UKB Elips [PDF]

Citation preview

Unit Kegiatan Belajar Mengajar 3



IRISAN KERUCUT (ELLIPS) 1. a. b. c.



IDENTITAS Nama Mata Pelajaran : Matematika Peminatan Semester :3 Kompetensi Dasar : 3.2 Menganalisis irisan kerucut (lingkaran, parabola, ellips, dan hiperbola). 4.2



Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan irisan kerucut (lingkaran, parabola, ellips, dan hiperbola)



d. Indikator Pencapaian Kompetensi : 3.2.1 Mendeskripsikan pengertian ellips 3.2.2 Menganalisis persamaan ellips yang berpusat di titik O(0,0) 3.2.3 Menganalisis persamaan ellips yang berpusat di titik (h, k) 3.2.4 Menentukan unsur-unsur yang terdapat pada ellips 3.2.5 Menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik P (x1, y1) pada ellips. 3.2.6 Menentukan persamaan garis singgung yang bergradien m pada ellips 3.2.7 Menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik P (x1, y1) di luar ellips. 4.2.1 Menerapkan berbagai persamaan ellips dalam meyelesaikan masalah matematika 4.2.2 Menerapkan unsur-unsur yang ada pada ellips dalam memecahkan masalahkan matematika 4.2.3 Menerapkan persamaan garis singgung ellips dalam menyelesaikan masalah matematika. e. Materi Pokok : Irisan Kerucut (Ellips) f. Alokasi Waktu : 10 x 45 menit g. Tujuan Pembelajaran : Melalui diskusi, tanya jawab, latihan soal dan penugasan peserta didik dapat mendeskripsikan pengertian ellips, menganalisis persamaan ellips yang berpusat di titik (0,0) dan berpusat di titik (h, k), menentukan unsur-unsur yang terdapat pada ellips, menentukan persamaan garis singgung ellips, menerapkan bentuk-bentuk persamaan ellips dan persamaan garis singgungnya, sehingga peserta didik dapat menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya, mengembangkan sikap jujur, disiplin, dan bertanggungjawab, serta dapatmengembangkan kemampuan berpikir kritis, komunikatif, kolaboratir dan kreatif (4C). h. MateriPembelajaran: Lihat dan baca pada Buku Teks Pelajaran (BTP): Sukino. 2014. Matematika Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam 2. Jakarta: Erlangga.



1



2. PETA KONSEP Definisi Parabola Persamaan Parabola Parabola



Unsur-unsur Parabola Persamaan garis singgung Parabola



Definisi Elips



IRISAN KERUCUT



Persamaan Elips



Elips



Unsur-unsur elips Persamaan garis singgung elips



Definisi Hiperbola Persamaan Hiperbola Hiperbola Unsur-unsur Hiperbola Persamaan garis singgung hiperbola



Definisi Lingkaran Lingkaran



Persamaan Lingkaran Persamaan garis singgung Lingkaran Irisan Dua Lingkaran



Dua lingkaran sepusat



Sistem koordinat polar Jarak dua titik



Dua lingkaran dengan pusat berbeda Bersinggungan Saling lepas



Luas daerah dengan pusat berbeda



Lingkaran I di dalam lingkaran II Berpotongan Garis singgung persekutuan



2



3. KEGIATAN PEMBELAJARAN Petunjuk Umum Unit Kegiatan Belajar Mengajar (UKBM) 1. Baca dan pahami materi pada UKBM. Manfaatkan perpustakaan, lingkungan sekitar, bahkan jika memungkinkan browsing di internet. 2. Setelah memahami isi materi dalam UKBM, berlatihlah untuk berfikir tinggi melalui tugas-tugas yang ada, baik bekerja sendiri maupun bersama teman sebangku atau teman lainnya. 3. Kerjakan UKBM ini di buku kerja atau langsung mengisikan pada bagian yang telah disediakan. 4. Kalian dapat belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan ayo berlatih, apabila kalian yakin sudah paham dan mampu menyelesaikan permasalahan dalam kegiatan belajar 1, 2, 3, 4 dan 5 kalian boleh sendiri atau mengajak teman lain yang sudah siap untuk mengikuti tes formatif agar kalian dapat belajar ke UKBM berikutnya. KEGIATAN PENDAHULUAN PERTEMUAN 1



Ayo mulai belajar. Pada UKBM sebelumnya telah disampaikan bahwa ellips merupkan salah satu bentuk dari irisan kerucut. Definisi ellips Sebuah ellips merupakan himpunan titik-titik pada bidang datar yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu sama. Kedua titik tertentu tersebut disebut titik fokus atau titik api. Unsur pembentuk ellips Perhatikan gambar berikut. Y



C2



P2



B2



F2 O



C1



F1



P1



X



B1



Gambar 1 Pada Gambar 1: 1) Titik fokus elips adalah titik F1 dan F2. 2) Sumbu fokal adalah garis lurus yang menghubungkan kedua titik fokus elips, yaitu F1 F2 . 3) Titik pusat adalah titik tengah kedua fokus elips, yaitu O(0, 0). 4) Titik puncak sebuah ellips adalah dua titik pada perpanjangan sumbu fokal yang membentuk elips, yaitu P1 dan P2. 5) Sumbu mayor adalah sumbu panjang yang melalui kedua titik fokus, yaitu garis P1P2 6) Sumbu minor adalah sumbu pendek yang melalui titik pusat dan tegak lurus sumbu mayor, yaitu B1B2 7) Latus rectum adalah garis yang menghubungkan dua titik pada elips dan melalui fokus serta tegak lurus sumbu mayor, yaitu C1C2.



3



KEGIATAN INTI KEGIATAN BELAJAR 1 PERSAMAAN ELLIPS A. Persamaan Ellips yang berpusat di O(0,0) dan sumbu mayor adalah sumbu X Perhatikan gambar berikut.



Y



C



P2a,0



2



B2 0, b



F1 c, 0 



F2  c, 0 O



C



Px, y  P1 a , 0 



X



B10,  b



1



Gambar 2 Pada Gambar 2, elips berpusat di O(0, 0), sumbu mayor adalah sumbu X, dan fokus adalah F1(c, 0) dan F2(-c, 0). Berdasarkan definisi elips, maka F1P + F2P = 2𝑎 (𝑦 + − 0)2 + √(𝑥 + 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 = 2𝑎 √(𝑥 − √(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 = 2𝑎 − √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦 2 Kuadratkan kedua ruas, diperoleh: (𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦 2 = 4 𝑎2 − 4𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦 2 + (𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦 2 x2 – 2xc + c2 + y2 = 4 𝑎2 − 4𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦 2 + x2 + 2xc + c2 + y2 ................................................................................................................. Kuadratkan kembali kedua ruas, diperoleh: ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ......................................................................................................................... ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ......................................................................................................................... 𝑐)2



Karena 𝑎2 − 𝑐 2 selalu tetap, misalkan 𝑎2 − 𝑐 2 = 𝑏 2 , maka diperoleh: ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ......................................................................................................................... Jadi persamaan elips berpusat di O(0, 0), sumbu mayor adalah sumbu X yaitu : ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Adapun unsur-unsurnya adalah: (1) Fokus (±𝑐, 0) dengan 𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2 (2) Pusat O(0,0) (3) Puncak (±𝑎, 0) (4) Panjang sumbu mayor = 2𝑎 (5) Panjang sumbu minor = 2𝑏 (6) Nilai eksentrisitas



𝑒=



𝑐



𝑎



(7) Persamaan garis direktriks (8) Panjang latus rectum



𝐿=



𝑥=± 2𝑏2



𝑎2 𝑐



𝑎



4



B. Persamaan Ellips yang berpusat di O(0,0) dan sumbu mayor adalah sumbu Y Perhatikan gambar berikut. ........................................................................................................................................ ......................................................................................................................... ........................................................................................................................................ ......................................................................................................................... ........................................................................................................................................ ......................................................................................................................... ........................................................................................................................................ ......................................................................................................................... Gambar 3 Analog dengan persamaan elips berpusat di O(0,0) dan sumbu mayor adalah sumbu X, maka persamaan elips berpusat di O(0,0) dan sumbu mayor adalah sumbu Y yaitu: 𝑎2 𝑥 2 + 𝑏 2 𝑦 2 = 𝑎2 𝑏 2 Atau ………………………….= 1 Adapun unsur-unsurnya adalah: (1) Fokus (0, ±𝑐) dengan 𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2 (2) Pusat O(0,0) (3) Puncak (0, ±𝑎) (4) Panjang sumbu mayor = 2𝑎 (5) Panjang sumbu minor = 2𝑏 (6) Nilai eksentrisitas



𝑒=



𝑐



𝑎



(7) Persamaan garis direktriks (8) Panjang latus rectum



𝐿=



𝑦=± 2𝑏2



𝑎2 𝑐



𝑎



Contoh 1 Tentukan persamaan elips dengan fokus di (±3, 0) dan panjang sumbu mayornya 10. Jawab: Diketahui: Fokus (±3, 0), maka c = ................ Panjang sumbu mayor = 10, maka 𝑎 = .......... Sehingga diperoleh 𝑏, yaitu: .............................. .............................. Jadi persamaan elips adalah .............................. Contoh 2 Tentukan persamaan ellips yang berpusat di O(0,0) dengan salah satu titik fokus di (0, -4) dan 2 eksentrisitasnya 5. Jawab : Diketahui : Puncak di O(0, 0) Fokus 𝐹(0, −4), maka 𝑐 = ......... 𝑐 2 Eksentrisitas 𝑒 = = , maka 𝑎 = .......... 𝑎



5



Sehingga diperoleh 𝑏, yaitu: .............................. .............................. Jadi persamaan elips adalah ..............................



5



PERTEMUAN 2 KEGIATAN BELAJAR 2 PERSAMAAN ELLIPS (lanjutan) C. Persamaan Ellips yang berpusat di (𝒉, 𝒌) dan sumbu mayor adalah sumbu X Perhatikan gambar berikut.



Y B2h, k b



P2ha,k



F2 h  c, k 



h, k 



Px, y 



F1h c, k



P1 h  a, k 



B1h,k b



X



Gambar 4 Gambar 4 merupakan ellips dengan pusat di (ℎ, 𝑘) dan sumbu mayor sejajar sumbu X. Analog dengan penentuan persamaan ellips di bagaian (A), persamaan elips pada Gambar 4 adalah: 𝑏 2 (𝑥 − ℎ)2 + 𝑎2 (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑎2 𝑏 2 Atau ...........................................= 1 Adapun unsur-unsurnya adalah: (1) Fokus … … … … … … … … (2) Pusat (ℎ, 𝑘) (3) Puncak .......................... (4) Panjang sumbu mayor = ...................... (5) Panjang sumbu minor = ...................... (6) Nilai eksentrisitas 𝑒 =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. (7) Persamaan garis direktriks 𝑦 =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. (8) Panjang latus rectum 𝐿 =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. D. Persamaan Ellips yang berpusat di (𝒉, 𝒌) dan sumbu mayor adalah sumbu Y Perhatikan gambar berikut. ........................................................................................................................................ ......................................................................................................................... ........................................................................................................................................ ......................................................................................................................... ........................................................................................................................................ ......................................................................................................................... ........................................................................................................................................ ......................................................................................................................... Gambar 5 Analog dengan persamaan elips pada bagian (C), maka persamaan elips berpusat di (ℎ, 𝑘) dan sumbu mayor adalah sumbu Y yaitu: Atau



𝑎2 (𝑥 − ℎ)2 + 𝑏 2 (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑎2 𝑏 2 ...........................................= 1



6



Adapun unsur-unsurnya adalah: (1) Fokus … … … … … … … … (2) Pusat (ℎ, 𝑘) (3) Puncak .......................... (4) Panjang sumbu mayor = ...................... (5) Panjang sumbu minor = ...................... (6) Nilai eksentrisitas 𝑒 =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. (7) Persamaan garis direktriks 𝑦 =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. (8) Panjang latus rectum 𝐿 =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Contoh 3 Tentukan persamaan ellips dengan pusat (4, -2), salah satu puncak dan fokusnya berturutturut adalah (9, -2) dan (0, -2) Jawab : Diketahui: pusat (ℎ, 𝑘) = (3, 2), sehingga h = ....... dan k = .......; fokus (ℎ ± 𝑐, 𝑘) = ...................., sehingga c = ⋯ puncak (ℎ ± 𝑎, 𝑘) = ...................., sehingga 𝑎 = ⋯ maka diperoleh b = ............................................. Dari informasi di atas, maka persamaan ellipsnya adalah ...............................



Contoh 4 Tentukan persamaan ellips yang berpusat di (2, 1), salah satu fokusnya di (2, 6) dan panjang sumbu minor 2√11. Jawab: Diketahui: pusat (h, k) = (2, 3), maka h = ... dan k = .... fokus (h, k ± c) = ...................., sehingga c = ⋯..................... panjang sumbu minor 2b = .............., sehingga b = ........................ maka diperoleh 𝑎 = ............................................. Jadi persamaan ellips: .........................................................................................................



PERTEMUAN 3 KEGIATAN BELAJAR 3 Unsur-unsur Ellips Sebagai pelatihan dalam hal pengamatan, asosiasi, analisis dan eksplorasi dari masalah elips, maka akan disajikan persamaan elips maupun grafik elips, kemudian ditentukan unsur-unsur pembentuk elips. Contoh 5 Diberikan persamaan elips a) b) c) d) e)



𝑥2 𝑦2 + 169 144



= 1. Tentukan:



Titik fokus Panjang sumbu mayor Nilai eksentrisitas Persamaan direktriks Panjang latus rectum 7



Jawab: Perhatikan persamaan elips



𝑥2 𝑦2 + 169 144



= 1, hal ini berarti 𝑎 = .......... dan 𝑏 = ......... (𝑎 > 𝑏),



maka 𝑐 = .......................... a) Titik fokus = ............................................................................................ b) Panjang sumbu mayor = ............................................................................ c) Nilai eksentrisitas = ................................................................................... d) Persamaan direktriks = .............................................................................. e) Panjang latus rectum = ..............................................................................



Contoh 6 Diberikan elips dengan persamaan 𝑥 2 + 4𝑦 2 − 4𝑥 − 8𝑦 − 92 = 0. Tentukan: a) b) c) d) e) f) g)



Titik pusat Titik puncak Titik fokus Panjang sumbu mayor Nilai eksentrisitas Persamaan direktriks Panjang latus rectum



Jawab: Bentuk umum elips 𝑥 2 + 4𝑦 2 − 4𝑥 − 8𝑦 − 92 = 0 diubah ke bentuk baku, yaitu: 𝑥 2 − 4𝑥 + 4𝑦 2 − 8𝑦 − 92 = 0 (𝑥 − 2)2 + 4(𝑦 − 1)2 = 92 +.............. ...................................................... ...................................................... ...................................................... sehingga a) Titik pusat (ℎ, 𝑘) =.......... 𝑎 = ..............................., b = ........................ (𝑎 > 𝑏), maka 𝑐 = ......................... b) Titik puncak = ......................................................................................... c) Titik fokus = ........................................................................................... d) Panjang sumbu mayor = ........................................................................... e) Nilai eksentrisitas = .................................................................................. f) Persamaan direktriks = ............................................................................. g) Panjang latus rectum = ............................................................................. Ayo Berlatih! 1. Tentukan persamaan ellips berikut. a)



1 2



Titik puncak di (0, -4) dan (0, 4) serta panjang latus rektum 2 . 1 2



b) Pusat di (1, -2), salah satu fokusnya (1, ), dan panjang sumbu minor 1. c) Titik fokus di (1, −1) dan (1, −3) serta menyinggung sumbu Y. 2. Tentukan nilai eksentrisitas elips dengan persamaan 16𝑥 2 + 25𝑦 2 + 32𝑥 − 50𝑦 − 359 = 0. 3. Tentukan persamaan elips pada gambar berikut. 8



Y



6



3, 2  O



X



6



PERTEMUAN 4 KEGIATAN BELAJAR 4 Persamaan garis singgung ellips A. Persaman garis singgung melalui titik 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ) pada ellips No Persamaan elips Persamaan garis singgung 2 2 𝑦 𝑥 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 + =1 𝑎2 𝑏 2 2



⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯



⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯



3



⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯



⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯



Contoh 7 Tentukan persamaan garis singgung elips pada titik yang diberikan. a) b)



𝑥2 𝑦2 + = 1 di titik 36 12 (𝑥−5)2 (𝑦−1)2 + =1 28 21 2 2



(−3,3) di titik (9, 4)



c) 4𝑥 + 9𝑦 − 12𝑥 + 6𝑦 − 7 = 0 di titik (1, 1) Jawab: Dengan menggunakan persamaan yang diperoleh di atas, maka soal-soal di atas dapat diselesaiakan sebagai berikut. ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... PERTEMUAN 5 KEGIATAN BELAJAR 5 Persamaan garis singgung ellips (lanjutan) B. Persaman garis singgung yang bergradien m pada ellips No Persamaan elips Persamaan garis singgung 2 2 𝑦 𝑥 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 + 2=1 2 𝑎 𝑏 2



⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯



⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯



3



⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯



⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9



Contoh 8 Tentukan persamaan garis singgung elips dengan ketentuan sebagai berikut. a) Garis singgung elips 16𝑥 2 + 20𝑦 2 = 320 bergradien −2. b) Garis singgung elips 9𝑥 2 + 25𝑦 2 − 54𝑥 − 144 = 0 tegak lurus garis 2𝑥 + 𝑦 − 6 = 0 Jawab: Dengan menggunakan persamaan yang diperoleh di atas, maka soal-soal di atas dapat diselesaiakan sebagai berikut. ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... C.



Persaman garis singgung yang melalui titik 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ) di luar ellips Persamaan garis singgung yang melalui titik 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ) di luar ellips dapat ditentukan seperti halnya menentukan persamaan garis singgung melalui sebuah titik di luar parabola.



Contoh 9 Tentukan persamaan garis singgung ellips 5𝑥 2 + 𝑦 2 = 5 yang melalui titik (−2, −1) Jawab: Sebelum mengerjakan soal di atas, lakukan tes ketaksamaan pada titik yang diberikan, yaitu: Elips 5𝑥 2 + 𝑦 2 = 5 dengan titik (−2, −1), diperoleh: 5(−2)2 + (−1)2 = 5(4) + 1 = 21 > 5 (karena hasilnya lebih besar, maka dipenuhi bahwa titik berada di luar elips). Misalkan titik (𝑎, 𝑏) terletak pada elips 5𝑥 2 + 𝑦 2 = 5, maka garis singgungnya adalah 5𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 5. Misalkan garis singgung tersebut melalui titik (𝑥, 𝑦) = (−2, −1), maka diperoleh −10𝑎 − 𝑏 = 5 → 𝑏 = −10𝑎 − 5 (1) Karena titik (𝑎, 𝑏) terletak pada elips 5𝑥 2 + 𝑦 2 = 5, maka berlaku 5𝑎2 + 𝑏 2 = 5 (2) Substitusikan (1) ke (2) untuk mendapatkan nilai 𝑎, yaitu: ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... Untuk nilai 𝑎 =.............., maka 𝑏 = ......................, sehingga persamaan garis singgung berbentuk: ................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................



Untuk nilai 𝑎 =.............., maka 𝑏 = ......................, sehingga persamaan garis singgung berbentuk: ................................................................................................................... 10



................................................................................................................... ................................................................................................................... Jadi persamaan garis singgungnya adalah: ............................... dan ...............................



Tugas Kelompok Diketahui persamaan garis 𝑦 = 𝑚𝑥 + 5 dan elips 2𝑥 2 + 5𝑦 2 = 10. Tentukan batasan nilai 𝑚 agar: a) Garis memotong elips di dua titik berlainan b) Garis menyinggung elips c) Garis tidak memotong maupun menyinggung elips. KEGIATAN PENUTUP



Bagaimana kalian sekarang? Setelah kalian belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan belajar 1, 2, 3, 4, dan 5, berikut diberikan tabel untuk mengukur diri kalian terhadap materi yang sudah kalian pelajari. Jawablah dengan jujur terkait dengan penguasaan materi pada UKBM ini di tabel berikut. NO PERTANYAAN YA TIDAK 1. Apakah Anda dapat menjelaskan pengertian ellips? 2. Apakah Anda dapat menganalisis bentuk persamaan ellips yang berpusat di O(0, 0)? 3. Apakah Anda dapat menganalisis bentuk persamaan ellips yang berpusat di (h, k)? 4. Apakah Anda dapat menganalisis unsur-unsur yang terdapat pada bentuk-bentuk persamaan ellips? 5. Apakah Anda dapat menentukan persamaan garis singgung yang bergradien m pada ellips? 6. Apakah Anda dapat menentukan persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada ellips maupun di luar ellips? Jika menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, maka pelajarilah kembali materi tersebut dalam Buku Teks Pelajaran (BTP) dan pelajari ulang kegiatan belajar 1, 2, 3, 4 atau 5 yang sekiranya perlu kalian ulang dengan bimbingan Guru atau teman sejawat. Jangan putus asa untuk mengulang lagi! Dan apabila kalian menjawab “YA” pada semua pertanyaan, maka lanjutkan dengan Test Formatif.



11