Kelompok 9 - Sifat Kelengkapan [PDF]

Citation preview

SIFAT KELENGKAPAN Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Pendalaman Materi Matematika Dosen Pengampu: Siti Maryatul Kiptiyah, S.Si, S.Pd., M.Pd



Disusun Oleh: 1. Ananda Dita Prasetyo



(1401420234)



2. Susi Hartiningsih



(1401420124)



3. Delia Sonanta Nurvidia



(1401420394)



PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2021



KATA PENGANTAR



Alhamdulillah, puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan inayahNya sehingga kami dapat menyelesaikan Makalah yang berjudul Sifat Kelengkapan pada Mata Kuliah Pendalaman Materi Matematika. Terima kasih kami ucapkan kepada dosen pembimbing yaitu Ibu Siti Maryatul Kiptiyah, S.Si, S.Pd., M.Pd. Yang telah membantu kami baik secara moral maupun materi. Terima kasih juga kami ucapkan kepada teman-teman yang telah mendukung kami sehingga bisa menyelesaikan makalah ini. Kami menyadari, bahwa laporan makalah yang kami buat ini masih jauh dari kata sempurna baik segi penyusunan, bahasa, maupun penulisannya. Oleh karena itu, kami sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari semua pembaca guna menjadi acuan agar penulis bisa menjadi lebih baik lagi di masa mendatang. Semoga makalah ini bisa menambah wawasan para pembaca dan bisa bermanfaat untuk perkembangan dan peningkatan ilmu pengetahuan.



Semarang, 16 Maret 2021



Penyusun 1



DAFTAR ISI



KATA PENGANTAR................................................................................................................................... 1 DAFTAR ISI............................................................................................................................................... 2 BAB I ........................................................................................................................................................ 3 PENDAHULUAN ....................................................................................................................................... 3 1. 1



Latar Belakang......................................................................................................................... 3



1. 2



Rumusan Masalah ................................................................................................................... 3



1. 3



Tujuan ..................................................................................................................................... 3



BAB II ....................................................................................................................................................... 4 PEMBAHASAN ......................................................................................................................................... 4 2. 1



Definisi Sifat Kelengkapan ....................................................................................................... 4



2. 2



Fungsi Sifat Kelengkapan ........................................................................................................ 5



2. 3



Contoh Soal dan Cara Pengerjaan Sifat Kelengkapan ............................................................. 5



BAB III ...................................................................................................................................................... 6 PENUTUP ................................................................................................................................................. 6 3.1.



Kesimpulan .......................................................................................................................... 6



3.2.



Saran ................................................................................................................................... 6



DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................................... 7



2



BAB I PENDAHULUAN



1. 1 Latar Belakang Sistem bilangan adalah hal pokok dalam sebuah ilmu matematika, bisa juga dikatakan sebagai inti dari suatu ilmu matematika itu sendiri. Sistem bilangan ini terbagi menjadi banyak macamnya, adapun yang kami sajikan dalam makalah ini adalah mengenai salah satu sifat Bilangan Real, yaitu Sifat Kelengkapan (completeness). Sifat ini menjamin bahwa setiap himpunan bagian tak kosong dari himpunan bilangan real yang terbatas ke atas dijamin nilai supremumnya pasti ada. 1. 2 Rumusan Masalah 1. Definisi sifat kelengkapan 2. Fungsi sifat kelengkapan 3. Contoh soal dan cara pengerjaan sifat kelengkapan 1. 3 Tujuan 1. Untuk mengetahui definisi sifat kelengkapan 2. Untuk mengetahui fungsi sifat kelengkapan 3. Untuk mengetahui contoh soal dan cara pengerjaan sifat kelengkapan



3



BAB II PEMBAHASAN



2. 1 Definisi Sifat Kelengkapan Setiap himpunan bagian tak kosong dari bilangan real ℝ yang terbatas diatas juga akan memiliki sebuah supremum di ℝ. Setiap himpunan bagian tak kosong dari bilangan real ℝ yang terbatas di bawah juga akan memiliki sebuah infimum di ℝ. Dengan sifat kelengkapan sebagaimana yang terlihat dalam definisi diatas, himpunan bilangan real ℝ dapat dinyatakan sebagai sebuah garis yang selanjutnya dikenal dengan garis bilangan real. Sifat kelengkapan menjamin bahwa setiap titik pada garis bilangan yang dimaksud menyatakan sebuah bilangan real. Demikian pula sebaliknya, setiap bilangan real menempati sebuah titik pada garis yang dimaksud. Perhatikan bahwa meskipun bilangan rasional ℚ memenuhi sifat aljabar dan sifat terurut, akan tetapi himpunan bilangan rasional ℚ secara umum tidak memenuhi sifat kelengkapan. Dalam hal ini, himpunan bilangan rasional ℚ tidak dapat dinyatakan dalam sebuah garis. Apabila dipaksakan, garis yang dimaksud akan terputus-putus dibeberapa bagian. Pada Teorema 5 telah ditunjukkan bahwa bilangan r diantara 1 dan 2 yang memenuhi r2= 2 bukanlah merupakan bilangan rasional, sehingga garis yang dimaksud akan terputus diantara 1 dan 2. Untuk mengerjakan sifat ini ada beberapa notasi selang atau disebut juga dengan interval yang sering digunakan, sebagai berikut.



4



2. 2 Fungsi Sifat Kelengkapan Salah satu sifat dalam sistem bilangan real yang memegang peranan sangat penting yaitu sifat kelengkapan (completeness). Karena sifat ini menjamin bahwa setiap himpunan bagian tak kosong dari himpunan bilangan real yang terbatas ke atas dijamin nilai supremumnya pasti ada. 2. 3 Contoh Soal dan Cara Pengerjaan Sifat Kelengkapan 1. Buktikan himpunan



bahwa



jika



aa batas



atas



himpunan



AA dan bb batas



bawah



AA, maka:



a. setiap c∈Rc∈R dengan c≥ac≥a merupakan batas atas AA; b. setiap d∈Rd∈R dengan d≤bd≤b merupakan batas bawah AA. Jawaban a) Karena a batas atas A, maka x ≤ a untuk setiap x∈A (sesuai definisi batas atas) Sekarang, untuk c ≥ a, c∈R, berlaku x ≤ a ≤ c atau dapat ditulis x ≤ c, untuk setiap x∈A. Dengan demikian, c memenuhi definisi batas atas, sehingga dapat dikatakan bahwa c juga merupakan batas atas A. Jawaban b) Karena b batas atas A, maka x ≥ b untuk setiap x∈A (sesuai definisi batas bawah). Sekarang, untuk d ≤ b, d∈R, berlaku x ≥ b ≥ d atau dapat ditulis x ≥ d, untuk setiap x∈A. Dengan demikian, d memenuhi definisi batas bawah, sehingga dapat dikatakan bahwa d juga merupakan batas bawah A. 2. Diketahui A ={x∈R | 1 < x ≤ 2}. Tentukan batas atas dan batas bawah himpunan ini! Jawaban Batas atas himpunan A adalah bilangan dengan interval [2,∞), karena bilanganbilangan di interval itu lebih besar atau sama dengan semua bilangan anggota himpunan A. Batas bawah himpunan A adalah bilangan dengan interval (−∞,1], karena bilangan-bilangan di interval itu lebih kecil atau sama dengan semua bilangan anggota himpunan A.



5



BAB III PENUTUP



3.1. Kesimpulan Sifat kelengkapan memungkinkan kita menyatakan R sebagai suatu garis (yang tak berlubang), yang disebut garis bilangan real. Pada garis bilangan real, setiap titik menyatakan sebuah bilangan real. Sebaliknya, setiap bilangan real dapat dinyatakan sebagai sebuah titik pada garis bilangan real. (Sebagai perbandingan, himpunan semua bilangan rasional tidak dapat dinyatakan sebagai sebuah garis). Sifat kelengkapan ini bisa dinyatakan dalam notasi selang atau yang disebut juga dengan interval. 3.2. Saran Kami sebagai penulis, menyadari bahwa makalah ini banyak sekali kesalahan dan sangat jauh dari kesempurnaan. Tentunya, penulis akan terus memperbaiki makalah dengan mengacu pada sumber yang dapat dipertanggungjawabkan nantinya. Oleh karena itu, penulis sangat mengharapkan kritik dan saran tentang pembahasan makalah diatas.



6



DAFTAR PUSTAKA



Widjaja, Sonny. 2017. “Definisi Sifat Kelengkapan”, https://docplayer.info/30255862-5-sifatkelengkapan-bilangan-real.html, diakses pada 18 Maret 2021 Pukul 12.00 WIB Khusnus, Nur. 2020. “Fungsi Sifat Kelengkapan”, https://analisisreal.mipa.ugm.ac.id/bilanganreal/kelengkapanreal/, diakses pada 18 Maret 2021 Pukul 12.30 WIB Sukardi. 2017. “Contoh Soal Sifat Kelengkapan dan Cara Pengerjaannya”, https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-aksioma-kelengkapan-analisisreal/, diakses pada 18 Maret 2021 Pukul 13.00 WIB Dengan disertai sumber dari Dosen Pembimbing kami yaitu Siti Maryatul Kiptiyah, S.Si, S.Pd., M.Pd.



7