Jurus 16 - Limit Fungsi [PDF]

Citation preview

Jurus 16 Limit fungsi Apa yang harus dipelajari? Kompetensi Memahami konsep limit dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri, serta mampu menerapkannya dalam pemecahan masalah.



Indikator Menghitung nilai limit fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.



1. Limit fungsi aljabar a. Limit x mendekati n  Subtitusi langsung lim 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑛 = 𝑎 atau lim 𝑔 𝑥 = 𝑔 𝑛 = 𝑏 𝑥→𝑛



lim



𝑓(𝑥)



𝑥→𝑛 𝑔(𝑥)



𝑓(𝑛 )



=



𝑔(𝑛 )



𝑥→𝑛



𝑎



=



𝑏



Contoh : Tentukan limit fungsi-fungsi berikut ini : 1. lim 𝑥 3 + 3𝑥 2 − 11𝑥 + 2 𝑥→−2 𝑥 3 −1



2. lim



𝑥→0 𝑥+1



Penyelesaian : 1. lim 𝑥 3 + 3𝑥 2 − 11𝑥 + 2 = (−2)3 + 3. (−2)2 − 11. −2 + 2 𝑥→−2



= −8 + 12 + 22 + 2 = 28 2. lim



𝑥 3 −1



𝑥→0 𝑥+1



=



03 − 1 0+1



= −1  lim



𝑓(𝑥)



𝑥→𝑛 𝑔(𝑥)



=



𝑓(𝑛 ) 𝑔(𝑛 )



0



= , diselesaikan dengan cara : 0



1) Difaktorkan Contoh : Tentukan limit fungsi-fungsi berikut ini : 1. lim



𝑥 2 −1



𝑥→−1 𝑥+1 𝑥 2 +2𝑥−3



2. lim



𝑥→1



𝑥−1



Penyelesaian : 1. lim



𝑥 2 −1



𝑥→−1 𝑥+1



= lim



𝑥+1 (𝑥−1)



𝑥→−1



2. lim



(𝑥+1)



𝑥→1



𝑥 2 +2𝑥−3 𝑥−1



= lim



𝑥+3 (𝑥−1)



𝑥→1



(𝑥−1)



= lim (𝑥 − 1)



= lim (𝑥 + 3)



= −1 − 1 = −2



=1+3 =4



𝑥→−1



𝑥→1



167



2) Jika penyebut atau pembilang berbentuk akar, maka dikalikan dengan sekawannya. Contoh : Tentukan limit fungsi-fungsi berikut ini : 𝑥−1 1. lim 𝑥→1



2. lim



𝑥−1 𝑥−2



𝑥→2 𝑥−2



Penyelesaian : 1. lim



𝑥→1



𝑥−1 𝑥−1



𝑥−1



= lim



𝑥−1



𝑥→1



𝑥+1



x



𝑥+1



𝑥−1 ( 𝑥+1)



= lim



𝑥→1



𝑥



2



Ingat : 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏 2



−12



𝑥−1 ( 𝑥+1)



= lim



(𝑥−1)



𝑥→1



= lim ( 𝑥 + 1) 𝑥→1



= 1+1 =2 2. lim



𝑥−2



𝑥→4 𝑥−4



𝑥−2



= lim



𝑥→4 𝑥−4 𝑥



= lim



x 2



𝑥+2 𝑥+2



Ingat : 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏 2



−22



𝑥+2 𝑥→4 𝑥−4 𝑥−4



= lim



𝑥→4 𝑥−4 1



= lim



𝑥+2



𝑥→4 1



= = =



𝑥+2



4+2 1 2+2 1 4



3) Dalil L’Hospital, yaitu penyebut dan pembilangnya diturunkan. Sekilas tentang konsep turunan, jika diketahui fungsi sebagai berikut :  𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 𝑛 → 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑛. 𝑎𝑥 𝑛−1  𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 → 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑎  𝑓 𝑥 = 𝑐 → 𝑓′ 𝑥 = 0 𝑓 𝑥 = 3𝑥 2 − 2𝑥 + 1 → 𝑓 ′ 𝑥 = 6𝑥 − 2 Contoh : 1. lim



𝑥→−5



𝑥 2 −25 𝑥+5



2𝑥



= lim =



𝑥→−1 1 2.5



Bandingkan dengan menggunakan pemfaktoran, apakah hasilnya sama?



1



= 10 2. lim



𝑥 3 −8



𝑥→2 𝑥 2 +𝑥−6



= lim



3𝑥 2



𝑥→2 2𝑥+1



= =



3.22 2.2+1 12 5



168



Latihan 1 Ini Soalnya 1. Tentukan nilai dari limit fungsi-fungsi berikut ini : 𝑥−4 a. lim =⋯



Mana Coretanmu?



𝑥→2 3−𝑥



b. lim



𝑥→2



c. lim



𝑥→2



d. lim



𝑥→2



e. lim



𝑥→3



𝑥 2 −5𝑥+6 𝑥 2 −4 𝑥 3 −4𝑥 𝑥−2 2 𝑥 2 −4



=⋯



=⋯ −



3 𝑥 2 +2𝑥−8



𝑥 2 +3𝑥−18 𝑥 3 −3𝑥



=⋯



=⋯



2. Tentukan nilai dari limit fungsi-fungsi berikut ini : a. lim



𝑥−3



𝑥→9 𝑥−9



b. lim



=⋯



𝑥2



𝑥→0 1− 1+𝑥 2



c. lim



2𝑥 2 −5𝑥



𝑥→0 3− 9+𝑥



=⋯



=⋯



d. lim



3𝑥−4− 𝑥



e. lim



𝑥 2 +5−3



𝑥→2



𝑥→2



𝑥−2



𝑥 2 −2𝑥



=⋯



=⋯



169



b. Limit x mendekati ∞  lim



𝑎𝑥 𝑚 +𝑏𝑥 𝑚 −1 +⋯



=⋯



𝑥→∞ 𝑝𝑥 𝑛 +𝑞𝑥 𝑛 −1 +⋯



Contoh : Tentukan nilai limit fungsi berikut ini : 8𝑥+1 1. lim =⋯ 𝑥→∞ 2𝑥+5



2. lim



−4𝑥 2 +7



𝑥→∞ 2𝑥 2 +𝑥 𝑥



3. lim



𝑥→∞



4. lim



𝑥→∞



5. lim



𝑥→∞



=⋯



𝑥 2 −𝑥−2



=⋯



𝑥+1 2𝑥 2 −3𝑥−1 𝑥 3 +2𝑥 2 𝑥 2 +3



=⋯



=⋯



Penyelesaian : 1. lim



8𝑥+1



𝑥→∞ 2𝑥+5



x



1 𝑥 1 𝑥



= lim



𝑥→∞



=



1 𝑥 5 2+ 𝑥



8+



8+0 2+0



=4 2. lim



−4𝑥 2 +7



𝑥→∞ 2𝑥 2 +𝑥



x



1 𝑥2 1 𝑥2



7



= lim



−4+ 2 𝑥 1 𝑥



2+



𝑥→∞



=



−4+0



Ingat : 1 Kalikan dengan 𝑛 , dimana n adalah 𝑥 pangkat terbesar.



2+0



= −2 3. lim



𝑥→∞



𝑥 𝑥 2 −𝑥−2



x



1 𝑥 1 𝑥2



1



= lim



1



𝑥→∞



2



1− − 2 𝑥 𝑥



1



=



Trik : 𝑎  Jika m=n, maka hasilnya adalah



1−0−0



=1 4. lim



𝑥+1



𝑥→∞ 2𝑥 2 −3𝑥−1



x



1 𝑥2 1 𝑥2



= lim



𝑥→∞



=



𝑝



1 1 + 𝑥 𝑥2 3 1 2− − 2 𝑥 𝑥



 Jika m>n, maka hasilnya adalah ±∞  Jika mp, maka hasilnya adalah ∞  Jika ap, maka hasilnya adalah ∞  Jika a