16 0 505 KB
UNIVERSITAS PAMULANG
PROGRAM STUDI S-1 MANAJEMEN
PERTEMUAN KE 3 VARIABEL ACAK Team Teaching: Ajimat, S.Si., M.M., Angga Rovita, S.Pd., M.Pd.
A. Tujuan Pembelajaran Adapun tujuan pembelajaran yang akan dicapai adalah sebagai berikut: 1. Memahami variabel acak serta distribusi probabilitasnya. 2. Menjelaskan arti probabilitas bersama.
B. Petunjuk Pembelajaran Dalam mempelajari materi ini, ada beberapa yang perlu lakukan sebagai berikut: 1. Pahamilah contoh-contoh soal yang telah disediakan di dalam modul ini, 2. Kerjakanlah soal latihan-latihan yang ada. Apabila dalam mengerjakan
soal anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi ini. Dengan membaca referensi lain, anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan. Dan apabila anda masih mempunyai kesulitan yang tidak dapat anda pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada dosen pada saat kegiatan tatap muka
C. Uraian Materi Variabel Acak Variabel acak biasanya menghubungkan nilai-niilai numerik dengan setiap kemungkinan hasil percobaan. Karena nilai numerik bersifat hasil hitungan (diskrit) dan bersifat hasil pengukuran (kontinu) maka variable acak dapat dikelompokkan menjadi variable acak diskrit dan variable acak kontinu
STATISTIKA-2
UNIVERSITAS PAMULANG
PROGRAM STUDI S-1 MANAJEMEN
Variabel Acak Diskrit Variabel ini hanya dapat mengambil nilai-nilai yang terpisah, umumnya dihasilkan dari perhitungan suatu objek. Jika ada 100 karyawan, maka perhitungan orang yang tidak masuk kerja pada hari senin dapat mengambil nilai-nilai 0,1,2,….., 100. Tabel di bawah ini memeprlihatakan beberapa contoh variable diskrit : Tabel 3.1. Contoh-contoh Variabel Diskrit Percobaan
Kemungkinan Nilai-nilai
Variabel Acak
Variabel Acak Pencatatan
Banyak pengunjung
0,1,2,3,4,…
Banyak produk yang rusak
0,1,2,3,…,30
Jenis kelamin pembeli
0 jika laki-laki, 1
pengunjung supermarket pada suatu hari Penelitian terhadap
30
produk baru Penjualan mobil
jika perempuan
Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit Distribusi probabilitas variable acak menggambarkan bagaimana suatu probabilitas didistribusikan terhadap nilai-nilai dari variable acak tersebut. Untuk variable diskrit X, distribusi probabilitas didefinisikan dengan fungsi probabilitas yang di notasikan sebagai berikut: p(x) = P(X=x) = probabilitas bahawa variable X mengambil nilai x Fungsi tersebut menyatakan bahwa probabilitas untuk setiap nilai variable acak X.
STATISTIKA-2
UNIVERSITAS PAMULANG
PROGRAM STUDI S-1 MANAJEMEN
Contoh 3.1 : Perhatikan hasil pengamatan dari penjualan mobil selama 200 hari pada PT. ABQARY MOTOR, Jakarta. Data yang dicatat adalah jumlah mobil terjual dalam sehari. Hasil pengamatan dimuat dalam table berikut: Jumlah Mobil Terjual dalam Sehari
Jumlah Hari
0
50
1
100
2
30
3
17
4
2
5
1
Total
200
Penyelesainnya: Jika X menyatakan jumlah mobil yang terjual dalam sehari, maka p(0) menyatakan probabilitas 0 mobil terjual perhari, p(1) menyatakan 1 mobil terjual perhari dan seterusnya. Berdasarkan informasi yang diperoleh dari table di atas, bahwa 50 hari dari 200 hari 0 mobil terjual, maka kita nyatakan bahwa 0 mobil terjual dalam sehari;
100 200
50 200
= 0,25 sebagai probabilitas
= 0,5 sebagai probabilitas 1 mobil terjual
ddalam sehari dans eterunta . Secara ringkas nilai probabilitas dimuat dalam table berikut:
STATISTIKA-2
X
P(x)
0
0,25
1
0,5
2
0,15
3
0,085
4
0,01
5
0,005
Total
1
UNIVERSITAS PAMULANG
PROGRAM STUDI S-1 MANAJEMEN
Grafik Fungsi Probabilitas
Jumlah mobil yang terjual dalam sehari 0.6 0.5 0.4
Probabilitas 0.3 0.2 0.1 0
0
1
2
3
4
5
Dari table dan grafik di atas terlihat bahwa kemungkinan terbesar jumlah mobil terjual dalam sehari adalah 1 mobil dengan probabilitas 0,5. Apabila kita ingin probabilitas 3 (tiga) atau lebih mobil terjual dalam sehari, maka kita hitung p(3) + p(4) + p(5) = 0,085+0,01+0,005 = 0,1 Dalam membuat suatu fungsi probabilitas untuk variable acak diskrit, kondisi berikut harus dipenuhi: 1) p(x)≥ 0 atau 0 ≤ p(x) ≤ 1 2) ∑ 𝑝(𝑥) = 1 Catatan : Fungsi distribusi probabilitas tidak boleh negative, dan 2 syarat yang sudah disebutkan sebelumnya harus selalu terpenuhi.
Fungsi Probabilitas Kumulatif Variabel Acak Diskrit Fungsi probabilitas kumulatif digunakan untuk menyatakan jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas yang lebih kecil atau sama dengan suatu nilai yang ditetapkan. Dari contoh 3.1, misalkan kita ingin menghitung berapa probabilitas bahwa mobil terjual dalam sehari kurang dari satu sama dengan 3. Oleh karena itu
STATISTIKA-2
UNIVERSITAS PAMULANG
PROGRAM STUDI S-1 MANAJEMEN
kita dapat menjumlahkan probabilitas dari nila- nilai x =0, x=1, x=2, x= 3. Jadi P(x≤3) = p(0) +p(1) +p(2) + p(3) = 0,25+0,5+0,15+0,085 =0,985. Secara sistematis, fungsi probabilitas kumulatif dinyatakan sebagai berikut: F(x) = P(X ≤ x) Di mana: F(x) = P(X ≤ x) menyatakan fungsi probabilitas kumulatif X = x yang merupakan jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas untuk nilai X dama atau kurang dari x. Contoh 3.2: Diketahui suatu variable X yang dapat mengambil nilai dari 0, 1,2,3,4 dengan fungsi probabilitas p(x0 sebagai berikut: 4! 1 𝑥 1 4−𝑥 ( ) ( ) 𝑝(𝑥) = 𝑥! (4 − 𝑥)! 2 2 Carilah distribus probabiltas, dan distribusi probabilitas kumulatif untuk seluruh nilai x ! Penyelesaian: X 0 1 2 3 4
STATISTIKA-2
p(x) p(0) = p(1) = p(2) = p(3) = p(3) =
4! 0!(4−0)! 4! 1!(4−1)! 4! 2!(4−2)! 4! 3!(4−3)! 4! 4!(4−3)!
1 0 1 4−0
(2) (2)
1 1 1 4−1
(2) (2)
1 2 1 4−2
(2) (2)
1 3 1 4−3
(2) (2)
1 4 1 4−4
(2) (2)
F(x) = P(X ≤ x) = 0,0625 = 0,25
F(0)= 0,0625 F(1) = F(0)+F(1) = 0,3125
= 0,375
F(2)
=
F(1)+F(2)
=
F(2)+F(3)
=0,6875 = 0,25
F(3) =0,9375
= 0,0625
F(4) = F(3)+F(4) = 1
UNIVERSITAS PAMULANG
PROGRAM STUDI S-1 MANAJEMEN
Variabel Acak Kontinu Apabila kita mengukur sesuatu seperti lebar ruangan, tinggi badan, atau berat badan seseorang, maka variable yang dihasilkan adalah variable acak kontinu. Hasil pengukuran tersebut mungkin akan berbea-beda tergantung siapa yang melakukan pengukuran dan tingkat ketelitian yang digunakan. Tabel di bawah ini memberikan beberpa contoh variable kontinu dari suatu percobaab: Percobaan
Variabel Acak
Kemungkinan Nilainilai variable Acak
Penimbangan 20 paket Berat
sebuah
paket
0≤x≤100
kemasan (maksimum = 2 kemasan (kg) kg) Isi botol minuman jadi ( Jumlah mililiter
0≤x≤600
maksimum = 600ml)
Distribusi Probabilitas Variabel Acak Kontinu Distribusi probabilitas variable acak kontinu dinyatakan dengan fungsi f(x) dan sering disebut fungsi kepadatan. Nilai f(x) lebih besar dari 1, syarat yang harus dipenuhi oleh fungsi kepdatan probabilitas : 1) f(x) ≥ 0 ∞
2) ∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1 (integral seluruh fungsi kepadatan probabilkitas f(x) = 1 Catatan : f(x) dx = P{x≤X≤(x+dx)} yaitu probabilitas bahwa nila X terletak pada interval x dan x+dx
Fungsi Probabilitas Kumulatif Variabel Acak Kontinu Pada variable acak diskrit, fungsi probabilitas kumulatif dihitung dengan cara penjumlahan. Pada variable acak kontinu, probabilitas kumulatif dicari dengan integral. Rumusnya sebagai berikut: ∞
F(x) = P (X≤ x) = ∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 Nilai-nilai x dalam rumus ini harus kontinu atau dalam suatu interval.
STATISTIKA-2
UNIVERSITAS PAMULANG
PROGRAM STUDI S-1 MANAJEMEN
Contoh 3.3. Variabel X mempunyai fungsi kepadatan probabilitas f(x) sebagai berikut: f(x) = 2e-2x, untuk x > 0 f(x) = 0, untuk x ≤ 0 Cari P(2