Kalkulus Peubah Banyak Revisi [PDF]

Citation preview

KALKULUS PEUBAH BANYAK ( Nilai Maksimum dan Minimum, Nilai Ekstrem Bersyarat dan Tidak Bersyarat ) Makalah Ini Disusun Guna Memenuhi Tugas Kalkulus Peubah Banyak Oleh : Desi Novalisa



(0305161049)



Dyan Wulandari Putri (0305162083) Riani Alkhasannah



(0305161029)



Rizki Hariani



(0305161018)



Dosen Pembimbing : Rika JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUMATERA UTARA MEDAN 2017



KATA PENGANTAR Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas pertolongan-Nya, sehingga pada kesempatan ini kami dapat menyelesaikan makalah mata kuliah Kalkulus Peubah Banyak ini, tanpa pertolongan-Nya, makalah ini tidak akan bisa kami selesaikan dengan baik. Makalah ini kami susun untuk melengkapi tugas terstruktur mata kuliah Kalkulus Peubah Banyak. Shalawat serta salam kami haturkan kepada junjungan alam nabi Muhammad SAW yang telah membawa umat nya dari zaman jahiliyah menuju zaman yang penuh dengan ilmu dan pengetahuan.Selanjutnya kami berterimakasih kepada dosen mata kuliah Kalkulus Peubah Banyak Ibu



yang telah membimbing serta memberitahukan informasi tentang



makalah ini. Kami menyadari makalah ini jauh dari kesempurnaan, oleh sebab itu kami sangat mengharapkan kritik dan saran demi memperbaiki makalah ini.



Medan, November 2017



Penulis



DAFTAR ISI Kata Pengantar........................................................................................................... Daftar Isi..................................................................................................................... Bab I Pendahuluan A



Latar Belakang....................................................................................................



B



Rumusan Masalah...............................................................................................



C



Manfaat dan Tujuan............................................................................................



Bab II Pembahasan A



Nilai Maksimum dan Minimum.......................................................................... a. Defenisi.......................................................................................................... b. Teorema.......................................................................................................... c. Contoh............................................................................................................



B



Nilai Ekstrem Bersyarat dan Tidak Bersyarat.....................................................



Bab III Penutup A



Kesimpulan.........................................................................................................



Daftar Pustaka............................................................................................................



BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG Kalkulus



(Bahasa



Latin:



Calculus



,



artinya



m e n g h i t u n g ) a d a l a h c a b a n g   i l m u matematika integral,



"batu



kecil",



untuk



yang mencakup limit, turunan,



d a n deret tak terhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan,



sebagaimana



geometri adalah



ilmu



mengenai bentuk dan aljabar adalah



ilmu



mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta a p l i k a s i n y a . Turunan merupakan salah satu bagian dari kalkulus yang mempunyai peranan yang sangat besar baik dalam bidang–bidang lain maupun dalam matematika itu sendiri. Dengan mempelajari turunan, maka dapat mempermudah kita dalam menyelesaikan masalah–masalah yang berkaitan dengan fungsi, integral dan bidang kalkulus lainnya. Turunan juga dapat d i g u n a k a n



untuk



dapat menggambarkan



grafik



suatu



f u n g s i a l j a b a r y a i t u d e n g a n menggunakan penerapannya. Untuk menentukan turunan suatu fungsi biasanya digunakan konsep limit.



B. RUMUSAN MASALAH 1. Bagaimana Konsep Nilai Maksimum dan Nilai Minimum? 2. Bagaimana Konsep Nilai Ekstrim Setara dan Nilai Ekstrim Tidak Setara? C. MANFAAT DAN TUJUAN 1. Mengetahui Bagaimana Konsep Nilai Maksimum dan Nilai Minimum 2. Mengetahui Bagaimana Konsep Nilai Ekstrim Setara dan Nilai Ekstrim Tidak Setara



BAB II PEMBAHASAN A. Nilai Maksimum dan Minimum a. Defenisi Misalkan f suatu fungsi dengan daerah asal S dan misalkan pula po titik didalam S. a) Setiap fungsi f(x,y) memiliki minimum lokal pada titik (a,b) bila f(x,y) ≥ f(a,b) untuk setiap titik (x,y) dalam daerah sekitar (a,b). b) Setiap fungsi f(x,y) memiliki minimum lokal pada titik (a,b) bila f(x,y) ≤ f(a,b) untuk setiap titik (x,y) dalam daerah sekitar (a,b). Defenisi ini menyatakan bahwa minimum lokal adalah bukan nilai terkecil dan fungsi tapi terkecil pada daerah bersebelahan, artinya untuk titik sekitar (a,b) nilai titik tetangga.1 Titik kritis : Titik (a,b) adalah titik kritis dari f(x,y) bila salah satu kondisi dari 2 syarat dibawah berlaku, 1. ∇ f (a,b) = 0 atau fx (a,b) = 0 dan fy = (a,b) = 0 2. Fx = (a,b) dan/atau fy = (a,b) tidak ada Note : tidak semua titik kritis adalah titik ekstrem lokal, tapi semua titik ekstrem lokal adalah titik kritis.



b. Teorema Jika f memiliki maksimum lokal atau minimum lokal di (a,b) dan turunan parsial pertama dari f ada, maka fx(a,b)=0 dan fy(a,b)=0. Titik (a,b) disebut titik kritis dari f apabila fx(a,b)=0 dan fy(a,b)=0, atau apabila salah satu dari fx dan fy tidak ada. c. Contoh Temukan klasifikasi titik kritis: F(x,y) = 3x2y+y3-3x2-3y2+2 Solusi : 1



Terjemahkan I Nyoman Susila,dkk., cet.4, (Jakarta: Erlangga, 1989), hal.266



Turunan pertama dan kedua f(x,y) adalah : fx = 6xy – 6x



fy = 3x2 + 3y2 – 6y



fxx = 6y – 6



fyy = 6y – 6



fxy = 6x



untuk mendapatkan titik kritis, kondisi berikut : 6xy – 6x = 0 3x2 + 3y2 – 6y = 0 Pemecahan masalah diatas adalah sbb : 6x (y-1) = 0 Jadi x = 0 atau y = 1 *untuk x = 0: 3x2 + 3y2 – 6y = 0 3y2 – 6y = 3y(y - 2) = 0 dan hasilnya y = 0, y = 2 *untuk y = 1: 3x2 + 3y2 – 6y = 0 3x2 – 3 = 0 = 3 (x2 - 1) dan hasilnya x = -1, x = 1 Jadi, untuk x = 0 kita mendapat titik kritis (0,0) (0,2) Jadi, untuk y = 1 kita dapatkan titik kritis (1,1) (-1,1) Untuk menentukan jenis titik kritis, kita menghitung D. D(x,y) = (6y - 6)(6y - 6)-(6x)2 = (6y - 6)2 – 36x2 *untuk (0,0): D = D=(0,0) = 36 > 0



fxx (0,0) = -6 < 0



*untuk (0,2): D = D (0,2) = 36 > 0



fxx (0,2) = 6 > 0



*untuk (1,1): D = D(1,1) = -36 < 0 *untuk (-1,1): D = D(-1,1) = -36 < 0 Sehingga dapat disimpulkan untuk titik-titik kritis, jenisnya adalah : (0,0) : max lokal (0,2) : min lokal (1,1) : titik pelana (-1,1): titik pelana



B. Nilai Ekstrem Bersyarat dan Tidak Bersyarat



BAB III



PENUTUP DAFTAR PUSTAKA Susila, I Nyoman,dkk.,(terjemahan), cet.4, Jakarta: Erlangga, 1989