12 0 286 KB
Pembahasan 2.3
1.
* + Misalkan Bukti : BATAS BAWAH Karena x 0, x S1 maka menurut definisi adalah salah satu batas bawah dari S1 . Akan ditunjukkan 0 inf S1 . Misalkan t sebarang batas bawah S1 , akan ditunjukkan t 0 . Andaikan t 0 , karena 0 S1 berarti t bukan batas bawah S1 . Kontradiksi dengan t batas bawah S1 . Pengandaian t 0 salah. Jadi t 0 . adalah salah satu batas bawah dari S1 , t sebarang batas bawah S1 sehingga t 0 maka menurut definisi 0 inf S1 . BATAS ATAS Fakta : 1>0, berarti u 1 u . Andaikan u adalah batas atas S1 , berarti s u, s S1 . u 1 S1 dan u adalah batas atas S1 maka u 1 u . Kontradiksi dengan fakta u 1 u . Pengandaian u adalah batas atas S1 salah. Jadi S1 tidak memiliki batas atas.
2.
Misalkan * Bukti : BATAS BAWAH Karena x 0, x S 2 .
+.
Andaikan 0 bukan batas bawah dari S 2 berarti s S 2 sehingga s 0 . s 0 berarti s S 2 . Kontradiksi dengan s S 2 . Jadi pengandaian 0 bukan batas bawah dari S 2 salah. Jadi 0 batas bawah dari S 2 . Akan ditunjukkan 0 inf S2 . Misalkan t sebarang batas bawah S 2 , akan ditunjukkan t 0 . t Andaikan t 0 , berarti t 0 . 2 t t 0 berarti t bukan batas bawah S 2 . 2 Kontradiksi dengan t batas bawah S 2 . Pengandaian t 0 salah. Jadi t 0 . adalah salah satu batas bawah dari S 2 , t sebarang batas bawah S 2 sehingga t 0 maka menurut definisi 0 inf S2 . BATAS ATAS Fakta : 1>0, berarti u 1 u . Andaikan u adalah batas atas S 2 , berarti s u, s S2 .
u 1 S 2 dan u adalah batas atas S 2 maka u 1 u . Kontradiksi dengan fakta u 1 u . Pengandaian u adalah batas atas S 2 salah.
Jadi S 2 tidak memiliki batas atas karena S 2 tidak memiliki batas atas, maka S 2 tidak memiliki supremum. 3.
Misalkan * +. Bukti: Akan dibuktikan sup S3 1 1 > 0 menurut Teorema 2.1.8 b Untuk setiap n N , berlaku n 0 menurut Teorema 2.1.8 c. 1 > 0, 1 N , n 0 untuk setiap n N maka 0 1 n . 1 Sehingga 0 1, n N . n 1 1 1, S3 berarti adalah batas atas dari S 3 . n n Sekarang untuk setiap kita tahu bahwa mungkin saja
atau 0
.
1 Misalkan 0 , berarti 1 1 S S3 . 1 1 Jadi S S3 sehingga 1 S 1 1 1 adalah batas atas S 3 dan untuk setiap 0 S S3 sehingga 1 S , maka menurut 1 lemma 2.3.4. sup S3 1 1 1 0, S3 n n Andaikan 0 bukan batas bawah dari S 3 , berarti s S3 sehingga s 0 . s 0 berarti s S3 . Kontradiksi dengan s S3 . Jadi pengandaian 0 bukan batas bawah dari S 3 salah. Jadi 0 batas bawah dari S 3 . Akan ditunjukkan 0 inf S3 . Misalkan t sebarang batas bawah S 3 , akan ditunjukkan t 0 . t Andaikan t 0 , berarti t 0 . 2 t t 0 berarti t bukan batas bawah S 3 . 2 Kontradiksi dengan t batas bawah S 3 . Pengandaian t 0 salah. Jadi t 0 . adalah salah satu batas bawah dari S 3 , t sebarang batas bawah S 3 sehingga t 0 maka menurut definisi 0 inf S3 .
4.
1 1n 1 n , n genap S 4 : 1 : n N : n 1 1 , n ganjil n Akan ditunjukkan 2 = sup S 4
i.
Untuk n genap berlaku
1
n
1 0 , sehingga 1
n
1
1 1 2 n
n n n n 1 1 1 n ii. Untuk ganjil berlaku 0 , sehingga 1 1 2 n n n S Dari i)dan ii) maka 2 adalah batas atas 4 . 11 Misalkan 0 , berarti 2 2 S S4 . 1 11 Jadi S S4 sehingga 2 S . 1 11 2 adalah batas atas S 4 dan untuk setiap 0 S S4 sehingga 2 S , maka menurut 1 lemma 2.3.4. sup S 4 2
Akan ditunjukkan
1 = inf S 4 2
1
1 1 1 1 i. Untuk n genap berlaku 0 , sehingga 1 n 2 n n n n 1 0 , sehingga 1 1 1 1 1 1 ii. Untuk n ganjil berlaku n 2 n n 1 Dari i)dan ii) maka adalah batas bawah S 4 . 2 1 Misalkan t sebarang batas bawah S 4 , akan ditunjukkan t . 2 1 1 Andaikan t , karena S4 berarti t bukan batas bawah S 4 . 2 2 Kontradiksi dengan t batas bawah S 4 . 1 Pengandaian t salah. 2 1 Jadi t . 2 1 1 adalah salah satu batas bawah dari S 4 , t sebarang batas bawah S 4 sehingga t maka 2 2 1 menurut definisi inf S4 . 2 1. 5. S , S R, u batas atas S Buktikan inf S sups : s S Bukti :
n
n
Misalkan v inf S maka adit v sups : s S sup S ' v inf S , berarti, i) v batas bawah S dan, ii) sebarang t batas bawah S berlaku t v . i) v batas bawah S , berarti v s, s S karena -1