Jawaban Analisis Real 2.3 [PDF]

Citation preview

Pembahasan 2.3



1.



* + Misalkan Bukti : BATAS BAWAH Karena x  0, x  S1 maka menurut definisi adalah salah satu batas bawah dari S1 . Akan ditunjukkan 0  inf S1 . Misalkan t sebarang batas bawah S1 , akan ditunjukkan t  0 . Andaikan t  0 , karena 0  S1 berarti t bukan batas bawah S1 . Kontradiksi dengan t batas bawah S1 . Pengandaian t  0 salah. Jadi t  0 . adalah salah satu batas bawah dari S1 , t sebarang batas bawah S1 sehingga t  0 maka menurut definisi 0  inf S1 . BATAS ATAS Fakta : 1>0, berarti u 1  u . Andaikan u adalah batas atas S1 , berarti s  u, s  S1 . u  1  S1 dan u adalah batas atas S1 maka u 1  u . Kontradiksi dengan fakta u 1  u . Pengandaian u adalah batas atas S1 salah. Jadi S1 tidak memiliki batas atas.



2.



Misalkan * Bukti : BATAS BAWAH Karena x  0, x  S 2 .



+.



Andaikan 0 bukan batas bawah dari S 2 berarti s  S 2 sehingga s  0 . s  0 berarti s  S 2 . Kontradiksi dengan s  S 2 . Jadi pengandaian 0 bukan batas bawah dari S 2 salah. Jadi 0 batas bawah dari S 2 . Akan ditunjukkan 0  inf S2 . Misalkan t sebarang batas bawah S 2 , akan ditunjukkan t  0 . t Andaikan t  0 , berarti t   0 . 2 t t   0 berarti t bukan batas bawah S 2 . 2 Kontradiksi dengan t batas bawah S 2 . Pengandaian t  0 salah. Jadi t  0 . adalah salah satu batas bawah dari S 2 , t sebarang batas bawah S 2 sehingga t  0 maka menurut definisi 0  inf S2 . BATAS ATAS Fakta : 1>0, berarti u 1  u . Andaikan u adalah batas atas S 2 , berarti s  u, s  S2 .



u  1  S 2 dan u adalah batas atas S 2 maka u 1  u . Kontradiksi dengan fakta u 1  u . Pengandaian u adalah batas atas S 2 salah.



Jadi S 2 tidak memiliki batas atas karena S 2 tidak memiliki batas atas, maka S 2 tidak memiliki supremum. 3.



Misalkan * +. Bukti: Akan dibuktikan sup S3  1 1 > 0 menurut Teorema 2.1.8 b Untuk setiap n  N , berlaku n  0 menurut Teorema 2.1.8 c. 1 > 0, 1 N , n  0 untuk setiap n  N maka 0  1  n . 1 Sehingga 0   1, n  N . n 1 1   1,   S3 berarti adalah batas atas dari S 3 . n n Sekarang untuk setiap kita tahu bahwa mungkin saja



atau 0



.



1 Misalkan   0 , berarti 1    1   S  S3 . 1 1 Jadi S   S3 sehingga 1    S 1 1 1 adalah batas atas S 3 dan untuk setiap   0 S   S3 sehingga 1    S , maka menurut 1 lemma 2.3.4. sup S3  1 1 1   0,   S3 n n Andaikan 0 bukan batas bawah dari S 3 , berarti s  S3 sehingga s  0 . s  0 berarti s  S3 . Kontradiksi dengan s  S3 . Jadi pengandaian 0 bukan batas bawah dari S 3 salah. Jadi 0 batas bawah dari S 3 . Akan ditunjukkan 0  inf S3 . Misalkan t sebarang batas bawah S 3 , akan ditunjukkan t  0 . t Andaikan t  0 , berarti t   0 . 2 t t   0 berarti t bukan batas bawah S 3 . 2 Kontradiksi dengan t batas bawah S 3 . Pengandaian t  0 salah. Jadi t  0 . adalah salah satu batas bawah dari S 3 , t sebarang batas bawah S 3 sehingga t  0 maka menurut definisi 0  inf S3 .



4.



 1   1n  1  n , n genap S 4 : 1  : n  N  :  n   1  1 , n ganjil  n Akan ditunjukkan 2 = sup S 4



i.



Untuk n genap berlaku



 1



n



 1  0 , sehingga 1 



n



 1



1 1 2 n



n n n n 1 1   1 n ii. Untuk ganjil berlaku  0 , sehingga 1   1  2 n n n S Dari i)dan ii) maka 2 adalah batas atas 4 . 11 Misalkan   0 , berarti 2    2   S  S4 . 1 11 Jadi S   S4 sehingga 2    S . 1 11 2 adalah batas atas S 4 dan untuk setiap   0 S   S4 sehingga 2    S , maka menurut 1 lemma 2.3.4. sup S 4  2



Akan ditunjukkan



1 = inf S 4 2



 1



 1  1  1 1 i. Untuk n genap berlaku  0 , sehingga  1  n 2 n n n n  1  0 , sehingga 1  1  1   1  1  1 ii. Untuk n ganjil berlaku n 2 n n 1 Dari i)dan ii) maka adalah batas bawah S 4 . 2 1 Misalkan t sebarang batas bawah S 4 , akan ditunjukkan t  . 2 1 1 Andaikan t  , karena  S4 berarti t bukan batas bawah S 4 . 2 2 Kontradiksi dengan t batas bawah S 4 . 1 Pengandaian t  salah. 2 1 Jadi t  . 2 1 1 adalah salah satu batas bawah dari S 4 , t sebarang batas bawah S 4 sehingga t  maka 2 2 1 menurut definisi  inf S4 . 2 1. 5. S  , S  R, u batas atas S Buktikan inf S   sups : s  S Bukti :



n



n



Misalkan v  inf S maka adit v  sups : s  S  sup S ' v  inf S , berarti, i) v batas bawah S dan, ii) sebarang t batas bawah S berlaku t  v . i) v batas bawah S , berarti v  s, s  S karena -1