![TR 3 Agung Karyadi (4171111003) [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/tr-3-agung-karyadi-4171111003.jpg)
7 0 303 KB
Nama : Agung Karyadi NIM : 4171111003 Kelas : PSPM A 2017 Mata kuliah: Stuktur Aljabar
TUGAS DARING – 3
LATIHAN II-3 2. Jika diketahui (
( )
); merupakan
(
permutasi
);
dalam
tentukanlah
penggandaan permutasi berikut : a.
b.
c.
f.
g.
h. |
d. |
e.
i. |
|
j. |
|
Penyelesaian : =(
a.
b.
)=(
)(
)
)
=( ( =(
c.
)(
(
)
)(
)=(
)
)(
)=(
)
= ( =(
d.
)(
)
(
)
=
dimana =(
=(
) maka )(
=(
) )=(
)
e.
= (
)(
)
(
)
f. (
Dimana
)
merupakan identitas pangkat dari merupakan KPK dari panjang cycles di
yaitu 6 adalah panjang cycles yang . Oleh karena itu semua kelipatan
juga merupakan identitas. Dengan demikian (
=(
=e
)
Dengan )(
=( (
)
(
)
(
)
)
(
(
)
)
g. merupakan identitas karena pangkat dari
yaitu 2 adalah panjang
cycle yang merupakan KPK dan panjang-panjang cycles di semua kelipatan
juga merupakn identitas. Dengan demikian
=e Maka
= (
h. |
)
| (
Cycles dari
) 1
. Oleh karena itu =
Jadi cycles dari order dari
adalah (1,2,3,4,5,6) dengan panjang cycles 6. Dengan demikian
adalah 6 karena 6 merupakan panjang cycles yang merupakan KPK
dari cycles di , jadi | i. |
|=6
| (
)
Cycles dari
atau (1,2,4,3) panjang 4 atau (5,6) panjang 2
Jadi cycles dari
adalah (1,2,3,4) (5,6). Dengan demikian order dari
adalah 4
karena 4 merupakan panjang cycles yang merupakan KPK dari cycles di , jadi |
| = 4.
j. |
| =(
)(
Cycles dari :
)=(
)
atau (1,4) panjang 2 atau (2,3) panjang 2 atau (5) panjang 1 atau (6) panjang 1
Jadi cycles dari
adalah (1,4) (2,3) (5) (6). Dengan demikian order dari
adalah 2 karena 2 merupakan panjang cycles yang merupakan KPK dari cycles , jadi |
di
|
2.
3. dalam tabel Cayley hasil penggandaan dari unsur-unsur sebelumnya kita menggunakan Tunjukkan bahwa unsur-unsur dengan
=
=(
) (
untuk unsur-unsur dapat dinotasikan sebagai berikut : dan
Penyelesaian :
)
pada halaman yang .
=(
)( (
=
(
)
)
(
)
)
=(
)
)(
=(
)(
)
(
Dengan demikian terbukti unsur-unsur
)
dapat dinotasikan sebagai berikut :
dengan
;
;
;
.
4. Misalkan ( a.
. Suatu pemetaan
)
(
dan
bijektif jika hanya jika
b. Invers dari
dikatakan invers dari
)
Tunjukkan bahwa :
mempunyai invers.
adalah tunggal.
Penyelesaian : a.
bijektif jika hanya jika
mempunyai invers
ada 2 arah : (i)
bijektif
mempunyai invers
mempunyai invers Bukti (i) : (A) = B, Karena
bijektif
bijketif mempunyai invers
bijektif artinya
injektif dan surjektif (
(
karena
)
( Dari (1) dan (2) diperoleh Maka terbukti Bukti (ii):
mempunyai invers.
mempunyai invers
mempunyai invers artinya :
Dari
(
)
diperoleh
bijketif (
)
(
) (
) =
jika
Dari
(
)
(
diperoleh
Dari (1) dan (2) diperoleh
)
surjektif :
x=y
defenisi fungsi ,
(
)
(
)
x=y (
) (
Maka terbukti Karena
( )
) (
)
injektif .
memenuhi injektif dan surjektif maka
(i) dan (ii) terbukti bahwa
merupakan bijektif. Dari bukti
bijektif jika dan hanya jika
mempunyai invers.
LATIHAN II-4
Nomer 1 s/d 4 menentukan semua orbit dari permutasi yang diberikan :
(
1.
)
Penyelesaian :
{
{
Diperoleh
{ 2,6,3}
{ }
Maka semua orbit
2.
(
}
|
{
|
}
} { 2,6,3} { }
adalah {
)
}
Penyelesaian :
{
{ }
{
}
}
Maka semua orbit
adalah {
}{ }{
(
3.
}.
)
Penyelesain :
{
{ }
{
}
}
Maka semua orbit
4.
adalah {
}{ }{
}
dengan
Penyelesaian : Semua orbit
Nomer 7 s/d 8 menghitung hasil penggandaan dari cycle-cycle dalam
7. (1,4,5) (7,8) (2,5,7) Penyelesaian : (1,4,5) = (
)
(7,8) = (
)
(2,5,7) = (
)
Dapat diperiksa bahwa penggandaan dari (1,4,5) (7,8) (2,5,7) akan menghasilkan (
8. (1,3,2,7) (4,8,6) Penyeleaian :
)
(1,3,2,7) = (
)
(4,8,6) = (
)
Dapat diperiksa bahwa penggandaan dari (1,3,2,7) (4,8,6) akan menghasilkan (
)
(
10.
)
Penyelesaian :
Permutasi tersebut merupakan penggandaan dari disjoint cycle yaitu : (1,8)(3,6,4)(5,7) karena (1,8)(3,6,4)(5,7) = (
)
Permutasi tersebut merupakan penggandaan dari transposisi yaitu : (1,8)(3,6,4)(5,7) = (1,8)(3,4)(3,6)(5,7) =(
)( (
)(
=(
)
)=
(
12.
)
)
Penyelesaian : Permutasi tersebut merupakan penggandaan dari disjoint cycle yaitu : (1,3,4,7,8,6,5,2) karena (1,3,4,7,8,6,5,2) = (
13. Misalkan G suatu grup dan a dengan
= ag,
)
G. Buktikan bahwa pemetaan
merupakan permutasi pada himpunan G.
Pembuktian : Akan ditunjukkan
( surjektif dan injektif)
Fungsi Injektif Ambil sebarang a, b
dengan a
( terbukti )
b
Fungsi Surjektif Ambil sebarang a Pilih b
,g
karena a
maka
b
Sehingga
b =
b
= e. b =b Karena
(terbuukti)
terbukti bijektif, maka
merupakan permutasi pada himpunan.
14. Tentukanlah permutasi-permutasi dalam
yang merupakan alternatif grup.
Penyelesaian :
(
=(
)= (1,2,3,4,5,6,7,8)
=(
) = ( 1,3,5,7)(2,4,6,8)
=(
)
=(
) = (1,5) (2,6) (3,7) (4,8)
=(
) = (1,6,3,8,5,2,7,4)
=(
)
=(
) = (1,8,7,6,5,4,3,2)
Jadi, permutasi dalam
15. a
)
yang merupakan alternatif grup adalah
(grup) dengan identitas e, a mempunyai order r > 0 jika
bilangan positif terkecil. Tentukan order dari : a. cycle
(1,4,7,2,5,8,3,6)
= (1,4,5,7)
b.
= (4,5) (2,4,7)
c.
= (1,4)(3,5,7,8)
Penyelesaian :
dan
= e dan r =
a. cycle
= (1,4,5,7) (
);
(
)
(
);
(
)
(
)
Karena
b.
maka order dari
adalah 4.
= (4,5) (2,4,7) =(
Karena
c.
) (
)
(
)
(
)
(
)
maka order dari
adalah 6.
= (1,4)(3,5,7,8) (
) (
Karena
) maka order dari
adalah 4.
(
)
(
)
