Tugas 3 Matematika Aktuaria [PDF]

Citation preview

Tugas 3 Matematika Aktuaria Nama : Ignatius Danny Pattirajawane NIM



: 016338119



Soal:



t 



1 1 t



1. Dana F mengakumulasi pada tingkat laju bunga . Dana G mengakumulasi pada 4t t  G  t t 1  2t 2 F  t  tingkat laju bunga . adalah jumlah dana F pada saat , dan adalah F  0  G  0 H  t  F  t G t t T jumlah dana G pada saat , dengan . Misalkan , hitung , H  t t yaitu nilai saat ketika maksimum. 4t t  s4 t0 1  8t  t 2 2. Diketahui , untuk . Hitung 3. Seseorang mendepositokan dana sebesar 100 ke rekening sebuah bank dengan tingkat bunga nominal terkonversi setengah tahunan. Pada saat yang sama, dia mendepositokan lagi dana sebesar 100 ke rekening bank lain dengan laju bunga  i   .







. Setelah 99 bulan, nilai masing-masing rekening adalah 300. Hitung



i 4. Rudi meminjam dana sebesar 10.000 selama 10 tahun dengan suku bunga efektif pertahun dan mengakumulasi sejumlah yang diperlukan untuk mengembalikan pinjaman dengan menggunakan sinking fund. Ia melakukan 10 kali pembayaran sebesar X pada akhir setiap tahun, yang memasukkan bunga pinjaman dengan suku bunga efektif 8%. Jika suku bunga 2i i efektif pinjaman pertahun, maka total pembayaran tahunan akan menjadi 1,5 X. Hitung . Jawab: 1. Soal di atas merupakan kasus nilai akumulasi dengan suku bunga kontinu bervariasi yang dinyatakan dengan rumus:



t2



AV t



2



AV t



1



∫ δ t dt



=e



t1



Di mana



t2 ,



δt



δ t=



1 1+t



AV t



dan



1



AV t



2



δ t=



sedangkan untuk dan G,



4t 1+2 t 2 . Ambil t



t 1 =0



dan



t 2 =t , maka



mulai dari waktu



Untuk dana F t



1 dt ∫ 1+t



AV t=F (t )=F ( 0 ) e



0



=F ( 0 ) e



ln ( 1+t )



| =F ( 0 ) [ 1+ t ] t 0



Untuk dana G: t



∫



AV t=G ( t )=G ( 0 ) e



0



4t dt 2 1 +2 t



=G ( 0 ) e



ln (1+2 t 2)



| =G ( 0 ) [ 1+2 t ] t 0



2



H (t )=F ( t )−G ( t )=F ( 0 ) [ 1+t ] −G ( 0 ) [ 1+2 t 2 ] maksimum adalah saat



H (t )' =0 , dan karena



F ( 0 ) =G ( 0 )



memperoleh: '



'



'



H (t ) =F ( t ) −G ( t ) =F ( 0 )−G ( 0 ) 4 t=0 1−4 t=0 →t=



Jadi



H (t )



dan



merupakan suku bunga kontinu yang untuk dana F nilainya adalah



nilai akumulasi masing-masing dana pada waktu



H (t )



t1



adalah masing-masing nilai akumulasi pada



1 4



maksimum saat



t



mencapai ¼ tahun atau 3 bulan. t2



∫ δ dt AV t =e AV t t



2. Menggunakan rumus



2



1



t1



kita



0



adalah:



t 2 =4, t 1 =0 , ambil



Di mana 4



∫



S ´4|= A e



0



4 +t dt 2 1+8 t +2 t



4



=A e



AV 0= A 2



1 d(1+8 t +2 t ) ∫ 2 0 1+8 t +2 t 2



=A e



AV 4=S 4´ |



dan



maka



| = A √ 65



1 4 ln (1+8 t +2t 2) 2 0



3. 99 bulan adalah 8 tahun 3 bulan. Dana dengan tingkat bunga nominal terkonversi setengah tahun telah mengalami pembungaan sebanyak



2× 8=16 setelah



100(1+



8



kali, sehingga persamaannya dengan dana suku bunga kontinu



1 4



tahun adalah:



i( 2) 16 ) =100 e 8,25 δ=300 2



100 e8,25 δ =300 → δ=



ln 3 =0,133 8,25



( 2) 16



100(1+



i ( 2) ) =300 →i =0,142 2



i (2)−δ=0,142−0,133=0,009 4. Pinjaman 10000 selama 10 tahun dengan bunga



i , memiliki future value



sebesar



FV =10000(1+i)10 Nilai tersebut harus dilunasi dengan sinking fund denganbunga dengan pembayaran



X



8



per tahun



di akhir. Jadi



10000(1+i)10= X S´ 10´ |0,08 Sedangkan bila bunga pinjamannya sehingga



2i , maka pembayarannya menjadi



1,5 X ,



10 10000(1+2 i) =1,5 X S´ 10´ |0,08



Bila kedua persamaan dibandingkan maka diperoleh 10



1+2 i ( ) =1,5 →1+2 i=1,04 ( 1+i ) → 0,96 i=0,04 1+i i=



0,04 =0,042 0,96