Tugas Linear Programming [PDF]

Citation preview

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Keberhasilan organisasi dalam menjalankan tugas atau usahanya sangat tergantung pada keputusan-keputusan yang diambil oleh manajemen dalam organisasi tersebut. Keputusan dari seorang manajer mengandung resiko yang bisa merugikan perusahaan atau organisasi. Oleh sebab itu, sebuah keputusan yang diambil oleh manajer harus didasarkan dan didukung oleh perhitungan-perhitungan yang matang, agar resiko-resiko bawaan (inherent risk) dapat diminimalisir, atau bahkan dihindari. Dengan perkembangan ilmu dan teknologi yang sangat pesat, maka proses perhitungan atas sebuah keputusan dapat dengan mudah dilakukan. Banyak aplikasi-aplikasi komputer yang dapat dipergunakan oleh manajemen untuk melakukan perhitungan-perhitungan mendetail yang dapat dijadikan dasar pertimbangan dalam pengambilan keputusan. Tetapi di dalam menggunakan aplikasi-aplikasi komputer tersebut diperlukan juga keterampilan dalam melakukan teknik analisa kuantitatif, yang dapat menggabungkan antara teknologi, ilmu pengetahuan, matematika dan logika yang pada akhirnya akan menjadi sebuah kerangka pemecahan sebuah masalah yang dihadapi oleh organisasi. Salah satu pendekatan yang dapat dilakukan untuk menyelesaikan masalah manajemen sains adalah pemrograman linear. Progam linier secara umum adalah merupakan salah satu teknik menyelesaikan riset operasi, dalam hal ini adalah khusus menyelesaikan masalah-masalah optimasi (memaksimalkan atau memininumkan) tetapi hanya terbatas pada masalah-masalah yang dapat diubah menjadi fungsi linear. Secara khusus, persoalan program linear merupakan suatu persoalan untuk menentukan besarnya masing-masing nilai variabel sehingga nilai fungsi tujuan atau objektif yang linear menjadi optimum (memaksimalkan atau meminimumkan) dengan memperhatikan adanya kendala yang ada, yaitu kendala yang harus dinyatakan dalam bentuk ketidaksamaan yang linear.



1



Banyak sekali keputusan utama dihadapi oleh seorang manajer perusahaan untuk mencapai tujuan perusahaan dengan batasan situasi lingkungan operasi. Pembatasan tersebut meliputi sumberdaya misalnya waktu, tenaga kerja, energi, bahan baku, atau uang. Secara umum, tujuan umum perusahaan yang paling sering terjadi adalah sedapat mungkin memaksimalkan laba. Tujuan dari unit organisasi lain yang merupakan bagian dari suatu organisasi biasanya meminimalkan biaya. Saat manajer berusaha untuk menyelesaikan masalah dengan mencari tujuan yang dibatasi oleh batasan tertentu, teknik sains manajemen berupa program linear sering digunakan untuk permasalahan ini. Seperti pada kasus yang akan dibahas pada penulisan ini, dimana pihak manajemen PT. Sumber Makmur ingin memaksimumkan keuntungan produksi batako dengan keterbatasan dalam kapasitas penggunaan mesin. Untuk mempertimbangkan keputusan yang paling tepat, maka pihak manajemen dapat terlebih dahulu menghitung dengan linear programming.



1.2 Identifikasi Masalah Berdasarkan uraian latar belakang yang telah dikemukakan sebelumnya, maka permasalahan yang diangkat dalam penulisan ini adalah : 1. Apa yang dimaksud dengan Program Linier (Linear Programing)? 2. Bagaimana formulasi linear programing? 3. Apa saja model linear programing metode grafik 4. Bagaimana contoh soal dan pembahasan fungsi maksimalisasi keuntungan dan minimalisasi biaya? 1.3 Tujuan Penulisan Adapun yang menjadi tujuan dari penulisan ini adalah : 1. Dapat memahami tentang linear programing. 2. Mengerti formulasi permasalahan linear programing. 3. Mengerti dan memahami model linear programing metode grafik. 4. Memahami contoh kasus dan pembahasan menggunakan metode grafik.



BAB II TINJAUAN PUSTAKA



2



2.1 Pengertian Linear Programming Model



matematika



atau



simbolis



biasa



dipakai



di



dalam



pemecahan masalah dalam model pemecahan masalah linear programming. Model matematis digunakan pada model linear programming untuk menjelaskan persoalan yang dihadapinya. Sebutan “linear” di sini memberi arti bahwa seluruh fungsi matematis dalam model ini merupakan fungsi yang linier yang berarti hubungan antara faktor-faktor bersifat linear atau konstan. Hubunganhubungan linear berarti bahwa bila suatu faktor berubah maka faktor lain pun berubah dengan jumlah yang konstan secara proposional. Beberapa pengertian tentang linear programming sebagai berikut : 1. Menurut Tjutuju Tarliah Dimyati (1992) : linear programming adalah suatu cara untuk menyelesaikan persoalan pengalokasikan sumber-sumber yang terbatas diantara beberapa aktivitas yang bersaing, dengan cara yang terbaik yang mungkin dilakukan. Persoalan pengalokasian ini akan muncul manakala seseorang harus memilih tingkat aktivitas-aktivitas tertentu yang bersaing dalam hal penggunaan sumber daya langka yang dibutuhkan untuk melaksanakan aktivitas-aktivitas tersebut. 2. Menurut T. Hani Handoko (1999, p379) :



linear programming adalah



suatu metode analitik paling terkenal yang merupakan suatu bagian kelompok teknik-teknik yang disebut programisasi matematik. 3. Menurut



Sofjan



Assauri



(1999,



p9)



:



merupakan suatu teknik perencanaan yang matematika dengan tujuan menemukan



linear



programming



menggunakan kombinasi



–



model kombinasi



produk yang terbaik dalam menyusun alokasi sumber daya yang terbatas guna mencapai tujuan yang digunakan secara optimal. 4. Menurut



Zulian



Yamit



(1996,



p14)



:



linear



programming



adalah metode atau teknik matematis yang digunaka untuk membantu manajer dalam pengambilan keputusan. Ciri khusus penggunaan metode matematis



ini



adalah



berusaha



mendapatkan



maksimisasi



atau



minimisasi. 5. Menurut Eddy (2008) Setiap perusahaan atau organisasi memiliki keterbatasan atas sumber dayanya, baik keterbatasan dalam jumlah bahan baku, mesin dan peralatan, ruang tenaga kerja, jam kerja, maupun modal. Dengan keterbatasan ini, perusahaan perlu merencanakan 3



strategi yang dapat mengoptimalkan hasil yang ingin dicapai, baik itu berupa keuntungan maksimal atau biaya minimal. Berbagai cara lain telah ditemukan untuk tujuan itu, salah satu diantaranya pemrograman linear. 6. Menurut Siringoringo (2005), Pemrograman Linear merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. Pemrograman Linear banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan lain-lain. Pemrograman Linear berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linear dengan beberapa kendala linear. Dapat disimpukan bahwa linear programming adalah perencanaan aktivitas-aktivitas untuk memperoleh hasil yang optimum, yaitu hasil yang mencapai tujuan terbaik di antara seluruh alternatif yang feasible. 2.2 Tujuan Tujuan Linear Programing adalah mencari pemecahan persoalan persoalan



yang



timbul



dalam perusahaan, yaitu mencari keadaan yang



optimal dengan memperhitungkan batasan - batasan yang ada. Linear programming digunakan untuk membantu manajer dalam pengembalian keputusan. Secara umum dapat dikatakan bahwa dengan linier programming dapat membantu manajer atau seseorang dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas seperti tenaga kerja, bahan baku, jam kerja, mesin dan modal dengan cara sebaik mungkin sehingga diperoleh maksimasi yang dapat berupa maksimum keuntungan biaya atau minimasi yang dapat berupa minimum biaya. Model Linier programming dapat diaplikasikan untuk menyelesaikan berbagai masalah diantaranya yaitu : 1. Masalah product mix atau kombinasi produksi, yaitu: menentukan berapa jumlah dan jenis produk yang harus dibuat agar diperoleh keuntungan maksimum atau biaya minimum dangan memperhatikan sumber daya yang dimiliki. 2. Masalah perencanaan investasi, yaitu: berapa banyak dana yang akan ditanamkan dalam setiap alternative investasi, agar



4



memaksimumkan return on investment dengan memperhatikan kemampuan dana tersedia dan ketentuan setiap alternatif investasi. 3. Masalah perencanaan produksi dan persediaan, yaitu: menentukan berapa banyak produk yang akan diproduksi setiap periode agar meminimumkan biaya persediaan, sewa, lembur dan biaya subkontrak. 4. Masalah perencanaan advertensi / promosi, yaitu: berapa banyak dana yang akan dikeluarkan untuk kegiatan promosi,agar diperoleh efektivitas penggunaan media promosi. 5. Masalah diet, yaitu: berapa banyak setiap sumber makanan digunakan untuk membuat produk makanan baru. 6. Masalah pencampuran,yaitu: berapa banyak jumlah setiap bahan yang akan digunakan untuk membuat bahan baru. 7. Masalah distribusi / transportasi , yaitu: jumlah produk yang akan dialokasikan ke setiap lokasi pemasaran.



2.3 Syarat dalam Linear Programming Suatu penyampaian masalah linier programming perlu dibentuk formulasi secara matematik dari masalah yang sedang dihadapi dengan memenuhi syarat sebagai berikut : 1.



Adanya variabel keputusan yang dinyatakan dalam simbol matematik dan variabel keputusan ini tidak negatif.



2.



Adanya fungsi tujuan dari variabel keputusan yang menggambarkan kriteria pilihan terbaik.fungsi ini harus dibuat dalam suatu sel fungsi linier yang dapat berupa maksimum atau minimum.



3.



Adanya kendala sumber daya yang dibuat dalam satu set fungsi linier.



2.4 Asumsi dasar dalam Linear Programming. Secara teknis, ada lima syarat tambahan dari permasalahan linear programming yang harus diperhatikan yang merupakan asumsi dasar, yaitu: 1. certainty (kepastian). Maksudnya adalah fungsi tujuan dan fungsi kendala sudah diketahui dengan pasti dan tidak berubah selama periode analisa. 2. proportionality (proporsionalitas). Yaitu adanya proporsionalitas dalam fungsi tujuan dan fungsi kendala. 3. additivity (penambahan). Artinya aktivitas total sama dengan penjumlahan aktivitas individu. 5



4. divisibility (bisa dibagi-bagi). Maksudnya solusi tidak harus merupakan bilangan integer (bilangan bulat), tetapi bisa juga berupa pecahan. 5. non-negative variable (variabel tidak negatif). Artinya bahwa semua nilai jawaban atau variabel tidak negatif. Suatu masalah pemrograman hanya dapat dirumuskan ke dalam persoalan program linear apabila asumsi-asumsi di atas terpenuhi. 2.5 Model Linear Programming Pemrograman linier (LP) menggunakan metode matematis untuk menggambarkan masalah yang hendak dianalisa. Pada dasarnya, model pemrograman linier dinyatakan dalam bentuk fungsi tujuan dan fungsi batasan (kendala, constrain). Fungsi tujuan merupakan suatu perencanaan fungsi linier dari variabel tujuan, misalkan pendapatan, keuntungan, atau biaya. Dalam fungsi tujuan juga harus dijelaskan apakah tujuannya memaksimalkan atau meminimalkan variabel. Variabel seperti keuntungan, produksi, dan penjualan, bertujuan untuk dimaksimalkan; sedangkan variabel seperti biaya dan resiko bertujuan untuk diminimalkan. Fungsi batasan menggambarkan batasan yang dihadapi dalam mencapai tujuan. Fungsi batasan biasanya terdiri dari beberapa persamaan yang masingmasing berkolerasi dengan sumber daya yang berkaitan.



BAB III PEMBAHASAN



3. 1 Formulasi Permasalahan Metode grafik hanya bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana hanya terdapat dua variabel keputusan. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, langkah pertama yang harus dilakukan adalah memformulasikan permasalahan yang ada ke dalam



6



bentuk Linear Programming (LP). Langkah-langkah dalam formulasi permasalahan adalah : 1. pahamilah secara menyeluruh permasalahan manajerial yang dihadapi 2. identifikasikan tujuan dan kendalanya 3. definisikan variabel keputusannya 4. gunakan variabel keputusan untuk merumuskan fungsi tujuan dan fungsi kendala secara matematis. Sebagai contoh dalam memformulasikan permasalahan, berikut ini akan dibahas PT. Sumber Makmur yang memproduksi dua macam batako: batako semen dan batako kapur. Biaya pembuatan batako semen diperkirakan Rp. 150,- sedang biaya pembuatan batako kapur diperkirakan Rp. 100,-. Batako semen dijual seharga Rp. 400,- dan batako kapur dijual seharga Rp. 250,-. Untuk pembuatan kedua macam batako tersebut dipergunakan 2 macam mesin: A: mesin pencampur dan B: mesin pencetak. Untuk mencampur batako semen diperlukan waktu 1 jam, dan untuk mencetak batako semen diperlukan waktu 2 jam. Batako kapur dicampur selama 1.5 jam dan dicetak selama 1 jam. Selama satu bulan kapasitas mesin A 320 jam kerja. Sedang kapasitas mesin B adalah 480 jam kerja. Berapa jumlah batako semen dan batako kapur yang diproduksi jika tujuan perusahaan memaksimumkan keuntungan. Dari kasus di atas dapat diketahui bahwa tujuan perusahaan adalah memaksimumkan profit. Sedangkan kendala perusahaan tersebut adalah terbatasnya kapasitas jam kerja mesin pencampur dan mesin pencetak. Apabila permasalahan tersebut diringkas dalam satu tabel maka akan tampak sebagai berikut : Jam kerja untuk membuat 1 unit



Total waktu



produk



tersedia per bulan



Mesin Pencampur Mesin Pencetak Profit per unit



Batako Semen 1 2 250



Batako Kapur 1,5 1 150



7



320 480



Mengingat produk yang akan dihasilkan adalah batako semen dan batako kapur, maka dalam rangka memaksimumkan profit, perusahaan harus memutuskan berapa jumlah batako semen dan batako kapur yang sebaiknya diproduksi. Dengan demikian dalam kasus ini, yang merupakan variabel keputusan adalah batako semen (X1) dan batako kapur (X2). Setelah kita mendefinisikan variabel keputusan, maka langkah selanjutnya adalah menuliskan secara matematis fungsi tujuan dan fungsi kendala. 1. Fungsi Tujuan Tujuan perusahaan adalah maksimisasi keuntungan, sehingga kita dapat menuliskan fungsi tujuan sebagai berikut :



P = (Rp. 250 x Jml Batako semen yg diproduksi) + (Rp. 150 x Jml Batako kapur yg diproduksi)



Atau secara matematis dapat dituliskan : Maksimisasi Z = 250X1 + 150X2



2. Fungsi kendala Berkaitan dengan sumber daya yang digunakan, perusahaan tidak bisa memperkirakan secara tepat kebutuhan sumber daya yang digunakan untuk mencapai keuntungan tertentu. Biasanya perusahaan menyediakan sumber daya tertentu yang merupakan kebutuhan minimum atau maksimum. Kondisi seperti ini secara matematis diungkapkan dengan pertidaksamaan. Kendala yang pertama adalah jam kerja yang tersedia di mesin pencampur. Total waktu yang diperlukan untuk pembuatan X1 (batako semen) dimana untuk membuat satu unit batako semen diperlukan waktu 1 jam kerja dan untuk pembuatan X2 (batako kapur) dimana untuk membuat satu unit batako kapur diperlukan waktu 1,5 jam kerja adalah



8



320 jam. Kalimat ini bisa dirumuskan dalam pertidaksamaan matematis menjadi :



Seperti halnya pada kendala yang pertama, maka pada kendala kedua dapat diketahui bahwa total waktu yang diperlukan untuk pencetakan X1 (batako semen) dimana untuk mencetak satu unit batako + 1,5X 2 ≤ 320 semen diperlukan waktu X 2 1jam kerja dan untuk pencetakan X2 (batako kapur) dimana untuk mencetak satu unit batako kapur dibutuhkan waktu 1 jam kerja adalah 480 jam. Kalimat ini bisa dirumuskan dalam pertidaksamaan matematis menjadi : 2X1 + X2 ≤ 480



Salah satu syarat yang harus dipenuhi dalam Linear Programming adalah asumsi nilai X1 dan X2 tidak negatif. Artinya bahwa X1 ≥ 0 (jumlah batako semen yang diproduksi adalah lebih besar atau sama dengan nol) X2 ≥ 0 (jumlah batako kapur yang diproduksi adalah lebih besar atau sama dengan nol) Dari uraian di atas dapat dirumuskan formulasi permasalahan secara lengkap sebagai berikut : Fungsi tujuan : Maksimisasi Z = 250X1 + 150X2. Fungsi kendala : X1 + 1,5X2 ≤ 320 (kendala mesin pencampur) 2X1 +



X2 ≤ 480 (kendala mesin pencetak)



X1 ≥ 0 (kendala non negatif pertama) X2 ≥ 0 (kendala non negatif kedua)



3.2 PENYELESAIAN LINEAR PROGRAMMING SECARA GRAFIK



9



Kasus PT. Sumber Makmur tersebut akan kita selesaikan dengan metode grafik. Keterbatasan metode grafik adalah bahwa hanya tersedia dua sumbu ordinat, sehingga tidak bisa digunakan untuk menyelesaikan kasus yang lebih dari dua variabel keputusan. Langkah pertama dalam penyelesaian dengan metode grafik adalah menggambarkan fungsi kendalanya. Untuk menggambarkan kendala pertama secara grafik, kita harus merubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda persamaan seperti berikut. X1 + 1,5X2 = 320 Kendala ini akan memotong salah satu atau kedua sumbu. Sebagaimana halnya yang sudah kita pelajari dalam aljabar, bahwa untuk menggambarkan fungsi linear yang tidak lain merupakan garis lurus, maka kita akan mencari titik potong garis tersebut dengan kedua sumbu. Suatu garis akan memotong salah satu sumbu apabila nilai variabel yang lain sama dengan nol. Dengan demikian kendala pertama akan memotong X1, pada saat X2 = 0, demikian juga kendala ini akan memotong X2, pada saat X1 = 0. Kendala I: X1 + 1,5X2 = 320 memotong sumbu X1 pada saat X2 = 0 X1 + 0 = 320 X1 = 320 memotong sumbu X2 pada saat X1 = 0 0 + 1,5X2 = 320 X2 = 320/1,5 X2 = 213 Kendala I memotong sumbu X1 pada titik (320, 0) dan memotong sumbu X2 pada titik (0, 213). Kendala II: 2 X1 + X2 = 480 memotong sumbu X1 pada saat X2 = 0 2 X1 + 0 = 480 X1 = 480/2 X1 = 240 memotong sumbu X2 pada saat X1 =0



10



0 + X2 = 480 X2 = 480 Kendala II memotong sumbu X1 pada titik (240, 0) dan memotong sumbu X2 pada titik (0, 480).



Titik pot



titik potong kedua kendala bisa dicari dengan cara substitusi atau eliminasi. X1 + 1,5 X2 = 320



2 X1 + 3 X2 = 640



2 X1 + X2



2 X1 +



= 480



X2 = 480 2 X2 = 160 X2 = 160/2 X2 = 80



11



X1 + 1,5 X2 = 320 X1 + (1,5X80) = 320 X1 + 120 =320 X1= 320 – 120 X1 = 200 Sehingga kedua kendala akan berpotongan pada titik (200,80). Tanda ≤ pada kedua kendala ditunjukkan pada area sebelah kiri dari garis kendala. Sebagaimana nampak pada Peraga 1. 1, feasible region (area layak) meliputi daerah sebelah kiri dari titik A (0,213), B (200,80), dan C (240,0). Untuk menentukan solusi yang optimal, ada dua cara yang bisa digunakan yaitu 1. dengan menggunakan garis profit (iso profit line) 2. dengan titik sudut (corner point) Penyelesaian dengan menggunakan garis profit adalah penyelesaian dengan menggambarkan fungsi tujuan. Kemudian fungsi tujuan tersebut digeser ke kanan sampai menyinggung titik terjauh dari dari titik nol, tetapi masih berada pada area layak (feasible region). Untuk menggambarkan garis profit, kita mengganti nilai Z dengan sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi profit. Pada kasus ini angka yang mudah dibagi angka 250 (koefisien X1) dan 150 (koefisien X2) adalah 750. Sehingga fungsi tujuan menjadi 750 = 250 X1 + 150 X2. Garis ini akan memotong sumbu X1 pada titik (3, 0) dan memotong sumbu X2 pada titik (0, 5). Dari Peraga 1. 2 dapat dilihat bahwa iso profit line menyinggung titik B yang merupakan titik terjauh dari titik nol. Titik B ini merupakan titik optimal. Untuk mengetahui berapa nilai X1 dan X2, serta nilai Z pada titik B tersebut, kita mencari titik potong antara kendala I dan kendala II (karena titik B merupakan perpotongan antara kendala I dan kendala II). Dengan menggunakan eliminiasi atau subustitusi diperoleh nilai X1 = 200 X2 = 80. dan Z = 62.000. Dari hasil perhitungan tersebut maka dapat disimpulkan bahwa keputusan perusahaan yang akan memberikan profit maksimal adalah memproduksi X1 sebanyak 200 unit, X2 sebanyak 80 unit dan perusahaan akan memperoleh profit sebesar Rp. 62.000.



12



Penyelesaian dengan menggunakan titik sudut (corner point) artinya kita harus mencari nilai tertinggi dari titik-titik yang berada pada area layak (feasible region). Dari peraga 1, dapat dilihat bahwa ada 4 titik yang membatasi area layak, yaitu titik 0 (0, 0), A (0, 213), B (200, 80), dan C (240,0). Keuntungan pada titik O (0, 0) adalah (5 x 0) + (3 x 0) = 0. Keuntungan pada titik A (0, 213) adalah (5 x 0) + (3 x 213) = 639. Keuntungan pada titik B (200, 80) adalah (5 x 200) + (3 x 80) = 1.240. Keuntungan pada titik C (240, 0) adalah (5 x 240 ) + (3 x 0) = 1.200. Karena keuntungan tertinggi jatuh pada titik B, maka sebaiknya perusahaan memproduksi meja sebanyak 30 unit dan kursi sebanyak 40 unit, dan perusahaan memperoleh keuntungan optimal sebesar Rp. 62.000.



13



BAB IV KESIMPULAN



Kesimpulan dari seluruh pembahasan diatas adalah sebagai berikut : 1. Program linear adalah suatu cara matematis yang digunakan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pengalokasian sumberdaya yang terbatas untuk mencapai optimasi, yaitu memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan yang bergabung pada sejumlah variabel input. 2. Yang termasuk dalam komponen model program linear adalah variable keputusan, fungsi tujuan, dan batasan model. Program linier bisa di selesaikan menggunakan metode grafik untuk menentukan persoalan maksimum maupun minimum. 3. Linear Programming dengan metode grafik hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dengan 2 variabel keputusan. Dalam penyelesaian permasalahan diawali dengan formulasi permasalahan, kemudian menggambarkan fungsi kendala serta menentukan area layak. Baru kemudian menentukan solusi optimal yang dapat menggunakan 2 pendekatan, yaitu dengan pendekatan garis profit (isoprofit line) atau titik sudut (corner point). 4. Dalam contoh kasus yang telah dipaparkan, dari hasil perhitungan tersebut maka dapat disimpulkan bahwa keputusan perusahaan yang akan memberikan profit maksimal adalah memproduksi X1 sebanyak 200 unit, X2 sebanyak 80 unit dan perusahaan akan memperoleh profit sebesar Rp. 62.000



DAFTAR PUSTAKA



14



Saputra, Teddy dkk. Masalah Penugasan Metode Kuantitatif Manajemen. Diakses



dari:



https://www.academia.edu/5008890/APLIKASI_LINEAR



PROGRAMMING. Diakses pada: 26 November 2015, 13.30. Dimyati, Tjutju Tarliah. Dimyati, Ahmad. (1992), Model-Model Pengambilan Keputusan, Penerbit: Sinar Baru Bandung, Bandung: 1992. Nasendi, B.D. dan A. Anwar. 1985. Program Linier dan Variasinya. PT Gramedia. Jakarta.



http://xerma.blogspot.co.id/2013/07/pengertian-peramalanforecasting_7938.html https://boomershusni.wordpress.com/2013/12/03/program-linier/ http://qmobi-ost.blogspot.co.id/2011/06/linear-programming.html http://directory.umm.ac.id/Data%20Elmu/pdf/bab1-C.pdf http://arpuz.blogspot.co.id/2013/02/bab-1_3987.html



15