Tugas Pengantar Optimasi [PDF]

Citation preview

TUGAS PENGANTAR OPTIMASI METODE FIBONACCI



Disusun Oleh : Kelompok 2 1. Ahmad Rindarto



(08011381823074)



2. Dinda Eka Syaputri



(08011381823050)



3. Hadip Anugrah



(08011281823100)



4. Ibnul Kamal



(08011281823102)



5. Joey Rycho Benvenuto Sulistiawan (08011281823042) 6. Kariena Viera Rachman



(08011281823028)



7. Muhammad Sahril



(08011281823098)



8. Muthasya Gaby Yusika



(08011381823054)



9. Nabila



(08011281823108)



10. Risma Dwi Yunita Yana



(08011381823064)



11. Rizky Helmayanti



(08011181823012)



12. Ulta Mustika



(08011381823088)



JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SRIWIJAYA 2020/2021



1. PENGERTIAN Mengoptimalkan (maksimumkan/minimumkan) Program matematis dikatakan program linier jika f (x) dan setiap gi (x ) merupakan fungsi linier. Apabila terdapat minimal satu fungsi berbentuk tak linier maka program matematis dikatakan program tak linier. Program matematis tak berkendala apabila pada program matematis setiap gi (x ) dan gi bernilai nol. 



Maksimum dan Minimum Lokal



Definisi: Misalkan I daerah asal dari f yang memuat titik c, dikatakan bahwa: a. f (c ) adalah nilai maksimum f pada I jika f (c )≥ f (x ) untuk semua x di I. b. f (c ) adalah nilai minimum f pada I jika f (c )≤ f ( x ) untuk semua xdi I. c. f (c ) adalah nilai ekstrim f pada I jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum. 



Teorema Titik Kritis Misalkan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f (c ) adalah titik ekstrim,



maka c haruslah suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu dari: a. Titik ujung pada I b. Titik stasioner dari f yaitu f ' (c )=0 c. Titik singular dari f yaitu f ' (c ) tidak ada 



Fungsi Unimodal Fungsi unimodal yaitu suatu fungsi yang hanya mempunyai satu puncak (maksimum) atau satu



lembah (minimum). Apabila suatu fungsi bersifat multi modal (berpuncak banyak) pada suatu interval tertentu, maka untuk mengubah fungsi tersebut agar menjadi fungsi yang unimodal dengan cara interval tersebut harus dibagi menjadi interval-interval yang lebih kecil sehingga pada intervalinterval kecil tersebut fungsi bersifat unimodal. Contoh fungsi unimodal



Pencarian Fibonacci dapat dipakai untuk mencari maximum dari sebuah fungsi satu variabel, bahkan untuk fungsi yang tidak menerus. Teknik ini, seperti teknik eliminasi yang lainnya mempunyai ciri khas sebagai berikut: (i)



Interval permulaan dimana terletak titik optimum harus diketahui terlebih dahulu.



(ii)



Fungsi tujuan yang dioptimasikan harus fungsi unimodal pada interval pencarian.



(iii) Letak yang tepat dari titik optimum tidak dapat ditentukan. Hanya interval pencariannya saja yang dapat diketahui. Interval pencarian dapat diperkecil sesuai dengan ketelitian yang dikehendaki. (iv) Jumlah nilai fungsi tujuan yang harus dievaluasi dalam pencarian atau jumlah subinterval pencarian harus ditentukan sebelumnya. Pada teknik Fibonacci ini digunakan sebuah deret yang dinamakan deret Fibonacci (Fn)yang mempunyai ciri sebagai berikut: F 0=F 1=1 F n=Fn −1 + F n−2 , n=2,3,4 , , , ,



}



yang menghasilkan deret: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … Untuk menjelaskan prosedur teknik Fibonacci, maka disajikan Gambar 2.4. Dimisalkan interval pencarian mula-mula adalah L0 = b – a, sedangkan n adalah jumlah pencarian yang harus dilaksanakan. Didefinisikan: F n−2 ¿ L= L Fn 0 dan dicari dua titik x1 dan x2 yang diletakkan masing-masing pada jarak L* pada kedua tepi interval. Sehingga X 1 =a+ L¿ F X 2=b−L¿ =a+ n−1 L0 Fn



}



Dengan menggunakan sifat fungsi unimodal, maka dapat ditentukan interval yang mana yang mengandung titik optimum. Pada gambar, interval yang mengandung titik optimum menjadi (x1, b). Besarnya interval ini adalah ¿



L=L0 −L =L0 −



F n−2 Fn−2 Fn −1 L0= 1− L0 = L Fn Fn Fn 0



(



)



Langkah selanjutnya adalah mengulangi prosedur di atas dengan nilai n yang baru yang dihitung sebagai n = n – 1. Demikian prosedur ini diulang sampai dengan n = 1. Teknik ini kalah populer dengan teknik Rasio Emas yang akan dijelaskan pada bab selanjutnya. Kekalahan itu disebabkan oleh adanya



F n−2 yang baru setiap kali akan menentukan interval pencarian Fn



yang baru. 2. Contoh soal Cari nilai maksimum dari fungsi berikut f = x (1.5 – x) dengan metode Fibonacci, dalam interval (0,2) dengan n = 4. Jawab:



Karena F 2=F 4 maka, nilai n=4 adalah pada interval ( x 3 , x 2 )= ( 0.4 , 0.8 ). Jadi,



L4 0.8−0.4 1 1 = =0.2 hal ini relevan dan terbukti sama dengan , = =0.2 F4 5 L0 2−0