Tugas Matematika [PDF]

Citation preview

HIMPUNAN (Makalah Matematika)



Oleh: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.



Agus Saputra Anggraini Arief Eftu Arief Shandi Nugraha Atep Hendiana Azi Maksum Dwi Sukma Juliady Endang Wijaya Erik Akbar Esa Handayani Fitri Rahmayani Hafiz Khairuddin Hijan Waldan Husmeni



15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.



Isnama Juwanda Kukuh Arianto M. Budi Imam Santoso Minaji Nur’aini Yanisa Nurlina Rati Hardianti Riduan Rizky Novian Zeni Sasti Monica Siti Asriatun Nahar Yustin Febriansyah



Dosen : Ayu Desi Ariyani, S.Pd



SEKOLAH TINGGI ILMU PERTANIAN SRIWIGAMA PALEMBANG 2017



Himpunan Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau objek yang didefinisikan (diberi batasan) dengan jelas. Yang dimaksud “didefinisikan dengan jelas” adalah dapat ditentukan dengan tegas apakah suatu benda atau objek dalam suatu kumpulan (kelompok) yang ditentukan atau tidak. Benda atau objek yang dimuat dalam suatu himpunan disebut anggota himpunan atau elemen.



Jenis-Jenis Himpunan 1. Himpunan Semesta Definisi : Himpunan semesta adalah suatu himpunan yang memuat seluruh benda atau semua objek yang sedang dibicarakan, atau himpunan yang menjadi objek pembicaraan. Himpunan semesta sering disebut semesta pembicaraan atau set universum, dinotasikan dengan S atau U. Contoh:  Misalkan A = {2,3,5,7}. Himpunan semesta yang mungkin untuk himpunan tersebut adalah S = {bilangan prima}  Misalkan B = {Januari, Februari, Maret, April}. Himpunan semesta yang mungkin untuk himpunan tersebut adalah S = {nama bulan}



2. Himpunan Kosong Definisi : Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki atau tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong dilambangkan atau dinotasikan dengan Ø atau {}. Perlu diperhatikan antara himpunan kosong dengan himpunan yang tidak tepat (bukan himpunan). Sering kali yang bukan himpunan dianggap sebagai himpunan kosong. Untuk itu kita harus benarbenar memperhatikan syarat-syarat keanggotaannya. Bila anggotanya benarbenar tidak ada, maka kumpulan itu termasuk himpunan kosong. Sebaliknya bila anggotanya tidak jelas, dalam arti tidak dapat dibedakan apakah suatu objek termasuk anggotanya atau tidak, maka kumpulan tersebut bukanlah himpunan.



Contoh :  A adalah himpunan mahasiswa STIPER SRIWIGAMA Palembang yang berusia 15 tahun. Maka, A = {} atau A = Ø  B adalah himpunan bilangan asli yang lebih kecil dari 1. Maka, B = {} atau B = Ø  Himpunan nama-nama hari yang diawali dengan huruf C. Maka, B = {} atau B = Ø Hati-hati dengan angka nol (0) sebab nol (0) bukanlah himpunan kosong tetapi merupakan anggota dari himpunan yang bernilai nol (0). Seperti pada himpunan 5 bilangan cacah pertama, maka bilangan nol adalah salah satu anggota himpunan bilangan tersebut.



3. Himpunan Terhingga Definisi : Himpunan terhingga yang sering disebut finite set adalah himpunan yang banyak anggotanya terhingga (anggotanya dapat dihitung). Contoh: Tentukan banyak anggota dari himpunan-himpunan berikut. a. P = {1, 3, 5, 7, 9, 11} b. Q = {0, 1, 2, 3, ..., 10} Penyelesaian: a. Banyak anggota P adalah 6, ditulis n(P) = 6. b. Banyak anggota Q adalah 11, ditulis n(Q) = 11.



4. Himpunan Tak Terhingga Definisi : Himpunan tak hingga yang sering disebut infinite set merupakan himpunan yang jumlah anggotanya tak terhingga atau tidak terbatas. Himpunan yang mempunyai anggota sangat banyak, sehingga tak mungkin kita tulis secara terperinci, dapat ditulis dengan cara tabulasi menggunakan tanda “…” (tiga titik), dibaca ‘seterusnya’. Tanda ini dimaksudkan untuk menyatakan bahwa ada beberapa anggota yang tidak kita tuliskan.



Contoh:  Misalkan B sebuah himpunan tak terhingga dapat ditulis dengan B = {6,7,8,…} 



R = {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...} Banyak anggota R adalah tidak berhingga atau n(R) = tidak berhingga.



5. Himpunan Sama Definisi : Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika setiap angota himpunan A juga merupakan angota himpunan B demikian pula sebaliknya tanpa melihat urutannya. Himpunan Sama dinotasikan dengan : A = B Contoh : 1. Jika A = {1,2,3} B = {2,3,1} Maka A = B, karena setiap anggota A ada pada B, dan setiap anggota B termasuk anggota A. 2. Perhatikan himpunan-himpunan berikut : { a }, { a, b, c }, { a, c, D }, { c, b, a }, { a, b } Manakah dari himpunan-himpunan tersebut yang sama dengan himpunan A = { b, c, a } ? Jawab : Himpunan { a, b, c } dan { c, b, a } identik atau sama dengan himpunan A karena mereka mempunyai tiga buah elemen yang sama. Himpunan-himpunan yang lain tidak sama dengan himpunan A karena mereka tidak mengandung semua elemen dari himpunan A atau mengandung elemen lain. 3. Jika P = {menteri-menteri di Indonesia} Q = {bilangan asli < 5} Maka P≠Q, karena anggota P tidak merupakan anggota Q, dan begitu sebaliknya.



6. Himpunan Kuasa Definisi : Himpunan Kuasa (Power Set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. Himpunan ini dinotasikan dengan notasi: P(A) = {X | X ⊆ A} Contoh: - Misalkan A = {a}, maka P(A) = {∅, {a}} - Jika A = {1,2} maka P(A) = {Ø, {1},{2},{1,2}}. - Jika B = {1,2,3} maka P(B) = {Ø, {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}



7. Himpunan Bagian (Subset) Definisi : Himpunan bagian A adalah himpunan bagian dari B, bila setiap anggota A adalah anggota B, ditulis A ⊆ B atau dibaca A adalah subset dari B . Pada Definisi tersebut, A disebut subset dari B atau B adalah superset dari A. Contoh: Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka A ⊆ B. Misalkan K = {a, b, c}, L = {b, c, a}, maka K ⊆ L dan L ⊆ K. Atau dengan kata lain A = B. Perhatikan bahwa A ⊆ B tidak sama dengan A ⊂ B. A ⊆ B digunakan untuk menyatakan bahwa berarti bahwa A adalah subset dari B dan memungkinkan A = B. Sedangkan A ⊂ B berarti bahwa A adalah subset dari B tetapi A ≠ B. A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B. Jika A ⊆ B maka A ⊂ B dan A = B Jika A ⊂ B maka A ⊂ B dan A ≠ B Misalkan X = {4, 5, 6} dan Z = { 4, 5, 6, 7, 8}. Tentukan semua kemungkinan himpunan Y sedemikian sehingga X ⊂ Y dan Y ⊂ Z. Penyelesaian: Karena X ⊂ Y dan Y ⊂ Z, berarti Y harus mengandung semua elemen X dan sekurang-kurangnya satu elemen dari Z. Dengan demikian: Y = {Y1, Y2} dengan Y1 = {4, 5, 6, 7} dan Y2 = {4, 5, 6, 8}.



Untuk menentukan banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan dapat dicari seperti pada tabel berikut: Tabel 1. Tabel untuk menentukan banyaknya himpunan bagian Banyaknya Hubungan Himpunan A N(A) Himpunan bagian A himpunan No. kolom (ii) (i) (ii) (iii) bagian A dengan (iv) (iv) 1. {} 0 {} 1 20 2. {a} 1 { },{a} 2 21 3. { a, b } 2 { }, {a}, {b},{a, b} 4 22 { }, {a}, {b}, {c}, 4. { a, b, c } 3 {a, b}, {a, c}, 8 23 {b, c}, {a, b, c} {} {a}, {b}, {c}, {d} {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, { b, d}, 5. {a, b, c, d} 4 16 24 {c, d} {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d} {a, b, c, d} {} {a, b, c, d, ...} n 2n {a}, {b}, ... Jadi dapat disimpulkan bahwa banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan dengan banyak anggota n adalah 2n Contoh : Ada berapa himpunan bagiankah dari himpunan A = {2, 4, 6, 8, 10}? Penyelesaian: Himpunan A memiliki 5 anggota. Dengan demikian, banyaknya himpunan bagian dari A adalah 2n(A) = 25 = 32 himpunan.



8. Himpunan Ekuivalen Definisi : Dua buah himpunan atau lebih disebut ekuivalen satu sama lain, bila banyaknya anggota himpunan-himpunan tersebut sama. Dengan kata lain, dua himpunan atau lebih disebut saling ekuivalen, bila antara setiap anggota himpunan yang satu mempunyai hubungan satu-satu dengan setiap anggota himpunan lainnya. Kita nyatakan himpunan A yang ekuivalen dengan himpunan B dalam notasi A ~ B.



Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa A ~ B, bila n (A) = n (B) atau banyaknya anggota himpunan A sama dengan banyaknya anggota himpunan B. Contoh:  Jika A = {u, n, g, u} dan B = {n, o, a, h} Maka, A~B, karena n(A) = n(B)  X = { p, q, r, s } dan Y = { 2, 3, 5, 7 } Maka, X ~ Y



9. Bilangan Kardinalitas Definisi : Jika himpunan A memiliki n buah elemen yang berbeda, maka A adalah himpunan berhingga dan n merupakan kardinalitas dari A / banyaknya anggota himpunan A (ditulis : |A|) Contoh :  A = {a, b} maka P(A) = {{ } { 1 } { 2 } { 3 }} |A| = 2 dan |P(A)| = 4  B = { }maka P(B) ={{ } { 1 } { 2 } { 3 } { 1,2 } { 1,3 } { 2,3 } { 1,2,3 }} |B| = 3 dan |P(B)| = 8  C = {1, 2, 3, 4} maka P(C) = {{ } { 1 } { 2 } { 3 } { 4 } { 1,2 }{ 1,3} { 1,4 } { 2,3 }{ 2,4 } { 3,4 } { 1,2,3 } { 1,2,4 }{ 1,3,4 } { 2,3,4 } { 1,2,3,4 }} |C| = 4 dan |P(C)| =16 Dari beberapa contoh tersebut dapat disimpulkan bahwa : |P(Z)| = 2|Z| - P(Z) = himpunan kuasa Z - |P(Z)|= jumlah anggota himpunan kuasa Z - |Z| = jumlah anggota himpunan Z ( kardinalitas Z )



OPERASI-OPERASI PADA HIMPUNAN 1. Himpunan Saling Lepas (Disjoint) Definisi: Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas atau saling asing jika kedua himpunan tersebut tidak mempunyai anggota persekutuan. Contoh: 1. C = {1, 3, 5, 7} dan D = {2, 4, 6} Maka himpunan C dan himpunan D saling lepas. 2. A = {burung, ayam, bebek} dan B = {kucing, anjing, ikan}. Perhatikan bahwa tidak ada satupun anggota himpunan A yang menjadi anggota himpunan B. Demikian pula sebaliknya, tidak ada satu pun anggota himpunan B yang menjadi anggota himpunan A. Dalam hal ini dikatakan bahwatidak ada anggota persekutuan antara himpunan A dan B. Hubungan antara himpunan A dan B seperti ini disebut himpunan saling lepas atau saling asing.



2. Irisan (Interseksi) Definisi : Irisan dikenal juga dengan sebutan interseksi. Jika kita mengatakan dua himpunan A dan B beririsan, maksudnya adalah himpunan elemen-elemen yang menjadi anggota himpunan A dan juga menjadi anggota himpunan B. Operasi irisan dapat dinotasikan dengan tanda ∩. Maka untuk menuliskan himpunan A beririsan dengan himpunan B dapat ditulis dengan operasi yaitu: A ∩ B (dapat dibaca: “A irisan B”, atau “A interseksi B”). Contoh 1 : Bila A = { p, q, r, s} dan B = { r, s, t} Maka, A ∩ B = {r, s}. Hasil tersebut dapat digambarkan melalui diagram Venn sebagai berikut:



Diperolehnya A ∩ B = {r, s}, karena r dan s termasuk dalam anggota himpunan A sekaligus termasuk dalam anggota himpunan B.



Contoh 2 : Bila P = {1, 2, 5, 7} dan Q = {2, 5, 7} maka P ∩ Q = {2, 5, 7}. Hasil tersebut dapat digambarkan melalui diagram Venn sebagai berikut.



Diperolehnya P ∩ Q = {2, 5, 7}, karena 2, 5 dan 7 termasuk dalam anggota himpunan P sekaligus termasuk dalam anggota himpunan Q.



Selanjutnya, operasi irisan juga dapat didefinisikan sebagai berikut: A ∩ B = { x │ x ∈ A, x ∈ B } Himpunan A irisan B adalah himpunan x sedemikian hingga x merupakan anggota A dan x merupakan anggota B. Dari definisi di atas, disimpulkan bahwa irisan antara dua buah himpunan adalah himpunan yang anggotanya termasuk pada kedua himpunan itu.



SIFAT-SIFAT IRISAN 1. Sifat Komutatif A ∩ B = B ∩ A Jika A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5} dan C = {4, 5, 6} maka A ∩ B = {3, 4} dan B ∩ A = {3, 4}. Tampak bahwa A ∩ B = B ∩ A. Perhatikan anggota-anggota pada himpunan A dan B. Anggota A ∩ B merupakan persekutuan dari anggota pada himpunan A dan himpunan B. Anggota himpunan A yang terdapat di himpunan B adalah 3, 4. Dengan demikian, A ∩ B = {3,4}. Selanjutnya, kita tentukan B ∩ A. Anggota di himpunan B yang terdapat di himpunan A adalah 3, 4. Dengan demikian, B ∩ A = {3, 4}. Dari hasil tersebut dapat disimpulkan bahwa A ∩ B = B ∩ A. 2. Sifat Asosiatif (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Jika A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5} dan C = {4, 5, 6} Berdasarkan himpunan A, B, dan C di atas dapat diketahui bahwa A ∩ B = {3, 4} dan B ∩ C = {4, 5}, sehingga (A ∩ B) ∩ C = {3, 4} {4, 5, 6} (A ∩ B) ∩ C = {4} A ∩ (B ∩ C) = {1, 2, 3, 4}{4, 5} A ∩ (B ∩ C) = {4} Tampak bahwa (A∩B) ∩ C = A∩ (B ∩ C). Dengan demikian, dapat ditunjukkan bahwa (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). Anggota himpunan A yang juga terdapat di himpunan B adalah r, s, sehingga diperoleh A ∩ B = {3, 4}. Adakah anggota himpunan C yang sama dengan anggota di A ∩ B? Ternyata ada yaitu 4, 5. Dengan demikian, (A ∩ B) ∩ C = {4}. Selanjutnya, perhatikan anggota himpunan B yang terdapat di himpunan C yaitu 4, 5, sehingga B ∩ C = {4, 5}. Amati anggota himpunan A yang terdapat di himpunan B ∩ C yaitu 4, sehingga (A ∩ B) ∩ C = {4}. Dengan demikian dapat ditunjukkan bahwa (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).



3. Sifat distributif : 



Distributif gabungan terhadap irisan : A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )







Distributif irisan terhadap gabungan : A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )



Jika himpunan A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5, 6}, dan C = {3, 6, 7}, diperoleh B ∪ C = {3, 4, 5, 6, 7}, A ∩ B = {3}, dan A ∩ C = {3}. Dengan demikian diperoleh: A ∩ (B ∪ C) = {1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5, 6, 7} A ∩ (B ∪ C)= {3} (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {3} ∪ {3} (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {3} Tampak bahwa A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Secara umum berlaku sebagai berikut. Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Sifat ini disebut sifat distributif irisan terhadap gabungan.



4. Sifat Identitas 1. A ∩ ∅ = ∅ 2. A ∩ S = A Diketahui S = himpunan bilangan asli kurang dari 10 dan J = {2, 3, 5, 7}. Tentukan: a. J ∩ ∅ b. J ∩ S Penyelesaian: S = himpunan bilangan asli kurang dari 10 maka S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} a. J ∩ ∅ = {2, 3, 5, 7} ∩ { } ( Ingat irisan dua himpunan didapat dengan mencari anggota yang sama) J∩∅=∅ b. J ∩ S = {2, 3, 5, 7} ∩ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} J ∩ S = {2, 3, 5, 7} J∩S=J



4. Sifat Idempoten A ∩ A = A A∩A Diketahui K = {4, 5, 6}. Tentukan: K ∩ K Penyelesaian: K ∩ K = {4, 5, 6} ∩ {4, 5, 6} = {4, 5, 6} K∩K=K



Gabungan (Union) Union adalah gabungan dari dua himpunan atau lebih yang hasilnya merupakan seluruh anggota kedua himpunan tersebut. Notasi dari union ini adalah ∪ (huruf u lepas). Contoh: A = {1,2,3} dan B ={3,4,5} Maka, A ∪ B adalah {1,2,3,4,5},



SOAL-SOAL 1.



Diketahui himpunan-himpunan dibawah ini:



A ={ 1,3,3,5,3,2,5 } , B ={Kediri, Pare, Blitar, Kediri, Pare} C = { x / 4 < x ≤ 5 } , D = himpunan bilangan asli kurang dari 1  Tentukan Kardinalitas A, B, C dan D!  Tentukan banyaknya anggota himpunan kuasa A, B, C dan D!  Tentukan Himpunan kuasa dari A, B, C dan D! 2.



Tentukan kardinalitas dan banyaknya anggota himpunan kuasa dari himpunanhimpunan dibawah ini! a. K = {x / x > 5 atau x < 10, x bil. Asli} b. L = {x / x 0 dan x < 4, x bil. Cacah} c. M = {mangga, jeruk, mangga, nangka, jeruk, durian} d. N = {a, a, b, b, c, c, d, d}



3.



Tentukan A + B jika diketahui: A = {a, b, d, e, f} B = {1, a, 2, b, 3, c}



4.



A = { s, d, f, g, h } B = { h, g, s, d, f } Tentukan A + B!



5.



Tentukan A + B jika diketahui himpunan: A = Himpunan bilangan kuadrat yang kurang dari 100 B = Himpunan bilangan kubik yang kurang dari 100



6.



Jika diketahui: A = { s, d, f, g, h } B = { h, g, s, d, f } C = { h, i } Tentukan: a. A ∪ (B + C) b. A ∩ (B + C)



7.



Tentukan himpunan bagiannya! A={1} B = { a, b } C = {Saya, Mahasiswa, Stiper}



8.



Tentukan himpunan kuasa dari himpunan berikut: a. A = {1, 2, 3, 4} b. B ={1, 2, 3, 4, 5} c. C ={1, 2, ..., 7, 8}



9.



Dari 55 mahasiswa, 30 siswa gemar drama Korea, dan 35 siswa gemar drama India. Tentukan banyak siswa yang: a. Gemar kedua-duanya b. Gemar drama Korea saja c. Gemar drama India saja



10. Suatu asrama dihuni 50 mahasiswa dengan perincian 30 orang menguasai bahasa Inggris, 25 orang menguasai bahasa Jerman, dan 10 orang menguasai bahasa Inggris dan Jerman. Berapa orang yang tidak menguasai bahasa Inggris dan Jerman? 11. Diketahui, himpunan semesta S : {a, b, c, d, e, f, g} A = {a, b, c, d, e}, B = {a, c, e, g}, C = {b, e, f, g} Tentukan: a. A ∪ C b. B ∩ A 12. Dari sekelompok siswa didapat data sebagai berikut : 85 siswa gemar Volly, 63 siswa gemar Basket, 48 gemar Volly maupun basket. Banyaknya siswa dalam kelompok ini adalah . . . . A. 181 anak B. 163 anak C. 123 anak D. 115 anak 13. Dari sekelompok mahamahasiswa 45 mahasiswa gemar bermain basket, 33 mahasiswa gemar main volly, 19 gemar main kedua cabang dan 17 mahasiswa tidak gemar keduanya. Jumlah mahasiswa dalam kelompok tersebut adalah? 14. Diketahui K = {bilangan prima antara 2 dan 12} L= {4 bilangan kelipatan 3 yang pertama}. A ∩ B adalah …. 15. Dalam seleksi penerimaan mahasiswa, setiap mahasiswa harus lulus tes matematika dan bahasa. Dari 180 peserta terdapat 103 orang dinyatakan lulus tes matematika dan 142 orang lulus tes bahasa. Banyak mahasiswa yang lulus sebagai penerima beasiswa ada.............