Kelompok 3 [PDF]

Citation preview

c c

   





   
Pada makalah ini akan disajikan mengenai integral lipat dua dalam sistem koordinat kutub . Akan disajikan pula cara menghitung integral lipat dalam koordinat kutub untuk menghitung luas dan volum.



  
Jateri prasyarat yang dibutuhkan adalah sebagai berikut: 1. Kalkulus 1 2. Kalkulus 2 3. Kalkulus lanjut 1



¦ 
  
1. Jahasiswa dapat mendefinisikan integral lipat dua dalam sistem koordinat kutub . 2. Jahasiswa mampu menyelesaikan soal yang berkaitan dengan integral lipat dua dalam sistem koordinat kutub pada daerah persegipanjang kutub maupun daerah sebarang. 3. Jahasiswa mampu mencari luas suatu bidang dan volum suatu bangun menggunakan koordinat kutub.



c c

c   




   
 

„„




 Jengingat kembali mengenai sistem koordinat kartesius yaitu sistem yang digunakan untuk menunjukan kedudukan suatu titik pada bidang dengan dua bilangan yang ditulis dengan lambang (x,y) setiap bilangan menggambarkan jarak berarah dari dua sumbu yang tegak lurus sesamanya. Sistem koordinat kartesius bukanlah satu-satunya cara untuk menunjukan kedudukan suatu titik pada bidang. Cara lain ialah menggunakan Koordinat Kutub. 
"!#$




"#&$





&
'










!





 
% 




„ 



 





  

 Pada sistem koordinat kutub terdapat dua komponen yang dinamakan titik kutub O dan garis horizontal dari titik O ke kanan (sinar dari titik O) yang dinamakan sumbu kutub. Perhatikan gambar di bawah ini.



O



›



Sumbu kutub O



titik kutub



Dalam sistem koordinat kutub, setiap titik di bidang datar diidentifikasi dengan dua komponen, yaitu jarak titik itu ke titik kutub dan besarnya sudut antara radius



vektornya dengan sumbu kutub. Titik P dalam sistem koordinat kutub ditulis dengan lambang P(, ș) Dimana  = jarak O ke P = radius vektor
ș = sudut antara
dengan sumbu kutub. Situasinya diperlihatkan pada gambar di bawah ini.














›







Ruas garis
adalah radius bektor yang dibentuk oleh titik P. Sudut ș dikatakan positif bila dihitung berlawanan arah putaran jarum jam dan dikatakan negatif jika dihitung searah putaran jarum jam. Dalam sistem ini kita membuat perjanjian bahwa r = |
| • 0. Perhatikan sebuah sifat berikut yang tidak ada pada sebuah sistem koordinat Cartesius. Tiap titik memiliki banyak koordinat kutub. Ini adalah akibat sifat bahwa setiap sudut-sudut 
2,  Jisalnya,



titik



koordinat



kutub



0,a1, a2,... memiliki kaki-kaki yang sama.



 
 4, o  2



juga



memiliki



koordinat



, 4 , 9  , 4 ,  3  dan seterusnya. Bahkan hal ini berlaku juga jika r 4, 5 2  2 2



bernilai negatif. Dalam hal ini (r,ș) terletak pada sinar yang berlawanan arah dengan sinar yang dibentuk oleh sudut ș dan yang terletak  satuan dari titik asal (lihat gambar 2). Hal serupa terjadi juga dengan titik kutub O yang dapat dinyatakan sebagai (0, ș) untuk ș sembarang.



 6 „



 3, 6 „ 











 




?

  
   

 3



Vika diketahui titik P(^, ) dalam sistem koordinat kartesius, maka titik P dalam sistem koordinat kutub ditulis sebagai P(, ș) dengan  = ș memenuhi cos ș =



3



^2




2



dan



^ dan sin ș =  



Vika diketahui titik P(, ș) dalam sistem koordinat kutub, maka titik P dalam sistem koordinat kartesius ditulis sebagai P(^, ) dengan ^ =  cos ș dan =  sin ș. Ilustrasi: Titik P (±2, 2 3 ) dalam sistem koordinat kartesius dapat dinyatakan dalam sistem koordinat kutub sebagai titik ::P (1,



„ 



2 4 8 ), P (1, ), P (1, ), «. 3 3 3




   

 Suatu lengkungan di bidang datar dapat ditampilkan dalam sistem koordinat kutub yang berbentuk r = f(V ) dengan V sebagai peubah bebas dan r peubah tak bebas. Sebaliknya, dalam sistem koordinat kutub, persamaan r = f(V ) menyatakan suatu lengkungan di bidang datar. Ilustrasi Lingkaran yang berpusat di titik (0,1) dan berjari-jari 1, x2 + y2



= 2y dalam



sistem koordinat kutub ditampilkan sebagai r = f(V ) =2 sin V . Dari bentuk persamaan lingkaran dalam sistem koordinat Kartesius yang diketahui, diperoleh



r2 = 2r sin R(r-2 sin ) = 0 r = 0 atau r = 2 sin Karena r = 0 menyatakan titik asal O, maka persamaan lingkarannya dalam sistem koordinat kutub adalah r = f( ) = 2 sin . Dari bentuk persamaan lingkaran dalam sistem koordinat kutub yang diketahui, diperoleh



^



2








2



=2



^



2



2



X



x2 +y2 = 2y yang merupakan persamaan lingkaran dalam sistem koordinat Kartesius. Perhatikan grafiknya pada gambar di bawah ini.  A V A 1 ½ 2



1 Y  2



2



r=2sinʾ



ʾ= X 



„ 





   

 Dalam sistem koordinat kutub kita mengenal keluarga lengkungan dengan satu parameter. Keluarga lengkungan yang paling sederhana dalam sistem koordinat kutub adalah 



î , î parameter



yang berbentuk keluarga lingkaran berpusat di O dan berjari-jari î  0. Úrafiknya diperlihatkan pada gambar di bawah ini.



r=c



ɽ=



ɽ








Keluarga lain yang lebih sederhana dalam sistem koordinat kutub adalah 



, 



parameter yang berbentuk keluarga sinar yang berasal dari titik asal O. Úrafiknya diperlihatkan pada gambar di bawah ini. š













ʾ=c









ʾ=










  (



 

2.1



 

   

 Kurva-kurva tertentu dalam bidang, seperti lingkaran, kardioid dan mawar, lebih mudah diuraikan dalam bentuk koordinat polar daripada dalam koordinat cartesius (persegi panjang). Vadi, kita dapat mengharapkan bahwa integral lipat



dua atas daerah yang dilingkungi oleh kurva-kurva yang demikian lebih mudah dihitung dengan menggunakan koordinat kutub. Kita mempunyai fungsi z=f(r,ʾ) yang terdefinisi pada daerah D ö



 š š   



Dalam system korrdinat kutub, yang diperlihatkan pada gambar dibawah. š







š







r=b r=a



ʾ= Sb. ktb



Kita mengkonstruksi    š







Yang menyatakan integral lipat dua dalam system koordinat kutub dalam fungsi f pada daerah D Buatlah jaring segitiga(symbol)untuk daerah D dengan membagi selang     menjadi m bagian, namakan titik pembagiannya.



š  š     š  š    š







Dan membagi selang (a,b) menjadi n bagian, namakan titik pembagiannya



             



Kemudian gambarlah keluarga sinar ʾ=k, k parameter melalui setiap titik



pembagian pada    dan keluarga busur lingkaran r=c, c parameter melalui setiap titik pembagian pada [a,b]. Hasilnya adalah suatu jaring untuk daerah D yang diperlihatkan pada gambar di bawah ini š







š



š



š š š š š



š š š



š r= r= r=



r=a=3



š*



š



r=b=3



š







š3



Sb, kutub



š



4



Jisalkan sistem luas jaringnya  š š š š     !







Ukuran panjang jaring , ditulis "", didefinisikan sebagai panjang terbesar dari diagonal elemen luas jaringnya, besarnya elemen luas ini adalah #$ %



&' &'() *+



*  
* , 



 *



š  - .  , 



Dimana š



0 š , š  



0  ,   1/



Pilihlah titik /  š/  pada D, di mana / Dan bentuklah jumlah



2  - .   



2  - .  1š š/ š  



/  š











¹ ¹ /  š/  5 5











6 $ ¹ ¹ /  š/ /  š 5 5



Yang merupakan suatu jumlah elemen, jika jumah elemen yang mempunyai limit



untuk ""7 0, maka integral lipat dua dalam system koordinat kutub dari fungsi z = f(r,ʾ) pada daerah D didefinisikan sebagai limit jumlahnya yaitu 



   š







89: ¹ ¹ /  š/ 



"";3







5 5



Atau 



    šš



89: ¹ ¹ /  š/ /  š



"";3







2.2







5 5





   

 Kita akan menghitung     š 



Dengan ö



 š š   



Cara Jenghitung: Untuk menghitung integral lipat dua dalam sistem koordinat kutub seperti ini kita dapat menggunakan dua cara. Cara pertama     š 



>








4  š







?







h&



   šš



b&



ILUSTRASI R i9j šš



Kita akan menghitung



Di mana D adalah daerah tertutup di kuadran pertama yang dibatasi oleh lingkaran M



r = 2 cos ș dan sumbu kutub. Karena cos ș = , maka persamaan lingkarannya U



menjadi r2 = 2x, atau x2 + y2 = 2x. Daerah D diperlihatkan pada gambar dibawah. r = 2cos ș p



Sb. Kutub



 1



2



Dalam sistem koordinat kutub, daerah D dapat ditulis dalam bentuk +



D = { ( r, ș ) å 0 ” ș ” , 0 ” r ” 2 cos ș }. Karena itu *



W



R i9j š



* klm &



0 S3N S3 W N



0i9j š  š +



= S3 i9j š 0n0  * 0o*3 klm & š * W



= , S3N ^_% * š0pqi0 š   „ Hitung 4 P r



W



* klm &



0 S3N Ti9j š  S3 W N



V š



0 S3 0i9j š 0^_% * šš *



W



0 , 0n0^_% D šo3N D



0



M



D



Dengan S adalah daerah di kuadran pertama yang berada diluar lingkaran r = 2 dan di dalam kardioid r = 2 - ^_%š (lihat gambar 7) Penyelesaian :



karena S adalah suatu himpunan r sederhana, kita tuliskan integral yang diberikan sebagai suatu integral lipat kutub, dengan r sebagai peubah pengintegralan pertama. Dalam pengintegralan sebagai dalam ini, šdipertahankan tetap; pengintegralan adalah sepanjang garis tebal dari gambar 7 mulai dari 



0sL0



4 P r



02 - ^_%š. e



G] š4 š



+Y * *.ab&



0 3



*



0%d1šš



+Y U t *T š %d1šV *.ab& * D



S3 [








   2 - pqi š J 



+Y



S *n2 - ^_%šD %d1š , %d1šoš D 3



[ D



[ D







T, 2 - ^_%šI - ^_%šV I 



T, - 4 , ,F - 2V I



+Y * 3



** D



    Úunakan integral lipat dua untuk mencari luas yang dilingkupi oleh satu loop mawar berdaun empat  pqi š.



Penyelesaian:  š ,
YF š
YF  4  pqi š!



Dari gambar terlihat bahwa ö Sehingga luasnya adalah ö   + I



+ I



klm *&



 



4 











+ 3 I



+



I



I



+



2 I  ^_% * š0š  +



2 * klm *&  u  c š + 3   2 I  2 - pqi Fšš F +



00š



I



+



I 2 2 uš - i9j Fšc + F F  I




E



     Carilah volume benda pejal yang terletak di bawah paraboloid K atas bidang kP dan di dalam silinder k * - P * k.



k * - P * , di



Penyelesaian: Benda pejal terletak di atas cakram D yang lingkaran perbatasannya mempunyai persamaan k * - P * k atau k , 2* - P * 2



Lihat gambar 9 dan 10. Dalam koodinat polar kita mempunyai k * -P *  * dan k 0^_%š, sehinggga lingkaran perbatasan menjadi  * 0^_%šatau  0^_%š. Vadi cakram D diberikan oleh  š ,
Y š
Y  4  ^_%š!



ö



Dan menurut teorema 3, kita mempunyai Q



4k * - P *  



+ *



*ab&



I  v w + F  3 *



š



+ * *ab&



   * 00š







+ *



3



+ *



F  ^_% I šš 



+ *



+ *



E  ^_% šš I



3



+ *



+ *



2 - pqi š * y š E x  3



2   u2 -  pqi š - 2 - pqi Fšc š  3 



D



 T š - i9j š - [ i9j FšV *



¦



W N



3



D



+



z {z { *



*



D+ *



.




)  
 (
) 


  
 

Arti geometri integral ganda dua dalam sistem koordinat kutub untuk fungsi z = f ( r, ș ) yang kontinu dan bernilai tak negatif pada daerah sama seperti dalam sistem koordinat kartesis. Besaran ini menyatakan isi suatu benda padat yang terletak dibawah permukaan z = f ( r, ș ) dan diatas daerah D. perhatikan gambar dibawah ini. z



z=f(r,ʾ)











y



fš



Š



^



š



š







Š



|š



Kemudian dalam kasus f ( r, ș ) = 1, integral ganda dua dalam sistem koordinat kutub dari fungsi f pada daerah D secara numerik menyatakan luas daerah D. perhatikan gambar di bawah ini.



z



z=f(r,ʾ)=1



š š



y











^



ù



 * 
  
 
 

  
 

Dalam berbagai kasus lntegral ganda dua R  k P sering kali lebih mudah dihitung bila dinyatakan dalam sistem koordinat kutub. Vika daerah D dalam sitem kutub dapat ditulis. D = { ( r, ș ) å Į ” ș ” ȕ, Ø ( ș ) ” r ” Ȍ ( ș ) }. Jaka hasil transformasinya adalah R 







0 R  ^_%š %d1š



>



h&



0 S? Sb&  ^_%š %d1šš



  Kita akan menghitung R L M



N .0O N







Dimana daerah D berbentuk cakram lingkaran yang berpusat di titik 0 dan berjarijari 1. Dalam sistem koordinat kartesis, daerah D dapat ditulis sebagai D = k P , 20 k



2 ,}2 , k * P



}2 , k * !.



Dalam system koordinat kutub, daerah D dapat ditulis dalam bentuk sederhana, yaitu D = { ( r, ș ) å 0 ” ș ” 2ʌ, 0 ” r ” 1 }. Dan integralnya dapat ditulis sebagai f ( r,ș ) = L M . N



Karena itu



4L 



M N .O N







0 4 L  



MN



*+



*+ 



0   L š 3



2 N 0  nL M o3 š  3



0
00L , 20



3



MN



*+



2 0  L , 20š  3



*+



 2 N 0  v L M   * w š  3 3



*+



2 0 L , 20  š  3



2 0 L , 20