Modul 6 Kelengkungan Kurva [PDF]

Citation preview

Kecepatan, Percepatan dan Kelengkungan



Geometri dalam Ruang, Vektor



Geometri dalam Ruang, Vektor



3. posisi



satelit dengan menentukan hal-hal berikut ini: Pengertian



4.



Contoh Rumus-rumus Lain untuk Kelengkungan Komponen Normal dan Komponen Singgung pad



Kecepatan, Percepatan dan Kelengkungan



13.5 Kita akan mempelajari suatu bilangan yang dise seberapa tajam suatuyang kurva melengkung. Sebua Kelengkungan (curvature) adalah suatu bilangan Kelengkungan sebuah kurva yang melengkung tajam tentu mem menyatakan seberapa tajam suatu kurva melengkung. Sebuah dan Percepatan Agar sampai ke suatu definisi yang tepat, kit terdahulu dan memperkenalkan beberapa gaga garis mempunyai kelengkungan 0, sementara sebuah kurva yang Untuk a :,; t:'; b, misalkan ret) = f(t)i + g(t melengkung tajam tentu mempunyai kelengkungan yang besar. P = pet) pad a bidang. Kita andaikan r'(t) ada Maka (lihat Subbab 6.4), ketika t meningkat, P 2), dan panjang lintasan s = h(t) dari Pea) ke s



c



= h(t) =



ds dt = Ir'(t)



Karena r'(t) *" 0, maka Iv(t)1 > 0, sehingga s ak Teorema Fungsi lovers (Teorema 7.2B), s = h



Kelengkungan kecil



Gambar 1 Gambar:



+



Laju titik yang bergerak adalah



Kelengkungan



besar



L~[J'(u)f dt



Kelengkungan kurva



ds



ds/d



Misalkan T(t), yang disebut vektor singgung sa sebagai Geometri dalam Ruang, Vektor



Kecepatan, Percepatan dan Kelengkungan



Pengertian Contoh Rumus-rumus Lain untuk Kelengkungan Komponen Normal dan Komponen Singgung pad



Untuk a ≤ t ≤ b, misalkan r(t) = f (t)i + g(t)j = hf (t), g(t)i adalah vektor posisi untuk titik P = P (t) pada bidang. Kita andaikan r0 (t) ada dan kontinu, dan r0 (t) 6= 0 pada selang (a, b). Maka ketika t meningkat, P akan membentuk sebuah kurva mulus dan panjang lintasan s = h(t) dari P (a) ke P (t) dinyatakan dengan Z t Z tp 0 2 0 2 [f (u)] + [g (u)] du = |r0 (u)|du s = h(t) = 196 a BAS 13



Geometri pada Bidang, Vektor a



y ~



r'( T(t) = Ir'(



PCb)



"



"""



Pet)



S~ = n\t)~ Pea)



r(t)



Ketika pet) bergerak di sepanjang kurva, vekto 3). Tingkat perubahan T terhadap panjang b kelengkungan (curvature vector) di P. Akhimy di P sebagai besaran dari dTlds, yaitu 1C = Id



dT dT



x



Gambar 2 Gambar: Kelengkungan kurva



Jadi, Geometri dalam



Ruang, Vektor



ds



dt



Kecepatan, Percepatan dan Kelengkungan



Pengertian Contoh Rumus-rumus Lain untuk Kelengkungan Komponen Normal dan Komponen Singgung pad



Laju titik yang bergerak adalah ds = |r0 (t)| = |v(t)| dt Karena r0 (t) 6= 0, maka |v(t)| > 0, sehingga s akan meningkat ketika t meningkat. Selanjutnya, s = h(t) mempunyai invers t = h−1 (s) dan dt 1 1 = = ds ds/dt |v(t)|



Geometri dalam Ruang, Vektor



Pengertian Contoh Rumus-rumus Lain untuk Kelengkungan Komponen Normal dan Komponen Singgung pad Geometri pada Bidang, Vektor



Kecepatan, Percepatan dan Kelengkungan



196 BAS 13



Misalkan T(t), yang y disebut vektor singgung satuan (unit ~ PCb) tangent vector) di P (t), didefinisikan



r'(t T(t) = Ir'(t)



v(t) pet) bergerak di """" =Pet)r0 (t) = Ketika T(t) 0 3). Tingkat perubahan |r (t)| |v(t)| S~ = n\t)~ Pea)



sepanjang kurva, vektor T terhadap panjang bu kelengkungan (curvature vector) di P. Akhimya kurva, vektor satuan T(t)yaitu 1C = IdT di P sebagai besaran dari dTlds,



r(t) Ketika P (t) bergerak di sepanjang akan mengubah arahnya. Tingkatx perubahan T terhadap panjang busur s,Gambar dalam hal ini dT/ds, disebut vektor 2 kelengkungan (curvature vector) di Jadi, P.



y



dT dT d ds



1C =



dt d



IdTl = IT ds



Iv



8eberapa Contoh Penting Untuk meyakin di atas masuk akal, kita akan melihat beberapa CONTOH 1 Tunjukkan bahwa kelengkungan



Penyeiesaian Hal ini segera dapat dibukti vektor konstan. Tetapi untuk mengilustrasikan m Vektor singgung satuan T(t) demonstrasi Gambar: Vektor singgung satuan aljabar. T(t) Misalkan P dan Q adalah x



Gambar 3



oP



PQ.



Geometri Vektor a = dalam dan bRuang, = Maka sebuah



bentuk vekt



Kecepatan, Percepatan dan Kelengkungan



Pengertian Contoh Rumus-rumus Lain untuk Kelengkungan Komponen Normal dan Komponen Singgung pad



Kelengkungan κ (kappa) di P didefinisikan sebagai besaran dari dT/ds, yaitu κ = |dT/ds|. Maka, berdasarkan Aturan Rantai, dT dT dt T0 (t) = = ds dt ds |v(t)| Jadi



dT |T0 (t)| |T0 (t)| = = κ= ds |v(t)| |r0 (t)|



Geometri dalam Ruang, Vektor



=



Pengertian T(t) b Contoh I Rumus-rumus Lain untuk Kelengkungan Komponen Normal dan Komponen Singgung pad



Kecepatan, Percepatan dan Kelengkungan



I



CONTOH 2 Tunjukkan bahw



Contoh 1 jari a adalah 1C = 1/a (Gambar x Tunjukkan bahwa pada tiap titik, kelengkungan sebuah Penyeiesaian Kita dapat men persamaan vektomya dapat ditu lingkaran dengan jari-jari a adalah κ = 1/a. Gambar 4 Lingkaran



\a



Jadi, vet) = r



\



Iv(t)1 = [a



v



T(t) = I



1C= I



Gambar 5



Karena 1C adalah kebalikan dari kelengkungannya. Geometri dalam Ruang, Vektor



Kecepatan, Percepatan dan Kelengkungan



Pengertian Contoh Rumus-rumus Lain untuk Kelengkungan Komponen Normal dan Komponen Singgung pad



Penyelesaian. Kita dapat menganggap bahwa lingkaran tersebut berpusat di titik asal. Maka persamaan vektorya dapat dituliskan dengan r(t) = a cos ti + a sin tj Jadi v(t) = r0 (t) = −a sin ti + a cos tj |v(t)| = [a2 sin2 t + a2 cos2 t]1/2 = a v(t) v(t) T(t) = = = − sin ti + cos tj |v(t)| a |T0 (t)| | − cos ti − sin tj| 1 κ = = = |v(t)| a a Karena κ adalah kebalikan dari jari-jari, maka semakin besar suatu lingkaran, semakin kecil kelengkungannya.  Geometri dalam Ruang, Vektor



Kecepatan, Percepatan dan Kelengkungan



Pengertian Contoh Rumus-rumus Lain untuk Kelengkungan Komponen Normal dan Komponen Singgung pad



Kelengkungan pada lingkaran ini memberikan kita ke beberapa gagasan baru kelengkungan pada kurva. Perhatikan lingkaran berikut dimana garis singgung terhadap suatu kurva berada di titik P dan mempunyai kelengkungan yang sarna di titik tersebut. Pusat lingkaran tersebut akan terletak di sisi cekung kurva tersebut. Lingkaran ini disebut lingkaran kelengkungan (circle of curvature) atau lingkaran oskulasi (osculating circle), jari-jarinya R = 1/κ disebut jari-jari kelengkungan (radius of curvature), dan pusatnya disebut pusat kelengkungan (center of curvature).



Geometri dalam Ruang, Vektor



Kecepatan, Percepatan dan Kelengkungan



Pengertian Contoh Rumus-rumus Lain untuk Kelengkungan SUBBAB 1 Komponen Normal dan Komponen Singgung pad



Lingkaran kelengkungan



singgung terhadap suatu kurva berada di titik titik tersebut. Pusat lingkaran tersebut akan t ini disebut Iingkaran kelengkungan (circle o circle), jari-jarinya R = 11K" disebut jari-jari k disebut pusat kelengkungan (center of curva



CONTOH 3



Tentukan kelengkungan dan j r = 8 cos 3



Kurva



di titik-titik P dan Q, di mana masing-masing hiposikloid ini yang menunjukkan lingkaran



Gambar 6



Peny.eiesaian



Untuk 0 < t < n, t



f:.



rcI2,



vet) = r'(t) = -24 cos



Iv(t)1



= 241sin



t cos tl



.



2



sm t cos t. T( t)= 1 Isin t cos tl



=



{ -eo, ti Hin cos



T'(t)



=



tl -



sm



{,in Ii + eos



-sin ti - cos K(t)



Geometri dalam Ruang, Vektor



=



IT'(t)1



=



Kecepatan, Percepatan dan Kelengkungan



Pengertian Contoh Rumus-rumus Lain untuk Kelengkungan Komponen Normal dan Komponen Singgung pad



Contoh 2 Tentukan kelengkungan dan jari-jari kelengkungan untuk hiposikloid r(t) = 8 cos3 ti + 8 sin3 tj di titik-titik P dan Q, di mana masing-masing t = π/12 dan t = 3π/4.



Geometri dalam Ruang, Vektor



Kecepatan, Percepatan dan Kelengkungan



Pengertian Contoh Rumus-rumus Lain untuk Kelengkungan Komponen Normal dan Komponen Singgung pad



Penyelesaian. Untuk 0 < t < π, t 6= π/2, v(t) = r0 (t) = −24 cos2 t sin ti + 24 sin2 t cos tj |v(t)| = 24| sin t cos t| sin t cos2 t sin2 t cos t T(t) = − i+ j | sin t cos t| | sin t cos t|  − cos ti + sin tj, 0 < t < π/2; = cos ti − sin tj, π/2 < t < π .  sin ti + cos tj, 0 < t < π/2; T0 (t) = − sin ti − cos tj, π/2 < t < π . κ(t) =



|T0 (t)| 1 1 = = |v(t)| 24| sin t cos t| 12| sin 2t|  Geometri dalam Ruang, Vektor



Kecepatan, Percepatan dan Kelengkungan



Penyelesaian. Jadi, di P kita mempunyai 1 κ(π/12) = 12| sin 2 ·



π 12 |



Pengertian Contoh Rumus-rumus Lain untuk Kelengkungan Komponen Normal dan Komponen Singgung pad



=



1 6



dan R



π =6 12



dan di Q kita mempunyai 1 κ(3π/4) = 12| sin 2 ·



1 3π = 12 4 |



[email protected]



 dan R



3π 4



 = 12



Geometri dalam Ruang, Vektor



Kecepatan, Percepatan dan Kelengkungan



Pengertian Contoh Rumus-rumus Lain untuk Kelengkungan Komponen Normal dan Komponen Singgung pad



Misalkan φ melambangkan sudut yang diukur berlawanan arah jarum jam dari i ke T . Maka, T = cos φi + sin φj, sehingga dT = − sin φi + cos φj dφ adalah sebuah vektor satuan (panjang 1) dan T. dT dφ = 0. Di samping itu, dT dT dφ dT dφ κ= = = ds dφ ds dφ ds dT dφ



akibatnya dφ κ = ds Rumus untuk κ ini membantu pemahaman intuitif kita mengenai kelengkungan, yaitu mengukur tingkat perubahan φ terhadap s. Geometri dalam Ruang, Vektor



Kecepatan, Percepatan dan Kelengkungan



Pengertian Contoh Rumus-rumus Lain untuk Kelengkungan Komponen Normal dan Komponen Singgung pad



Geometri dalam Ruang, Vektor



Kecepatan, Percepatan dan Kelengkungan



Pengertian Contoh Rumus-rumus Lain untuk Kelengkungan Komponen Normal dan Komponen Singgung pad



Teorema Tinjau sebuah kurva dengan persamaan vektor r(t) = f (t)i + g(t)j, yakni, dengan menggunakan persamaan parametrik x = f (t) dan y = g(t), maka κ=



|x0 y 00 − x00 y 0 | [(x0 )2 + (y 0 )2 ]3/2 ]



Secara khusus jika kurva tersebut mempunyai grafik y = g(x) maka |y 00 | κ= [1 + (y 0 )2 ]3/2 ] Bagian,utama menunjukan pendiferensialan terhadap t pada rumus pertama, dan terhadap x pada rumus kedua.



Geometri dalam Ruang, Vektor



Kecepatan, Percepatan dan Kelengkungan



Pengertian Contoh Rumus-rumus Lain untuk Kelengkungan Komponen Normal dan Komponen Singgung pad



Contoh 3 Tentukan kelengkungan elips x = 3 cos t,



y = 2 sin t



pada titik yang berhubungan dengan t = 0 dan t = π/2, yaitu di (3, 0) dan (0, 2). Sketsalah elips tersebut yang menunjukkan lingkaran kelengkungan yang bersesuaian.



Geometri dalam Ruang, Vektor



Kecepatan, Percepatan dan Kelengkungan



Pengertian Contoh Rumus-rumus Lain untuk Kelengkungan Komponen Normal dan Komponen Singgung pad



Penyelesaian. Dari persamaan-persamaan berikut, x0 = −3 sin t, y 0 = 2 cos t 00 x = −3 cos t, y 00 = −2 sin t Jadi κ = κ(t) = =



|x0 y 00 − x00 y 0 | 6 sin2 t + 6 cos2 t = [(x0 )2 + (y 0 )2 ]3/2 ] [9 sin2 t + 4 cos2 t]3/2 6 2 [5 sin t + 4]3/2



Akibatnya κ(0) = κ(π/2) =



6



3 4 6 2 = 3/2 9 9 43/2



=



 Geometri dalam Ruang, Vektor



Kecepatan, Percepatan dan Kelengkungan



Pengertian Contoh Rumus-rumus Lain untuk Kelengkungan Komponen Normal dan Komponen Singgung pad



Geometri dalam Ruang, Vektor



Kecepatan, Percepatan dan Kelengkungan



Pengertian Contoh Rumus-rumus Lain untuk Kelengkungan Komponen Normal dan Komponen Singgung pad



Misalkan P = P(t) adalah sebuah titik pada sebuah kurva mulus. Definisikan sebuah vektor baru N = N(t), disebut vektor normal satuan (unit normal vector) di titik P , dengan N=



1 dT dT/ds = |dT/ds| κ ds



maka



dT = κN ds Sekarang T = cos φi + sin φj, maka dT dT dφ dφ = = (− sin φi + cos φj) ds dφ ds ds di mana T · N = 0. Jadi, N adalah sebuah vektor satuan yang tegak lurus terhadap T dan mengarah ke sisi cekung kurva. Geometri dalam Ruang, Vektor



Kecepatan, Percepatan dan Kelengkungan



Pengertian Contoh Rumus-rumus Lain untuk Kelengkungan Komponen Normal dan Komponen Singgung pad



Vektor kecepatan v memenuhi v = |v|T =



ds T dt



maka a = = Jadi



d2 s ds dT dv = 2T+ dt dt dt dt 2 d s ds dT ds T+ dt2 dt ds dt



d2 s a = 2T+ dt







ds dt



2 κN



Geometri dalam Ruang, Vektor



Kecepatan, Percepatan dan Kelengkungan



Pengertian Contoh Rumus-rumus Lain untuk Kelengkungan Komponen Normal dan Komponen Singgung pad



Geometri dalam Ruang, Vektor



Kecepatan, Percepatan dan Kelengkungan



Pengertian Contoh Rumus-rumus Lain untuk Kelengkungan Komponen Normal dan Komponen Singgung pad



Contoh 4 Sebuah partikel bergerak sedemikian rupa sehingga vektor posisinya adalah r(t) = t2 i + 13 t3 j, t ≥ 0. Nyatakan a(t) dalam bentuk T dan N dan hitunglah ketika t = 2.



Geometri dalam Ruang, Vektor



Kecepatan, Percepatan dan Kelengkungan



Pengertian Contoh Rumus-rumus Lain untuk Kelengkungan Komponen Normal dan Komponen Singgung pad



Penyelesaian. v(t) ds dt d2 s dt2  2 ds κ dt



= 2ti + t2 j = |v(t)| = = = =



p p 4t2 + t4 = t 4 + t2



4 + 2t2 √ 4 + t2  2 |x0 y 00 − x00 y 0 | ds |x0 y 00 − x00 y 0 | = ds/dt [(x0 )2 + (y 0 )2 ]3/2 dt 2 2 |(2t)(2t) − (t )(2)| 2t 2t √ = √ =√ 2 2 t 4+t t 4+t 4 + t2 



Geometri dalam Ruang, Vektor



Kecepatan, Percepatan dan Kelengkungan



Pengertian Contoh Rumus-rumus Lain untuk Kelengkungan Komponen Normal dan Komponen Singgung pad



Penyelesaian. Jadi a(t) = =



dan



 2 d2 s ds T+ κN 2 dt dt 2t 4 + 2t2 √ T+ √ N 2 4+t 4 + t2



√ √ 12 4 a(2) = √ T + √ N = 3 2T + 2N 8 8 



Geometri dalam Ruang, Vektor