Fungsi Gamma 1 [PDF]

Citation preview

OLEH: DESTRIYANTI TRI BUDIARTI YULLIA HESTIANA IRWAN SEPTEMBER GUNAWAN KELAS



2007 121 258 2007 121 323 2007 121 325 2007 121 461 2007 121 :6.L



MATA KULIAH DOSEN PENGASUH



: MATEMATIKA LANJUTAN : FADLI, S.Si



FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG 2010



FUNGSI GAMMA Fungsi Gamma yang dinyatakan oleh n atau G(n) didefinisikan oleh ¥ n-1 -x e dx , dengan n>0



(n) = ∫ e- x x n-1dx



Atau G(n) =



∫x



0



Kriteria dari konvergensi dipenuhi. Untuk x mendekati ¥ , fungsi eksponensial e- x mendekati nol dengan orde yang lebih cepat dari setiap perpangkatan



1 (m〉0). m



x Fungsi gamma ini, yang dapat dipandang sebagai suatu fungsi dari bilangan n (tidak perlu harus bulat), memenuhi beberapa hubungan yang mengagumkan, antara lain G(n + 1) = nG(n) Hubungan tersebut kita buktikan sebagai berikut: Bukti : ¥



∫ x n e - x dx



G (n + 1 ) =



0



M



=



Lim



∫ x n e-x dx



M ®¥



=



0



Lim{x (- e ) -



n



x



0M



-M



M ®¥



=



M ®¥



M



= Lim n ∫ x n-1e-x dx



= nG(n)



-



x



0



Lim{- M n e-M M ®¥



∫(- e )(nx )dx}



0



M



+ n ∫ x n 1e x dx} - -



0



-



n 1



Terbuti bahwa G(n + 1) = nG(n)



Hubungan berikutnya yang dimiliki oleh fungsi gamma adalah ; G(n) = (n -1)! Bukti : ¥



M



∫e-x x n-1dx = Lim



M ®¥



0



=



Lim{(- e



-



x



-



x n 1



)



M ®¥



∫e-x xn-1dx 0



M



0



M



+ (n -1) ∫e x xn 2 dx} -



-



0 ¥



G(n) = (n -1)∫e x n-1dx = (n -1)G(n -1) -x



0



Dengan rumus berulang ini, jika m bilangan bulat dan 0< m < n, maka ¥



G(n) = (n -1)(n - 2)...(n - m )∫e-x x n-m -1dx 0



Khususnya, jika n sebuah bilangan bulat positif, kita miliki ¥



G(n) = (n -1)(n - 2)...3.2.1∫e x dx -



0 ¥



Dan karena ∫e dx =1 , akhirnya diperoleh -x



0



G(n) = (n -1)(n - 2)...3.2.1 = (n -1)! Karena alasan ini maka G(n) kadang-kadang disebut fungsi faktorial.



Hubungan berikut yang cukup penting ialah G



(12)=



p



Kebenaran hubungan ini akan ditunjukkan dengan uraian berikut. Perlu ditunjukkan terlebih dahulu bahwa



¥



∫e-x



2



1



dx =



p



2



0



¥



Telah dibuktikan dalam improper integral bahwa ∫e



-x2



dx konvergen.



0



Maka dapat ditulis : M



Im = ∫e



M



-x2



0



dx = ∫e



- x2



dy



0



Maka Lim I M = I merupakan nilai yang diminta dari integral M 2



=



IM



=



M



M ®¥ -x



2



-y



M



∫



dx



∫



e



e



0



0



∫ ∫e ( M



2



- x +y



2



2



dy



)dxdy =



0 0



RM



∫∫e (



2



2



- x +y



) dxdy



Dengan RM bujur sangkar OACE bersisi M. Karena integralnya positif, dapat ditulis e-



∫ R



(x 2 + y 2 )



dxdy £ I M2 £ ∫∫e-



(x 2 + y 2 ) R



1



dxdy



2



y



D E



M



C



2 M



R1 O



R2 A



B



X



Dengan R1 dan R2 ialah daerah di kuadran pertama dibatasi oleh lingkaran berjari-jari M dan M 2 . Menggunakan koordinat polar di peroleh : p2M 2



∫ ∫ e- r



2



r



dr dq 0



£IM2 £∫ 0



∫e-r



2



r drdq



p



(1 - e )£ I -



M



2



2



£p



(1 - e ) -2 M 2



M



2



4 Diambil limitnya untuk M ® ¥ kita peroleh Lim I M2 =I2=



p dan I = 1



M ®¥



4



p



2 ¥



Maka diperoleh ∫e-x



1



dx =



2



p 2



0



Atas dasar hasil yang kita peroleh ini akan dihitung G



(



Maka G



1



¥ 1



)



2 =∫x



x=u



x



( ) ∫u ¥



2



e



dx= 2u du



= (u



2



1



0



®



-1



-



-



1 - 2 -x



e dx = ∫ x e dx



2 -1 -x



0



Subtitusi:



G 12 =



¥



(12).



u



2



2



)-



1



2



= u



¥



.2udu = 2



0



-



1



∫e-



u



2



du



0



1 G(1 )= 2



2



p



2



= p



RUMUS ASIMPTOTIK untuk G(n) atau



(n)



Jika n besar, maka kesukaran perhitungan yang merupakan bagian perhitungan G(n) akan nyata. Suatu hasil yang berguna di dalam kasus seperti itu dibekali oleh hubungan q



G (n + 1 ) =



2pnnn e-n e



12( n+1)



0