Kelengkungan Dan Percepatan [PDF]

Citation preview

Kelengkungan dan Percepatan Kita hendak memperkenalkan bilangan yang disebut Kelengkugan. Kelengkungan ini mengukur seberapa tajam sebuah kurva melengkung. Kelengkungan sebuah garis seharusnya nol, sebuah kurva yang berbelok tajam harus memiliki kelengkungan yang agak besar (Gambar 1). Untuk memberikan ketentuan tentang kelengkungan, kita mengingat kembali pemikiran dan memperkenalkan beberapa pemikiran baru. Andaikan untuk 𝛼 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, 𝑟(𝑡) = 𝑓(𝑡)𝑖 + 𝑔(𝑡)𝑗 adalah vektor posisi titik 𝑃 = 𝑃(𝑡) pada bidang. Andaikan 𝑟 ′ (𝑡) ada dan kontinu dan 𝑟 ′ (𝑡) ≠ 0 pada selang [𝑎, 𝑏] .Maka (lihat pasal 6.4) apabila 𝑡 nilainya naik, 𝑃 bergerak sepanjang sebuah kurva yang mulus (Gambar 2), paanjang lintasan 𝑠 = ℎ(𝑡) dari 𝑃(𝑎) ke 𝑃(𝑡) ditentukan oleh 𝑡



𝑡



𝑠 = ℎ(𝑡) = ∫ √[𝑓 ′ (𝑢)]2 + [𝑔′ (𝑢)]2 𝑑𝑢 = ∫ |𝑟 ′ (𝑢)|𝑑𝑢 𝑎



𝑎



y



P(t) 𝒔 = 𝒉(𝒕)



Kelengkungan besar



Kelengkungan nol Kelengkung-



𝒓(𝒕)



P(s) x



an kecil GAMBAR 1



GAMBAR 2



Laju titik yang bergerak itu adalah 𝑑𝑠 = |𝑟 ′ (𝑡)| = |𝑣(𝑡)| 𝑑𝑡 Oleh karena 𝑟 ′ (𝑡) ≠ 0, maka |𝑣(𝑡)| > 0. Dengan demikian s naik apabila t naik. Dengan menggunakan Teorema Fungsi Balikan (Teorema 7.2B), 𝑠 = ℎ(𝑡) memiliki balikan 𝑡 = ℎ−1 (𝑠) dan 𝑑𝑡 1 1 = = 𝑑𝑠 𝑑𝑠⁄𝑑𝑡 |𝑣(𝑡)| Andaikan T(t), yang disebut vektor singgung satuan di P(t), didefinisikan sebagai 𝑟 ′ (𝑡) 𝑣(𝑡) 𝐓(𝑡) = ′ = |𝑟 (𝑡)| |𝑣(𝑡)|



Apabila P(t) bergerak sepanjang kurva, vektor satuan T(t) mengubah arahnya (Gambar 3). Perbandingan perubahan T terhadap panjang busur s, yaitu 𝑑𝑻⁄𝑑𝑠 dinamakan vektor kelengkungan di P. Akhirnya, kita mendefinisikan kelenkungan 𝑘 (kappa) di P ditentukan sebagai besaran 𝑑𝑻⁄𝑑𝑠. Jadi k = |𝑑𝑻⁄𝑑𝑠 |. Dengan menggunakan aturan rantai kita peroleh 𝑑𝐓 𝑑𝐓 𝑑𝑡 𝐓 ′ (𝑡) = = 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑠 |𝑣(𝑡)|



Jadi, 𝑑𝐓 |𝐓 ′ (t)| 𝑘=| |= 𝑑𝑠 |𝑣(𝑡)|



BEBERAPA CONTOH PENTING Untuk meyakinkan anda bahwa ketentuan kita mengenai kelengkungan masuk akal, kita berikan beberapa contoh. CONTOH 1 Buktikan bahwa kelengkungan garis lurus adalah nol. Penyelesaian Hal ini adalah akibat dari sifat T adalah bektor yang tetap. Untuk menggunakan metode vektor, kita akan membuktikan sifat tersebut secara aljabar. Andaikan P dan Q duatitik tetap pada garis dan andaikan a = OP dan b = PQ. Maka bentuk bektor untuk persamaan garis dapat ditulis sebagai (Gambar 4) 𝐫 = 𝐫(𝑡) = 𝐚 + 𝑡𝐛



y Q P



b



a



Garis



O



x GAMBAR 4



Dengan demikian, v(𝑡) = 𝐫 ′ (𝑡) = 𝐛 𝐓(𝑡) =



𝐛 |𝐛|



|𝐓 ′ (𝑡)| 0 𝑘= = =0 𝐯(𝑡) |𝑏| CONTOH 2 Buktikan bahwa kelengkungan lingkaran di tiap titiknya adalah 𝑘 = 1⁄𝒂, apabila radius lingkaran itu (Gambar 5). Penyelesaian Amnbil lingkaran dengan pusat titik asal sistem koordinat Cartesius. Maka persamaan vektor lingkaran itu adalah 𝐫(𝑡) = 𝑎 cos 𝑡𝐢 + 𝑎 sin 𝑡𝐣



a



GAMBAR 5 𝒌=



𝟏 𝒂



Sehingga, 𝐯(𝑡) = 𝐫 ′ (𝑡) = −𝑎 sin 𝑡𝐢 + 𝑎 cos 𝑡𝐣 𝐓(𝑡) =



𝑘=



𝐯(𝑡) 𝐯(𝑡) = = − sin 𝑡𝐢 + cos 𝑡𝐣 |𝐯(𝑡)| 𝑎



|𝐓 ′ (𝑡)| | − cos 𝑡𝐢 − sin 𝑡𝐣| 1 = = |𝐯(𝑡)| 𝑎 𝑎



Oleh karena 𝑘 adalah kebalikan radius, maka makin besar lingkaran makin kecil kelengkungannya. Contoh lingkaran di atas menimbulkan pemikiran baru. Andaikan P sebuah titik pada sebuah kurva dengan 𝑘 ≠ 0. Perhatikan lingkaran yang menyinggung kurva di P dan yang kelengkungannya sama, yaitu 𝑘 pusatnya akan terletak pada bagian cekung kurva. Lingkaran ini dinamakan lingkaran kelengkungan (atau lingkaran askulasi). Radiusnya adalah 𝑅 = 1⁄𝑘 yang dinamakan radius kelengkungan. Pusatnya dinamakan pusat kelengkungan. Konsep – konsep ini diperlihatkan pada Gambar 6. Lingkaran kelengkungan Pusat kelengkungan 1 𝑘



P GAMBAR 6



kurva



CONTOH 3 Tentukan kelengkungan dan radius kelengkungan hiposikloid 𝐫 = 8 𝑐𝑜𝑠 3 𝑡𝐢 + 8 sin3 𝑡𝐣 di titik P dengan 𝑡 = 𝜋⁄12. Gambarlah kelengkungan di P. Penyelesaian Untuk 0 < 𝑡 < 𝜋⁄2, 𝐯(𝑡) = 𝐫 ′ (𝑡) = −24 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 𝑠𝑖𝑛 𝑡𝐢 + 24 𝑠𝑖𝑛2 𝑡 cos 𝑡𝑗 |𝐯(𝑡)| = 24 sin 𝑡 cos 𝑡 𝐓(𝑡) = − cos 𝑡𝐢 + sin 𝑡𝐣 𝐓 ′ (𝑡) = 𝑠𝑖𝑛 𝑡𝐢 + cos 𝑡𝐣 𝑘=



|𝐓 ′ (𝑡)| | sin 𝑡𝐢 + cos 𝑡𝐣| 1 = = |𝐯(𝑡)| 24 sin 𝑡 cos 𝑡 24 sin 𝑡 cos 𝑡



= 𝜋



𝑘( ) = 12 𝜋



𝑅 (12) = 6



1 12 sin 2𝑡 1 1 12 ∙ 2



=



1 6



Grafik hiposikloid yang diminta diperlihatkan pada Gambar 7. Perhatikan bahwa koordinat P kira-kira (7,21,0,14)