Transformasi Fourier [PDF]

Citation preview

Fourier Transform • • • • • •



Konsep Analisis Fourier Deret Fourier Transformasi Fourier Transformasi Fourier Diskrit Sifat-sifat Transformasi Fourier Fast Fourier Transform



Transformasi Fourier merupakan satu tool untuk mendekomposisi suatu bentuk gelombang (fungsi atau sinyal) menjadi bentuk lain yang di cirikan oleh fungsi sinus dan cosinus. Transformasi Fourier memperlihatkan bahwa sinyal / fungsi sembarang apapun dapat disusun sebagai penjumlahan dari fungsi-fungsi sinusoida.



Mengapa Teori Fourier itu Penting? •



Transformasi Fourier dapat memetakan a time-domain signal menjadi a frequency domain signal



•



Interpretasi kandungan frekuensi dari sinyal dalam domain frekuensi menjadi sederhana



•



Kita bisa mendesain suatu system untuk melakukan filter komponen high atau low frequency. Kita juga bisa menganalisa suatu sistem dalam domain frekuensi.



•



Invariant to high frequency signals TG-4112



5/16



sin(x) dan sin(3x)



(4/pi)*(sin(x)/1 + sin(3x)/3) 1.5



1



0.8



1 0.6



0.4



0.5



sin(x)



sin(x)



0.2



0



0



-0.2



-0.5 -0.4



-0.6



-1 -0.8



-1 -8



-6



-4



-2



0 x



2



4



6



8



-1.5 -8



-6



-4



-2



0 x



2



4



6



8



Fourier Transform • Fourier transform is one of the specific forms of Fourier analysis. • it transforms one function into another, which is called the frequency domain representation of the original function (where the original function is often a function in the time-domain or space-domain). •



Frequency domain is a term used to describe the analysis of mathematical functions or signals with respect to frequency



Fourier Transform • Fourier theory : – any signal, can be expressed as a sum of a series of sinusoids at different frequency – Fourier transform encodes not just a single sinusoid, but a whole series of sinusoids through a range of spatial or temporal frequencies from zero up to the "nyquist frequency"



Fourier Transform • Fourier series decomposes a periodic function into a sum of simple oscillating functions, namely sines and cosines. • Fourier series were introduced by Joseph Fourier (1768– 1830) for the purpose of solving the heat equation in a metal plate. • The frequency domain relates to the Fourier transform or Fourier series by decomposing a function into an infinite or finite number of frequencies. This is based on the concept of Fourier series that any waveform can be expressed as a sum of sinusoids



Transformasi Fourier • Transformasi fourier adalah suatu proses menyusun kembali / menguraikan suatu bentuk gelombang (fungsi) sembarang ke dalam fungsi sinusoidal dengan frekuensi bervariasi dimana hasil penjumlahan fungsi-fungsi sinus tersebut adalah bentuk fungsi aslinya. • Untuk kepentingan analisa, amplitudo fungsi-fungsi sinusoidal tersebut ditampilkan sebagai fungsi dari masing-masing frekuensinya. Tampilan ini disebut sebagai spektrum frekuensi.



Deret Fourier • Deret Fourier untuk sinyal periodik kontinu. • Deret Fourier untuk sinyal periodik diskrit.



Integral Fourier / Transformasi Fourier • Deret Fourier untuk sinyal periodik /non-periodik kontinu. • Deret Fourier untuk sinyal periodik /non periodik diskrit.



Representasi deret Fourier untuk sinyal periodik waktu kontinu



Representasi deret Fourier pada sinyal periodik waktu kontinu



3



3



3



3



2



2



2



2



1



1



1



1



0



0



0



0



-1



-1



-1



-1



-2



-2



-2



-2



-3 -3



-2



-1



0 x0(t) = 1



1



2



3



-3 -3



-2



-1 0 1 x1(t)= (1/2) cos(2*pi*t)



2



3



-3 -3



3



3



3



2



2



2



1



1



1



0



0



0



-1



-1



-1



-2



-2



-2



-3 -3



-3 -3



-2



-1



0 x0(t) + x1(t)



1



2



3



-2



-1 0 1 x0(t)+x1(t)+x2(t)



2



3



-3 -3



-2



-1 0 1 x2(t)= cos(4*pi*t)



2



3



-2



-1 0 1 x0(t)+x1(t)+x2(t)+x3(t)



2



3



-3 -3



-2



-1 0 1 x3(t)= (2/3)*cos(6*pi*t)



2



Sinyal x(t) sebagai kombinasi linier dari sinyal-sinyal sinusoida yang dihubungkan secara harmonik



3



Deret Fourier • Misalkan f(x) adalah suatu fungsi periodik dengan perioda 2π. Fungsi ini bisa didekati menggunakan deret Fourier.



• Kita perlu mencari nilai dari semua koefisien Fourier (a0, an dan bn) untuk memperoleh pendekatan dari fungsi f(x). Ada tiga tahap yang harus dilakukan yaitu.



• Semua integral hanya pada satu interval x sepanjang 2π.



Deret Fourier



Deret Fourier



Deret Fourier (Eksponensial Kompleks))



Deret Fourier (Eksponensial Kompleks))



Deret Fourier (Eksponensial Kompleks))



Deret Fourier (Eksponensial Kompleks))



Deret Fourier (Eksponensial Kompleks))



Deret Fourier (Eksponensial Kompleks))



Deret Fourier (Eksponensial Kompleks))



Deret Fourier



Contoh • Fungsi f(x) adalah suatu fungsi dengan perioda 2π.



• a. Gambarkan sketsa dari fungsi ini pada interval -2π < x < 2π • b. Tunjukkanlah bahwa Deret Fourier untuk fungsi f(x) pada interval • –π < x < π adalah :



Solusi • Fungsi f(x) adalah suatu fungsi dengan perioda 2π.



• a. Gambarkan sketsa dari fungsi ini pada interval -2π < x < 2π



Solusi • b. Deret Fourier dari f(x) adalah



Solusi • b. Deret Fourier dari f(x) adalah



Solusi • b. Deret Fourier dari f(x) adalah



Solusi • Deret Fourier dari f(x) adalah • Dari ketiga step di atas diperoleh :



• Substitusikan nilai koefisien ini ke dalam persamaan deret Fourier :



Contoh



Penjumlahan 3 suku deret Exact Function’,’ Fourier Approximation



1



0.8



0.6



0.4



0.2



0



-0.2 -4



-3



-2



-1



0



1



2



3



4



Penjumlahan 5 suku deret Exact Function’,’ Fourier Approximation



1



0.8



0.6



0.4



0.2



0



-0.2 -4



-3



-2



-1



0



1



2



3



4



Penjumlahan 15 suku deret Exact Function’,’ Fourier Approximation



1



0.8



0.6



0.4



0.2



0



-0.2 -4



-3



-2



-1



0



1



2



3



4



Penjumlahan 35 suku deret Exact Function’,’ Fourier Approximation



1



0.8



0.6



0.4



0.2



0



-0.2 -4



-3



-2



-1



0



1



2



3



4



Penjumlahan 135 suku deret Exact Function’,’ Fourier Approximation



1



0.8



0.6



0.4



0.2



0



-0.2 -4



-3



-2



-1



0



1



2



3



4



Generating a Square Wave... 1.5 0



-1.5



0



5 cycle per second square wave.



1.0



Generating a Square Wave... 1.5 1 vp 5 Hz



0



-1.5



0



1.0



0



1.0



1.5 1/3 vp 15 Hz



0



-1.5



Generating a Square Wave... 1.5 5 Hz + 15 Hz



0



-1.5



0



1.0



0



1.0



1.5 1/5 vp 25 Hz



0



-1.5



Generating a Square Wave... 5 Hz + 15 Hz + 25 Hz



1.5 0



-1.5



0



1.0



0



1.0



1.5 1/7 vp 35 Hz



0



-1.5



Generating a Square Wave... 5 Hz + 15 Hz + 25 Hz + 35 Hz



1.5 0



-1.5



0



1.0



cos2*pi*5t - (1/3)cos2*pi*15t + (1/5)cos2*pi*25t - (1/7)cos2*pi*35t) 5 cycle per second square wave generated using 4 sinusoids



Generating a Square Wave... 1.5 0



-1.5



1.0



0



5 cycle per second square wave generated using 50 sinusoids.



FOURIER TRANSFORM (ANALOG / KONTINU) I. FOURIER SERIES (PERIODIC FUNCTION) Suatu fungsi periodik x(t) dengan perioda T



x (t ) =



∞



∑C



ne



i 2πn



t T



n = −∞



Disebut : Superposisi Osilasi Harmonik Kompleks



C



n



1 = T



T



∫



x (t )e



−i2πn



t T



dt



0



Koefisien Fourier Cn Koefisien Fourier kompleks dari x(t)



Jika x(t) diketahui, koefisien Cn dapat dihitung dengan integral meliputi seluruh periodanya. Sehingga batas integral dapat diambil dalam 0 sd T atau -1/2 T sd +1/2 T, dsb



Koefisien Fourier Kompleks Cn :



Cn



Complex Conjugate



Artinya :



- Komponen Real - Komponen Imajiner



e



in 2π



t T



−in2π



C-n or C*



sama sama tapi berlawanan tanda



t  t    = cos  2 n π  + i sin  2 n π  T T   t T



t t   = cos − 2nπ  + i sin − 2nπ  T T   t t   ............. = cos 2nπ  − i sin 2nπ  T T   e



Jadi koefisien Fourier Cn memiliki kompleks Conjugate C-n atau C* :



C



n



1 = T



T



∫



x (t )e



−i2πn



t T



dt



0



Conjugate



C



−n



1 = T



T



∫



x (t )e



+ i2πn



t T



dt



0



Jika Cn = C* atau Cn = C-n maka Cn disebut kompleks Conjugate



Superposisi Osilasi Harmonik Real x (t ) =



∞



∑



C ne



i2πn



t T



n = −∞



dimana



e



in 2 π



t T



t  t    = cos  2 n π  + i sin  2 n π  T  T   



Maka dapat ditulis dalam :



x (t ) = C 0 +



∞



∑ (C n =1



Catatan:



n



t  t    + C − n ) cos  2 π n  + i (C n − C − n )sin  2 π n  T  T   



t  t    C − n sin  − 2πn  = − C − n sin  2 nπ  T T    



Substitusi:



(C n + C − n )...dan ...i (C n − C − n )....... Re al



C n + C − n = a n ..., i (C n − C − n ) = bn ...dan .. 2C 0 = a 0



Untuk suatu fungsi periodik, superposisi osilasi harmonik real nya : ∞



∑



a x (t ) = 0 + 2 Dimana : an =



bn =



2 T 2 T



n =1



t   a n cos  2 π n  + T  



T



t    2π n  dt T  



∫ x ( t ) cos 0 T



0



e



in 2 π



t T



Cn



ImCn



n =1



n



t   sin  2 π n  T  



Koefisien Fourier Real x(t)



t  t    = cos  2 n π  + i sin  2 n π  T  T   



C n = Re C n + i Im C n



θn ReCn



∑b



t    2π n  dt T  



∫ x ( t ) sin



Im



∞



Re



C − n = Re C n − i Im C n



[



Amplitude/Absolute R n = C n = (Re C n )2 + (Im C n )2



]



1/ 2



 Im C n     Re C n 



Cn = Rn eiθn



θ n = arg (C n ) = arctg 



phase



Pengertian (arti) fisis :



Cn



Cn



Menginformasikan seberapa kuat harmonik parsial orde n dengan frekuensi fn = n/T digambarkan dlm x(t)



θn



Posisi phase dari harmonik parsial tsb



digambarkan dalam fungsi frekuensi fn diskrit atau juga dalam frekuensi angular ωn = 2πfn Cn (ωn )



C0 C-1



C1



C3



C2 ω-3 ω-2 ω-1



0 ω1 ω2



ω3



ωn



Dalam prakteknya : hanya digunakan harga Cn dan θn dalam frekuensi positif saja (ω>0)



Latihan •



Misalkan suatu fungsi periodik – – –



f(t) = 1 , 0