UAS Kalkulus Peubah Banyak - Nur Atika Arsyad (2191000210023) [PDF]

Citation preview

Nama : NUR ATIKA ARSYAD NPM



: 2191000210023



Prodi



: Pendidkan Matematika 2019 A



Tugas : UAS Kalkulus Peubah Banyak ( Rangkuman )



RANGKUMAN SISTEM KOORDINAT



(KELOMPOK 1)



Sistem koordinat adalah suatu sistem yang menggunakan satu atau lebih bilangan,atau sistem koordinat adalah suatu cara atau metode untuk menentukan letak suatu titik dalam grafik Ada beberapa macam sistem koordinat: a. Sistem koordinat cartesius Koordinat kartesius sering disebut dengan koordinat persegi. Koordinat cartesius digunakan untuk menentukan tiap tititk dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa di sebut koordinat x dan koordinat y dari titik tersebut. Untuk mendeskripsikan suatu titik tertentu dalam sistem koordinat dua dimensi, nilai x di tulis absis, lalu di ikuti dengan nilai y di tlulis ordinat.



Suatu titik P dapat dinyatakan sebagai pasangan berurut P(x,y)



X : jarak titik A terhadap sumbu-y Y : jarak titik A terhadap sumbu-x



Sistem koordinat cartesius dibawa terdapaat empat titik yang di tandai : (2,3) titik hijau, (-3,1) titik merah, (-1.5,-2.5) titik biru, dan (0,0) titik asal yang berwarna ungu.



Sistem koordinat cartesian 3 dimensi dan berpusat di 0 dan memiliki sumbu x, y, dan z.



b.



Koordinat kutub Sistem koordinat polar (sistem koordinat kutub) dalam matematika adalah suatu sistem koordinat 2-dimensi di mana setiap titik pada bidang ditentukan dengan jarak dari suatu titik yang telah ditetapkan dan suatu sudut dari suatu arah yang telah ditetapkan.



Suatu titik A dapat dinyatakansebagai pasangan berurut A(r,α) r : jarak titik A terhadap titik asal O (0,0) α : besar sudut antara sumbu-x (x positif) terhadap garis OA c. Hubungan koordinat cartesius dan koordinat kutub



Cos α = Sin α = 1. Jika diketahui koordinat kutub (r,α) : Maka : x = r. cos α Y = r. Sin α 2. Jika diketahui koordinat cartesius (x,y) : Maka : r = 𝑥 + 𝑦 Tan α =



Contoh soal : 1. Diketahui koordinat cartesius dengan titik A (4,4 dan tan α! Penyelesaian : Titik A (4,4√3 )



r=



) Tentukan jarak



r= r= r= 8 tan α tan α



= tan α



=√3 α = 60 Jadi Titik A (4,4√3 ) adalah A (8,60 2. Diketahui koordinat kutub dengan titik A(12,150 ).tentukan nilai x dan y! Penyelesaian : Titik A(12,150 ) 𝑥 = 𝑟. cos 𝛼 = 12. 𝑐𝑜𝑠150 = 12. −𝑐𝑜𝑠30



𝑥 = −6√3 𝑦 = 𝑟. sin 𝛼 = 12. sin 150 = 12. sin 30 = 12. 𝑦=6



d. Sistem Koordinat Bola Sistem koordinat bola adalah sistem koordinat untuk ruang tiga dimensi dimana suatu posisi suatu titik ditentukan oleh tiga angka dari jarak radial titik tersebut dari titik asal tetap dan nilai sudut kutub tersebut yang diukur dari arah puncak yang tetap dan ketika sudut azimut tersebut dari hasil proyeksi ortogonal pada bidang referensi yang melewati asal dan ortogonal untuk zenit.



Sistem koordinat bola (r,𝜃, 𝜑) Keterangan : r: jarak radial θ :sudut (theta) ϕ : azimuthal (phi)



d. Sistem koordinat tabung Dalam koordinat tabung terdapat tiga titik koordinat yaitu P (r,θ,Z) Maka di peroleh: 𝑥+ 𝑦= 𝑟 X= r cos θ Y=r sin θ Z=z



d. Sistem koordinat geografi Yaitu digunakan untuk menunjukan suatu titik dibumi berdasarkan garis lintang dan garir bujur. Garis litang yaitu garis horizontal yang mengukur sudut antara suatu titik dengan garis katulistiwa.garis bujur yaitu garis fertikal yang mengukur sudut antara suatu titik dengan titik nol



FUNGSI PEUBAH BANYAK (KELOMPOK 2)



I.



Definisi funngsi peubah banyak Fungsi dapat berbentuk fungsi eksplisit dan fungsi implisit. Fungsi eksplisit dinyatakan dalam



bentuk 𝑦 = 𝑓(𝑥). Sedangkan fungsi implisit dinyatakan dalam bentuk 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0. Contoh : Fungsi 2𝑦 − 𝑥 = 8 merupakan bentuk implisit, juga dapat dituliskan menjadi 𝑦 = 𝑥



+8



sebagai 2 bentuK eksplisit. Berbeda dengan fungsi eksplisit yang secara langsung dapat diubah menjadi fungsi implisit. Fungsi implisit tidak semuanya dapat diubah menjadi fungsi eksplisit. Sehingga dapat disimpulkan bahwa “Setiap fungsi eksplisit dapat diubah menjadi fungsi implisit. Akan tetapi ada fungsi implisit yang tidak dapat diubah menjadi fungsi eksplisit.” Adapun, fungsi 2𝑦 − 𝑥 = 8 merupakan fungsi sederhana yang hanya terdiri dari satu variabel terikat dan satu variabel bebas. Lantas apa yang dimaksud dengan fungsi peubah banyak? Perhatikan fungsi di bawah ini? 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 + 2𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦² Jika dimisalkan 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) maka kedua fungsi diatas dapat dinyatakan sebagai 𝑧 = 3𝑥 + 2𝑦 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦² Kedua fungsi tersebut merupakan contoh fungsi peubah banyak. Perhatikan bahwa fungsi tersebut memetakan (𝑥, 𝑦) pada tepat satu 𝑧. Jadi setiap (𝑥, 𝑦) akan dipasangkan pada tepat satu 𝑧. Jadi dapat didefinisikan,



Fungsi dua peubah 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) merupakan fungsi yang memetakan setiap (𝑥, 𝑦) pada tepat satu 𝑧, dimana peubah 𝑥 dan 𝑦 merupakan peubah bebas sedangkan 𝑧 merupakan peubah terikat. Demikian pula dengan fungsi tiga peubah, misalnya 𝑥, 𝑦, dan 𝑧. Selanjutnya dapat didefinisikan fungsi empat peubah, bahkan fungsi 𝑛 peubah dengan memperhatikan banyak peubah bebas dalam fungsi tersebut. Sebagai contoh dari fungsi dua/tiga peubah sebagai berikut: 1. Fungsi dua peubah 𝑓 merupakan fungsi dari 2 variabel(peubah) 𝑥 dan dan 𝑦



𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦



𝑥, 𝑦; 𝑓(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ



2. Fungsi tiga peubah Volume silinder (𝑉) sebagai fungsi dari jari-jari(𝑟) dan tinggi(ℎ)



- 𝑉 = 𝜋𝑟1ℎ -



II.



𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧



𝑥, 𝑦; 𝑓(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ



Grafik Sebelum membahas grafik dari fungsi dua peubah atau lebih terlebih dahulu akan dibahas



domain dan range dari fungsi tersebut. Jika tidak dinyatakan secara khusus maka fungsi didefinisikan pada himpunan bilangan real. Sehingga fungsi bernilai real dari dua peubah real merupakan fungsi yang memasangkan setiap pasangan terurut (𝑥, 𝑦) pada daerah asal fungsi dengan bilangan real tunggal 𝑓(𝑥, 𝑦). Sebagai contoh:



1. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 6 − 2𝑥 − 3𝑦 Domain fungsi adalah {(𝑥, 𝑦) ∣ −∞ < 𝑥 < ∞, −∞ < 𝑦 < ∞}, yang berarti bahwa fungsi tersebut terdefinisi pada semua pasangan bilangan real (𝑥, 𝑦). Grafik domain fungsi ditunjukkan pada gambar di bawah ini.



1 . 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥√𝑦 Domain fungsi adalah {(𝑥, 𝑦) ∣ −∞ < 𝑥 < ∞, 𝑦 ≥ 0}Grafik domain fungsi ditunjukkan pada gambar di bawah ini.



Untuk menggambarkan grafik fungsi peubah banyak dapat dilakukan dengan menentukan titik potong grafik pada masing-masing sumbu pada sistem koordinat kartesius. Contohnya jika diketahui 𝑧 = 6 − 2𝑥 − 3𝑦 maka grafik dapat digambarkan sebagai berikut.



-



Jika 𝑥 = 0, 𝑦 = 0 maka 𝑧 = 6sehingga titik potong grafik pada sumbu-𝑧 adalah (0,0,6)



-



Jika 𝑥 = 0,𝑧 = 0 maka 𝑦 = 2 sehingga titik potong grafik pada sumbu-𝑦 adalah (0,2,0)



-



Jika 𝑦 = 0,𝑧 = 0 maka 𝑥 = 3 sehingga titik potong grafik pada sumbu-𝑥 adalah (3,0,0)



Jadi diperoleh grafik fungsi 𝑧 = 6 − 2𝑥 − 3𝑦 yang berupa bidang seperti pada gambar di bawah ini:



(Untuk grafik fungsi yang lebih rumit, dapat digunakan grafik computer)



TURUNAN PARSIAL FUNGSI PEUBAH BANYAK (KELOMPOK 3)



 TURUNAN PARSIAL FUNGSI PEUBAH BANYAK Ada dua macam dari turunan parsial fungsi peubah banyak, yaitu :



a. Turunan Parsial Fungsi Dua Peubah b. Turunan Parsial Fungsi Tiga Peubah Penjelasan



a. Turunan Parsial Fungsi Dua Peubah Misalkan 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) fungsi dua peubah dengan peubah bebas 𝑥 dan 𝑦. Turunan parsial pertama fungsi 𝑧 dibedakan menjadi dua, yaitu :



1. Turunan parsial pertama fungsi 𝑧 terhadap 𝑥 dinotasikan dengan



didefinisikan



sebagai



2. Turunan parsial pertama fungsi 𝑧 terhadap 𝑦 dinotasikan dengan



Contoh 𝜕𝑧



Diketahui 𝑧 = −2𝑥 + 3𝑦. Tentukan Jawab :



𝜕𝑧 1.



dan



didefenisikan sebagai



b. Turunan Parsial Fungsi Tiga Peubah Turunan parsial fungsi tiga peubah sama halnya dengan fungsi dua peubah—yang membedakan adalah jika fungsi dua peubah adalah 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) maka untuk fungsi tiga peubah adalah dimisalkan 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧). Turunan parsial dari fungsi 𝑤 dibedakan menjadi tiga, yaitu :



1. Turunan parsial pertama fungsi 𝑤 terhadap 𝑥 dinotasikan dengan didefinisikan sebagai



2. Turunan parsial pertama fungsi 𝑤 terhadap 𝑦 dinotasikan dengan



didefenisikan sebagai



3. Turunan parsial pertama fungsi 𝑤 terhadap 𝑧 dinotasikan dengan



didefenisikan sebagai



Menentukan turunan parsial bisa juga menggunakan cara sederhana sebagai berikut,



 Untuk turunan parsial fungsi dua peubah dimana 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚). Maka 1. Turunan parsial pertama fungsi 𝑧 terhadap 𝑥 yaitu



dimana 𝑥 berubah-ubah dan



𝑦 adalah konstan.



2. Turunan parsial pertama fungsi 𝑧 terhadap 𝑦 yaitu



dimana 𝑦 berubah-ubah dan 𝑥



adalah konstan.



 Untuk turunan parsial fungsi tiga peubah dimana 𝒘 = 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛). Maka 𝜕𝑤



1. Turunan parsial pertama fungsi 𝑤 terhadap 𝑥 yaitu



dimana 𝑥 berubah-ubah dan 𝜕𝑥



𝑦 𝑑𝑎𝑛 𝑧 adalah konstan. 𝜕𝑤



2. Turunan parsial pertama fungsi 𝑤 terhadap 𝑦 yaitu



dimana 𝑦 berubah-ubah dan 𝜕𝑦



𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑧 adalah konstan. 3. Turunan parsial pertama fungsi 𝑤 terhadap 𝑧 yaitu



dimana 𝑧 berubah-ubah dan



𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑦 adalah konstan.



Contoh 𝜕𝑧 𝜕𝑧 1.



Diketahui 𝑧 = −2𝑥 + 3𝑦. Tentukan dan Jawab : diperoleh dari turunan −2𝑥 dengan 𝑥 berubah-ubah dan 0



diperoleh dari turunan 3𝑦 dengan 𝑦 dianggap konstan) diperoleh dari turunan −2𝑥 dengan 𝑥 dianggap konstan dan 3 diperoleh dari turunan 3𝑦 dengan 𝑦 berubah-ubah)



2. Diketahui 𝑧 = sin 2𝑥 + cos 3𝑦. Tentukan Jawab : ( diperoleh dari turunan sin 2𝑥 dan 𝑦 dianggap konstan) (diperoleh dari turunan cos 3𝑦 dan 𝑥 dianggap konstan)



𝜕𝑧



3. Diketahui 𝑧 = 𝑥2𝑦3. Tentukan



dan



𝜕𝑧



Jawab : ( diperoleh dari turunan 𝑥2 dan 𝑦 dianggap konstan) (diperoleh dari turunan 𝑦3. dan 𝑥 dianggap konstan) 4. Diketahui 𝑧 = 𝑥2 sin 3𝑦. Tentukan



𝜕𝑧



dan



𝜕𝑧



𝜕𝑥 𝜕𝑦 Jawab :



Anggap 𝑧 = 𝑥2 sin 3𝑦 sebagai 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 sin 3𝑦 sehingga 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 diperoleh 𝑔(𝑥, 𝑦) = sin 3𝑦 diperoleh diperoleh



dan dan



Contoh dari nomor 4 merupakan Turunan Parsial Tingkat tinggi Penjelasan : Turunan parsial tingkat tinggi dapat diturunkan dari turunan parsial tingkat pertama.



 Untuk turunan parsial fungsi dua peubah adalah sebagai berikut, Turunan parsial pertama terhadap 𝑥 adalah Turunan parsial pertama terhadap 𝑦 adalah Maka turunan parsial kedua dari 𝑧 ada empat jenis turunan yaitu didefinisikan sebagai



didefinisikan sebagai didefinisikan sebagai didefinisikan sebagai Berdasarkan definisi di atas maka



menurunkan lagi terhadap 𝑦 atau )



terhadap 𝑥 atau )



)



diperoleh dengan



diperoleh dengan menurunkan lagi



diperoleh dengan menurunkan lagi



diperoleh dengan menurunkan lagi



terhadap 𝑥 atau



terhadap 𝑥 atau



)



 Untuk turunan parsial fungsi tiga peubah adalah sebagai berikut, Maka turunan parsial kedua dari 𝑤 yaitu



 Turunan total fungsi peubah banyak Misalkan



fungsi differentiable,



dimana x dan y merupakan



fungsi satu peubah t yang differentiable. Maka f(x,y) merupakan satu peubah sedemikian sehingga



Perhatikan bahwa x=x(t) dan y=y(t) dapat diturunkan terhadap t yaitu masing-masing sehingga diperoleh turunan total



Perbedaan antara



adalah



Keduanya merupakan turunan dari fungsi z tetapi



turunan fungsi z terhadap t dimana



merupakan



merupakan fungsi satu peubah t Sedangkan



masing-masing merupakan turunan parsial fungsi z masing-masing terhadap x dan y dimana



merupakan fungsi dua peubah yaitu



Dalam kasus lain, misalkan



dan



fungsi differentiable. Misalkan juga



dimana x dan y merupakan fungsi dua peubah r dan s yang differentiable sehingga dapat ditentukan



sehingga turunan total total



adalah



 Untuk turunan total untuk fungsi tiga peubah dapat diperoleh sebagai berikut. Turunan total



Turunan total



adalah



adalah



dan



DIFERENSIAL TOTAL DARI FUNGSI PEUBAH BANYAK (Kelompok 4)



Ingat kembali konsep differensial pada fungsi satu variabel 𝑦 = 𝑓(𝑥) suatu differensial 𝑑𝑥 terhadap variabel bebas didefinisikan sebagai : 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 Misalkan 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) merupakan fungsi dua peubah. Turunan parsial 𝑧 terhadap 𝑥 adalah : 𝜕𝑧



𝜕𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝜕𝑥



𝜕𝑥



Sedangkan turunan parsial 𝑧 terhadap 𝑦 adalah : 𝜕𝑧



𝜕𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝜕𝑦



𝜕𝑦 Perhatikan bahwa 𝑑𝑧 = jumlah



𝜕𝑧



𝑑𝑥 = 𝜕𝑓



𝜕𝑥



(𝑥,𝑦)



𝑑𝑥 dan 𝑑𝑧 =



𝜕𝑥



𝜕𝑧



𝑑𝑦 = 𝜕𝑓



𝜕𝑦



𝜕𝑦



differensialnya adalah : 𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)



𝜕𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 +



𝑑𝑦 𝜕𝑥



𝑑𝑦 Jadi, differensial total dari fungsi dua peubah adalah : 𝜕𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑧 =



𝜕𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥



𝑑𝑦 Contoh differensial total dari fungsi dua peubah : 1. 𝑧 = 𝑥3𝑦 + 𝑥2𝑦2 + 𝑥𝑦3 Ditanya : Tentukan fungsi dari 𝑑𝑧 Penyelesaian :



(𝑥,𝑦)



𝑑𝑦 . Sehingga



𝜕𝑧



= 3𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦2 + 𝑦3



(Diturunkan 𝑥 nya saja )



𝜕𝑥



𝜕𝑧3



+ 2𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦2 =𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝑑𝑧 =



( Diturunkan 𝑦 nya saja )



𝜕𝑧 𝑑𝑥 +



𝑑𝑦



𝜕𝑥 𝜕𝑦 2 𝑑𝑧 = (3𝑥 𝑦 + 2𝑥𝑦2 + 𝑦3)𝑑𝑥 + (𝑥3 + 2𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦2)𝑑𝑦 2. Tentukan luas persegi panjang yang mempunyai panjang 35,02 cm dan lebar 24,98 cm. Dekati dengan diferensial total ! Diketahui : Panjang = 35,02 Lebar = 24,98 Dimisalkan : Panjang (𝑥) Lebar (𝑦) Luas (L) Ditanya : Luas pendekatannya Penyelesaian : Luas Persegi Panjang = 𝑝 × 𝑙 𝐿 = 𝑥𝑦 𝜕𝐿 =𝑦



( diturunkan 𝑥 nya saja )



𝜕𝑥 𝜕𝐿 =𝑥



( diturunkan 𝑦 nya saja )



𝜕𝑦 𝜕𝐿 𝑑𝐿 =



𝜕𝐿 𝑑𝑥 +



𝜕𝑥



𝑑𝑦 𝜕𝑦



𝑑𝐿 = 𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦



𝑥 = 35 𝑐𝑚 , 𝑑𝑥 = 0,02 𝑐𝑚 , 𝑦 = 24 𝑐𝑚 , 𝑑𝑦 = 0,98 𝑐𝑚



𝐿 = 𝑥𝑦 𝐿 = 35 𝑐𝑚 × 24 𝑐𝑚 𝐿 = 840 𝑐𝑚2 𝑑𝐿 = 𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦



𝑑𝐿 = 24 𝑐𝑚 (0,02 𝑐𝑚) + 35 𝑐𝑚 (0,98) 𝑑𝐿 = 0,48 𝑐𝑚2 + 34,3 𝑐𝑚2 𝑑𝐿 = 34,78 𝑐𝑚2



Luas Pendekatannya = 𝐿 + 𝑑𝐿 = 840 𝑐𝑚2 + 34,78 𝑐𝑚2 = 874,78 𝑐𝑚2



Dengan cara yang sama seperti diferensial total dari fungsi dua peubah, maka dapat diperoleh differensial total dari fungsi tiga peubah 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) adalah 𝜕𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑤 =



𝜕𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥 +



𝜕𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑦 +



𝜕𝑧 Contoh : Diketahui 𝑤 = 𝑥2𝑦𝑧3 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥3𝑦2𝑧 Ditanya : Tentukan fungsi dari 𝑑𝑤 Penyelesaian :



𝜕𝑤



= 2𝑥𝑦𝑧3 + 𝑦𝑧 + 3𝑥2𝑦2𝑧



( diturunkan 𝑥 nya saja )



𝜕𝑥



𝜕𝑤 2



𝑧3 + 𝑥𝑧 + 2𝑥3𝑦𝑧



( diturunkan 𝑦 nya saja )



𝑑𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦



= 𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑤 2



𝜕𝑧



𝑦𝑧2 + 𝑥𝑦 + 𝑥3𝑦2 𝜕𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑤



𝑑𝑤 =



𝑑𝑥 + 𝜕𝑥



( diturunkan 𝑧 nya saja ) = 3𝑥



𝑑𝑦 + 𝜕𝑦



𝑑𝑧 𝜕𝑧



𝑑𝑤 = (2𝑥𝑦𝑧3 + 𝑦𝑧 + 3𝑥2𝑦2𝑧)𝑑𝑥 + (𝑥2𝑧3 + 𝑥𝑧 + 2𝑥3𝑦𝑧)𝑑𝑦 + (3𝑥2𝑦𝑧2 + 𝑥𝑦 + 𝑥3𝑦2)𝑑𝑧



ATURAN RANTAI PADA TURUNAN DARI FUNGSI PEUBAH BANYAK



( Kelompok 5)



 ATURAN RANTAI PADA TURUNAN DARI FUNGSI PEUBAH BANYAK 1. Definisi Aturan Rantai



Aturan rantai adalah aturan untuk mencari turunan fungsi komposisi. Misal𝐹 (𝑥) = (2𝑥 + 1)5, amati bahwa F berupa fungsi komposisi. Aturan rantai untuk fungsi-fungsi komposisi satu variable ialah sebagai berikut. Jika 𝑦 = 𝑓(𝑥(𝑡)) dengan f dan x merupakan fungsi yang terdefinisi dan dapat diturunkan, maka dalam notasi Leibniz dapat ditulis. 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = . 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 Atau dalam notasi aksennya ialah: (𝑓 ◦ 𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥) Contoh: 1) Jika 𝑦 = (2𝑥2 − 4𝑥 + 1)60, carilah 𝐷𝑥𝑦! (𝐷𝑥𝑦 adalah differensial dari y atau𝐹′(𝑥) dari 𝐹(𝑥). Penyelesaian:  Kita pikirkan 𝑦 sebagai pangkat ke-60 suatu fungsi x, yaitu 𝑦 = 𝑢60 dan 𝑢 = 2𝑥2 − 4 + 1  Fungsi sebelah luar 𝑓(𝑥) = 𝑢60 dan fungsi sebelah dalam adalah 𝑢 = 𝑔(𝑥) = 2𝑥2 − 4 + 1 𝐷𝑥𝑦 = 𝐷𝑥𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑢). 𝑔(𝑢) = (60𝑢59)(4𝑥 − 4) = 60(2𝑥2 − 4𝑥 + 1)59(4𝑥 − 4) 2) Jika 𝑦 = carilah 𝐷𝑥𝑦! Penyelesaian: Misal: 𝑢 = 2𝑥5 − 7 =𝑢 𝑦=𝑢



1 3



−3



𝐷𝑥𝑦 = 𝐷𝑥𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑢). 𝑔(𝑢) = (−3𝑢−4)(10𝑥4) = −𝑢43 . 10𝑥4 −30𝑥4



=



(25 − 7)4



Aturan Rantai Untuk Fungsi Dua Variabel Menurut Varberg, dkk (2007:265) ada dua versi aturan rantai untuk fungsi dua variable. Versi Pertama, jika 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) dengan x dan y adalah fungsi t, maka masuk akal untuk menanyakan 𝑑𝑧, dan seharusnya ada rumus 𝑑𝑡



untuknya.



Teorema A | Aturan Rantai Misalkan 𝑥 = 𝑥(𝑡) dan 𝑦 = 𝑦(𝑡) terdiferensiasikan di t dan misalkan 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) terdeferensiasikan di (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)). Maka 𝑧= 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) dapat dideferensiasikan di t dan 𝑑𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑥 𝜕𝑧 𝑑𝑦 = + 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑦 𝑑𝑡 Contoh: 1) Misalkan 𝑧 = 𝑥4𝑦, dengan 𝑥 = 2𝑡 dan 𝑦 = 𝑡3. Carilah 𝑑𝑥 ! 𝑑𝑡



Penyelesaian: 𝑑𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑥 𝜕𝑧 𝑑𝑦 = + 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑦 𝑑𝑡 = 4𝑥3𝑦(2) + 𝑥4(3𝑡2) = 8𝑥3𝑦 + 𝑥4(3𝑡2) = 8(2𝑡)3(𝑡3) + (2𝑡)43(𝑡3)2 = 8(8𝑡)3𝑡3 + 16𝑡4(3𝑡6) = 64𝑡6 + 48𝑡10 2) Misalkan 𝑤 = 𝑥2𝑦3, dengan 𝑥 = 𝑡3 dan 𝑦 = 𝑡2. Carilah 𝑑𝑤 ! 𝑑𝑡



Penyelesaian:



𝑑𝑤



𝜕𝑤 𝑑𝑥 =



𝑑𝑡



𝜕𝑤 𝑑𝑦 +



𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑦 𝑑𝑡 3 2 = (2𝑥𝑦 )(3𝑡 ) + (3𝑥2𝑦2)(2𝑡) = 6𝑥𝑦3𝑡2 + 6𝑥2𝑦2𝑡



= 6𝑡3(𝑡2)3𝑡2 + 6(𝑡3)2(𝑡2)2𝑡 = 6𝑡11 + 6𝑡11 = 12𝑡11



versi kedua misalkan bahwa 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) dengan 𝑥 = 𝑥(𝑠, 𝑡) dan 𝑦 = 𝑦(𝑠, 𝑡),maka masuk akal untuk menyatakan 𝜕𝑧 dan 𝜕𝑧. 𝜕𝑠



𝜕𝑡



Teorema B ∣Aturan Rantai Misalkan 𝑥 = 𝑥(𝑠, 𝑡) dan 𝑦 = 𝑦(𝑠, 𝑡) mempunyai turunan-turunan parsial pertama di (𝑠, 𝑡) dan misalkan 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) terdeferensiasikan di (𝑥(𝑠, 𝑡), 𝑦(𝑠, 𝑡)). Maka 𝑧 = 𝑓(𝑥(𝑠, 𝑡), 𝑦(𝑠, 𝑡) mempunyai turunan-turunan parsial pertama yang diberikan oleh: 1.



𝜕𝑧 = 𝜕𝑧 𝜕𝑥 + 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑠 𝜕𝑥 𝜕𝑠 𝜕𝑦 𝜕𝑡



2.



𝜕𝑧 = 𝜕𝑧 𝜕𝑥 + 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑡



𝜕𝑥 𝜕𝑡



𝜕𝑦 𝜕𝑡 Contoh:



1. Jika 𝑧 = 3𝑥2 − 𝑦2 dengan 𝑥 = 2𝑠 + 7𝑡 dan 𝑦 = 5𝑠𝑡. Carilah 𝜕𝑧 ,dan 𝜕𝑡



nyatakan dalam bentuk s dan t! Penyelesaian: 𝜕𝑧 = 𝜕𝑧 𝜕𝑥 + 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝑡



= (6𝑥)(7) + (−2𝑦)(5𝑠) = 42(2𝑠 + 7𝑡) − 10𝑠𝑡(5𝑠) = 84𝑠 + 294𝑡 − 50𝑠2



𝜕𝑠



2. Tentukan 𝜕𝑧 𝜕𝑡 𝑦 = 2𝑠 + 𝑡!



dan 𝜕𝑧 jika 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒𝑦 dengan 𝑥 = 2𝑠 − 𝑡 dan



Penyelesaian: a.



𝜕𝑧 = 𝜕𝑧 𝜕𝑥 + 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑠 𝜕𝑥 𝜕𝑠 𝜕𝑦 𝜕𝑠



= 𝑒𝑦(2) + 𝑥𝑒𝑦(2) = 2𝑒𝑦(1 + 𝑥) = 2𝑒2𝑠+𝑡(2𝑠 − 𝑡 + 1)



b.



𝜕𝑧 = 𝜕𝑧 𝜕𝑥 + 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝑡



= 𝑒𝑦(−1) + 𝑥𝑒𝑦(1) = 𝑒𝑦(𝑥 − 1) = 𝑒2𝑠+𝑡(2𝑠 − 𝑡 − 1)



Aturan Rantai Untuk Fungsi Tiga Variable Jika 𝑥 = 𝑥(𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑡), dan 𝑧 = 𝑧(𝑡) fungsi diferensial yang di 𝑡, dan 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧 diferensial di titik (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡), maka 𝑤 = 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)) diferensial di 𝑡 dan 𝑑𝑤



𝜕𝑤 𝑑𝑥



= 𝑑𝑡



𝜕𝑤 𝑑𝑦



+ 𝜕𝑥 𝑑𝑡



𝜕𝑤 𝑑𝑧



+ 𝜕𝑦 𝑑𝑡



𝜕𝑧 𝑑𝑡 Contoh:



1. Jika 𝑤 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 𝑥𝑦, dengan 𝑥 = 𝑠𝑡, 𝑦 = 𝑠 − 𝑡, dan 𝑧 = 𝑠 + 2𝑡, carilah 𝜕𝑤



!



𝜕𝑡



Penyelesaian: 𝑑𝑤



𝜕𝑤 𝑑𝑥



= 𝑑𝑡



𝜕𝑤 𝑑𝑦



+ 𝜕𝑥 𝑎𝑡



𝜕𝑤 𝑑𝑧



+ 𝜕𝑦 𝑎𝑡



𝜕𝑧 𝑑𝑡



= (2𝑥 + 𝑦)(𝑠) + (2𝑦 + 𝑥)(−1) + (2𝑧)(2) = (2𝑠𝑡 + 𝑠 − 𝑡)(𝑠) + (2𝑠 − 2𝑡 + 𝑠𝑡)(−1) + (2𝑠 + 4𝑡)2 = 2𝑠2𝑡 + 𝑠2 − 2𝑠𝑡 + 2𝑠 + 10𝑡



INTEGRAL LIPAT DUA DARI FUGSI PEUBAH BANYAK (Kelompok 6 )



 Integral lipat dua



1) Definisi integral lipat dua Misalkan z = f (x,y) terdefinisi padaa R merupakan suatu persegi panjang tertutup , yaitu : R : { (x,y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d }



Keterangan gambar diatas : 1. Bentuk partisipan [a,b] dan [c,d] menjadi n bagian 2. Pilih (𝑥̅𝑘,̅𝑦𝑘) pada setiap sub interval pada [𝑥𝑖, 𝑥𝑖−1] dan [𝑦𝑖, 𝑦𝑖−1] 3. Bentuk jumlah Riemann 𝑛



𝑛



∑ ∑ 𝑓(𝑥̅𝑘,̅𝑦𝑘) ∆ 𝐴𝑘 𝑖=1 𝑖=1



4. Jika 𝑛 → ∞(|𝑃| → 0)diperoleh limit jumlah Riemann 𝑛



𝑛



lim ∑ ∑ 𝑓(𝑥̅𝑘,̅𝑦𝑘) ∆𝐴𝑘 𝑛→∞ 𝑖−1 𝑖−1



Jika limit ada, maka z = f (x,y) terintegralkan Riemann pada R, ditulis 𝑛



𝑛



∬ 𝑓(𝑥̅𝑘,̅𝑦𝑘) dA = lim ∑ ∑ 𝑓(𝑥̅𝑘,̅𝑦𝑘) ∆𝐴𝑘 𝑛→∞ 𝑅



• Definisi integral lipat dua:



𝑖−1 𝑖−1



Misalkan 𝑓 suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R. Jika (𝑥̅𝑘,̅𝑦𝑘) ∆𝐴𝑘 ada , kita katakan 𝑓 dapat |𝑃|→0



diintegralkan pada R. Lebuh lanjut ∬𝑅 𝑓(𝑥, 𝑦) dA = ∬𝑅 𝑓(𝑥, 𝑦) dxdy yang disebut integral lipat dua 𝑓 pada R diberikan oleh: 𝑛 ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)dA = lim ∑ 𝑓(𝑥̅𝑘,̅𝑦𝑘) ∆𝐴𝑘 |𝑃|→0 𝑅 𝑖−1 atau



𝑅



|p



𝑖



• Arti geometri integral lipat dua Jika z = f (x,y) kontinu, z = f (x,y) 𝑅



pada pesegi anang R, maka



dA menyatakan volume benda padat yang terletak dibawah permuakan z



= f (x,y) dan diatas R. 2) Menghitung integral lipat dua Jika 𝑓 pada R, maka voume dapat dihitung dengan metode sejajar yaitu: I. Sejajar bisan XOZ



Diperoleh: 𝑑



𝑑



𝑏



𝑑 𝑏



𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑅



𝐶



𝐶



𝑎



Maka: 𝑑𝑏



𝐶𝑎



𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑅



II.



𝐶𝑎



Sejajar bidang YOZ



Diperoleh: 𝑑



𝑑



𝑏



𝑑𝑏



𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑅



𝐶



𝐶



𝑎



𝐶𝑎



Maka: 𝑑𝑏



𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑅



𝐶𝑎



Contoh soal : Hitung integral lipat dua berikut ini dA R



Dimana R : { (x,y) : 0



x



6, 0



y



4 } Jawab:



dydx



dx



dx



dx



3) Sifat Integral Lipat Dua Misalkan f(x,y) dan g(x,y) terdefinisi di persegipanjang R 1.



𝑅



𝑘 𝑓(𝑥, 𝑦)dA



=𝑘



2.



𝑅



𝑅



dA



=



𝑅 𝑅 𝑑𝐴



3.Jika R=𝑅1+𝑅2 , Maka =



𝑅=



𝑅



𝑅



𝑑𝐴



2. Jika f(x,y ) g(x,y), maka ∬𝑅 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 ≤ ∬𝑅 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 4)



Integral Lipat Dua atas Daerah Sembarang Ada dua tipe: • Tipe I D={(x,y)|a≤x≤b, p(x)≤y≤q(x)}



Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut: 𝑏 𝑞(𝑥)



∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∫ 𝐷



•



∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 𝑑𝑥



𝑎 𝑝(𝑥)



Tipe ll D ={(x,y)|r(y)≤x≤ s(y), c≤y≤d}



Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut: 𝑑 𝑠(𝑦)



∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∫ 𝐷



∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 𝑑𝑥



𝑐 𝑟(𝑦)



Aturan Integrasi • Urutan pengintegralan dalam integral lipat dua tergantung dari bentuk D (daerah integrasi). • Dalam perhitungannya,kadangkala kita perlu merubah urutan pengintegralan. Hal ini dapat disebabkan dengan perubahan urutan perintegralan akan memudahkan dalam proses integrasinya. • Oleh karena itu,langkah pertama kita harus dapat menggambarkan daerah integrasi, selanjutnya kita dapat merubah urutan integrasi dengan mengacu pada sketsa daerahintegrasi yang sama Contoh soal: Hitung ∬R (2y ex)dA, R dibatasi x=y2, y = 1, sumbu y F(x,y)=(2y ex), jadi y dibatasi oleh tiga kurva,



Penyelesaian:



R = {(x,y)|0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦2, 0 ≤y≤1} Maka: 1 𝑦2



∬ 𝑓(2y ex)𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑓(2y ex)𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑅



𝑦𝑒 𝑥



| 𝑑𝑦



𝑑𝑦



= 𝑒 − 1 − 1 = 𝑒 – 2vvv



5) integral lipat dua dalam koordinat polar a) Koordinat Polar



B) Persegi Panjang Dalam Koordinat Polar Definisi : Diberikan fungsi dalam koordinat kartesius 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), ditentukan sebuah persegi panjang 𝑅 sedemikian hingga 𝑓(𝑥, 𝑦) kontinu dan non-negatif. Persegi panjang ini biasanya berbentuk : 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∶ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏; 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑} Dalam koordinat polar persegi panjang tersebut dapat berbentuk 𝑅 = {(𝑟, 𝜃) ∶ 𝑎 ≤ 𝑟 ≤ 𝑏; 𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽} dengan 𝛼 ≥ 0; 𝛽 − 𝛼 ≤ 2𝜋 C) Volume Dalam Koordinat Polar Fungsi dalam koordinat kartesius 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) dapat dirubah bentuk menjadi fungsi koordinat polar yaitu 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑟 cos 𝜃, 𝑟 sin 𝜃) = 𝐹(𝑟, 𝜃). Volume benda pejal diatas persegi panjang R dan dibawah permukaan kurva bidang ditentukan dengan 𝑉 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 𝑅



Dalam koordinat polar volume tersebut dapat dirubah menjadi bentuk 𝑉 = ∬ 𝐹(𝑟, 𝜃)𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 D) Hubungan Volume Dalam Koordinat Kartesius dan Polar



Definisi : 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑟 cos 𝜃 , 𝑟 sin 𝜃) = 𝐹(𝑟, 𝜃)



Sehingga diperoleh 𝑉=∬



𝐹(𝑟, 𝜃)𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 = ∬ 𝑓(𝑟 cos 𝜃 , 𝑟 sin 𝜃)𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃



𝑅



𝑉=∬



𝑅



𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∬ 𝑓(𝑟 cos 𝜃 , 𝑟 sin 𝜃)𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃



𝑅



𝑅



E) Contoh Tentukan volume benda pejal di atas persegi panjang 𝜋 𝑥2+𝑦^2



! 𝑅 dibawah permukaan 𝑧 = 𝑒 Jawab : Karena dalam koordinat polar berlaku 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 maka : 𝑉 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 𝑅



𝑑𝐴 𝑟 𝑑𝑟] 𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜃



= 9



𝜋



− 𝑒) (𝑒 8



Integral Lipat Tiga



(Kelompok 7)



A. Definisi Integral Lipat Tiga Kita dapat mendefinisikan integral lipat tiga untuk tiga variable. Integral lipat tiga (triple integrals) merupakan integral biasa atau tunggal yang hasilnya diintegralkan kemudian diintegralkan kembali (lakukan iterasi integral sebanyak tiga kali). Misalkan f(x,y,z) adalah fungsi kontinu pada daerah tiga dimensi R. Definisi integral lipat dua dikembangkan dalam cara yang jelas untuk mendapatkan definisi dari integral lipat tiga dV. Jika f(x,y,z) = 1, maka



dv dapat diintepretasikan sebagai ukuran volume daerah



R. Pertama-tama menangani kasus paling sederhana dimana f didefinisikan pada kotak segiempat.



1 Langkah pertama adalah membagi B menjadi kotak-kotak bagian. Dengan membagi selang [a,b] menjadi l selangbagian [xi-1,xi] berlebar sama berlebar sama



, membagi [c,d] menjadi m selangbagian



dan membagi [r,s] menjadi n selangbagian berlebar sama



. Bidang-bidang



yang melalui titik ujung selangbagian-selangbagian ini yang sejajar terhadap bidang-bidang koordinat kotak B menjadi lmn kotak bagian



Bijk = [xi-1, xi] x [yj-1, y1] x [zk-1, zk] Masing-masing kotak bagian mempunyai volume



.



Kemudian kita bentuk jumlah Riemann rangkap tiga



2 Dengan titik



empel (xijk, yijk, zijk) terletak pada Bijk.



Berdasarkan analogi dengan definisi integral lipat dua, kita definisikan integral lipat tiga sebagai limit dari jumlah Riemann rangkap tiga dalam.



3 Definisi integral lipat tiga dari



f pada kotak B adalah



Intergral lipat tiga selalu ada jika f konyinu. Jika memilih sampel sebarang titik di dalam kotakbagian sebagai titik (x, y, z) akan diperoleh ekspresi yang kelihatan lebih sederhana untuk integral lipat tiga:



Sama seperti integral lipat dua,metode praktis untuk perhitungan integral lipat tiga adalah menyatakan sebagai integral berulang sebagai berikut.



4. Teorema Fubini untuk Integral Lipat Tiga



jika f kontinu pada kotak



B = [a, b ] x [ c, d] x [r, s], maka



Integral berulang pada ruas kanan Teorema Fubini bermakna bahwa pertama mengintegralkan terhadap x (dengan mempertahankan y dan z tetap), kemudian integralkan terhadap y (dengan mempertahankan z tetap), dan akhirnya integralkan terhadap z. Terdapat lima kemungkinan urutan lain yang dapat dilakukan dalam mengintegralkan, semuanya memberikan nilai sama. Misalnya, jika kita integralkan terhadap y, kemudiain z, dan kemudian x, kita mempunyai



B. Koordinat Tabung



Koordinat silinder dari titik P adalah (



), dengan r, , z diperlihatkan dalam gambar 1.



Andaikan E adalah daerah jenis 1 yang proyeksinya D pada bidang-xy digambarkan dengan mudah dalam koordinat polar (lihat gambar 2).



Khususnya, andaikan bahwa



kontinu dan



Dengan D diberikan dalan koordinat polar oleh



Kita mengetahui dari persamaan 16.7.6 bahwa



Tetapi kita juga mengetahui bagaimana menghitung integral Lipat-dua dalam koordinat polar. Nyatanya dengan menggabungkan persamaan 1 dengan persamaan 16.4.3, kita peroleh



Rumus 2 adalah rumus untuk penintegralan lipat-tiga dalam koordinat silinder. Rumus ini mengatakan bahwa kita mengalihkan integral lipat-tiga dari koordinat koordinat



silinder dengan menuliskan



siku-siku



ke



membiarkan z apa



adanya, dengan menggunakan limit-limit pengintegralan yang sesuai untuk z, r, dan , serta dengan menggantikan dV oleh r dz dr d .



(gambar 3 memperlihatkan bagaimana menghafalkan ini) adalah menguntungkan untuk menggunakan rumus ini ketika E adalah daerah pejal yang secara mudah dideskripsikan dalam koordinat silinder, dan terutama ketika fungsi



melibatkan expresi



C. Koordinat Bola Kita telah mempelajari bahwa persamaan-persamaan



menghubung kan koordinat bola dengan koordinat Cartesius. Perhatikan gambar berikut ini !



Gambar diatas memperlihatkan elemen volume di dalam koordinat bola atau yang disebut juga baji bola (spherical wedge). Dapat dilihat bahwa volume dari baji yang diarsir adalah



di mana



adalah sebuah titik yang dipilih secara tepat didalam baji.



Pembentukan partisi dari sebuah benda padat



dengan menggunakan sebuah kisi bola,



membentuk jumlah yang tepat, dan mengambil suatu limit yang akan menghasilkan sebuah integral berulang dimana



oleh



digantikan



.



Contoh :



Tentukan massa bola padat



jika kerapatan



sebanding dengan



jaraknya dari pusat.



Penyelesaian : Pusatkan bola tersebut dititik asal dan misalkan jari-jarinya sebesar . Kerapatan dengan



deinyatakan dengan



Jadi, massa ini dapat dinyatakan



Hitung



dengan



adalah bola satuan :



Penyelesaiaan : Karena perbatasan



adalah bola, kita gunakan koordinay bola :



Sebagai tambahan, koordinat bola adalah tepat karena Jadi,



APLIKASI INTEGRAL LIPAT DALAM BERBAGAI MASALAH



(Kelompok 8)



A. Penerapan Integral Lipat Dua Selain untuk menentukan luas bidang dan volume ruang dari fungsi dua variabel, integral lipat dua, juga memiliki banyak manfaat dan aplikasinya di berbagai bidang. Penerapan lain dari integral lipat dua antara lain adalah menghitung massa, pusat massa, momen inersia dari benda solid/padat yang memiliki densitas dalam fungsi dua variabel.



 Massa Masa suatu benda adalah banyaknya materi/partikel zat yang terkandung dalam suatu benda. Dalam suatu benda, banyaknya materi tersebut ditentukan oleh kerapatan (densitas/density) benda. Densitas tersebut dapat dinyatakan dalam fungsi dua variabel misalnya terdapat benda pejal



dengan densitas



Maka, massa benda tersebut dapat diperoleh dengan :



Keterangan : M = Massa



Contoh Soal : Terdapat sebuah lamina dengan densitas dan kurva



yang dibatasi oleh sumbu , garis



Tentukanlah massa lamina tersebut !



Jawab : Langkah 1 Menggambarkan grafik daerah yang membatasi lamina tersebut.



Sehingga, diperoleh :



Batas ini adalah batas daerah S yang akan digunakan pada integral lipat dua. Langkah 2 Dengan demikian, massa lamina adalah :



Jadi massa dari lamina adalah 153,6



 Penerapan Pada Pusat Massa Pusat massa suatu benda (centroid) adalah koordinat (x,y) yang menunjukkan posisi/kedudukan zat yang menjadi pusat dari suatu benda. Misalnya terdapat benda .



dengan



Adapun pusat massa benda tersebut, densitas



dapat dinyatakan sbb :



Pusat massa tersebut dapat ditentukan dari :



Contoh Soal : Tentukan pusat massa dari lamina yang memiliki kerapatan sumbu



garis



Penyelesaian :



, dan kurva



.



dibatasi oleh



Maka,



 Penerapan Pada Momen Inersia Momen inarsia adalah kecenderungan suatu benda untuk berotasi pada porosnya. Poros benda tersebut dapat terhadap sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. Momen inersia (juga disebut sebagai momen kedua) dari suatu lamina/benda. Momen inersia suatu benda dapat ditentukan sebai berikut :



Contoh Soal : Terdapat sebuah lamina dengan kerapatan garis



dan kurva



sumbu x, sumbu y, dan sumbu z ! Penyelesaian :



•



Terhadap sumbu x



•



Terhadap sumbu y



yang dibatasi oleh sumbu ,



Tentukanlah momen inersia benda terhadap



•



Terhadap sumbu z



 Penerapan Integral Lipat Tiga Integral lipat tiga juga dapat digunakan untuk menentukan massa, pusat massa, dan momen inersia dari suatu benda padat/solid yang memiliki densitas dalam fungsi tiga variabel.



 Massa dan Pusat Massa Pada benda solid/padat yang memiliki densitas



, maka massa benda



tersebut dapat ditentukan dengan :



Penentuan Pusat Massanya adalah :



Dengan :



 Momen Inersia Pada benda solid/padat yang memiliki densitas



maka akan dapat



detentukan momen inersianya sebagai berikut : •



Terhadap sumbu



•



Terhadap sumbu



yaitu,



•



Terhadap sumbu



yaitu,



yaitu,



Contoh : Tentuknlah pusat massa benda solid bidang



dan



yang dibatasi silinder parabolik



dimana



memiliki densitas konstan.



Penyelesaian : Grafik benda solid



proyeksi daerah



ke bidang



dan



Diperoleh definisi daerah , yaitu . Karena densitas



konstan, maka



Dari Diperoleh,



Menentukan Pusat Massa,



Sedangkan Sehingga, akan diperoleh :