Konsep Turunan [PDF]

Citation preview

A. Konsep Turunan Konsep turunan sebagai bagian utama dari materi kalkulus dipikirkan pada waktu yang bersamaan oleh seorang Ilmuan Ahli matematika sekaligus Fisika berkebangsaan Inggris yang bernama Sir Isaac NewtoN (1642 – 1727). Serta oleh seorang ahli matematika berbangsa Jerman yang bernama Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716). Newton menggunakannya untuk memecahkan masalah-masalah fisika dan astronomi, sedangkan Leibniz menggunakannya untuk memecahkan masalahmasalah geometri. Konsep turunan fungsi secara universal atau menyeluruh banyak sekali dimanfaatkan di dalam berbagai bidang keilmuan, di antaranya: 1. Bidang ekonomi: yang dipakai guna menghitung berupa, biaya total atau total penerimaan. 2. Bidang biologi: dipakai untuk menghitung laju pertumbuhan organisme. 3. Bidang fisika: di pakai untuk menghitung kepadatan kawat. 4. Bidang kimia: dipakai untuk menghitung laju pemisahan. 5. Bidang geografi dan juga sosiologi: yang dipakai untuk menghitung laju pertumbuhan penduduk serta masih banyak lagi. Turunan atau diferensial dipakai sebagai sebuah alat untuk menyelesaikan berbagai permasalahan yang dijumpai di dalam bidang geometri dan mekanika. Misalkan, laju perubahan kecepatan sebuah bola yang dilempar vertical ke atas. Pada saat naik, kecepatan bola semakin berkurang dan kecepatannya nol ketika bola sampai pada titik tertinggi. Sementara itu, pada saat turun, kecepatan bola semakin bertambah. Misalkan f ( t ) adalah fungsi yang menunjukkan jarak yang ditempuh benda dalam waktu t dengan f ( t )=8 t 2 dimulai dari t=0. Kecepatan rata−rata=



Perubahan jarak Perubahan waktu



Kecepatan rata-rata untuk selang waktu dari: 1. t=2 detik sampai dengan t=3 detik Jarak yang telah ditempuh benda pada saat t=2 adalah f ( 2 ) =8.2 2=32m . Jarak yang telah ditempuh benda pada saat t=3 adalah f ( 3 )=8. 32=7 2 m. Kecepatan rata−rata=



f ( 3 )−f (2 ) 72−32 = =40 m/deti k 3−2 1



2. t=2 detik sampai dengan t=2,5 detik



Jarak yang telah ditempuh benda pada saat t=2 adalah f ( 2 ) =8.2 2=32m . Jarak yang telah ditempuh benda pada saat t=2,5 adalah f ( 2,5 )=8.(2,5)2=50 m. Kecepatan rata−rata=



f ( 2,5 )−f (2 ) 50−32 = =36 m/deti k 2,5−2 0,5



3. t=2 detik sampai dengan t=2,25 detik Jarak yang telah ditempuh benda pada saat t=2 adalah f ( 2 ) =8.2 2=32m . Jarak yang telah ditempuh benda pada saat t=2,25 adalah f ( 2,25 )=8.(2,25)2=40,5m. Kecepatan rata−rata=



f ( 2,25 )−f ( 2 ) 40,5−32 = =34 m/deti k 2,25−2 0,25



Selanjutnya berturut-turut akan diperlihatkan kecepatan rata-rata pada selang waktu dari t=2sampai dengan t=2+h dengan nilai h yang semakin kecil, seperti terlihat pada table berikut: h



1



0,5



0,25



0,10



0,01



0,001



0,0001



v



40



36



34



32,8



32,08



32,008



32,0008 32,00008



0,00001



Tabel di atas menunjukkan bahwa jika h mendekati 0, maka kecepatan sesaatnya mendekati 32. Kecepatan benda pada saat t ditentukan sebagai laju perubahan jarak terhadap waktu, dan ditulis sebagai: lim



h→ 0



f (t +h ) −f ( t) h



Kecepatan benda pada saat t dengan f ( t )=8 t 2 adalah: f (t +h ) −f ( t ) 8 ( t+ h )2−8 ( t )2 lim =lim h h h→ 0 h→0 ¿ lim



8 ( t 2+ 2t h+h2 ) −8 t 2 h



¿ lim



8 t 2+16 th +8 h2 −8 t 2 h



¿ lim



16 th+ 8 h2 h



¿ lim



h( 16 t+8 h) h



h→0



h→0



h→0



h→0



¿ lim (16 t+ 8 h) h→0



¿ lim (16 t +8 .0 ) h→0



¿ 16 t Jadi, kecepatan benda pada saat t=2 adalah 16.2=32 m/detik. Contoh Soal:



B. FUNGSI TURUNAN DARI f (x) Definisi Turunan: Misalkan y adalah fungsi dari x atau y=f ( x ) . Turunan dari y terhadap x dinotasikan dengan f ' ( x ) atau y ' atau f ' ( x )=lim h→ 0



dy , didefinisikan sebagai berikut : dx



f ( x +h )−f ( x) h



Example 1: Jika diberikan y=6 x +1 , maka tentukanlah turunan y terhadap x. Solution 1: 6 ( x +h ) +1−(6 x +1) ❑ h h →0 6 x +6 h+1−6 x −1 ¿ lim h h→0 6h ¿ lim h→0 h y ' =lim



¿ lim 6 h→0



¿6 Example 2: Tent. f ' ( x ) dari setiap fungsi berikut. a. f ( x )=4 x 2 b. f ( x )=3 x 2−2 x solution 2: a. f ( x )=4 x 2 f ' ( x )=lim



f ( x +h )−f ( x) h



¿ lim



f ( x +h )−f ( x) h



¿ lim



4( x +h) −4 x h



h→ 0



h→0



2



h→0



2



4 x2 +8 xh+ 4 h2 −4 x 2 ¿ lim h h→0 ¿ lim



8 xh+ 4 h2 h



¿ lim



h ( 8 x +4 h ) h



h→0



h→0



¿ lim 8 x + 4 h h→0



¿8 b. f ( x )=3 x 2−2 x f ' ( x )=lim h→ 0



f ( x +h )−f ( x) h



¿ lim



h→0



f ( x +h )−f ( x) h



3(x +h)2−(3 x2 −2 x ) ¿ lim h h→0 ¿ lim



3 x 2+ 6 xh+ 3 h2−2 x−2 h−3 x 2+ 2 x h



¿ lim



6 xh+3 h2 −2 h h



¿ lim



h ( 6 x +3 h−2 ) h



h→0



h→0



h→0



¿ lim 6 x +3 h−2 h→0



¿ 6 x−2 #########Selamat belajar & Tetap Semangat #########