Uji Konvergensi Dereeet PDF [PDF]

Citation preview

Kalkulus 2 Deret Pangkat dan Uji Konvergensi



Dhoni Hartanto S.T., M.T., M.Sc.



Department of Chemical Engineering Semarang State University 1



Deret Pangkat Experimental Urutan dan deret (sequences and series) 1. Urutan angka merupakan rangkaian angka tak terbatas (jumlah n) yang membentuk suatu pola atau susunan



1, 2, 3, 4;......atau



1 1 1 , , ;.....atau  1,1,  1 2 3 4



Syarat urutan konvergen : jika n semakin besar, maka urutan tersebut akan mendekati suatu angka tertentu dimana angka tersebut merupakan suatu limit urutan



Jika urutan tidak mempunyai limit, maka urutan tersebut tidak konvergen atau disebut divergen (diverges) 2



Deret Pangkat Experimental Contoh (konvergen)



n 1 n 1 1 konvergen, karena lim an  n   n n Semakin besar nilai n maka urutan tersebut semakin mendekati nilai 1 sehingga bersifat konvergen Contoh (divergen)



an  2n divergen, karena lim 2n   n 



Semakin besar nilai n maka urutan tersebut semakin besar menuju tak hingga sehingga bersifat divergen



3



Deret Pangkat Experimental 2. Deret merupakan bentuk penjumlahan dari suatu urutan, berbentuk



a1  a2  a3  a4  ....  an  ... jika deret berhenti sampai an maka deret terbatas (finite), jika deret berlanjut terus maka deret tersebut tak hingga (infinite) 



n a  L n 1



Penjumlahan sebagian deret n merupakan penjumlahan deret hingga nilai n. Jika penjumlahan sebagian tersebut konvergen terhadap L maka deret tersebut konvergen terhadap limit L.



4



Deret Pangkat Experimental 2. Deret (lanjutan) Jika tidak terdapat limit tersebut divergen.



(seperti deret harmonik) berarti deret







1 1 1 1 contoh deret harmonik   1  , ,  .... 2 3 4 n 1 n 



1 Misal : apakah deret  n konvergen? Jika iya, tentukan nilainya n 1 3 Penyelesaian : Bentuk deret :



1 1 1 1  2  3  ....  n 3 3 3 3



5



Deret Pangkat Experimental 1 1 1 1 S n   2  3  ....  n (a) 3 3 3 3 1 1 1 1 1 S n  2  3  ....  n  n1 Kalikan dengan 1/3, sehingga 3 3 3 3 3



(b)



Kurangkan persamaan (a) ke persamaan (b), didapat



2 1 1 S n   n 1 3 3 3



3 1 1  S   Lalu kalikan dengan 3/2, sehingga n  n 1  23 3 



Kemudian tentukan limit



31 1  lim   n1   n  2 3 3  



31  1   0  23  2



Deret konvergen dengan nilai



1 2



6



Deret Pangkat Experimental Deret pangkat (power series) -) deret pangkat untuk x = 0 



n 2 n c x  c  c x  c x  ....  c x  ... n 0 1 2 n n 0



-) deret pangkat untuk x = a 



n 2 n c ( x  a )  c  c ( x  a )  c ( x  a )  ....  c ( x  a )  ... n 0 1 2 n n 0



Dimana a merupakan pusat dan c0, c1 , c2 ,….., cn merupakan konstanta, sedangkan x merupakan variabel.



7



Aplikasi Deret Pangkat Experimental Grafik y = 1/(1-x) dan pendekatan polinomialnya 12



10



y=1/(1-x)



8



y=1+x+..+(x^8) y=1+x+(x^2)



6



y=1+x y=1



4



y=1+x..+(x^15) 2



0 -1



-0.5



0



0.5



1



1  1  x  x 2  x 3  ....  x n  ... (1  x  1) 1 x 8



Aplikasi Deret Pangkat Experimental Contoh deret pangkat diketahui sebagai berikut : 1  12 ( x  2)  14 ( x  2) 2  ...  ( 12 ) n ( x  2) n  ... a  2; c0  1; c1   12 ; c2  14 ; cn  ( 12 ) n ratio (r )  



x2 2



x2  1 atau 0  x  4 Deret konvergen untuk 2 a 1 1 2 Penjumlahan deret adalah S n     x2 1 r 1 r 1 ( 2 ) x



Sehingga 2  1  12 ( x  2)  14 ( x  2) 2  ...  ( 12 ) n ( x  2) n  ...., 0  x  4 x 9



Aplikasi Deret Pangkat Experimental Grafik y = 2/x dan pendekatan polinomialnya 3.5 3 2.5 2



2/x 1-0.5(x-2)=2-(x/2)



1.5



1-0.5(x-2)+0.25(x-2)^2 1 0.5 0 0



1



2



3



4



2  1  12 ( x  2)  14 ( x  2) 2  ...  ( 12 ) n ( x  2) n  ...., 0  x  4 x 10



Deret Geometrik Experimental 



a  ar  ar 2  ar 3  ....  ar n 1   ar n1 n 1



Bagaimana mengecek deret konvergen atau tidak konvergen pada deret geometrik? Jika r  1 , maka deret konvergen Jika r  1 , maka deret divergen



Misal deret konvergen :



Sedangkan deret



1 1 1 1  2  3  ....  n 2 2 2 2



2  22  23  2n  ... divergen



11



Deret Geometris Experimental Jumlah pada deret geometris



a(1  r n ) Sn  (1  r )



4  1   1   1     3   3   40 1 Untuk deret  , maka jumlah deret hingga deret ke-4 adalah S 4   n 81  1 n 1 3 1    3



Untuk deret geometris tak terhingga jika deret tersebut konvergen, maka



lim r n  0 Sehingga n 



S



a 1 r



12



Uji Konvergensi Experimental Beberapa cara uji konvergensi : 1) Tes rasio (ratio test) 2) Tes Integral (integral test) 3) Tes perbandingan (comparison test)



13



Uji Konvergensi Experimental 1) Tes rasio (ratio test)



an 1  n  a n a) Jika   1 , maka deret konvergen b) Jika   1 , maka deret divergen c) Jika   1 , dalam hal ini uji tidak menyediakan informasi yang cukup lim



sehingga deret bisa konvergen atau juga divergen 



Contoh : Tentukan apakah deret



n konvergen  n n 1 3



n 1 n n n 1     1 n  1 3 n  1 3 3  n 1     lim  lim n 1    lim n  n   n   n 3 n n 3  3 3n Karena nilai



  1 , maka deret konvergen 14



Uji Konvergensi Experimental 2) Tes integral (integral test) Jika f positif, kontinyu, dan menurun untuk x  1 dan an = f(n), maka 



a n 1



dan



n











1



f ( x) dx



, kedua-duanya bisa konvergen atau divergen







6n 2 Contoh : apakah deret  3 konvergen? n 1 n  1 Penyelesaian : Integralkan, mengganti n dengan x, sehingga











1



6x2 dx 3 x 1



6x2 lim  3 dx , subtitusi u = x3 +1 dan du = 3x2 dx, sehingga diperoleh : a  1 x  1 a 3 1 du a 3 1 lim 2  lim 2 (ln u ) 2  lim 2 (ln(a 3  1)  ln 2)   2 a  a  u a a



Hasil integral tak hingga (divergen) sehingga deret juga divergen 15



Uji Konvergensi Experimental 3) Tes perbandingan (comparison test) Jika 0  an  bn , untuk semua nilai n 



a) Jika



b n 1 



b) Jika



n



b n 1



n







konvergen, maka



a







divergen, maka



n 1



a n 1



n



n



konvergen



divergen







Contoh : apakah deret



1 konvergen?  n n 1 5  2



Penyelesaian :



1 Kita tahu bahwa nilai n konvergen karena r  1 2 1  1 1 Jika dibandingkan maka lebih kecil dari n sehingga  konvergen n n 5 2 2 n 1 5  2



16



Uji Konvergensi Experimental 



1 1. Apakah deret  konvergen? Gunakan tes rasio n 1 3n 



2. Apakah deret



n e  konvergen? Gunakan tes integral n 1







3. Apakah deret



1 konvergen? Gunakan tes perbandingan  n2 n  1



17



Deret Taylor Experimental Deret ini Taylor pada titik



x = a merupakan deret yang berguna untuk



pendekatan fungsi disekitar titik x = a 



 k 0



f ( k ) (a) k f " (a) f n (a) 2 ( x)  f (a)  f ' (a)( x  a)  ( x  a)  ...  ( x  a) n  ... k! 2! n!



Deret Taylor khusus pada x = 0 disebut Deret Mclaurin 



 k 0



f ( k ) (a) k f " (0) 2 f n (0) n ( x)  f (0)  f ' (0) x  x  ...  x  ... k! 2! n!



18



Deret Taylor Experimental 1 Contoh : Tentukan Deret Taylor yang dihasilkan oleh fungsi f ( x)  x 1 Pertama, turunkan fungsi f ( x)  x



f ( x)  x 1







f (1)  1



f ' ( x)   x  2







f ' (1)  1



f " ( x )  2 x 3







f " (1)  2  2!



f ' " ( x)  6 x  4







f ' " (1)  6  3!



f ( 4) ( x)  24 x 5







f ( 4 ) (1)  24  4!



f ( n ) ( x)  (1) n



n!  n 1 x



f ( n ) (1)  (1) n n!



pada a = 1



Langkah ke-2, masukkan ke persamaan Deret Taylor 2!( x  1) 2 3!( x  1)3 1  ( x  1)    ...  2! 3! 



1  ( x  1)  ( x  1)  ( x  1)  ...   (1) k ( x  1) k 2



3



k 0



19



Deret McLaurin Experimental Beberapa contoh Deret McLaurin yang sering digunakan  x 2 x3 xk e  1  x    ...   2! 3! k  0 k! x



 x3 x5 x 2 k 1 k sin x  x    ...   (1) 3! 5! (2k  1)! k 0



2k  x2 x4 k x cos x  1    ...   (1) 2! 4! (2k )! k 0



Buktikan



Buktikan



Tugas Hitung dengan menggunakan deret dan kalkulator atau M. Excel kemudian bandingkan (% eror)



k 1  x 2 x3 x 4 x ln(1  x)  x    ...   (1) k 2 3 4 k 1 k 0



sin 10o



20



Aplikasi Deret Taylor Experimental Dalam praktik penggunaan pada Deret Taylor, tidak semua deret digunakan Umumnya hanya menggunakan beberapa suku awal saja 1.



Order nol (menggunakan suku pertama)



Saat nilai f ( xi 1 )  f ( x)



, berarti nilai fungsi pada titik x1+i sama dengan



nilai fungsi pada titik xi . Hal tersebut berlaku jika fungsi konstan. Jika tidak maka harus memperhitungkan suku-suku berikutnya.



2. 3. 4.



Order satu (menggunakan dua suku pertama) x f ( xi 1 )  f ( x)  f ' ( x) 1! Order dua (menggunakan dua suku pertama) x x 2 f ( xi 1 )  f ( x)  f ' ( x)  f " ( x) 1! 2! Order tiga (menggunakan tiga suku pertama) x x 2 x 3 f ( xi 1 )  f ( x)  f ' ( x)  f " ( x)  f ' " ( x) 1! 2! 3! 21



Aplikasi Deret Pangkat pada Persamaan Diferensial Experimental Selesaikan y' y  x,



y(0)  1



Penyelesaian : Asumsi penyelesaian dalam bentuk



y  a0  a1 x  a2 x 2  a3 x3  .....  an1 x n1  an x n



Tujuan kita adalah ingin menemukan nilai ak ,maka turunan pertamanya



y'  a1  2a2 x  3a3 x 2  .....  nan x n1 Mengurangkan persamaan awal dengan turunannya



y' y  (a1  a0 )  (2a2  a1 ) x  (3a3  a2 ) x 2  .....  (nan  an1 ) x n1  ... Sehingga diperoleh



a1  a0  0



nan  an1  0



2a2  a1  1 3a3  a2  0 22



Aplikasi Deret Pangkat pada Persamaan Diferensial Experimental Penyelesaian (lanjutan) :



a0  1 ; a1  a0  1



a3 



a2 2 2   3 3 . 2 3!



1  a1 1  1 2 a2    2 2 2!



an 1 2 an   n n! Subtitusi ke persamaan : y  a0  a1 x  a2 x 2  a3 x3  .....  an1 x n1  an x n x2 x3 xn y  1  x  2  2  .....  2  .... 2! 3! n!  x 2 x3  xn y  1  x  2   .....   .... n!  2! 3! 



Sehingga persamaan menjadi :







y  1  x  2 ex 1  x y  2e x  1  x







Deret McLaurin 2 3 x x e x  1  x    ... 2! 3! x 2 x3 x e 1 x    ... 2! 3!



Penyelesaian 23



Aplikasi Deret Pangkat pada Persamaan Diferensial Experimental Tentukan deret dari persamaan diferensial :



1) y ' y  0, 2) y ' y  x, 3) y ' xy  0,



y (0)  1 y (0)  1 y (0)  1



24



Thank you for your attention



25