Energi Termal Padatan [PDF]

Citation preview

Indikator Hasil Belajar 1. Menjelaskan mode-mode getaran thermal 2. Menganalisis energi thermal padatan 3. Menganalisis panas jenis padatan



70



BAB IV SIFAT TERMAL PADATAN



Getaran atom-atom di dalam kristal itu menentukan sifat termal kristal dan memainkan peran sangat penting di dalam berbagai gejala fisik seperti : hamburan netron, relaksasi spin kisi, transmisi sinar infra merah, perambatan gelombang ultrasonik dan lain sebagainya. Berdasarkan teori kinetik gas, energi dalam suatu gas tersimpan sebagai energi kinetik dari pada atom-atom gas itu. Salah satu hukum dalam teori kinetik gas adalah hukum ekuipartisi, menyatakan bahwa : “Energi kinetik rata-rata untuk setiap derajat kebebasan adalah sama yaitu ½k0T.” k0 adalah tetapan Boltzmann, k0 = 1,38 x 10-23 J/K, sedangkan T adalah suhu dalam Kelvin. Untuk suatu gas monoatomik ( yang memiliki 3 derajad kebebasan), jumlah gas sebanyak 1 kilomol serta suhu T. energi dalamnya adalah :



Sehingga panas jenis molar pada volume adalah :



N0 dan R masing-masing adalah bilangan Avogadro (N 0 = 6,026 x 1026) dan tetapan gas umum (R = 8,314 x 103 Joule.K-1, dua-duanya untuk satu kilomol gas. Menurut teori kinetik gas untuk gas monoatomik :



per kilomol. Harga ini sangat sesuai dengan harga Cv untuk gas Helium dan gas argon pada suhu ruang. Secara emperik Dulong dan Petit menemukan bahwa panas jenis per kilomol untuk kristal dari elemen-elemen adalah 3R, dengan R tetapan gas. Hukum Dulong dan Petit ini berlaku umum untuk hampir semua elemen, pada suhu ruang atau suhu yang lebih tinggi. Apabila hukum ekuipartisi energi diterapkan disini, maka tiap atom di dalam kristal memiliki 71



3 derajad kebebasan untuk geraknya disekitar kedudukan keseimbangan. Disamping itu masih ada energi potensial atom dalam gerak harmoniknya. Gerak selaras sederhana energi kinetik rata-rata sama dengan energi potensial ratarata, sehingga energi total sistem atom dalam kristal menurut hukum ekuipartisi adalah ( per kilomol) :



Persamaan ini menunjukkan bahwa panas jenis per kilomol adalah 3R. Hal ini dapat dibuktikan dengan menyatakan probabilitas relatif getaran yang



memiliki energi E pada suhu T diberikan oleh faktor Boltzmann



, energi rata-rata



getaran dalam kesetimbangan thermal dinyatakan :



Sedangkan jumlah energi getaran pada setiap saat dinyatakan dengan :



dengan v menyatakan kecepatan partikel, K konstanta elastisitas dan x perpindahan dari posisi kesetimbangan sehingga energi rata-rata adalah :



dengan memasukkan E diperoleh :



72



Dengan memisalkan :



dan diperoleh



dan



73



Persamaan ini merupakan sebuah bentuk fungsi khusus yang dikenal sebagai bentuk fungsi Gama. Untuk penyelesaiannya digunakan formula sebagai berikut :



Dengan demikian akan diperoleh persamaan yaitu sebagai berikut :



Rata-rata energi kenetik sama dengan rata-rata energi potensial yaitu sebesar



, sehingga



rata-rata energi getaran partikel adalah sebesar kT. Getaran sebuah partikel dalam satu dimensi memiliki dua derajat kebebasan, satu derajat kebebasan berkaitan dengan masing-



masing dari dua mode energi yang dimiliki yaitu dengan



. Dengan demikian untuk



getran dalam tiga dimensi masing-masing partikel akan memiliki tiga derajat kebebasan, pada tiap derajat kebebasan akan menyumbangkan rata-rata energi getaran sebesar kT. Sehingga tiap getaran sebuah partikel dalam tiga dimensi akan memberikan sumbangan energi rata-rata sebesar 3 kT. Amplitudo dari sebuah getaran harmonik adalah perpindahan maksimum pada sisi-sisi posisi kesetimbangan. Bila x = A maka semua energi berupa energi potensial



74



. Dengan pendekatan ini diperoleh rata-rata amplitudo getaran yang dihasilkan adalah :



Persamaan tersebut menyatakan rata-rata ampitudo getaran partikel dalam kesetimbangan thermal pada suhu T. Dan menunjukkan bahwa rata-rata amplitudo bergantung pada K dan T dan bukan bergantung pada massa partikel. . Dengan demikian jumlah energi tiap kmole padatan adalah;



dengan R = No.k = 8,31 x 103 Joule/kmole.K = 1,99 kkal/kmole.K merupakan konstanta universal dari gas. Panas jenis padatan pada volume konstan dinyatakan oleh



= 3R Hukum Dulong-Petit gagal menjelaskan panas jenis untuk unsur-unsur ringan seperti Boron, Beryllium dan Carbon seperti diamond yang masing-masing memiliki panas jenis secara berurutan 3,34; 3,85 dan 1,46 kkal/kmole.K pasa suhu kamar. Bahkan hukum DulongPetit juga gagal menjelaskan panas jenis semua zat padat yang turun secara tajam sebagai fungsi T3 pada suhu rendah mendekati nol pada suhu mendekati 0 K. Gambar 4.1 7 bagimana panas jenis berubah terhadap T untuk beberapa jenis padatan. Kedua menunjukkan Timah



Aluminium



Silikon



CV (kkal/kmole.K)



kegagalan 6 dari hukum Dulong-Petit merupakan kegagalan yang sangat serius terhadap hasil eksperimen. 5 4 3 2



Karbon (diamond)



1



75



0



200



400



600



800



1000



1200



Suhu Absolut ( K )



Gb. 1 Perubahan panas jenis terhadap suhu dari bebrapa padatan



Gambar 4.1 Panas Jenis Padatan VS Suhu Pada suhu sangat rendah ( mendekati titik mutlak nol Kelvin) bahwa panas jenis C v bergantung dari suhu sebagai berikut.



dan mendekati nol apabila T 0. Apabila sebelumnya dianggap bahwa energy atom-atom yang melakukan gerak selaras di sekitar kedudukan keseimbangannya dapat mempunyai harga yang kontinu, maka teori kuantum diandaikan bahwa energi termaksud terkuantisasi, artinnya terbatas pada hargaharga tertentu. Einsten adalah yang pertama kalinya menggunakan teori kuantum untuk panas jenis kristal (1907). Diasumsikan bahwa atom-atom dalam kristal berperilaku sebagai osilator kuantum, masing-masing osilator bergerak dengan frekwensi tertentu. Dan osilator-osilator tersebut tidak saling mempengaruhi. Teori yang dikembangkan oleh Einstein dapat menerangkan turunnya harga Cv dengan suhu pada suhu rendah, tetapi ramalan tentang perubahan harga Cv dengan suhu T jauh lebih cepat turun dari hasil pengamatan melalui eksperimen. Debye dan Max Born- Von pada tahun 1912 juga mengembangkan teori kuantum tentang panas jenis kristal yang meramalkan hubungan Cv dengan T yang lebih sesuai dengan kenyataan. Debye memasukan unsur saling mempengaruhi antara berbagai osilator dalam kristal, sesuai dengan adanya ikatan yang sangat kuat antara atom-atom dalam suatu kristal. Data eksperimental mengenai Cv = Cv (T) pada suhu sangat rendah memberikan petunjuk bahwa energi getaran atom-atom dalam kristal terkuantisasi dan pula penyebarannya dalam berbagai harga energi yang mungkin.



76



A. Getaran Elastik Dan Rapat Mode Getar Untuk memahami getaran dalam zat padat maka diasumsikan bahwa panjang gelombang dari gelombang yang merambat dalam zat padat itu jauh lebih panjang dari pada jarak antar atom zat padat itu. Zat perantara dilihat sebagai bahan zarah. Zat padat tersebut mempunyai sifat-sifat fisik yang serba sama dan isotropik disetiap titik dalam zat padat itu. Andaikanlah bahwa perambatan gelombang elastic dalam suatu batang silindrik dengan luas penampang batang A sedangkan bahannya mempunyai massa jenis



dan



tetapang elastik modulus young Y.



Gb. 4.2 Gelombang elastik dalam batang maka persamaan gelombang elastic untuk bagian batang antara x dan x +



adalah :



dengan : u : simpangan terhadap kedudukan setimbang S : tegangan (stress)



: tegangan pada kedudukan S(x) : tegangan pada kedudukan x



dimana regangan



berkaitan dengan tegangan S yang sesuai dengan hokum Hooke



yaitu : S = Ye , (e = regangan/strain)



77



Dalam ungkapan persamaan gerak terdapat pernyataan : sama dengan



yang sesungguhnya



:



atau



Substutiskan ke dalam persamaan gerak sehingga menghasilkan :



yang mempunyai solusi persamaan berbentuk : engan k = vektor gelombang dan



d



= frekwensi radial gelombang. Substitusikan bentuk



solusi persamaan diatas maka akan menghasilkan persamaan : dari teori gelombang diketahui bahwa kecevatan phase gelombang adalah ;



maka



Hubungan antara ω dan k dapat dilihat grafik pada gambar 4.3 sebagai berikut. ω ω=v.k



k Gb. 4.3 Hubungan dispersi gelombang elastik 78



Hubungan



untuk perambatan gelombang dalam suatu zat perantara dinamakan hubngan



dispersinya. Menentukan rapat mode getar Perhatikanlah fungsi gelombang berikut.



Dalam membahas mode getar ,



tidak berperan , oleh karena itu tidak perlu disertakan.



yang diperhatikan adalah fungsi dalam ruang yaitu :



Solusi gelombang tersebut sangat bergantung dari syarat batasnya, dianggap syarat batasnya adalah :



dengan L adalah panjang batang.



dan



Sehingga syarat batasnya adalah



Syarat diatas membatasi harga yang dapat dimiliki oleh k, yaitu bahwa k yang diperbolehkan adalah :



, dengan n = 0 , 79



Setiap harga n diatas memberikan satu cara bergetar oleh satu mode getar. Apabila L besar sekali, maka kn hampir kontinu, sehingga jumlah mode getar antara k dan



karena



maka



adalah :



oleh sebab itu :



Rapat mode getar dibataskan sebagai jumlah mode getar per satuan daerah frekwensi maka :



Ini hanya untuk gerakan dalam satu arah, apabila diperhatikan gerak dalam dua arah, maka:



Sehingga rapat mode getar untuk perambatan gelombang baik dalam satu arah positif maupun negative adalah :



Untuk kasus tiga dimensi, khususnya apabila benda tersebut berbentuk kubus dengan rusuk sepanjang L. maka harga kx , ky dan kz yang memenuhi syarat batas diperoleh dari syarat bahwa :



, atau apabila : 80



dengan n, m dan



memenuhi harga 0 ,



Apabila hal ini digambar secara grafis dalam ruang kx , ky dan kz seperti pada gambar 4.4.



Gambar 4.4 k Dalam Ruang 3-D Maka akan diperoleh titik – titik dalam ruang itu yang masing-masing membatasi volume



sebesar



. Setiap elemen volume tersebut mempersentasikan satu mode getar. Semua



mode getar yang mempunyai harga vektor gelombang adalah :



Direpresentasikan oleh satu titik yang terletak pada permukaan bola dalam ruang k, dengan jari-jari k yang berpusat di k x =0 , ky = 0 , kz = 0. Semua mode getar yang mempunyai harga



vector gelombang antara k dan



berjari-jari k dan bola berjasi-jari



terletak dalam elemen volum yang dibatasi oleh bola



. Elemen volume itu besarnya :



81



Karena setiap satu mode getar dipersentasikan oleh elemen volume sebesar



jumlah mode getar dengan vektor gelombang antara k dan



, maka



adalah :



Atau jumlah mode getar persatuan volume dengan harga vector gelombang antara k dan



adalah :



maka Kita ketahui bahwa



Sehingga : Rapat mode getar persatuan volum bahan adalah jumlah mode getar yang ada untuk setiap satuan frekwensi.



82



Jadi rapat mode getar persatuan volum untuk getaran dalam tiga dimensi dapat dinyatakan dengan grafik seperti gambar 4.5



Gambar 4.5 Grafik g(ω) terhadap ω



Untuk setiap gelombang elastik ada dua gelombang yaitu gelombang transversal dan satu gelombang longitudinal. Ternyata bahwa meskipun zatnya isotropik kecepatan fase gelombang transversal tak sama dengan gelombang longitudinal, katakanlah ; vT kecepatan fase untuk gelomnag transversal dan vL kecepatan fase untuk gelombang longitudinal. Sehingga rapat mode getarnya adalah :



Apabila dianggap vT = vL maka :



83



Jadi menyangkut mode getar untuk perambatan gelombang elastik dalam zat padat dapat disimpulkan sebagai berikut. a. Hubungan disperse ω = ω(k) adalah linier b. Rapat mode getar per satuan volum dinyatakan dengan :



B. Kuantisasi Energi Getaran Dalam Kristal Model getaran kisi dibuat untuk menerangkan perilaku harga C v dengan suhu mutlak T yang memberikan petunjuk bahwa energi getaran kisi kristal terkuantisasi, artinya bahwa harga-harga energi itu tidaklah kontinu, tetapi terbatas pada harga-harga diskrit tertentu. Teori Einstin tentang Cv zat padat Model tentang getaran dalam kisi yang dipergunakan oleh Einstien untuk menerangkan ketergantungan Cv terhadap T adalah sebagai berikut. a. Atom-atom kristal merupakan osilator-osilator yang independen, masing-masing dapat memiliki energi diskrit sebesar :



dengan : n = 0 , 1, 2 , 3, …. = frekwensi osilator Einstien. b. Sebaran energi osilator pada harga energi yang diperkenankan mengikuti distribusi Boltzman : dengan kB = 1,3805 x 10-23 Joule/K yang merupakan tetapan Bolztman.



84



Apabila



jumlah zatnya adalah 1 kilomol, maka jumlah atomnya adalah N A (bilangan



Avogadro). Bila setiap atom mempunyai 3 derajad kebebasan untuk osilasi, maka energi total



osilator :



dimana



adalah energi rata-rata untuk saatu osilator yang mempunyai satu derajat



kebebasan. Bagaimana menentukan



?



Tetapi :



Oleh karena itu :



Tetapi :



85



Karena itu :



, maka :



oleh karena itu maka U adalah :



Melalui diferensiasi :



diperoleh bahwa :



Adapun grafik Cv = Cv(T) seperti gambar berikut ini khususnya untuk intan.



Gambar 4.6 grafik Cv = Cv(T) 86



Beberapa kesimpulan yang dapat ditarik yaitu : a. Energi rata-rata osilator dengan satu derajad kebebasan adalah



Jika



artinya suhu sangat tinggi dan energi rata-rata menuju harga



klasik kBT yang akan memberikan Cv = 3R sesuai dengan hukum Dulong dan Petit. b. Jika T 0, maka CV 0. Einstien menerangkan bahwa Cv mendekati nol apabila T mendekati nol sesuai dengan pengamatan, namun teori ini tidak menerangkan bahwa : Teori Einstien mengenai panas jenis Cv untuk Kristal memberikan hal-hal sebagai berikut. a. Kesesuaian dengan hokum Dulong dan Petit Cv = 3R untuk suhu tinggi, T>> DE. b. Kesesuaian dengan hasil pengamatan bahwa Cv mendekati nol apabila T 0 c. Kurang cocoknya fungsi Cv vs T untuk suhu rendah yang secara eksperimental



adalah



.



Sedangkan teori Einstien untuk T