Teorema Sisa Dan Teorema Faktor [PDF]

Citation preview

1. MATERI D. TEOREMA SISA DAN TEOREMA FAKTOR 1. TEOREMA SISA Polinomial (suku banyak) dalam variabel x , yaitu Px  , dapat juga dipandang sebagai fungsi dalam x , yaitu f x  . Dalam pembahasan selanjutnya, notasi f x  juga akan digunakan untuk mewakili polinomial. 1) Pembagian oleh x  k  Teorema Jika polinomial f x  berderajat n dibagi dengan



S  f k  . Bukti: f x   x  k H x   S



x  k  ,



maka sisanya



Untuk x  k  0 x  k  f k   k  k H k   S



f k   0  S



f k   S



(Terbukti)



Jadi, suatu polinomial f x  habis dibagi oleh x  k  jika f k   0 . 2) Pembagian oleh ax  b  Teorema Jika polinomial f x  berderajat n dibagi dengan ax  b  , maka sisanya b S  f  . a Bukti :



 H x   f x   ax  b    S ............. (i)  a  b Untuk ax  b  0  x  a b Subtitusikan nilai x  ke persamaan (i) sehingga diperoleh a



 b  H     a   b  b f     a   b  S a  a  a     



b H  a b f    b  b      S a a b H  a b f    0    S a a b f   0S a b (Terbukti) f S a



3) Pembagian oleh x  a x  b



Pembagian polinomial f x  oleh x  a x  b dengan hasil baginya H x  dan sisanya S x  , dapat ditulis sebagai berikut.



f x   x  a x  bH x   S x 



Karena pembagi berderajat dua maka S x  setinggi-tingginya berderajat satu. Misalnya S  px  q maka pembagianya dapat dituliskan sebagai berikut.



f x   x  a x  bH x    px  q 



2. TEOREMA FAKTOR Diberikan suatu polinomial f x  . Untuk nilai f k   0 berarti f x  bersisa 0 atau tidak bersisa jika dibagi oleh x  k  . Akibatnya, x  k  adalah faktor dari



f x  . Teorema x  k  merupakan faktor dari polinomial f x  jika dan hanya jika f k   0 . Bukti: Menurut teorema sisa, polinomial f x  dibagi x  k  sisanya f k  sehingga persamaan dasarnya sebagai berikut. f x   x  k H x   f k  (i) Dari persamaan di atas jika f k   0 maka f x   x  k H x . Ini artinya x  k  merupakan faktor dari f x  .



(ii) Jika x  k  merupakan faktor dari f x  maka:



f x   x  k H x  untuk sembarang x



Untuk x  k  f k   k  k H x   0 .



f k   0  H x  f k   0



Dari (i) dan (ii) diperoleh f k   0 jika dan hanya jika x  k  merupakan faktor dari f x  . Jadi, pembagian polinomial oleh salah satu faktornya menghasilkan sisa pembagian bernilai nol.



2. LATIHAN Kerjakan Soal-Soal Berikut. 1. Tentukan sisa pembagian: a. f x   2 x 3  x 2  7 x  5 oleh 2 x  5 b.



f x   2 x 4  3x 3  4 x 2  x  2 oleh x  3



c.



p y   y 6  4 oleh y 2  2











2. Jika suku banyak f x   2 x 4  3x 3  ax 2  2a  3x  8 dibagi x  1 bersisa 10, maka tentukan nilai a . 3. Suku banyak f x  jika dibagi x  2 sisanya adalah 5 dan jika f x  dibagi x  1











sisanya adalah 4. Tentukan sisa pembagian f x  oleh x 2  3x  2 .











4. Suku banyak px  jika dibagi x 2  x  2 sisanya 5 x  7  dan jika dibagi x  2











sisanya −13. Tentukan sisa pembagian suku banyak px  oleh x 2  4 .



5. Suku banyak f x  jika dibagi x  1 bersisa 8 dan jika dibagi Suku banyak g x  jika dibagi x  1 bersisa −9 dan jika dibagi



x  3 bersisa 4. x  3 bersisa 15.











Jika hx   f x   g x  , maka tentukan sisa pembagian hx  oleh x 2  2 x  3 . 6. Suku banyak berderajat 3, jika dibagi



x







x



2







 x  2 bersisa 2 x  1 , jika dibagi



 2 x  3 bersisa 3x  6 . Tentukan suku banyak tersebut. 7. Tunjukkan bahwa: a. x  2 merupakan faktor dari f x   x 3  3x 2  4 x  4 2



2 x  1 merupakan faktor dari f x  2x 4  x 3  2x 2  3x  1 Jika x  2 merupakan faktor dari f x   x 3  2 x 2  a  3x  a  6 , maka tentukan b.



8.



nilai a .











9. Jika x 2  x  2 merupakan faktor dari f x   ax 3  2 x 2  bx  6a , maka tentukan nilai a dan b . 10. Diketahui x  2 merupakan faktor dari f x   x 3  4 x 2  x  6 . Tentukan faktor linier lainnya. 11. Suku banyak berderajat x 9  x difaktorkan menjadi suku banyak dengan derajat sekecil-kecilnya dan koefisiennya bilangan bulat. Tentukan : a. banyak faktor tersebut b. faktor liniernya.







