Kuantor Dan Fungsi Proposisi Makalh [PDF]

Citation preview

MAKALAH KWANTOR DAN FUNGSI PROPOSISI Dosen Pengampu :



Disusun Oleh : JIMMI E. SIBARANI (20188300044) NINA PRODI MATEMATIKA SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN KUSUMANEGARA Jl.Raya Jakarta Km.24, JAKARTA



i



KATA PENGANTAR



Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan YME yang telah memberikan rahmat serta karuniaNya kepada pemakalah sehingga pemakalah berhasil menyelesaikan Makalah ini. Dalam proses penyusunan tugas ini kami menemui beberapa hambatan, namun berkat dukungan materil dari berbagai pihak, akhirnya kami dapat menyelesaikan tugas ini dengan cukup baik. Oleh karena itu, melalui kesempatan ini kami menyampaikan terima kasih kepada semua pihak terkait yang telah membantu terselesaikannya tugas ini. Penulis menyadari bahwa tugas ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, segala saran dan kritik yang membangun dari pembaca sangat kami harapkan demi perbaikan pada tugas selanjutnya. Harapan kami semoga tugas ini bermanfaat khususnya bagi kami dan bagi pembaca lain pada umumnya.



Jakarta, 27 Oktober 2018



ii



DAFTAR ISI



KATA PENGANTAR......................................................................................................................................... ii DAFTAR ISI.................................................................................................................................................... iii BAB I PENDAHULUAN ................................................................................................................................... 1 1.1.



Latar Belakang .............................................................................................................................. 1



1.2.



Rumusan Masalah ......................................................................................................................... 1



BAB II PEMBAHASAN..................................................................................................................................... 2 2.1.



Fungsi............................................................................................................................................ 2



2.2.



Proposisi........................................................................................................................................ 3



2.2.1



Fungsi Proposisi .................................................................................................................... 3



2.2.2



Simbol Proposisi ................................................................................................................... 4



2.3.



Pernyataan Berkuantor .................................................................................................................. 4



2.3.1



Kuantor Universal (Umum) .................................................................................................. 4



2.3.2



Kuantor Eksistensial (Khusus) .............................................................................................. 5



2.3.3



Negasi Pernyataan Berkuantor .............................................................................................. 7



2.3.4



Negasi Kuantor Universal (Negasi Kuantor Umum) ............................................................ 7



2.3.5



Negasi Kuantor Eksistensial (Negasi Kuantor Khusus) ........................................................ 8



BAB III PENUTUP ........................................................................................................................................... 9 3.1.



KESIMPULAN ............................................................................................................................. 9



3.2.



SARAN ......................................................................................................................................... 9



DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................................................................ iv



iii



BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Banyak argument valid, namun validitasnya tak dapat diuji dengan alat uji validitas yang ada. Validitas argument tergantung pada tafsiran pernyataan tunggalnya . Cara lain adalah validitas yang didasarkan pada hubungan kalimat(kaitan antara subyek dan predikat). Hubungan antara subyek dan predikat akan memberikan tafsiran terhadap benar tidaknya kalimat. Untuk memudahkan analisis, dibuat simbol kalimat tunggal yang memuat komponen subyek-predikat. Predikat disimbolkan dengan huruf besar dan subyek disimbolkan dengan huruf kecil. Suatu pernyataan atau proposisi merupakan kalimat deklaratif. Adapun lawan kata dari kalimat deklaratif adalah fungsi proposisi. Fungsi proposisi akan menjadi pernyataan bila variable lindividualnya(x) diganti/disubtitusi dengan konstanta individual. Adapun instantiasi adalah suatu cara untuk mensubtitusi variable individual dengan konstanta individual. Fungsi proposisi dikenal juga sebagai kalimat tunggal. Lawan dari kalimat tunggal adalah kalimat umum atau kalimat generalisasi. Ciri dari kalimat yang general adalah menggunakan kata semua, untuk setiap, ada, beberapa. Kalimat general disebut dengan Kuantor. 1.2. Rumusan Masalah 1. 2. 3. 4.



Apa yang dimaksud dengan Fungsi Proposisi? Sebutkan simbol dari proposisi! Apakah yang dimaksud dengan pernyataan berkuantor? Jelaskan negasi dari pernyataan berkuantor!



1



BAB II PEMBAHASAN 2.1. Fungsi Pandangan bahwa untuk setiap anggota himpunan A dikaitkan dengan satu dan hanya satu anggota himpunan B, koleksi dari pengaitan semacam itu disebut suatu fungsi dari A ke B. Fungsi merupakan suatu relasi yang khusus. Di sini fungsi dapat disajikan sebagai himpunan pasangan terurut (x,y)seperti halnya relasi. Yang perlu diperhatikan setiap anggota domain satu hanya satu kali muncul sebagai komponen pertama pasang.



Membedakan domain , kodomain, dan range. 1.



Himpunan A disebut Domain



2.



Himpunan B disebut Kodomain



3.



Himpunan semua peta disebut Range



2



2.2. Proposisi Proposisi ,pada hakekatnya adalah suatu metode dalam komputasi menggunakan proposisi atau menggunakan kalimat. Di sini, kalimat yang dimaksud merupakan kalimat deklaratif. Pada kalimat deklaratif tersebut dapat kita berikan nilai kebenarannya (truth value) yaitu salah satu dari “true” atau “false”. Kalimat seperti itu biasa disebut sebuah statemen. Sebuah contoh statemen, dapat kita ambil kalimat “kucing adalah binatang berkaki empat” ,atau “matahari terbit di sebelah timur” dan lain sebagainya.



2.2.1



Fungsi Proposisi



Fungsi proposisi adalah suatu kalimat terbuka di dalam semesta pembicaraan (semesta pembicaraan diberikan secara eksplisit atau implisit) yang mengandung satu buah variable atau lebih. Fungsi proposisi dinyatakan sebagai P(x) dimana P adalah predikat dan x adalah variabel. P(x) bukanlah proposisi selama nilai x belum disubstitusikan, tetapi ketika nilai x disubstitusikan maka P(x) menjadi proposisi. Contoh: P(x) = x > 2. Dimana P adalah predikat “lebih dari 2” untuk variabel x. Nilai kebenaran dari fungsi proposisi yaitu Apabila pengganti dari variabel 𝑥 disubstitusikan ke P(x) dan memenuhi predikat P maka fungsi proposisi bernilai benar, jika tidak memenuhi maka bernilai salah. Contoh : 



Jika P(x) = 1 + x > 5 didefinisikan pada A = himpunan bilangan asli, maka P(x) bernilai 3



benar untuk x = 5, 6, 7, . . . 



Jika Q(x) = x + 3 < 1 didefinisikan pada A = himpunan bilangan asli, tidak ada x



yang menyebabkan Q(x) bernilai benar. 



Jika R(x) = x + 3 > 1 didefinisikan pada A = himpunan bilangan asli, maka R(x)



bernilai benar untuk x = 1, 2, 3,. Jadi, dapat disimpulkan bahwa fungsi proposisi adalah suatu pernyataan yang mengandung variabel yang nilai kebenarannya belum dapat ditentukan (belum pasti). Dan jika variabel tersebut diganti konstanta dari semesta yang sesuai maka kalimat itu akan menjadi kalimat yang bernilai benar saja atau bernilai salah saja (proposisi/kalimat tertutup).



2.2.2



Simbol Proposisi



Berikut adalah simbol-simbol yang digunakan dalam proposisi : 1. 2. 3. 4. 5.



Simbol kebenaran : true and false Simbol konstanta : a, b, c, d Simbol variabel : x, y, z, w Simbol fungsi : f, g, h Simbol predikat : P, Q, R, S



2.3. Pernyataan Berkuantor Kuantor adalah suatu istilah yang menyatakan “berapa banyak” dari suatu objek dalam suatu sistem. Kalimat kuantor disebut juga sebagai kalimat umum (general). Pernyataan berkuantor adalah salah satu cara mengubah kalimat terbuka tersebut menjadi suatu kalimat tertutup atau pernyataan, sehingga nilai kebenarannya dapat ditentukan. Terdapat dua jenis pernyataan berkuantor, yaitu kuantor universal (umum) dan kuantor eksistensial (khusus). 2.3.1



Kuantor Universal (Umum)



Jika A suatu ekspresi logika dan x adalah variabel, maka jika ingin menentukan bahwa A adalah bernilai benar untuk semua nilai yang dimungkinkan untuk x akan ditulis (∀x)A. Disini ∀x disebut kuantor universal, dengan A adalah scope dari kuantor. Variabel x disebut terikat (bound) dengan kuantor. Simbol ∀ menggantikan kata “untuk semua” atau “untuk setiap”. Contoh :



4



Semua gajah mempunyai belalai. Dapat ditulis: G(x)→B(x) Dibaca: “Jika x adalah gajah, maka x mempunyai belalai ”. Selanjutnya, ditulis: (∀x)(G(x) → B(x)) Dibaca: “Untuk semua x, jika x adalah gajah, maka x mempunyai belalai ” Dapat disimpulkan, kuantor universal adalah suatu pernyataan yang mengandung kata “semua” atau kata apa saja yang artinya sama dengan “semua”, misalnya “setiap”. Kuantor universal mengindikasikan bahwa sesuatu bernilai benar untuk semua individual- individualnya. Pernyataan yang memakai kuantor universal (∀) menggunakan perangkai implikasi (→) yaitu “Jika semua…maka…”.







Langkah untuk melakukan pengkuantoran universal



Perhatikan pernyataan berikut ini : “Semua mahasiswa harus rajin belajar”. Untuk melakukan pengkuantoran universal pada pernyataan tersebut maka dilakukan langkahlangkah seperti berikut : 1. Carilah lingkup (scope) dari kuantor universalnya. Yaitu : “Jika x adalah mahasiswa, maka x harus rajin belajar”. Selanjutnya akan ditulis :



Mahasiswa(x) → harus rajin belajar(x)



2. Berilah kuantor universal di depannya. Yaitu:



(x)(mahasiswa(x) → harus rajin belajar(x))



3. Ubahlah menjadi suatu fungsi. Yaitu:



(x)(M(x) → B(x))



2.3.2



Kuantor Eksistensial (Khusus)



Jika A suatu ekspresi logika dan x adalah variabel, maka jika ingin menentukan bahwa A adalah bernilai benar untuk untuk sekurang-kurangnya satu dari x, maka akan ditulis (Ǝx)A. Disini Ǝx 5



disebut kuantor eksistensial, dengan A adalah scope (lingkup) dari kuantor. Variabel x disebut terikat (bound) dengan kuantor. Simbol Ǝ menggantikan kata “ada”, “beberapa” atau “tidak semua”. Contoh : Ada bilangan prima yang genap. Dapat ditulis: P(x) Λ E(x) Dibaca: “Yang x adalah bilangan prima dan x adalah genap” Selanjutnya, ditulis: (Ǝx)(P(x) Λ E(x)). Dimana P mengganti “bilangan prima”, sedangkan E mengganti genap (even). Dibaca: “Ada x, yang x adalah bilangan prima dan x adalah genap” Dapat disimpulkan, kuantor eksistensial adalah suatu pernyataan yang mengandung kata “beberapa” atau “ada (tidak semua/sekurang-kurangnya satu)” atau “terdapat”. Kuantor universal mengindikasikan bahwa sesuatu kadang-kadang bernilai benar untuk individual- invidualnya. Pernyataan yang memakai kuantor eksistensial (Ǝ) menggunakan perangkai konjungsi (Λ) yaitu “Ada…yang…dan….”. 



Langkah untuk melakukan pengkuantoran eksistensial



Perhatikan pernyataan berikut ini : “Ada pelajar yang memperoleh beasiswa berprestasi ” Untuk melakukan pengkuantoran eksistensial pada pernyataan tersebut maka dilakukan langkahlangkah seperti berikut : 1. Carilah lingkup (scope) dari kuantor eksistensialnya. : “Ada x yang adalah pelajar, dan x memperoleh beasiswa berprestasi”.



Yaitu Selanjutnya akan ditulis :



Pelajar(x) Λ memperoleh beasiswa berprestasi(x)



2. Berilah kuantor eksistensial di depannya. Yaitu



:



(Ǝx) (Pelajar(x) Λ memperoleh beasiswa berprestasi(x))



3. Ubahlah menjadi suatu fungsi. Yaitu



:



(Ǝx)(P(x) Λ B(x))



6



Perlu diingat bahwa jangan mengabaikan tanda kurung untuk fungsi dibelakang kuantor karena mempengaruhi proses manipulasinya. Perhatikan dua contoh di bawah yang kelihatannya sama tetapi berbeda: (x)(M(x)→B(x)) (x)M(x) → B(x) 2.3.3



Negasi Pernyataan Berkuantor



Pernyataan berkuantor, seperti halnya pernyataan tunggal atau majemuk, dapat dinegasikan atau diingkarkan. Sebagaimana telah kita ketahui bahwa pernyataan berkuantor terdiri dari pernyataan berkuantor universal dan eksistensial. Maka ingkaran/negasi dari pernyataan berkuantor juga terdiri dari dua negasi pernyataan berkuantor, yaitu negasi kuantor universal dan negasi kuantor eksistensial. 2.3.4



Negasi Kuantor Universal (Negasi Kuantor Umum)



Negasi dari suatu pernyataan yang mengandung kuantor universal adalah ekivalen dengan pernyataan yang mengandung kuantor eksistensial (fungsi pernyataan yang dinegasikan). Dapat disimpulkan bahwa, negasi dari kuantor universal adalah kuantor ekstensial ~( ∀x)P(x) (x)~P(x) Negasi dari “semua (setiap) …” ≡ ada (beberapa) …yang tidak …”. Misalkan : 1. p : semua bilangan bulat adalah positif



(∀x)(B(x)→P(x)) (x)(B(x) Λ ~P(x))



~p : ada bilangan bulat yang tidak positif 2. q : semua bilangan asli adalah positif



(∀x)(A(x)→P(x)) (x)(A(x) Λ ~P(x))



~q : beberapa bilangan asli yang tidak positif



7



2.3.5



Negasi Kuantor Eksistensial (Negasi Kuantor Khusus)



Negasi dari suatu pernyataan yang mengandung kuantor eksistensial adalah ekivalen dengan pernyataan yang mengandung kuantor universal (fungsi pernyataan yang dinegasikan). Dapat disimpulkan bahwa, negasi dari kuantor ekstensial adalah kuantor universal. ~( x)P(x) (x)~P(x) Negasi dari “ada (beberapa / terdapat) …” ≡ semua (setiap) … tidak …”. Misalkan : 1. p : ada bilangan prima adalah bilangan genap ~p : semua bilangan prima bukan bilangan genap 2. q : ada wanita yang menyukai sepak bola



(x)(P(x) Λ G(x)) (x)(P(x)→~G(x)) (x)(W(x) Λ B(x)) (x)(W(x)→ ~B(x))



~q : semua wanita tidak menyukai sepak bola



8



BAB III PENUTUP 3.1.KESIMPULAN Dari pemaparan diatas, serta segala penjelasan-penjelasan, dapat diambil kesimpulan bahwa fungsi proposisi adalah suatu pernyataan yang mengandung variabel yang nilai kebenarannya belum dapat ditentukan (belum pasti) atau disebut juga sebagai kalimat terbuka. Kuantor adalah suatu istilah yang menyatakan “berapa banyak” dari suatu objek dalam suatu sistem. Kalimat kuantor disebut juga sebagai kalimat umum (general). Pernyataan berkuantor adalah salah satu cara mengubah kalimat terbuka tersebut menjadi suatu kalimat tertutup atau pernyataan, sehingga nilai kebenarannya dapat ditentukan. Terdapat dua jenis pernyataan berkuantor, yaitu kuantor universal (umum) dan kuantor eksistensial (khusus). kuantor universal adalah suatu pernyataan yang mengandung kata “semua” atau kata apa saja yang artinya sama dengan “semua”, misalnya “setiap”. Sedangkan kuantor eksistensial adalah suatu pernyataan yang mengandung kata “beberapa” atau “ada (tidak semua/sekurang-kurangnya satu)” atau “terdapat”. Suatu pernyataan berkuantor dapat diingkarkan atau dinegasikan, ingkaran atau negasi dari pernyataan berkuantor juga terdiri dari dua negasi pernyataan berkuantor, yaitu negasi kuantor universal dan negasi kuantor eksistensial. Negasi dari suatu pernyataan yang mengandung kuantor universal adalah ekivalen dengan pernyataan yang mengandung kuantor eksistensial (fungsi pernyataan yang dinegasikan). Negasi dari suatu pernyataan yang mengandung kuantor eksistensial adalah ekivalen dengan pernyataan yang mengandung kuantor universal (fungsi pernyataan yang dinegasikan).



3.2.SARAN Diharapkan dengan pembuatan makalah ini, pengetahuan yang dimiliki Pemakalah maupun para Mahasiswa dapat bertambah luas tentang Fungsi Proposisi, Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial, serta negasi dari pernyataan berkuantor



9



DAFTAR PUSTAKA



1. http://andani17.blogspot.com/2015/03/fungsi-preposisipredikat.html 2. https://www.academia.edu/35651054/MAKALAH_LOGIKA_PEMBIMBING 3. https://www.scribd.com/doc/43860345/3-Isi-Makalah-Mulai-Bab1-Bab-Konstanta-KalimatTerbuka-Variabel-Dan-Kuantor



iv