Fungsi Pembangkit (Biasa Dan Eksponen) [PDF]

Citation preview

FUNGSI PEMBANGKIT (GENERATING FUNCTION) 1.1. Pendahuluan Pada bagian ini anda akan mempelajari sebuah materi penting dalam kombinatorik yang disebut fungsi pembangkit (generating function). Metode fungsi pembangkit ini berakar dari karya De Mavre tahun 1720, kemudian dikembangkan oleh Euler dalam tahun 1748 untuk memecahkan masalah partisi. Selanjutnya mulai awal abad ke 19, akhirnya secara intensif dipakai oleh Laplace sehubungan dengan teori Probabilitas. Teori fungsi pembangkit ini didasarkan pada kajian aritmetika polinomial yang sederhana. Namun demikian, teori ini memberikan suatu pendekatan yang utuh untuk menjawab berbagai persoalan dalam kehidupan sehari-hari. Di sini anda nantinya akan



dapat



mempelajari



tentang



kesederhanaan



fungsi



pembangkit



yang



penggunaannya dalam kombinatorik. Sebelum membahas teori fungsi pembangkit ini lebih lanjut, kiranya perlu diperkenalkan terlebih dahulu mengenai beberapa deret kuasa (power series) penting termasuk barisan yang akan menunjang pembahasan selanjutnya. Tidak seperti biasanya pada mata kuliah ini barisan yang dimaksudkan mempunyai domain bukan pada Bilangan Asli, tetapi Bilangan Bulat Non Negatif (Non-negative Integer). Mengingat materi yang akan anda pelajari pada bagian ini merupakan landasan utama dalam mempelajari materi yang menyangkut kombinatorik (Counting) berikutnya, maka pemahaman yang baik tentang materi yang disajikan di sini merupakan langkah yang tepat dan mutlak harus dikuasai. Untuk itu anda harus sungguh-sungguh dalam mempelajarinya. Pelajari dan pahamilah definisi serta preposisi-preposisi yang ada. Akhirnya, tidak kalah penting pula adalah pemahaman anda terhadap ekspansi deret suatu fungsi yang ada serta upayakan pengembangannya lebih lanjut. Diskusikan dengan teman anda mengenai pola atau formula/prinsip-prinsip dari ekspansi suatu deret fungsi yang disajikan. Setelah mempelajari materi pada bagian ini, anda diharapkan dapat : 1) membedakan antara deret dan barisan Matematika Diskrit – Ade Mirza



3



2) menyatakan deret suatu fungsi dengan menggunakan notasi sigma 3) membuat ekspansi dari suatu fungsi f(x) yang didasarkan pada ekspansi MacLaurin/deret Taylor untuk x = 0 4) membedakan antara fungsi pembangkit biasa (FPB) dan fungsi pembangkit eksponensial (FPE) 5) menentukan fungsi pembangkit biasa dari suatu barisan 6) menentukan fungsi pembangkit eksponensial dari suatu barisan 7) menentukan barisan dari suatu fungsi pembangkit biasa 8) menentukan barisan dari suatu fungsi pembangkit eksponensial 9) membuktikan beberapa sifat dari suatu fungsi pembangkit



1.2. Uraian Materi 1.2.1 Deret Kuasa Pada perkuliahan kalkulus (buku-buku kalkulus), banyak dibahas mengenai deret-deret yang terdiri dari konstanta-konstanta yang berbentuk



∑ un



, dengan un



adalah sebuah bilangan. Demikian pula halnya dengan deret yang berbentuk deret suatu fungsi. Deret yang berbentuk fungsi ini secara umum dapat ditulis sebagai



∑ un



(x). Deret fungsi yang berbentuk



∑ un



(x) ini dikenal dengan deret kuasa



(power series). Contoh deret kuasa dalam x, adalah sebagai berikut : ~



∑ a n x n= a0 + a 1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + a4 x 4 + .. .



n=0



Perhatikan bahwa aoxo dianggap sebagai ao, demikian pula apabila x = 0. Apabila deret kuasa tersebut dapat dijumlahkan, misalkan S(x) maka kita dapat menuliskannya menjadi : ~



S(x) =



∑ a n x n= a0 + a 1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + a4 x 4 + .. .



n=0



Matematika Diskrit – Ade Mirza



4



Apabila x berada dalam suatu selang, maka akan dapat diperoleh turunannya yakni : ~



~ n



S’ (x) =



∑ D x (a n x )= ∑ n an x n−1



n=0



n=1



= a1 + 2a2x + 3a3x2 + 4a4x3 + … Selanjutnya, perlu diingat kembali ekspansi Maclaurin pada fungsi f(x) atau ekspansi deret Taylor pada f(x) untuk x = 0. Ekspansi tersebut mempunyai bentuk : ~



f(x)



=



∑ n1! f (n ) (0 ) x n ,



n = 0,1,2,3, …



n=0



1 = f(0) + f’ (0)x + 2 !



1 f”(0) x2 + 3 !



f(3) (0) x3 + …



Dengan menggunakan formula tersebut, maka dapat diperoleh suatu formula untuk suatu fungsi f(x). Misalkan untuk f(x) = ex f(x) = ex



f(0) = e0 = 1



====>



f’(x) = ex



====>



f”(x) = ex



f’(0) = e0 = 1 f”(0) = e0 = 1



====>



f(3)(x) = ex



f(3)(0) = e0 = 1



====>



f(4)(x) = ex



f(4)(0) = e0 = 1



====>



……………………………………………….. f(n)(x) = ex



f(n)(0) = e0 = 1



====>



Jadi diperoleh :



1 1 f(x) = ex = 1 + 1.x + 1 . 2 ! x2 + 1 . 3 ! x3 + … 1 1 = 1 + x + 2 ! x2 + 3 ! x3 + …



atau dapat juga ditulis sebagai berikut.



~



ex =



∑ n1! x n = 1 + x + 21! x 2 + 31! x3 + . . .



, |x| < ~



n=0



Matematika Diskrit – Ade Mirza



5



Demikian pula untuk fungsi yang lain, dapat dibuat suatu formula dengan menggunakan cara yang sama. Dari formula tersebut, dapat diperoleh beberapa ekspansi deret fungsi yang penting dan banyak digunakan di sini adalah sebagai berikut. Rumus ekspansi 1.1 : ~



x



(1)



e =



∑ n1! x n



,



n=o



|x|