Himpunan Bilangan Rasional & Irasional [PDF]

Citation preview

HIMPUNAN BILANGAN RASIONAL DAN HIMPUNAN BILANGAN IRASIONAL Himpunan Bilangan Rasional a. Bilangan Pecahan Perhatikan persamaan bx = a, dimana a dan b bilangan-bilangan bulat serta b ≠ 0. Persamaan ini akan mempunyai penyelesaian : (a) Suatu bilangan bulat c, apabila b merupakan factor dari a (b) Suatu bilangan pecahan, apabila b bukan merupakan faktor dari bilangan a. Definisi 4.1 : Bilangan pecahan adalah bilangan yang merupakan penyelesaian dari persamaan bx = a, dimana: (1) a dan b bilangan-bilangan bulat (2) b tidak sama dengan nol (3) b bukan faktor dari a Definisi 4.2 : Suatu pecahan adalah suatu lambing bilangan yang terdiri dari pasangan bilangan bulat a dan b (b ≠ 0) yang merupakan penyelesaian dari persamaan bx=a, yang dituliskan sebagai: a atau a/b, atau a:b b Bilangan pecahan ini sudah dikenal sejak zaman mesir kuno dan zaman messopotamia (khususnya dalam zaman babylonia). Pecahan terdiri dari: (1) pecahan murni : 0 0 (3) a/b . e/f >a/d . e/f, apabila e/f < 0 contoh : 2/3 < 7/8, maka : (1) 2/3 + ¼ -7/32



Sifat 4.32 : Transitif Urutan Apabila a/b < c/d dan c/d < e/f, dimana b, d, dan f lebih besar dari nol, maka a/b < e/f. Bukti : B > 0, d > 0, dan f> o



(diketahui)



a/b < c/d dan c/d < e/f



(diketahui)



maka : ad 1 , dan b bilangan cacah, maka akar hitung a dari b adalah suatu bilangan c yang lebih besar dari atau sama dengan nol, dimana pangkat ke a nya sama dengan b, dituliskan : Vba = c, dimana ca = b. Bilangan a dinamakan eksponen akar, dan b dinamakan bilangan pokok. Operasi bilangan menetapkan akar dari suatu bilangan, dinamakan “menarik” akar bilangan tersebut. Contoh : (1) V25 = 5, maka 52 = 25 Definisi 5.2 :



Suatu akar pangkat dua dari suatu bilangan n, dilambangkan dengan Vn, adalah satu dari dua faktor yang hasil perkaliannya adalah n. Contoh : (1) V9 = 3, karena 3X3 = 9 (2) V144 = 12, karena 12X12 = 144 Akar-akar suatu bilangan yang mempunyai eksponen yang sama, dinamakan akar-akar yang senama, sedangkan akar-akar bilangan yang mempunyai bilangan pokok dan eksponen yang sama, dinamakan akar-akar sejenis. Contoh – contoh : (1) Akar-akar senama : √ 5, √ 13, √ 124, dan √ 10 (2) Akar-akar sejenis : √ 3, 2√ 3, 15√ 3, dan a√ 3 Akar-akar yang sejenis dapat dijumlahkan atau dikurangkan, hingga terjadi satu akar, misalnya : √ 3 + 2 √ 3 + 5√ 3 = 8√ 3 Sifat 5.1 : sifat-sifat penarikan akar Apabila a = 0, maka √ a = 0 Apabila a bilangan asli dan n = 0, maka : 0√a tidak didefinisikan. √a.b = √a . √b bc √a = √ a c √ a = a b.c bc √a = √c a bc √a = cb√ a (√ a)c = √ a a a √ (9) c = √c a/b √b (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)



B. Bilangan Irasional Diketahui bahwa bilangan irasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan biasa a/b, a dan b bilangan-bilangan bulat dan b ≠ 0, atau dalam bentuk pecahan desimal terbatas atau tak terbatas berulang. Definisi 5.3 : Bilangan irasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan deimal, tetapi tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan biasa a/b, dimana a dan b bilangan-bilangan bulat dan b ≠ 0. Contoh-contoh :



(1) Bilangan 0,13113111311113......... adalah karena pecahan desimal ini pecahan desimal tak terhingga, tetapi tidak terulang. (2) Akar-akar atau penyelesaian dari persamaan seperti x2 – 2 = 0, x2-5 = 0 dan x2-2x-5 = 0, adalah bilangan-bilangan irasional yang dinyatkan masing-masingnya dengan V2, V5, dan 1 + V6. Misal kita ambil √ 2, yaitu salah satu dari akar-akar persamaan kuadrat x2 – 2 = 0. Cara berikut ini akan membuktikan nilai aproksimal dari √ 2 dan sekaligus memperlihatkan bahwa V2 adalah bilangan irasional: Karena 12 > 2, dan 22 = 4 < 2, maka √ 2 terletak antara 1 dan 2. Kita bagi interval antara 1 dan 2 menjadi 10 interval yang sama. Diketahui bahwa √ 2 trletak antara intervalinterval keempat dan kelima, jadi : (1+ 4/10) < √ 2 < (1+ 5/10). Selanjutnya dibagi lagi interval antara 1,4 dan 1,5 atau sepuluh bagian yang sama besar, maka √ 2 akan terletak antara interval kedua dan interval ketiga, atau (1 + 4/10 + 1/100) < √ 2< (1 + 4/10 + 2/100). Kalau proses ini dilanjutkan sampai tak terhingga kali maka : a0 + a1 (1/10) + a2(1/10) + … + an(1/10)n < √2 < a0 + a1(1/10) + a2(1/10) + … + (an + 1)(1/10)n …(1) Dari (1) terlihat bahwa makinsering dilakukan proses ini akan menghasilkan nilai aproksimal yang makin mendekati nilai V2 yang sebenarnya. Komputasi penentuan nilai aproksimasi V2ini sebagai berikut : 12 = 1 < 2 < 4 = 22, jadi 1 < √2 < 2 (1,4)2 = 1,96 < 2 < 2,25 = (1,5)2, jadi 1,4 < √2 < 1,5 (1,41)2 = 1,9881 < 2 < 2,0164 = (1,42)2, jadi 1,41 < √2 < 1,42 (1,414)2 = 1,999396 < 2 < 2,002225 = (1,415)2, jadi 1,414 < √2 < 1,415 (1,4142)2 = 1,99996164 < 2 < 2,00024449 = (1,4143)2, jadi 1,4142 < √2 < 1,4143 Proses ini dapat dilanjutkan untuk menentukan berapa desimal dibelakang koma yang diinginkan. Tetapi walaupun proses in dilanjutkan sampai tak terhingga sekalipun, namun kita tidak akan pernah memperoleh desimal yang berulang. Jadi dapat disimpulkan bahwa V2 bukanlah bilangan rasional, melainkan irasional. Secara matematika, pembuktian V2 ini adalah bilangan irasional dilakukan dengan menggunakan metoda “Pembuktian Euclid”.



C. Menentukan Nilai Aproksimasi Akar Pangkat Dua. Menarik akar pangkat dua suatu bilangan rasional n (n > 0), menghasilkan suatu bilangan rasional pula, apabila bilangan itu merupakan suatu kuadrat dari bilangan rasional. Apabila n bukan merupakan kuadrat dari suatu biangan rasional, maka hasil enarikan akarnya



bukan bilangan rasional, melainkan bilangan irrasional..menentukan nilai aproksimasi akar pangkat dua bilangan rasional, dapat dilakukan dengan 3 cara. Sakah satunya cara yang digunakan dalam menentuksn nilai aproksimasi V2, yang telah dibahas sebelumnya, cara kedua dan ketiga berikut ini : 2. Cara kedua, cara ini sering digunakan dalam menentukan akar pangkat dua suatu bilangan. Misalkan, menentukan nilai aproksimasi √5 , maka : √5



= 2,23606…



2 x 2 = 4 __ _ 100 42 x 2 = _ 84 __ _ 1600 443 x 3 = 1329__ _ 27100 4466 x 6 = 26796__ _ 30400 44720 x 0 = ____0__ _ 3040000 447206 x 6 = 2683236__ _ 35676400 .......... ......... Cara ini dapat diteruskan sampai akhirnya diperoleh nilai a aproksimasi dari √5 yang mendekati nilai V5 yang sebenarnya. 3. Cara ketiga, atau dikenal dengan Metode Rata-Rata, dilakukan sebagai berikut : 1) Pilihlah sembarang bilangan yang kuadratnya mendekati bilangan yang ingin dicari nilai aproksimasi akar pangkat duanya. Tidak penting apakah bilangan itu lebih besar atau lebih kecil dari akar pangkat dua bilangan yang dicari. 2) Bagilah bilangan yang ingin dicari akar pangkat duanya itu dengan bilangan yang dipilih tadi. 3) Jumlahkanlah hasil pembagian tersebut dengan bilangan yang dipilih tadi, kemudian dibagi dua. 4) Hasil dari 3) merupakan nilai aproksimasi yang mendekati harga yang ingin kita cari. Apabila ingin mendapatkan nilai aproksimasi yang lebih mendekati nilai aproksimasi yang sebenarnya, lakukanlah cara ini berulang-ulang. D. Sifat –Sifat Bilangan Irasional Semua sifat-sifat bilangan asli, bilangan cacah, dan bilangan bulat juga berlaku untuk bilangan irasional, dengan mengganti perkataan bilangan asli, bilangan, cacah, serta bilangan bulat menjadi bilangan irasional, sifat-sifat tersebut adalah : 1. Sifat Tertutup Penjumlahan



2. Sifat Komutatif Penjumlahan dan Komutatif Perkalian 3. Sifat Assosiatif Penjumlahan dan Assosiatif Perkalian 4. Sifat Distributif Perkalian atas Penjumlahan dan Distrbutif Perkalian atas Pengurangan 5. Sifat Konselasi Penjumlahan dan Konselasi Perkalian 6. Identitas Penjumlahan dan Identitas Perkalian 7. Sifat Invers Penjumlahan 8. Hokum Trikotomi 9. Transitif Urutan 10. Sifat 3.8 dan Sifat 3.9 pada Bilangan Bulat Sifat 5.1 : Sifat Tertutup Sifat Tertutup Pengurangan : Apabila a dan b adalah bilangan-bilangan irasional, a ≠ b, maka a - b adalah bilangan rasional. Bilangan irasional tidak tertutup terhadap operrasi perkalian dan pembagian, karena perkalian dan pembagian dua bilangan irrsasional tidak selalu menghasilkan bilangan irasional. Sifat 5.2 : Sifat Distributif Apabila a, b, dan c adalah bilangan-bilangan irasional, maka : (1) (a + b) : c = (a : c) + (b : c) (2) (a - b) : c = (a : c) - (b : c) Sifat 5.3 : Sifat Konselasi Apabila a, b, dan c adalah bilangan-bilangan irasional, dan : (1) a - c = b – c, maka a = b (2) a : c = b : c, maka a = b Sifat 5.4 : Perkalian dengan Nol Apabila a adalah bilangan irasional, maka : a . 0 = 0 . a = 0 Sifat 5.5 : Sifat Invers Invers Perkalian : Apabila a adalah bilangan irasional, maka terdapat bilangan irasional, maka terdapat bilangan irasional lainnya 1/a, sedemikian sehingga a . 1/a = 1.