Landasan Matematika (lengkap) [PDF]

Citation preview

Asmianto, S.Si, M.Si



Dra. Ety Tejo Dwi Cahyowati, M.Pd



Dr. Desi Rahmadani, S.Si, M.Si



Latifah Mustofa Lestyanto, S.Si, M.Pd



LANDASAN MATEMATIKA



BAHAN BAHAN AJAR AJAR ELEKTRONIK ELEKTRONIK



HIMPUNAN



LOGIKA



METODE PEMBUKTIAN



BAHAN AJAR ELEKTRONIK



LANDASAN MATEMATIKA Tim Penyusun Asmianto, S.Si. M.Si Dr. Desi Rahmadani, S.Si, M.Si Dra. Ety Tejo Dwi Cahyowati, M.Pd Latifah Mustofa Lestyanto, S.Si, M.Pd



Layouter Iftiana Rahmaningtyas, S.Pd



METODE PEMBUKTIAN



HIMPUNAN



i



KATA PENGANTAR Assalamualaikum wr.wb. Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT, yang telah memberikan kekuatan, kemauan, ketekunan dan kesabaran sehingga bahan ajar elektronik ini akhirnya dapat diselesaikan. Sumber bacaan pokok dari penulisan bahan ajar elektronik ini adalah buku Proofs and Fundamentals yang ditulis oleh Ethan D. Bloch tahun 2011, sebagai pelengkap juga diambil dari buku-buku yang ditulis oleh Morash, R.P., Conradie, W., & Goranko,V dan lain-lain. Bahan ajar elektronik ini dipersiapkan terutama untuk mahasiswa Jurusan Matematika yang sedang menempuh kuliah pada semester pertama pada mata kuliah Landasan Matematika. Sepanjang pengalaman penulis mengajar mata kuliah tersebut, banyak mahasiswa yang mengeluh karena kurangnya bacaan dalam bahasa Indonesia yang digunakan dalam perkuliahan, khususnya pada materi logika dan metode pembuktian matematika yang relatif baru bagi para mahasiswa. Bahan ajar elektronik ini terdiri dari tiga bab, bab pertama berisi materi himpunan, bab kedua mengenai logika, dan bab ketiga mengenai metode pembuktian matematika. Materi-materi tersebut merupakan materi dasar yang harus dikuasai oleh mahasiswa di Jurusan Matematika untuk mempelajari mata kuliah di semester berikutnya terutama yang bersifat H I M(advanced PUNAN matematika lanjut mathematics).



ii



METODE PEMBUKTIAN



Penulis mengucapkan terimakasih kepada berbagai pihak yang telah membantu sehingga dapat diterbitkannya bahan ajar elektronik ini. Penulis juga merasa bahwa bahan ajar elektronik ini jauh dari sempurna, oleh karena itu segala masukan baik berupa saran maupun kritik yang membangun sangat diharapkan. Akhirnya semoga bahan ajar elektronik ini dapat bermanfaat bagi siapa saja yang ingin belajar dan mendalami materi dasar matematika. Wassalamualaikum wr.wb.



Malang, November 2021



Tim Penyusun



METODE PEMBUKTIAN



HIMPUNAN



iii



Acknowledgments Penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada Universitas Negeri Malang yang telah memberikan dukungan finansial berupa hibah Inovasi Pembelajaran Tahun 2021 kepada penulis sehingga bahan ajar elektronik ini dapat terselesaikan. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada keluarga besar Jurusan Matematika Universitas Negeri Malang yang telah memberikan inspirasi dan dukungan terhadap penulisan bahan ajar elektronik ini. Terakhir, penulis mengucapkan terima kasih kepada keluarga yang telah menguatkan, mendukung, dan memotivasi penulis.



METODE PEMBUKTIAN



HIMPUNAN



iv



DAFTAR ISI Halaman Judul ................................................………………………………...........i Kata Pengantar ................................................………………...……………..........ii Acknowledgements ................................................………………………………..iv Daftar Isi …………..…………………….......……....................…..............................v Daftar Gambar ..……………………………….......……....................…..................vii Daftar Tabel ..……………………………….......……....................….....................viii



BAB 1



HIMPUNAN………………………………….......……......................…..1 1.1 Pengertian Dasar dan Notasi………………………...…………..……4 1.2 Operasi pada Himpunan………………….............…….…….....…..17 1.3 Sifat-sifat Aljabar pada Himpunan.………………......................24 1.4 Sifat Counting pada Himpunan……………………..….................25



BAB 2



LOGIKA……………………………………………………..………..……...34 2.1 Proposisi, Negasi, Konjungsi, Disjungsi, dan Tabel Kebenaran…………………….............………………............................36 2.2 Tautologi, Kontradiksi, Ekivalensi, Kondisional, dan Bikondisional……..……………….............……………….....................44 2.3 Teorema Logika Proposisi…………………………..........................56 2.4 Analisis Argumen untuk Logika Validitas…………..................59 2.5 Logika Predikat……………………………………………….....……......67 2.6 Kuantifikasi Logika Proposisi dengan Beberapa Variabel………………………………………….....……...........................77



BAB 3



METODE PEMBUKTIAN MATEMATIKA………………...............86 METODE M P U N Langsung…………………………….………………………..........87 AN 3.1H IBukti PEMBUKTIAN



3.2 Bukti dengan Pembagian Kasus…………….……………………….92



v



3.3 Induksi Matematika………………………………….......…….............97 3.4 Bukti dengan Kontrapositif…………………………………...........104 3.5 Bukti dengan Kontradiksi………………………....................…....108 Daftar Rujukan………………………………….......……....................…................117 Profil Penulis………………………………….......……....................…...................118



METODE PEMBUKTIAN



HIMPUNAN



vi



DAFTAR GAMBAR Hal Gambar 1.2.1 (A × B) dan (B × A)………………..........................………...…………..…..20 Gambar 1.2.2 (P × Q) dan (Q × P)………………………………………….....…………..…..21 Gambar 1.2.3 (X × Y)….........................…………………....…………..……………….....…..22 Gambar 2.6.1 Implikasi dengan Dua Variabel …....…………..……………….....…...81



METODE PEMBUKTIAN



HIMPUNAN



vii



DAFTAR TABEL Hal Tabel 1.1 Jenis Interval……………………............................................…...…………...……7 Tabel 2.1 Tabel Kebenaran Negasi…………………..……..…………..............……...……37 Tabel 2.2 Tabel Kebenaran Konjungsi dan Disjungsi.…………..……..........….…....39



∨ ∧ Tabel 2.4 Tabel Kebenaran p∨~p................................................................................44 Tabel 2.5 Tabel Kebenaran (p∧q)∧~(p∨q)…............…..………………....................45 Tabel 2.6 Tabel Kebenaran p∧~p................................................................................45 Tabel 2.7 Tabel Kebenaran ~(p∨q) dan ~p∧~q......................................................46



Tabel 2.3 Tabel Kebenaran p ~(p q)……………......................................................44



Tabel 2.8 Tabel Kebenaran p → q................................................................................48 Tabel 2.9 Tabel Kebenaran p→q dan ~q→~p...........................................................50



Tabel 2.10 Tabel Kebenaran p↔q ...............................................................................52 Tabel 2.11 Tabel Kebenaran p→q, q→p, ~q→~p, ~p→~q .....................................56 Tabel 2.12 Pernyataan Berkuantor ............................................................................74 Tabel 2.13 Hukum De Morgan untuk Kuantifikasi.................................................75 Tabel 2.14 Kebenaran Kuantor Dua Variabel…………………………........................83



∧



Tabel 3.1 Tabel Ekivalensi antara P dan (~P)→(C ~C)……………………............109



METODE PEMBUKTIAN



HIMPUNAN



viii



HIMPUNAN



BAB 1 HIMPUNAN



Apa saja yang akan kita pelajari pada bab ini ?



Pada Bab I ini akan kita bahas metode penulisan himpunan, relasi dan operasi pada himpunan, dan perhitungan (counting) di himpunan. Pada dasarnya, topik himpunan sudah dikenal waktu di sekolah. Oleh karena itu, bab ini akan diawali kilas balik topik himpunan di sekolah melalui menjawab soal di bagian kilas balik. Informasi pengingat dan video berikut diharapkan bisa membantu Anda dalam menyelesaikan soal tersebut.



1



INFORMASI PENGINGAT



Check this out !



click this button !



KILAS BALIK



HIMPUNAN



2



HIMPUNAN Materi Esensi



Matematika merupakan pengetahuan yang deduktif-aksiomatik. Sebagai pengetahuan yang deduktif, kesimpulan yang dianggap benar harus melalui pembuktian yang deduktif. Dalam matematika, pembuktian secara induktif atau generalisasi adalah tidak valid atau tidak sah. Adalah tidak valid kita menyimpulkan “untuk semua bilangan real x, berlaku



〖 0〗^2=0,〖 3〗. Bahkan kita



x2≥0”, hanya dengan menunjukkan 2)^2>0,



perbanyak bilangan hingga seribu, dua ribu bahkan lebihpun tetap



bukanlah penarikan kesimpulan yang valid. Mengapa tidak valid? Hal ini disebabkan banyaknya bilangan real adalah tak hingga dan oleh karena itu tidak bisa disebut satu demi satu. Bukankah kalimat “untuk semua bilangan real x,berlaku x^2≥0 bernilai benar? Ya, memang benar, membuktikannya tidak cukup dengan hanya mendaftar beberapa bilangan real. Beberapa bilangan tersebut tidak cukup sebagai alat bukti untuk membuktikan benarnya pernyataan “untuk semua bilangan real x,berlaku ^2≥0”. Bagaimana membuktikannya? Jawabnya, kita gunakan peran matematika sebagai pengetahuan yang aksiomatik, yaitu menggunakan definisi, aksioma, dan teorema. Matematika sebagai pengetahuan yang aksiomatik diawali dengan unsur yang tidak didefinisikan (undefined term) atau primitif (primitive), definisi, aksioma, dan teorema. Aksioma merupakan hal yang langsung diterima kebenarannya. Teorema merupakan hal yang harus dibuktikan kebenarannya secara deduktif.



3



1.1 PENGERTIAN DASAR DAN NOTASI Materi Esensi



:



Himpunan



Di dalam struktur matematika, istilah “himpunan” merupakan istilah atau unsur yang tidak didefinisikan (undefined term) atau primitif (primitive). Jika pada buku-buku sekolah, istilah “himpunan” didefinisikan sebagai kumpulan obyek-obyek yang didefinisikan dengan jelas, maka perlu diketahui bahwa definisi tersebut bukanlah definisi yang formal. Obyek-obyek tersebut dikenal sebagai anggota atau elemen atau unsur himpunan. Definisi pada buku sekolah tersebut dapat dipandang sebagai pengertian himpunan secara intuitif. Dengan pengertian intuitif tersebut, maka dapat diketahui sesuatu obyek merupakan anggota suatu himpunan ataukah tidak.



METODE PENULISAN HIMPUNAN Penamaan himpunan seringkali dilambangkan dengan huruf kapital seperti A,B,P,Q,S,U dan sebagainya. Untuk menyatakan himpunan pada umumnya menggunakan notasi “kurung kurawal”, yaitu { }. Misal, himpunan A merupakan himpunan bilangan asli yang kurang dari 5 dapat dituliskan dengan A={1,2,3,4}. Himpunan A tersebut juga bisa dinotasikan dengan A={x│x merupakan bilangan asli yang kurang dari 5}. Pada dasarnya terdapat dua metode dalam menuliskan himpunan. Metode tersebut adalah 1. metode roster 2. metode rule



4



1.1 PENGERTIAN DASAR DAN NOTASI Materi Esensi



:



Himpunan



metode roster Penulisan himpunan dengan cara mendaftar anggota-anggotanya disebut penulisan himpunan dengan menggunakan metode roster. Berikut ini adalah hal-hal yang yang perlu diperhatikan ketika menggunakan metode Roster.



Menggunakan kurung kurawal Diberi tanda koma untuk memisahkan anggota yang satu dengan yang lain Urutan anggota tidak berpengaruh. Misal, {1,2,3} merupakan himpunan yang sama dengan {2,1,3} Pengulangan anggota himpunan tidak berpengaruh. Misal, {1,2,1,3,3} merupakan himpunan yang sama dengan {1,2,3} Menggunakan simbol tiga titik untuk menunjukkan anggotaanggota yang lain yang tidak ditulis secara eksplisit. Misal, himpunan bilangan bulat ditulis {…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}



Metode Roster disebut juga dengan metode enumerasi atau mendaftar.



5



1.1 PENGERTIAN DASAR DAN NOTASI Materi Esensi



:



Himpunan



metode rule Metode Rule merupakan metode penulisan himpunan dengan menyebutkan aturan pembentuk himpunan atau syarat keanggotaan himpunan. Catatan di samping menunjukkan hal-hal yang perlu diperhatikan pada metode rule. Metode Rule seringkali dinamakan “metode notasi pembentuk himpunan”. Penulisan himpunan A={x│x merupakan bilangan asli yang kurang dari 5} merupakan contoh penulisan himpunan dengan metode Rule. Himpunan tersebut dapat juga dituliskan sebagai



dengan



aa adalah himpunan semua bilangan asli.



Catatan Hal hal yang perlu diperhatikan pada metode rule antara lain : Menggunakan kurung kurawal Menggunakan simbol pemisah antara notasi anggota himpunan dengan syarat keanggotaan himpunan



NOTASI UNTUK HIMPUNAN KHUSUS Himpunan bilangan khusus di sini terdiri dari himpunan semua bilangan real, himpunan semua bilangan rasional, himpunan semua bilangan bulat, himpunan semua bilangan cacah, dan himpunan semua bilangan asli. Himpunan-himpunan bilangan tersebut mempunyai notasi yang baku (standard) sebagai berikut. Himpunan semua bilangan real: Himpunan semua bilangan rasional: Himpunan semua bilangan bulat: Himpunan semua bilangan Cacah: Himpunan semua bilangan asli: Himpunan semua bilangan kompleks:



6



1.1 PENGERTIAN DASAR DAN NOTASI Materi Esensi



:



Himpunan



INTERVAL Dalam konteks himpunan semesta, terdapat himpunan khusus yang dikenal dengan interval. Terdapat sembilan jenis interval, diantaranya adalah interval terbuka dan interval tertutup. Nama lain untuk interval adalah selang.



Definisi



Misalkan a dan b merupakan bilangan real, maka didefinisikan masingmasing jenis interval sebagai berikut. Tabel 1.1 Jenis Interval



∈



Kita tidak diperkenankan menotasikan { x sebagai (2,6].



|2 < x ≤ 6 }



(2,6] tidaklah sama dengan {3,4,5}



7



1.1 PENGERTIAN DASAR DAN NOTASI Materi Esensi



:



Himpunan



KEANGGOTAAN HIMPUNAN Obyek di dalam himpunan disebut dengan anggota himpunan tersebut. Kita perhatikan lagi himpunan A di atas, yaitu himpunan bilangan asli yang kurang dari 5. Bilangan 2 memenuhi syarat keanggotaan himpunan A, karena 2 merupakan bilangan asli yang kurang dari 5. Oleh karena itu 2 merupakan anggota himpunan A, dan



∈



dinotasikan dengan 2 A. Kita ketahui bahwa 5 bukan anggota himpunan A, karena 5 tidak kurang dari 5. Notasi untuk 5 bukan



∉



anggota himpunan A adalah 5 A. Istilah lain untuk anggota suatu himpunan adalah elemen suatu himpunan atau unsur suatu himpunan.



Keanggotaan Himpunan Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Jika A adalah himpunan dan a adalah salah satu anggota



∈



himpunan A, maka dapat ditulis a A .



∉



Jika a bukan anggota himpunan A, maka dapat ditulis a A Banyak anggota himpunan A dinotasikan dengan n(A).



HIMPUNAN SEMESTA Himpunan semesta merupakan himpunan yang melingkupi semua obyek yang menjadi pembicaraan kita. Misalkan kita akan membicarakan bilangan asli, maka himpunan semestanya berupa himpunan semua bilangan asli. Kalau kita akan membahas bilangan real, maka himpunan semestanya adalah himpunan semua bilangan real. Notasi untuk himpunan semesta waktu di sekolah dulu adalah S yang diambil dari inisial Semesta. Di buku-buku tingkat lanjut, himpunan semesta dinotasikan sebagai U. Notasi U ini diambil dari inisial Universe.



8



1.1 PENGERTIAN DASAR DAN NOTASI Materi Esensi



:



Himpunan



HIMPUNAN KOSONG Himpunan kosong merupakan himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan P={x│x adalah bilangan rasional dan sekaligus tidak rasional} merupakan contoh himpunan kosong.



Mengapa ?



Himpunan kosong bisa dinotasikan dengan { } atau bisa juga dengan



. Himpunan kosong disebut juga himpunan



nol (null set). Istilah himpunan nol sangat jarang digunakan, karena kalau disebutkan secara lisan bisa rancu dengan penyebutan himpunan yang beranggotakan nol saja, yaitu {0}.



RELASI ANTAR HIMPUNAN Beberapa relasi antar himpunan yang akan dibahas adalah:



1. KESAMAAN DUA HIMPUNAN 2. HIMPUNAN BAGIAN



9



1.1 PENGERTIAN DASAR DAN NOTASI Materi Esensi



:



Himpunan



KESAMAAN DUA HIMPUNAN Himpunan A dan himpunan B dikatakan sama jika semua anggota A dan B sama. Dengan kata lain, himpunan A dan himpunan B dikatakan sama jika dan hanya jika setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B dan jika setiap anggota himpunan B merupakan anggota himpunan A . Sebaliknya, jika tidak memenuhi kondisi di atas maka dikatakan himpunan A tidak sama dengan himpunan B dan dinotasikan dengan Coba tuliskan definisi



Contoh 1



dengan menekan tombol







Definisi



Penjelasan



Penjelasan



10



1.1 PENGERTIAN DASAR DAN NOTASI Materi Esensi



:



Himpunan



Penjelasan



Penjelasan







11



1.1 PENGERTIAN DASAR DAN NOTASI Materi Esensi



:



Himpunan



HIMPUNAN BAGIAN Himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B



⊆



dinotasikan dengan A B. Sedangkan notasi untuk himpunan A bukan himpunan bagian dari himpunan B adalah A⊈B. Dikenal juga istilah superset. Himpunan A merupakan superset dari himpunan B dinotasikan



⊇



dengan A B. Himpunan A dikatakan merupakan himpunan bagian (subset)



⊆



dari himpunan B, yang ditulis A B, jika dan hanya jika berlaku semua anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B. Jika tidak memenuhi syarat itu, maka dikatakan himpunan A bukan



Catatan



merupakan himpunan bagian dari himpunan B, yang ditulis A ⊈ B. Kalau begitu, apa definisi A⊈B ? Tulis jawabanmu dengan menekan tombol



Untuk setiap himpunan A di himpunan semesta U, berlaku:



∅⊆A A⊆U



Definisi



Himpunan A dikatakan superset dari himpunan B jika dan hanya jika himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A. Secara simbolik dapat



Pembuktian dari dua hal ini akan dibahas pada bab pembuktian dalam matematika.



⊇



ditulis sebagai A B jika dan hanya jika



⊆



B A.



Contoh 2 Misalkan diberikan: P={-2, -1,0,1,2,3,4}, Q={-2, -1,1,2}, R: himpunan bilangan cacah yang kurang dari 5, dan S={0,1,2,3,4}



⊆



⊆



⊆



Maka dapat disimpulkan bahwa: P⊈Q,Q P, P⊈R, R P, Q⊈R, R⊈Q, R S,



⊆



dan S R . Mengapa demikian ? Tuliskan jawabanmu dengan menekan tombol



Contoh 2



12



1.1 PENGERTIAN DASAR DAN NOTASI Materi Esensi



:



Himpunan



Jika kita kaitkan dengan pengertian himpunan bagian, maka pengertian kesamaan dua himpunan dapat ditulis secara simbolik sebagai berikut.



⊆



⊆



A=B jika dan hanya jika A B dan B A Secara simbolik pengertian himpunan A tidak sama dengan himpunan B dapat dituliskan sebagai berikut. A≠B jika dan hanya jika A⊈B atau B⊈A Ilustrasi pengertian kesamaan dua himpunan seperti ini dapat dilihat pada contoh di atas untuk himpunan R dan S. Kita perhatikan lagi kesimpulan contoh 2 di atas, khususnya untuk



⊆



⊆



P⊈Q dan Q P, yang berarti P≠Q walaupun Q P. Kondisi yang semacam ini dikatakan himpunan Q merupakan himpunan bagian sejati (proper



⊆



⊆



subset) dari himpunan P. Sekarang kita perhatikan kondisi R S dan S R, yang berarti R=S. Untuk itu kita tidak boleh mengatakan bahwa R



himpunan bagian sejati dari S, karena R=S. Notasi untuk himpunan bagian sejati adalah



⊂ atau ⊊. Notasi ⊊ jarang digunakan dan hati-hati notasi ⊊



berbeda dengan notasi ⊈.



HIMPUNAN kuasa Himpunan kuasa dari himpunan A adalah himpunan semua himpunan bagian dari himpunan A. Notasi untuk himpunan kuasa dari himpunan A adalah



.



Contoh 3



Penjelasan mengapa demikian dijadikan sebagai latihan.



13



1.1 PENGERTIAN DASAR DAN NOTASI Materi Esensi



:



Himpunan



Pada pembahasan tentang perhitungan yang terkait dengan himpunan akan dibuktikan bahwa berlaku teorema berikut.



TEOREMA 1



Jika A sebarang himpunan di himpunan semesta U dan n(A)=n, maka



Selanjutnya, kerjakan soal latihan tentang pengertian dasar dan notasi himpunan berikut.



LATIHAN 1.1 1. Nyatakan himpunan-himpunan berikut dengan mengunakan Metode Roster (termasuk { })



2. Nyatakan himpunan-himpunan berikut dengan mengunakan Metode llllRule. Jawaban bisa bervariasi. a. P = {1,3,5,7,9} b. Q: himpunan bilangan cacah yang kurang dari 15 c. R: himpunan selesaian dari d. S: himpunan bilangan positif e. T = {0,4,9,16,25,…}



14



1.1 PENGERTIAN DASAR DAN NOTASI Materi Esensi



:



Himpunan



3. Nyatakan himpunan-himpunan berikut dengan mengunakan notasi interval (termasuk



∅).



4. Diberikan lima himpunan berikut:



∅



∈



....A = { ,{1,2}, 7,9}, B = (-3,3], C = {x ....dan E = {[-3,3]}.



∈



│x =2n, n



}, D = {-2,-1,0,1,2,3},



Tentukan benar atau salah untuk masing-masing kalimat a hingga j ....berikut.



5. Pada tiap-tiap pasangan himpunan yang ada di a hingga d, tentukan .....berlakunya relasi kesamaan, subset ataukah proper subset.



6. Berikan penjelasan terhadap masing-masing contoh di Contoh 3



∈



7. Jika m,n



dan A adalah sebarang himpunan bilangan, maka



∈



lllldidefinisikan mA+n={ma+n│a A}



15



1.1 PENGERTIAN DASAR DAN NOTASI Materi Esensi



:



Himpunan



e. f. g. 8. Tuliskan 3 anggota masing-masing himpunan berikut.



Kumpulkan hasil pekerjaan kalian dengan menekan tombol berikut.



Kumpulkan



16



1.2 OPERASI PADA HIMPUNAN Materi Esensi



:



Himpunan



Terdapat 6 operasi pada himpunan yang akan dibahas. Operasioperasi himpunan itu meliputi operasi gabungan, irisan, komplemen, selisih, selisih simetris, dan perkalian kartesius.



GABUNGAN Notasi untuk gabungan dua himpunan adalah



∪. Pengertian



gabungan dua himpunan dinyatakan dengan definisi berikut.



∪



∪



A B = { x│x



∈ A atau x ∈ B }



Anggota-anggota A B bisa anggota himpunan A saja, bisa anggota B, bisa anggota di keduanya.



IRISAN Irisan himpunan A dan himpunan B dinotasikan dengan A∩B. Pengertian irisan himpunan A dan himpunan B dinyatakan dengan definisi berikut. A∩B ={ x│x



∈ A dan x ∈ B }



Berdasarkan definisi irisan terebut, maka yang bisa masuk sebagai anggota A∩B hanyalah anggota yang berada di himpunan A dan sekaligus berada di himpunan B. Himpunan A dan B dikatakan saling asing (disjoin) jika dan hanya jika A∩B =



∅.



Contoh 4



Misalkan P = {x



∈



│-3 < x< 6}, Q = {-2,0,2,4,6}, dan R=(-3,6).



∪ dan Q∪R = R∪{6}



∪



Maka P∩Q={-2,0,2,4}, P Q = {-2,-0,1,2,3,4,5,6}, P ∩ R=P, P R=R, Q∩R ={-2,0,2,4},



17



1.2 OPERASI PADA HIMPUNAN Materi Esensi



:



Himpunan



KOMPLEMEN Komplemen himpunan A merupakan himpunan yang anggotaanggotanya bukan anggota himpunan A tetapi masih anggota himpunan Semesta. Notasi komplemen himpunan A adalah A' (ada juga yang menotasikan sebagai



). Secara simbolik, pengertian komplemen



himpunan A dapat dinyatakan sebagai berikut.



∈ U│x ∉ A}



A' = {x



Contoh 5 1. Himpunan semua bilangan irrasional dapat dinotasikan dengan



.



Mengapa demikian ? Tuliskan jawabanmu dengan menekan tombol



Contoh 5 ..................... 2. Misalkan K=(-1,1], maka K'=(-∞,-1]



∪ (1,∞)



SELISIH Di dalam teori himpunan dikenal operasi selisih dan dinotasikan dengan -. Beberapa buku menotasikan operasi selisih dua himpunan dengan ∖. Pengertian A-B adalah komplemen himpunan B relatif terhadap himpunan A. Secara simbolik didefinisikan,



∉ ∈



∈



∉



A-B ={x B│x A } = {x│x A dan x B} Berdasarkan definisi komplemen dan irisan, maka



∈



∉



∈



∈



{x│x A dan x B} = {x│x A dan x B'}= A∩B' Oleh karena itu dapat diartikan A-B= A∩B'.



Contoh 6 1. 2. (1,4) - [0,3) = [3,4)



18



1.2 OPERASI PADA HIMPUNAN Materi Esensi



:



Himpunan



SELISIH SIMETRIS Selisih simetris dua himpunan dilambangkan dengan simbol



△.



Misalkan A dan B merupakan himpunan-himpunan dalam himpunan



△



semesta U. Didefinisikan dari A B sebagai berikut.



△



A B = (A-B)



∪ (B-A)



Ada beberapa buku yang mengistilahkan selisih simetris dengan jumlah simetris dan memberi simbol +.







Contoh 7 1.



△



2. (1,4)



△ [0,3) = [3,4)∪[0,1]



PERKALIAN KARTESIUS Misalkan A dan B merupakan himpunan-himpunan dalam himpunan semesta U. Perkalian Kartesius A×B yang dinotasikan dengan A×B didefinisikan sebagai



∈



∈



A×B = {(a,b)│a A dan b B} Banyak anggota A×B sama dengan hasil kali banyak anggota himpunan A dan himpunan B. Secara simbolik dapat ditulis: n(A×B) = n(A) × n(B)



Contoh 8 1. Misalkan A = {1,3,5} dan B = {2,4}. Maka (A×B) = {(1,2), (1,4), (3,2), (3,4), (5,2), (5,4)}; (B×A) = {(2,1), (4,1), (2,3), (4,3), (2,5), (4,5)}. Terlihat bahwa A×B ≠ B×A walaupun n(A×B) = n(B×A). Penyajian secara geometris dari (A×B) dan (B×A) ditunjukkan oleh gambar berikut.



19



1.2 OPERASI PADA HIMPUNAN Materi Esensi



:



Himpunan



(A×B)



(B×A)



Gambar 1.2.1 (A×B) dan (B×A)



∅ = ∅.



2. Untuk sebarang himpunan A, berlaku A×



3. Misalkan P={1,3,5} dan Q=(-2,4], maka secara geometris P×Q dan Q×P dapat disajikan dengan grafik di bawah ini.



20



1.2 OPERASI PADA HIMPUNAN Materi Esensi



:



Himpunan



(P×Q)



(Q×P)



Gambar 1.2.2 (P×Q) dan (Q×P)



21



1.2 OPERASI PADA HIMPUNAN Materi Esensi



:



Himpunan



4. Grafik di bawah ini menunjukkan representasi geometris dari X×Y dengan X=(1,3] dan Y=[2,4) (X×Y)



Gambar 1.2.3 (X×Y)



22



1.2 OPERASI PADA HIMPUNAN Materi Esensi



:



Himpunan



Kerjakan soal latihan tentang operasi pada himpunan dengan berikut.



LATIHAN 1.2 1. Carilah (jika ada) himpunan A sedemikian hingga: a. [1,3] = (1,3)



∪A



c. [1,3] = A - (1,3)



b. (1,3) = [0,3] ∩ A



d. [1,3] = A



△ (1,3)



2. Jika himpunan semesta U = {-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,7, 8}. Carilah (jika ada) himpunan A, B, dan C yang merupakan contoh untuk .menyangkal kebenaran (counter example) masing-masing pernyataan berikut. a. Jika A×C = B×C maka A=B b. Jika A∩B



⊆ A∩C maka A⊆B



3. Manakah dari himpunan-himpunan berikut yang saling asing? ......P = (1,3), Q = (-1,1], R = {1,2,3}, dan S = {-1}



Kumpulkan hasil pekerjaan kalian dengan menekan tombol berikut.



Kumpulkan



23



1.3 SIFAT-SIFAT ALJABAR PADA HIMPUNAN Pada operasi himpunan berlaku sifat-sifat sebagai berikut.



Sifat-sifat pada Operasi Himpunan



∪ (b) A∩A'=∅



1. (a) A A'=U (c) (A')'=A 2. Idempotent:



∪ (b) A∩A=A (a) A A=A



3. Identitas



∪∅=A (b) A∩U=A (a) A



4. Komutatif



∪ ∪ (b) A∩B=B∩A (a) A B=B A



5. Assosiatif



∪ ∪ ∪ ∪ (b) (A∩B)∩C=A∩(B∩C) (a) (A B) C=A (B C)



6. Distributif



∪ ∩ ∩ ∪ ∩ (b) (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C



(a) (A B) C=(A C) (B C) 7. De Morgan



∪ ∩ (b) (A∩B)^'=A'∪B' (a) (A B)^'=A' B'



24



1.4 SIFAT COUNTING PADA HIMPUNAN BERHINGGA



Sebelum Anda belajar tentang sifat counting pada himpunan berhingga, silahkan simak video berikut !



25



1.4 SIFAT COUNTING PADA HIMPUNAN BERHINGGA Materi Esensi



:



Himpunan



Pernyataan 1



Jika S merupakan suatu himpunan berhingga, simbol n(S) digunakan



∅



untuk merepresentasikan banyaknya elemen di S, dimana n( )=0 dan



∅ dan k merupakan bilangan bulat positif) jika dan



n(S)=k (untuk S≠



hanya jika k merupakan bilangan bulat positif yang mempunyai sifat bahwa elemen-elemen di dapat dipasangkan satu-satu dengan bilangan bulat positif 1,2,…k.



∪



Rumus untuk n(A B) Jika A dan B merupakan suatu himpunan, maka gabungan himpunan A dan B terdiri dari semua elemen yang ada pada kedua himpunan. Jika A



∪



dan B disjoint atau saling lepas maka n(A B)=n(A)+n(B). Tetapi jika ada elemen yang sama pada kedua himpunan, maka dengan rumus awal tadi akan ada elemen yang dihitung double atau dua kali, sekali pada himpunan A dan sekali pada himpunan B. Sehingga untuk menghindari



∪



perhitungan yang berlebih maka ketika menghitung n(A B), kita perlu mengurangi n(A)+n(B) dengan n(A∩B).



Rumus Counting 1 Jika A dan B merupakan himpunan berhingga maka,



∪



∩



n(A B) = n(A)+n(B)-n(A B).



Corollary Jika A dan B merupakan himpunan berhingga dan saling lepas, maka



∪



n(A B)= n(A)+n(B) Corollary di atas dapat dilihat sebagai konsekuensi dari rumus



∅



counting 1, karena jika (A∩B)= , maka n(A∩B)=0.



26



1.4 SIFAT COUNTING PADA HIMPUNAN BERHINGGA Materi Esensi



:



Himpunan



Contoh 9 Pada tahun 2021 sebanyak 36 mahasiswa matematika mengambil mata kuliah aljabar atau kalkulus. Jika yang mengambil mata kuliah aljabar sebanyak 28 mahasiswa dan 24 mahasiswa mengambil mata kuliah kalkulus, berapakah banyaknya mahasiswa yang mengambil kedua mata kuliah tersebut?



Penjelasan Misalkan A merupakan himpunan mahasiswa matematika yang mengambil mata kuliah aljabar dan B himpunan mahasiswa matematika yang mengambil mata kuliah kalkulus. Maka yang kita cari adalah n(A∩B). Dengan menggunakan rumus counting 1 didapat:



∪



∪



n(A B)= n(A)+n(B)-n(A∩B), maka n(A∩B)=n(A)+n(B)-n(A B) n(A∩B) = 28+24-36 = 16



Prinsip Dasar Counting : Rumus Counting 2



(Kaidah Perkalian) Jika aktivitas 1 dapat dilakukan dengan



cara, aktivitas 2 dapat



dilakukan dengan n2 cara dan aktivitas 3 dapat dilakukan dengan n3 cara, dan seterusnya hingga aktivitas ke-k dapat dilakukan dengan cara, maka banyak total cara untuk melakukan aktivitas-aktivitas tersebut secara berurutan adalah



n_1×n_2×n_3×…×n_k



(dimana n_1,n_2,n_3,…,n_k merupakan bilangan bulat positif).



27



1.4 SIFAT COUNTING PADA HIMPUNAN BERHINGGA Materi Esensi



:



Himpunan



Contoh 10 Andi diharuskan mengambil satu kursus bidang sains dari 5 kursus yang tersedia dan satu kursus bidang sosial dari 2 kursus yang tersedia. Berapakah banyaknya pilihan yang dapat dipilih oleh Andi dalam mengambil kursus tersebut?



Penjelasan Dengan menggunakan rumus counting 2 diperoleh banyaknya pilihan yang dapat dipilih Andi dalam mengambil kursus tersebut sebanyak 5×2=10 pilihan. Selain menggunakan rumus counting 2 kita juga bisa menggunakan diagram pohon. Misalkan kita memberi label kursus bidang sains dengan A,B,C,D dan E. Sedangkan label untuk kursus sosial X dan Y. Berikut diagram pohon terkait ilustrasi semua pilihan.



Contoh 11 Berapa banyak kata dengan 5 huruf yang dapat dibentuk dari 26 huruf alphabet, dengan ketentuan : 1. Perulangan huruf diperbolehkan. 2. Tidak boleh ada perulangan huruf



28



1.4 SIFAT COUNTING PADA HIMPUNAN BERHINGGA Materi Esensi



:



Himpunan



Penjelasan 1. Karena perulangan atau penggunaan huruf alphabet diperbolehkan, maka dengan menggunakan rumus counting 2 kita bisa dapatkan k=5 dan Sehingga banyak kata yang dapat dibentuk sebanyak 2. Karena perulangan atau penggunaan huruf alphabet tidak diperbolehkan, maka dengan menggunakan rumus counting 2 kita dapatkan k=5 dan



.



Sehingga banyak kata yang dapat dibentuk sebanyak 26×25×24×23×22=7.893.600.



Rumus Counting 3 Banyak susunan k-objek yang dapat dibangun dari suatu himpunan n objek, jika tidak ada batasan perulangan dari masing-masing n objek dalam susunan, rumus yang digunakan adalah



Rumus Counting 4 Banyak susunan n-objek yang dapat dibangun dari suatu himpunan n-objek, jika setiap objek hanya boleh digunakan satu kali saja pada setiap susunan, rumus yang digunakan adalah n(n-1)(n-2)…(3)(2)(1). Setiap susunan tersebut dinamakan permutasi dari suatu himpunan n-objek.



29



1.4 SIFAT COUNTING PADA HIMPUNAN BERHINGGA Materi Esensi



:



Himpunan



Pernyataan 2



Jika n merupakan bilangan bulat positif, kita menunjukkan istilah faktorial yang disimbolkan dengan notasi n!, dimana n!=n(n-1)(n-2)…(3) (2)(1) dan kita definisikan 0!=1.



Rumus Counting 5 Misalkan A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: a. n(A×B)=n(A)n(B) b. Jika n(A)=m, maka



≤≤



c. Jika n(A)=m, maka banyaknya subset k-elemen dari A (0 k m) dapat dirumuskan dengan



Contoh 12



Seorang mahasiswa melakukan KRS (Kartu Rencana Studi) dan harus



memilih 4 mata kuliah dari 25 mata kuliah yang tersedia. Berapakah banyak pilihan mata kuliah yang bisa diambil oleh mahasiswa tersebut?



Penjelasan Dengan menggunakan rumus counting 5c didapat: m=25 dan k=4. Sehingga banyak pilihan yang dapat diambil dapat dirumuskan dengan



30



1.4 SIFAT COUNTING PADA HIMPUNAN BERHINGGA Materi Esensi



:



Himpunan



Selanjutnya, kerjakan soal latihan tentang sifat counting pada himpunan berhingga berikut.



LATIHAN 1.4 1. Dari suatu penelitian 60 mahasiswa diperoleh data sebanyak 45 mahasiswa suka minum kopi, 25 mahasiswa suka minum teh hangat. dan 15 mahasiswa suka minum kopi dan teh hangat. Tentukan : a. Banyaknya mahasiswa yang hanya suka minum kopi b. Banyaknya mahasiswa yang hanya suka minum teh hangat c. Banyaknya mahasiswa yang tidak suka kopi maupun teh 2. Jika ada sembilan pertanyaan yang masing-masing bisa dijawab benar atau salah, berapakah kemungkinan kombinasi jawaban yang dapat dibuat? 3. Berapa banyak bilangan ganjil antara 1000 dan 10000 jika: a. Semua angka harus berbeda b. Boleh ada angka yang berulang 4. Anton ingin membuat sandi pada sistem komputer yang panjangnya 6-8 karakter. Karakter boleh berupa huruf dan angka. Jika huruf kecil dan besar dianggap sama, berapakah banyak sandi berbeda yang bisa dibuat Anton pada sistem komputer tersebut? 5. Dari 100 mahasiswa, 32 orang mempelajari matematika, 20 orang mempelajari fisika, 45 orang mempelajari biologi, 15 orang mempelajari matematika dan biologi, 7 orang mempelajari matematika dan fisika, 10 orang mempelajari fisika dan biologi, dan 30 orang tidak mempelajari satu pun



31



1.4 SIFAT COUNTING PADA HIMPUNAN BERHINGGA Materi Esensi



:



Himpunan



diantara ketiga bidang tersebut. Berapakah banyak mahasiswa yang mempelajari ketiga bidang tersebut?



Kumpulkan hasil pekerjaan kalian dengan menekan tombol berikut.



Kumpulkan



32



33



BAB 2 LOGIKA



Logic is the hygiene the mathematician practices to keep his ideas healthy and strong -Hermann Weyl (1885–1955)-



Logika merupakan dasar dari penalaran terutama penalaran matematis. Sebagai pengetahuan yang bersifat deduktif, kesimpulan-kesimpulan dalam ilmu matematika dianggap benar apabila telah dibuktikan secara deduktif dan peran logika sangat berpengaruh dalam hal ini. Tanpa dasar-dasar logika, pembuktian dalam matematika tidak dapat dilakukan dengan tepat. Secara garis besar terdapat dua level ekspresi logika dan penalaran dalam ilmu klasik logika. Level pertama adalah logika proposisi, sedangkan level kedua disebut sebagai logika predikat. Logika proposisi mencakup materi tentang proposisi atau disebut juga dengan pernyataan, negasi, tabel kebenaran, konjungsi, disjungsi, tautologi, ekivalensi, kondisional, bikondisional,



34



teorema-teorema pada logika proposisi dan validitas argumen. Pada logika predikat, akan dibahas mengenai predikat, kuantor, validitas argumen berkuantor, dan kuantifikasi pada predikat dengan beberapa variabel. Pada bab ini akan dibahas mengenai dua level logika tersebut. Sebagai pengantar simaklah video berikut. Check this out !



35



LOGIKA Materi Esensi



2.1 PROPOSISI, NEGASI, KONJUNGSI, DISJUNGSI, DAN TABEL KEBENARAN Contoh 1 Perhatikan contoh pernyataan/proposisi berikut ini. a. 7 adalah bilangan prima b. Sukarno adalah presiden pertama di Indonesia. c.



0 > -1.



d. 4 adalah bilangan ganjil. e. sin (2x) = 2sinx cosx.



Contoh 2 Kalimat-kalimat berikut bukan merupakan contoh pernyataan. a. Apakah Zainal sudah makan? b. Pergilah ke pasar !



≥ 7.



c. x



d. Semoga dia cepat sembuh. e. Dilarang membawa makanan ke laboratorium.



Apakah dapat dilihat perbedaan kalimat-kalimat pada Contoh 1 dan Contoh 2? Tuliskan perbedaan yang ditemukan dengan menekan tombol



Contoh 1&2



36



2.1 PROPOSISI, NEGASI, KONJUNGSI, DISJUNGSI, DAN TABEL KEBENARAN Materi Esensi



:



Logika



DEFINISI Proposisi atau pernyataan adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya.



Proposisi atau pernyataan biasanya disimbolkan dengan huruf kecil seperti p, q, r, s dan sebagainya. Sedangkan negasi atau ingkaran dari suatu pernyataan p, disimbolkan dengan ~p atau ¬p, adalah pernyataan yang secara intuitif benar jika p salah, dan merupakan pernyataan yang salah jika p benar. Simbol ~p biasa dibaca dengan “tidak p” atau negasi p. Tabel kebenaran negasi pernyataan tunggal p dapat dilihat pada Tabel 2.1, dengan simbol B yang berarti benar, dan S yang berarti salah. Tabel 2.1 Tabel Kebenaran Negasi



Contoh 3 1. Misal p : Hari ini adalah hari selasa, maka ~p : Tidak benar bahwa hari ini adalah hari selasa. Pada kasus ini, ~p merupakan hari selain hari selasa, kemungkinannya adalah senin, rabu, kamis, jumat, sabtu, atau minggu. 2. Misal q : 2 adalah bilangan ganjil, maka ~q : 2 adalah bilangan yang tidak ganjil. Dalam hal ini, ~q ekivalen juga dengan pernyataan “2 adalah bilangan genap”.



37



2.1 PROPOSISI, NEGASI, KONJUNGSI, DISJUNGSI, DAN TABEL KEBENARAN Materi Esensi



:



Logika



KONJUNGSI DAN DISJUNGSI Dalam kehidupan, kita sering menjumpai pernyataan yang tidak sederhana dan bukan merupakan pernyataan tunggal. Jika hanya satu hal yang bisa dilakukan pada pernyataan yaitu menentukan nilai kebenarannya, maka pembahasan pada hal ini akan menjadi kurang menarik. Pembahasan menarik yang kemudian bisa dilakukan adalah tentang bagaimana cara mengembangkan pernyataan majemuk yang dibentuk dari pernyataan-pernyataan tunggal. Analisis kebenaran mengenai pernyataan majemuk tersebut juga akan dibahas. Perhatikan pernyataan-pernyataan pada contoh 4 berikut.



Contoh 4 a. Ida adalah gadis yang tinggi dan berambut keriting. b. Ayah pergi ke pasar atau ke kantor. c.



2 adalah bilangan prima dan genap.



d. Mobilku berwarna merah atau hari ini hujan.



⊆



⊆



e. A B dan B A.



Pernyataan-pernyataan pada Contoh 4 merupakan pernyataan yang tidak tunggal yang dihubungkan dengan kata “dan” atau “atau”. Pada logika, kata hubung “dan” dalam pernyataan majemuk disebut dengan konjungsi. Sedangkan kata hubung “atau” disebut dengan disjungsi.



38



2.1 PROPOSISI, NEGASI, KONJUNGSI, DISJUNGSI, DAN TABEL KEBENARAN Materi Esensi



:



Logika



DEFINISI Diberikan pernyataan p dan q, didefinisikan dua pernyataan yang dibentuk dari kedua pernyataan tersebut.



∧



a. Konjungsi dari p dan q, dinotasikan dengan p q dan dibaca “p dan q”, adalah pernyataan yang bernilai benar ketika pernyataan p dan q keduanya bernilai benar.



∨



b. Disjungsi dari p dan q, dinotasikan dengan p q dan dibaca “p atau q”, adalah pernyataan yang bernilai benar ketika salah satu dari pernyataan p atau q bernilai benar, atau kedua pernyataan tersebut bernilai benar.



Tabel kebenaran dari pernyataan dengan konjungsi dan disjungsi dapat dilihat pada Tabel 2.2 berikut. Tabel 2.2 Tabel Kebenaran Konjungsi dan Disjungsi



Contoh 5 1. Diketahui proposisi-proposisi berikut p : Hari ini mendung q : Mahasiswa melakukan survei ke pasar. Maka,



∧ p∨q : Hari ini mendung atau mahasiswa melakukan survei ke pasar. p q : Hari ini mendung dan mahasiswa melakukan survei ke pasar.



39



2.1 PROPOSISI, NEGASI, KONJUNGSI, DISJUNGSI, DAN TABEL KEBENARAN Materi Esensi



:



Logika



Penjelasan Jika p bernilai salah (S), dan q bernilai benar (B), maka pernyataan “Hari ini mendung dan mahasiswa melakukan survei ke pasar” adalah pernyataan yang bernilai salah (S). Sedangkan pernyataan “Hari ini mendung atau mahasiswa melakukan survei ke pasar” adalah pernyataan yang bernilai benar (B). 2. Misalkan p : 17 adalah bilangan prima (benar) q : bilangan prima selalu ganjil (salah) maka,



∧



p q : 17 adalah bilangan prima dan bilangan prima selalu ganjil



∨



(salah)



p q : 17 adalah bilangan prima atau bilangan prima selalu ganjil (benar)



3. Diketahui proposisi-proposisi berikut: p : Gunung Bromo terletak di Jawa Tengah q : Gunung Bromo berapi Nyatakan dalam bentuk simbolik/notasi : (a) Gunung Bromo terletak di Jawa Tengah dan berapi (b) Gunung Bromo terletak di Jawa Tengah tapi tidak berapi (c) Gunung Bromo tidak terletak di Jawa Tengah maupun berapi. (d) Tidak benar bahwa Gunung Bromo tidak terletak di Jawa Tengah atau tidak berapi (e) Gunung Bromo terletak di Jawa Tengah, atau tidak terletak di Jawa Tengah dan berapi



40



2.1 PROPOSISI, NEGASI, KONJUNGSI, DISJUNGSI, DAN TABEL KEBENARAN Materi Esensi



:



Logika



(f) Tidak benar bahwa Gunung Bromo tidak terletak di Jawa Tengah maupun berapi.



Penyelesaian



∧ (b) p∧~q (c)~p∧~q (a) p q



∨



(d) ~(~p ~q)



∨ ∧ (f) ~(~p∧~q)



(e) p (~p q)



Bagaimana dengan negasi dari pernyataan konjungsi dan disjungsi? Lengkapi tabel kebenaran berikut untuk menentukan pernyataan mana yang merupakan negasi dari konjungsi dan disjungsi.



Perhatikan setiap kolom pada tabel tersebut kemudian jawab pernyataan berikut. 1. Kolom manakah yang setiap barisnya memiliki nilai kebenaran



∧



berupa negasi dari setiap baris pada kolom p q ? 2. Kolom manakah yang setiap barisnya memiliki nilai kebenaran



∨ Buatlah kesimpulan tentang negasi p∧q dan p∨q !



berupa negasi dari setiap baris pada kolom p q ?



Kumpulkan hasil pekerjaanmu dengan menekan tombol berikut.



Kesimpulan



41



2.1 PROPOSISI, NEGASI, KONJUNGSI, DISJUNGSI, DAN TABEL KEBENARAN Materi Esensi



:



Logika



Untuk memantapkan pengetahuan kalian, kerjakan kuis 1 dan latihan 2.1 berikut.



KUIS 1



CLICk thE BUTTON !



LATIHAN 2.1 1. Manakah dari kalimat berikut yang merupakan pernyataan? a. Apakah besok hari Jumat? b. Silahkan berjalan lurus sejauh 500 meter. c. y < 100 d. Saya suka buah apel, dan Anda pergi berlibur ke Lombok. e. Indonesia mempunyai 34 provinsi. f. g. Semoga berhasil. h. Pada semesta bilangan real, jika a 0, y > 0 dan Karena x > 0 dan y > 0 maka xy > 0. Sehingga dengan mengalikan xy pada kedua ruas dari pertidaksamaan



akan diperoleh



Kemudian dengan mengurangi kedua ruas dengan 2xy diperoleh Pertidaksamaan ini ekuivalen dengan Namun karena x, dan y adalah bilangan real, akibatnya tidak mungkin berupa bilangan negatif. Hal ini kontradiksi dengan pertidaksamaan



. Sehingga asumsi salah. Jadi jika x ≠ y,



x>0, dan y>0, maka



LATIHAN 3.5 Lengkapi bagian rumpang pada soal Nomor 1 dan 2. 1. Buktikan bahwa satu-satunya pasangan bilangan bulat tak negatif berturut-turut a, b, dan c yang memenuhi



adalah 3, 4, dan 5.



Bukti: Andaikan a, b, dan c adalah bilangan bulat tak negatif yang berturut-turut



114



3.5 BUKTI DENGAN KONTRADIKSI Materi Esensi



:



Metode Pembuktian Matematika



selain 3, 4, dan 5, dan Karena a, b, dan c bukan 3, 4, dan 5 maka a≠3. Diketahui bahwa a, b, dan c adalah bilangan bulat yang berturut-turut, sehingga b=..… dan c=….. = a+..… Dengan mensubstitusikan nilai-nilai tersebut ke persamaan akan diperoleh bahwa Setelah dilakukan operasi aljabar pada persamaan tersebut diperoleh bahwa ………………= 0. Jika difaktorkan menjadi (………)(………) = 0. Sehingga diperoleh a =… atau a =…. Padahal pada pernyataan sebelumnya diperoleh bahwa a≠3, maka terjadi kontradiksi. Oleh karena itu satu-satunya pasangan bilangan bulat tak negatif berturut-turut a, b, dan c yang memenuhi



adalah 3, 4,



dan 5 2. Buktikan bahwa jika x > 0, maka Bukti: Asumsikan bahwa x > 0, dan …………. Karena x > 0, maka dengan mengalikan x pada kedua ruas pertidaksamaan ………………………. Akan diperoleh …………..< ……….. Jika pertidaksamaan tersebut disederhanakan dan difaktorkan akan diperoleh …………………< 0. Namun karena x > 0, seharusnya ………… ≥ 0. Sehingga terjadi kontradiksi. Oleh karena itu jika x > 0, maka 3. 4. Misal A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa jika A×B=A×C, maka



∅ atau B=C.



A= 5.



Kumpulkan hasil pekerjaanmu dengan menekan tombol berikut.



Kumpulkan



115



116



DAFTAR RUJUKAN Bloch, E.D. 2011. Proofs and Fundamentals, 2nd ed. New York: Springer. DOI 10.1007/978-1-4419-7127-2. Conradie, W., & Goranko,V. 2015. Logic and Discrete Mathematics a Concise Introduction. United Kingdom: John Wiley & Sons, Ltd.. Copi, I.M. 1979. Symbolic Logic, 5th ed. New York: Macmillan Publishing Co. Kusumah, Y.S. 1991. Logika Matematika Elementer. Jakarta: Vijaya Kusumah. Morash, R.P. 1987. Bridges to Abstract Mathematics: Mathematical Proof and Structure, 1st ed. New York: Random House, Inc. Munir, R. 2012. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika. Varberg, D., Purcell, E.J., dan Rigdon, S.E. 2006. Calculus, 9th ed. New York: Pearson.



HIMPUNAN



117



Profil Penulis Asmianto, lahir pada 20 Januari 1994 di Jombang, Jawa Timur, Indonesia. Ia mengenyam pendidikan formal di SD Negeri Sumbernongko 1, dan lulus tahun 2006. Selanjutnya sekolah di SMP Negeri Ngusikan, tamat tahun 2009, dan di SMA Negeri Ploso, tamat tahun 2012. Setelah lulus SMA ia melanjutkan kuliah di ITS dengan mengambil jurusan matematika. Selama ia menempuh studi S1 di Jurusan Matematika ITS ia tinggal di asrama Ponpes Darussalam Keputih, Sukolilo, Surabaya. Dan ditengah kesibukan kuliah dan mondok di pesantren ia juga aktif di kegiatan sosial, khususnya di bidang pendidikan yaitu sebagai Guru genius Yatim Mandiri surabaya dan Guru Matematika di pesantren anak yatim Al-Bisri Surabaya. Pada awal tahun 2017 ia melanjutkan kuliah S2 di jurusan dan kampus yang sama yaitu jurusan matematika ITS. Selama kuliah S2 ia juga menjadi guru Matematika di SMA Terpadu YPP Nurul Huda Surabaya, guru Matrikulasi Matematika SMP Ta’miriyah Surabaya dan Tentor Matematika di Lembimjar Neutron Yogyakarta cabang surabaya. Ia lulus kuliah S2 pada tahun 2018, setelah itu ia mengikuti tes CPNS 2018 dan diterima sebagai Dosen Matematika di Universitas Negeri Malang. Penulis ini dapat dihubungi pada alamat kantor: Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Malang, Jalan Semarang 5 Malang, 65145. Alamat eHIMPUNAN



mail: [email protected].



118



Profil Penulis Desi Rahmadani, lahir di Rantauprapat, Sumatera Utara pada tanggal 14 April 1991. Penulis menempuh pendidikan dasar, menengah pertama dan menengah atasdi Rantauprapat, Sumatera Utara. Pada tahun 2009, penulis diterima sebagai mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas, Padang dan memperoleh gelar sarjana pada tahun 2013. Pada tahun yang sama, penulis bergabung dalam Pendidikan Magister menuju Doktor untuk Sarjana Unggul (PMDSU) Batch 1, yang merupakan program terpadu Magister dan Doktor di Program Pascasarjana Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Bandung, yang didanai oleh Kemenristekdikti. Penulis menyelesaikan studi Magister dan memulai studi Doktor di Kelompok Keahlian Matematika Kombinatorika Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Bandung pada tahun 2015. Pada Desember 2018, penulis menyelesaikan studi Doktor nya. Selama mengikuti pendidikan di Program Studi Doktor Matematika ITB. Penulis pernah mengikuti Program Peningkatan Publikasi International (PKPI), Sandwich-like 2015 di Department of Applied Mathematics and Informatics, Faculty of Mechanical Engineering, Technical University in Kosice, Slovakia selama 3 bulan. Mulai Juni 2018, penulis bekerja sebagai staf pengajar di unit kerja Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Malang melalui seleksi Dosen Non PNS, kemudian diterima sebagai HIMPUNAN



CPNS di unit kerja yang sama pada Desember 2020. Penulis ini dapat dihubungi pada alamat kantor: Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Malang, Jalan Semarang 5 Malang, 65145. Alamat email: [email protected].



119



Profil Penulis Ety Tejo Dwi Cahyowati, lahir di Pasuruan, Jawa Timur pada tanggal 18 Maret 1962. Penulis menempuh pendidikan dasar, menengah pertama dan menengah atas di Kota Malang, Jawa Timur. Pada tahun 1980, penulis diterima sebagai mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA IKIP Negeri Malang dan memperoleh gelar sarjana pada tahun 1984. Setahun kemudian, yaitu pada tahun 1985, penulis diterima sebagai mahasiswa S2 Pendidikan Matematika di IKIP Malang dengan program CTAB (Calon Tenaga Akademik Baru). Selama menempuh studi di S2 ini, lokasi studi ada di IKIP Surabaya dan Institut Teknologi Bandung. Penulis menyelesaikan studi Magister Pendidikan pada tahun 1990. Penulis ini dapat dihubungi pada alamat kantor: Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Malang, Jalan Semarang 5 Malang, 65145. Alamat email: [email protected].



HIMPUNAN



120



Profil Penulis Latifah Mustofa Lestyanto, lahir pada 16 Agustus di Klaten, Jawa Tengah. Tumbuh dan besar di Klaten sampai tahun 2010 bersama keluarga besarnya di daerah pedesaan. Ia mengenyam pendidikan formal di SD Negeri Ringinputih I, dan lulus tahun 1997. Selanjutnya meneruskan sekolah di SMP Negeri 1 Karangdowo, tamat tahun 2000, dan di SMA Negeri 1 Klaten, tamat tahun 2003. Keberuntungan menaunginya, karena selepas SMA diterima di Jurusan Matematika Universitas Sebelas Maret melalui jalur PMDK. Pada saat menempuh studi S1 di Jurusan Matematika Universitas Sebelas Maret, ia aktif di himpunan mahasiswa jurusan, HIMATIKA, sejak tahun 2003 sampai tahun 2005. Ia lulus sarjana pada Desember 2007 dengan mengambil topik skripsi pada model epidemi SIR. Selepas meraih sarjana, Latifah melanjutkan studi S2 bidang Pendidikan Matematika di Universitas Sebelas Maret, dan lulus pada Juli 2010. Pada Desember 2010, ia diterima menjadi dosen di Jurusan Matematika Universitas Negeri Malang. Sampai sekarang, Latifah aktif mengajar di Universitas Negeri Malang khususnya pada prodi Pendidikan Matematika. Penulis ini dapat dihubungi pada alamat kantor: Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Malang, Jalan Semarang 5 Malang, 65145. Alamat email: [email protected]. HIMPUNAN



121