Fungsi Gamma Dan Fungsi Beta [PDF]

Citation preview

Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Fungsi gamma merupakan perluasan dari fungsi faktorial. Sementara itu, fungsi beta dikenal juga sebagai integral Euler jenis pertama dan terkait erat dengan fungsi gamma.



Oleh Tju Ji Long · Statistisi



Fungsi gamma merupakan perluasan dari fungsi faktorial. Fungsi ini sering kita jumpai dalam persamaan-persamaan peluang dan statistika. Sementara itu, fungsi beta dikenal juga sebagai integral Euler jenis pertama dan terkait erat dengan fungsi gamma. Pada artikel ini, kita akan mempelajari fungsi gamma dan fungsi beta serta kaitan di antara keduanya. Fungsi Gamma



Seperti disebutkan di atas, fungsi gamma merupakan perluasan dari fungsi faktorial, yang mana kita definisikan sebagai berikut. Fungsi Gamma



Fungsi Gamma didefinisikan sebagai



yang mana konvergen untuk n>0n>0. Rumus berulang untuk fungsi Gamma diberikan oleh



di mana Γ(1)=1Γ(1)=1 dan rumus untuk nn faktorial (n!n!) yaitu



Di bawah ini kita akan membuktikan rumus berulang untuk fungsi gamma. #1. Bukti bahwa Γ(n+1)=n Γ(n),n>0Γ(n+1)=n Γ(n),n>0:



#2. Bukti bahwa Γ(n+1)=n!Γ(n+1)=n!, n=1,2,3,…n=1,2,3,… Pertama kita mulai dengan membuktikan bahwa Γ(1)=1Γ(1)=1 yang diberikan berikut ini.



Selanjutnya, untuk n=2,3,4,…n=2,3,4,…, kita gunakan hubungan Γ(n+1)=n Γ(n)Γ(n+1)=n Γ(n)



Sehingga, secara umum Γ(n+1)=nΓ(n)=n!Γ(n+1)=nΓ(n)=n! untuk n bilangan bulat positif. Sebagai contoh, perhatikan hasil perhitungan berikut ini.



Perhatikan kembali hasil di atas. Dalam beberapa kasus kita akan sering menjumpai Γ(1/2)=√ π Γ(1/2)=π. Karena pembuktiannya melibatkan prosedur integral lipat dua yang mana belum kita pelajari, maka untuk sementara hafalkan saja hasil tersebut.



n0. Dalam fungsi Beta, nilai B(m,n)B(m,n) akan sama dengan B(n,m)B(n,m). Hubungan antara Fungsi Gamma dan Fungsi Beta



Terdapat hubungan antara fungsi Gamma dan fungsi Beta yakni



Pembuktian untuk hubungan antara fungsi gamma dan beta ini mengharuskan kita memahami integral lipat dua yang belum kita pelajari. Oleh karena itu, untuk sementara kita abaikan dulu pembuktian ini dan cukup hafalkan saja hubungan tersebut.



Penyelesaian Integral Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Sering kali permasalahan integral dapat diselesaikan dengan memanfaatkan fungsi gamma dan fungsi beta. Biasanya, kita perlu melakukan pemisalan terlebih dahulu untuk mengubahnya menjadi bentuk fungsi gamma atau fungsi beta.



Oleh Tju Ji Long · Statistisi



Setelah mempelajari fungsi gamma dan fungsi beta pada artikel sebelumnya, sekarang kita akan mencoba menyelesaikan integral dengan menggunakan fungsi gamma dan fungsi beta. Penyelesaian Integral dengan Fungsi Gamma



Sering kali permasalahan integral dapat diselesaikan dengan memanfaatkan fungsi gamma. Biasanya, kita melakukan pemisalan terlebih dahulu untuk mengubahnya menjadi bentuk fungsi gamma. Perhatikan beberapa contoh soal berikut. Contoh 1:



Tentukan ∫∞0x6e−3x dx∫0∞x6e−3x dx! Pembahasan:



Misalkan u=3xu=3x maka x=u/3x=u/3 dan dx=1/3 dudx=1/3 du. Perhatikan bahwa untuk x=0→u=0x=0→u=0 dan x=∞→u=∞x=∞→u=∞. Sehingga,



Perhatikanlah kembali di atas bahwa n−1=6n−1=6 sehingga n=7n=7. Contoh 2:



Carilah ∫10(x⋅lnx)3 dx∫01(x⋅ln⁡⁡x)3 dx! Pembahasan: Misalkan −u=lnx−u=ln⁡x maka x=e−ux=e−u dan dx=−e−u dudx=−e−u du. Untuk x=0x=0 maka u=+∞u=+∞ dan untuk x=1x=1 maka u=0u=0. Sehingga,



Kita misalkan lagi bahwa 4u=z4u=z maka u=z/4u=z/4 dan du=dz/4du=dz/4. Untuk u=0u=0 maka z=0z=0 dan untuk u=∞u=∞ maka z=∞z=∞. Dengan demikian, kita peroleh



Penyelesaian Integral dengan Fungsi Beta



Terkadang kita juga akan menjumpai permasalahan integral yang bisa diselesaikan dengan menggunakan fungsi beta. Perhatikan beberapa contoh soal berikut.



Contoh 3:



Tentukan ∫20x2√ 2−x  dx∫02x22−x dx! Pembahasan: Misalkan x=2ux=2u, maka u=x/2u=x/2 dan dx=2dudx=2du. Untuk x=0x=0 maka u=0u=0 dan saat x=2x=2 maka u=1u=1, sehingga



Misalkan lagi, z=1−uz=1−u, maka u=1−zu=1−z dan du=−dxdu=−dx. Untuk u=0u=0 maka z=1z=1 dan untuk u=1u=1 maka z=0z=0. Dengan demikian, kita peroleh



Contoh 4:



Carilah ∫20(4−x2)3/2 dx∫02(4−x2)3/2 dx! Pembahasan: Misalkan x2=4ux2=4u maka x=2√ u x=2u dan dx=u−1/2 dudx=u−1/2 du. Untuk x=0x=0 maka u=0u=0 dan untuk x=2x=2 maka u=1u=1, sehingga



Penyelesaian Integral Trigonometri dengan Fungsi Beta Dalam beberapa kasus, kita akan menjumpai bentuk pengintegralan yang melibatkan fungsi trigonometri. Ada beberapa bentuk integral trigonometri yang dapat diselesaikan dengan mudah menggunakan fungsi beta.



Oleh Tju Ji Long · Statistisi



Dalam beberapa kasus, kita mungkin akan menjumpai bentuk pengintegralan yang melibatkan fungsi trigonometri. Di beberapa artikel sebelumnya, kita telah mencoba menyelesaikan integral tersebut dengan menggunakan teknik integral pangkat trigonometri dan teknik substitusi trigonometri. Namun, ada kalanya kita tidak bisa menyelesaikan integral tersebut dengan cara demikian atau bisa diselesaikan tapi membutuhkan proses yang cukup rumit. Di sini kita akan melihat bahwa ada beberapa bentuk integral trigonometri yang dapat diselesaikan dengan mudah menggunakan fungsi beta. Perhatikanlah dua contoh khusus integral trigonometri berikut



Dua integral ini tampak rumit, tapi sebenarnya sangat mudah diselesaikan dengan menggunakan bantuan fungsi beta. Untuk itu, mari kita lihat bagaimana fungsi beta membantu kita menyelesaikan integral tersebut. Sebagaimana telah kita ketahui bahwa fungsi beta dinyatakan sebagai



Selain itu, fungsi Beta juga dapat dinyatakan dalam bentuk integral trigonometri yaitu:



Rumus fungsi beta dalam bentuk trigonometri di atas dapat dibuktikan dengan sangat mudah. Perhatikanlah bahwa ketika x=sin2θx=sin2⁡θ disubstitusikan ke dalam persamaan fungsi beta, kita peroleh



Ingat bahwa turunan dari x=sin2θx=sin2⁡θ adalah dx/dθ=2sinθ cosθdx/dθ=2sin⁡θ cos⁡θ, sehingga dx=2sinθ cosθ dθdx=2sin⁡θ cos⁡θ dθ.



Sekarang kita siap untuk menjawab dua contoh integral trigonometri yang diberikan di atas. Contoh 1:



Selesaikanlah integral berikut:



Pembahasan: Ingat kembali rumus



Integral pada Contoh 1 ini mirip dengan rumus fungsi Beta dalam integral trigonometri, sehingga



Dengan demikian,



Contoh 2:



Selesaikanlah integral berikut:



Pembahasan: Anda mungkin masih ingat bahwa



Dengan demikian,



Berdasarkan rumus fungsi Beta dalam bentuk integral trigonometri, maka diperoleh



Dengan demikian, kita peroleh



Latihan soal dan pembahasan Integral dengan Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Bagian 1 Guna memperdalam pemahaman tentang integral dengan fungsi gamma dan fungsi beta, berikut ini diberikan sejumlah latihan soal terkait materi tersebut beserta pembahasannya. Soal Nomor 1



Dengan menggunakan definisi fungsi Gamma dan fungsi Beta, buktikan bahwa



Pembahasan: Misalkan x=e−yx=e−y, maka dx=−e−y dydx=−e−y dy. Kemudian ubahlah batas pengintegralan di mana



Dengan demikian, kita peroleh



Misalkan sekali lagi: ym+y=wym+y=w, maka



Selanjutnya, ubahlah batas pengintegralan di mana



Dengan demikian,



jadi, terbukti bahwa



Soal Nomor 02



Dalam teori kemungkinan, waktu tunggu (waiting time) mempunyai fungsi kepadatan peluang f(x)=αe−αxf(x)=αe−αx, untuk α>0α>0 pada selang [0,∞][0,∞]. Buktikan bahwa



Pembahasan: Untuk menyelesaikan bagian (a), misalkan αx=mαx=m maka α dx=dmα dx=dm. Kemudian ubahlan batas pengintegralan yang mana ketika x=0→m=0x=0→m=0 dan x=∞→m=∞x=∞→m=∞. Dengan demikian, kita peroleh



Sesuai fungsi gamma di mana



maka



Jadi, terbukti bahwa ∫∞0f(x) dx=1∫0∞f(x) dx=1 Untuk menyelesaiankan bagian (b), kita terapkan cara yang hampir sama. Misalkan αx=mαx=m maka



Kemudian ubahlan batas pengintegralan yang mana ketika x=0→m=0x=0→m=0 dan x=∞→m=∞x=∞→m=∞. Dengan demikian, kita peroleh



Jadi, terbukti bahwa ∫∞0xf(x) dx=1α∫0∞xf(x) dx=1α.