![Jawaban Analisis Real 2.2 [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/jawaban-analisis-real-22.jpg)
9 0 2 MB
Latihan untuk Subbagian 2.2 1.
Jika (a) | |
2. 3. 4. 5. 6.
| | | | | jika dan hanya jika Jika , maka berlaku | | | | | | Jika dan , berlaku jika dan hanya jika | | | jika dan hanya jika | Jika dan , maka | Carilah semua yang memenuhi pertidaksamaan | | (a) | (b) | | | | Carilah semua yang memenuhi persamaan | Carilah semua yang memenuhi pertidaksamaan | | | | (a) | (b) | | | | | | | Buatlah sketsa grafik persamaan | | | | Carilah semua yang memenuhi pertidaksamaan | | Carilah semua yang memenuhi pertidaksamaan | dan sekaligus | Tentukan dan gambarlah sketsa himpunan pasangan berurutan di yang memenuhi: (a) | | | | (b) | | | | (c) | | | | (d) | | | | Tentukan dan gambarlah sketsa himpunan pasangan berurutan di yang memenuhi: | | | | | | | | (a) (b) (c) | | | | (d) | | | | Misalkan dan , dan . Tunjukkan bahwa dan merupakan lingkungan- dari , untuk suatu Tunjukkan bahwa jika dan , maka terdapat lingkungandari dan dari sedemikian hingga Tunjukkan bahwa jika , maka (a) m { } | | dan min{ } | | } min{min{ } } (b) min{ Tunjukkan jika m k “nil i teng h” d l h } min{m { } m { } m { }} mid{
7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.
17.
, dan √
. maka berlaku:
(b) | |
| | | |
Pembahasan 1.
(a)
(b)
misalkan sebarang. | | | | Kita tahu jika , maka kita dapatkan | | | | | | Dan jika , maka kita peroleh | | | | Dan hal ini mengakibatkan √ Sekarang perhatikan untuk , kita tahu bahwa atau Jika , maka . Sebagai akibatnya | | | | Kemudian, jika
, maka
. Sebagai akibatnya | |
Sekarang, karena setiap kemungkinan nilai peroleh | |
|
|
| | | |
| |
| | | |
( )
berlaku bahwa | |
.
. .
| | | |
, selanjutnya kita
| |
Q.E.D.
2.
| | | | |. ( ) Anggap | | | | | | | | | | | || |. Dan selanjutnya Kita peroleh | | |. Dan hal ini berarti | |. kita peroleh Dari definisi nilai mutlak, kita tahu bahwa ( Sekarang, anggap bahwa . Maka terdapat tiga kemungkinan, yakni: dan © Copyright 2011 Supaat Creative Design. All rights reserved. This document can be distributed for non-commercial purposed only.
,
3.
4.
5.
6.
7.
8.
atau dan , atau dan . | | | | | | | | | | |. Perhatikan bahwa jika dan , maka | Kemudian, jika dan , kita tahu bahwa . Selanjutnya kita dapatkan | | | | | |. Dan terakhir, jika dan , kita tahu bahwa . | | | | |. Selanjutnya, kita peroleh | | | | | | Dari semua kemungkinan tersebut, kita dapat simpulkan bahwa | Q.E.D. ( Anggap . Kita tahu bahwa dan . Selanjutnya perhatikan | | | | | | bahwa | dan | . Dan hal ini mengakibatkan | | | | | | | | | | | | | |. ( ) Sekarang anggap bahwa Andaikan tidak benar . Hal ini berarti atau . Jika , maka . Hal ini berarti dan . Selanjutnya perhatikan | | | | | bahwa | ( ) . Akan tetapi hal ini | tidak benar, mengingat bahwa dan sementara kita tahu bahwa | . Jadi pengandaian tidak benar. Kemudian jika , maka . Hal ini berarti dan . Selanjutnya | | | | | perhatikan bahwa | . Akan tetapi hal | ini juga tidak benar karena , padahal kita tahu | . Jadi pengandaian bahwa tidak benar. Dari dua kemungkinan tersebut, kita tahu bahwa tidak benar bahwa atau . Sehingga haruslah . Q.E.D. | Kita tahu bahwa berlaku | jika dan hanya jika – . Perhatikan bahwa jika – , maka dan jika , maka . Dan dua hal ini ekivalen dengan Q.E.D. Misalkan dan . Menurut sifat trikotomi bilangan real, kita tahu bahwa atau atau . | Jika , maka . Sehingga kita peroleh | . Kemudian karena , | maka . Dan dua hal ini mengakibatkan | . Sekarang anggap . Selanjutnya kita peroleh . Dan hal ini mengakibatkan | | | . Namun hal ini ekivalen dengan | . Terakhir, jika . Selanjutnya kita peroleh . dan sebagai akibatnya kita peroleh | | | . namun hal ini juga ekivalen dengan | . Q.E.D. | (a) | jika dan hanya jika . Selanjutnya kita peroleh bahwa . Dan hal ini mengakibatkan | (b) | jika dan hanya jika dan . Hal ini mengakibatkan dan . Karena untuk semua , maka selalu benar untuk semua . Selanjutnya tugas kita tinggal mencari yang memenuhi . Kita tahu jika dan hanya jika | | . Dan hal ini berarti . | | | Terdapat tiga kemungkinan yang memenuhi | , yakni untuk kasus (i) , (ii) dan (iii) (i) Untuk , kita peroleh dan . selanjutnya, kita tahu bahwa | | | | dipenuhi oleh (ii) Untuk , kita peroleh dan . Selanjutnya, hal ini tidak | | | mungkin mengingat | . (iii) Untuk , kita peroleh dan . Selanjutnya, kita tahu bahwa | | | | dipenuhi oleh | | | Dari tiga kasus tersebut kita simpulkan bahwa | dipenuhi oleh atau (a)
Kita tahu bahwa |
|
|
| jika dan hanya jika
dan hal ini
© Copyright 2011 Supaat Creative Design. All rights reserved. This document can be distributed for non-commercial purposed only.
mengakibatkan . Selanjutnya kita peroleh . Dan hal ini dipenuhi oleh . | | | | | | jika dan hanya jika (b) Kita tahu bahwa . Dan hal ini ekivalen dengan atau dengan kata lain 9. Nilai-nilai akan sangat tergantung pada tiga selang berikut: (i) Selang | | | | Untuk , selanjutnya kita peroleh (ii) Selang Untuk , kita tahu bahwa dan . Selanjutnya, hal ini mengakibatkan | | | | ( ) (iii) Selang | | Untuk , kita tahu bahwa . Dan hal ini mengakibatkan bahwa | | ( ) | | | | berupa: Dari ketiga kasus tersebut, kita bisa simpulkan bahwa grafik (i) Garis pada selang (ii) Garis pada selang (iii) Garis pada selang | | | | 10. Terdapat tiga kemungkinan nilai-nilai yang memenuhi , yakni: (i) Untuk , kita tahu bahwa dan . Selanjutnya, kita dapat tuliskan | | | | . Dan hal ini mengakibatkan atau ekivalen dengan (ii) Untuk , kita tahu bahwa dan . Selanjutnya hal ini tidak | | | | mungkin mengingat ( ) | | (iii) Untuk , kita tahu bahwa dan . Dan hal ini berarti | | ( ) atau dengan kata lain . Dan hal ini mengakibatkan . Dan hal ini dipenuhi oleh | | | | Dari tiga kemungkinan tersebut kita tahu bahwa memiliki solusi atau | 11. (i) Perhatikan bahwa | jika dan hanya jika . Dan hal ini ekivalen | dengan . Dan hal ini berarti bahwa | dipenuhi oleh . (ii) Selanjutnya, perhatikan bahwa untuk , kita tahu bahwa . Dan hal ini | mengakibatkan | . Dan hal ini ekivalen dengan . | Kemudian jika , kita tahu bahwa . Kemudian | . Dan hal ini ekivalen dengan . Dari semua kemungkinan yang ada kita simpulkan bahwa nilai yang memenuhi | | adalah atau . Dan hal ini ekivalen dengan | | Dari (i) dan (ii), kita dapatkan nilai-nilai yang memenuhi | sekaligus | adalah | |. Dan hal ini berarti 12. (a) Perhatikan bahwa jika , kita dapatkan untuk dan untuk . | |. Dan hal ini berarti Kemudian, jika , kita dapatkan | | untuk dan untuk . | (b) Untuk dan . Kita peroleh | | | . Untuk dan . Kita peroleh | | | | . | | | | Untuk dan . Kita peroleh Untuk dan . Kita peroleh | | | | . (c) Untuk dan . Kita peroleh | | atau ekivalen dengan Untuk
dan
. Kita peroleh |
|
atau ekivalen dengan
Untuk
dan
. Kita peroleh |
|
atau ekivalen dengan
© Copyright 2011 Supaat Creative Design. All rights reserved. This document can be distributed for non-commercial purposed only.
(d)
. Kita peroleh | | , maka | | | | dan , maka | | | |
Untuk Untuk Untuk
dan
Untuk
dan
, maka | |
Untuk 14. (i)
(ii)
|
, jika dipilih
memenuhi | |
|
|
|
dapatkan mengakibatkan terjadi. Sekarang anggap
|
atau dengan ekivalen dengan
| |
atau ekivalen dengan
, maka
dan |
|
| |
|
|
, maka berlaku |
|
dan |
|
|
|
|
|
atau ekivalen dengan
|
|
|
|
. Hal ini mengakibatkan
|
. . . min{
},
dan
yang
, karena jika seandainya ada
|
|
| |
|
, jika dipilih
memenuhi | |
|
| |
dan
| |
Misal . Untuk sebarang dan . Jika , pilih , sehingga kita peroleh Jika , pilih , sehingga diperoleh Jika , pilih , sehingga diperoleh Secara umum, untuk setiap dan yang diberikan, pilih sedemikian hingga berlaku . Dengan cara yang sama kita bisa tunjukkan bahwa untuk setiap diberikan kita bisa memilih m { }, sedemikian sehingga
15. Anggap dan
, maka | |
atau ekivalen dengan atau ekivalen dengan atau ekivalen dengan
|
|
|
|
|
|
. Selanjutnya, kita
| | |. kemudian, hal ini . Dan hal ini tidak mungkin pernah
, maka
, karena andaikan ada
|
|
|
|
|
. Hal ini mengakibatkan
|
, maka berlaku |
|
|
|
. Selanjutnya, kita
|
| | | |. kemudian, hal ini dapatkan atau ekivalen dengan mengakibatkan . Dan hal ini tidak mungkin pernah terjadi. | | Dari kedua kemungkinan tersebut, maka dapat disimpulkan jika , ada sedemikian hingga . Q.E.D. 16. (a) Anggap | | , maka m { } dan |
|
( |
maka kita peroleh | maka | (b)
|
(
|
|
|
)
min{
}. Kemudian, jika
|
m { )
min{
} dan
}. terakhir, jika m { min{
, ,
} dan
}.
Q.E.D. } Anggap , kita tahu bahwa min{ . Selanjutnya, jika , maka kita peroleh } { } }. Dan jika min{ min{ } min{ , maka kita peroleh } { } }. min{ min{ } min{ } Sekarang, anggap , kita tahu bahwa min{ . selanjutnya, jika , maka kita } { } }. Dan jika peroleh bahwa min{ min{ } min{ , maka kita } { } }. peroleh min{ min{ } min{
© Copyright 2011 Supaat Creative Design. All rights reserved. This document can be distributed for non-commercial purposed only.
17. Jika Jika Jika Jika Jika Jika
} } } } } }
, maka mid{ , maka mid{ , maka mid{ , maka mid{ , maka mid{ { , maka
Lampiran grafik. 3.
|𝑥 |𝑥
𝑎
|𝑦
𝑥
{ { { { { {
} } } } } }
{ { { { { {
} } } } } }
{ { { { { {
𝑧|
𝑦
4.
min{ min{ min{ min{ min{ min{
𝑧|
𝑦|
𝑥
} } } } } }
min{ min{ min{ min{ min{ min{
Q.E.D. }}. }}. }}. }}. }}. }}. Q.E.D.
𝑧
|𝑎
𝑏|
|𝑥
𝑦|
𝑦
𝑏
9.
© Copyright 2011 Supaat Creative Design. All rights reserved. This document can be distributed for non-commercial purposed only.
12.A.
12b
12c
© Copyright 2011 Supaat Creative Design. All rights reserved. This document can be distributed for non-commercial purposed only.
12d
13A
© Copyright 2011 Supaat Creative Design. All rights reserved. This document can be distributed for non-commercial purposed only.
13b
13c
© Copyright 2011 Supaat Creative Design. All rights reserved. This document can be distributed for non-commercial purposed only.
13d
© Copyright 2011 Supaat Creative Design. All rights reserved. This document can be distributed for non-commercial purposed only.
