥 + 2)𝑑𝑥 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 𝐶, apakah artinya 𝐶 = 1ataukah 𝐶 bisa menjadi berapapun? Jelaskan!
9.
Langkah apakah yang diperlukan dalam menjawab permasalahan integral tak tentu? Jelaskan!
10. Langkah apakah yang diperlukan untuk menjawab permasalahan integral tentu? Jelaskan!
250
Unit Pembelajaran Integral Tak Tentu dan Tentu
Pedoman Penskoran Umpan Balik Skor =
Jumlah Total 40
× 100
Skor < 70
Umpan Balik Masih banyak yang belum dipahami dari materi tak tentu dan tentu. Saudara perlu membaca ulang unit ini dan mendiskusikannya.
70-79
Masih ada yang belum dipahami dengan baik, dari materi tak tentu dan tentu. Saudara perlu mendiskusikan bagian yang belum dipahami dengan fasilitator atau teman.
80-89
Memahami konten, materi tak tentu dan tentu dengan baik.
> 90
Memahami konten, materi tak tentu dan tentu dengan sangat baik. Saudara dapat menjadi fasilitator bagi teman-teman lain untuk membelajarkan unit ini.
251
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
DAFTAR PUSTAKA
Ayres, F. J., & Schmidt, P. A. (1976). Schaum’s Outline of Theory and Problems of College Mathematics (Third Edit). New York: McGraw-Hill Companies Inc. https://doi.org/10.1036/0071425888 Calter, P. A., Calter, M. A., Wraight, P. D., & White, S. A. (2016). Technical Mathematic With Calculus. (Z. Craig, Ed.). Toronto: John Wiley & Sons. Cell, J. W. (1943). Engineering Problems Illustrating Mathematics (First Edit). London: McGraw-Hill Book Company, inc. Permana, Y., & Minarti, E. D. (2018). Modul F PKB Matematika Teknik. (H. D. Putra & N. Priatna, Eds.). Jakarta: Kementerian dan Kebudayaan Republik Indonesia. Polya, G. (2004). How to Solve It. A New Aspect of Mathematical Method. New Jersey: Princeton University Press. Varberg, D., Purcell, E., & Rigdon, S. (2007). Calculus_9Rded_Dale Varberg_Edwin Purcell_Steve Rigdon.Pdf (Ninth Edit). Mexico: Pearson Education. Washington, A. J., & Evans, R. S. (2018). Basic Technical Mathematics with Calculus. (J. Weidenaar, Ed.) (11th editi). Boston: Pearson Education, Inc.
252
Unit Pembelajaran Integral Tak Tentu dan Tentu
253
Unit Pembelajaran PROGRAM PENGEMBANGAN KEPROFESIAN BERKELANJUTAN (PKB) MELALUI PENINGKATAN KOMPETENSI PEMBELAJARAN (PKP) BERBASIS ZONASI MATA PELAJARAN MATEMATIKA SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN (SMK)
Luas Daerah dan Volume Benda Putar Penulis: Wahyu Purnama, S.Si, M.Pd Penyunting: Iwan Gunawan, M.Pd, M.PMat Desainer Grafis dan Ilustrator: TIM Desain Grafis
Copyright © 2019 Direktorat Pembinaan Guru Pendidikan Menengah dan Pendidikan Khusus Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang Dilarang mengopi sebagian atau keseluruhan isi buku ini untuk kepentingan komersial tanpa izin tertulis dari Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
Unit Pembelajaran Luas Daerah dan Volume Benda Putar
DAFTAR ISI
Hal DAFTAR ISI _________________________________ 257 DAFTAR GAMBAR_____________________________ 258 DAFTAR TABEL ______________________________ 258 PENDAHULUAN ______________________________ 259 KOMPETENSI DASAR DAN PERUMUSAN IPK ________ 260 A. Kompetensi Dasar dan Target Kompetensi _____________________________ 260 B. Indikator Pencapaian Kompetensi ______________________________________ 261 APLIKASI DI DUNIA NYATA ____________________ 262 A. Aplikasi di Bidang Energi _________________________________________________ 262 B. Aplikasi di Bidang Geometri _____________________________________________ 263 C. Aplikasi di Bidang Fabrikasi _____________________________________________ 264 SOAL-SOAL UN ______________________________ 265 A. Luas Daerah _______________________________________________________________ 265 B. Volume Benda Putar ______________________________________________________ 266 BAHAN PEMBELAJARAN _______________________ 268 A. Aktivitas Pembelajaran ___________________________________________________ 268 Aktivitas Pembelajaran 1 ________________________________________________________ 269 Aktivitas Pembelajaran 2 ________________________________________________________ 271
B. Lembar Kerja Peserta Didik ______________________________________________ 273 LKPD 1. Luas Daerah _____________________________________________________________ 274 LKPD 2. Volume Benda Putar ___________________________________________________ 274
C. Bahan Bacaan _____________________________________________________________ 275 Luas Daerah ______________________________________________________________________ 275 Volume Benda Putar _____________________________________________________________ 278
PENGEMBANGAN PENILAIAN ___________________ 281 A. Pembahasan Soal-soal ____________________________________________________ 281
257
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
B. Pengembangan Soal HOTS _______________________________________________ 283 Kisi-kisi Soal __________________________________________________________________ 285 C. Refleksi Pembelajaran ___________________________________________________ 289 KESIMPULAN ________________________________ 290 UMPAN BALIK _______________________________ 291
DAFTAR GAMBAR
Hal Gambar 1. Drumlin diputar 180𝑜 _____________________________________________ 263 Gambar 2. Perbandingan Kurva Stress-Strain Hasil Uji Tarik 3 Jenis Baja _ 264
DAFTAR TABEL
Hal Tabel 1. KISI-KISI SOAL HOTS _________________________________________________ 285
258
Unit Pembelajaran Luas Daerah dan Volume Benda Putar
PENDAHULUAN
Kalkulus merupakan sebuah cabang ilmu dari matematika yang sangat dibutuhkan untuk pengembangan ilmu pengetahuan terutama bagi fisika atau keteknikan. Dalam aspek fisika, kalkulus berperan dalam konsep kecepatan dan percepatan serta usaha. Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit,turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu yang mempelajari perubahan, sebagaimana geometri yang mempelajari bentuk dan aljabar yang mempelajari operasi dan penerapannya untuk memecahkan persamaan. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer. Pada unit pembelajaran ini akan dibahas penggunaan integral, yakni luas daerah dan volume benda putar. Jika diperhatikan inti dari pelajaran kalkulus adalah memakai dan menentukan limit suatu fungsi. Bahkan secara ekstrim kalkulus dapat didefinisikan sebagai pengkajian tentang limit. Oleh karena itu pemahaman tentang konsep dan macam-macam fungsi diberbagai cabang ilmu pengetahuan serta sifat-sifat dan operasi limit suatu fungsi merupakan syarat mutlak untuk memahami kalkulus diferensial dan kalkulus integral.
259
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
KOMPETENSI DASAR DAN PERUMUSAN IPK
A. Kompetensi Dasar dan Target Kompetensi Sub unit pembelajaran ini dikembangkan berdasarkan Kompetensi Dasar kelas XII: Kompetensi Dasar
Target Kompetensi
3.34 Menentukan luas daerah 1. Menentukan dan volume benda putar
dengan
dengan
integral tentu
menggunakan
integral tentu
luas
Kelas
daerah
menggunakan
2. Menentukan volume benda putar dengan menggunakan integral tentu
4.34 Menyelesaikan masalah 1. Menyelesaikan masalah luas luas daerah dan volume
daerah
dengan
benda
integral
putar
dengan
menggunakan
menggunakan
integral
tertentu
tertentu
2. Menyelesaikan
masalah
volume benda putar dengan menggunakan tertentu
260
integral
XII
Unit Pembelajaran Luas Daerah dan Volume Benda Putar
B. Indikator Pencapaian Kompetensi Pengetahuan
Keterampilan
3.34 Menentukan luas daerah dan 4.34 Menyelesaikan masalah luas volume benda putardengan
daerah dan volume benda
menggunakan integral tentu
putar dengan menggunakan integral tertentu
IPK Pendukung 3.34.1
Menghitung
luas
daerah 4.34.1 Mengidentifikasi
dengan
menggunakan
integral tentu
luas
daerah
menggunakan
masalah dengan integral
tertentu 3.34.2 Menghitung volume benda 4.34.2 Mengidentifikasi putar dengan menggunakan
benda
putar
integral tentu
menggunakan
volume dengan integral
tertentu IPK Kunci 3.34.3 Menentukan dengan
luas
daerah 4.34.3 Menyelesaikan masalah luas
menggunakan
integral tentu
daerah dengan menggunakan integral tertentu
3.34.4 Menentukan volume benda 4.34.4 Menyelesaikan
masalah
putar dengan menggunakan
volume benda putar dengan
integral tentu
menggunakan
integral
tertentu IPK Pengayaan 3.34.5 Menganalisis penyelesaian masalah luas daerah dengan menggunakan
integral
tentu
261
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
3.34.6
Menganalisis penyelesaian masalah
volume
benda
putar dengan menggunakan integral tentu
APLIKASI DI DUNIA NYATA
A. Aplikasi di Bidang Energi Penerapan integral luas daerah banyak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari, salah satunya dalam melakukan perhitungan terhadap energi matahari. Sebagai contoh, perhatikan permasalahan berikut. Pengukuran terhadap radiasi matahari pada permukaan tertentu dilakukan mulai jam 8 pagi sampai dengan jam 8 sore mengikuti aturan (Washington & Evans, 2018): 𝑟 = 3600(12𝑡 2 − 𝑡 3 ) Dimana 𝑟 adalah rate (perubahan) energi matahari diterima dalam Joule/jam dan 𝑡 adalah waktu dalam jam setelah jam 8 pagi.
Karena 𝑟 adalah suatu
perubahan energi, maka: 𝑟=
𝑑𝐸 𝑑𝑡
Dimana 𝐸 adalah energi dalam Joule yang diterima di permukaan. Secara aljabar, diperoleh: 𝑑𝐸 = 𝑟 𝑑𝑡 = 3600(12𝑡 2 − 𝑡 3 )𝑑𝑡
262
Unit Pembelajaran Luas Daerah dan Volume Benda Putar
Dengan mengintegralkan bentuk di atas, kita akan memperoleh besarnya energi yang diterima selama 12 jam, yaitu: 12
𝐸 = 3600 ∫ (12𝑡 2 − 𝑡 3 ) 𝑑𝑡 = 6.22 × 106 J 0
B. Aplikasi di Bidang Geometri Salah satu aplikasi integral volume benda putar khususnya, dapat dilihat pada permasalahan berikut. Drumlin adalah bukit oval yang terdiri dari tanah yang relatif lunak yang berada di bawah es gletser. Analisis komputer menunjukkan bahwa permukaan drumlin tertentu dapat diperkirakan oleh 𝑦 = 10(1 − 0.0001𝑥 2 ) yang diputar 180 ° terhadap sumbu 𝑥dari 𝑥 = −100 ke 𝑥 = 100 seperti terlihat pada Gambar 1 (Washington & Evans, 2018). Temukan volume (dalam m3) drumlin tersebut!
Gambar 1. Drumlin diputar 180𝑜
Jika Saudara memahami materi integral volume benda putar maka solusinya adalah 16.800 m3.
263
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
C. Aplikasi di Bidang Fabrikasi Pada bidang fabrikasi/pengelasan, konsep luas daerah dengan integral tentu terdapat pada perbandingan kurva tegangan dan regangan dari ketiga bahan baja. Kurva yang diberi label stronges (terkuat) digambarkan sebagai kurva yang memiliki nilai sumbu y tertinggi. Kemudian kurva yang diberi label toughes adalah kurva yang memiliki nilai ketangguhan tertinggi. Ketangguhan suatu bahan dapat dilihat dari luas daerah di bawah kurva stress-strainnya. Semakin besar luas daerah di bawah kurva, maka bahan tersebut dikatakan semakin tangguh. Lalu untuk keuletan bahan digambarkan dari kurva yang diberi label most ductil. Keuletan menggambarkan bahwa bahan tersebut sulit untuk mengalami patah (fractur) yang dalam kurva dapat dilihat sebagai kurva yang memiliki nilai sumbu x (strain/regangan) tertinggi.
Gambar 2. Perbandingan Kurva Stress-Strain Hasil Uji Tarik 3 Jenis Baja Sumber: Buku Siswa Kurikulum 2013 (Teknik Dasar Pengerjaan Logam)
264
Unit Pembelajaran Luas Daerah dan Volume Benda Putar
SOAL-SOAL UN
Berikut ini disajikan contoh soal-soal UN topik luas daerah dan volume benda putar sebagai penerapan dari konsep integral tentu selama 3 tahun terakhir pada pasangan Kompetensi Dasar 3.34 dan 4.34 seperti pada tabel di atas, sesuai dengan Peraturan Dirjen Dikdasmen No. 464 tahun 2018. Soal-soal ini disajikan agar dapat dijadikan sebagai sarana berlatih bagi peserta didik untuk menyelesaikannya. Selain itu, soal-soal ini juga dapat menjadi acuan ketika Saudara akan mengembangkan soal yang setipe dengan topik luas daerah dan volume benda putar.
A. Luas Daerah No.
Soal UN Tahun 2016
39
Luas daerah yang dibatasi kurva parabola 𝑦 = 𝑥 2 dan garis 𝑦 = 5𝑥 − 4 adalah …. A. 412 satuan luas B. 512 satuan luas C. 7 satuan luas D. 9 satuan luas E. 912 satuan luas
Identifikasi Kelas / Semester
:
XII / 6
Level Kognitif
:
Aplikasi (Menerapkan/C3)
Indikator yang bersesuaian
:
3.34.3 Menentukan luas daerah dengan menggunakan integral tentu
Diketahui
:
Daerah yang dibatasi dua kurva dan sumbu x.
Ditanyakan
:
Luas daerah
Materi yang dibutuhkan
:
- Integral Tentu - Luas daerah dibatasi dua kurva
265
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
No.
Soal UN Tahun 2018
19
Luas daerah yang dibatasi kurva parabola 𝑦 = 𝑥 2 + 1 , garis 𝑥 = 0 ; 𝑥 = 4 dan sumbu x adalah …. A. 2223 satuan luas B. 2313 satuan luas C. 2323 satuan luas D. 2413 satuan luas E. 2513 satuan luas
Identifikasi Kelas / Semester
:
XII / 6
Level Kognitif
:
Aplikasi (Menerapkan/C3)
Indikator yang bersesuaian
:
3.34.3 Menentukan luas daerah dengan menggunakan integral tentu
Diketahui
:
Daerah yang dibatasi dua kurva dan sumbu x.
Ditanyakan
:
Luas daerah
Materi yang dibutuhkan
:
- Integral Tentu - Luas daerah dibatasi dua kurva
B. Volume Benda Putar No.
Soal UN Tahun 2016
38
Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 3𝑥 , garis 𝑥 = 0 ; dan 𝑥 = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600 adalah …. A. 9𝜋 satuan luas B. 12𝜋 satuan luas C. 18𝜋 satuan luas D. 24𝜋 satuan luas E. 32𝜋 satuan luas
Identifikasi Kelas / Semester
:
XII / 6
Level Kognitif
:
Aplikasi (Menerapkan/C3)
266
Unit Pembelajaran Luas Daerah dan Volume Benda Putar
Indikator yang bersesuaian
:
3.34.4 Menentukan volume benda putar dengan menggunakan integral tentu
Diketahui
:
Daerah yang dibatasi dua kurva dan diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600.
Ditanyakan
:
Volume benda putar
Materi yang dibutuhkan
:
- Integral Tentu - Luas daerah dibatasi dua kurva - Rumus volume benda putar
267
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
BAHAN PEMBELAJARAN
Bahan pembelajaran yang diuraikan di sini merupakan contoh skenario kegiatan
pembelajaran
dimplementasikan
oleh
dan
sumber/referensi
Saudara
ketika
akan
bacaan
yang
membelajarkan
dapat topik
penggunaan integral. Bahan pembelajaran dikembangkan dengan prinsip berpusat pada peserta didik dan berusaha memfasilitasi kemampuan atau keterampilan berpikir tingkat tinggi. Bahan pembelajaran ini terdiri dari aktivitas pembelajaran, lembar kegiatan peserta didik yang digunakan, dan bahan bacaannya.
A. Aktivitas Pembelajaran Bagian ini merupakan rincian kegiatan pembelajaran yang dapat dilakukan guru dan peserta didik untuk mencapai kompetensi pada topik luas daerah dan volume benda putar. Alokasi waktu yang diperlukan untuk mempelajari dan mencapai kompetensi dasar pada topik ini sebanyak 12 jam pelajaran yang dibagi ke dalam dua aktivitas pembelajaran. Desain aktivitas pembelajaran secara ringkas disajikan pada tabel di bawah. Materi/Sub materi Sub materi:
Tahap Pembelajaran
Pendekatan saintifik: - Luas daerah Mengamati Menanya dibatasi dua Mengumpulkan kurva data/informasi Mengasosiasi/ dan/atau Menalar sumbu x Mengkomunikasi - Luas daerah kan dibatasi dua
268
Kegiatan Pembelajaran (Berpusat pada siswa) 1. Observasi masalah yang berkaitan dengan daerah yang dibatasi dua kurva dan/atau sumbu x 2. Observasi masalah yang berkaitan dengan daerah yang dibatasi dua kurva dan/atau sumbu y
Alokasi Waktu 6 JP
Unit Pembelajaran Luas Daerah dan Volume Benda Putar
kurva dan/atau sumbu y
Sub materi: - Volume benda putar (mengelilingi sumbu x) - Volume benda putar (mengelilingi sumbu y)
3. Eksplorasi (menentukan) batasbatas kurva 4. Eksplorasi (mencari penyelesaian luas daerah) dengan integral tentu 1. Observasi masalah volume benda yang diputar mengelilingi sumbu x 2. Observasi masalah volume benda yang diputar mengelilingi sumbu y 3. Eksplorasi penentuan batasbatas daerah 4. Eksplorasi Model Problem Based penyelesaian Learning (PBL): volume benda putar Orientasi pada mengelilingi sumbu x masalah atau sumbu y Mengorganisasikan peserta didik Membimbing penyelidikan individu & kelompok Mengembangkan dan menyajikan hasil karya Analisis dan evaluasi Model Discovery Learning (DL): Stimulation (Pemberian Rangsangan) Problem Statement (Identifikasi masalah) Data Collection (Pengumpulan data) Data Processing (Pengolahan data) Verification (Pembuktian) Generalization (Kesimpulan)
Jumlah Total
6 JP
12 JP
Aktivitas Pembelajaran 1 Aktivitas ini merupakan awal kegiatan/pembelajaran topik luas daerah dan volume benda putar dari 2 aktivitas yang direncanakan, dengan alokasi waktu 6 JP (@ 45 menit). Aktivitas pertama ini dapat dilakukan guru dalam 1-2 pertemuan.
269
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Pada aktivitas ini, akan dibahas dan dipelajari sub materi tentang daerah yang dibatasi dua fungsi/kurva, penentuan batas-batas kurva, dan penyelesaian luas daerah dengan integral tentu. Indikator yang ingin dicapai pada aktivitas pembelajaran ini adalah 3.34.1, 3.34.3, 3.34.5 dan 4.34.1, 4.34.3, 4.34.5. Tujuan pembelajaran: Setelah mengikuti aktivitas pembelajaran ini, peserta didik diharapkan mampu: a.
Menyelesaikan masalah luas daerah menggunakan integral tentu dengan tekun dan teliti;
Pendekatan yang digunakan berpusat pada siswa (student centered), yaitu pendekatan saintifik dipadukan dengan penerapan model Problem Based Learning (PBL). Media, alat, dan bahan yang digunakan: tayangan (penggunaan integral tentu dan luas daerah di kejuruan/teknologi), baik melalui visual, maupun audiovisual, LKPD. Skenario kegiatan/aktivitas: Pada kegiatan pendahuluan, rutinitas yang dilakukan selain menyampaikan apersepsi, motivasi, tujuan dan strategi/skenario adalah mengucap salam, berdoa, merapikan posisi duduk, memeriksa kebersihan kelas dan kehadiran peserta didik. (PPK: religius, nasionalis, gotong royong) Menyajikan permasalahan kontekstual penggunaan integral tentu yang berkaitan dengan luas daerah. Peserta didik diberikan kesempatan bertanya dan mengumpulkan informasi dari berbagai sumber, tentang konsep dan prosedur penyelesaiannya. (Literasi: baca-tulis, digital), (Mengamati, menanya, mengumpulkan data; Orientasi pada masalah)
270
Unit Pembelajaran Luas Daerah dan Volume Benda Putar
Menginstruksikan peserta didik untuk mencoba menyelesaikan masalah luas daerah yang dibatasi kurva dari soal yang diberikan dengan konsep integral tentu. (Mengasosiasi/menalar), (Mengorganisasikan peserta didik) Membimbing
peserta
didik
melakukan
prosedur/tahapan
dalam
menyelesaikan masalah luas daerah yang dibatasi kurva tersebut (dapat dilakukan melalui tanya jawab atau curah pendapat). (Mengumpulkan data), (Membimbing penyelidikan individu & kelompok) Perwakilan peserta didik diminta menyajikan dan menjelaskan hasil kerja atau solusi dari permasalahan yang diberikan, peserta didik lain diminta mengamati dan menanggapi dengan seksama. (Mengkomunikasikan), (Mengembangkan dan menyajikan hasil karya) Bersama peserta didik menganalisis dan mereview hasil kerja dan prosedur dari penyelesaian masalah luas daerah yang dibatasi kurva secara umum. (Mengkomunikasikan), (Analisis dan evaluasi) Melakukan penilaian/evaluasi (sikap, pengetahuan, dan keterampilan) selama dan setelah proses pembelajaran. Memfasilitasi peserta didik menyimpulkan cara dan prosedur penyelesaian masalah luas daerah yang dibatasi kurva dengan integral tentu.
Aktivitas Pembelajaran 2 Aktivitas pembelajaran kedua dengan volume banda putar mempunyai alokasi waktu 6 JP (@ 45 menit). Aktivitas kedua ini juga dapat dilakukan guru dalam 1-2 pertemuan. Pada aktivitas ini, akan dibahas dan dipelajari sub materi tentang volume benda yang dibatasi satu atau dua kurva dan diputar mengelilingi sumbu x
271
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
atau sumbu y. Indikator yang ingin dicapai pada aktivitas pembelajaran ini adalah 3.34.2, 3.34.4, 3.34.6 dan 4.34.2, 4.34.4, 4.34.6. Tujuan pembelajaran: Setelah mengikuti aktivitas pembelajaran ini, peserta didik diharapkan mampu: b.
Menyelesaikan masalah volume benda putar menggunakan integral tentu dengan tekun dan teliti;
Pendekatan yang digunakan berpusat pada siswa (student centered), yaitu pendekatan saintifik dipadukan dengan penerapan model Problem Based Learning (PBL). Media, alat, dan bahan yang digunakan: tayangan (penggunaan integral tentu dan volume benda putar di kejuruan/teknologi), baik melalui visual, maupun audio-visual, LKPD. Skenario kegiatan/aktivitas: Pada kegiatan pendahuluan, rutinitas yang dilakukan selain menyampaikan apersepsi, motivasi, tujuan dan strategi/skenario adalah mengucap salam, berdoa, merapikan posisi duduk, memeriksa kebersihan kelas dan kehadiran peserta didik. (PPK: religius, nasionalis, gotong royong) Menyajikan permasalahan kontekstual penggunaan integral tentu yang berkaitan dengan volume benda putar. Peserta didik diberikan kesempatan bertanya dan mengumpulkan informasi dari berbagai sumber, tentang konsep dan prosedur penyelesaiannya. (Literasi: baca-tulis, digital), (Mengamati, menanya, mengumpulkan data; Orientasi pada masalah) Menginstruksikan peserta didik untuk mencoba menyelesaikan masalah volume benda yang diputar mengelilingi sumbu x atau y dari soal yang
272
Unit Pembelajaran Luas Daerah dan Volume Benda Putar
diberikan
dengan
konsep
integral
tentu.
(Mengasosiasi/menalar),
(Mengorganisasikan peserta didik) Membimbing
peserta
didik
melakukan
prosedur/tahapan
dalam
menyelesaikan masalah volume benda yang diputar mengelilingi sumbu x atau y tersebut (dapat dilakukan melalui tanya jawab atau curah pendapat). (Mengumpulkan data), (Membimbing penyelidikan individu & kelompok) Perwakilan peserta didik diminta menyajikan dan menjelaskan hasil kerja atau solusi dari permasalahan yang diberikan, peserta didik lain diminta mengamati dan menanggapi dengan seksama. (Mengkomunikasikan), (Mengembangkan dan menyajikan hasil karya) Bersama peserta didik menganalisis dan mereview hasil kerja dan prosedur dari penyelesaian masalah volume benda yang diputar mengelilingi sumbu x atau y secara umum. (Mengkomunikasikan), (Analisis dan evaluasi) Melakukan penilaian/evaluasi (sikap, pengetahuan, dan keterampilan) selama dan setelah proses pembelajaran. Memfasilitasi peserta didik menyimpulkan cara dan prosedur penyelesaian masalah volume benda yang diputar mengelilingi sumbu x atau y dengan integral tentu.
B. Lembar Kerja Peserta Didik Untuk mendukung aktivitas pembelajaran di atas, berikut ini diberikan 2 Lembar Kegiatan Peserta Didik (LKPD) yang terdiri dari: 1) LKPD 1. Luas Daerah; dan 2) LKPD 2. Volume Benda Putar.
273
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
LKPD 1 diberikan pada aktivitas pembelajaran 1; dan LKPD 2 diberikan pada aktivitas pembelajaran 2.
LKPD 1. Luas Daerah Tujuan
: 1. Menentukan batas-batas dua kurva 2. Menentukan daerah yang diarsir 3. Menentukan luas daerah
Petunjuk
: diketahui daerah yang dibatasi kurva atau garis berikut.
a. y = 2 – x2 dan garis y = x b. y= 4x – x² dan garis x= 6 ; sumbu x dan sumbu y c. y= x²-2x+1 dan garis y= x+5 d. y = x2 – 3x + 2, y = 3x, dan sumbu x. Gambarkan daerah tersebut, kemudian tentukan luas daerah yang terjadi.
LKPD 2. Volume Benda Putar Tujuan :
1. Menentukan batas-batas kurva/grafik 2. Menentukan daerah yang diarsir 3. Menentukan volume benda jika kurva diputar mengelilingi sumbu x atau y sejauh 3600
274
Unit Pembelajaran Luas Daerah dan Volume Benda Putar
1.
Petunjuk: diketahui daerah D yang dibatasi kurva atau garis berikut. a. 𝑦 = 3𝑥 − 𝑥 2 , 𝑥 ≥ 0 b. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 16, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 (kuadran I). c. 4𝑥 2 + 9𝑦 2 = 36 dan sumbu x d. 𝑦 = 𝑥 2 − 5 , dan sumbu x 3
e. 𝑦 = sin 2𝜃, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2 𝜋 Gambarkan daerah tersebut beserta arsirannya, kemudian tentukan volume benda yang terjadi jika kurva diputar 3600 mengelilingi sumbu x. 2.
Tentukan volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh y = 3x dan parabola y = x2 diputar sejauh 3600 mengelilingi sumbu x.
C. Bahan Bacaan
Luas Daerah Luas daerah antara kurva dengan sumbu X atau sumbu Y y
y
Y
= 0
0
x=a
x=b
x=a
x=b
y = f(x) (b)
y
Y1=f(x
Y2=g(x
275
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Dari gambar diatas luas daerah yang diarsir : b
LA = f ( x) dx
b
a
a
b
LB = f ( x)dx f ( x)dx
a
b
LC = ( y1 y 2 )dx a
Contoh soal : Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh: 1. y1= x2 dan y2 = 2x +3 2. y = cos x, untuk
2
x
3 2
Penyelesaian: 1. y1 = x2 dan y2 = 2x +3 Gambar di bawah memperlihatkan daerah yang dibatasi oleh kurva: y1 = x2 dan
y2 = 2x + 3 y Y
Menentukan batas-batasnya:
=
2x+3
y1 - y2 = 0 x2 - 2x-3=0
Y=x2
(x +1)(x – 3 )=0, jadi diperoleh -1
276
3
x
X1 = -1 dan x2= 3
Unit Pembelajaran Luas Daerah dan Volume Benda Putar
3
L = (2 x 3) x 2 dx 1
3
1 1 1 = x 2 3x x 3 = 3 2 3.3 .33 12 3.(1) .(13 ) 3 3 3 1 1 = 9 (1 3 ) 3
= 10
2 satuan luas 3
atau dengan menggunakan cara cepat (khusus untuk luas yang dibatasi oleh dua kurva yang belum diketahui batas-batasnya). L=
D D 6a 2
Sehingga luasnya menjadi : y = 2x + 3 - x2, D = b2-4.a.c = 4- 4.(-1).3 =16 L=
16 16 64 2 10 satuan luas 2 3 6.(1 ) 6
277
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Volume Benda Putar Pengertian benda putar adalah suatu bentuk bidang datar yang diputar sejauh 360o, terhadap suatu garis pada bidang datar tersebut sebagai sumbu putarannya perhatikan gambar berikut:
1. Volume benda putar mengelilingi sumbu x f(x)
y
b
V = ( f ( x) dx 2
a
∆x
x1
V = y 2 dx x2
x
a b
2. Volume benda putar mengelilingi sumbu y: y d
V = ( f ( y )) 2 dy c
d
y2
V = x 2 dy
x = f(Y)
y1
c x
278
Unit Pembelajaran Luas Daerah dan Volume Benda Putar
A
1.
1. ▲ABC diputar dengan A sebagai pusat sumbu putar. A
B
C
B
C’ 2.
C
C 2. ▲BCD, diputar dengan BD sebagai pusat sumbu putar. B
D
C
3. K
3.
L
B
D
C’ M
N
3. Persegi panjang KLMN diputar dengan KM sebagai pusat sumbu putar. K
M
L
N
279
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
3. Volume benda putar yang dibatasi oleh dua kurva. b
V = ( f1 ( x) 2 ( f 2 ( x) 2 } dx dengan f1(x) > f2 (x), yang mana a x < b a
x2
V = ( y 21 y 2 2 ) dx x1
Contoh soal : Hitunglah volume benda putar yang terjadi, jika yang daerah dibatasi kurva y = x + 1, x = 0 , x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360o Penyelesaian: y
y =
x
0
2
2
2
2
0
0
0
V = f 2 (x) dx = ( x ) 2 dx = ( x 2 2 x 1)dx
2
1 26 1 1 = x 3 x 2 x = ( .2 3 2 2 2 ) ( 0 3 0 2 0 ) = ( ) 3. 3 3 3 0
=
26 satuan volume 3
280
Unit Pembelajaran Luas Daerah dan Volume Benda Putar
PENGEMBANGAN PENILAIAN
Bagian ini memuat pembahasan dari soal-soal penggunaan integral tentu yang muncul di UN pada lima tahun terakhir yang telah ditulis pada sub unit sebelumnya dan kurang berhasil dijawab dengan benar oleh peserta didik. Pada bagian ini memuat juga cara mengembangkan dan contoh-contoh soal HOTS agar dapat dijadikan acuan oleh Saudara ketika mengembangkan soal untuk topik ini. Saudara perlu mencermati dengan baik bagian ini, sehingga Saudara dapat terampil mengembangkan soal yang mengacu pada indikator pencapaian kompetensi yang termasuk HOTS.
A. Pembahasan Soal-soal Luas Daerah 39
Luas daerah yang dibatasi kurva parabola 𝒚 = 𝒙𝟐 dan garis 𝒚 = 𝟓𝒙 − 𝟒 adalah …. A. 𝟒𝟏𝟐 satuan luas B. 𝟓𝟏𝟐 satuan luas C. 𝟕 satuan luas D. 𝟗 satuan luas E. 𝟗𝟏𝟐 satuan luas
Kunci Jawaban: A Pembahasan: Terlebih dahulu tentukan titik-titik batas dari kedua kurva tersebut, dengan cara: y = x2 dan y = 5x-4 x2 – 5x + 4 = 0 (x-1)(x-4) = 0
x1 = 1; x2 = 4
281
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Daerah yang diarsir:
4
5
1
∫1 ((5𝑥 − 4) − 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 = (2 𝑥 2 − 4𝑥 − 3 𝑥 3 )
4
5
1
5
1
(2 (1)2 − 4(1) − 3 (1)3 ) = (40 − 16 − 5
64 3
1
= (2 (4)2 − 4(4) − 3 (4)3 ) − 5
1
) − (2 − 4 − 3) = 28 −
64 3
5
1
−2+3 =
9
7− 2 = 2 Luas daerah = 9/2 satuan luas.
19
Luas daerah yang dibatasi kurva parabola 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟏 , garis 𝒙 = 𝟎 ; 𝒙 = 𝟒 dan sumbu x adalah …. A. 𝟐𝟐𝟐𝟑 satuan luas B. 𝟐𝟑𝟏𝟑 satuan luas C. 𝟐𝟑𝟐𝟑 satuan luas D. 𝟐𝟒𝟏𝟑 satuan luas E. 𝟐𝟓𝟏𝟑 satuan luas
Kunci Jawaban: E Pembahasan: Terlebih dahulu tentukan daerah arsir dengan batas-batas tersebut, hasilnya: (daerah yang diarsir):
4
1
4
1
∫0 (𝑥 2 + 1) 𝑑𝑥 = (3 𝑥 3 + 𝑥) = (3 (4)3 + 4) − 0 = 0
Luas daerah = 76/3 = 25 1/3 satuan luas.
282
64 3
+4=
76 3
Unit Pembelajaran Luas Daerah dan Volume Benda Putar
Volume Benda Putar 38
Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva 𝒚 = 𝟑𝒙 , garis 𝒙 = 𝟎 ; dan 𝒙 = 𝟐 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600 adalah …. A. 𝟗𝛑 satuan luas B. 𝟏𝟐𝝅 satuan luas C. 𝟏𝟖𝝅 satuan luas D. 𝟐𝟒𝝅 satuan luas E. 𝟑𝟐𝝅 satuan luas
Kunci Jawaban: D Pembahasan: Terlebih dahulu tentukan daerah arsir dengan batas-batas tersebut, hasilnya (daerah yang diarsir):
Jika diputar 3600 mengelilingi sumbu x, menjadi: 2
2
9
2
𝜋 ∫0 (3𝑥)2 𝑑𝑥 = 𝜋 ∫0 9𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝜋 (3 𝑥 3 ) = 𝜋(3(2)3 ) − 0 = 24𝜋 0
Volume = 24 satuan volume
B. Pengembangan Soal HOTS Pada bagian ini akan dimodelkan pembuatan soal yang memenuhi indikator pencapaian kompetensi yang diturunkan dari kompetensi dasar pengetahuan. Pengembangan soal diawali dengan pembuatan kisi-kisi agar Saudara dapat melihat kesesuaian antara kompetensi, lingkup materi, dan indikator soal. Selanjutnya, dilakukan penyusunan soal di kartu soal berdasarkan kisi-kisi
283
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
yang telah disusun sebelumnya. Contoh soal yang disajikan terutama untuk mengukur indikator kunci pada level kognitif yang tergolong HOTS.
284
Kisi-kisi Soal Tabel 1. KISI-KISI SOAL HOTS No.
Kompetensi Dasar
1 1.
2 3.34 Menentukan luas daerah dan volume benda putar dengan menggunakan integral tentu 4.22 Menyelesaikan masalah luas daerah dan volume benda putar dengan menggunakan integral tertentu
Lingkup Materi
Level Kognitif
Bentuk Soal
5 Diberikan masalah daerah yang dibatasi kurva dalam koordinat kartesius, peserta didik dapat menentukan luasnya.
6 1
7 C3
8 PG
Diberikan masalah daerah yang dibatasi kurva dalam koordinat kutub (trigonometri), peserta didik dapat menentukan luasnya.
2
C3
Uraian
Benda Diberikan masalah daerah yang dibatasi kurva dalam koordinat kutub (trigonometri), peserta didik dapat menentukan volume benda yang diputar 3600 mengelilingi sumbu x atau y.
3
C3
Uraian
3 4 Luas Daerah dan Luas Daerah Volume Benda Putar
Volume Putar
Indikator Soal
285
Paket Unit Pembelajaran Pembelajaran Aljabar
Nomor Soal
Materi
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN KARTU SOAL Tahun Pelajaran 2018/2019 Jenis Sekolah
: SMK
Kurikulum
: 2013
Kelas
: XII
Bentuk Soal
: Pilihan Ganda
Mata Pelajaran
: Matematika
Nama Penyusun
:
KOMPETENSI DASAR Menentukan luas daerah dan volume benda putar dengan menggunakan integral tentu
Pengetahuan/
Buku Sumber :
Pemahaman
Nomor Soal
Volume benda putar yang dibatasi y = 5 cos 2x sumbu x dan ordinat pada x=0 dan x = ¼ diputar satu putaran penuh mengelilingi sumbu x adalah ….
1
B. C.
Luas Daerah
D.
MATERI
E.
Luas Daerah Dibatasi Kurva
Kunci Jawaban
INDIKATOR SOAL B Diberikan masalah daerah yang dibatasi kurva dalam koordinat kartesius, peserta didik dapat menentukan luasnya.
286
Penalaran
RUMUSAN BUTIR SOAL
A. LINGKUP MATERI
√ Aplikasi
23𝜋2 8 25𝜋2 8 25𝜋2 4 27𝜋2 4 27𝜋2 8
Unit Pembelajaran Luas Daerah dan Volume Benda Putar
KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN KARTU SOAL Tahun Pelajaran 2018/2019
:
Jenis Sekolah
: SMK
Kurikulum
Kelas
: XII
Bentuk Soal
: Uraian
Mata Pelajaran
: Matematika
Nama Penyusun
:
KOMPETENSI DASAR Menentukan luas daerah dan volume benda putar dengan menggunakan integral tentu
LINGKUP MATERI
Buku Sumber
Pengetahuan/
:
Pemahaman
√ Aplikasi
Penalaran
RUMUSAN BUTIR SOAL Nomor Soal
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=sin 2θ dan y=cos 2θ, θ= /8 dan θ= /3.
2
Luas Daerah MATERI Luas Daerah Dibatasi Kurva INDIKATOR SOAL Diberikan masalah daerah yang dibatasi kurva dalam koordinat kartesius, peserta didik dapat menentukan volume benda yang diputar 3600 mengelilingi sumbu x atau y.
Pedoman Penskoran Kunci Jawaban Menggambarkan daerah irisan dua kurva berikut batas-batasnya Menentukan luas daerah/irisan 1 Menentukan luas daerah/irisan 2 Menentukan luas daerah/irisan keseluruhan Total skor
Skor 2 1 1 1 5
287
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN KARTU SOAL Tahun Pelajaran 2018/2019
:
Jenis Sekolah
: SMK
Kurikulum
Kelas
: XII
Bentuk Soal
: Uraian
Mata Pelajaran
: Matematika
Nama Penyusun
:
KOMPETENSI DASAR Menentukan luas daerah dan volume benda putar dengan menggunakan integral tentu
LINGKUP MATERI
Buku Sumber
Pengetahuan/
:
Pemahaman
√ Aplikasi
Penalaran
RUMUSAN BUTIR SOAL Nomor Soal
Tentukan volume benda putar dari daerah yang dibatasi kurva y=sin 2θ dan y=cos θ yang diputar 3600 terhadap sumbu x.
3
Volume Benda Putar MATERI Volume Benda Putar INDIKATOR SOAL Diberikan masalah daerah yang dibatasi kurva dalam koordinat kartesius, peserta didik dapat menentukan volume benda yang diputar 3600 mengelilingi sumbu x atau y.
Pedoman Penskoran Kunci Jawaban Menggambarkan daerah irisan dua kurva berikut batas-batasnya Menentukan volume putar daerah/irisan 1 Menentukan volume putar daerah/irisan 2 Menentukan volume putar daerah/irisan keseluruhan Total skor
288
Skor 2 1 1 1 5
Unit Pembelajaran Luas Daerah dan Volume Benda Putar
C. Refleksi Pembelajaran Setelah melaksanakan proses pembelajaran pada topik/pokok bahasan luas daerah dan volume benda putar, guru perlu melaksanakan refleksi terkait proses pembelajaran yang sudah dilakukan, peserta didik, penilaian dan ketercapaian KD. Proses
pembelajaran
direfleksi
dengan
mengecek
apakah
aktivitas
pembelajaran sudah sesuai dengan sintak/fase pada model pembelajaran yang dikembangkan atau tidak (pendekatan saintifik dengan model PBL dan DL). Apakah proses pembelajaran sudah berorientasi pada keterampilan berpikir tingkat tinggi (HOTS) atau belum. Peserta didik direfleksi dengan mengecek apakah siswa sudah menunjukan penguatan karakter dan literasi yang diharapkan atau belum. Penilaian direfleksi dengan mengecek apakah penguasan siswa terhadap pengetahuan dan keterampilan konten luas daerah dan volume benda putar sudah mencapai IPK kunci yang diharapkan atau tidak, juga ketercapaian KD direfleksi dari ketercapaian seluruh IPK yang telah disusun diawal. Adapun teknis pelaksanaan refleksi dapat ditulis dalam format tertulis secara deskriptif pada tabel dengan rincian poin refleksi (proses pembelajaran, peserta didik, penilaian dan ketercapaian KD), identifikasi masalah yang dihadapi dan pokok-pokok hasil refleksi (solusi).
289
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
KESIMPULAN
Penerapan integral tentu merupakan tahap akhir dari penguasaan konsep integral. Dengan penerapan integral tentu pada pencarian luas daerah dan volume benda putar, Anda sebagai peserta diklat diharapkan mampu mengembangkan penerapannya di bidang teknologi/kejuruan lainnya. Unit pembelajaran luas daerah dan volume benda putar ini dikembangkan berdasarkan kecenderungan soal dan kisi-kisi UN Matematika SMK yang berkaitan dengan pasangan KI-KD dalam Peraturan Dirjen Dikdasmen No. 464 tahun 2018 terutama pada KD 3.34 dan 4.34. Laporan dari aplikasi pamer
Puspendik Kemdikbud menunjukkan bahwa, nilai rata-rata UN untuk topik luas daerah dan volume benda putar lebih rendah dari rata-rata nasional untuk Matematika SMK.
290
Unit Pembelajaran Luas Daerah dan Volume Benda Putar
UMPAN BALIK
Dalam rangka mengetahui pemahaman terhadap unit ini, Saudara perlu mengisi lembar persepsi pemahaman. Berdasarkan hasil pengisian instrumen ini, Saudara dapat mengetahui posisi pemahaman beserta umpan baliknya. Oleh karena itu, isilah lembar persepsi diri ini dengan objektif dan jujur dengan memberikan tanda silang (X) pada kriteria yang menurut saudara tepat. Lembar Persepsi Pemahaman Unit Kriteria
No
Aspek
1
Memahami dengan baik semua indikator yang telah dikembangkan di unit ini. Mampu menghubungkan konten dengan fenomena kehidupan sehari-hari. Memahami dengan baik bahwa aktivitas pembelajaran yang disusun dapat mengembangkan HOTS peserta didik. Memahami dengan baik tahapan urutan aktivitas pembelajaran yang disajikan. Mampu dengan baik mengaplikasikan aktivitas pembelajaran di dalam kelas. Memahami dengan baik lembar kerja peserta didik yang dikembangkan. Mampu melaksanakan dengan baik lembar kerja peserta didik yang dikembangkan. Memahami konten secara menyuluh dengan baik. Memahami prosedur penyusunan soal HOTS dengan baik. Mampu membahas soal HOTS yang disajikan dengan tepat. Jumlah Jumlah Total
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Keterangan 1=tidak menguasai 2 = cukup menguasai 3 = menguasai 4 = Sangat Menguasai
1
2
3
4
Pedoman Penskoran: 𝑆𝑘𝑜𝑟 =
𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 40
𝑥 100
291
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Keterangan Umpan Balik: Skor < 70
70-79
80-89 90
292
Umpan Balik Masih banyak yang belum dipahami, di antara konten, cara membelajarkannya, mengembangkan penilaian dan melaksanakan penilaian berorientasi HOTS. Saudara perlu membaca ulang unit ini dan mendiskusikannya dengan dengan fasilitator di MGMP sampai Saudara memahaminya. Masih ada yang belum dipahami dengan baik, di antara konten, cara membelajarkan, mengembangkan penilian dan melaksanakan penilaian berorientasi HOTS. Saudara perlu mendiskusikan bagian yang belum dipahami dengan fasilitator atau teman lain di MGMP. Memahami konten, cara membelajarkan, mengembangkan penilaian dan melaksanakan penilaian berorientasi HOTS dengan baik. Memahami konten, cara membelajarkan, mengembangkan penilaian dan melaksanakan penilaian berorientasi HOTS dengan sangat baik. Saudara dapat menjadi fasilitator bagi teman-teman lain di MGMP untuk membelajarkan unit ini.
Unit Pembelajaran Luas Daerah dan Volume Benda Putar
293
Paket Unit Pembelajaran Keterampilan bagi Peserta Didik Autis
PENUTUP Besar harapan kami, Unit-unit pembelajaran yang telah dikembangkan ini dapat menjadi acuan Saudara dalam mengembangkan desain pembelajaran dan penilaian yang membantu pencapaian kecakapan Abad ke-21. Selanjutnya, saudara dapat menerapkan desain yang telah disusun dalam pembelajaran kepada peserta didik Autis di kelas masing-masing. Dalam rangka mencapai tujuan tersebut, Saudara perlu memahami unit-unit ini dengan baik. Oleh karena itu, unit-unit perlu dipelajari dan Saudara kaji lebih lanjut bersama guru-guru lainnya dalam Program Peningkatan Kompetensi Pembelajaran (PKP) di MGMP di Zona masing-masing. Saudara bersama guru-guru lainnya perlu mengkaji dengan baik semua komponen unit pembelajaran yang disajikan sehingga dapat memudahkan Saudara untuk mengimplementasikannya di kelas. Selain itu, saudara dapat mengantisipasi kesulitan-kesulitan yang mungkin dihadapi. Unit-unit pembelajaran dikembangkan agar memudahkan Saudara dalam menyusun Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP). Hal ini karena aktivitas pembelajaran yang disajikan merupakan acuan umum langkah pembelajaran untuk mencapai masing-masing KD. Saudara perlu memerinci aktivitas pembelajaran menjadi skenario di dalam RPP agar lebih mudah diimplementasikan. Selama
mengimplementasikan
merefleksikan
dan
unit-unit
mengevaluasi
ini,
keefektifan,
Saudara
perlu
terus
keberhasilan
serta
permasalahannya. Permasalahan-permasalahan yang ditemukan dapat langsung didiskusikan bersama guru lainnya, instruktur, kepala sekolah, atau pengawas agar dapat dengan segera menemukan solusinya. Setiap keberhasilan, permasalahan, dan solusi yang ditemukan selama pembelajaran perlu Saudara tuliskan dalam bentuk karya tulis best practice atau lainnya.
295
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Pada akhirnya, Saudara dapat melaksanakan pembelajaran dengan baik, peserta didik mencapai hasil belajar yang optimal, sekaligus Saudara dapat menghasilkan karya tulis yang berguna bagi pengembangan keprofesian. Dalam rangka perbaikan dan pengembangan unit-unit lainnya, Kami mengharapkan saran, masukan, dan usulan penyempurnaan yang dapat disampaikan kepada tim penulis melalui surat elektronik (e-mail).
296
Paket Unit Pembelajaran Keterampilan bagi Peserta Didik Autis
DAFTAR PUSTAKA Ayres, F. J., & Schmidt, P. A. (1976). Schaum’s Outline of Theory and Problems of College Mathematics (Third Edit). New York: McGraw-Hill Companies Inc. https://doi.org/10.1036/0071425888 Calter, P. A., Calter, M. A., Wraight, P. D., & White, S. A. (2016). Technical Mathematic With Calculus. (Z. Craig, Ed.). Toronto: John Wiley & Sons. Cell, J. W. (1943). Engineering Problems Illustrating Mathematics (First Edit). London: McGraw-Hill Book Company, inc. Permana, Y., & Minarti, E. D. (2018). Modul F PKB Matematika Teknik. (H. D. Putra & N. Priatna, Eds.). Jakarta: Kementerian dan Kebudayaan Republik Indonesia. Polya, G. (2004). How to Solve It. A New Aspect of Mathematical Method. New Jersey: Princeton University Press. Varberg, D., Purcell, E., & Rigdon, S. (2007). Calculus_9Rded_Dale Varberg_Edwin Purcell_Steve Rigdon.Pdf (Ninth Edit). Mexico: Pearson Education. Washington, A. J., & Evans, R. S. (2018). Basic Technical Mathematics with Calculus. (J. Weidenaar, Ed.) (11th editi). Boston: Pearson Education, Inc.
297
Program PKB melalui PKP berbasis Zonasi Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
298
