Soal Trigonometri 50 [PDF]

Citation preview

Soal-Soal Trigonometri Kelas X Matematika Wajib 1. Nilai dari 540° = ⋯ a. 5𝜋 rad d. 2𝜋 rad b. 6𝜋 rad e. 4𝜋 rad c. 3𝜋 rad Pembahasan : 𝜋



540° × 180° 𝑟𝑎𝑑 = 3𝜋 rad 2. cos 150° senilai dengan … a. −cos 30° b. cos 210° c. sin 330 ° d. cos 210° e. cos 330° Pembahasan : cos(180° − 𝜃) = − cos 30° cos 150° = − cos 30° 1



cos 150° = − 2 √3 3. Pada segitiga berikut, cos 𝜃adalah…. a. b. c.



𝑏 𝑎 𝑐 𝑎 𝑎 𝑐



d. e.



𝑏 𝑐 𝑎 𝑏



Pembahasan :



cos 𝜃 =



𝑐 𝑎



4. Jika sin 𝜃 = a. b. c.



2 3



√5 3 √5 2 2√5 5



Pembahasan :



dan 𝜃 terletak di kuadran pertama maka tan 𝜃 = ⋯ d. e.



3√5 5 3 2



2



sin 𝜃 = 3



→ kuadran I (0 ≤ 𝜃 ≤ 90°)



3 2



√𝟓 tan 𝜃 = tan 𝜃 =



2 √5 2



.



√5



√5 √5 2



tan 𝜃 = 5 √5 5. Grafik fungsi 𝑦 = cos 𝑥; 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 mencapai maksimum untuk 𝑥 = ⋯ a. 0 atau 2𝜋 b. c. d. e.



1 6 1 2 5 6 3 2



𝜋 𝜋 𝜋 𝜋



Pembahasan : 𝑦 = cos 𝑥 Nilai y mencapai maksimum jika nilai cos 𝑥 maksimum. Nilai maksimum cos 𝑥 = 1 Sehingga, cos 𝑥 = 1 𝑥 = 0° atau 360° 𝑥 = 𝑘. 2𝜋 𝑘=0→𝑥=0 𝑘 = 1 → 𝑥 = 2𝜋 Jadi, nilai 𝑥 adalah 0 atau 2𝜋 6. Diketahui sin ∝= 𝑎; ∝ sudut tumpul. Maka tan ∝ = ⋯ a.



−𝑎 √𝑎2 −1



b. c. d. e.



𝑎 √1−𝑎2 −𝑎 √1+𝑎2 −𝑎 1−𝑎2 −𝑎 √1−𝑎2



Pembahasan : sin ∝= 𝑎 𝑎



𝑑𝑒



sin ∝= 1, (𝑚𝑖 ) , 𝑠𝑎 = √12 − 𝑎2 = √1 − 𝑎2 −𝑎



tan ∝= √1−𝑎2 5



7. Diketahui tan 𝜃 = 4, 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝜃 = ⋯ a. b. c.



4 √41 41 5 √41 41 4 5



d. e.



1 √41 4 1 √41 5



Pembahasan: 5



tan 𝜃 = 4



→ kuadran I (0 ≤ 𝜃 ≤ 90°)



√𝟒𝟏 5



4 csc 𝜃 =



√41 5 1



csc 𝜃 = 5 √41 8. Nilai sin 30°, cos 45°, tan 60°, sin 90° secara berurutan adalah … a. b. c.



1 1 √2, 2 , √3, 1 2 1 1 , √2, √3, 1 2 2 1 1 √3, 2 , 2 √2, 0



Pembahasan :



d. e.



1 1 , √2, √3, 0 2 2 1 1 √3, 2 √2, 2 , 0



1



sin 30° = 2 1



cos 45° = 2 √2 tan 60° = √3 sin 90° = 1



9. Jika 𝜃 = 30°, nilai m dan n berturut-turut adalah … a. b.



5 2 5 3



5



√3 dan 2 5



√2 dan 2



c. 1 dan √3 d. e.



5 2 5



√3 dan 1 5



dan √3 2 2



Pembahasan : 



sin 𝜃 = sin 30° 𝑚 = sin 30° 5 𝑚 5



1



=2 5



𝑚=2 



cos 𝜃 = cos 30° 𝑛



1



= 2 √3 5 5



𝑛 = 2 √3 10. Pada segitiga PQR sisi QR = 15 cm, PQ = 20 cm, dan luasnya 75 cm2. Maka nilai sudut Q? a. 90° b. 45° c. 75° d. 30° e. 60° Pembahasan : 𝐿 = 𝑄𝑅 × 𝑃𝑄 . sin 𝑄 75 = 15 × 20 . sin 𝑄 75 = 150 . sin 𝑄 1 2



= sin 𝑄



30° = 𝑄 11. Jika sudut depresi sinar matahari adalah 30°, tinggi bangunan yang panjang bayangannya 20 m adalah …



a. b. c. d. e.



11,547 m 34,64 m 20 m 30 m 15,37 m



Pembahasan : Sudut depresi 30°



30°



ℎ 20 ℎ 20



= tan 30° =



ℎ=



1 3 20 3



√3 √3



ℎ = 11,39 𝑚 12. 𝑠𝑖𝑛2 60° + 𝑐𝑜𝑠 2 60° − 5 cos 90° = ⋯ 2



a. −2



d. 7 √9



b. 0



e. 1



c.



1 3



√3



Pembahasan : 𝑠𝑖𝑛2 60° + 𝑐𝑜𝑠 2 60° − 5 cos 90° = (sin 60°)2 + (cos 60°)2 − 5 cos 90° 2



1



1 2



= (2 √3) + (2) − 5.0 =



1



1



.3 + 4 − 0 4 3



1



=4+4 =1



1



13. Diketahui 𝑝 dan 𝑞 adalah sudut lancip dan 𝑝 − 𝑞 = 30°. Jika cos 𝑝 . sin 𝑞 = 6, maka nilai dari sin 𝑝 . cos 𝑞 = ⋯ 1



a.



2



3



b. 6



6



4



c. 6



d. 6



5



e. 6



Pembahasan : 𝑝−𝑞 sin(𝑝 − 𝑞)



= 30° = sin 30° 1



sin 𝑝 . cos 𝑞 − cos 𝑝 . sin 𝑞 = 2 1



1



sin 𝑝 . cos 𝑞 − 6



=2



sin 𝑝 . cos 𝑞



= +



sin 𝑝 . cos 𝑞



=6



1



1



2 4



6



14. Nilai 𝑏 pada segitiga berikut adalah … a. 3√3 cm b. √3 cm 1



c.



3



√3 cm



d. 3 cm e. 9√3 𝑐𝑚 Pembahasan : 3 𝑏 3 𝑏



= tan 45° =1



𝑏=1 15. Luas segitiga ABC adalah … a. 3 + 9√3 𝑐𝑚2 b. 9√3 𝑐𝑚2 3



c. d. e.



2 3 2 3 2



9



+ 2 √3 𝑐𝑚2 𝑐𝑚2 3



+ 2 √3 𝑐𝑚2



Pembahasan : 3 𝑥



= tan 60°



b



3 cm



3 𝑥



= √3



𝑥= 𝑥=



3 √3 3



.



√3



√3 √3



𝑥 = √3 1



L∆= 2 . 𝑎 . 𝑡 =



1 2 3



(1 + √3) . 3 3



= 2 + 2 √3 3



3



Jadi, luas segitiga adalah 2 + 2 √3 cm 16. Pada segitiga ABC lancip, diketahui cos 𝐴 = a.



20



36



56



b. 65



65



c. 65



4 5



12



dan sin 𝐵 = 13, maka sin 𝐶 = ⋯ 60



63



d. 65



e. 65



Pembahasan : Karena segitiga ABC lancip, maka sudut A, B, dan C juga lancip, sehingga : 4



3



cos 𝐴 = 5, maka sin 𝐴 = 5 sin 𝐵 =



12



, maka cos 𝐵 = 13



5 13



𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 180° 𝐴 + 𝐵 = 180° − 𝐶 sin(𝐴 + 𝐵) = sin(180 − 𝐶) sin 𝐴 . cos 𝐵 + cos 𝐴 . sin 𝐵 = sin 𝐶 , sin 𝐶 = sin 𝐴 . cos 𝐵 + cos 𝐴 . sin 𝐵 3



5



(sudut yang saling berelasi)



4 12



sin 𝐶 = 5 . 13 + 5 . 13 15



48



sin 𝐶 = 65 + 65 63



sin 𝐶 = 65 2



17. Diketahui cos(−𝜃) = 3. Nilai sin 𝜃 = ⋯, 0 < 𝜃 < 90° a. b. c.



1



√3 5 2 9 5



√9



9



Pembahasan :



1



d. 3 √5 1



e. 2 √5



cos(−𝜃) = cos 𝜃



→



𝑐𝑜𝑠 di kuadran I positif



b



3 2



𝑏 = √32 − 22 = √9 − 4 = √5 2



cos 𝜃 = 4 sin 𝜃 =



√5 3



18. cos 181° = ⋯ a. − sin 179° b. − sin 89° c. sin 1°



d. cos 1° e. − cos 89°



Pembahasan : cos(180° + 𝜃) = − cos 𝜃 cos(180° + 1) = − cos 1 cos 1° cos(90° − 𝜃) = sin 𝜃 cos(90° − 89°) = sin 89° − cos 1 = − sin 89° 19. Diketahui sin 40° = 0,6428 ; cos 40° = 0,766 ; dan tan 40° = 0,8391. Nilai dari cos 140° + sin 220° − tan 320° adalah … a. −2,2479 d. 0,5697 b. −0,9623 e. 2,2479 c. −0,5697 Pembahasan: cos 140° + sin 220° − tan 320° = ⋯ cos 140° = cos(180° − 40°) = − cos 40° = −0,766 sin 220° = (sin 180° + 40°)



= − sin 40° = −0,6428 tan 320° = tan(360° − 40°) = − tan 40° = −0,8391 cos 140° + sin 220° − tan 320° = −0,766 + (−0,6428) − (−0,8391) = −0,5697 20. Jika cos 𝑥 = 3 sin 𝑥, dan 𝑥 terletak di kuadran III, maka nilai sin 𝑥. cos 𝑥 = ⋯ a.



1



b.



10



3



c.



10



3 10



√10



d.



1 10



√10



e. √10



Pembahasan : cos 𝑥 = 3 sin 𝑥 1 3 1 3



sin 𝑥



= cos 𝑥 = tan 𝑥



𝑎 = √32 + 12 = √9 + 1 = √10



1



3 cos 𝑥 = − sin 𝑥 = −



3 √10 1



3



= − 10 √10



√10



sin 𝑥 . cos 𝑥 = − =



1 √10



3



. − 10 √10



3 10



21. Diketahui cos 44,3° = 0,716. Nilai 𝑥 yang memenuhi sin 𝑥 = −0,716, untuk 180° ≤ 𝑥 ≤ 360° adalah … a. 134,3° dan 225,7° b. 134,3° dan 314,3° c. 225,7° dan 314,3° d. 314,3°



e. 225,7° Pembahasan : cos 44,3° = 0,716 sin 𝑥 = −0,716 sin 𝑥 = − cos 44,3 = − sin 45,7°



→



cos(90° − 𝜃) = sin 𝜃 cos(90° − 45,7°) = sin 45,7° cos 44,3° = sin 45,7°



Mengubah nilai −sin 45,7° menjadi positif Kuadran III sin(180° + 𝜃) = − sin 𝜃 sin(180° + 45,7°) = − sin 45,7° sin 225,7° = − sin 45,7° Kuadran IV sin(360° − 𝜃) = − sin 𝜃 sin(360° − 45,7°) = − sin 45,7° sin, 314,3° = − sin 45,7° Jadi nilai sin 𝑥 = − sin 45,7° = sin 225,7° atau, sin 𝑥 = − sin 45,7° = sin 314,3° Nilai 𝑥 = 225,7° dan 𝑥 = 314,3° 3



22. Jika tan 𝑥 = 1,05 untuk 𝜋 < 𝑥 < 2 𝜋 , maka nilai cos 𝑥 = ⋯ a. − b. − c.



21 29 20 29



3 29



Pembahasan : tan 𝑥 = 1,05 cos 𝑥 = ⋯



20



d. 29 21



e. 29



Menggunakan identitas trigonometri 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 1 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 −((1,05)2 + 1) = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 −√(1,05)2 + 1 = sec 𝑥 −√1,1025 + 1 = sec 𝑥 −√2,1025



= sec 𝑥



1



cos 𝑥 = sec 𝑥 cos 𝑥 = −



1 √2,1025 1



cos 𝑥 = − cos 𝑥 = −



√2,1025 1 √2,1025 1



cos 𝑥 = − 1,45 20



cos 𝑥 = − 29



23. Segitiga ABC diketahui sudut 𝐴 = 75°, sudut 𝐵 = 60°, dan sudut 𝐶 = 45°. Maka 𝐴𝐵 ∶ 𝐴𝐶 = ⋯ a. 3 ∶ 4 b. 4 ∶ 3 c. √3 ∶ √2 d. 2√2 ∶ √3 e. √2 ∶ √3 Pembahasan : 𝐴𝐵 sin 𝐶 𝐴𝐵 sin 45° 𝐴𝐵 1 √2 2



𝐴𝐵 𝐴𝐶



𝐴𝐶



= sin 𝐵 𝐴𝐶



= sin 60° 𝐴𝐶



=1 2



=



√3



√2 √3



Maka, perbandingan sisi : 𝐴𝐵 ∶ 𝐴𝐶 = √2 ∶ √3 24. Pada segitiga ABC diketahui 𝐴𝐵𝐶 diketahui 𝐴𝐶 = 6 m sudut 𝐴 = 120° dan sudut 𝐵 = 30°. Maka luas segitiga ABC = …



a. 6√2 b. 6√3



d. 9√3 e. 18√3



c. 9√2 Pembahasan : Luas segitiga ABC dengan 𝐴𝐵 = 𝑐, 𝐵𝐶 = 𝑎, dan 𝐴𝐶 = 𝑏 1



𝐿 = 2 . 𝑎. 𝑏. sin 𝐶 1



𝐿 = 2 . 𝑎. 𝑐. sin 𝐵 1



𝐿 = 2 . 𝑏. 𝑐. sin 𝐴 ∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180° 120° + 30° + ∠𝐶 = 180° 150° + ∠𝐶 = 180° ∠𝐶 = 30° Jadi segitiga ABC adalah segitiga sama kaki (∠𝐵 = ∠𝐶 = 30°) dengan sisi 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 6 𝑐𝑚 1



𝐿 = 2 . 𝑏. 𝑐. sin 𝐴 1



𝐿 = . 𝐴𝐵 . 𝐴𝐶. sin 120° 2 1



1



𝐿 = 2 . 6. 6. 2 √3 𝐿 = 3. 3√3 𝐿 = 9√3 25. Dalam ∆𝐴𝐵𝐶 berlaku 𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 + 𝑎𝑐√3, maka besar sudut B adalah … a. 30° b. 60° c. 90° d. 120° e. 150° Pembahasan : Rumus umum : 𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 + 2𝑎. 𝑐 . cos 𝐵 Jadi, 𝑏2 = 𝑏2 𝑎2 + 𝑐 2 + 2𝑎. 𝑐. cos 𝐵 = 𝑎2 + 𝑐 2 + 𝑎. 𝑐√3 2𝑎. 𝑐. cos 𝐵 = 𝑎. 𝑐√3 2 cos 𝐵 = √3 1



cos 𝐵 = 2 √3



1



Untuk 2 √3, besar sudut istimewanya 30° 26. Koordinat kutub dari titik 𝐴(12,45°) dan 𝐵(5,135°), maka jarak titik 𝐴 dengan 𝐵 adalah … a. 13 b. 14 c. 15 d. 16 e. 17 Pembahasan :



𝐵𝐴 = √52 + 122 = √25 + 144 = √169 = 13 27. Dalam segitiga ABC diketahui ∠𝐴𝐵𝐶 = 60°, panjang sisi 𝐴𝐵 = 12 𝑐𝑚 dan panjang sisi 𝐵𝐶 = 15 𝑐𝑚. Luas segitiga itu sama dengan … a. b. c. d. e.



45√3 𝑐𝑚2 45√2 𝑐𝑚2 30√3 𝑐𝑚2 90√2 𝑐𝑚2 90√3 𝑐𝑚2



Pembahasan : 1



𝐿 = 2 . 𝐴𝐵. 𝐵𝐶. sin 𝐴𝐵𝐶 1



𝐿 = 2 . 12.15. sin 60° 1



𝐿 = 6.15. 2 √3 𝐿 = 45√3 𝑐𝑚2 28. Di dalam segitiga ABC diketahui 𝐴𝐵 = 6, 𝐶𝐵 = 6√2. Jika sudut 𝐶 = 30°, maka besarnya sudut B adalah …



a. 30°



b. 45°



c. 60°



d. 75°



e. 105°



d. sin 2𝑥



e. cos 2𝑥



Pembahasan : 𝐴𝐵



𝐶𝐵



= sin∠ 𝐴



sin 𝐶 6



6√2



sin 30°



= sin∠ 𝐴



sin ∠𝐴 =



1 ×6√2 2



6 1



sin ∠𝐴 = 2 √2 ∠𝐴



= 45°



29. Nilai tan 2100° sama dengan … a.



1 3



√3 1



b. − 3 √3 c. −√3 d. √3 e.



1 2



Pembahasan : tan 2100° = tan(5 × 360 + 300)° = tan 300° = tan(360 − 60)° = − tan 60° = −√3 30. Grafik fungsi berikut adalah 𝑦 = ⋯



a. sin 𝑥



b. cos 𝑥



Pembahasan : 𝒙 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 −270° 0 −180° −1 −90° 0 0° 1



c. tan 𝑥



90°



0



31. Buktikan identitas trigonometri berikut! tan 𝜃 =



sin 𝜃 cos 𝜃



Pembahasan : sin 𝜃 = cos 𝜃 =



𝑎



𝑏



cot 𝜃 = 𝑎



𝑐 𝑏



𝑐



sec 𝜃 = 𝑏



𝑐 𝑎



tan 𝜃 = 𝑏 tan 𝜃 =



𝑐



cosec 𝜃 = 𝑎



𝑎 𝑏 𝑎



= (𝑏) (1) 1 𝑐 1 𝑐



𝑎



= (𝑏) ( ) =



𝑎 𝑐 𝑏 𝑐



sin 𝜃



= cos 𝜃



(Terbukti)



32. Buktikan identitas trigonometri berikut! 1



𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝜃 = sin 𝜃 Pembahasan : sin 𝜃 = cos 𝜃 =



𝑎



𝑏



cot 𝜃 = 𝑎



𝑐 𝑏



𝑐



sec 𝜃 = 𝑏



𝑐 𝑎



tan 𝜃 = 𝑏 sin 𝜃 =



𝑎 𝑐



𝑐



cosec 𝜃 = 𝑎 𝑐



cosec 𝜃 = 𝑎 𝑎



𝑐



(sin 𝜃)(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝜃) = ( 𝑐 ) (𝑎) (sin 𝜃)(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝜃) = 1 1



𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝜃 = sin 𝜃 (Terbukti)



33. Pada sebuah segitiga 𝐴𝐵𝐶, diketahui 𝐴 = 30°, sudut 𝐵 = 45°, dan panjang sisi 𝑎 = 6 𝑐𝑚. Besar rusuk 𝑏 adalah … Pembahasan : 𝑎 sin ∠𝐴 6 sin 30° 6 sin 45° sin 30°



𝑏



𝑏



= sin ∠𝐵 𝑏



= sin 45° =𝑏 =



6 sin 45° sin 30° 1



6( √2) 2



𝑏



=



𝑏



= 6√2



1 2



Jadi, besar rusuk b adalah 6√2 cm 34. Dalam ∆𝐴𝐵𝐶, jika 𝐴𝐶 = 8 𝑐𝑚, 𝐵𝐶 = 4√2 𝑐𝑚 dan ∠𝐵 = 45°, maka tan ∠𝐴 adalah … Pembahasan : 𝑎 sin ∠𝐴 4√2 sin ∠𝐴



𝑏



= sin ∠𝐵 8



= sin 45°



8 sin ∠𝐴 = 4√2 sin 45° 1



8 sin ∠𝐴 = 4√2 ( ) √2



8 sin ∠𝐴 = 4 1



sin ∠𝐴 = 2 tan ∠𝐴 = tan ∠𝐴 =



1 √3 1 √3 1



×



√3 √3



tan ∠𝐴 = 3 √3 35. Pada suatu ∆𝐴𝐵𝐶, diketahui 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶 = 10 𝑐𝑚, ∠𝐵 = 45°. Panjang 𝐴𝐶 adalah … Pembahasan : 𝑎 + 𝑏 = 10 𝑏=⋯ 𝑎 sin ∠𝐴



𝑏



= sin ∠𝐵



𝑎



𝑏



sin 30° 𝑎 1 2



= sin 45° =1 2



𝑎= 𝑎+𝑏 𝑏 √2



𝑏 √2 𝑏 √2



= 10



+𝑏



= 10



𝑏 + 𝑏√2 = 10√2 𝑏(1 + √2) = 10√2 10√2



𝑏=



√2+1 10√2



𝑏=( 𝑏=



)(



√2+1



)



√2+1 √2+1 10√2(√2−1) 2−1



𝑏 = 10√2(√2 − 1) 𝑏 = (10√2)(√2) − 10√2 𝑏 = 20 − 10√2 Jadi, panjang AC adalah 20 − 10√2 cm 36. Pada suatu ∆𝐴𝐵𝐶, diketahui ∠𝐵 = 45°, ∠𝐶 = 60°, dan panjang 𝐵𝐶 = 10√2 𝑐𝑚. Nilai dari panjang 𝐴𝐵 adalah … Pembahasan : ∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180° ∠𝐴 + 45° + 60° = 180° ∠𝐴 + 105° = 180° ∠𝐴 = 75° 𝑎 sin ∠𝐴 10√2 sin 75°



=



𝑐 sin ∠𝐶 𝑐



= sin 60° 10√2 𝑠𝑖𝑛60°



𝑐



=



𝑐



=



𝑐



=(



sin 75° 1



10√2( √3) 2 √6+√2 4



(5√6)(4) √6+√2)



(5√6)(4) √6+√2)



(√6−√2)



𝑐



=(



×(



𝑐



=



𝑐



= 5√6(√6 − √2)



𝑐



= 30 − 10√3



√6−√2)



(5√6)(4)(√6−√2) 6−2



37. Diberikan suatu ∆𝐴𝐵𝐶 dengan sisi a, b, dan c beserta sudut-sudutnya, yaitu ∠𝐴 = 𝛼, ∠𝐵 = 𝛽, dan ∠𝐶 = 𝛾. Tentukan nilai dari 𝑏 jika diketahui 𝑎 = 16, 𝛼 = 49°, dan 𝛽 = 57° sin 57° ≈ 0,84 sin 49° ≈ 0,75 Pembahasan : 𝑎 sin ∠𝐴



𝑏



= sin ∠𝐵 𝑏= 𝑏= 𝑏≈



𝑎 sin 𝛽 sin 𝛼 16 sin 57° sin 49° 16(0,84) 0,75



𝑏 ≈ 17,8 38. Diberikan suatu ∆𝐴𝐵𝐶 dengan sisi a, b, dan c beserta sudut-sudutnya, yaitu ∠𝐴 = 𝛼, ∠𝐵 = 𝛽, dan ∠𝐶 = 𝛾. Tentukan nilai dari 𝑎 jika diketahui 𝑏 = 3, 𝛼 = 63°, dan 𝛽 = 71° sin 63° ≈ 0,89 sin 71° ≈ 0,95 Pembahasan : 𝑎 sin ∠𝐴



𝑏



= sin ∠𝐵 𝑎= 𝑎= 𝑎≈



𝑏 sin 𝛼 sin 𝛽 3 sin 63° sin 71° 3(0,89) 0,95



𝑎 ≈ 2,8 39. Diberikan suatu ∆𝐴𝐵𝐶 dengan ∠𝐴 = 135°, ∠𝐶 = 30°, dan 𝑐 = 20 𝑐𝑚. Panjang dari 𝑎 adalah … Pembahasan :



𝑎



𝑐



= sin ∠𝐶



sin ∠𝐴



𝑎= 𝑎=



𝑐 sin ∠𝐴 sin ∠𝐶 20 sin 135° sin 30° 1



𝑎=



20( √2) 2 1 2



𝑎 = 20√2



40. Diberikan suatu ∆𝐴𝐵𝐶 dengan 𝑐 = 12 𝑐𝑚, ∠𝐴 = 45°, dan ∠𝐶 = 30°. Jika sin 105° = √2+√6 4



dan cos 105° =



√2−√6 , 4



maka panjang rusuk 𝑏 adalah …



√2+√6 4 √2−√6 = 4



sin 105° = cos 105°



Pembahasan : ∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180° 45° + ∠𝐵 + 30° = 180° ∠𝐵 + 75° = 180° ∠𝐵 = 105° 𝑏 sin ∠𝐵



𝑐



= sin ∠𝐶 𝑏= 𝑏= 𝑏=



𝑐 sin ∠𝐵 sin ∠𝐶 12 sin 105° sin 30° √2+√6 ) 4 1 sin( ) 2



12(



𝑏 = 12 (



√2+√6 ) (2) 4



𝑏 = 6(√6 + √2) 𝑏 = 6√6 + 6√2 5



41. Diberikan ∆𝐴𝐵𝐶 dengan 𝑏 = 2 √6 𝑐𝑚, 𝑐 = 5 𝑐𝑚, dan ∠𝐵 = 120°. Besar ∠𝐶 adalah … Pembahasan : 𝑏 sin ∠𝐵 5 √6 2



sin 120°



𝑐



= sin ∠𝐶 5



= sin ∠𝐶



5 2 5 2



√6 sin ∠𝐶 = 5 sin 120° 1



√6 sin ∠𝐶 = 5 (2 √3)



1



1



5 (2 √3) (√2) sin ∠𝐶 = 5 (2 √3) (√2) sin ∠𝐶 = 1 sin ∠𝐶 =



1 √2 1



sin ∠𝐶 = 2 √2 ∠𝐶 = 45° atau ∠𝐶 = 135° Jadi, ∠𝐶 = 45° 42. Perbandingan sudut-sudut dalam suatu ∆𝐴𝐵𝐶 adalah ∠𝐴 ∶ ∠𝐵 ∶ ∠𝐶 = 3 ∶ 4 ∶ 5. Rasio dua rusuk terpendek dari segitiga tersebut adalah … Pembahasan : 𝑎



𝑏



sin ∠𝐴 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏



= sin ∠𝐵 sin ∠𝐴



= sin ∠𝐵 = = = = =



sin 45° sin 60 1 √2 2 1 √3 2



√2 √3 √2 √3 √6



×



√3 √3



√3



43. Pada ∆𝐴𝐵𝐶, diketahui sisi 𝑎 = 10 𝑐𝑚, 𝑏 = 20 𝑐𝑚, dan ∠𝐶 = 60°. Luas segitiga tersebut adalah … Pembahasan : 1



𝐿∆= 2 . 𝑎. 𝑏. sin ∠𝐶 1



= 2 . 10.20. sin 60° 1



1



= 2 . 10.20. 2 √3 = 50√3 𝑐𝑚2



44. Pada ∆𝐴𝐵𝐶, diketahui sisi 𝐵𝐶 = 8 𝑐𝑚, 𝐴𝐶 = 5 𝑐𝑚, dan luas ∆𝐴𝐵𝐶 = 10√3 𝑐𝑚2. Jika ∠𝐶 adalah sudut lancip, maka panjang 𝐴𝐵 adalah … Pembahasan : 1



𝐿∆



= 2 . 𝑎. 𝑏. sin ∠𝐶 1



10√3 = 2 . 8.5. sin ∠𝐶 10√3 = 20. sin ∠𝐶 1 2 1 2



√3 = sin ∠𝐶 = cos ∠𝐶



𝑐=⋯ 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 cos ∠𝐶 1



𝑐 2 = 82 + 52 − 2(8)(5) (2) 𝑐 2 = 64 + 25 − 40 𝑐 2 = 24 + 25 𝑐 2 = 49 𝑐=7 Jadi, panjang AB adalah 7 cm 45. Diketahui ∆𝐴𝐵𝐶 merupakan segitiga siku-siku sama kaki dengan 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶. Dari titik 𝐵 ditarik garis hingga memotong tegak lurus 𝐴𝐶 dengan 𝐴𝐷 = 𝐷𝐶. Jika luas ∆𝐴𝐵𝐶 = 2𝑎2 , maka panjang 𝐵𝐷 adalah … Pembahasan : 𝐴𝐶 2 = 𝑎2 + 𝑎2 𝐴𝐶 2 = 2𝑎2 𝐴𝐶 = √2𝑎2 𝐴𝐶 = 𝑎√2 1



𝐿∆= 2 (𝐴𝐶)(𝐵𝐷) 1 2



(𝑎√2)(𝑡) = 2𝑎2



(𝑎√2)(𝑡) = 4𝑎2 4𝑎2



𝑡 = 𝑎√2 𝑡=



4𝑎 √2



𝑡= 𝑡=



4𝑎



×



√2



√2 √2 4𝑎√2 2



𝑡 = 2𝑎√2 46. Diketahui luas ∆𝐴𝐵𝐶 adalah (3 + 2√3) 𝑐𝑚2. Jika panjang 𝐴𝐵 = (6 + 4√3)𝑐𝑚 dan 𝐵𝐶 = 7 𝑐𝑚, maka nilai dari sin(∠𝐴 + ∠𝐶) adalah … Pembahasan : sin(∠𝐴 + ∠𝐶) = sin(∠𝐴 + ∠𝐶 + ∠𝐵 − ∠𝐵) = sin(180° − ∠𝐵) = sin(∠𝐵) 𝐿∆ 1 2



1



= 2 . 𝑎. 𝑐. sin ∠𝐵



(7)(6 + 4√3) sin(∠𝐵) = 3 + 2√3 7 sin(∠𝐵) = 1 1



sin(∠𝐵) = 7 47. Diberikan suatu ∆𝐴𝐵𝐶 dengan 𝐵𝐶 = 2 𝑐𝑚, 𝐴𝐶 = 3√2 𝑐𝑚, dan ∠𝐶 = 45°. Panjang 𝐴𝐵 adalah … Pembahasan : 𝑐=⋯ 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 cos ∠𝐶 2



𝑐 2 = 22 + (3√2) − 2(2)(3√2) cos 45° 𝑐 2 = 4 + 18 − 2.2.3 𝑐 2 = 22 − 12 𝑐 2 = 10 𝑐 = √10 9



48. Pada ∆𝐴𝐵𝐶 diketahui cos(∠𝐵 + ∠𝐶) = 40. Jika panjang rusuk 𝐴𝐶 = 10 𝑐𝑚, 𝐴𝐵 = 8 𝑐𝑚, maka panjang rusuk 𝐵𝐶 adalah … Pembahasan : 9



cos(∠𝐵 + ∠𝐶) = 40 ∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180° ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180° − ∠𝐴



9



cos(180° + ∠𝐶) = 40 cos(180° + ∠𝐴) = −𝑐𝑜𝑠∠𝐴 9



− cos ∠𝐴 = 40 9



cos ∠𝐴 = − 40 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 cos ∠𝐴 9



𝑎2 = 102 + 82 − 2(10)(8) (− 40) 𝑎2 = 100 + 64 − 36 𝑎2 = 100 + 100 𝑎2 = 100 × 2 𝑎 = √100 × 2 𝑎 = 10√2 49. Diberikan sebuah lingkaran dengan titik 𝑂 adalah titik pusat dari lingkaran tersebut dan dua buah titik, yaitu titik 𝑃 dan titik 𝑄, terletak pada lingkaran tersebut. Jika 𝑃𝑄 = 5 𝑐𝑚, 𝑂𝑃 = 3 𝑐𝑚, dan ∠𝑃𝑂𝑄 = 𝜃, maka nilai dari cos(180° + 𝜃) adalah … Pembahasan : 52 = 32 + 32 − 2.3.3. cos 𝜃 25 = 9 + 9 − 18 cos 𝜃 25 + 18 cos 𝜃 = 18 18 cos 𝜃 = −7 7



Cos 𝜃 = − 8 cos(180° + 𝜃) = − cos 𝜃 7



= − (− 8) =



7 8



50. Diberikan suatu ∆𝐴𝐵𝐶 dengan 𝑏 = 8 𝑐𝑚, 𝑐 = 7 𝑐𝑚, dan ∠𝐴 = 120°. Panjang 𝑎 adalah … Pembahasan : 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 cos ∠𝐴 𝑎2 = 82 + 72 − 2(8)(7)(cos 120°) 𝑎2 = 64 + 49 − 56 𝑎2 = 113 + 56 𝑎2 = 169



𝑎 = √169 𝑎 = 13