Titik Berat Dan Momen Inersia [PDF]

Citation preview

MEKANIKA REKAYASA JTS FT UNESA



3.1



MOMEN, KOPEL, TITIK BERAT DAN MOMEN INERSIA



TITIK BERAT Titik berat merupakan letak titik keseimbangan sebuah materi. Ada bebrapa titik letak titik berat yang akan dibahas dalam bab ini, antara lain: 1. Titik berat garis. Titik berat garis terletak ditengah-tengah garis tersebut, sebagai pengganti gaya berat garis materi. ½ .L



½ .L



G=L Gambar 3.9. Letak titik berat garis. Dalil momen Varignon (garis berat garis): n



Xo =



Li.Xi dan Yo = Lt



∑ i =1



n



∑ i =1



Li.Yi Lt



2. Titik berat bangun bidang datar. Titik berat bangun bidang datar belum tentu terletak ditengah-tengah bangun tersebut, tetapi bergantung dari bentuk bangun tersebut. Dalil momen Varignon (garis berat garis): n



Xo =



Fi.Xi dan Yo = ∑ Ft i =1



n



Fi.Yi dan Zo = ∑ Ft i =1



n



Fi.Zi Ft



∑ i =1



Dimana: Fi = luas bangun I, Xi, Yi, Zi = titik berat bangun I, Ft = luas total bangun bidang datar.



Gambar 3.10. Beberapa letak titik berat bangun bidang datar. Contoh:



Pengajar: Suprapto, S.Pd., MT.



9



MEKANIKA REKAYASA JTS FT UNESA



MOMEN, KOPEL, TITIK BERAT DAN MOMEN INERSIA



Diketahui bangun seperti di bawah ini, hitung letak titik berat bangun datar tersebut cara analitis.



Gambar 3.11. Perhitungan ditabelkan, sebagai berikut: Tabel 3.1. Perhitungan titik berat bangun Bagian A B C Σ



Luas (m2) 40 36 120 196



Xi (m) 5 1,5 10



Yi (m) 20 12 3



Fi.Xi



Fi.Xi



200 54 1200 1454



800 423 360 1592



Maka: n



Xo =



∑ i =1



n



Yo = ∑ i =1



Fi.Xi 1454 = = 7,42 cm Ft 196



Fi.Yi 1592 = = 8,12 cm Ft 196



Gambar 3.12. Letak garis berat bangun



Pengajar: Suprapto, S.Pd., MT.



10



MEKANIKA REKAYASA JTS FT UNESA



MOMEN, KOPEL, TITIK BERAT DAN MOMEN INERSIA



Bila dalam bangun terdapat lubang maka perhitungan harus memperhitungkan adanya lubang, seperti perumusan sebagai berikut: ΣF = Ft – Flubang ΣFi.Xi = Fi.Xi – (Filubang – Xlubang) ΣFi.Yi = Fi.Yi – (Filubang – Ylubang)



3.2



MOMEN INERSIA Momen inersia atau momen kelembaman (I) dapat dihitung dengan integrasi dA. Momen inersia untuk rumus lenturan harus dihitung terhadap sumbu/garis netral daerah irisan penampang lihat gambar 3.13.



Gambar 3.13. Ilustrasi statis momen sebuah elemen. Tabel 4.2. Rumus umum yang berkaitan dengan momen inersia Luas Momen statis



A=



∫dA



A



S x = ∫y.dA A



S y = ∫x.dA A



Jarak titik berat



x=



Momen inersia (pribadi)



Ixo = ∫y .dA



y



S y /A = S x /A 2



A



2



Iyo = ∫x .dA A



Momen sentrifugal



Ixo.yo = ∫x . y . dA A



Pengajar: Suprapto, S.Pd., MT.



11



MEKANIKA REKAYASA JTS FT UNESA



MOMEN, KOPEL, TITIK BERAT DAN MOMEN INERSIA



Momen inersia polair



Ip =



∫r



2



.dA



A



= Ixo + Iyo Jari-jari inersia



Ix = Iy =



Ixo A Iyo A Ip A



Jari-jari inersia kutub



Ip =



Momen lawan



ω1 = Ixo/y1 ω2 = Ixo/y2



Keseimbangan pergeseran sumbusumbu



Ix = Ixo + Ay2 Iy = Iyo + Ax2 Ixy = Ixoyo + A. x . y



Ix dapat dihitung dari Gambar 3.13. Momen inersia Ixo terhadap sumbu horisontal Xo yang melalui titik beratnya yaitu: 2



Ixo = ∫y .dA , dimana y diukur dari sumbu titik berat, sedang momen terhadap A



sumbu X adalah: Ix = ∫ ( y + y ) , dengan mengkwadratkan besaran-besaran didalam tanda kurung 2



A



dan menempatkan konstanta-konstanta keluar dari integral, maka akan didapat persamaan berikut:



(



)



2



2 Ix = ∫ y + 2 y.y + y dA , A



2



2 = ∫ y dA + 2 y ∫ y.y.dA +∫ y dA A



A



A



2



2 = ∫ y dA + 2 y ∫ y.dA + y ∫ dA A



A



A



2 Ix = Ixo + 2 y ∫ ydA + y . A , A



Karena sumbu



y



diukur melalui titik berat dari daerah luas, maka



∫ydA atau



y



A



sama dengan nol, jadi: Ix = Ixo + 0 + y2A = Ixo + y2A. Contoh 1:



Pengajar: Suprapto, S.Pd., MT.



12



MEKANIKA REKAYASA JTS FT UNESA



MOMEN, KOPEL, TITIK BERAT DAN MOMEN INERSIA



Diketahui penampang seperti di bawah ini, hitung momen inersianya!



Gambar 3.14.



Penyelesaian: Ix = Ixo + y2A  y = 0 (tidak jarak tehradap sumbu y = Ixo + 0 = h/2



=



∫y



2



∫y



2



A



.dA  dA = b. d y



.b.y



−h / 2



h/2



Ix = b



∫



h/2



2



y .b.y =b. 13 .y 3



−h / 2



= b. 13 .( h / 2) 3 − b. 13 .( −h / 2) 3 h/2



Ix = b.1/3.1/8.h3+b.1/3.1/8.h3=2/24.b.h3=1/12.b.h.h3 ϖx =



Ix Ix 2.Ix 2. 112 .b.h 3 = = = = 1 6 .b.h 2 h y h h 2



ix =



Ix = A



.b.h = b.h



1 12



1 .h 2 = 0,289h 12



Untuk beberapa penampang nilai-nilai momen inersia telah ditabelkan, lihat buku:



Pengajar: Suprapto, S.Pd., MT.



13



MEKANIKA REKAYASA JTS FT UNESA



MOMEN, KOPEL, TITIK BERAT DAN MOMEN INERSIA



Ir. Sunggono.1984. Buku Teknik Sipil. Bandung: Nova, atau lampiran dalam buku ini. Contoh 2: Diketahui penampang seperti di bawah ini, hitung besaran-besaran inersianya!



Gambar 3.15. Letak titik berat terhadap sumbu X (momen statis terhadap dasar penampang). Y



=



32.2.35 + 3.30.19 + 40.4.2 = 13,60 cm 32.2 + 3.30 + 40.4



Pengajar: Suprapto, S.Pd., MT.



14