Tugas Makalah Aktuaria-2 [PDF]

Citation preview

TUGAS MAKALAH AKTUARIA “ANUITAS”



DISUSUN OLEH: KELOMPOK 1 ANGGITA SEPTIAWATI MUH. ARDIAN SABANA NURUL NAHDAHFAJRIANI MANSYUR DIAN HASANAH A. NOOR ASYIKIN UCHY MARGAHAYU



(F1A118011) (F1A118024) (F1A118029) (F1A118040) (F1A118060) (F1A118062)



PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HALU OLEO KENDARI 2020



KATA PENGANTAR



Assalamu’alaikum warahmatullahi wabarakatuh Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT., karena atas limpahan rahmat dan karunia-Nya sehingga masih diberi kesempatan dan kesehatan untuk menyelesaikan tugas makalah ini yang berjudul “Anuitas” dengan baik. Shalawat dan salam semoga terlimpah curahkan kepada baginda tercinta Nabi Muhammad Shallalahu alaihi Wassalam dan keluarga serta para sahabatnya. Pada kesempatan ini kami ucapkan terimakasih sebanyak-banyaknya kepada dosen pembimbing selaku penangung jawab mata kuliah Aktuaria yang telah memberikan tugas makalah ini, sehingga dengan rampungnya makalah ini dapat menambah wawasan kami selaku penulis maupun pembaca. Kami sadar bahwa makalah ini masih jauh dari kata sempurna dan masih membutuhkan kritik serta saran dari pembaca, untuk menjadikan makalah ini lebih baik kedepannya.Semoga makalah ini bermanfaat bagi pembaca untuk menambah pengetahuan. Wassalamu’alaikum warahmatullahi wabarakatuh Kendari, 26 Desember 2020



Penyusun



ii



DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL …………………………………………………………. i KATA PENGANTAR ……………………………...………………………… ii DAFTAR ISI …………………………………………………………………. iii BAB IPENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ……….………...……..…………………..…......... 1 1.2 Rumusan Masalah ………………………………………………… 2 1.3 Tujuan …………..…………………………...…………..……........ 2 1.4 Manfaat …………..……………………………...……………........ 2 1.5 Metode Penelitian …………………………………………………. 3 BAB II PEMBAHASAN 2.1 Pengertian Anuitas dan Jenis-Jenisnya …………………………… 4 2.2 Perbedaan Asuransi Jiwa dan Anuitas .…………………………… 6 2.3 Anuitas Hidup …………………………………………………….. 7 2.4 Macam-Macam Anuitas Hidup …………………………………… 7 2.5 Contoh Kasus ………………………………………….................. 7 BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan...…….………..……………..……..………………… 16 3.2 Saran …….....…………..…..………………………..…...……...... 17 DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………………. 18



iii



BAB I PENDAHULUAN 1.1.



Latar Belakang Aktuaria



merupakan



bagian



dari



ilmu



matematika



tentang



asuransi.Aktuaria berkembang pada akhir abad ke-17 di daratan Eropa. Perkembangan aktuaria seiring dengan meningkatnya permintaan untuk jangka panjang jaminan asuransi seperti asuransi jiwa dan tunjangan hari tua (dana pensiun). Perkembangan ini tidak lepas dari pendefinisian premi yang dibayar dan pendefinisian manfaat yang akan diperoleh di waktu yang akan dating (masa depan). Untuk pendefinisian premi ada unsur yang paling penting dalam membentuk premi yaitu anuitas hidup. Pada umumnya anuitas adalah suatu pembayaran dalam jumlah tertentu yang dilakukan setiap selang waktu dan jangka waktu tertentu secara berkelanjutan. Anuitas ini sering disebut dengan anuitas pasti karena tidak bergantung dengan faktor-faktor yang lain, selain tingkat suku bunga dan jangka waktu pembayaran. Anuitas ini sering ditemui dalam sistem pembayaran di perbankan dan lembaga keuangan lainnya, seperti pengembalian kredit kepada bank atau institusi lainnya, pembayaran bunga bulanan oleh bank, dan pembayaran-pembayaran lainnya. Berbeda dengan anuitas pasti, pembayaran anuitas dalam aktuaria sering disebut anuitas hidup.Anuitas hidup merupakan suatu pembayaran jumlah tertentu yang dilakukan dalam selang waktu dan jangka waktu tertentu yang disertai dengan faktor kelangsungan hidup (survival). Dengan kata lain, anuitas hidup merupakan anuitas pasti yang disertai dengan factor usia hidup. Factor kelangsungan hidup sangat diperhatikan dalam aktuaria, karena pembayaran dan manfaat yang diberikan dalam asuransi jiwa atau dana pensiun berkaitan dengan usia hidup seseorang (bergantung pada hidup atau meninggalnya seseorang).



1



1.2.



Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan diatas, rumusan masalah



dalam makalah ini, yaitu: 1.



Apa yang dimaksud dengan anuitas dan jenis-jenisnya?



2.



Jelaskan perbedaan asuransi jiwa dan anuitas?



3.



Jelaskan pengertian anuitas hidup?



4.



Sebutkan macam-macam anuitas hidup?



5.



Bagaimana contoh kasus dan penyelesaiannya pada anuitas hidup?



1.3.



Tujuan Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan dari makalah ini adalah



sebagai berikut: 1.



Untuk mengetahui mengenai anuitas dan jenis-jenisnya.



2.



Untuk mengetahui perbedaan asuransi jiwa dan anuitas.



3.



Untuk mengetahui mengenai anuitas hidup.



4.



Untuk mengetahui macam-macam anuitas hidup.



5.



Untuk mengetahui contoh kasus dan penyelesaiannya pada anuitas hidup.



1.4.



Manfaat Adapun manfaat yang diperoleh dari penulisan makalah ini adalah sebagai



berikut: 1.



Dapat mengetahui mengenai anuitas dan jenis-jenisnya.



2.



Dapat mengetahui perbedaan asuransi jiwa dan anuitas.



3.



Dapat mengetahui mengenai anuitas hidup.



4.



Dapat mengetahui macam-macam anuitas hidup.



5.



Dapat mengetahui contoh kasus dan penyelesaiannya pada anuitas hidup.



1.5.



Metode Penelitian Dalam makalah ini, akan disajikan contoh kasus pada anuitas hidup yaitu



“Penentuan Besarnya Anuitas Hidup dengan Menggunakan Nilai Asumsi pada Distribusi Sisa Usia”, menggunakan Suku Bunga Majemuk, Suku Bunga Majemuk Kontinu, Nilai Tunai, dan Fungsi Survival sebagai metode dalam penyelesaiannya. 2



BAB II PEMBAHASAN 2.1.



Pengertian Anuitas dan Jenis-Jenisnya



2.1.1. Pengertian Anuitas Anuitas (Annuity) adalah suatu rangkaian pembayaran atau penerimaan secara cicilan yang pada umumnya sama besarnya serta dibayarkan setiap masa tertentu dan masing-masing jumlahnya terdiri dari bagian pokok pinjaman serta bunganya. 2.1.2. Jenis-Jenis Anuitas Pembayaran cicilan atas kredit atau pinjaman umumnya telah ditentukan waktu yang sama setiap bulannya selama masa berlangsungnya kredit tersebut, bisa di awal ataupun di akhir periode. Demikian pula dengan penerimaan imbalan hasil investasi. Berkenaan dengan hal tersebut, anuitas dilihat dari waktu pembayarannya dibedakan menjadi empat jenis, yaitu: a.



Anuitas Biasa (Ordinary Annuity) Anuitas biasa adalah jenis anuitas di mana pembayaran atau penerimaan



berkala dalam jangka waktu tertentu terjadi di akhir periode. PV =



[



1−( 1+i )−n A i



]



Dengan: A=¿besar pembayaran/penerimaan setiap periode n=¿jumlah periode i=¿tingkat bunga per periode Contoh: Berapa nilai sekarang dari uang sejumlah Rp .100.000 yang akan diterima setiap 3 bulan selama satu tahun dengan tingkat bunga 2 % perbulan? Diketahui: A=Rp.100 .000 i=2 % × 3=6 % n=4 Ditanyakan: PV =?



3



Penyelesaian: PV =



[ [



1−( 1+6 % )− 4 Rp .100.000 0,06 %



]



1−( 1,06 )−4 PV = Rp .100 .000 0,06



]



PV =Rp .346.510,56 b.



Anuitas Jatuh Tempo (Due Annuity) Anuitas jatuh tempo adalah jenis anuitas di mana pembayaran atau



penerimaan berkala dalam jangka waktu tertentu terjadi di awal periode. PV = c.



[



1−( 1+i )−n +1 +1 A i



]



Anuitas Tangguhan (Deffered Annuity) Anuitas tangguhan adalah jenis anuitas dimana pembayaran atau



penerimaan berkala dalam jangka waktu tertentu terjadi atau dilakukan setelah beberapa



periode



berjalan,



sehingga



pembayaran



atau



penerimaannya



ditangguhkan.Contohnya, pembayaran bunga pinjaman dan bunga deposito.



PV =PV 0=



PV m−1



= (1+i)m−1



[



1−( 1+i )−n A i



]



( 1+ i )m −1



Dengan: m=¿ jumlah periode penundaan Contoh: Hitunglah nilai sekarang dari arus kas masuk sebesar Rp .1.000 .000 setiap tahun selama 4 kali yang dimulai setelah 5 tahun lagi dengan tingkat bunga 10 % p.a. Diketahui: A=Rp.1 .000.000 i=10 %=0,1 n=4 m=5 Ditanyakan: PV =?



4



Penyelesaian: PV =



PV m−1



( 1+ i )



m −1



PV =PV 0=



PV =



[



=



PV 4



( 1+0,1 )4



PV m−1



= (1+i)m−1



[



1−( 1+10 % )−4 Rp.1 .000 .000 10 %



]



( 1+10 % )5−1



1−( 1+0,1 )−4 Rp.1 .000 .000 0,1



]



( 1,1 )4



PV =Rp .2.165 .060,75 d.



Anuitas Langsung (Immediate Annuity) Anuitas langsung adalah jenis anuitas di mana pembayaran atau



penerimaan berkala dalam jangka waktu tertentu terjadi atau dilakukan secara langsung tanpa adanya penundaan periode. Jenis anuitas ini pada prinsipnya sama dengan anuitas biasa karena pembayaran atau penerimaan yang terjadi bersifat pasti. Contohnya, pembayaran kredit motor. 2.2.



Perbedaan Asuransi Jiwa dan Anuitas Berikut perbedaan asuransi jiwa dengan anuitas, yaitu:



Asuransi Jiwa Tujuannya memperkecil risiko, yaitu risiko keuangan yang mungkin timbul. Memberi jaminan bila seseorang meninggal dunia sebelum saat tidak mampu mencari penghasilan (pensiun).



Anuitas Tujuannya untuk membentuk dana yang dapat digunakan di hari tua nanti. Memberi jaminan bila seseorang belum meninggal dunia pada saat sudah tidak mampu mencari penghasilan. Makin lama orang yang bersangkutan Makin lama tanggung hidup, makin hidup, makin merugi penyelenggara menguntungkan perusahaan asuransi anuitas, sebab makin besar (dapat menunda pembayaran kembali pembayaran kepada yang premi) bersangkutan. Tabel 1.Perbedaan Asuransi Jiwa dan Anuitas



5



2.3.



Anuitas Hidup Anuitas hidup adalah serangkaian pembayaran terus menerus atau pada



interval yang sama seperti bulan, kuartil, tahun yang dilakukan selama seseorang tertentu masih hidup. Atau anuitas hidup adalah anuitas yang setiap pembayarannya hanya akan dilakukan jika pemegang polis masih hidup atau dalam jangka waktu yang ditentukan sesuai dengan jenis kontrak asuransinya. Terdapat bebarapa jenis sistem pembayaran tersebut, diantaranya: a.



Anuitas



seumur



hidup



(Whole



Life



Annuity)adalah



serangkaian



pembayaran jumlah konstan ke penerima selama masih hidup. b.



Anuitas



sementara



n-tahun



(n-year



Temporary



Annuity)



adalah



serangkaian pembayaran untuk sejumlah n tahun dengan syarat seseorang itu masih hidup. c.



Anuitas Ditunda







Anuitas seumur hidup ditunda adalah serangkaian pembayaran yang ditunda n tahun selama seumur hidup jika seseorang itu masih hidup.







Anuitas hidup sementara yang ditunda adalah serangkaian pembayaran yang n tahun selama paling lama m tahun jika seseorang itu masih hidup.



2.4.



Macam-Macam Anuitas Hidup Berdasarkan jenisnya anuitas hidup dibedakan menjadi dua yaitu anuitas



hidup kontinu dan anuitas hidup diskrit. 2.4.1. Anuitas Hidup Kontinu Anuitas hidup kontinu adalah anuitas hidup dengan pembayaran sebesar 1 yang dilakukan secara kontinu sebesar 1 setiap tahun dengan jangka waktu pembayaran selama n tahun. 2.4.2. Anuitas Hidup Diskrit Anuitas hidup diskrit adalah anuitas hidup yang dibayar secra berkala tiap tahun polis.Anuitas hidup diskrit menurut waktu pembayaran terbagi menjadi dua yaitu segera (immediate) dan awal (due).Yang dimaksud dengan segera adalah suatu rangkaian pembayaran, pembayaran pertama setahun dari sekarang, yang



6



kedua dua tahun dari sekarang, dan seterusnya.Dan yang dimaksud awal adalah pembayaran pertama dilakukan sekarang dan pembayaran kedua dilakukan setahun dari sekarang, dan seterusnya. Dan untuk perhitungan premi ini digunakanlah anuitas hidup awal (due) karena biasanya premi dibayar di depan. 2.5.



Contoh Kasus Penentuan Besarnya Anuitas Hidup dengan Menggunakan Nilai Asumsi



pada Distribusi Sisa Usia 2.5.1. Metode Penelitian 1.



Suku Bunga Majemuk Berikut akan diuraikan prinsip dasar suku bunga majemuk. Misal P0



adalah modal awal, r adalah suku bunga nominal per tahun dan P(n) adalah jumlah akumulasi dana setelahn tahun. Besarnya dana yang diperoleh setelah setahun dapat dihitung dengan menggunakan persamaan berikut ini. P(1)=P0 +r P0



¿ P0 (1+r ) Setelah 2 tahun dana akan menjadi P(2)=P(1)+rP(1) ¿ P0 (1+r )+r P 0 (1+ r)



¿ P0 (1+r )(1+r ) ¿ P0 (1+r )2 Maka setelah n tahun kemudian, dananya menjadi



P(n)=P 0 (1+ r)n …( 1) Dalam penerapan pada kehidupan sehari-hari, perhitungan suku bunga dapat dilakukanbeberapa kali dalam satu periode. Berikut ini akan dilihat pengaruh suku bunga apabila perhitungansuku bunga dilakukan beberapa kali dalam satu periode. Misalkan dalam satu tahun waktu perhitungan yang dilakukan dapat secara semesteran yaitu dua kali dalam setahun, bulanan atauharian. Akibatnya persamaan (1) dapat diubah menjadi r k



kn



( )



Pk ( n )=P 0 1+



…(2)



7



Dengan r =¿ tingkat suku bunga efektif pertahun k =¿ frekuensi perhitungan suku bunga dalam satu tahun n=¿ banyaknya tahun perhitungan Untuk perhitungan suku bunga semesteran atau dua kali dalam setahun, besarnya danayang diperoleh selama n tahun dengan menggunakan persamaan (2) adalah sebagai berikut r 2



2n



( )



P2 ( n )=P0 1+



Untuk perhitungan suku bunga bulanan atau dua belas kali dalam setahun, diperoleh hasilnya adalah sebagai berikut



(



P12 ( n )=P0 1+



r 12



12n



)



Demikian juga untuk perhitungan harian, hasilnya adalah sebagai berikut ini



(



P365 ( n )=P0 1+ 2.



r 365



365n



)



Suku Bunga Majemuk Kontinu Selain perhitungan di atas, ada pula perhitungan suku bunga secara



kontinu. Denganmengasumsikan k menuju tak hingga, persamaan (2) menjadi k→∞



r k



kn



( )



P∞ ( n ) =P 0 lim 1+



¿ P0 exp(rn) Misal tuliskan Pc (n)untuk menyatakan jumlah akumulasidana dengan suku bunga majemuk kontinu. …( 3) Pc ( n )=Pc ern Berikut akan diperlihatkan beberapa contoh hasil perhitungan dana akumulasi dengan beberapa macam tingkat suku bunga untuk dana awal sebesar satu juta rupiah dan suku bunga efektif sebesar 10 %per tahun selama 10 tahun. Tingkat Suku Bunga



Banyak periode setahun (k )



Pk ( 10 ) (Rp)



8



1 Tahunan 2.593.742 12 Bulanan 2.707.041 365 Harian 2.717.910 + ∞ Kontinu 2.718.282 Tabel 2. Jumlah Akumulasi Dana pada P0=Rp 1 juta Dari Tabel 2 terlihat bahwa semakin sering dana dibungakan dalam setahun atau semakinbesar nilai k, makin besar juga nilai dana yang akhirnya tercapai. Dapat dilihat juga untuk dana yangdibungakan dengan suku bunga majemuk harian nilainya mendekati dana yang dibungakan secara kontinu dan tentu saja dana yang dibungakan secara kontinu akan bernilai lebih besar. 3.



Nilai Tunai (Present Value) Nilai tunai atau present value adalah nilai uang di masa yang akan datang



dilihat pada saat sekarang. Untuk melihat besaran dari nilai tunai ini bisa menggunakan persamaan (1). Jika dilihat dari persamaan tersebut, nilai tunai adalah sama dengan besarnya modal di awal, sehingga dari persamaan tersebut dapat dicari nilai dari P0yang telah dibungakan selama n tahun adalah sebagai berikut …(4) PV =P0=P (n) ( 1+r )−n Pada kasus suku bunga majemuk yang kontinu nilai tunainya didapat persamaan ( 3 ) . P V =P0=P c (n) e−m 4.



…( 5)



Fungsi Survival Berikut akan dijelaskan lebih lanjut tentang fungsi survival yang nantinya



akanmempengaruhi besarnya anuitas hidup dari seseorang (Bowers et al. 1997). Misalkan seorang yang baru lahir dinyatakan berusia 0 dan X menyatakan usia kematiannya.X adalah sebuah variabel acak karena nilainya tidak dapat dipastikan. Didefinisikan F x ( X )sebagai fungsi distribusi dari X , sehingga berlaku: F x ( X )=Pr ( X ≤ x ) ; x ≥ 0 …(6) Selalu diasumsikan bahwa F x ( 0 )=0 yang berarti seorang yang baru lahir diasumsikan tidak mungkin meninggal atau pasti hidup.Kemudian seorang yang



9



baru lahir tersebut akan dilihat peluang bersyaratnya bahwa dia akan meninggal antara usia x tahun dan z tahun. Untuk kondisi ini sudah dipastikan bahwa dia akanhidup sampai usia x tahun. Maka akan berlaku:



(



Pr (x < X ≤ z ⌒ X > x ) Pr ( X > x ) P ( x< X ≤ z ) ¿ r 1−Pr ( X ≤ x ) P ( X ≤ z )−Pr ( X ≤ x ) ¿ r 1−P r ( X ≤ x ) Jika dikaitkan dengan persamaan (6), akan diperoleh bentuk sebagai



Pr x< X ≤



z >x X



)



¿



berikut: F ( z )−F x ( X ) z >x = x …( 7) X 1−F x ( X ) X adalah usia pada saat seseorang itu meninggal. Simbol ( x) digunakan



(



Pr x< X ≤



)



untuk mewakili seseorang yang hidup pada usiax tahun dan sisa usianya sebagai T tahun. Dengan tujuan yang sama, maka simbol ( z ) digunakan untuk mewakili seseorang yang hidup pada usia z tahun. Supaya lebih terlihat kaitan antara T dan ( x), seseorang berusia x tahun akan bertahan hidup selama T tahun kemudian, biasanya dituliskan menjadi T ( x). Maka orang ini akan meninggal pada usia x +T tahun. Karena usia kematian tidak bisa diramalkan, maka T dianggap sebagai variabel acak dengan fungsi distribusi peluangnya adalah F T ( t )=P r (T ≤t ) ; t ≥ 0 …(8) Dalam bidang aktuaria, fungsi distribusi untuk T ini biasa dituliskan ❑



❑



dengan bentuk tq x . Simbol tq x dapat diinterpretasikan sebagai peluang seseorang yang berusia x tahun akan meninggal di selang waktu t tahun kemudian. Dari simbol ini, maka persamaan (8) dapat juga dituliskan menjadi



Pr ( T ≤ t ) =❑t q x …(9) Terkadang sudut pandang dari beberapa kasus dapat melalui pendekatan ❑ dari peluang hidupseseorang. Karena itu selain tq x dimunculkan juga notasi lain ❑ yaitu t p x. Interpretasi dari simbol ini adalah peluang seseorang berusia x tahun



akan bertahan hidup selama t tahun yang akan datang.



10



Dapat dilihat kaitannya dengan peluang kematian seseorang adalah sebagai berikut: ❑ t



p x =1−❑tq x ¿ Pr ( T > t ) ; t ≥ 0 ❑ t p x dapat dituliskan juga dengan simbol ST (t). 2.5.2



Hasil dan Pembahasan



1.



Kaitan antara Anuitas Hidup dengan Fungsi Survival Misalkan



sebuah



perusahaan



asuransi



akan



…( 10)



membayarkan



uang



pertanggungan pada seorang nasabah yang saat ini berusia x tahun secara teratur pada setiap periodenya sampai nasabah tersebut meninggal. Maka perusahaan harus mempersiapkan sejumlah dana pada saat ini sehingga dana tersebut cukup untuk menutupi kebutuhan. Pembayaran secara teratur inilah yang merupakan salah satu contoh anuitas hidup, karena anuitas tersebut berhenti jika nasabahnya sudah meninggal dunia. Penentuan jumlah dana di awal ini tidak bisa begitu saja menggunakan persamaan ( 4) karena nilai tunai ini dipengaruhi juga oleh peluang hidup. Sudah dijelaskan di atas bahwa peluang hidup atau mati seseorang bergantung pada sisa usianya, dan sisa usia adalah peubah acak karena tidak bisa diramalkan nilainya. Untuk memudahkan melihat hubungan antar variabelnya, akan digunakan beberapa notasi dengan definisi masing-masingnya sebagai berikut: dimisalkan T (tahun) adalah sisa usia dan Y (rupiah) adalah nilai tunai dari anuitas yang dipengaruhi oleh T , ρ (dalam persen) adalah tingkat suku bunga yang kontinu selama setahun dan c (rupiah) adalah besar uang pertanggungan tiap periode. Maka nilai tunai dari jumlah cicilan sebesar c yang dibayarkan secara kontinu (dari perusahaan asuransi kepada nasabah sampai meninggal) dengan mengacu pada persamaan (5) adalah T



Y =∫ c e− ρt dt 0



Dengan teknik pengintegralan, didapat hasil nilai tunai tersebut adalah c Y = ( 1−e− ρT ) ρ



…(11)



11



Terdapat dua masalah yang muncul.Masalah yang pertama berhubungan dengan tingkatsuku bunga. Tingkat suku bunga di sini diasumsikan bernilai konstan sedangkan pada faktanya tingkat suku bunga secara umum tidak akan bernilai konstan. Asumsi ini diambil karenapermasalahan lebih difokuskan pada pengaruh dari sisa usia. Masalah yang kedua berkaitan dengansisa usia T , karena T adalah peubah acak seperti sudah disebutkan sebelumnya. Karena Y bergantung pada T , akibatnya Y juga merupakan peubah acak. Selanjutnya akan dijabarkan hubungan antara anuitas (fungsi distribusi kumulatif Y ) dengan fungsi distribusi kumulatif F T (t). Peluang dari nilai tunai Y lebih kecil dari suatu nilai peubah acak y Pr ( Y ≤ y ) =P r



( cρ (1−e



−ρT



)≤ y



)



adalah 1 ρy ¿ Pr T ≤− ln 1− …( 12) ρ c −1 ρy ln 1− Supaya lebih ringkas, dimisal m= , sehingga persamaan (12) ρ c



(



( (



)) )



dapat ditulis menjadi



Pr (Y ≤ y)=T ≤ m …( 13) Dari definisi fungsi distribusi kumulatif, persamaan (11) dapat dituliskan menjadi F Y ( y )=F T ( m) ¿ 1−ST ( m ) ,untuk ρy ≤ c …(14) 1 , untuk ρy> c Dari persamaan (14) dapat kita lihat bahwa peluang besarnya anuitas



{



bergantung pada peluang besarnya fungsi survival. 2.



Simulasi Nilai T T sebagai sisa usia seseorang berusia x adalah sebuah variabel acak. Nilai



T pada suatusaat tertentu tidak dapat ditentukan dengan pasti. Karena itu digunakan cara simulasi untuk membangkitkan nilai-nilai T dengan dasar pemikiran sebagai berikut.



12



Di dalam Bowers et al. (1997) dijelaskan tentang postulat Gompertz yang secara analitis mendefinisikan distribusi dari T sehingga diperoleh persamaan dari peluang seseorang yang berusia x tahun akan bertahan hidup selama T tahun. Maka dari persamaan tersebut dapat diturunkanpersamaan dari peluang seseorang yang berusia xtahun akan meninggal dalam selang waktu T tahun sebagai berikut q =1−exp (−mc x ( c t −1 ) ) Jika dimisalkan E=mc ( c t −1 ) ❑ Maka tq x =1−exp ⁡(−E) akan berdistribusi eksponensial (1). ❑ t x x



…( 15) …( 16)



Kemudian dimisalkan u ¿ 1−exp ⁡(−E) 1−u ¿ exp ⁡(−E) log ( 1−u ) ¿−E E ¿−log ( 1−u ) Nilai E didapatkan dari U yang berdistribusi uniform(0,1). Untuk simulasi ini akan diambil bilangan acak sebanyak 200.000. dengan menggunakan persamaan (16) diperoleh nilai T sebagai berikut E +1 …( 17) mc x t= logc Simulasi nilai T ini dibuat dengan menggunakan program Matlab. Hasil log



simulasinya dapat dilihat di Lampiran 1. 3.



Contoh Kasus dan Penyelesaiannya Berikut ini adalah beberapa contoh kasus anuitas hidup untuk beberapa



usia yang berbedanamun dengan asumsi sisa usia yang sama. Misalkan seseorang yang saat ini berumur x tahun dan direncanakan untuk mendapatkan uang sebanyak c=1 tiap tahun dari perusahaan asuransi selama ia hidup. Suku bunga yang digunakan diasumsikan kontinu ρ=5 %. a.



Untuk kasus nasabah yang saat ini berusia20tahun dan diasumsikan sisa usianya 10 tahun.Mengacu pada persamaan (11) dapat dituliskan nilai x=20 tahun dan asumsi sisa usiam=10tahun. Maka nilai peluangnya adalah Pr ( T ≤ m )=Pr ( T ≤ 10 )



13



Dari persamaan (9), diperoleh ❑ ¿ 10 q20



Pr ( T ≤ 10 ) ¿ 1−10❑ p20 9



¿ 1−∏ p20+i i=0



Dari tabel nilai



❑ t



p xhasil simulasi T didapat nilainya adalah 0,008924.



Nilai tunai dari anuitas ataudisingkat y dapat dicari dengan menggunakan rumus m= b.



−1 ρy ln 1− dan diperoleh hasil 7,86938681. ρ c



(



)



Untuk kasus nasabah yang saat ini berusia 20 tahun ¿ tahun) dan asumsi sisa usia m=15 tahun, nilai peluangnya adalah Pr ( T ≤ m )



¿ Pr ( T ≤ 15 ) ❑ ¿ 15 q20 ¿ 1−15❑ p20 14



¿ 1−∏ p20+i i=0



Dari tabel nilai



❑ t



p xhasil simulasi T didapat nilainya adalah 0,016483.



Nilai y dapat dicari dengan m=



−1 ρy ln 1− dan diperoleh hasil yang ρ c



(



)



berbeda yaitu10,552669. c.



Untuk kasus nasabah yang saat ini berusia 25 tahun ¿ tahun) dan asumsi sisa usia m=10 tahun, nilai peluangnya adalah Pr ( T ≤ m )



¿ Pr ( T ≤ 10 ) ❑ ¿ 10 q25 ¿ 1−10❑ p25 9



¿ 1−∏ p25+i i=0



Dari tabel nilai



❑ t



p xhasil simulasi T didapat nilainya adalah 0,012875.



Nilai y dapat dicari dengan m=



−1 ρy ln 1− dan diperoleh hasil yang ρ c



(



)



berbeda yaitu7,86938681.



14



Untuk kasus nasabah yang saat ini berusia 25 tahun ¿ tahun) dan asumsi



d.



sisa usia m=15 tahun, nilai peluangnya adalah Pr ( T ≤ m )



¿ Pr ( T ≤ 15 ) ❑ ¿ 15 q25



¿ 1−15❑ p25 14



¿ 1−∏ p25+i i=0



Dari tabel nilai



❑ t



p xhasil simulasi T didapat nilainya adalah 0,024449.



Nilai y dapat dicari dengan m=



−1 ρy ln 1− dan diperoleh hasil yang ρ c



(



)



berbeda yaitu10,552669. Supaya lebih jelas terlihat perbedaan dari masing-masing contoh kasus, hasilnya dapat dilihat pada tabel berikut. Usia sekarang x (tahun) 20 20 25 25



Sisa usia m Nilai Tunai (tahun) Anuitas y (tahun) 10 7,86938681 15 10,552669 10 7,86938681 15 10,552669 Tabel 3. Perbandingan Hasil Contoh Kasus



Peluang ❑ kematian tq x 0,008924 0,016483 0,012875 0,024449



PENUTUP 3.1.



Kesimpulan Adapun kesimpulan dari pembahasan di atas adalah sebagai berikut:



1.



Anuitas adalah suatu rangkaian pembayaran atau penerimaan secara cicilan yang pada umumnya sama besarnya serta dibayarkan setiap masa tertentu dan masing-masing jumlahnya terdiri dari bagian pokok pinjaman



15



serta bunganya. Jenis-jenis anuitas yaitu anuitas biasa (ordinary annuity), anuitas jatuh tempo (due annuity), anuitas tangguhan (deffered annuity), dan anuitas langsung (immediate annuity). 2.



Perbedaan asuransi jiwa dengan anuitas antara lain asuransi jiwa bertujuan memperkecil risiko yaitu risiko keuangan yang mungkin timbul sedangkan anuitas bertujuan untuk membentuk dana yang digunakan di hari tua nanti.



3.



Anuitas hidup adalah anuitas yang setiap pembayarannya hanya akan dilakukan jika pemegang polis masih hidup atau dalam jangka waktu yang ditentukan sesuai dengan jenis kontrak asuransinya. Anuitas hidup ini merupakan anuitas yang tidak pasti.



4.



Anuitas hidup terbagi atas: anuitas hidup kontinu adalah anuitas hidup yang dibayar secara kontinu sebesar 1 sesuai dengan kontrak asuransinya. Anuitas hidup diskrit adalah anuitas hidup yang dibayar secara berkala tiap tahun polis.



5.



Dari beberapa contoh kasus yang telah diuraikan, dapat ditarik kesimpulan bahwa anuitas hidup sangat bergantung pada peluang hidup atau mati dan juga sisa usia seseorang. Hal ini dapat dilihat dari Tabel 3 bahwa semakin tua seseorang, dan semakin lama sisa usia seseorang, maka nilai tunai dari anuitasnya akan semakin besar. Dapat dilihat juga adanya pengaruh dari nilai distribusi sisa usia yang dibangkitkan dengan menggunakan simulasi T karena semakin tua seseorang, maka peluang kematiannya semakin besar.



3.2.



Saran Dengan selesainya makalah ini, kami selaku penulis berharap makalah ini



bisa dijadikan sebagai referensi dalam proses pembelajaran. Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kata sempurna.Oleh karena itu, kami sangat mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun dari semua pihak pembaca, baik mahasiswa maupun dosen.



16



17



DAFTAR PUSTAKA Kristina Farah. 2010. Penentuan Besarnya Anuitas Hidup Dengan Menggunakan Nilai Asumsi Pada Distribusi Sisa Usia. Jurnal Matematika, Sains, dan Teknologi. 11(2): 79-89. Tersedia pada: https://jurnal.ut.ac.id/index.php/jmst/article/view/560 Pentury Tomas. 2012. Distribusi Anuitas Hidup Kontinu. Barekeng. 6(1): 9. http://ririez.blog.uns.ac.id/files/2011/06/life-anuitas.pdf https://id.scribd.com/document/346953863/ANUITAS-docx https://www.slideshare.net/faisyalrufenclonndrecturr/akt-4anuitashidup https://studylibid.com/doc/1021459/life-annuities https://www.car.co.id/id/layanan-nasabah/dplk/prosedur-dan-ketentuan-dplkcar/anuitas-seumur-hidup



18



LAMPIRAN Tabel Mortalita



19



20