SUB RING Dan IDEAL [PDF]

Citation preview

PEMBAHASAN SUBGELANGGANG DAN IDEAL DARI GELANGGANG A. SUBGELANGGANG Definisi 1: Suatu himpunan bagian tak kososng S dari suatu gelanggang R dikatakan subgelanggang dari R jika S adalah suatu gelanggang relative terhadap kedua operasi biner yang didefinisikan atas R. Teorema 1: Suatu himpunan bagian tak kososng S dari suatu gelanggang R adalah subgelanggang dari R jika dan hanya jika S memenuhi tiga aksioma 1. 0 ∈ S 2. Untuk setiap x,y ∈ S, maka x – y ∈ S 3. Untuk setiap x,y ∈ S, maka xy ∈ S Bukti: Jika S adalah suatu subgelanggang, maka menurut definisi 1ketiga aksioma di atas dipenuhi oleh S (terbukti). Sebaliknya, misalkan S adalah himpunan bagian tak kososng dari R yang memenuhi ketiga aksioma di atas. Akan ditunjukkan bahwa S adalah subgelanggang dari R, yakni semua aksioma pada Definisi 12.1.1 dipenuhi oleh S. Karena S adalah himpunan bagian dari R dan pada R terdapat unsur 0 dengan 0 sehingga pada S juga terdapat unsur 0 dengan 0



∈



∈



R



S. (aksioma 3 pada definisi 12.1.1



dipenuhi oleh S). Karena S adalah himpunan bagian dari R, sehingga aksioma 1, 2, 5, dan 6 dari Definisi 12.1.1 dipenuhi oleh S. Aksioma 3 dari teorema 1 operasi perkalian dari R adalah operasi biner atas S. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa operasi penjumlahan dari R adalah operasi biner atas S dan untuk setiap x ∈ S, diperlihatkan bahwa –x ∈ S. Pertama, kita perlihatkan bahwa untuk setiap x S, maka untuk pasangan 0,x



∈



∈



S, diperoleh –x



∈



S. karena 0



∈



S (menggunakan aksioma 2) mengakibatkan 0 - x = -x



∈ S. hal ini berarti untuk sebarang x ∈ S maka –x ∈ S.



∈



Sekarang perlihatkan sebarang pasangan unsur x,y



S berdasarkan aksioma invers



∈ S. oleh aksioma 2 kita peroleh kenyataan bahwa x + y = x – (-y)



terdapat -x,-y



∈



S. jadi operasi penjumlahan adalah operasi biner dari S. Jadi kita dapat menyatakan bahwa S adalah subgelanggang dari gelanggang R.



Contoh 1 Himpunan R dengan R =



apakah S =



{[ ]



{[ ]



a b : a,b,c,d ∈R c d



a 0 :a ,b∈ R b 0



}



}



adalah suatu gelanggang. Tentukanlah



merupakan subgelanggang dari R.



Penyelesaian : Akan ditunjukkan ke 3 aksioma pada teorema 1 yaitu sebagai berikut : 1. S adalah impinan bagian tak kosong dari R dan



[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]



2. Ambil sebarang A 1 − A 2=



3. Ambil sebarang



=



a1 0 b1 0



dan



A 2=



[ ]



A 2=



[ ]



a2 0 ∈S , sehingga b2 0



a1−a 2 0 ∈S b1−b 2 0



A 1=



a1 0 b1 0



dan



a2 0 ∈S , sehingga b2 0



a1 0 a 2 0 b1 0 b 2 0



a1 b 2 0 ∈S a2 b 1 0



Berdasarkan teorema 1, S adalah subgelanggang dari R. Contoh 2:



0 0 ∈S . 0 0



a1 0 a 0 − 2 b1 0 b2 0 =



A 1 . A2 =



A 1=



[ ]



Perlihatkan bahwa sentral dari suatu gelanggang adalah subgelanggang. Sentral dari suatu gelanggang R didefinisikan sebagai C = {a ∈ R ; ax = xa untuk semua x ∈ R} Perhatikan bahwa 0



∈ C, karena untuk semua x



diperhatikan sebarang dua unsur a,b



∈ R berlaku 0x = x0 = 0. Bila



∈ C, maka untuk semua x



∈ R diperoleh ax = xa,



bx = xb. Akibatnya 



ax = xa bx = xb



–



ax – bx = xa – xb (a – b)x = x(a – b) 



ax = xa bx = xb



×



ax × bx = xa × xb (ab)x2



= x2(ab)



Sehingga bila a,b ∈ C maka a – b ∈ C dan juga ab ∈ C. Jadi teorema 13.1.2 sentral dari suatu gelanggang adalah suatu subgelanggang. Tidak selamanya dalam suatu gelanggang, unsur kesatuan dari suatu subgelanggang sama mungkin saja berbeda dengan unsur kesatuan dari gelanggangnya tersebut. sebagai contoh perhatikan contoh 3 berikut ini. Contoh 3: Gelanggang himpunan kuasa P(A) = { ∅ ,{1},{2},A} dari himpunan A = {1,2} dengan operasi penjumlahan didefinisikan sebagai. X + Y = (X ∪ Y)\(X ∩ Y) Dari operasi perkalian didefinikan sebagai. X . Y = (X ∩ Y) Untuk semua X,Y sebagai berikut.



∈ P(A). Table Cayley dari masing-masing operasi biner ini adalah



Table Cayley +



∅∅



∅



∅



{1}



{2}



A



{1}



{1}



∅



A



{2}



{2}



{2}



A



∅



{1}



A



A



{2}



{1}



∅



{1} {1} {2} {2}



AA



• ∅



∅



∅



∅



∅



{1}



∅



{1}



∅



{1}



{2}



∅



∅



{2}



{2}



A



∅



{1}



{2}



A



Dari kedua table tersebut dapat dilihat bahwa P(A) adalah suatu gelanggang dengan unsur kesatuan A. Perhatikan himpunan S = { ∅ ,{1}}. S adalah subgelanggang dari P(A), tetapi unsur kesatuan dari S adalah {1} ≠ A. Demikian juga bila himpuann bagian S 1 = { ∅ ,{2}}, maka S1 adalah suatu subgelanggang dari P(A) dengan unsur kesatuan {2} ≠ A. B. IDEAL DARI SUATU RING Definisi 2: Suatu subgelanggang N dari suatu gelanggang R, dikatakan ideal kiri dari R jika untuk setiap r



∈ R dan setiap n



∈ N, berlaku rn



∈



R. Sebaliknya, subgelanggang N dari



gelanggang R dikatakan ideal kanan dari R jika untuk setiap r berlaku nr



∈



∈ R dan setiap n



∈



N,



N. Selanjutnya subgelanggang N dikatakan ideal dari R bila N adalah ideal



kiri dan sekaligus ideal kanan dari R, artinya untuk setiap r dan nr berdua berada di N.



∈



R dan setiap n



∈



N, rn



Secara umum di dalam suatu gelanggang, ideal kiri dan ideal kanan mungkin saja berbeda. Tetapi bila gelanggang R yang kita bicarakan adalah gelanggang komutatif, maka ideal kiri dan ideal kanan tidak mempunyai perbedaan sama sekali. Dari definisi 2 diatas, dapat dinyatakan bahwa suatu subgelanggang N dari gelanggang R adalah ideal kiri dari R jika untuk setiap r



∈ R berlaku rn



⊆



N. Sebaliknya, suatu subgelanggang N dari



gelanggang R dikatakan sebagai ideal kanan dari R jika nr ⊆ N untuk semua r ∈ R. Untuk memeriksa suatu gelanggang merupakan suatu ideal, caranya menggunakan teorema dibawah ini. Teorema 2: Andaikan Radalah suatu gelanggang. Suatu himpunan bagian tak kosong N dari R dikatakan ideal dari R jika N memenuhi : 1) Untuk setiap a , b ∈ N diperoleh a−b ∈ N 2) Untuk setiap n ∈ N dan setiap r ∈ R , rn dan nr berada di



N



Bukti : Andaikan N



adalah himpunan bagian tak kosong darigelanggang



R



yang memenuhi



aksioma (1) dan (2). Kita perlihatkan N adalah suatu ideal dari R. Menurut definisi 2, kita cukup memperlihatkan bahwa N adalah subgelanggang dari R. Karena N tak kosong, sedikitnya terdapat suatu x ∈ N . Dengan menggunakan aksioma (1) diperoleh fakta bahwa x−x=0 ∈ N . Selanjutnya dari aksioma (2) kita ketahui bahwa untuk setiap x , y ∈ N diperoleh xy ∈ N . Akibatnya N adalah suatu himpunan bagian dari R yang memenuhi aksioma



1.



0∈N



2. Untuk setiap



x , y ∈ N , x− y ∈ N



3. Untuk setiap



x , y ∈ N , xy ∈ N



N



Sehingga menurut teorema 2,



adalah subgelanggang dari R dan



N



adalah ideal dari



R .



Contoh 4:



{[ ]



N= a 0 : a ,b ∈ Z b 0



Tunjukkan bahwa Himpunan



R=



{[ ] x u



y : x , y,u,v ∈Z v



}



}



adalah ideal dari gelanggang



dengan operasi penjumlahan dan perkalian matriks.



Penyelesaian : Akan ditunjukkan bahwa Himpunan



R=



{[ ] x u



y : x , y,u,v ∈Z v



}



{[ ]



N= a 0 : a ,b ∈ Z b 0



}



adalah ideal dari gelanggang



dengan operasi penjumlahan dan perkalian matriks.



Pertama kita harus menunjukkan bahwa N adalah ideal kiri dari R. Dari teorema 13.2.2 dapat diperlihatkan N adalah ideal kiri dari R, karena



[ ]



0 0 ∈ N ,N ≠∅ . Untuk sebarang unsur 0 0



A 1=



[ ] a1 0 b1 0



dan



A 2=



[ ] a2 0 b2 0



di



N



,



diperoleh



[ ][ ][



A 1 − A 2=



Karena



a1 0 a 0 a −a 0 − 2 = 1 2 b1 0 b2 0 b1−b2 0



] [ ]



( a1 −a2 ) ; ( b1 −b2 ) ∈ Z , A1− A 2 ∈ N .Selanjutnya bila B= x y u v



unsur dari R,dan



[ ]



A= a 0 b 0



[ ][ ] [



adalah sebarang unsur di



]



BA= x y a 0 = xa+ yb 0 ∈ N u v b 0 ua+vb 0



N , maka



adalah sebarang



N



Terbukti bahwa



N



Selanjutnya akan dibuktikan bahwa Bila



[ ]



B= x u



y v



R .



adalah ideal kiri dari



adalah ideal kanan dari



[ ]



A= a 0 b 0



adalah sebarang unsur dari R,dan



R .



adalah sebarang unsur di



N , maka



[ ][ ] [



]



AB= a 0 x y = ax ay ∉ N b 0 u v bx bu N



sehingga



bukan ideal kanan dari N



Jadi dapat disimpulkan bahwa



R .



bukan ideal dari



R .



Contoh 5: Tunjukkan bahwa Himpunan



{[ ]



R= x u



y : x , y,u,v ∈Z v



}



N=



{[ ]



a b : a ,b ∈ Z 0 0



}



adalah ideal dari gelanggang



dengan operasi penjumlahan dan perkalian matriks.



Penyelesaian : Akan ditunjukkan bahwa Himpunan



{[ ]



R= x u



Karena N



y : x , y,u,v ∈Z v



}



{[ ]



N= a b : a ,b ∈ Z 0 0



0 0 ∈ N , N ≠ ∅ . Untuk sebarang unsur 0 0



, diperoleh



[



][



adalah ideal dari gelanggang



dengan operasi penjumlahan dan perkalian matriks.



[ ]



A 1 − A 2=



}



][



a 1 b1 a b a −a b −b − 2 2= 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0



]



A 1=



[ ] a1 b 1 0 0



dan



A 2=



[



a2 b 2 0 0



]



di



a −a ; b −b ∈ Z , A1− A 2 ∈ N Karena ( 1 2 ) ( 1 2 ) .Selanjutnya akan ditunjukkan



R



kanan dari



.Bila



sebarang unsur di



[ ]



B= x y u v



adalah sebarang unsur dari R,dan



N



adalah ideal



[ ]



A= a b 0 0



adalah



N , maka



[ ][ ] [



]



AB= a b x y = ax+ bu ay+ bv ∈ N 0 0 u v 0 0 Selanjutnya bahwa



N



adalah ideal kanan dari



Selanjutnya akan dibuktikan bahwa Bila



B=



[ ] x u



y v



N



R .



adalah ideal kanan dari



adalah sebarang unsur dari R,dan



A=



N , maka,



[ ][ ] [



BA= x u



sehingga



]



y a b = xa xb ∉ N v 0 0 ua ub



N



bukan ideal kiri dari



Jadi dapat disimpulkan bahwa



N



R . bukan ideal dari



Contoh 6: Himpunan N=



{[ ]



a c : a , b , c , d ∈2 Z b d



}



adalah ideal dari gelanggang R=



{[ ] x u



y : x , y ,u , v ∈ Z v



}



Dengan operasi penjumlahan dan perkalian matriks.



R .



[ ] a b 0 0



R . adalah sebarang unsur di



[ ] a1 c 1 b1 d 1



Perhatikan bahwa untuk sebarang dua unsur A1 =



dan A2 =



[ ] a2 c 2 b2 d 2



di N,



maka :



[ ]



[ ] [



a1 c 1 −¿ b1 d 1



A1 – A2 =



a2 c 2 b2 d 2



=



a1−a 2 c 1−c 2 b1−b 2 d 1−d 2



]



Karena (a1 – a2), (b1 - b2), (c1 – c2), (d1 – d2) ∈ 2Z, maka A1 – A2 ∈ N



[ ]



a c ∈ N dan sebarang b d



Selanjutnya untuk sebarang



[ ][ ] [ a c + x y b d u v



=



ax +cu ay +cv bx+ du by +dv



[ ] x u



y v



∈ R, maka



]



Karena (ax + cu), (ay + cv), (bx + du), (by + dv) ∈2 Z , maka



[ ][ ]



a c x y ∈N, b d u v



Hal ini berarti bahwa N adalah ideal kanan dari R. Dengan cara yang serupa dapat diperlihatkan bahwa



[ ][ ] x u



y a c v b d



∈N



Yaitu N adalah ideal kiri dari R.Sehingga kita dapat menyatakan bahwa N adalah suatu ideal dari R. Teorema 3: Andaikan a adalah suatu unsur di dalam gelanggang komutatif R. Himpunan N =



{ ra :r ∈ R } adalah suatu ideal dari R. Selanjutnya, bila M adalah suatu ideal yang memuat unsur a, maka N ⊆ M. Bukti: Karena 0a = 0, maka 0



∈N



sehingga N



≠ 0.



∈ N , diperoleh r a – r a = (r – r )a. Karena r , r 1 2 1 2 1 2



Untuk sebarang dua unsur r1a, r2a ∈ R , maka r – r 1 2



∈ R . Hal ini



∈N .



berakibat r1a – r2a = (r1 – r2)a sebarang ra



∈ N .Karena x



∈R



Selanjutnya, pandang sebarang unsur x dan r



∈ R , maka xr



∈R



∈R



dan



sehingga x (ra) = (xr)a



∈ N . Jadi N adalah suatu ideal kiri dari N. Karena R adalah suatu gelanggang komutatif, maka N juga merupakan ideal kanan dari R. Jadi, N adalah suatu ideal dari R. Selanjutnya, kita perlihatkan bahwa N adalah ideal terkecil yang mengandung unsur a. ∈ M . Kita perlihatkan bahwa N



Andaikan M adalah sebarang ideal dari R dengan a M. Untuk itu ambil sebarang ra ideal dari R, maka ra ∈ M



∈ N . Karena r



∈R



dan a



∈M



⊆



dan M adalah suatu



sehingga N ⊆ M.



Definisi 3: Ideal N yang didefinisikan pada Teorema 13.2.6 disebut sebagai ideal prinsipal yang dibangun oleh unsur a.Suatu gelanggang demikian sehingga semua idealnya adalah ideal prinsipal disebut sebagai gelanggang ideal prinsipal. Contoh 7: Perhatikan gelanggang Z4.Ideal dari Z4 adalah N1 = {0} = {r.0 : r ∈ Z4



} dan N4 = {r.1 : r



∈ Z4



∈ Z4



}, N2 = {r.2 : r



}, maka Z4 adalah gelanggang ideal prinsipal.



Contoh 8: Ideal dari gelanggang himpunan kuasa dari himpunan A = {1,2}, P(A) = { ∅



, {1},{2}, A}, adalah No = { ∅ }, N1 = { ∅ , {1}}, N2 = { ∅ ,



{2}} dan P(A). Karena No = {x ∩∅ : x ϵ



P(A)}



N1 = {x ∩{1 } : x ϵ P(A)} N2 = {x ∩{2 } : x ϵ P(A) = {x ∩ A : x ϵ



P(A)} dan P(A)}



N0 , N1 , N 2 dan P(A) adalah ideal prinsipal dari P(A). Akibatnya P(A) adalah gelanggang ideal prinsipal. Defenisi 4: ∈



Suatu ideal sejati N dari gelanggang R dikatakan ideal prima jika untuk semua x, y dengan xy



∈ N, maka x



∈



N atau y



∈



R



N. Selanjutnya suatu ideal sejati N dari R



dikatakan ideal maksimal dari gelanggang R, Bila untuk setiap ideal M di R berlaku hubungan M ⊆ N ⊂ R.



Contoh 9: Dalam gelanggang bilangan bulat Z, maka ideal pZ adalah prima. Perhatikan semua x,y ∈ Z dengan x y ∈



pZ hal berakibat xy x= kp. Tetapi tidak berarti p membag ini berarti



p membagi x atau p membagi y. Dengan perkatan lain, x ∈ pZ atau



y∈



pZ.



Contoh 10: Perhatikan gelanggang bilangan bulat modulo 12 Z12. Semua ideal sejati dari Z12 adalah {0,2,4,6,8,10}, {0,3,6,9}, {0,4,8} dan {0,6}. Sehingga masing-masing adalah ideal maksimal dari Z12. Ideal N = {0,2,4,6,8,10} adalah suatu ideal prima. Karena untuk setiap x,y



∈ Z dengan xy 12



∈ N, maka x



∈ N atau y



∈ N.



Demikian juga ideal N1 = {0,3,6,9} adalah ideal prima. Tetapi ideal N 3 = {0,4,8} dan ideal N4 = {0,6} bukan suatu ideal prima, karena 2.2 = 4



∈ N tetapi 2 ∉ N , dan 2.3 = 6 3 3



∈



N4 tetapi 2 ∉ N4 dan 3 ∉ N4.



Teorema 4: Andaikan R adalah suatu gelanggang dengan unsur kesatuan 1. Jika N adalah suatu ideal dari R yang mengandung unsur satuan, maka N = R Bukti:



Misalkan a ∈ N adalaah suatu gelanggang dengan unsur satuan. Maka a-1 ∈ R. Karena N adalah suatu ideal, maka a-1.a = 1



∈ N. Hal ini berakibat bahwa untuk setiap r



∈ R,



maka r = r . 1 ∈ N. Jadi N = R.



Sebagai akibat langsung dari teorema 4 dapat diperoleh hasil sebagai berikut. Teorema 5: Jika R adalah suatu lapangan, maka F tidak mempunyai ideal sejati. Bukti: Andaikan N adalah sebarang ideal dari lapangan F. Jika N = {0}, maka N adalah ideal tak sejati dari F. Selanjutnya misalkan N ≠ {0}. Karena F suatu lapangan, setiap n dengan



∈



N



n ≠ 0 adalah suatu unsur satuan. Teorema 4 mengatakan N = F. Sehingga F tidak



mempunyai ideal sejati.