Feynman'ın kayıp dersi : gezegenlerin güneş çevresindeki hareketi [4. basım. ed.] 9789754032772, 9754032777 [PDF]

Citation preview

Feyn m a n 'm K a y ıp D e rsi, gerçek R ic h a rd Fe yn m an 'ı, y irm in c i y ü z y ıl fiziği üzerinde silinm ez b ir dam ga bırakan parlak kuram sal fizikçiyi o rtaya koyuyor.. 13 M a r t 1964'te R ic h a rd Feyn m an C altech'in birinci sınıflarına bir ders anlatm ıştı: G ezegenlerin G ü n eş Ç evresin d ek i H arek eti — gezegenler neden m ükem m el çem b erler y e rin e elip tik yörü n g elerd e hareket ederler. O bunu, bilinm eyen nedenlerle, b ü yü k olasılıkla kendi zevki için, lise düzlem geom etrisinden daha ileri m atem atik kullanm adan k anıtlam ayı yeğled i. Isaac Nevvton neredeyse 300 yıl önce başyapıtı olan P rin c ip ia 'da ayn ı y o lla bunu başarm ıştı. Feyn m an , Nevvton'un anlaşılm ası güç ispatını izleyem ediği için, C altech dersinde kendi özgün geom etrik ispatını kotardı. Fe yn m an 'ın dersinin konusu, eski d ü n yayı çağdaş dünyadan ayıran bir havzadır — B ilim sel D e vrim in son noktası. Ko p ern ik , K ep ler, G a lile o ve Nevvton'dan önce, evren Y e r m erkezliydi. O n la rın keşiflerinden sonra, bizim evren düşüncem iz sürekli değişti ve genişledi; artık başlangıçtan sonsuza doğru açılarak, bizim kendi zam anım ız içindeki evreni anlam aya çalışıyoruz. B ö ylece Feynm an insan beyninin, B eeth o ven senfonileri, Sh akesp eare o yu n ları, y a da M ich elan g elo 'n u n Şistin e Kilisesi ile k arşılaştırılabilecek en üstün başarılarına değiniyor. Feyn m an tüm derin dü şü n ü rlerin m eraklarını uyandırm ış ve onları hayrete düşürm üş şu şaşırtıcı olguyu kesin olarak ispatlıyor: D o ğ a matematiğe uym aktadır. O tu z y ıl b o yu n ca bu p arlak ve etk ileyici ders C altech arşivlerin de u yk u d a kaldı. Şim di Fe yn m an 'ın k ayıp dersi bu kitapta yenid en oluşturuldu ve gezegen h areketleriyle ilgili düşünce tarihi ile b irlikte, kılı k ırk yara rc a s ın a özenle anlatıldı. Lise geom etrisini hatırlayan b ir kimse, bundan zevk alab ilir ve ses kayd ın d an yara rla n a b ilir.



Feynm an'm Kayıp D ersi gezegenlerin güneş çevresindeki hareketi



D a v id



L . G o o d s t e in



ve Ju d it h



R . G o o d s t e in



❖



TÜBİTAK POPÜLER



BİLİM



KİTAPLARI



TÜBİTAK Popüler Bilim Kitapları \11



Feynman’m Kayıp Dersi - Gezegenlerin Güneş Çevresindeki Hareketi Feynman’s Lost Lecture - The Motion o f Planets Around tbe Sun David L. Goodstein - Judith R. Goodstein Çeviri: Zekeriya Aydın © Califomia Institute of Technology, 1996 © Türkiye Bilimsel ve Teknik Araştırma Kurumu, 2001 W. W. Nojton & Company, Inc.’in (500 Fifth Avenue, New York, NY 10110) 1996 tarihli baskısından çevrilmiştir. Bu yapıtın bütün hakları saklıdır. Yazılar ve görsel malzemeler, izin alınmadan tümüyle veya kısmen yayımlanamaz. Türkçe yayın hakları Kesim Ajans aracılığı ile alınmıştır.



TÜBİTAK Popüler Bilim Kitaplan’nın seçimi ve değerlendirilmesi TÜBİTAK Yayın Komisyonu tarafından yapılmaktadır. ISBN 975 - 403 - 277 - 7 1. 2. 3. 4.



Basım Basım Basım Basım



Ocak 2003 (2500 adet) Şubat 2003 (2500 adet) Mart 2003 (2500 adet) Nisan 2003 (2500 adet)



Yayınlar ve Tanıtım Daire Başkanı Şefik Kahramankaptan İşletme Müdürü M. Kemal Bostancıoğlu



Grafik Tasarım: Cemal Töngür Sayfa Düzeni: İnci Yaldız



TÜBİTAK Atatürk Bulvarı No: 221 Kavaklıdere 06100 Ankara Tel: (312) 427 33 21 Faks: (312) 427 13 36 e-posta: [email protected] İnternet: kitap.tubitak.gov.tr Semih Ofset - Ankara



Feynm an’m Kayıp D ersi gezegenlerin güneş çevresindeki hareketi



D a v i d L. G o o d s t e i n J u d i t h R. G o o d s t e i n



Ç e v ir i Z e k e riy a A ydın



TÜBİTAK POPÜLER



BİLİM



KİTAPLARI



R ich a rd P. Feynm an 'm anısına. O , böylesine berrak biçim de söylediği şeyleri açıklam a gereği duyduğum uz için dehşete kapılabilirdi.



İçindekiler



Feynm an 'm İzinde B ir Bilim sel Y aşam Önsöz Giriş I. Bölüm



I V II 1



K opernik’ten Nevvton’a II . Bölüm



29



Tanıdığım ız K adarıyla Feynm an I I I . Bölüm



51



Feynm an’ın E lipsler Y asasın ı ispatlayışı IV . Bölüm



129



G ezegenlerin G üneş Ç evresindeki H areketi Sonsöz



157



Feynm an’ın D ers N otları



167



K ay n ak ça



171



Dizin



173



Feynm an’ın İzinde B ir Bilim sel Y aşam



H



er fizikçi Feynm an adım duyunca bir huşu duygusu­ n a kapılır. Bu önsözü yazarken benzer duygular için­ de geçm işe, Feynm an’ın genç bir bilim adam ı adayı



olarak yaşam ım a girdiği ilk y ıllara bir yolculuk y ap m a gereği duydum . 1964 sonbaharında, bilim sel yaşam larım ızın ilkbaha­ rında küçük bir grup olarak bilim adam ı yetiştirilm ek üzere NA­ TO Bilim Kom itesi tarafından seçilerek A nkara Ü niversitesi Fen F ak ültesi’nde üniversite eğitim ine başladığım ızda bizi nele­ rin beklediğine ilişkin hiçbir fikrimiz yoktu. Y aşam ım ızın bu en önemli dönem ecinde hiç h esap ta yokken, kendim izi Fen F akül­ tesi’nde bulm uştuk. A ralarında merhum Cahit A rf’ın d a bulun­ du ğu birkaç bilge kişinin “en doğrusu b udu r” tavsiyesi bu kara­ rın alınm asına yetm iş, ailelerim izin an cak O D T U ’den kaydım ı-



zı sildirip Fen F ak ültesi’ne kayıt yaptırdıktan sonra haberi ol­ muştu. 30 kişilik, bilim kulübü gibi çalışan bir lise sınıfından gelm iş, uyku dışındaki her anını bilimi y aşay arak geçiren bizler için ilk günler inanılm az bir boşluk dönemiydi. Aşırı kalabalık anfilerde verilen istediğim iz düzeyde bulm adığım ız derslerden müthiş rahatsızlık duyuyorduk. A ncak bu boşluk duygusu çok sürm e­ di. P aris’te lisans ve doktora çalışm alarını tam am layıp Ameri­ k a ’d a doktora sonrası çalışm alard a bulunm uş ve bölüm e y en i­ lerde katılm ış gen ç bir doçent çıkıverdi karşım ıza. Bu kitapta anlatılan Feynm an’ı tanımış, onun C A LT EC H ’te 1961-1962 yılların da anlattığı efsanevi “Fizik D ersleri”nin övgüsünü işit­ miş dinam ik bir hoca. Bölüm ün yeni m ezunlarından iki genç asistanıyla, bilim deki çağ d aş gelişm eleri, özellikle kuantum p a ­ radigm asını yan sıtan yeni derslerle donatılm ış bir program y er­ leştirm ek çab ası içindeydiler. B u dersleri hep birlikte Feynm an tarzında, Feynm an’ın ki­ taplarını kullanarak yapıyoruz. Şöyle ki, önce kendileri hazırla­ nıp, gündüzleri eski resm i program ı izleyen bizlere, geceleri y a d a hafta sonları bu “Feynm an Fizik D ersleri”ni anlatıyorlar. Biz de büyük h eyecanla kendim izi b una kaptırm ış Feynm an’ın ta ­ dını çıkarıyoruz; artık mutluyuz. Zira, her gün önümüzde Feynm an’ın bakış açısıyla mikro evrenden makro evrene u za­ nan y eni bilim ufukları açılıyordu. Feynm an’la doğayı anlayış ve anlatışın şiirselliğiyle tanışıyorduk. L isedeki bilim kulübü­ müz yen iden kurulm uştu; bir fark la ki, bu kulüpte her y aştan gen ç vardı. D erler ki “Feynm an Fizik D ersleri, giriş ders kitapları olarak pek b aşarılı olamadı, h atta ortaya çıktığı C A LT EC H ’te bile. B u kitaplar d ah a ziyade, fiziği d ah a önce geleneksel y ollarla öğren­ miş bilim insanlarına işin özünü kavratm a ve esin kaynağı olma konusunda işe y aram ay a devam ediyor”. O ysa ki, bu dersler bi­ ze d ah a lisan s öğrenimimiz zam anında işin özünü kavram a hu­ su su n d a büyük katk ılarda bulunm uşlardı. B u temelin ne denli



sağlam olduğunu ve buna bu k adar erken sahip olmanın ne müthiş bir avantaj olduğunu, 1968 sonbah arında Berkeley'de doktora çalışm aların a b aşladığım da k ıvançla gördüm . D ah a sonra K aliforniya ve Stanfo rd Ü niversitesi’ndeki çalışm alarım sırasın d a Feynm an’ı yakından tanım ak şan sın a sahip olduğum için, aynı deneyim i y aşay an pek çok insan gibi, kendim i hep ay­ rıcalıklı ve şan slı saydım . Gök cisim leri hareketlerine ilişkin K opernik’ten N ewton’a uzanan entelektüel serüveni gözden geçiren bu kitapta Feyn­ man, K epler y asaların ı d ah a önce N ewton’un d a kullandığı bir yöntem le, y an i sad ece düzlem geom etri bilgileriyle ispatlam aya çalışıyor. B u yaklaşım , Feynm an’ın “Birşeyin özünü anlam ış­ sak, onu her düzeyde anlatabiliriz” felsefesini yansıtm akta. B u ­ rad a ilginç olan, bilim tarihinin bu iki d ev şahsiyetinin aynı fel­ sefeyi benim sem iş, d ah a doğrusu benim seyebilecek büyüklükte olm aları. Zira, bir bilim sel olguyu herhangi birisine an latabile­ cek düzeyde anlam ak kuşkusuz ancak dehaların işidir. M ate­ m atiğin en önemli keşiflerinden birisi, diferansiyel ve integral hesabın keşfidir; Newton da, L eibniz’le birlikte bu kâşiflerden biridir. Ancak, ünlü P rincipia sın da çok önemli bir b aşk a keşfi olan ve yeni bir p aradigm anın b aşlan gıcı kabul edilen yerçekim y asasıy la gökcisim lerinin hareketlerini incelerken bu tekniği bi­ lenler için en kolay yolu olan diferansiyel ve integral h esabı kul­ lanm ak yerine, hem en herkesin anlayabileceği düzeyde bir m a­ tem atiksel dil olan düzlem geom etriyi kullanm ıştır. K uşkusuz buradaki temel am aç bu önemli keşfini herkesin anlayabilm esi­ ni sağlam aktır. Feynm an gibi fizikçiler, N obel ödülleriyle taçlandırdan bü­ y ük keşiflerinin y an ısıra evrenin yap ısını ve işleyişini kitlelere anlatm a becerisine de sahip dahilerdir. Toplumun doğrudan bi­ limle uğraşm ayan, am a bu konulan m erak eden kesim lerine bi­ lim sel gelişm elerin ulaştırılm ası d a bilim insanları ve kuruluş­ larının önemli görevleri arasındadır. Z ira bilimin gelişim i için gerek li kam usal destek, an cak toplum sal sahiplenm e ile; top­



lum sal sahiplenm eyse, bu konuların kitlelere anlayabilecekleri bir dille anlatılm ası ve yaygın bir biçim de duyurulm ası ile müm­ kündür. İşte bu nedenle Popüler Bilim Kitaplarım ız arasın d a bu tür dahilerin kitaplarına d a sıkça y er verm eye çalışıyoruz. Feynm an’ın d o ğa y asaları konusundaki özgün ve şiirsel y ak ­ laşım ını d ah a önce Popüler Bilim K itapları dizimiz içinde yay ın ­ ladığım ız Fizik Y asaları Ü stüne adlı telif kitabıyla Türk okuyu­ cusuna tanıtm ıştık. Feynm an’ı insan v e bilim adam ı olarak tanıtan bölüm ler de içeren bu kitapla bilimi ülkeye y ay m a ve toplum a benim setm e b ağlam ın da önemli bir görev yapm ış ol­ duğum uza inanıyoruz.



Prof. Dr. Namık Kem al PA K T Ü BİT A K B aşkanı



Ö nsöz



F



eynm an’ın kayıp konuşm asının nasıl kaybolduğu ve sonra tek rar nasıl bulunduğu üzerine bir öyküdür bu. N isan 1992'de, Fizik Bölüm ü B aşk an ı G erry N eugeb a-



uer tarafından, C altech’in arşivcisi olarak benden Robert L e-



ighton’un ofisindeki d o sy alan taram am rica edildi. Leighton hastayd ı ve y ıllarca ofisini kullanm am ıştı. K arısı M arg e L eigh ­ ton, N eugebauer ile artık ofisin boşaltılm ası konusunda m uta­ bık kalm ıştı -kocasının kitaplarını ve kişisel eşyalarını zaten toplam ıştı. A rşiv için istediklerim i alabilirdim ; sonra Fizik bölü­ mü kalanları atacaktı. Lighton 1970’den 1975’e kadar yürüttüğü Fizik Bölüm ü B a ş ­ kanlığının y an ı sıra, R ichard Feynm an’m Caltech birinci ve ikinci sın ıf öğrencilerine v erdiği iki yıllık giriş fiziği ders notlaI



rının basım a hazırlanm asını v e basılm asını, M atthew S a n d s ile birlikte, denetlem işti. 1960’lı yılların b aşın da A ddison-W esley tarafın dan üç cilt olarak basılan bu ders notları, fizikte hem en hem en neredeyse h er konuyu bugün bile taze v e özgün kalan bir b ak ışla ele alm aktaydı. B u çalışm a ile Leighton-Feynm an iş­ birliğinin gerçek kanıtını bulmayı d a umuyordum. Her yere gizlenmiş kâğıt yığınlarını baştan sona incelem ek iki haftamı aldı; fakat Leighton beni düş kırıklığına uğratm adı. Biri “Feynm an’ın Birinci S ın ıf D ersleri, bitm em iş” işareti ve diğeri ise “A ddison-W esley” etiketi taşıyan iki dosya buldum. B u dosyalar, yirmi otuz yıl öncesinin bütçe sayfaları ile satın alm a siparişleri ve sonsuz sayı sütunlarıyla dolu sararm ış bilgisayar kâğıdı to­ m arları arasın a sıkıştırılmış olarak, ofisin hemen dışındaki küçük bir depoya atılmışlardı. Leighton’ın basım cıyla olan yazışm aları, format, kapağın rengi, b aşk a okurların yorum ları, diğer okullara uyarlam alar ve kitapların ne kadar çok satabileceği tahminleri hakkında ayrıntılar içermekteydi. B u dosyayı “K orunacak"lar yı­ ğınına koydum. Feynm an’ın basılm am ış fizik derslerini içeren di­ ğer dosyayı ise ben bizzat kendim arşive geri götürdüm. Feyn m an F izik D er sle r i’ne yazdığı H aziran 1963 önsözünde, Feynm an, o rad a y er alm ayan bazı dersleri üzerine yorum larda bulunm aktaydı. Problem lerin nasıl çözüleceği konusunda ilk yıl üç seçm eli ders verm işti. V e gerçekten de, L eighton’ın dosya­ sındaki m addelerden üçü, Feynm an tarafından Aralık 1961’de verilm iş olan bu üç dersin k ab a elyazm aları idi. Feynm an’ın bir sonraki ay verdiği “jiroskop ile gü dü m ” üzerine olan dersin de klişesi yapılm am ıştı -Feynm an'a göre, talihsiz bir k arar- ve L eighton’m do sy asın d a bu dersin kısm i bir elyazm asım d a bul­ dum. D osya ayrıca 13 M art 1964 tarihli d ah a sonraki bir dersin basılm am ış kısmi elyazm asım da, Feynm an’ın kendi el y azısıyla hazırlanm ış bir deste not ile birlikte, içerm ekteydi. “G ezegenle­ rin G üneş Ç evresindeki H areketi” ad ı verilm iş olan bu ders, Isaa c N ew ton’un Prin cipia M a th em a tica sm d a elipsler y a sa sı­ nın geom etrik ispatın a alışılm am ış bir y aklaşım idi. II



Eylül 1993’te, Feynm an derslerinin özgün ses kayıt bantları­ nın bir listesini düzenlem e fırsatı elde etmiştim; bunlar d a arşiv ­ lere katılmıştı. Bunlar, A ddison -W esley kitaplarında y er alm a­ y an b eş dersi içeriyordu. O zam an Leighton'ın dosyasındaki b a ­ sılm am ış b eş dersi hatırladım ; yeterince emindim ki, basılm am ış elyazm aları bu ban tlarla örtüşm ekteydi. A rşiv’de bu derslerin dördü -önsözünde Feynm an’ın değindiği dört d ers- için k a­ ratah ta diyagram larıyla denklem lerin fotoğrafları d a vardı; fa­ kat gezegen hareketiyle ilgili M art 1964 dersi için hiçbir şey bu­ lam adım . (B u kitap için seçilen resim lerin içinde Feynm an'm bu özel d ers esn asın d a çekilm iş bir fotoğrafına rastladım . O fotoğ­ r a f b u rad a ön k apak ta kullanıldı.) Feynm an 1964 dersinin not­ larını L eighton’a k aratah ta çizim lerinin taslaklarıyla birlikte verm iş olm asına karşın, Leighton esas olarak kuantum m ekani­ ğini içeren Feyn m an F izik D ersleri’nin son (1965) cildine bu dersi eklem em eye k arar verm iş olmalı... Z am anla bu ders unu­ tulup gitti. Pratik anlamıyla, kayboldu. Basılm am ış bu b eş Feynm an dersinin tümünü unutulm aktan kurtarm a düşüncesi, D av id ’e ve b an a çok çekici geldi. Böylece geçen Aralık, sık sık yaptığım ız gibi, İtaly a’nın y am aç k asab ası F rascati’ye gittiğim izde ses kayıt bantlarının, elyazm alarının, k aratah ta fotoğraflarının ve Feynm an’ın ders notlarının kopya­ larını d a beraberim izde götürdük. İlk iki hafta boyunca bantla­ rı dinledik; notlar aldık. F ak at sonunda, h âlâ canlılığa ve özgün­ lüğe sahip, sınıfta Feynm an’ın varlığıyla katıldığım ız isteği uyandıran tek dersin, gezegen hareketi üzerine olan 1964 dersi olduğuna k arar verdik. B ir bu ders, karatahta fotoğraflarının tam am ını gerektirm ekteydi; fakat onlar elimizde yoktu. Gönül­ süz bir şekilde, projeden vazgeçtik. Y a d a ben öyle düşündüm . Ne var ki, bunu izleyen yıl boyun­ ca, özellikle birinci sınıf fiziğinde aynı m ateıyali öğretm eye sıra geldiğinde, o dersin değişik kısım ları D av id ’in düşüncesine mu­ sallat olmuştu. S e s bantlarına sahipti. F ak at Feynm an’ın ders notlarındaki birkaç iştahlandırıcı taslaktan ve Feynm an’ın öğ­ III



rencilerinden çok kendisi için ekleyiverdiği birkaç kelim eden k aratah ta gösterim lerini kurabilir m iydi? “H aydi tekrar dene­ y elim !” dedi Aralık 1994 b aşların d a P anam a K analı üzerinden bir yolculuk için eşyalarım ızı hazırlarken. B u kez yanım ıza sa ­ dece 1964 dersinin elyazm alarını, ders notlarını ve fazladan K epler’in T h e N e w A stro n o m y si ile N ewton’un Principia sınından seçilm iş say falar almıştık. S. S. Roterdam , A capulco’dan Fort L au d erd ale’e yelken a ç a ­ rak 12 gün de vardı. D avid her gün iki üç saat kabinim ize k a­ pandı ve Feynm an’m kayıp dersini deşifre etmeye çalıştı. Feyn­ m an’ın yap tığı gibi, N ew ton’un geom etrik ispatıyla işe başladı. Feynm an’m ilk krokisini, N ew ton’un diyagram larından biri ile, y ani Principia nın Cajori basım ının 40. say fasın da y er alan di­ y agram ile eşleştirm eyi b aşard ığın d a ilk dönem eç geçilm iş oldu. D avid kendisinin de bir noktaya k ad ar N ewton’un m antık çiz­ gisini izleyebileceğini söylediğinde, üç belki de dört gündür Costa R ica’nın düm düz görünen kıyıları boyunca denizde iler­ lem ekteydik. P asifik O kyanusundan A tlantik’e geçtiğim izde, D avid tam anlam ıyla Feynm an’ın aralıklı ve düzgün biçim de işaretlenm iş eğriler, açılar ve kesişen çizgiler içeren kurşun k a­ lem çizim lerine dalm ıştı. D ışarıdaki güzel m anzaraları bırakıp Newton un, Feynm an’m ve kendisinin geom etrik şekillerini yeğleyerek, her sab ah ve her akşam gitgide d ah a uzun süreler kabininde kaldı. 21 A ralık’ta Fort L au d erd ale’e vardığım ızda, Feynm an’ın tüm m uhakem esini öğrenm iş ve anlam ıştı. U çakta eve dönerken, kitabın biçimi belirginleşm işti bile. Kitabın son biçim inde, ailenin ve ark adaşların katkıları bü­ yüktür. M arcia Goodstein, Feynm an’m geom etrik öyküsünü anlatm ak için gerekli olan y aklaşık 150 kadar şekli üretirken o aptal yazılım lara k ıyasla çok d ah a zekice çizim ler yaptı. B ec e ­ rikli bir basım cı ve diplom at olan S a r a Lippincott, metni ve su ­ numu nazikçe elden geçirdi. W . W . N orton’un ikinci b aşkanı Eki B arb er do stça in an ışa yıllarını yatırdı; am a ders ortaya çık­ tığında m ükafatım gördü. Robbie V ogt bu işin ortaya çıkış öy­ IV



küsünü sundu. J im Blinn elyazm asını okudu ve y ararlı öneri­ lerde bulundu. V alentine T edegdi, J a m e s Clerk M ax w ell’in is­ p atına dikkatimizi çekti. Son olarak, nazik işbirlikleri nedeniy­ le Cari ve M ichelle Feynm an a, rahatlatıcı yardım ı nedeniyle C altech’in aydın hakları avukatı M ike K eller’e teşekkür etmek isteriz. B u kitaptan elde edilecek gelirler, C altech’teki bilim sel ve eğitsel araştırm alar için kullanılacaktır. K itaptaki tüm fotoğraflar Caltech arşivinden alınmıştır. J . G. G.



v



Giriş



H iç b ir şey keşfetm eksizin bü yük meseleleri uzun uzadıya anlatmak yerine, keşke bir tek olgu, hatta k ü ç ü k b ir şey, keşfetseydim. Galileo Galilei



B



u kitap tek bir olgu hakkındadır; am a kesinlikle küçük bir olgu değil. B ir g ez eg en , y a d a bir kuyrukluyıldız, vey a herhangi bir cisim u zayda kütleçekim in etkisi al­



tında bir y ay çizerken, çok özel bir m atem atiksel eğriler cüm le­ sinden birini izler -y a bir çem ber, y a bir elips, y a bir parabol, y a d a bir hiperbol. B u eğriler topluca konik kesitleri olarak bilinir. D oğa, gökyüzünde niçin bunların, sad ece bu z arif geom etrik



yapıların izlenm esini seçm ektedir? Problem sad ece derin bilim ­ sel ve felsefi anlam dan ileri gelm ekle kalm ayıp, ayrıca büyük ta ­ rihsel öneme sahiptir. 1684 A ğustos unda, E dm und H alley (ondan sonra, şu kuy­ rukluyıldıza onun adı verildi) C am bridge’e ünlü fakat biraz tu ­ h a f bir m atem atikçi olan Isaac Newton ile gök m ekaniği üzeri­ V II



ne konuşm aya geldi. Bilim sel çevrelerde şöyle bir kam vardı: G ezegenlerin hareketleri, G üneşten kaynaklanan ve G üneş ile gezegenin arasın dak i uzaklığın ters karesiyle azalan bir kuvve­ tin bir sonucu olabilir; fakat bu konuda hiç kim se doyurucu bir isp at üretm eyi başaram am ıştı. Evet, Newton böyle bir kuvvetin eliptik yörüngelere yol açabileceğini kanıtladığım söylem ektey­ di -tıpkı Jo h an n es Kepler'in yetm iş yıl önce gökyüzü gözlem le­ rinden çıkardığı sonuç gibi... Halley, N ewton’dan bu kanıtını kendisine de gösterm esini istedi. Ne v ar ki Newton onu yanlış y ere yerleştirdiğini söyleyerek a f diledi, fakat tekrar ele alıp onu bitireceğine ve H alley’e y o llayacağın a söz verdi. G erçekten de, birkaç ay sonra K asım 1684’de Newton dokuz sayfalık bir bi­ lim sel y azı yolladı H alley’e; o rada kütleçekim in ters kare y a s a ­ sının, dinam iğin birkaç tem el ilkesiyle birlikte, sad ece eliptik y örüngelere değil, ayrıca K epler’in gezegen hareketiyle ilgili di­ ğ er y asaların a d a yol açtığını gösterm ekteydi. H alley elinde tut­ tuğu şeyin, en azından o zam an için düşünülen Evreni anlam a­ yı sağlay acak anahtar olduğunu çok iyi anlamıştı. N ewton’dan onu b asım a hazırlam ak için izin istedi. F akat Newton çalışm asından tam anlam ıyla hoşnut değildi; düzeltm e­ ler y ap m a isteğiyle bunu erteledi. Ertelem e neredeyse üç yıl sürdü; bu süre boyunca, Newton kancayı bu problem e taktı ve göründüğü k adarıyla b aşk a bir şey yapm aksızın hep bunun üzerinde çalıştı. Sonunda, y ani 1687’de ortaya çıkan, N ew ton’un b aş yapıtı ve çağ d aş bilimi y aratan kitap oldu: P h ilo so p hia N atu ralis P rin cipia N lathem atica. * B undan neredeyse üç yüz yıl sonra, fizikçi R ichard Feyn­ man, görünürde kendi zevki için, tem el düzlem geom etriden d a ­ h a ileri hiçbir m atem atik kullanm aksızın K epler’in elipsler y a s a ­ sını kanıtlam ayı üstlendi. 1964 M art’ında C altech’deki birinci sınıf öğrencilerine m isafir hoca olarak bir ders verm esi istendi­ ğinde, dersini bu geom etrik isp at üzerine kurm aya k arar verdi. D ers, uygun bir biçim de ses b an dın a kaydedildi ve y azıya dö­ * D oğa Felsefesinin M atem atiksel İlkeleri V III



küldü. Genel olarak, Feynm an’ın dersleri esn asın d a karatahta­ nın fotoğrafları d a çekilirdi; am a bu kez de öyle y ap ıldıy sa bile, bunlar korunam adı. H angi geom etrik diyagram lara gönderm e­ lerde bulunduğu konusunda bir belirti olm ayınca, ders anlaşılam ayabilirdi. F ak at bu ders için Feynm an’ın kendi ders notları m eslektaşı Robert L eighton’m kâğıtları arasın d a tekrar k eşfedi­ lince, Feynm an’ın tüm ispatını yeniden kurm ak olanaklı hale geldi. Feynm an’ın kayıp ders notlarının keşfi, bize olağanüstü bir fırsat verdi. F eynm an’m ünü, birçok kişi için, espiri yüklü kü­ çük öykülerden oluşan iki kitabında ( “S u rely, Y o u ’r e Jo k in g , M r . F ey n m a n ”* ve “ \Vhat D o You Care W h a t O th er P e o p le T h in k ?”**') anlatılan efem sel yiğitliklere dayanm aktadır; bu ki­ taplar, Leighton’ın oğlu Ralph ile işbirliği içinde, ilerlem iş bir y a şta üretilm işlerdir. Bu kitaplardaki öyküler yeterince eğlendi­ ricidir; fakat kahram anım ız ayrıca tarihsel boyutlara sahip bir kuram sal fizikçi olduğu için, bunlar ancak özel bir tınıda etkili­ dir. Fenci olm ayan okuyucu için, Feynm an’ın zekâsını hayran­ lıkla izlemenin ve onun şu diğer yanını -bilim sel düşünce üzeri­ ne silinmez bir d am ga bırakan güçlü kavram a yeteneğini -gö r­ menin henüz b aşk a bir yolu yoktur. B ununla beraber, bu ders­ te Feynm an tüm hünerini, kavram a gücünü ve sezgisini kulla­ nır; b uradaki kanıtı, onun fizikteki birçok başarısını fenci olm a­ y an lara kapalı kılan m atem atiksel karm aşıklık katm anlarıyla karartılm am ıştır. Bu ders, düzlem geom etriye hâkim herkes için büyük Feynm an’ı iş b aşın da görm ek açısından bir fırsattır! Feynm an neden sad ece düzlem geom etriyi kullanarak K ep­ ler’in elipsler y asasın ı kanıtlam aya soyundu? B u iş, d ah a geliş­ kin güçlü m atem atiksel yöntem ler kullanılarak çok dah a kolay yapılır. Feynm an’ın iyice m erakını uyandıran, dah a gelişkin yöntem lerin bazılarını Newton kendisi bulduğu halde, Prin cip/a'da K epler y asasın a ait kendi ispatını verirken sad ece düzlem * E m in im Ş a k a Y a p ıy o rs u n u z , B a y F e y n m a n ; Evrim Y ayınevi İstanbul, 1998. a p araleldir bu d ah a k ısadır bundan



B ununla birlikte, ikinci Newton y asasın a göre, hızdaki d eğiş­ me, bir anlık kuvvetin hız değişim ine neden olduğu B noktasın­ da G üneş yönünde olmalıdır. vAB, değişm eden önceki hız, 86



V ab



- değişm eden önceki hız



vBCise değişm eden sonraki hızdır; v



gişm eden sonraki hız ---------- ^



Vab



BC A \/



bu durum da hızdaki değişm e de bir ok olup, hız buradan buraya değişm iştir



dolayısıyla değişm e budur '



\j



bu ok, B ’den S y e uzanan çizginin yönünde olmalıdır: D



bu ikisi p ara­ lel olmalıdır



AVb



(hız diyagram ı)



(konum diyagram ı)



Böylece B noktasındaki hız değişim i, yani AvQ, G üneşten kay­ naklanan kuvvetin yönündedir ve kuvvetin şiddetiyle de oran­ tılıdır. B noktasında G ün eş’in çekim kuvveti iki kat büyük ol-



87



saydı, AvBde iki kat d ah a büyük olurdu. İkinci Newton y a sa sı­ nın anlam ı şudur: N ewton diyagram ı üzerinde A, B, C, ..... (sa ­ nal) noktalarının her birindeki hız değişim i, bu noktalar arasın ­ daki (eşit) zam an aralık larına d a bağlıdır. Newton, u zayda iz­ lenen gerçek pürüzsüz eğriye d ah a fazla y ak laşm ak için, aynı yörüngeyi zam an aralıklarını y arıy a indirerek y ak laşık lığa u ğ ­ ratm ayı düşünebilir (ve düşünm üştür d e). B undan b aşk a her şey aynı tutulur ve sad ece zam an aralıkları y arıy a indirilirse, her hız değişim i de y arıy a iner, fakat onların sayısı bu kez iki katına çıkar:



(konum diyagram ı)



(hız diyagram ı)



Bu, d ah a önceki diyagram gibi aynı kuvvetle oluşturulm uş aynı yörüngedir. Kuvvet, her noktada hız değişim i (bu diyagram da y arıy a indirilm iş) bölü zam an aralığı (gene y arıy a indirilm iş) ile orantılıdır: F ~Av /At; b u rad a F kuvvet ve At zam an aralığıdır. B u diyagram daki kuvvet, önceki diyagram da olan kuvvet ile aynıdır. G örüldüğü gibi, konum diyagram ındaki yön ile hız d iy agra­ m ındaki yön arasın d a gerçek bir karşı-gelm e vardır. Bununla beraber, diyagram ların boyutları birbirleriyle hiçbir bağlantıya sahip değildir. Tüm hız diyagram ını iki kat büyütecek bir seçim yapabiliriz (bu, yönlerin hiçbirini değiştirm ez) ve diyagram g e ­ ne doğrudur:



D



Her iki hız diyagram ı doğrudur



Olası en basit özel örneğe bakalım. Y örüngenin, R yarı çaplı bir çem ber olduğunu varsayalım . B u durum da Newton d iy ag­ ram ı şunun gibi görünür:



Uzaklıkların her biri -SA , S B , SC, vb.- çem berin y arıçap ı R ’y e eşittir. A yrıca A, B, C, vb. noktalarındaki anlık kuvvetler n ede­ niyle ortaya çıkan her bir hız değişim i, G üneş’ten kaynaklanan kuvvet m esafeye nasıl b ağlı olursa olsun, hep aynı olacaktır; çünkü tüm bu noktalar G üneş’ten aynı m esafededirler. B u ra­ dan, AB, BC, CD, vb. boyunca olan hızların hepsinin aynı ol­ m ası gerektiği ortaya çıkar; AB, BC, CD, vb. parçalarının uzunlukları d a hep aynıdır. Y örüngenin tekrar tekrar aynı eğri­ yi izlem esinin tek yolu budur. Bir b aşk a deyişle, Newton tara­ fından çizilen şekil, gerçek yörünge olan çem berin içine gerilm iş eşit kenarlı ve açılı bir dü zgün ço kgen d ir.



89



tüm açıları aynıdır



D üzgün çokgenler, eşk en ar üçgen, kare, beşgen, altıgen, vb. diye gider. B ir düzgün çokgen ne kadar çok ken ara sahipse, bir çem bere o k ad ar d ah a çok benzer. Newton, d ah a k ısa zam an aralıkları kullanarak, diyagram ında çok dah a fazla kenarlı dü z­ gün bir çokgen vermeyi,



ve böylece gerçek çem bere d ah a çok yaklaşm ayı, sonsuzda g e r­ çek yörüngeye ulaşm ayı düşlem işti. D airesel yörünge için hız diyagram ında, tüm hızlar eşit uzun­ luktadır ve eşit açılarla ayrılm ışlardır; öyle ki tüm Av değişim le­ ri aynıdır:



90



Böylece hız diyagram ı d a bir düzgün çokgendir; kenar sayısını sonsuza doğru götürm ekle yörühge çem ber haline gelirken, o hız diyagram ı d a çem ber haline gelir:



Hız diyagram ındaki çem berin y arıçap ı v ’dir; bu, gezegenin y ö ­ rünge üzerinde her y erd e sahip olduğu hızın tekdüze büyüklü­ ğüdür. B u hız büyüklüğü, gezegenin kat ettiği m esafenin bu m esafeyi alm ak için geçen zam ana bölünm esiyle verilir. G eze­ genin kat ettiği m esafe, yörüngenin çevresidir -y ani 2îcR- ve gezegen in bir kez dönm esi esn asın d a geçen zam an, tam olarak yörünge periyodu dediğim iz T’dir. D olayısıyla V, 27tR/ T y e eşittir. dairesel yörünge



çevrenin uzunluğu 2 k R dir; seyahat zam anı T dir; hız



V



= 2 k R/T dir



H er seferinde gezegen bir tam devir yaptığında, hız oku d a k en ­ di etrafında bir tam dönüş yap ar: 91



bu ikisi aynı



(aynı an d a h ız diyagram ı)



(yörünge diyagram ı)



Hız oku tam bir çem ber çizdiğinde, okun ucu 27üv’lik bir m esa­ fe kat eder:



92



H atırlarsanız, hız değişim i, hız okunun ucunun hareketiyle v e­ rilmekteydi:



Şim di, diyelim ki çem ber, her biri T yörünge zam anının 1/30 undaki hareketi tem sil eden 30 p arçay a bölünm üş olsun:



(yörünge diyagram ı)



(hız diyagram ı)



Kuvvet, gördüğüm üz gibi, Av /At ile orantılıdır; b u rad a Av hız­ daki değişim olup, hız çem berinin çevresinin 1/30’u n a eşittir ve At ise T ’nin 1/30’u olan zam an aralığıdır. A çıkça, çevrenin 1/30’unun zam anın 1/30’u na bölümü, tüm çevrenin tüm zam a­ n a bölümüyle aynıdır. B öylece Av /At, çevrenin -ki 27TV’dir- T zam anına bölüm üne eşittir:



93



AR __ 2ıtR At ~ T



Av 2trv ~Kt ~ ~T~



D olayısıyla F kuvveti 27UV/T ile orantılı ve



V



hızı 2 7tR/T'ye eşit­



tir. Sem bolik olarak



İki oranın çarpım ı F ~ (2-ır)2 — verir. B u ifadeye göre, örneğin G üneşten iki kat uzaklıkta (R değil de 2 R m esafed e) bir gezegen olsaydı ve yörüngesini aynı zam an periyodunda dolansaydı, G üneş tarafından ona uygula­ nan kuvvet, R ile orantılı olduğu için, iki kat büyük olurdu. B u ­ nunla beraber, gezegenlerin davranışı böyle değildir. G ördüğü­ müz gibi, 2 R m esafede bir gezegen v ar olsaydı, onun periyodu 2,83T olurdu. Bu, K ep ler’in üçüncü y asasın d an saptanır: T ~R 3/2 (bir gezegenin periyodu, onun G üneşten olan uzaklığının 3/2 nci kuvvetiyle orantılıdır) F kuvveti, R uzaklığı bölü T 2 ile orantılıdır. F akat T2, R3/2’nin karesi demektir, y an i (R 3/2) 2 = R3. Böylece kuvvet, R uzaklığı 94



bölü R uzaklığının küpü ile orantılıdır. F ak at R bölü R 3, 1 bölü R 2 ile aynıdır! K uvvet, 1 bölü G üneşe uzaklığın karesiyle oran­ tılıdır. Bu, aradığım ız bağıntıdır — R 2 kuvvet y asası. B urası, d ah a ileri gitm eden, nerede olduğum uzu ve nereye gideceğim izi görm ek niyetiyle bir an için du rulacak iyi bir nok­ tadır. K epler bize üç y a sa verdi; Newton d a bize üç y a s a verdi. B u ­ nunla birlikte, K epler’in y asaları N ewton’unkilerden büyük öl­ çüde ayrı karakterdedir. K epler y asaları gökyüzü gözlem lerin­ den genellem elerdir. Onlar, bugün eğriye-uydurm ak dediğim iz niteliktedir. K epler u zayda birkaç nokta -M ars gezegeninin bi­ linen zam anlardaki gözlenen konum larını- aldı ve dedi ki, “A ha! Tüm bu noktalar elips denen bir eğri üzerine d ü şe r !” B u betim lem e, tarihin büyük dahilerinden birinin y aşam boyu ç a ­ lışm asını önem sizleştirir, fakat gene de doğru bir yak laştırm a­ dır. K epler yasalarının üçünün de esas do ğası budur. Newton y asaları köklü bir şekilde ayrı türdendir. O nlar g e r­ çekten fiziksel realitenin en derin do ğası hakkında varsayım lar­ dır: m adde, kuvvetler ve hareket arasındak i bağıntılar. Bu v ar­ sayım lardan çıkarılan d avranış d o ğad a gözlenirse, varsayım lar doğru olabilir; bu böyleyse, m etaforlar açısından sizin beğenini­ ze b ağlı olarak, doğanın kalbini, y a d a Tanrının aklım gördük demektir. Newton varsayım larının doğruluğunun büyük öneme sahip gezegen hareketleri aren asın d a sınanm ası için, d ev asa m iktarlardaki astronom ik verilerin K epler y asaların a yol açtığı­ nı gösterm ek gerekir. Newton y asalarıy la K epler y asaları arasın dak i bağlantı, gene de bundan d ah a çok karm aşıktır. Şim diye k ad ar bir h alk a ek­ sik kaldı. Newton, kendi y asaların ın em rettiği gezegen hareket­ lerini saptam ak için, özel bir kuvvet türünün -kütleçekim kuv­ vetinin- do ğasın ı keşfetm eliydi. B unu y ap m ak için, K ep ler’in ikinci ve üçüncü y asaların ı kullandı. K ütleçekim in doğasım bu şekilde çıkarm ış olarak, y asaları u yarınca etkiyen kütleçekim kuvvetinin, K ep ler’in geri kalan gözlemine, y an i elipsler y a sa sı­ 95



na yol açtığını gösterebilm işti. Bu, Newton tarafından P rin cip fa’sın d a sunulan m antıksal olaylar dizisidir. Biz şim di onun kanıtındaki noktada, y an i Newton y asaları ile K ep ler’in ikinci ve üçüncü y asaların ı kullanarak kütleçekim in doğasını çıkardı­ ğı y erd e duruyoruz. Son perdeyi -K ep ler’in birinci y a sa sı olan elipsler y asasın ı- açm adan önce, bunu nasıl yaptığım ızı gözden geçirelim . N ewton’un birinci y asası olan eylem sizlik y asası, gezegen h a­ reketlerine uygulanan haliyle, şöyle der: E ğ er bir gezegen üze­ rine uygulanan bir kuvvet yoksa, durgun b aşlam ışsa durm aya devam edecek; yok eğer hareketteyse bir doğru boyunca sabit hızla sonsuza dek hareket edecektir. N eden böyle yaptığı, N ew ton bazen bunu gezegenin “iç kuvveti” gibi bir m ekanizm aya d ayan d ırsa da, bir sırdır. B ununla birlikte, Newton y asaların a göre konu, onların n ed en doğru olduklarını sorm ak değil, sad e ­ ce onların doğru o lu p olm adıklarını sormaktır. G erçekten gezegen e etkiyen bir F kuvveti varsa, ikinci N ewton y asasın a göre, bunun etkisi, gezegeni, eylem sizlik nedeniy­ le sab it hızla izleyeceği düz çizgiden saptırm aktır. Özellikle, bu kuvvet verilen bir At zam an aralığın da uygulanırsa, hızda bir değişm e doğurur -yani, eylem sizlik yolundan Av kadarlık bir ayrılma, kuvvet ile orantılı ve kuvvet ile aynı yöndedir. Bunun anlamı, iki kat kuvvet (2F) uygulanırsa, hızda iki kat bir d eği­ şim (2Av) m eydana gelir demektir. Bu, aynı kuvvet zam anın iki katı süresin ce (2At) uygulanırsa gene 2AV değişim i elde edilir anlam ına d a gelir. Sem bolik olarak, Av ~FAt yazabiliriz. Ayrı­ ca bu, kuvvet G üneş’e doğruysa, hız değişim i de G üneş’e do ğ­ ru olm alıdır anlam ını d a taşır. Ü çüncü Newton y asası, bir gezegenin farklı kısım ları arasın ­ d a etkisini gösteren kuvvetlerin bütün gezegen üzerinde net bir kuvvet oluşturm adığını söyler; öyle ki gezegensel hareketlerin analizi am acıyla, gezegenlerin büyük karm aşık cisim ler olduk­ ları gerçeğini göz ardı edip, onların herbirini sanki m erkezinde­ ki m atem atiksel bir noktaya toplanm ış gibi ele alabiliriz. 96



D em ek ki N ewton’un izlediği resim şudur: D urgun olduğu varsayılan G üneş gezegen ler üzerine bir kuvvet, kütleçekimi, uygular; bu d a onları, bu kuvvet olm asaydı izleyecekleri düz yollardan saptırır ve gerçek yörüngelerine sokar. ikinci K epler y asasıy la betim lenen bu gerçek yörüngelerin bir özelliği, G ün eş’i gezegen e birleştiren varsayım sal çizginin, gezegen yörüngesi üzerinde dönerken, eşit zam anlarda eşit alanlar süpürm esidir. N ew ton’un gösterdiği (ve bizim de şimdi gösterdiğim iz) gibi, Kepler'in gözlemi, kütleçekim kuvveti, g e ­ zegeni G ün eş’e birleştiren doğrultu boyunca etki eder anlamını taşır. G ezegensel hareketin ikinci bir özelliği şudur: B ir gezegenin yörüngesi G üneşten ne k adar uzaksa, o gezegen yörüngesinde o k adar y av aş hareket eder. Özel olarak, gezegenin bir tam d e­ vir y ap m ası için geçen zaman, yörüngesinin G üneşten olan uzaklığının 3/2’nci kuvvetiyle artar. N ewton’un gösterdiği (ve bizim de şim di gösterdiğim iz) gibi, bu sonucu üretm ek için, g e ­ zegenleri farklı yörüngelere saptıran kuvvet, 1 bölü G üneş’ten uzaklığın karesiyle zayıflam alıdır. B aşk a bir deyişle, bir geze­ gen G ün eş’ten iki kat uzaktaysa, onu G üneş’e çeken kütleçekim kuvveti dört kat d ah a küçük olacaktır. D ikkat ederseniz, ikinci K epler y a sa sı (eşit alan lar) bir tek gezegenin yörün gesi üzerinde farklı kısım larındaki hareketi ile uğraşırken, üçüncü y a s a farklı gezegenlerin yörüngelerini kar­ şılaştırır. G ezegenlerin yörüngelerinde ne k adar hızla hareket ettiklerinin kütlelerine hiçbir şekilde b ağlı olm am ası acayip fa ­ kat gerçektir. Y er gezegeninin bir yılı (bir tam dolanım ı), J ü p i­ ter gezegeninin bir yılından sad ece G üneş’e uzaklıklarının o ra­ nının 3/2 kuvveti kadar d ah a kısadır; oysa Jü p ite r ’in kütlesi Y er in kütlesinin 300 katından dah a fazladır. Ne olursa olsun, G ün eş’in bir gezegen üzerindeki kütleçekim kuvvetinin G üneş'e doğru olduğunu ve şiddetinin 1 bölü G ü­ neş'ten uzaklığın karesiyle azaldığını artık biliyoruz. Bu kadar çok şey öğrenm ek için K epler’in ikinci ve üçüncü y asaların ı kul­ 97



lanm ıştık. Son, zafer say ılacak b aşarı, Newton y asaları uyarın­ c a etkiyen böyle bir kütleçekim kuvvetinin gezegen ler için elip­ tik yörüngeler d oğuracağını gösterm ek olacaktır. Feynman, bu derste, işte bu noktada artık Newton'un kanıt­ lam a çizgisini d ah a fazla izlem ek için kendisini yetersiz bulur ve böylece kendisine özgü bir kanıtlam a yolu icat etmeye kalkışır. Onun N ewton'dan ilk ayrılışı, bir satranç dâhisi tarafından p ar­ lak, hiç beklenm eyen bir harekete çok benzem ektedir. N ew ton’un hep yap tığı gibi, yörüngeyi eşit zam anlarda alm an sanal p arçalara bölmek yerine, Feynm an, yörüngeyi G üneş’te eşit açılar y ap an p arçalara böler. B unun ne anlam a geldiğini gör­ mek için bazı k abataslak diyagram lar çizmeye gereksinim im iz olacak. Feynm an’ın bu ders notlarında Prin cip j'a’dan kopya ettiği di­ y agram ı hatırlayın: C___i c



G üneş’ten kaynaklanan kuvvet olm asaydı, gezegen belirli bir zam an aralığın d a A ’dan B ’y e giderdi. Zam an aralığı, örneğin, 1 saniye, y a d a 1 dak ik a vey a 1 ay olabilir. B ir sonraki eşit zam an aralığın da B ’den c ’ye eşit bir m esafe kat ederdi. Am a bunun y e ­ rine, G ün eş’ten kaynaklanan kuvvet B ’de bir anlık bir çekm e doğurur; bu ise, harekette G üneş’e doğru B V ’y e eşit bir d eğiş­ meyi zorunlu kılar, ikinci zam an aralığı esnasında, gezegen g e r­ çekte eylem sizliğin zorladığı B c yolu ile G üneş’in çekiminin zorladığı B V yolunun bir bileşim ine boyun eğer: iki hareketin oluşturduğu paralelken arın köşegenini izler ve C’y e varır. D a­ ha önce kanıtladığım ız gibi, eşit zam anlarda süpürülen SA B ve 98



S B C ü çgenleri eşit alan lara sahiptir. N ewton böylece yörünge­ yi, her bir noktada gezegenin G üneş’ten kaynaklanan bir anlık çekm elerle eylem siz düz yolundan saptığı, zam anca eşit olarak ayrılmış noktalar (A, B, C, ...) dizisi şeklinde y ak laşım a uğratır. Z am an aralıklarını kısalttıkça, G üneş’ten kaynaklanan çekm e­ ler sıklaşır ve yörünge de gerçek yörüngeye d ah a çok benzer hale gelir; kuşkusuz gerçek yörünge, gezegeni düz eylem sizlik yolundan sürekli çeken G üneş’in çekim kuvvetiyle oluşan tatlı bir eğridir. B u son, tatlı eğim li yörünge, bizim (ve, Newton ve Feynm an’ın) şem atik olarak gösterdiğim iz şu özelliği üzerinde taşır: G ezegen eşit zam anlarda eşit alan lar süpürür; bu da, g e ­ zegen G üneş’e ne k adar yakınsa, yörüngesinde o k adar hızlı h a ­ reket eder anlam ına gelir.



Gezegen, G üneşten uzakken eşit bir At zaman aralığında dah a y av aş olarak buradan buraya hareket edip bu alanı süpürür



Gezegen, G üneşe yakınken At zam anında hızlı olarak buradan



iki alan eşittir



Feynm an bu eşit alan lar y asasın ı ispatlam ak için, doğrudan N ew ton’dan aldığı kanıtın aynısını kullanm ıştı. B ununla birlik­ te, şim di o, yörüngeyi eşit alan lara bölmek yerine eşit açılard a bölmeyi seçiyor:



99



bu iki açı eşittir B u rada gezegen çok daha y av aş hareket eder, öyle ki bu parçayı geçm ek için gereken zaman daha uzundur



Güneşe yakınken gezegen daha hızlı gittiğinden, yörün­ genin bu parçasını kat etmek için gereken zaman kısadır



Y örüngenin y u k arıd a görülen iki p arçası eşit açılara sahiptir, fakat süpürülm üş alan lar farklıdır; dolayısıyla süpürülürken farklı zam an süreleri geçm iştir. Y asa, gezegenin eşit zam anlar­ d a eşit alan lar süpürdüğünü söyler. B un a göre, eğer alanın y a ­ rısını süpürm üşse, zam anın yarısı geçm iş demektir; y a da: At ~(süpürülen alan) Bu eşit-açı parçalarını bir an için Newton türü bir diyagram üzerinde temsil edelim ; b u rad a gezegen kütleçekim kuvvetine ait hız değişim leriyle kesilm iş eylem siz düzgün doğrusal h are­ ketlere uğrar. B asit olsun diye, Av hız değişim lerini doğrudan yörünge diyagram ı üzerine çizelim:



Y örüngenin G ü n eş’e yakın tarafın d a g ezegen A ’dan B ’y e k a ­ yar, G üneş nedeniyle Av boyunca sap ar ve B ’den C ’y e gider. Y örüngenin d iğer u cu n da ise g ez eg en D ’den E y e gider, bir 100



Av değişim i y arata n bir çekm eye u ğ rar ve E ’den F ’y e devam eder. Biliyoruz ki, gezegen B C boyunca E F boyunca olandan d a ­ ha hızlı hareket eder. Ne k adar hızlı olduğunu görm ek için, S B C ve S E F üçgenlerinin alanlarını karşılaştırm alıyız, çünkü zam anlar süpürülen alan larla orantılıdır. İki üçgenin S de aynı m erkez açısın a sahip olduklarını hatırlayın ve S E F ’y i yeniden yönlendirip S B C ’nin üstüne yerleştirin; şu n a sahip olursunuz: F



Her bir üçgenin alanı 1/2 (taban) x (yüksek lik)’tir. Ayrıca, bun­ lar benzer üçgenlerdir. Bu dem ektir ki, büyük üçgenin tabanı küçüğün tabanının iki katı ise, yükseklik de iki kez dah a büyük­ tür; bu durum da, büyük üçgenin alanı küçüğün alanını 2 x 2 = 4 ’e katlar. Genel kural, alanın G üneş’ten olan uzaklığın karesiy­ le orantılı olm asıdır. B öylece yörüngenin herhangi bir p arçası­ nı kat etmek için geçecek zam an, süpürülen alan la orantılıdır, ki bu da, G üneş’ten uzaklığın karesiyle orantılıdır. İşte N ewton’un ve Feynm an’m yörüngeyi p arçalara ayırm a yollarının bir k arşı­ laştırm ası:



° Feynman, dersinde bu noktayı bir tek satırda geçer. Bu, aslında bu kadar basit değil­ dir ve biz de aslın d a onu ispatlam adık. İşte çok dah a tam bir ispat: Aynı merkez açıya sahip keyfi iki yörünge parçası alalım:



101



SW X üçgenini SG H nin üstüne aşağıdaki gibi yatırın: W



WX'in üzerinden geçerek HG'ye paralel öyle bir çizgi çekilebilir ki orada ortaya çıkan iki küçük üçgen eşit alan lara sahip olsun: hg çizgisini H G’y e paralel çizdik; öyle ki bu iki üçgen daha kuruluşta eşit alan lara sahiptir.



Sgh üçgeni, SW X ile aynı alan a sahiptir (küçük üçgenlerden biri kadar daha büyük ve diğeri kadar eşit bir m iktarda dah a küçüktür) v e SH G ’y e benzerdir. Şimdi de S ’den W X ’in h g ’y i kestiği noktaya bir çizgi çekelim:



G üneş’ten yörüngeye olan uzaklıklara S Z ve Sz diyelim. Benzer üçgenlerin özelliğine göre (hem taban hem de yükseklik boyut olarak büyür, dolayısıyla alanlar boyutun ka­ resiyle orantılıdır), SG H ve Sgh benzer üçgenleri, S Z ve Sz uzunluklarının kareleriyle orantılı alan lara sahiptirler. Fakat SW X , Sg h ile aynı alan a sahiptir; dolayısıyla SW X in alanı d a Sz nin karesiyle orantılıdır. Şimdi merkez açıyı dah a ve daha küçük açılara (sonsuz kez) daralttığımızı düşünürsek, S Z z çizgisi daim a açının içinde kalır ve eliptik yörünge üzerindeki W ve X noktaları birbirlerine iyice y ak laşacağından, Sz uzunluğu sonunda, daha önce G üneş’e olan uzaklık olarak adlandırdığım ız S W ya d a S X e eşit olur. Q ED .



102



Nevvton



Feynman



Sem bolik olarak, Feynm an’ın çizim inde At ~R 2’dir, b urada R gezegenden G ün eş’e olan uzaklıktır. F akat ayrıca G üneş’ten kaynaklanan kuvvetin, ters-k are y asasın a göre, uzaklıkla azal­ dığım biliyoruz -yani F ~ 1/R2’dir. Şim di yörüngenin her ayrık noktasında hızdaki Av değişim ini gösteren türdeki diyagram a geri dönelim:



Yörünge boyunca her noktada - A, B, C .... D, E, F ... ve ara d a ­ ki tüm noktalar- G üneş’e doğru bir Av vardır. F kuvveti büyüdükçe, Av de büyür; ayrıca At zam an aralığı uzadıkça, hız­ daki Av değişim i de artar: Av ~F At Fakat F ~1/R2 ve At ~R 2 olduğundan, AV ~(1/R2) x R 2 = 1



103



dir. B u ise, Av’nin R ’ye hiç mi hiç bağlı olm adığını ifade eder. Y örüngenin her yerinde, gezegen G üneş’e ne k ad ar yakın y a d a ne k ad ar uzak o lursa olsun, verilen bir açıd a doğurulan Av ay­ nıdır. H em en şim di gördüğüm üz gibi, bu böyle olur, çünkü gezegen G üneş’ten iyice uzaklardayken gezegen e etkiyen kuv­ vet iyice zayıflar (uzaklığın karesiyle), fakat kuvvetin gezegen üzerine etkime süresi de iyice uzar (gene uzaklığın karesiyle). Sonuç, tüm Av’lerin yörünge boyunca her y erd e aynı olm asına varır. Yani, Feynm an’m dersinde dediği gibi, “içinden her şeyin çıkarılacağı an a cevher, yörünge eşit açılarla dolam lırken, hızda eşit değişim ler m eydana gelir” gerçeğidir. Bunun tam olarak ne anlam a geldiğini görm ek için, bir an geriye Newton tarafından çizilen ve Feynm an tarafından kopya edilen tür diyagram a bakalım . G ezegenlerin konumlarını betim ­ lem ek yerine, hızları betimleyelim:



N ewton’un yöntem inde, zam an aralıklarının tümü aynı idi ve tüm Av’ler G üneş’e yönelm işti; fakat bazı Av’ler diğerlerinden dah a büyüktü (gezegen G üneş’e en yakın olduğunda, Av en büyük hale geliyordu). Feynm an’ın ku rgusu n da ise, tüm m er­ kez açılar aynı idi, öyle ki bu kez zam an aralıkları farklıydı. Tüm Av’ler G ün eş’e doğru yönelm işti (ikinci Newton y asasın a göre zaten öyle olm alıdırlar) v e y ö r ü n g e b o yu n ca h e r y e r d e bu k ez tümü b ü y ü k lü k çe eşittir. Bu, şimdi geliştireceğim iz sonuç­ lara sahiptir. B u noktada Feynm an, yörünge diyagam ını ve ona karşı gelen eşit-açı parçaları için hız diyagram ını kendi ders notlarında müthiş özenle çizmişti. İşte sonuç:



104



Y örünge J konum undan b aşlar, G üneşte bir açı y ap arak K 'ya gider, o rad a gidiş yönünde bir Av değişim ine uğrar; son­ ra eşit bir açıyla K ’dan L ’y e ve sonra gen e L ’den M ’y e devam eder: M



B u diyagram ın N ewton tarzının aksine, bu p arçaların zam anları zorunlu olarak eşit değildir. Hızlar J K , KL, LM , ... yönlerinde olup, farklı p arçalard a genelde farklı büyüklüktedir­ ler. J , K, L ve M noktalarında bu hızların uğradıkları değişim ­ ler tüm den G ün eş’e yönelm iştir ve tümü aynı büyüklüktedir. B ir b aşk a deyişle, J ’de J S yönünde bir Av değişim i vardır; ay­ nı Av K S yönünde m eydana gelir ve bu böyle sürüp gider. Feynm an bu olguları kullanarak hız diyagram ını kurar:



105



(yörünge diyagram ı)



(Kız diyagram ı)



Y örünge diyagram ı üzerinde gezegen J ’den K y a Vj hızıyla hareket eder. Hız diyagram ında ise, V, aynı yöndedir, fakat J K ile aynı uzunlukta değildir. K noktasında S K yönünde bir Av vardır, hız diyagram ı j noktasından k noktasına bir Av m esafe­ si k ad ar gitm iş ve hız VK olmuştur. B u süreç bir sonraki b asam ak ta sürer; yörünge diyagram ı üzerindeki ikinci parça, K dan VKy a p aralel olarak bir L noktasına, K S L açısı J S K açısıy­ la aynı olacak şekilde çizilir:



Şim di de hız diyagram ı üzerinde, büyüklükçe jk y a eşit, fakat L S y e p aralel bir Av ekleyerek 1 noktasını buluruz:



106



Aynı süreç yörünge boyunca sonuna k ad ar tekrar edilebilir. B ir sonraki basam ak, Feynm an’ın kendi notlarında çizdiği d iy ag­ ram ı verir: M



Feynm an’ın kendi notlarında yazm ış olduğu gibi, jk, K S ’y e p ara­ lel; lk, L S ’y e paralel; İm, M S ’y e paraleldir ve lk =jk =lm ’dir. Hız diyagram ındaki kenarların her biri (jk, kİ, İm, ...), yörün­ ge diyagram ında G ün eş’ten ışın halinde yayılan çizgilerin biri­ ne paraleldir. G ün eş’ten çıkan çizgiler eşit açılara sahip olacak şekilde kurulduğundan, hız diyagram ındaki şeklin kenarları d a eşit dış açılara sahiptir:



107



Hız diyagram ı tam am landığında, eşit kenarlı ve eşit (d ış) açılı bir şekil m eydana gelecektir:



D ik kat ed ersen iz, b aşlan g ıçtan j, k, 1 v e sairey e u zaklıklar şeklin deki hızların k endileri eşit değildir, fak at k en arlar (A v’ler) eşittir. So n şek il bir dü zgün ço k gen d ir! H ızların b a ş ­ lan gıcı m erkezde d eğild ir, fak at d ış şeklin k en disi bir düzgün çokgendir. E ğ er şim di her zam anki gibi yörünge diyagram ını eşit fakat dah a küçük açılı çok say ıd a p arçay a ayırm aya devam edersek, yörünge iyiden iyiye tatlı eğimli bir eğriye y ak laşır -v e hız diyagram ı d a öyle olur. Hız diyagram ı bir düzgün çokgen ol­ duğundan, tatlı eğimli eğrinin y ak laştığı şekil bir çem berdir! 108



F ak at hızların b aşlan gıcı zorunlu olarak çem berin m erkezinde değildir. Bu noktada Feynm an ders notlarında yörünge ve hız diyag­ ram larını tatlı eğim li eğriler olarak çizer. Ö nce yörüngeye b ak a­ lım. Feynm an yörüngeyi alışılm ış şekilde G üneş’ten y atay ola­ rak uzanan çizgiyle J noktasında başlatır; p arçalara ayrılmış yörünge diyagram ının aksine, J noktasındaki hız G üneş’ten g e ­ len y atay ışın a dik d ü şey bir çizgidir:



Belirli bir süre sonra, gezegen G üneşte 0 açısı y apm ış olarak P noktasına varır:



H er noktada anlık hız tatlı eğimli yörüngeye teğettir. Şim di b un a karşı gelen hız diyagram ını kurun. B u da, b aşlan ­ gıcı m erkez dışında olan bir çem ber olacaktır. Vj yi tem sil etmek için çizeceğim iz çizginin uzunluğu, gezegenin yörünge üzerinde J noktasındaki hızına b ağlı olacaktır. Hız diyagram ında, d ah a uzun çizginin d ah a büyük hızı tem sil ettiğini hatırlayın. Feyn­ m an’ın yörünge diyagram ın da J noktası, ayrıca G üneş’e en y a ­ kın noktadır (Feynm an bunu k afasın da kararlaştırm ış, am a dersin de b un a değinm em işti), b u rad a y örüngesel hız en büyük 109



değerdedir. D olayısıyla Vj çizgisi, hız diyagram ı üzerinde en uzun çizgi olduğu için, çem berin m erkezinden geçm elidir:



B u yolla çizilmiş olarak, Vj düşeydir (yörünge diyagram ında



Vj’y e p aralel) ve b aşlan gıçtan çem ber üzerindeki herhangi bir noktaya olan en uzun m esafedir. Y örünge diyagram ının P nok­ tasın a hız diyagram ı üzerinde karşı gelen p noktasındaki hız, başlan gıçtan Vpye p aralel bir çizgidir:



(yörünge diyagram ı)



110



Hız diyagram ın da jC p açısının, 9 açısı (yörünge diyagram ın­ d a J S P açısı) ile aynı olduğu da'bir gerçektir:



Y örünge parçalarının tam hız diyagram ına -dü zgün çokgengeri gider ve hız oklarının başlangıcından değil de, m erkezinden çizgiler çizersek, bunun nedenini görebiliriz:



Y örünge, toplam ları 360° olm ası gereken, çok say ıd a eşit açıya bölünm üştü. Çokgen de, zorunlu olarak 360°’nin aynı kesrini örten aynı say ıd a eşit k en ara sahiptir. Dolayısıyla, S J ’den y ö ­ rünge üzerinde herhangi bir noktaya olan açı, C j’den hız diyag­ ram ında karşı gelen noktaya olan açıyla aynıdır.



111



N et sonuç, Feynm an tarafından çizilen diyagram çiftinde görülm ektedir: j



Artık iki diyagram arasın d a tüm k arşı-getirm eler g erçek leş­ tirilmiş olarak, kız diyagram ından başlayıp yörüngeyi kurabili­ riz. Hız diyagram ının bir çem ber olduğunu bildiğim izden, bu dah a kolay bir b aşlam a noktasıdır:



Newton y asaları ve kütleçekim kuvveti ile izin verilen her y ö ­ rünge, aynı hız diyagram ına sahip olacaktır. Y örüngenin doğru şekli, hızların b aşlan gıcını yerleştirm ek için seçeceğim iz y ere b ağlı olacaktır. Çem berin içinde, fakat C m erkezinde olm ayan bir nokta, herhangi bir nokta, seçin (bu nokta C de, y a d a çem ­ berin üzerinde, h atta çem berin dışın da seçilirse, ne olacağını d ah a son ra g ö receğ iz ):



112



•c



\



• herhangi bir nokta



/



(hız diyagram ı)



S ır f alışkanlık m aksadıyla, C noktası tam alta gelinceye dek tüm diyagram ı döndürün:



Seçilen nokta, hızların b aşlan gıcı olarak görev y apacaktır; yani, oradan çem berin çevresi üzerindeki herhangi bir noktaya çizi­ len doğru, yörünge üzerinde o noktada gezegenin hızıyla oran­ tılı bir u zunluğa sahip olacak ve yörüngenin o noktasında g ez e­ genin hareketiyle aynı yönde bulunacaktır, işa re t edildiği gibi, b aşlan gıçtan m erkezi geçip çem berin çevresine k adar uzatılan doğru, en uzun doğrudur ve dolayısıyla yörünge üzerinde gez e­ genin en hızlı gittiği noktayı tem sil eder.



113



Bu, eşit-alan lar y asasın a göre, yörünge üzerinde G üneş’e en yakın nokta olacaktır. F eynm an’ın y ap tığı gibi, yörüngeyi öyle çizeriz ki oradan G üneş’e olan çizgi yataydır ve hız düşeydir (hız diyagram ının başlangıcını m erkezin altına gelecek şekilde döndürm em izin nedeni budur):



Şim di b aşlan gıçtan çem berin üzerinde herhangi bir p nok­ tasın a bir çizgi çizin: j



114



B u nokta, yörünge üzerinde şu özelliklere sahip bir P noktasına k arşı gelir: hız diyagram ın da b aşlan gıçtan p y e çizilen doğru, yörünge diyagram ı üzerinde P noktasındaki teğete paraleldir ve jC p açısı J S P açısıyla aynıdır: j



B öylece her 0 açısında, kurm aya çalıştığım ız yörüngeye teğetin yönünü biliriz. Peki, eğriyi nasıl kurabiliriz? D ersin devam ında, k eşfedilecek en zor adım ın bu olduğunu söylüyor bize Feynm an. işin hilesi, hız diyagram ını saat yönün­ de 90° döndürm ektir; böylece diyagram ın üzerindeki yönler y ö ­ rünge diyagram ındakilerle aynı olur:



115



Şim di m erkezsel 8 açısı her iki diyagram da d a aynıdır, fakat yörünge üzerinde P ’deki hıza paralel olan “v ” ile işaretli doğru, bu kez ona diktir; çünkü tüm hız diyagram ını 90° döndürm üş­ tük. Şim di G üneş’ten yörünge üzerindeki P noktasına olan yönü hız diyagram ından biliyoruz ve gene yörüngeye bu nok­ tadaki teğetin yönünü de biliyoruz. B u yön, “v ” işaretli doğruya diktir. F ak at henüz noktanın tam nerede olduğunu bilmiyoruz. G erekli tüm özelliklere sahip olan bu eğriyi kurm anın en ko­ lay yolu, onu hız diyagram ının tam üzerine çizmektir. O zam an yörüngenin boyutu keyfi, fakat tüm yönler ve dolayısıyla y ö ­ rüngenin şekli doğru olacaktır. Y örüngeyi elde etmek için, b a ­ sitçe b aşlangıçtan p y e olan doğrunun dik açıortayını kurun:



B u açıortay, b aşlangıçtan p y e çizilen doğruya dik olduğun­ dan, biliyoruz ki yörünge üzerinde P noktasındaki VP hızına paraleldir. D ik açıortay, p yi C m erkezine birleştiren çizgiyi bir noktada keser:



116



p noktası çem ber boyunca hareket ettiğinde, pC ve dik açıor­ tayın kesişm e noktası d a kendine özgü bir eğri boyunca hareket eder:



P çem ber boyunca q y a giderken, kesişm e noktası d a P'den Q y a gider ve böylece devam ederek yörünge oluşur



D ah a önce bir keresinde tam olarak aynı kurguyu yapm ıştık. D üzlem de F' ve F denen (sırasıy la b aşlan gıca ve C y e karşı gelen ) iki noktadan başlayarak, F'den bir G 1 noktasına (yeni diyagram da p ) bir doğru çizmiştik: G'



F'



F



S o n ra G'F birleştirm esini yapm ış ve F'G'’nün dik açıortayını çizmiştik; bu, F G 'y ü P noktasında kesm işti: G'



117



D ah a sonra, G' noktası F m erkezli bir çem ber çizerken, P nok­ tasının d a bir elips çizdiğini ve her P noktasında dik açıortayın elipse teğet olduğunu kanıtlam ıştık (6 1 -6 8 say faların a bakın). Şim di de gen e say fa 6 7 ’deki aynı kurguyu y aptık -sad e ce isim ­ ler değiştirildi, işte yen i diyagram ın görünüşü:



B u rad a p, m erkezi C’de bulunan bir çem ber üzerinde bir noktadır. A yrıca b u rad a eksantrik (acayip) bir nokta vardır: hız diyagram ının başlangıcı. O na şim di O diyelim. Op doğru p ar­ çası t'de bir dik açıortaya sahiptir; bu, Cp çizgisini P ’de keser. Şim di yine kanıtlayacağız ki, p çem ber boyunca hareket eder­ ken, bu biçim de yaratılan her P noktası bir elips üzerinde bulu ­ nur ve tP doğrusu P ’de elipse teğettir. tP doğrusu yörünge üze­ rinde P noktasında gezegenin hızına paralel olduğundan, y ö ­ rüngesin de her noktada doğru yönde giden gezegen e sahip tek bir eğri kurm uş olacağız. Eğrinin elips olduğunu kanıtlam ak için, Q tP ve p tP ü çgen ­ lerinin eşleşik olduklarına dikkat edelim:



118



D o layısıyla O P = p P ’dir. V e tam diyagram da,



çem berin y arıçap ı olan (ve bu nedenle de p noktası, çem ber üzerinde n erede olursa olsun hep aynı kalan) CPp doğrusu, CP +PO ya, yan i uçları C v e O odaklarında bulunan ve elipsi çizen ipin uzunluğuna eşittir. D olayısıyla kesikli eğri (yörünge) bir elipstir. Q ED . tP ’nin P noktasındaki teğet çizgisi olduğunu kanıtlam ak için, eşleşik üçgenlere geri gidelim: bu açı eşittir bu açıya



Şim di bırakın Pp ve tP doğruları birbirlerini kesip geçsinler:



119



D olayısıyla,



B un a göre, tP çizgisi, C ’den gelen ışığı P noktasında O y a y an ­ sıtan çizgidir. B u özelliğe sahip olan tP çizgisinin teğet çizgisi olduğunu çok önce kanıtlam ıştık. Son kez Q ED . İsp at artık tam am dır. Feynm an işini henüz tam olarak bitir­ medi, fak at biz gösterm eye koyulduğum uz şeyi tam anlam ıyla başarm ış durum dayız. N ewton y asaları, G ün eş’e doğru olan R 2 davranışlı kütleçekim kuvvetiyle birlikte, gezegen ler için eliptik yörüngelere yol açarlar. K onudan ayrılm adan önce, bir kez d ah a geriye, bu cesaret isteyen işi (Newton ve Feynm an’ın y a r ­ dım ıyla) başarm am ızı sağlayan kanıtların m antığına bakalım . Newton şun a benzeyen bir şeyler söyler: G ezegenlerin eşit zam an larda eşit alan lar süpürm esi gerçeğinden, G üneş’in bir gezegen üzerine uyguladığı kütleçekim kuvvetinin doğrudan G ün eş’e yöneldiği sonucunu çıkarm ak için ben y asalarım ı kul­ landım. O ndan sonra, gezegenlerin yörünge periyotlarının G ü­ n eş’ten uzaklıklarının 3/2 nci kuvvetiyle orantılı olm ası g erçe­ ğinden, kütleçekim kuvvetinin R-2 gibi azaldığı sonucuna v ar­ mak için de gen e kendi yasalarım ı kullandım . Nihayet, benim y asalarım , kütleçekim hakkındaki bu iki gerçek ile birlikte, elip­ tik yörüngeleri verir. Newton aslın d a problem i bu şekilde düşünm em işti. Ç alışm a­ larının ilk anlatım larından (örneğin, 1684'te H alley’e yolladığı kısa bilim sel incelem e eseri) biliyoruz ki, dinam ik üzerine olan aksiyom larını, çeşitli biçim lerde deneylerle denem işti. A ncak sonradan onları üçe indirmiş ve onları “y a sa la r ” olarak anm aya başlam ıştı. Tüm dinam iği üç tem el y asay a indirgem e eylemi, 120



aşırı dereced e önemliydi; çünkü N ewton ve ardıllarının üç asır­ lık süre boyunca gösterdikleri gibi, bu y asalar sad ece g ezegen ­ lerin hareketlerini izah etmek için değil, fiziksel dü nyada nere­ deyse b aşk a her olayı anlatm ak için de kullanılabilir. Newton y asaları, bize kuvvetlerin etkisi altında m addenin nasıl d avran a­ cağını söyler. Fiziksel dünya hakkında Newton yasalarının bize söylem ediği, bilmemiz gereken sad ece iki şey vardır: M addenin do ğası nedir? M ad d e parçacıkları arasın d a etkiyen kuvvetlerin do ğası nedir? B u iki soru h âlâ fizik biliminin an a ilgi odağını oluşturm aktadır. D ünya anlayışım ıza yeniden tam ve güçlü bir çekidüzen ver­ me işi, eliptik yörüngelerin ispatıyla başlar. Bu halde, m addenin doğası hakkında çok şey bilmemize gerek yoktur, çünkü kütleçekim tüm m addeyi tam am ıyla aynı şekilde etkir. B ununla birlikte, kütleçekim kuvvetinin do ğası çok önemlidir ve Newton, sonuç­ lar çıkarm ak için bu nedenle K epler’in iki yasasın ı kullanır. Son olarak, eliptik yörüngelerin ispatını, N ewton’un yaptığı özgün şekliyle değil de, R ichard Feynm an’ın bulduğu yoldan görm üştük. Feynm an yörüngeyi eşit açılara bölüyordu. H er eşit-açı parçasında, hızdaki değişm e G üneş’e yönelm işti ve hem kuvvetin şiddeti hem de kuvvetin etkidiği zam an sü resi ile oran­ tılı idi. B u Newton'un ikinci y asasıdır. Z am an süpürülen alan ­ la, alan d a (sır f geom etriden) uzaklığın karesiyle orantılıdır; kuvvet ise uzaklığın karesiyle ters orantılıdır (bu, kütleçekim kuvvetinin d o ğası); böylece yörüngenin biçim i ne olursa olsun ve gezegen G ün eş’e ne k ad ar yakın y a d a uzak dolanırsa dolan­ sın, gezegen eşit açılard a eşit hız değişim lerine uğrar. B uradan derhal, hız diyagram ının bir düzgün çokgen olduğu (eşit açılar­ d a eşit k enarlar) ve tatlı eğimli yörüngeler için bir çem ber hali­ ne geldiği sonucu çıkar. B ununla birlikte, hız diyagram ının b a ş­ langıcı çem b erin m erk ezin d e değildir. Sonra, önceden kurnaz­ c a tasarlanm ış bir geom etrik çizim yardım ıyla gösterilm işti ki, hız diyagram ının b aşlan gıcı v e hız çem berinin m erkezi o dakla­ rı olmak üzere, yörünge bir elips biçim ine sahiptir. 121



Hız diyagram ı g ü çlü b ir geom etrik araçtır. N ew ton’un dinam ik y asaları, R“2 kuvvetiyle birlikte, daim a çem bersel bir hız diyagram ı yaratır: R'2yasasın ın verdiği hız diyagram ı



Y örüngenin biçimi, hız diyagram ının başlan gıcı olan O nok­ tasının nerede olduğuna bağlıdır. O noktası diyagram ın m er­ kezi, C, ile çakışırsa, o zam an elipsin iki odağı üstüste gelir ve gezegen, yörüngesinin tüm p arçaların d a aynı hıza sahiptir:



B u durum da, yörün ge b asitçe bir çem berdir. O noktası C ile diyagram ın çevresinin arasın d a ise, yörünge bir elipstir. O noktası C’y e ne k ad ar yakınsa, elips de çem bere o k ad ar yakın hale gelir. O noktası C’den uzaklaştıkça, elips de iyice uzunlaşır:



122



neredeyse çem ber yörünge



hız diyagram ı (90° dönm üş)



çok eksantrik yörünge



hız diyagram ı (90° dönmüş)



G üneş sistem im izde, tüm g ez eg en y ö rün geleri y ak laşık olarak daireseld ir. D ü n y a’mn y örün gesin de, odaklar a ra sı uzaklık y örün ge çapının y ü zd e biri k adardır; M ars için bu y ü zde 9 k a­ dar; M erk ü r ve Plüton için (onların y ö rün geleri en fazla ek ­ santrik tir) ise, y ü zd e 20'den birazcık d ah a fazladır. Tersine, H alley kuyrukluyıldızı, aşırı eksantrik b ir eliptik yörüngeye sahiptir. O dakları arasın d ak i uzaklık, y örün ge çapının tam y ü zde 97'sidir. O noktası çem berin d ışın d a ysa ne olur? 90° döndürm eden önceki hız diyagram ın a geri dönelim. En fazla y ak laşm a nok­ tasın d a h âlâ en büyük hıza sahibiz:



123



0



açısı büyüdükçe, hızlar, diyagram daki çem ber etrafında iler­



ler:



0'nın belirli bir değerinde O ’dan uzanan çizgi, hız çem berine teğet hale gelir:



B u çizgi, hatırlarsanız, yörüngenin anlık hızına d a paraleldir ve hız diyagram ının teğeti, yörünge diyagram ın da hız değişim ini tem sil eden Av’nin yönündedir. B aşk a bir deyişle, bu 0 açısın d a hızdaki değişm e hızın kendisiyle aynı yöndedir. Bu, hız artık 124



yön d eğiştirm iy or dem ektir. Y ol artık bir eğri değil, bir do ğ­ rudur. D olayısıyla “yörünge" bir elips değildir, çünkü onun üzerinde yol a sla bir doğru olamaz. O, odaktan çok uzaklarda bir doğru haline gelm e eğilim i taşıyan bir b aşk a konik kesiti, y ani bir hiperboldür:



“G ezegen” bu yörünge üzerinde sonsuzdan G üneş’e doğru d ü ­ şer, etrafından salınıp sonsuza geri kaçar. Yolu hiç de bir y ö ­ rünge değildir. Son suzdan b aşlad ığın d a ve sonsuza gittiğinde hızı sıfır değildir; sonsuzdaki bu hız, O ’dan hız çem berine teğet olduğu noktaya uzanan doğrunun uzunluğuyla orantılıdır. O noktası çem ber üzerin d e ise, “g ez eg en ” gene sonsuza kaçar, fakat oraya v ard ığın d a sıfır hıza sahiptir; bu yörünge bir paraboldür. Böylece, ters-k are kuvvetiyle birlikte N ewton’un dinam iği, d airesel hız diyagram ları verir. Hız diyagram ının b a ş­ langıcının nerede olduğuna b ağlı olarak, yörünge bir çem ber, bir elips, bir parabol y a d a bir hiperbol olabilir -b u eğriler top­ lu ca konik kesitleri olarak bilinir. Feynm an, dersinin en son kısm ında (kendisinin dediğine b a ­ kılırsa, sırf zam an kaldığı için), geliştirdiği yöntem i çok farklı türden bir problem e yöneltir -ve gene, geniş tarihsel önemi olan bir problem. 1910’d a liderleri E rn est R utherford’un önerisine uyan E rnest M arsd en ve H ans G eiger adlı iki araştırm acı, bir OC (alfa) p ar­ çacıkları (helyum atom larının çekirdekleri) dem etini ince bir al­ 125



tın levhaya yöneltm işler ve bu parçacık lardan birkaç tanesinin levhadan geçm eyip geri saçıldıklarını bulm uşlardı. B u deney, güneş sistem inin kütlesi düzgün şekilde mi dağılm ıştır y ok sa d ah a çok m erkezde yoğun bir cisim de (G ün eşte) mi toplanm ış­ tır sorusu na y an ıt bulm ak için, bir uzaylı yaratığın bir kuyruk­ luyıldızı gün eş sistem ine fırlatm ası ile k ab a bir benzerlik taşır diye düşünülebilir. A ncak aşırı yoğun bir cism in kuyrukluyıldı­ zı yakınından döndürüp geri fırlatm ası üm idine sahip olunabi­ lir. R utherford’un grubu, bir kuyrukluyıldız yerine,



OC



p arçacı­



ğına ve gün eş sistem i yerine de altın atom larına sahipti. Soru şudur: Atomun içindeki m adde a şağ ı yukarı düzgün olarak mı dağılm ıştır, y o k sa m erkezde mi toplanm ıştır? B azı



OC



p arçacık ­



larının geri saçılm ası gerçeği, kütlenin m erkezde toplanm ış ol­ duğunu gösterm iştir ve bu deney atom çekirdeğinin keşfini sa ğ ­ lamıştır. B urada, mermi ve sistem in y ap ıtaşları arasın d a işleyen kuv­ vet, kütleçekim değil, elektriktir. Elektrik, artı ve eksi elektrik yükleri arasın d a etkiyen bir kuvvettir (B u terimler, onsekizinci yüzyılın kendi kendini yetiştirm iş N ewtoncu bilim adam ı B en jam in Franklin tarafından uydurulm uştu). Kütleçekim gibi, elektrik kuvveti de, yükleri birleştiren çizgi boyunca etkiyen bir R"2 kuvvetidir; kütleçekim in tersine, y a yükleri birbirlerine doğ­ ru çeker (zıt yük ler), y a d a yüklerin birbirlerini itmelerine ne­ den olur (benzer y ü k ler). Kütleçekim kuvveti hep çeker, a sla it­ mez. Elektrik kuvveti, kütleçekim kuvvetinden m uazzam d ere­ cede d ah a şiddetlidir. A slında öyle şiddetlidir ki, kendi kendini nötralize edicidir. Altın levhanın içerisindeki her atom tam a­ mıyla aynı m iktarda artı ve eksi yüke sahiptir; dolayısıyla d ışar­ dan atom nötral görünür; rahatsız edilm edikçe, elektrik kuvve­ ti uygulam az. Şim di soru şudur: Elektrikçe yüklü bir mermi



-O C



parçacığı, ki elektrikçe artıdır -bir atom un içine doğru fırlatıldı­ ğın d a ne olur? Bunun yanıtı, tüm artı yükleri v e tüm kütleyi içe­ ren çekirdek tarafından itilir olacaktır. A ra sıra, tam am en şan s eseri olarak, bir



OC



p arçacığı çekirdeğe y eterince y ak laşacak ve 126



neredeyse doğrudan geri tepecektir. İşte M arsd en ve G eiger'in gözledikleri buydu. Elektrik kuvveti yük ler arasın dak i çizgi boyunca etkiyen bir R-2 kuvveti olduğundan, p arçacık lar N ewton dinam iğine uyu­ y orlarsa, F eynm an’ın d ah a önce kullandığı tüm geom etrik k a­ nıtlar bu problem e de uygulanabilir. Problem, bir m erminin g e ­ ri saçılm a olasılığını bulm aktır; böylece deney, nicel bir kuram ­ la karşılaştırılabilir. H areket noktamız, b aşlan gıcı d ışard a olan hız-diyagram ı çem beridir (p arçacık lar-arası çizgi boyunca yö­ nelm iş her R 2 kuvveti için g eç erli). Ot parçacıklarının “y örün ge­ leri” son suza dek çekirdeğin yakınına hapsolacakları elipsler ol­ m ayacak; tersine yörüngelerini büyük y a d a küçük açılarla büktükten son ra OCp arçacıklarını sonsuza y ollayacak hiperbol­ ler olacaktır. B u kez tüm b asam ak ları izlem eyi denem eyeceğiz, çünkü Feynm an artık kendini geom etrik kanıtlara saplanıp kal­ m aya zorlanm ış hissetm ez. B unun yerine, onun dediği gibi, çok m eşhur bir form üle ulaşm ak için tüm analitik noktaları çekip çıkarır. B u formül ününü hak etm ektedir, çünkü doğrudan kuantum m ekaniğinin keşfine ve dolayısıyla d a formüle ulaşm ak için kul­ lanılan Newton dinam iğinin devrilm esine yol açm ıştı. F ak at bu b aşk a bir kitabın öyküsüdür. Artık kendimizi doğrudan üstadın ellerine teslim etme zam anı gelm iştir. B uyurun B ay Feynman.



127



IV. Bölüm



G ezegenlerin Güneş Ç evresindeki H areketi* (1 3 M a rt 1964)



B



u dersin başlığı, “G ezegenlerin G üneş Ç evresindeki H areketi"dir. ........ Ş u an d a bu duyuruyla işittiğiniz kötü haberin a r­



dından, aynı nedenle benim de size bir iyi haberim var: Sah günü sınavlar b aşlay acağın a göre, hiç kim se size çalışm anız g e ­ reken bir d ers verm ek istem ez; dolayısıyla size sırf zevk için, e ğ ­ lence kabilinden bir d ers vereceğim [alkışlar]. Tamam, tamam, böyle y ap arsan ız dersi anlatam ayacağım . Tüm bunları sona saklayın ve o zam an kararınızı verin. B u fizik konusunun tarihi, N ewton’un çok azdan birdenbire çok fazla şey anladığı en dram atik anlardan birinde şekillendi. * Feynm an’ın bu dersini onun kendi sesinden www.tubitak.gov.tr'den dinleye­ bilirsiniz. 129



Ve bu keşfin tarihi, kuşkusuz gezegenlerin konum larının öl­ çüm lerini gerçekleştiren Copernicus ile Tycho (B rah e) ve bu gezegenlerin hareketlerini am pirik olarak betim leyen y asaları bulan K epler hakkında uzun b ir öyküdür. B undan sonradır ki, Newton bir b aşk a y a s a önererek gezegenlerin hareketini an la­ y abileceğin i keşfetm iştir. Tüm bunları, kütleçekim dersinden biliyorsunuz, dolayısıyla bu malzemenin hızlı bir özetini verip doğrudan doğruya oradan devam edeceğim . İlk aşam ada, K epler gezegenlerin G üneş çevresinde, odağın­ d a G üneş bulunan elipsler üzerinde hareket ettiklerini gözlem ­ lemişti. Ayrıca, G ün eş’ten gezegen e çizilen düz çizginin süp ür­ düğü alanın, işte bu alanın, zam an ile orantılı olduğunu gözle­ mişti -yörün geleri betimlem ek için üç gözlem e sahipti. Nihayet, gezegenleri farklı yörüngelerle ilişkilendirm ek için, Kepler, farklı yörüngeli gezegenlerin elipsin an a ekseninin 3/2’nci kuv­ vetiyle orantılı periyotlara, y a d a tam yörüngeyi dönme zam an­ larına sahip olduklarını keşfetm işti. E ğer yörüngeler çem ber ol­ saydı (işi kolaylaştırm ak için), bu, 'çemberi kat etmek için g e ­ rekli zam anın karesi, çem berin yarıçapının küpüyle orantılıdır’ anlam ına gelirdi. Newton, şim di bundan iki şey keşfedebilm e durum undaydı. Önce şu n lara dikkat etmişti: Eylem sizlikle ilişkili kendi görüş açısın a göre, eşit alan lar ve eşit zam anlar, eğer cisim rahatsız edilm em işse, bir düz çizgide düzgün bir hızla hareketini sü rdü ­ rür anlam ına gelirdi; düzgün hızdan sapm alar, daim a G üneş’e yönelm iştir demekti, y ani eşit alan lar ve eşit zam anlar, ‘kuvvet­ ler G ün eş’e d o ğrudu r’ ifadesine eşdeğerdir. Böylece, Newton kuvvetlerin G üneş’e doğru olduğunu çıkarm ak için, K ep ler’in y asaların d an birini kullanm ıştı. Ve bundan sonra -özellikle üçüncü y asad an , çem berler özel halinde -G ü n eş’e doğru yönel­ miş kuvvetin böyle çem berler için, uzaklığın karesinin tersi gibi davran acağın ı çıkarm ak kolaydır. Bunun nedeni şunun gibi bir şeydir. Y örüngenin belirli açılı, küçük açılı, belirli bir kesirsel p arçasın ı ele aldığım ızı ve bir p ar­ 130



çacığın yörüngenin bu kısm ında belli bir hıza ve d ah a sonra b aşk a bir hıza sahip olduğunu varsayalım . Bu durum da, belli bir açı için hızdaki değişm eler açık ça hızla orantılı olacaktır. Ve belirli bir zam an aralığı esn asın d a -saptan m ış b ir zam an sü re­ sinde -hızdaki değişm e (ki bu kuvvettir), açık ça yörüngedeki hız kere yörüngenin bu kesrini giderken geçen zam an ile oran­ tılıdır. Z am an a bölmeyi kastediyorum . B öylece hız değişm eleri hız ile orantılıdır. V e bu değişim in m eydana geldiği zam an, tüm yörüngeyi gitm ek için geçen zam anla orantılıdır -çünkü o sabit bir açıdır; sözgelim i yörüngenin yüzde biri gibi... dolayısıyla m erkezcil ivme, y a d a hızın m erkez yönünde saniyedeki d eğişi­ mi, yörünge üzerindeki hız bölü tüm yörüngeyi kat etmek için g eçecek zam an ile orantılıdır.” Bunu birçok farklı biçim e sokabilirsiniz; çünkü kuşkusuz y ö ­ rüngeyi tam dolanm ak için geçecek zaman, bu bağıntı uyarınca hız ile ilişkilidir. Hız kere zam an çevre uzaklığıdır -y a da, dah a doğrusu, hız kere zam an y arıçap la orantılıdır. V e böylece y a z a­ manı yerine koyarsınız, sizin şu m eşhur V2 / R y i elde edersiniz. Y a d a d ah a iyisi, hız yerine R / T koyarız. Hız, açık ça yarıçap bölü çevreyi dolanm ak için geçecek zam an ile orantılıdır; böyle­ ce m erkezkaç ivme, y arıçap la doğru ve çevreyi dolanm ak için gereken zam anın karesiyle ters orantılı davranır. F akat K epler bize, çevreyi dolanm a zam anının karesinin, yarıçapın küpüyle orantılı olduğunu söyler. Yani, payda, y arıçapın küpüyle oran­ tılıdır; dolayısıyla m erkeze doğru olan ivme, uzaklığın karesiyle ters orantılıdır. Böylece Newton bu kuvvetin uzaklığın karesiy­ le ters orantılı olduğunu çıkarabilm işti -aslın d a bu sonucu [R obert] Hooke aynı yolla N ewton’dan d ah a önce çıkarmıştı. B öy­ lece iki K epler y asasın d an sad ece iki sonuçla çıkıp geldik. B u şe ­ kilde hiç kim se hiçbir şey doğrulayam az. Bunun özel bir y ararı olmayabilir, çünkü işe karışan hipotezlerin sayısı, kullanılan ön­ görülerin sayısı olarak kontrol edilen gerçeklerin sayısına eşittir. 9 Feynman Av/At, V/T ile orantılıdır diyor. III. Bölüm sayfa 94'e bakın. Y ukarıda Av/At'yi “merkezcil ivm e’’ olarak sunuyor ve aşa ğ ıd a onu “merkezkaç ivm e” diye ad lan ­ dırıyor. 131



D iğer taraftan, Newton’un keşfettiği -ve keşiflerinin en dram a­ tik olam -şuydu: K epler’in üçüncü y asası [Feynm an birinci y a sa ­ yı kastediyor] diğer ikisinin bir sonucuydu. Kuvvetin G üneş’e doğru olduğunun ve uzaklığın karesiyle ters orantılı olarak değiş­ tiğinin bilinmesi halinde, yörüngenin biçimini saptam ak için d e­ ğişimlerin ve hızın şu ince karışımını hesaplam ak ve yörüngenin bir elips olduğunu keşfetm ek N ewton’un katkısıdır; ve o bilimin ilerlediğini hissetmiştir, çünkü ikisi cinsinden üç şey anlamıştır. Çok iyi bildiğiniz gibi, Newton sonuçta üç şeyden d ah a d a çok şeyler anlam ıştı -yörüngelerin aslında elipsler olmadığını, onların birbirlerini pertürbe ettiklerini, Jü p ite r uydularının ha­ reketinin de anlaşıldığını, Ay’ın D ünya çevresindeki hareketini ve b aşk a şeyleri; fakat sadece şu bir m addeye odaklanalım ve orada bir gezegenin diğeriyle etkileşm esini de kulak ardı edelim. Newton’un dediklerini özetleyebilirim ve bu şekilde bir geze­ gen hakkında şunlan söylerim: E şit zam anlarda hızdaki değişim ­ ler G üneş’e doğru yönelm iştir ve büyüklükçe uzaklığın karesiyle ters orantılıdırlar. Şim di bizim problemimiz -ve bu dersin başlıca am acı d a- buna göre yörüngenin bir elips olduğunu göstermektir. B ir kim se genel m atem atik biliyorsa ve diferansiyel denklem ­ leri yazıp onları çözebiliyorsa, yörüngenin bir elips olduğunu gösterm esi zor değildir. İnanıyorum ki buradaki d erslerde- en azından kitapta- yörüngeyi sayısal yöntem lerle hesaplam ış ve onun bir elipse benzediğini görm üşsünüzdür. Bu, yörüngenin tam olarak bir elips olduğunu ispatlam ak ile tam d a aynı şey d e ­ ğildir. M atem atik Bölüm ündekiler norm alde bunun bir elips ol­ duğunu ispatlam a işini bir y an a bırakırlar, öyle ki onlar oralar­ d a kendi diferansiyel denklem leriyle ilgilenirler. [G ülüşm eler] Size yörüngenin bir elips olduğu ispatını, alışkın olduğunuz­ dan tam am ıyla farklı, biricik ve acayip bir yoldan verm eyi y e ğ ­ leyeceğim . E lem anter isp at diyeceğim bir ispatı vereceğim . [F a ­ kat] “elem anter” dem ek kolay anlaşılır dem ek değildir. "E le­ m anter” demek, onu anlam ak için evvelden çok az şey bilmeye, am a sonsuz m iktarda zekâya, gereksinim im iz v ar demektir. 132



E lem anter bir ispatı anlam ak için, bilgiye değil de, ak la ihtiyaç vardır, izlem enin çok zor olacağı çok fazla say ıd a b asam ak v ar olabilir, fak at her adım evvelce bilinen genel m atematik, evvel­ ce bilinen Fourier dönüşüm leri ve saire gerektirm ez. D olayısıy­ la, bir elem anter isp at ile öyle bir isp at kastediyorum ki, ne k a­ d ar öğrenm ek gerekirse o k ad ar geriye gidilebilsin. K uşkusuz, bu an lam da bir elem anter ispat, önce [size] genel m atem atik anlatm ak ve sonra ispatı sunm ak biçim inde y ap ılab i­ lir. A m a bu, sunm ayı arzuladığım bir ispattan d ah a uzun olur. Ayrıca, bu isp at bir b aşk a nedenden ötürü ilginçtir -b u rad a ta ­ m am ıyla geom etrik yöntem ler kullanılır. Belki bazılarınız okul­ da, doğru kurgu çizgileri keşfetm ek için hünere sahip olma y a d a yaratıcılık gösterm e zevkiyle geom etriden haz duym uşsu­ nuzdur. B ir çok insan geom etrik ispatların zerafetini ve güzelli­ ğini takdir eder. D iğer taraftan, D escartes'tan sonra, tüm g e ­ ometri cebire indirgenebilir ve bugün tüm m ekanik ve tüm bu gibi şeyler, geom etrik yöntem lerle değil de, kâğıt parçaları üze­ rinde sem bollerle analize indirgenebilir. D iğer taraftan, bilim e b aşlam a işinde -yani, Newton'un za­ m anında- E u k leid es’in tarihsel gelen eği çerçevesi içinde g e ­ ometrik analiz yöntem leri çok revaçtaydı. V e gerçekten de, N ewton’un Principia sı pratik olarak tam am ıyla geom etrik bir biçim de yazılm ıştı -tüm genel m atem atik işleri geom etrik diyag­ ram lar çizilerek yapılm ıştı. Şim di bunu karatah tay a analitik sem boller y azarak yapıyoruz; fakat sizi eğlendirm ek ve ilginizi çekm ek için, lüks bir otomobil yerine, zarif bir tek atlı arabayla sizi gezdirm ek istiyorum. B öylece bu olguyu s a f geom etrik k a­ nıtlarla yürüteceğim -şey, esas olarak geom etrik kanıtlarla, çün­ kü bunun ne anlam a geldiğini bilmiyorum, anlam ı hakkında ke­ sin bir şeyler bilmiyorum, s a f geom etrik kanıtlar gibi bir şeyleresas geom etrik kanıtlar, ve bakalım nasıl ilerleyecek. B öylece problemimiz, eğer hız değişim lerinin G üneş’e doğru yönelm iş olm aları ve eşit zam anlarda uzaklığın karesiyle ters orantılı davranm aları doğruysa, işte bu durum da yörüngenin 133



bir elips olduğunu gösterm ektir. Am a önce şunu anlam alıyız bir şeylerle başlam alıyız -evet önce bir elipsin ne olduğunu bil­ meliyiz. Elim izde elipsin tanımı yoksa, kuram ı kanıtlam ak im­ kânsız olacaktır. V e üstelik, bu önermenin anlam ını anlayam az­ sanız, teorem i de ispatlayam azsınız kuşkusuz. Böylece pek çok kişi “A aa evet” der “elips hakkında bir şeyler bilmek zorundası­ nız”. Biliyorum, y o k sa söylemi ifade edem ezsiniz. Ve ayrıca bu fikrin az d a olsa anlam ına sahip olmalısınız. B u d a doğru. F akat bunun ötesinde, d ah a fazla bilgiye gerek duyacağınızı sanm ıyo­ rum; am a çok fazla dikkate ve özenle düşünm eye ihtiyaç var, lütfen. Bu kolay değil ve büyük bir iş ve zahm etine değer mi bil­ mem. Bunu genel m atem atikle yapm ak çok d ah a kolaydır, fakat onu nasıl olsa o şekilde okuyacaksınız. Şu n u unutm ayın ki, böylesi sad ece onun nasıl göründüğünü anlam anız içindir. Bir elipsi tanım lam anın bir sürü yolu vardır; ben bunlardan herkesin bildiğini sandığım birini seçeceğim ve diyeceğim ki, elips bir ip ve iki raptiye alarak şuray a bir kurşun kalem takıp etrafından gidilerek çizilebilir, y a d a çizilen eğridir. Y a d a m a­ tem atiksel olarak, elips, [F ve F ’] iki sabit nokta olmak üzere, F P uzunluğu ile F P uzunluğunun toplamının sabit kaldığı P noktalarının geom etrik y eri (bugünlerde söylendiği gibi, tüm noktalar cüm lesi) -peki, tüm noktalar cüm lesidir. Sanırım , elips tanımının bu olduğunu biliyorsunuz. Elipsin bir b aşk a tanımını d a duym uş olabilirsiniz: İsterseniz bu [sabit] iki noktaya odak­ lar diyelim; bir odak şu anlam a gelir: F ’den salm an ışık elipsin üzerindeki her noktadan F 'y e yansıyacaktır. Hemen bu iki önermenin eşd eğer olduklarım göstereyim hiç olmazsa. Böylece gelecek adım, ışığın F ’den F 'y e yansıyacağını kanıtlam aktır. Işık sanki b urada yüzey gerçek eğrinin teğet düz­ lemiymiş gibi yansır. Dolayısıyla gösterm em gereken şudur: K uşkusuz bilirsiniz ki ışığın bir düzlem den yansım a yasası, gel­ me ve yan sım a açılarının aynı olmasıdır. B un a göre, buradaki işi­ miz F P ve F'P doğrularıyla eşit açılar y ap acak biçim de bir doğ­ ru çizersem, bu doğrunun elipse teğet olduğunu kanıtlam aktır. 134



İspat: A nlatılan biçim de çizilen doğru işte budur. Bu doğru üzerinde F'’nün görüntü noktasını işaretleyin. Bu, F '’den çıkı­ lan dikm eyi d iğer tarafta aynı m iktarda uzatıp F''nün görüntü­ sü olan G 'y ü elde edin dem ektir. Şim di P noktasını G 'y e b ir­ leştirin. E şit açılar nedeniyle, dikkat ederseniz b u radak i şu açı dikey açıdır. H aa, bu açı şu açıya eşittir, çünkü bu iki dik ü ç ­ gen tam olarak aynıdır. B u bir [ayn a] görüntüsüdür, öyleyse bu kenar şu k en arla aynıdır ve bu iki açı eşittir; bu bir düz çiz­ gidir. Öyle ki b u rad a PG' tam olarak PF' p arçasın a eşittir ve bu a ra d a FG' bir düz çizgidir, öyle ki bu iki uzaklığın toplamı olan FP + F'P, aslın d a F P + PG '’dür, çünkü F'P = G 'P’dir. Şim di m esele şudur: T eğet üzerinde herhangi bir b aşk a nokta -diyelim ki O - alsanız ve Q ’y a olan bu iki uzaklığı toplasanız, F'Q uzaklığının G'O ile aynı olduğunu kolayca görürsünüz. Öyle ki F'’den O y a ve oradan d a F y e olan iki uzaklığın topla­ mı, F ’den O y a ve O ’dan G 'y e olan uzaklıkla aynıdır. B ir b a ş ­ k a deyişle, iki odaktan çizgi üzerindeki her noktaya olan u zak ­ lıkların toplam ı, F ’den G 'y e o noktadan geçerek gidilen m esa­ feye eşittir. D üz çizgi boyunca gidilen m esafeden açık ça dah a uzun, açık ça daim a d ah a uzundur. B aşk a türlü söylersek, bir Q noktasına olan bu iki uzaklığın toplamı, elips için olandan d a ­ h a uzundur -evet, P noktası dışındaki her Q noktası iç in ... D e­ mek ki, bu çizgi üzerindeki her nokta için, bu iki noktaya olan uzaklıkların toplamı, elips üzerindeki bir nokta için olandan d ah a uzundur. Şim di söyleyeceklerim in apaçık olduğunu v arsayacağım ve belki siz kendinizi tatmin etmek için b ir isp at icat edebilirsiniz 135



-elips, iki noktaya [olan uzaklıkların] toplam ının bir sab it oldu­ ğu eğridir; elipsin dışındaki noktalar, bu iki noktaya [olan uzak­ lıkların] d ah a büyük olduğu bir toplam a sahiptir; elipsin içinde­ ki noktalar için ise, bu iki noktaya d ah a küçük olan bir uzaklık­ lar toplam ı sözkonusudur. M adem ki çizgi üzerindeki bu nok­ talar elips üzerindeki bir noktadan d ah a büyük bir toplam a sa ­ hiptir, öyleyse tek P noktası hariç bu çizginin tümü elipsin dı­ şın da y er alır; dolayısıyla bu çizgi teğet olmalıdır; elipsi iki nok­ tad a kesm ez, y a d a a sla içine girm ez. Tamam, dem ek ki o çizgi teğettir ve biliriz ki y an sım a y a sa sı doğrudur. E lips hakkında betim leyeceğim bir b aşk a özellik d ah a var; nedeni size tam am ıyla anlaşılm az gelecek, fakat d ah a sonra bu isp atta gerek duyacağım bir şey bu. Şunu söyleyebilirim ki, N ew ton’un yöntem leri geom etrik ol­ m akla birlikte, o, konik kesitleri bilgilerinin h erkesçe çok iyi bi­ lindiği bir zam anda bunları yazıyordu ve dolayısıyla konik k e­ sitlerinin b an a tüm den anlaşılm az gelen özelliklerini sürekli ola­ 136



rak kullanıyordu; kuşkusuz ben ilerlerken kendi özelliklerimi kanıtlam alıyım. B ununla birlikte, sizin için gene aynı diyagram ı ele alm ak isterim; şu ray a çizmiştim, onu gene çiziyorum. İşte buray a tam aynısı çizildi: F' ve F işte, şu teğet çizgisi, F 'n ün gö ­ rüntü noktası G' de işte burada. G ene de sizin için, P noktası elips üzerinde gezerken, G ’ görüntü noktasına ne olduğunu h a­ y al etmek istiyorum. Ö nceden gösterildiği gibi, PG '’nün F'P ile aynı olduğu açıktır; öyle ki F P + F'P bir sabittir ve bu, F P + PG '’nün bir sab it olduğu anlam ına gelir. B aşk a bir deyişle, FG' bir sabittir. K ısacası, G' görüntü noktası, F noktası etrafında sa ­ bit yarıçap lı bir çem ber çizer. Peki. Aynı zam anda, F'’den G 'ye bir doğru çizeyim; teğetim in b una dik olduğunu hem en anlarım. Bu, d ah a önce olan söylemle tüm den aynıdır. Şim di size elipsin bir özelliğini hatırlatm ak için söylediklerimi özetlem ek isterim: B ir G ’ noktası bir çem ber üzerinde hareket ederken, bu G' nok­ tasın a bir eksantrik noktadan -ki bu, G' y e m erkez-dışı bir nok­ tadır- çizilen bir doğru, daim a elipsin teğetine dik olacaktır. Y a d a tersinden söylersek: teğet bir eksantrik noktadan çizilen doğruya daim a diktir. Tamam, hepsi bu, [v e] b una tekrar geri döneceğiz, hatırlayacağız ve tekrar gözden geçireceğiz, hiç m e­ rak etmeyin. B u sad ece gerçeklerden b aşlayarak bir elipsin b a ­ zı özelliklerinin bir özetidir. İşte elips budur.



137



,\jswAC o diyelim - ve 4> 0’dan dah a büyük sap m alar elde etm ekten emin olmak istiyorsunuz. B u sad ece o (j) y e ait olan b ’den d ah a yakın bir alanın içini vur­ manız gerektiği anlam ına gelir, b ’den d ah a y akın her çarpışm a, < j)0’dan d ah a büyük bir sap m a doğuracaktır; b u rad a b, bu denk­ lem aracılığıyla (|)o’a uygun olan b 0’dır. D ah a uzaktan gelirseniz, dah a az kuvvete ve d ah a az sap m aya uğrarsınız. B öylece (|)’den (sıfırı bırakıyorum ) d ah a büyük olacak sap m alar için nişan al­ manız gereken ve tesir kesiti denen alan 7tb2 dir; b u rad a b eşit (z / V J ) tan 2(|)/2 dir. B aşk a bir söylemle, (Kz2/Vm4) tan 4(j)/2’dir. Ve işte bu R utherford’un saçılm a y asasıdır. B u bize, belli bir d e ­ ğerden d ah a büyük bir sap m a elde etmek için nişanlam am ız g e ­ reken alanın -n işan alacağım ız etkin alanın- olasılığını verir. Bu z, Z e2/m y e eşittir; bu bir dördüncü kuvvet form ülüdür ve çok ünlüdür. O denli ünlüdür ki, her zam an olduğu gibi, ilk türetildiğinde bu biçim de yazılm am ıştı ve bu nedenle ben, sırf ünlü olduğu için, onu belli bir biçim içinde y azacağım -şey, onu belli bir bi­ çim içinde yazm ayı size bırakacağım . S ır f yanıtı y azacağım , ve bakalım onu gösterebilecek m isiniz? Belli bir açıdan dah a b ü ­ yük b ir sap m a için tesir kesitini istem ek yerine, b urası ve şurası arasın dak i açıları içeren d()) bölgesindeki sap m alara karşı gelen tesir kesiti parçasın ı (yani dcr’y ı) isteyebilirsiniz. S a d ec e bu n es­ nenin diferansiyelini alm alısınız; bulacağınız sonuç ünlü R ut154



herford formülüdür: 4 Z V kere 2 k sin(|) d(j) bölü 4m 2V 004 kere (|)/2’nin sinüsünün dördüncü kuvveti. Bunu yazm am ın tek nede­ ni çok ünlü bir formül olarak fizikte sık sık karşınıza çıkacak olm asıdır. 2 k sin()) d(|) kom binasyonu aslın da d(j) bölgesinde sa ­ hip olduğunuz katı açıdır. D em ek ki tesir kesiti, bir katı açı bi­ riminde, (j)/2 ’nin sinüsünün dördüncü kuvvetiyle ters orantılı olarak davranır. Ve a parçacıklarının atom lardan saçılm asını doğrulam ak için keşfedilm iş olan bu y asa, atom ların ortada bir sert m erkeze .... bir çek irdeğe sahip olduklarını gösterm işti. Ç e­ kirdek işte bu formül sayesinde keşfedilm işti. Çok teşekkür ederim .



155



Sonsöz



R



ichard Feynm an elipsler y asasıy la ilgili kendi p arlak is­ patını bizlere anım sattı, fakat bunu düşünen ilk kişi o değildi. Aynı ispat, yani hız diyagram ını tam anlam ıyla



lehe çevirm e şeklindeki can alıcı anlayış, Ja m e s Clerk M axw ell



tarafından yazılan ve ilk kez 1877’de basılan M a tt e r an d M.oti~ on (M ad d e ve H areket) adlı küçük bir kitapta görülür. Max~ w ell bu isp at yöntemini, tüm fizikçilerin tanıdığı bir isme, Sir W illiam Hamilton’a mal eder. (Hamiltoniyen, kuantum m eka­ niğinin can alıcı bir ö ğesidir). G örünüşe bakılırsa, hız diyagra­ mını ilk kullanan H amilton’du; ona, bir cismin hareketini ince­ lem ek için H odograf demişti. Feynm an, kendi dersinde, daire­ sel hız diyagram ı fikrinin kredisini cöm ertçe esrarengiz biri­ ne,“B ay F ano’y a verir. U. Fano ve L. Fano tarafından yazılm ış 157



B a sic P h y sic s o f A tom s an d M o le c u le s (1959) (Tem el Atom ve M olekül Fiziği) adlı bir kitaba gönderm e y ap ar; Feynm an’ın kendi dersinin sonunda sunduğu Rutherford saçılm asını türet­ mek için bu kitapta dairesel bir hız diyagram ı kullanılır. Fano ve Fano Hamilton ve onun H odografı hakkında bir şey bilseler­ di, öyle dem ezlerdi. Hamilton, Newton m ekaniğini d ah a fazla bilgi içeren ve d a ­ h a şık form ülasyonlara arıtm a işini üstlenm iş yüzyıllık bir gele­ neğin parçasıydı. Prin cipia nın basım ından sonra iki yüzyıldan d ah a uzun bir süre, N ewton’un evreni en üst düzeyde saltan a­ tını sürdürdü. T aa yirm inci yüzyılın başlarında, fizikte, nere­ deyse birincisi k ad ar geniş ölçekli ikinci bir bilim sel devrim ol­ du. Devrim tam am landığında, Nevvton yasalarının artık fiziksel gerçekliğin en derin doğasını açıkladığı düşünülm ez olmuştu. ikinci devrim , henüz bugün bile tam anlam ıyla uyuşturulamamış olan iki ayrı cephede m eydana geldi. Biri görelilik ku ra­ m ına yol açtı. D iğeri ise kuantum m ekaniğini doğurdu. Görelilik kuram ının tohumları, G alile’nin “bütün cisim ler kütleye bakılm aksızın aynı hızla d ü şerler” keşfine k adar gerile­ re çekilebilir. N ew ton’un yorum u şöyleydi: B ir cismin kütlesi fizikte iki ayrı rol oynar; bir rol, cism in hareketindeki değişm e­ lere direnç gösterm ektir ve diğeri cism e kütleçekim kuvveti uy­ gulam aktır. Böylece, bir cismin kütlesi büyüdükçe, onun üzeri­ ne uygulanan kütleçekim kuvveti de şiddetlenir; fakat ayrıca harekete geçirilm esi de zorlaşır. D ah a ağır cisim ler -örneğin, Y er’e d ü şerk en - üzerlerinde d ah a büyük kuvvetler hissederler, fakat ivm elenm eye d ah a şiddetle direnirler. D ah a h afif cisim ler d ah a küçük kuvvetlere sahiptir, fakat d ah a kolay ivm elenirler. N et etki öyledir ki, tüm cisim ler tam anlam ıyla aynı oranda dü­ şerler. B u özel uyuşm a, Newton m ekaniğinin engin b aşarısı için ödenecek fiyatın bir kısmı olarak kolayca benim senm ek­ teydi. B ununla birlikte, ondokuzuncu yüzyılın sonlarında, Nevvton y asaların ın bir b aşk a kısmı, J a m e s Clerk M ax w ell’in ta kendi­ 158



sinin keşiflerinin bir sonucu olarak sorgulanm a durum una g el­ mişti. Işığın an ın da yayıl m ayıp, belirli bir hızla seyahat ettiği uzun zam andan beri bilinm ekteydi. B u hız çok büyüktür -k a b a ­ c a saniyede 186.000 mil (y a da, 300.000 kilom etre)- fakat son­ suz değildir. M ax w ell’in dönem inde (o 1831’den E instein’ın do­ ğum yılı olan 1879’a k ad ar y aşad ı ve Feynm an gibi m ide k an se­ rinden öldü), elektriksel kuvvet elektrik yükleri arasın d a etki­ yen bir kuvvetken, p u su la iğnelerini yönlendiren m anyetizm a kuvvetinin bundan tam am en ayrı bir olay olm adığı bilinm ek­ teydi. Onun yerine, m anyetizm a elektrik akım ları arasın d a var olan bir kuvvettir ve elektrik akım ları d a sade biçimiyle h are­ ketli elektrik yükleridir. M axw ell, durgun yükler arasındak i elektriksel kuvvetin şiddetini, y av aş hareket eden yükler arasın ­ daki manyetik kuvvetin şiddetiyle karşılaştırarak, bu oranın tam d a ışığın hızıyla çak ışan bir hızın karesine eşit olduğunu keşfetm işti! M axw ell bunun sad ece bir rastlantı olm adığını bi­ liyordu; derhal deneyle doğruladığı z arif bir m atem atiksel kav­ ram geliştirdi: Tüm uzay elektrik ve m anyetik kuvvet alanlarıy­ la kaplıdır ve bu alan lar çalkantılı hale geldiklerinde, bu çalk an ­ tı ışık hızıyla ilerler; aslın d a bu çalkantı ışıktır. Bu keşfin N ewton yasalarının temelini yıktığı hem en açık h a­ le gelm edi, fakat bir süre sonra Albert Einstein tarafından k eş­ fin tam d a bunu yaptığının ayırdına varıldı. E sk i Aristoteles dünyasında, bir cismin doğal durum u hareketsizlik idi. N ew ton’un dünyasında, m utlak hareketsizlik durum u diye bir şey yoktur. B ir cisim, bir düz çizgi boyunca sabit bir h ızda hareket­ te olmayı yeğler. E ğer bir cisim hareketsiz gibi görünüyorsa, sa ­ dece gözlem ci onunla birlikte hareket ettiği için bu böyledir. N ewton’un birinci y asası, yani eylem sizlik y asası, hareketsizlik durum u gibi bir şey v ar olm adığından bir anlam ifade eder. H a­ reketsizlik durum u olm ayan bir evrende -o rad a bir hareket d u ­ rumu, bir diğeri k adar iyidir- olası en basit varsayım şudur: B ir cisim hangi hareket durum una sahipse, onu koruyacaktır; ey­ lem sizlik yasasının söylediği kesin olarak işte budur. B ununla 159



birlikte, m utlak hareketsizlik yoksa, m utlak hız d a olmamalıdır. H erhangi bir nesnenin görünür hızı, gözlem cinin onunla birlik­ te hareket edip etm ediğine b ağlı olmalıdır. İşte çatırtının koptu­ ğu y er burasıdır: H er nesnenin hızı gözlem cinin hızına bağlı ol­ mak zorunda bulunduğuna göre, fizik y asaları içlerinde asla b e­ lirli bir hızı barm dırm am alıdır. F ak at J a m e s Clerk M axw ell ışı­ ğın belirli bir hıza -m ıknatıslar arasın d a ve elektrik yükleri a ra ­ sın d a v ar olan tem el kuvvetler içinde y er alabilecek bir hıza- sa ­ hip olduğunu gösterm işti! B u aykırılığı halletm ek için Albert Einstein tüm den yeni bir evren yarattı. B u evrenin temel aksiyom ları -ki her şey bunlar­ dan çıkarılır- şunlardır: Işığın, gözlem ci hızına bağlı olmayan, bir tek m utlak hızı vard ır ve tüm cisim ler, kütleleri ne olursa ol­ sun, aynı oranda düşerler; çünkü kütleçekim in bir cism i a şa ğ ı­ y a doğru çekm esi, cisim dışın da her şeyin y uk arıya doğru ivm elenm esinden ayırdedilem ez. Işık hızının tüm gözlem ciler için aynı olm asını garantilem ek için, zam an ve uzunluğun bağım sız, Newtoncu anlam larını yitirm eleri ve birlikte uzay-zam an içine karışm aları gerekir. Tüm cisim leri aynı oranda dü şer hale getir­ mek için ise, gerçek kütleçekim kuvvetinin kendisi yerine, eğri uzay-zam an konur; bu eğri uzay-zam anda tüm cisim ler eylem ­ siz olarak hareket ederler -düz çizgiler üzerinde değil (o rada a r­ tık böyle şeyler yoktur), fakat eğri uzay-zam anda her iki nokta arasın d a en kısa yollar olan jeodezik denen eğriler boyunca h a­ reket ederler. Tüm bunlar topluca görelilik kuram ı (hem özel, hem gen el) olarak bilinir. İlerleyen bilimin N ewtoncu üstünlüğün altını oyan diğer cep ­ hesi, atom un doğasıydı. En azından M Ö birinci yüzyıldan, L ucretius zam anından beri atom ların varlığından kuşku duyulm uş­ tu; Newton dahil, birçok bilim insanı bu düşünceye inanm ış ve nihayet ondokuzuncu yüzyılın şafağ ın d a Ingiliz kim yacısı Jo h n Dalton tarafından b una bir m iktar am pirik destek de sağ lan ­ mıştı. D alton y ap tığı deneylerde azot ve oksijen gibi kim yasal türlerin basit tam sayıların oranları içinde (bire-bir, bire-iki, 160



J a m e s Clerk M axw ell



ikiye-üç vb.; nicelikler, gaz durum unda hacim lerle ölçülm üştü) birleşm e eğilim inde olduklarını gösterdiğini iddia etmişti. Bu d en ey sel son u çlar, a ç ık ç a g az ların y ap ıtaşların ın , b ugün m olekül dediğim iz (NO, N 0 2, N 20 3 vb .) yapıları oluşturm ak ü zere bir a ra y a gelen atom lar oldu ğu nu ifad e ediyordu. Beceriksiz bir deneyci olan, fakat atom lara pek inanan Dalton, keşfini çok zayıf bir tem ele dayandırarak duyurm uştu (bilim tarihinde nadir olm ayan bir hikâye), fakat çok d ah a becerikli kim yacılar onun bu basit ve çok-katlı oranlar y asasın ı deneysel 161



E rnest Rutherford



kimyanın temel doktrinlerinden biri haline getirm ek için işin üzerine gittiler. On dokuzuncu yüzyıl boyunca, atom ların özel­ likleri hakkm daki bilgiler derece derece zarifleştirildi. E n c y c lop aed ia B ritann ica mn 1875 baskısı, J C M -J a m e s Clerk M ax w ell- im zasıyla “A tom lar” b aşlığı altında o zam anki bilgilerin durum uyla ilgili enfes bir gözden geçirm e m addesine sahiptir. B ununla birlikte, bir sonraki gerçek ham le 1896’d a İngiliz fizik­ çisi J . J . Thomson tarafından yapıldı; Thomson, tüm atom ların elektron olarak adlandırılacak olan ortak bir iç y ap ıtaşm a sahip olduklarını gösterm eyi başarm ıştı. 162



Konu, bu noktada atom un m im arisi haline geldi. Feynm an’ın dersinde betim lendiği gibi, Ernest Rutherford ve m eslektaşları tarafından yapılm ış olan deney gösterm işti ki, atom bir cins m inyatür gü n eş sistem idir: m erkezde çok küçük fakat ağır bir çekirdek ve onun çevresinde kütleçekim kuvveti yerine ken­ dilerinin eksi yüküyle çekirdeğin artı yükü arasın d a v ar olan elektrik kuvveti tarafından y örüngede tutulan h afif ağırlıkta elektronlar. B ununla birlikte, her atom un küçük bir N ew toniyen güneş sistem i şeklindeki rahatlatıcı görünüm ü, çok say ıd a temel kusura sahipti; bunlardan b aşta olanı, bir kez daha, J a m e s C lerk M ax w ell ve onun elektrom anyetizm a kuram ınca konan bir m utlak yasaktı. E ğer elektronlar gerçek ­ ten de çekirdek çevresinde yörüngede olsalardı, sürekli olarak elektrom anyetik alan tarafından tedirgin edilirlerdi. B u tedirgem e, atom dan enerji çekerek ışık hızıyla u zaklara yayılır; bu durum, G ün eş’e düşen yorgun kuyruklu yıldızlar gibi, elektron­ ların çekirdeğe düşüp yok olm alarına, y ani atom un tam am en çökm esine k ad ar sürerdi. Genel deneyim lerim iz bize atom ların çoğunun kararlı ve uzun ömürlü olduklarını söylediğine göre, Newtoniyen gün eş sistem i, atom un içsel işleyişinin bir betim ­ lem esi olarak işimize yaram ayacaktır. Bu ikileme çözüm, kuantum m ekaniğinin icadıdır. Newton y asaları, çok küçüğün davranışını betimlem ez. Aynen Tom Sto p p ard ’ın H a p g o o d piyesindeki oyuncu K erm er’in (casu s ol­ muş Feynm anvari bir fizikçi) dediği gibi: Belirli bir konum a ve belirli bir m om entum a sahip bir elektron mu, b ö y le bir ş e y yoktur; birini saptarsınız, diğerini yitirirsiniz, ve tüm bunlar hilesiz olur... N esneler çok küçük hale geldiklerinde, gerçekten de delirirler.... Şim di yum ruğunuzu sıkınız; eğer yum ruğunuz bir atomun çekirdeği k ad ar büyükse, o zam an atom un kendisi [L ond­ r a ’daki] St. Paul katedrali kadar büyük demektir, ve ola ki o bir hidrojen atom uysa, boş katedralin içerisinde bir p er­ 163



vane gibi ordan oraya u çuşan tek bir elektrona sahiptir, şim di kubbenin civarında, şim di sunak yerinin oralar­ d a ... H er atom bir k ated rald ir... B ir elektron bir gezegen gibi dolanm az; o bir p ervane gibidir, biraz önce oradaydı, şim di bir enerji kuantum u kazanır y a d a yitirir ve zıplar; bu kuantum zıplam ası an ın da iki p ervane gibidir, biri b u rad a olacak v e diğeri o rada olmayı sona erdirecek; bir elektron ikizler gibidir, her biri tek, biricik bir ikiz. B öylece , Newton, tıpkı iki yüzyıl önce bilim aleminin m erke­ zinde A ristoteles’in y erine geçtiği gibi, yirm inci yüzyılın b aşla ­ rında görelilik ve kuantum m ekaniğinin yükselişiyle gözden düşm üştü. O zam an neden okullarda Newton fiziğini öğretm e­ yi sürdürüyoruz? D ah a d a y erinde bir soru: R ichard Feynm an -o Feynm an ki kuantum m ekaniğini fiilen y eniden icat etmişti, ve E instein’ın görelilik kuram ı üzerine sık sık ve m uhteşem dersler anlatm ıştı- m odası geçm iş Isaa c Newton tarafından b u ­ lunan elipsler y asasın ın ispatını yeniden icadetm e zahm etine ne­ den katlanm ıştı? Y anıtı şudur: Fizikteki ikinci devrim birinciden derin bir şe ­ kilde farklıdır. Birinci devrim A ristoteles doktrinlerini yıkm ış ve yerine tam am ıyla farklı bir şey getirm işti, ikinci devrim ise Newton fiziğini onun y an lış olduğunu gösterm e anlam ında y ık ­ m adı; bunun yerine, onun neden doğru olduğunu göstererek Newton fiziğini onayladı. Newton yasalarının artık fiziksel g er­ çekliğin en içsel doğasını m eydana çık aracağın a inanılmıyor; üstelik, çok küçük şeylere (elektronlar), vey a çok hızlı (ışık hı­ zına yak ın) nesnelere, y a d a çok yoğun cisim lere (k ara delikler) uygulanırsa, bu y a sa la r doğru bile değildirler. Hatta, nereye b a­ kacağım ızı bilirsek, N ewton yasalarının öngörülerinden ayrıl­ m aların algılanabileceği bu denli aşırı olm ayan koşullar bile b u ­ labiliriz. Y ine de, ikinci devrim den sonraki dünya gen elde dah a önce oturduğum uz dünya ile oldukça büyük o randa aynıdır. Temel fark şu ki, artık Newton y asaların ın bize dünyanın nasıl 164



davran dığı hakkında doğru bir açıklam a verm ediğini bilmenin yanında, ay rıca bu y asaların neden böylesine iyi işlediğini de bi­ liyoruz. İyi işliyorlar, çünkü görelilik ve kuantum m ekaniği d e ­ nen d ah a d a derin y asalard an doğal olarak ortaya çıkıyorlar. Tüm öyküyü anlatm ak için (aslında, henüz tüm öyküyü de bil­ miyoruz y a !) bu çok d ah a derin y a sa la ra gereksinim im iz var, am a genellikle Newton y asaları işimizi mükemm elen görüyor. Ö ğrencilere h âlâ Newton fiziğini kullanarak -am a, A ristote­ les fiziğini d e ğ il!- problem leri nasıl çözeceklerini öğretm em izin nedeni işte budur. R ichard Feynm an d a bu nedenle G üneş çev­ resindeki gezegen ler için Newton yasalarının eliptik yörüngeler verm esiyle ilgili kendi geom etrik ispatını yaratm asının değerli olacağını düşünm üştü. V e son olarak, bu kitabı yazm am ızın nedeni de budur.



165



167



I



Os&b ^u.Jt»âa> J&jlt/ K«) jjtü/vzjtJ ‘ r 's i;> 6 ’Gntc ,4JL / ' £‘~'U' 7~hiı



FP i F 'f =■Gev^f.



İ m ■t-J ^ — j j ’if



?■



-" n



F'et W



q f *-SyÇ' &*•■ Ass i D*S fos - ses -. m=&cs ef



ffVAiT/nes



Ig v ılitfa sı ^



f



-w ûw



İm İ o .



Vıl-K--c~^ i M***.



İh. » I I t k s



& { fc $ f. ^ --İL*b~ wpw uyu//. Cvji* 0 { h ' T ^ )jik ---------ftyJjl j . \f ü



f.e rneı-f



I Dersin çoğu bu sayfadan ortaya çıkmıştır. Üst sol köşedeki şekil, 1 Newton’un Princ/p/a'sındaıı kopyalanmıştır.



mmmmmammmmmmmmmmmmmmm



169



mmmmm



mmrnm



i



r jfilW



Çizginin yukarısı, elipsler yasasına ait ispatın son basamakları için not­ lardır. Çizginin aşağısı ise Rutherford’un saçılma yasası ile ilgilidir.



170



K ayn akça



Brecht, Bertolt. T h e L if e o f G a lile o (G alileo’nun Y aşam ı). İngilizceye çeviren: D es mond. I. V esey. London: M ethuen, 1960. Cohen, I. Bernard. T h e B ir t h o f a N e w P h y s ic s (Yeni Fiziğin D oğuşu). R evised edition. New York: W. W . Norton, 1985. -----------. Introduction to N ewton’s “Principia.” (Newton'un "Principia"sm a G iriş) Camb­ ridge, England: C am bridge U niversity P ress, 1971. D ijksterhuis, E. J . T h e M e c h a n iz a tio n o f the W o r Id P ic t u r e (1 9 6 1 ) (D ün ya Görünümünün M ekanikleştirilm esi). İngilizceye çeviren: C. Dikshoorn. P aperback reprint, London: O xford University P ress, 1969. Drake, Stillman. G a lile o at W o rk : H i s S c ie n tifıc B io g r a p h y (G alileo İş Başın da: Bilim­ sel Ö zgeçm işi). Chicago: University o f C hicago Press, 1978. Fano, U., and L. Fano. "Relation betvveen Deflection and Im pact P aram eter in RutherFord Scattering." Appendix III in B a s ic P h y s ic s o f A to m s a n n d M o le c u le s (R utherford Saçılm asın da S ap m a ve V urm a Param etresi arasındaki Bağıntı, Temel Atom ve M olekül Fiziği kitabında Ek. III). New York: Jo h n Wiley, 1959. Feynman, R. P., R. B. Leighton, and M. San ds. T h e F e y n m a n L e c tu r e s on P h y s ic s . 3 vols. (Feynm an Fizik Dersleri; 3 cilt) Reading, Penn.: A ddison-W esley, 1963-65. Galilei, Galieo. T w o N e w S cie n c e s, (İki Yeni Bilim). Giriş ve notlarla birlikte, İngiliz­ ceye çeviren Stillm an Drake. M adison: U niversitey o f W isconsin Press, 1974. -----------. I I Sa gg ia tore. (D enetleyici) Rome: Giacomo M asardi, 1623. -----------. D ia lo g u e C o n c e r n in g the T w o C h i e f W o r ld S y s te m s —P to le m a ic & C o p e rn ic a n (İki Ana D ünya Sistem iyle ilgili bir Söyleşi - Ptolem aios ve Kopernik Sistem leri). İngilizceye çeviren: Stillm an D rake. Berkeley: University o f California Press, 1962. G ingerich, Owen. T h e G re a t C o p e rn ic u s C h a se a n d O t h e r A d v e n tu r e s in A s tro n o m ic a l H is t o r y . (Büyük Kopernik'i İzleme ve Astronomi Tarihinde D iğer Serü venler) Cam bridge: Sky Publishing, 1992. Kepler, Jo h an n es, N e w A s tr o n o m y (Yeni Astronomi). İngilizceye çeviren ve basan: William H. D onahue. Cam bridge, England: C am bridge U niversity Press, 1992. Koestler, Arthur, T h e S le e p w a lk e rs (19 59). (U yurgezerler) P aperback reprint, New York: G rosset and Dunlap, 1963. M axw ell, J . Clerk. M a tte r a n d M o tio n (18 77). (M ad d e ve H areket) Notlar ve eklerle yeniden basan: S ir Jo sep h Larmor, London: H ıristiyanlık Bilgisini Yükseltm e Cemiyeti. 1920. Newton, Isaac. S i r Isa a c N e w to n ’s M a th e m a tica l P r in c ip le s o f N a t u r e l P h ilo s o p h y a n d H i s S y s te m o f the W o rld . (S ir Isaac Newton'un D oğa Felsefesinin M atem atiksel İlkeleri ve Onun D ünya Sistem i). H azırlayan ve basan: Florian Cajori. Berkeley: U niversity California Press, 1934. Santillana, Giorgio De. T h e C r im e o f G a lile o (G alileo’nun S u çu ). Chicago: University of C hicago Press, 1955. 171



Stoppard, Tom. H a p g o o d (1 9 88 ). D üzeltmelerle yeni baskı, London: F a b e ra n d Faber, 1994. -----------. A rc a d ia . London: F aber and Faber, 1993. -----------. “Playing with Science." (O yun ile Bilim ) E n g in e e r in g & S c ie n c e 58 (19 94):3-13. Thoren, Victor E., with Jo h n R. Christianson. T h e L o r d o f U ra n ib o rg : A B io g r a p h y o f T y c h o B ra h e . (U raniborg Lordu: Tycho Brahe'nin Ö zgeçm işi) Cam bridge, E ngland: C am bridge University Press, 1990. W estfall, Richard S. N e v e r a t R e st: A B io g r a p h y o f ls a a c N e w to n (D urm aksızın: Isaac N ewton’un Ö zgeçm işi). Cambridge, England: Cam bridge U niversity Press, 1980.



172



D izin



Açısal momentum, 79 Almagest (Ptolemaios), 3 Anlık, darbe, itki kuvveti, 73, 86, 89, 138, 140 Güneş’in kütleçekimi olarak, 73 Arcadia (Stoppard), 2 Aristoteles mekaniği, 2-3, 17-18 Astroloji, 2-3, 9 Atom bombası, 32 Atom fiziği, 126, 160-163 Ay, 137 Ayna yansıması, bakınız yansıma Aynalar, yansıma yasası, 57 Bardeen, John, 35



“Başkalarının N e Düşündüğü Sizin Umurunuzda m il" (Feynman), IX, 33, 48 Bellarmine, Robert, 16 Beşgen, 90 Bethe, Hans, 32, 34 Bilimsel Devrim, 1 ikinci, 158 Boşluklar, 19 Brahe, Tycho, 3, 4, 6, 9, 28, 49, 130 Brattain, Walter, 35



Challenger faciası, 48 Christian IV, Danimarka Kralı, 5 Cooper, Leon, 35 Copernicus, Nicolaus, 1, 3, 130 Cornell Üniversitesi, 34 Crick, Francis, 42 Çemberler, V II, 12 basit elipsler olarak, 83 düzgün çokgenler, 89, 90 hız diyagramları, 91-94, 104-113, 143



173



merkez-dışı elipsler, 68 üçüncü Kepler yasasının ispatında, 83-84 Çokgenler, düzgün, 89-91 Dalton, John, 160-161 Descartes, Rene, 22, 23, 24, 28 Dialogo (Galileo), 22 Diferansiyel ve integral hesabı, 27 Dinamik, 80 Newton diyagramı, 72, 73-81 Diyagramlar, 106-115, 143-145 hız, 86-94 konum, 86-88 yörünge, 92-94, 104-106 “Dünyanın Ahengi" (Kepler), 14 Düşen cisimler, yasası, 16-21, 158 Düşük sıcaklık fiziği, 29-30, 34-35 Düzgün çokgenler, 89-91 Eflatun, 2, 3, 10, 83 Einstein, Albert, 31-32, 47, 49, 159, 160 Eksantrik yörüngeler, 123, 137, 145 Elektrik, 127, 152 Elektromanyetizma, kuramı, 163 Elektronlar, 162 Elipsler, II, 12, 14 anlık hız, 55 ayrıca bakınız, elipsler yasasını ispatı; elipsler çemberler, 68 elipsler, yasası (birinci Kepler yasası), 51-124 eşmerkezli, 53 Kepler yasaları, 10, 14 kurulması, 52-53, 65, 67-68 M axwell’in çalışması, 157 Nevvton’un katkısı, 28 Newton’un ispatı, 81, 84-95, 97-119, 130-135, 137-148 odakları, bakınız, elipslerin odaklan, özellikleri, 51-57, 65, 68, 134-137 tanımı, 134-135 teğet çizgisi, 54-55, 68-70, 147 yansımış ışık ışını, 53-56, 64, 71, 134-135, 149 yanbüyük ekseni, 82-83 ■ yanküçük ekseni, 82-83 yasası, II elipslerin odaklan, 5 ışığın yansıması,53-68 odakta Güneş, 81, 82 Eliptik yörüngeler, 108-120, 121, 165 174



"Eminim Şaka Yapıyorsunuz, B ay Feynman " (Feynman), IX, 47 En az eylem, ilkesi, 31, 34, 71 Enerjinin korunumu, 19, 27 Esneklik kuramı, 46 Eşit alanlar, yasası (ikinci Kepler yasası), 80 eşit açılar, 100 ispatı, 75-80, 100 kütleçekim kuvvetinin yönü, 97 Eşkenar üçgenler, 90 Eşleşik üçgenler, bakınız üçgenler. Etki ve tepki yasası, 25 Eylemsizlik yasası (birinci Newton yasası), 20, 22, 24-25, 73, 80-81, 159 gezegen hareketi, 96 Fano, L., 157 Fano, U „ 157 Fermat ilkesi, 71 Fermi, Enrico, 32 Fermi-Dirac istatistiği, 37 “Fermi Etkileşme Kuramı” (Feynman ve Gell-Mann), 36 Feynman diyagramları, 34, 35 “Feynman Fizik Dersleri" (Feynman), II, III, 37-38 Feynman, Arlene Greenbaum, 32 Feynman, Cari, 37 Feynman, Lucille, 31 Feynman, M a ıy Louise Bell, 37 Feynman, Michelle, 37 Feynman, Richard, V III-X , 36, 54-55, 71 alman patentler, 32-33 Challenger faciası, 48 çocukluğu, 31 düşük sıcaklık fiziği, 29-30, 34-35 Einstein, 32 en az eylem ilkesi, 31, 34 esneklik kuramı, 46 evlilikleri, 32-37 fizik dersleri, 37-38 halk adamı, 47 ışığın elipslerde yansıması, 53-71 kanseri, 46, 47 kuantum elektrodinamiği, 29, 34, 35, 71 kuark kuramı, 36-37, 43 Los Alamos’ta, 32-3 misafir hoca dersleri, V III, 38, 48 mizah duygusu, 43-45, 49 Nobel Ödülü, 29, 38, 47 öğrencilik yıllan, 31 ölümü, 49 1/5



ünü, 47, 48 üzüntülü döneminde, 38, 42-43 zayıf etkileşme, 36 Feynman, Gweneth Hovvarth, 37 Feynman’m elipsler yasasını ispatı, VTII-X ayrıca bakınız, “Gezegenlerin Güneş Çevresindeki Hareketi" eşleşik üçgenler, 58-59, 63, 77-80 elipslerin kuruluşu, 51-53, 66-68 Feynman’ın ders notlan, 167-170 ışığın elipslerde yansıması, 52-68 “kayıp ders "in durumu, I-IV kullanılan düzlem geometri, V III-X kullanılan Newton diyagramı, 72, 73-77 Newton yasaları, 80-81 Newton’un ispatının yeniden formülasyonu, 81, 84, 97-104, 121 özeti, 95, 120-123 tekrar kurulması, 51-127 Fowler, Willy, 45 Franklin, Benjamin, 126 Frederick II, Danimarka Kralı, 5 Fuchs, Klaus, 33 Galileo, 3, 16-23, 158 Geiger, Hans, 125 Gell-Mann, Murray, 36, 43 Gelme açısı, 64, 68, 134 Gezegenler, anlık hız, 55 ayrıca bakınız kütleçekim; yörüngeler boyutu, 94-95 eşit-alan süpürmeleri, 75-80, 130-132 üçüncü Newton yasası, 96 yılı, 83 “Gezegenlerin Güneş Çevresindeki Hareketi” (Feynman), 129-155 “elemanter" ispatlan, 132-137 giriş uyarıları, 129-130 Kepler yasalan, 130-132 tarihsel dekor, 129-132 vurma parametresi, 153-154 Gezegenlerin kütlesi, 97 Gezegensel hareket için Newton diyagramı, 72, 73-81 düzgün çokgen olarak, 89-91 eşit zamanda eşit alanların ispatı, 75-79 eşleşik üçgenler, 75-78 gerçek gezegensel hareket, 74 Güneş, 73 hız diyagramı, 85-91 oluşturulan paralelkenar, 74-75, 98 176



üçüncü Kepler yasasının ispatında, 84-91 zaman aralıkları, 75 Gezegensel hareket, V II-V III açısal momentum, 79 Aristoteles görüşü, 2, 17, 19-20 ayrıca bakınız elipsler, yasası; yörüngeler Brahe’nin çalışması, 7, 9 etki ve tepki yasası, 25-26 eylemsizlik yasası, 96 hız diyagramı, 90-94 Kopernik görüşü, 3-4, 16-17 Kepler yasaları, bakınız Kepler in gezegensel hareket yasaları Gluonlar, 43 Goodstein, David L., III-IV , 29, 39, 42-47 "Gökteki Kürelerin Dolanımlan Üzerine" ( Copernicus), 1-3 Görelilik, kuramı, 158 Görüntü noktası, 57, 135, 137 Görünüşü kurtarmak, 3 Graham, William, 48 Güneş, Kepler’in üçüncü yasası, 84, 88, 130 kütleçekimi, 71-73, 74, 75, 80, 86-87 yörünge parçaları, eşit açılar yaparak, 98-103 yörüngesel elipsin odağı olarak, 81, 82 Halley, Edmund, V II-V III Halley kuyrukluyıldızı, 84, 123 Hamilton, Sir William, 157-158 Hapgood (Stoppard), 163 Hiperbolik yörüngeler, 125, 149 Hiperboller, V II, 13 Hız, anlık, 55 değişimi, bakınız Newton yasaları, ikinci denklem, 91, 94 H ız diyagramı, 85-94, 104-116, 142, 145, 146 başlangıcı, 112-114, 144-145 büyüklüğü, 88-89 çember olarak, 89-91, 94, 106-111, 143-145 düzgün çokgen olarak, 90-91 gezegensel harekete karşı, 94-95 hızdaki değişim, 93 kuruluşu, 106-111, 143-145 yarıçapı, 91 H ız vektörü, 143-145 Hodograf, 157-158 Hooke, Robert, 131 Hughes Uçak Şirketi, 33, 48 Hutchings, Edward, 47 177



II Saggiatore (Galileo), 16, 20 Işık,



ayrıca bakınız yansıma. Fermat ilkesi üzerine, 71 hızı, 159-160 teğetler, 54-56 yansıma yasası, 55 yansıması, elipsin odaklarından, 53-68



“İki Yeni Bilim ” (Galileo), 21 “İkili Sarmal” (Watson ve Crick), 42 ikincil yörüngeler, 3 İleri Çalışmalar Enstitüsü, 31 İspatlar, geometrik, 54-71, 80, 135-136, 138-140 eşit-açı parçaları, 99-104 eşit zamanda eşit-alan süpürmeler, 75-79 R 2, 83-120 iki odak arasındaki uzaklığın toplamı, 52-53 teğet çizgisi, 68-71 İvme, merkezcil, 131 merkezkaç, 131 Jeodejikler, 160 Jiroskop ile güdüm, II Jüpiter, 97 Kaliforniya Teknoloji Enstitüsü, (Caltech), 35 Kare, 90 Katilar, mükemmel, 8 Katolik Kilisesi, 16, 24 Kepler, Johannes, V III, 3, 7-11, 14-16 Kepler'in gezegensel hareket yasaları, 14, 80, 95-97, 130-131 birinci, bakınız elipsler, yasası, ikinci, bakınız eşit alanlar, üçüncü yasa, bakınız periyotlar, yasası Newton yasaları ile karşılaştırma, 95-97 Kimya, 160-162 konik kesitleri, V II, 13, 21, 125, 136 hiperbol, 125, 149 parabol, 21, 125, 149 Konum diyagramı, 72-88 Koonin, Steven, 45-46 Kopernik sistemi, 3, 7-10, 16-17 Kronometreler, 18-19 Kuantum elektrodinamik (Q E D ), 29, 34, 35, 71 Kuantum mekaniği, 31, 38, 158, 163 Kuarklar, kuramı, 37, 43



178



Kurgu, geometrik, 52-53, 65, 67, 68, 71, 134 ayrıca bakınız, diyagramlar; R 2yasası çember, 83 eşleşik üçgenler, 76-80, 58-59, 63 eşmerkezli elipsler, 53 hız diyagramı, 104-113, 143 merkez-dışı elips, 66-67 ip-ve-dik-açıortay yöntemi, 66-67, 146 ip-ve-raptiyeler yöntemi, 51-52, 65, 67, 68, 17, 134 teğet çizgisi, 65 Kütleçekim, 21, 27, 95-97, 160 Güneş’in kütleçekimi, 81, 84, 95, 103, 120-122, 127 Nevvton’un çıkarışı, 96-97 R 2yasası, bakınız R'2yasası, yönü, 94 Kütleçekim sabiti, 152 Kütleçekimin ters-kare yasası, V III Landau, Lev, 34 Leibniz, Goottfried, 27 Leighton, Marge, I Leighton, Ralph, IX, 47 Leighton, Robert, I-III, 37, 39, 40 Los Alamos projesi, 32-33 Lucretius, 160 Lüther, Martin, 3 Madde ve Hareket (M axwell), 157 Mars, yörüngesi, 10 Marsden, Ernest, 125, 127 Mâstlin, Michael, 7 Mathews, Jon, 44 Maxwell, James Clerk, 34, 157-163 Mercereau, James, 30 Merkez-yörüngeler, 3 Momentum, 25



Mysterium cosmographicum (Kepler), 8, 9 Neugebauer, Gerıy, I, 37, 38-39 Neumann, John von, 32 Newton yasaları, V III, 24-27, 80-81, 95-96, 120-121, 130-132, 158-159 betimlenmesi, 25-27 birinci, 73, 80-81 görelilik kuramı, 158-159 ikinci, 80-81, 96 Kepler yasaları, 95-96 kuantum mekaniği, 163-164



179



kütleçekim, 84-120, 126-127, 130-131, 138, 142 sürekli ilgisinin nedeni, 164-165 üçüncü, 96 yasalarla ilgili önerme, 81 Newton, Isaac, II, IV, V II-V III, 22-28, 159-160 tarafından çıkarılan kütleçekim, 96-97 Principia Mathematica sı, II, IV, V III-IX , 24, 27, 71, 81, 96, 98, 133 Newton’un katkıları, 129-133, 136, 141 elipslerin özellikleri, 134-137 hız diyagramları, 142-144, 145, 146 Rutherford’un saçılma yasası, 149-150, 154-155 Nükleer denizaltı, 33 Parabolik yörüngeler, V II, 13, 125, 149 Paraboller, V II, 13 Galileo’nun çalışması, 21 Paralelkenarlar, yörüngeler, 74-75, 98 “parton” kuramı, 43 Patentler, 32-33 Perga’lı Apollonius, 12 Periyotlar, yasası (üçüncü Kepler yasası), 81-83, 97 ispatı, 82-83 yörüngeler, 82-83 yörünge yılı ve Güneş'ten uzaklık, 91-94 Pertürbasyonlar, 132 Princeton Üniversitesi, 31-32 Principia Mathematica (Newton), II, IV, V III-IX , 24, 27, 71, 81, 96, 98, 133 Ptolemaios, 3, 6 R"2 (ters-kare) yasaları, 131 elektrik, 126-127, 149-155 kütleçekim, 80-81, 84-121, 133 üçüncü Kepler yasasından çıkarılan, 80, 81, 84-121, 130-131 Rezonanslar, 43-44 Rogers, William P., 48 Rudolph II, Kutsal Roma imparatoru, 5 "Rudolph Tabloları" (Kepler), 14, 15 Rutherford, Ernest, 125-126, 162, 163 saçılma yasası, 125, 149-150, 154-155 Saçılma, yasası, 125, 149-150, 154-155 Sands, Matthew, II, 37, 39 Sapma açısı, 150 Sarkaç, yasası, 16 Schrieffer, J. Robert, 35 Schwinger, Julian, 29, 34 Shockley, William, 35 Stoppard, Tom, 2, 163 180



Su kronometresi, 18 Süperakışkanlık, 30, 34, 35 Süperiletken Kuantum Girişim Aygıtı (SQ U 1D ), 30 Süperiletkenlik, 30, 35 Süpernovalar, 10, 49 Teğet, 54-56, 65, 68, 71, 147 gezegensel hareketin Newton diyagramı, 75-78 ile ikiye bölünmüş eşleşik üçgenler, 58-61, 63-66, 68 ispatı, 134-137 hareket yönü, 55 kurulması, 68-71 teğetten yansıma, 54-57 yörüngelerin hızım hesaplamada, 101 Telegdi, Val ve Lia, 42 "Temel Atom ve M olekül Fiziği" (Fano ve Fano), 157-158 Thomson, J. J „ 162 Tomonaga, Shinichiro, 29, 34 Transistörler, 35 Tuck, Helen, 46 Ulusal Havacılık ve Uzay Dairesi (N A S A ), 48 Uraniborg, 5 Urban V III, Papa, 16 Uzayzaman, 160 Üçgenler, eşleşik, kuruluşu, 58-60, 63, 75-80 eşkenar, 90 gezegensel hareketin Nevvton diyagramında, 75-78 yörüngelerin hızım hesaplamada, 101 Virgil, 10 Vogt, Rochus, 37, 38 Vurma parametresi, 153-154 Watson, James, 42 Wheeler, John Archibald, 31 Yansıma, açısı, 64, 68, 134 ayrıca bakınız, ışık elipslerin odaklarından, 53-68 elipslere karşı teğetlerden, 54-57 yasası, 55, 136 Yansıma açısı, 64, 68, 134 Yansıtma çizgileri, bakınız teğet Yarıbüyük eksen, 82-83 Yarıküçük eksen, 82-83 181



Yatay hareket, 19, 20-21, 22 “Yeni Astronomi" (Kepler), 10, 14 “Yeni Yıldız Üzerine " (Brahe), 5 Yer, hareketinin saptanabilmesi, 19, 21 yörüngesi, 97 Yörüngeler, 55, 81, 130-149 dairesel, 83-84 eliptik, 109-120, 121, 130, 131-132, 136-137 eksantrik, 123, 137, 145, 146 gezegenlerin kütlesi, 97 Güneş’in kütleçekimi, bakınız, Güneş, kütleçekimi hızı, bakınız, yörünge hızı, hiperbolik, 125, 149 M ars’ın, 10 odağında Güneş, 81, 82 özellikleri, 97 parabolik, 125, 149 tekdüze hız büyüklüğü, 91 üçüncü Kepler yasası, 81-83, 96-97 Y e r’in, 97 Yörünge diyagramı, 90, 92, 93, 94, 104-106, 108, 110-112, 115, 145, 146 Yörünge hızı, 97, 159 eşit-açı parçaları, 160-164 gezegenlerin kütlesi, 97 Z ayıf etkileşme, 36 Zweig, George, 36, 43



182



I)r. D avld L. Cîoodsli'lıı, K a lifo rn iya Teknoloji



K iinIİU Ihü ,



kısa adıyla Calteclı'te m fldUryurdııııı r