LK 1 Bahan Ajar [PDF]

Citation preview

LK 1: Lembar Kerja Belajar Mandiri Judul Modul MODUL 1 GEOMETRI Judul Kegiatan 1. Geometri Datar Belajar (KB) 2. Geometri Ruang 3. Geometri Transformasi 4. Pembelajaran Geometri No 1



Butir Refleksi Daftar peta konsep (istilah dan definisi) di modul ini



Respon/Jawaban Kegiatan Belajar 1 Geometri Datar 1. Titik, garis dan bidang a. Geometri adalah kajian ilmu tentang titik, garis dan bidang b. Titik adalah benda geometri dalam pikiran yang tidak memiliki satuan. c. Garis adalah terbentuk dari tak hingga titik tak kosong d. Ruas Garis adalah bagian dari suatu garis yang dibatasi oleh dua titik e. Sinar Garis adalah garis yang memiliki satu titik ujung dan ujung yang lain membentang tak terbatas f. Bidang adalah tiga titik yang tidak segaris. g. Kolinear adalah titik-titik dalam satu garis lurus 2. Segitiga a. Segitiga adalah gabungan dari tiga segmen/ruas garis yang titiktitiknya tidak kolinier.  b. Garis – garis istimewa pada segitiga dan melukisnya  Garis Berat pada suatu segitiga adalah garis yang ditarik dari suatu titik segitiga ke pertengahan sisi di depannya.  Garis bagi pada suatu segitiga adalah garis yang membagi suatu sudut pada segitiga menjadi dua bagian sudut yang besarnya sama.  Garis tinggi pada suatu segitiga adalah garis yang ditarik dari satu titik secara tegak lurus ke sisi di depannya atau perpanjangan sisi di depannya c. Keliling adalah jarak perpindahan titik dari lintasan awal sampai ke lintasan akhir (titik awal dan titik akhir adalah titik yang sama). d. Luas adalah bangun datar adalah luas yang dibatasi oleh sisi-sisi bangun datar tersebut. e. Rumus keliling dan luas segitiga :                  C



   A                          B K = AB + BC + AC (K adalah keliling) L = 12 x alas x tinggi (L adalah luas) f. Kekongruenan segitiga adalah segitiga yang sama dan sebangun.



3. Segiempat adalah gabungan dari empat ruas garis yang ditentukan oleh empat titik, tiga titik di antaranya tidak segaris.  Macam – macam segiempat  yaitu : a. Jajar Genjang adalah suatu segiempat yang mempunyai dua pasang sisi sejajar dan dua pasang sudut sama besar. b. Persegi Panjang adalah jajar genjang yang memiliki empat sisi sama panjang dan salah satu sudutn siku-siku  c. Belah Ketupat adalah segiempat yang memiliki sisi sama panjang dan perpotongan diagonal saling membagi dua sama panjang dan tegak lurus  d. Persegi adalah jajar genjang yang memiliki empat sisi sama panjang dan salah satu sudutnya siku-siku. e. Trapesium adalah suatu segiempat yang dua buah sisinya sejajar. f. Layang-layang adalah bangun datar segiempat yang memiliki 2 pasang berbeda sisi berdekatan yang sama panjang. 4. Luas dan Keliling Bangun datar a. Persegi Panjang D           C                              l A           p          B         Luas persegi panjang  L=pxl Keliling persegi panjang K = AB + BC + CD + AD b.



Persegi  D     C



A     B Luas persegi  L=sxs Keliling persegi  K = AB + BC + CD + AD c.



Jajar genjang      D            C



                       tt A E   B Luas jajar genjang L = AB x DE Keliling jajar genjang



K = AB + BC + DC + AD d.



Belah ketupat          D A                C          B Luas belah ketupat L = AC X BD2 Keliling belah ketupat K = AB + BC + DC + AD



e.



Layang-layang          D                   A            C               



                         B Luas layang-layang L = AC X BD2 Keliling layang-layang K = AB + BC + DC + AD f.



Trapeisum               D            



C



  A  E                   B Luas trapesium L = AB x CD x DE2 Keliling trapesium K = AB + BC + DC + AD 5. Lingkaran a. Lingkaran adalah garis lengkung (kurva) yang bertemu pada kedua ujungnya, dan merupakan himpunan titik-titik yang jaraknya sama terhadap titik tertentu. b. Jari-jari lingkaran adalah ruas garis yang menghubungkan sebuah titik pada lingkaran dengan titik pusat lingkaran. c. Tali busur adalah ruas garis yang titik awal dan akhirnya



terletak pada lingkaran. d. Diameter adalah  garis lurus yang menghubungkan dua titik pada garis lengkung lingkaran yang melalui pusat lingkaran. e. Apotema dalah Ruas garis yang ditarik dari pusat dan tegak lurus tali busur.  f. Busur adalah bagian dari lingkaran yang terletak di antara kedua ujung tali busur AB Juring adalah daerah pada lingkaran dibatasi oleh dua jari jari dan busur.  g.  Tembereng adalah daerah pada lingkaran dibatasi    oleh tali busur dan busur  h. Garis singgung Lingkaran adalah garis yang mempunyai persekutuan dengan lingkaran pada dua buah titik yang berimpitan.  h. Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari lingkaran.  h. Sudut keliling adalah sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yang berpotongan pada lingkaran. h. Busur lingkaran adalah daerah pada lingkaran dibatasi oleh busur lingkaran dan tali busur yang melalui kedua ujung busur lingkaran. h. Garis singgung adalah garis yang mempunyai persekutuan dengan lingaran pada dua buah titi yang berimpitan. Kegiatan Belajar 2 Geometri Ruang 1. Kedudukan titik, Garis dan bidang dalam ruang a. Bangun ruang adalah bagian ruang yang di batasi oleh himpunan titik-titik yang terdapat pada seluruh permukaan bangun. b. Hubungan antara dua bidang I. Berhimpit  II. Sejajar  III. Berpotongan  c. Hubungan antara dua buah garis I. Berpotongan  II. Sejajar  III. Bersilangan  d. Konsep persekutuan antar objek dalam ruang (persekutuan antara 2 bidang, persekutuan antara 2 garis, persekutuan antara garis dan bidang ) I. Persekutuan antara 2 bidang II. Persekutuan antara 2 garis III. Persekutuan garis dan bidang e. Kesejajaran I. Dua garis sejajar II. Garis sejajar bidang III. Dua bidang sejajar f. Ketegaklurusan I. Garis tegak lurus bidang II. Dua garis tega lurus



III. 2. a. b. c. d. e. f. g.



Dua bidang tega lurus Jarak Dalam Ruang adalah panjang ruas garis  terpendek antara dua objek geometri Jarak antara 2 titik dalam ruang Jarak antara titik dan garis Jarak titik dan bidang Jarak antar 2 garis sejajar Jarak antara garis dan bidang Jarak antara 2 bidang sejajar Jarak antara 2 garis bersilangan



3. Sudut Dalam Ruang adalah ruang antara dua buah ruas garis yang saling berpotongan. a. Sudut antara dua garis b. Sudut antara garis g dan h yang saling bersilangan, dapat ditentukan dengan menentukan sudut g dan h’, dengan ℎ′∥ℎ, g dan h’ berpotongan.  c. Sudut antara garis dan bidang d. Untuk menentukan sudut garis g ke bidang U adalah menentukan sudut antara garis g dan proyeksi garis g pada bidang U.  e. Sudut antara dua bidang f. Volume adalah  isi yang memenuhi sebuah bangun ruang berongga. Kegiatan Belajar 3 Geometri Transformasi 1. Transformasi Geometri pada bidang adalah proses mengubah setiap titik koordinat menjadi titik koordinat lain pada bidang tertentu. 2. Pencerminan/refleksi adalah transformasi yang memetakan suatu titik dengan menggunakan sifat benda dan bayangan pada cermin datar. Definisi : suatu pencerminan pada suatu garis s adalah suatu fungsi Ms yang didefinisikan untuk setiap titik pada bidang bidang sebagai berikut: a. b. Macam – macam pencerminan  a. Pencerminan Terhadap sumbu X b. Pencerminan terhadap sumbu Y



c. Pencerminan terhadap garis y = x d. Pencerminan terhadap garis y = - x e. Pencerminan terhadap titik awal f. Pencerminan terhadap garis x = h



g. Pencerminan terhadap garis y = k h. Pencerminan terhadap titik (m, n)



3. Translasi adalah perpindahan atau pergeseran setiap titik dengan arah dan jarak yang sama Definisi : Suatu ruas garis berarah adalah sebuah ruas garis yang salah satu ujungnya dinamakan (titik) pangkal dan ujung yang lain dinamakan (titik) akhir. Definisi : Suatu padanan G dinamakan suatu translasi atau geseran apabila ada ruas garis berarah



sehingga setiap P pada



bidang menjadi P’ dengan G(P)=P’ dan a. Translasi titik



ekuivalen



b. Translasi garis Persamaan garis



c. Translasi kurva



4. Rotasi adalah perpindahan suatu titik ke titik lain secara memutar terhadap sudut dan titik pusat tertentu yang memiliki jarak yang sama dengan setiap titik yang diputar. 1. Rotasi terhadap titik pusat O (0, 0)



2. Rotasi terhadap titik pusat P (a, b)



5. Dilatasi adalah suatu transformasi mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) bentuk bangun geometri tetapi tidak mengubah bentuk bangun tersebut. 1. Dilatasi dengan pusat (0, 0) 2. Dilatasi dengan pusat (a, b)



6. Hasil kali Transformasi 1. Komposisi pencerminan Refleksi terhadap dua garis sejajar sumbu X dapat disajikan sebagai berikut



2. Komposisi dilatasi Dilatasi terhadap terhadap



dilanjutkan dengan dilatasi



dapat diwakili oleh suatu dilatasi yaitu atau dapat dituliskan



3. Komposisi translasi



4. Komposisi rotasi



Kegiatan Belajar 4 Pembelajaran Geometri 1. Pentingnya teori belajar dlm pembelajaran geometri Teori belajar adalah upaya untuk mendeskripsikan  bagaimana manusia belajar, sehingga membantu kita semua memahami proses inhern yang kompleks dari belajar. Tahapan belajar menurut Bruner a. Tahap simbolik adalah tahapan dimana anak/ individu dalam memahami objek sudah dapat menggunakan simbol-simbol b. Tahap ikonik adalah tahapan dimana anak/ individu dalam



memahami objek-objek melalui persepsi statik c. Tahap Enaktik adalah tahapan dimana seseorang/ anak dalam memahami objek-objek /dunia masih menggunakan gerak/ aktivitas motorik 2. Model pembelajaran berbasis masalah adalah pembelajaran yang menggunakan masalah sebagai konteks pembelajaran . a. Discovery Learning (DL)  b. Project Based Learning (PjBL) c. Problem Based Learning (PBL) 3. Perangkat Pembelajaran Berbasis Masalah untuk Materi Geometri (dalam RPP) a. Fase 1 (Tahap 1) 🡪 Fase mengorientasi peserta didik pada masalah b. Fase 2 🡪 Guru mengorganisasikan peserta didik untuk belajar c. Fase 3 🡪 Guru membimbing penyelidikan individu/ kelompok d. Fase 4 🡪 mengembangkan & menyajikan hasil karya e. Fase 5 🡪 menganalisis & mengevaluasi proses pemecahan masalah pada presentasi 4. Perangkat Pembelajaran Geometri a. Silabus yang sudah dikembangkan Penggalan silabus berisi :  Identitas satuan pendidikan  Identitas kelas  Alokasi waktu  Tema/konteks  Kompetensi inti  Kompetensi dasar  Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK)  Materi pokok  Kegiatan pembelajaran  Penilaian  Alokasi waktu  Sumber belajar b. RPP adalah suatu rencana kegiatan pembelajaran tata muka untuk satu pertemuan atau lebiih. RPP berisi :  Satuan pendidikan  Mata pelajaran  Kelas/ semester  Materi pokok  Alokasi waktu  Kompetensi Inti (KI)  Kompetensi Dasar (KD) dan Indikator Pencapaian



c. c. c. c. c. c. c.



Kompetensi (IPK)  Tujuan pembelajaran  Materi pembelajaran  Model, Pendekatan dan Metode Pembelajaran  Media, Alat dan Bahan  Sumber Pembelajaran  Langkah-langkah Pembelajaran Pendahuluan, Kegiatan Inti, Kegiatan penutup  Penilaian Sikap, Pengetahuan, Ketrampilan  Materi Remedial dan Pengayaan c. Bahan ajar & sumber belajar Media pembelajaran Instrumen penilaian & kisi-kisi Instrumen pengamatan & kisi-kisi Lembar jurnal siswa/guru Bahan ajar remidial & pengayaan Jawaban tes/soal Pedoman penskoran



5. Pelaksanaan Pembelajaran Geometri Menerapkan RPP yang telah dirancang di dalam kelas 2



Daftar materi yang sulit dipahami di modul ini



1. 2. 3. 4.



Jarak titik ke bidang  Jarak garis ke bidang Rotasi Hasil kali transformasi



3



Daftar materi yang sering mengalami miskonsepsi



1. 2. 3. 4.



Jarak titik ke bidang  Jarak garis ke bidang Rotasi Hasil kali transformasi



LK 1: Lembar Kerja Belajar Mandiri Judul Modul Judul Kegiatan Belajar (KB) No Butir Refleksi 1 Daftar peta konsep (istilah dan definisi) di modul ini



Modul 2 Aljabar Dan Program Linear 1. Bentuk Aljabar dan Sistem Persamaan Linear 2. Matriks dan Vektor pada bidang dan bangun ruang 3. Program Linear 4. Pembelajaran Aljabar Respon/Jawaban KB 1 Bentul Aljabar dan Sistem Persamaan Linier 1. Bentuk aljabar Bentuk Aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui. a. Suku adalah bagian dari bentuk aljabar yang dipisah dengan tanda -atau +. Teridiri dari suku tunggal, suku dua (binom), suku tiga (trinom) dan suku banyak (polynom) b. Faktor adalah bilangan yang membagi bilangan lain atau hasil kali. c. Koefisien adalah faktor bilangan pada hasil kali dengan suatu peubah.  d. Konstanta adalah lambang yang menyatakan bilangan tertentu (bilangan konstan / tetap)  e. Suku sejenis adalah suku yang memiliki peubah dan pangkat dari peubah yang sama f. Suku tidak sejenis adalah suku yang memiliki peubah dan pangkat yang berbeda  g. Operasi bentuk aljabar terdiri dari  Penjumlahan  Pengurangan  Perkalian  pembagian. h. Perkalian antar suku bentuk aljabar  dapat menggunakan sifat distributif sebagai konsep dasarnya.  h. Pemfaktoran bentuk aljabar dapat dilakukan dengan menggunakan hukum distributif 2. Persamaan dan pertidaksamaan a. Persamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda hubung”=” sama dengan. b. Persamaan linier satu variabel adalah suatu persamaan yang memiliki satu variabel dan pangkat tertingginya satu. c. Penyelesaian (solusi) dari suatu PLSV adalah bilangan yang menggantikan variabel sehinnga persamaan tersebut menjadi bernilai benar. d. Persamaan linier dua variabel adalah persamaan yang memiliki dua variabel  dan panggkat tertingginya satu.



e. Pertidaksaman adalah kalimat matematika yang dibangun dengan menggunakan satu atau lebih simbol (,≤,≥) untuk membandingkan kuantitas. f. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear terdiri dari titik-titik pada salah satu sisi garis. 3. Sistem persamaan linear a. Persamaan linear dengan satu variabel (PLSV) adalah suatu persamaan yang memiliki satu peubah dan pangkat tertingginya satu.  b. Persamaan linear dengan dua variabel (PLDV) adalah persamaan yang memiliki dua peubah dan pangkat tertingginya satu c. Sistem Persamaan Linear  homogen adalah SPL jika AX=B maka B=0 d. Sistem Persamaan Linear  non homogen adalah SPL jika AX=B maka B0 e. SPL konsisten adalah SPL yang memiliki solusi f. SPL tak konsiten adalah SPL yang tidak mempunyai solusi g. Metode yang digunakan untuk menyelesaikan SPL yaitu:  metode grafik  metode eliminasi  metode substitusi  metode gabungan (eliminasi dan substitusi) dan   Operasi Baris Elementer  adalah operasi yang memiliki langkah mengalikan sebuah baris dengan bilangan real tak nol, menukar dua baris, menambah kelipatan dari suatu baris pada yang lain. KB 2 Matriks dan Vektor pada bidang dan ruang 1. Matriks dan determinan Matriks adalah susunan persegi panjang dari bilanganbilangan. Bilangan bilangan pada susunan tersebut disebut entri atau komponen atau elemen dari matriks. a. Jenis-jenis matriks:  Matriks persegi adalah berorder n jika A mempunyai n baris dan n kolom.  Matriks segitiga bawah adalah jika semua komponen di atas diagonal utama nol.  Matriks segitiga atas adalah jika semua komponen di bawah diagonal utama nol.  Matriks segitiga adalah jika matriks A merupakan matriks segitiga atas atau segitiga bawah.  Matriks skalar adalah jika A merupakan matriks diagonal dan komponen pada diagonal utama sama.







b. b.



b. b.



Matriks identitas adalah jika A merupakan matriks persegi yang semua komponenpaada diagonal utama adalah 1 dan komponen lainnya 0.  Matriks diagonal adalah jika A merupakan matrik segitiga atas dan matriks segitiga bawah.  Matriks nol adalah jika semua komponennya 0.  Matriks kolom adalah jika hanya mempunyai kolom. b. Penjulmlahan matriks adalah jika matriks A dan B berukuran sama sama A+B merupakan matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan komponen komponen yang bersesuaian Perkalian Matriks adalah jia A=[Aij] dan B=[Bij], maka hasil kali matriks AB merupakan matriks berukuran pxr yang komponennya (AB)ij=k=1qaikbkj Invers matriks adalah Jika A persegi dan terdapat matriks B sedemikian sehingga AB = BA = I maka is dikatakan invertibel dan dikatakan invers A. Jika A invertibel, maka inversnya dinyatakan dengan simbol A-1. b. Transpose matriks adalah Jika A matriks p x q, maka transpos A, ditulis AT, didefinisikan sebagai matriks q x p yang diperoleh dari menukar baris dan kolom A, yaitu kolom pertama dari ATmerupakan baris pertama matriks A, kolom kedua dari AT merupakan baris kedua dari A, dan seterusnya. b. Matriks elementer adalah Suatu matriks n x n disebut matriks elementer jika dapat diperoleh dari matriks identitas In berukuran nxn dengan melakukan satu operasi baris elementer. Dua matriks yang sama jika kedua matriks tersebut berukuran sama dan komponen yang bersesuaian sama Determinan adalah misalkan A matriks persegi, maka determinan matriks A ditulis det(A) dan didefinisikan sebagai jumlah hasil kali elementer bertanda dari A



2. Vektor pada bidang dan ruang a. Penjumlahan vektor Jika v dan w dua vektor tak-nol maka jumlah v + w adalah vektor yang ditentukan sebagai berikut. Letakkan vektor w sedemikian sehingga titik pangkalnya berimpit dengan titik ujung v. Vektor v + w disajikan dengan panah dari titik pangkal v ke titik ujung dari w b. Pengurangan vektor Jika v dan w sebarang dua vektor maka pengurangan w dari v didefinisikan oleh v – w = v + (-w) c. Vektor pada sistem koordinat kartesiusNorm vektor d. Hasil kali titik ( dot product) e. Dua vektor u dan v disebut ortogonal , ditulis u ⊥v, jika u.v=0



f. Hasil kali silang (cross product) Jika u = (u1, u2 , u3 ) dan v = (v1, v2 , v3) vektor-vektor di R3 maka hasilkali silang u x v adalah vektor yang didefinisikan oleh u x v = (u2 v3 – u3 v2 , u3 v1 – u1 v3 , u1 v2 – u2 v1 ) 3. Matriks transformasi a. Refleksi adalah transformasi pada R2 atau R3 yang memetakan titik ke bayangan simetrisnya terhadap garis atau bidang  Refleksi terhadap sumbu x  Refleksi terhadap garis y=x  Refleksi terhadap garis y=-x  Refleksi terhadap bidang xy  Refleksi terhadap bidang xz b. Rotasi adalah transformasi yang merotasikan setiap vektor diR2 sebesar sudut tetap disebut transformasi rotasi pada R2 b. Translasi adalah transformasi yang memindahkan (menggeser) setiap titik di R2menurut besar dan arah yang tetap b. Dilatasi adalah jika koordinat xdari setiap titik pada bidang dikalikan konstanta positif , maka efeknya adalah memperkecil atau memperbesar setiap gambar bidang pada arah-x KB 3 Program Linier Program linier adalah mempelajari masalah optimum (nilai maksimum atau minimum) dari fungsi tujuan dengan kendala/pembatas yang dinyatakan dalam bentuk persamaan atau pertidaksamaan linier. a. Metode Grafik adalah untuk menyelesaikan masalah program linier yang melibatkan 2 variabel dan 2 atau lebih pertidaksamaan digunakan metode grafik. Metode grafik dibedakan 2 yaitu metode ekstrim (titik pojok) dan garis selidik b. Metode Simpleks adalah langkah-langkah menyelesaikan masalah program linier dengan metode simpleks dengan langkah langkah:  Buat model matematika  Tambah variabel slack  Diperoleh model matemaitka baru  Susun kedalam tabel simpleks  Pilih kolom kunci  Pilih baris kunci  Tentukan elemen kunci  Transformasi baris kunci  Transformasi baris yang lain  Buat tabel simpleks baru



 Ulangi langakah sampai optimal c. Dualitas adalah model maksimumnya, jika dianggap primal maka model minimumnya sebagai dual. Begitu pula sebaliknya, jika model maksimumnya sebagai dual maka model minimumnya sebagai primal. KB 4 Pembelajaran Aljabar a. Teori Belajar Menurut Bruner, untuk pengetahuan dibentuk melalui tahapan enaktif, ikonik, ddan simbolik. b. Model Pembelajaran Discovery Learning Menurut Bruner, Discovery Learning (DL) merupakan pendekatan pembelajaran berbasis-inquiry dimana siswa membangun pengetahuan baru berdasarkan pengetahuan awal yang dimilikinya dan pengalaman aktif. Sintaks pembelajaran DL adalah:  Menciptakan stimulus/rangsangan (stimulation)  Menyiapkan pernyataan masalah (problem statement)  Mengumpulkan data (data collecting)  Mengolah data (data processing)  Memverifikasi data (verification)  Menarik kesimpulan (generalization) c. Pembelajaran Abad 21 Pembelajaran abad 21 menggunakan istilah yang dikenal sebagai 4Cs (critical thinking, communication, collaboration, and creativity), adalah empat keterampilan yang telah diidentifikasi sebagai keterampilan abad ke-21 (P21) sebagai keterampilan yang sangat penting dan diperlukan untuk pendidikan abad ke-21. Keterampilan tersebut antara lain: 1. Kreativitas berpikir dan inovasi Peserta didik dapat menghasilkan, mengembangkan, dan mengimplementasikan ide-ide mereka secara kreatif baik secara mandiri maupun berkelompok. 2. Berpikir kritis dan pemecahan masalah Peserta didik dapat mengidentifikasi, menganalisis, menginterpretasikan, dan mengevaluasi bukti-bukti, argumentasi, klaim dan data-data yang tersaji secara luas melalui pengkajian secara mendalam, serta merefleksikannya dalam kehidupan sehari-hari. 3. Komunikasi Peserta didik dapat mengkomunikasikan ide-ide dan gagasan secara efektif menggunakan media lisan, tertulis, maupun teknologi. 4. Kolaborasi Peserta didik dapat bekerja sama dalam sebuah kelompok dalam memecahkan permasalahan yang ditemukan. d. PPK Gerakan Penguatan Pendidikan Karakter (PPK)



menempatkan nilai karakter sebagai dimensi terdalam pendidikan yang membudayakan dan memberadabkan para pelaku pendidikan. Nilai utama karakter yang perlu dikembangkan sebagai prioritas gerakan PPK yaitu: 1. Religius 2. Nasionalis 3. Mandiri 4. Gotong Royong 5. Integritas Gerakan PPK yang dapat dilaksanakan yaitu: 1. Penguatan pendidikan karakter berbasis kelas 2. Penguatan pendidikan karakter berbasis budaya sekolah 3. Penguatan pendidikan karakter berbasis masyarakat e. Perangkat Pembelajaran Materi Bentuk Aljabar 1. Silabus Penggalan Silabus berisi:  Identitas satuan pendidikan  Mata pelajaran  Kelas/Semester  Kompetensi inti  Kompetensi dasar  Nilai karakter  Indikator pencapaian kompetensi  Materi pokok  Kegiatan pembelajaran  Penilaian  Alokasi waktu  Sumber belajar 2. RPP RPP berisi:  Identitas satuan pendidikan  Mata pelajaran  Materi pokok  Kelas/Semester  Alokasi waktu  Kompetensi inti (KI), kompetensi dasar (KD), dan indikator pencapaian kompetensi (IPK)  Tujuan pembelajaran  Materi Pembelajaran  Pendekatan, metode, dan model pembelajaran  Media/alat  Sumber belajar  Kegiatan Pembelajaran Dengan tahapan/sintak: memberi stimulus (stimulation), mengidentifikasi masalah (problem statement), mengumpulkan data (data collecting), mengolah data (data processing), membuktikan



2



Daftar materi yang sulit dipahami di modul ini



1. 2. 3. 4.



(verification), dan (generalization)  Penilaian Lampiran 1 Bahan Ajar Lampiran 2 Materi Remedial Lampiran 3 Materi Pengayaan Lampiran 4 Media PPT Lampiran 5 LKPD Lampiran 6 Instrumen Penilaian Matriks transformasi Metode Simpleks Dualitas Vektor pada bidang dan ruang.



3



Daftar materi yang sering mengalami miskonsepsi



1. 2. 3. 4.



Matriks transformasi Metode Simpleks Dualitas Vektor pada bidang dan ruang.



3. 3. 3. 3. 3. 3.



menarik



kesimpulan



LK 1: Lembar Kerja Belajar Mandiri Judul Modul Judul Kegiatan Belajar (KB) No 1



Butir Refleksi Daftar peta konsep (istilah dan definisi) di modul ini



Kalkulus dan Trigonometri 1. Fungsi Trigonometri 2. Fungsi, Jenis Fungsi, dan Limit Fungsi 3. Turunan dan Aplikasi Turunan  4. Antiturunan, Integral, dan Aplikasi Integral Respon/Jawaban KB 1. Fungsi Trigonometri Trigonometri adalah ilmu yang mempelajari tentang hubungan antara sisi dan sudut dari suatu segitiga serta fungsi dasar yang muncul  dari relasi tersebut. 1.



Identitas Fungsi Trigonometri  a. Definisi dasar nilai fungsi trigonometri Identitas trigonomtri adalah kesamaan yang membuat perbandingan trigonometri dari suatu sudut



Sifat dari fungsi trigonometri



b. Aturan sinus menjelaskan hubungan antara perbandingan panjang sisi yang berhadapan dengan sudut terhadap sinus sudut pada segitiga. Pada suatu segitiga 𝐴𝐵𝐶 berlaku  Aturan sinus  aSin A=bSin B=cSin C



Perluasan Aturan Sinus aSin A=bSin B=cSin C=2R 𝑅 merupakan jari-jari lingkaran luar segitiga c. Aturan Cosinus menjelaskan hubungan antara kuadrat panjang sisi dengan nilai cosinus dari salah satu sudut pada segitiga. a2=b2+c2-2bccos A b2=a2+c2-2accos B c2=a2+b2-2bccos C



d. Periode dan amplitudo fungsi trigonometri



Sebuah fungsi 𝑓 dikatakan periodik jika terdapat sebuah bilangan positif 𝑝 sehingga 𝑓(𝑥 + 𝑝) = 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓. Nilai 𝑝 terkecil disebut periode



2. Invers Fungsi Trigonometri a. Invers fungsi sinus b. Invers fungsi cosinus c. Invers fungsi tan d. Identitas invers fungsi trigonometri



3. Rumus jumlah dan selisih fungsi trigonometri. a. Identitas jumlah dan selisih sudut



b. Identitas sudut ganda



c. Identitas setengah sudut



d. Identitas jumlah fungsi trigonometri



e. Identitas perkalian fungsi trigonometri



KB.2 Fungsi, Jenis Fungsi, dan Limit Fungsi 1. Fungsi, Jenis Fungsi dan Operasi pada  Fungsi a. Pengertian Fungsi Suatu fungsi 𝑓 dari himpunan 𝐴 ke 𝐵 merupakan pasangan terurut 𝑓 ⊂ 𝐴 × 𝐵 sedemikian sehingga memenuhi:



b. Jenis Fungsi  Jenis fungsi berdasarkan sifatya dibedakan menjadi  Fungsi satu-satu (injektif) Misalkan fungsi 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵. Fungsi 𝑓 dikatakan satusatu atau injektif (injective) jika untuk setiap dua unsur beda di A mempunyai peta yang beda. Definisi ini dapat disajikan secara formal sebagai berikut: Fungsi 𝑓 dikatakan satu-satu: ∀ 𝑥1, 𝑥2 di 𝐴, 𝑥1 ≠ 𝑥2 ⟹ 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2).  Fungsi pada (surjektif) Dipunyai fungsi 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵. Fungsi 𝑓 dikatakan pada atau surjektif (surjective) jika 𝑅𝑓 = 𝐵. Definisi ini dapat disajikan secara formal sebagai berikut: Fungsi 𝑓 dikatakan surjektif jika ∀ 𝑥 ∈ 𝐵, ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∋ 𝑓(𝑦) = 𝑥.  Fungsi bijektif Fungsi 𝑓: ℝ → ℝ dikatakan bijektif apabila fungsi 𝑓 merupakan fungsi injektif dan sekaligus surjektif  Jenis fungsi berdasarkan kemonotonannya dibedakan menjadi:  Fungsi naik Dipunyai fungsi 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵. Fungsi 𝑓 dikatakan naik jika fungsi 𝑓 melestarikan urutan. Definisi ini dapat disajikan secara formal sebagai berikut: Fungsi 𝑓 dikatakan naik: ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴, 𝑥 < 𝑦 ⟹ 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑦).



















Fugsi turun Dipunyai fungsi 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵. Fungsi 𝑓 dikatakan turun jika fungsi 𝒇 tak melestarikan urutan. Definisi ini dapat disajikan secara formal sebagai berikut: Fungsi 𝑓 dikatakan turun: ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴, 𝑥 < 𝑦 ⟹ 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑦). Fungsi-fungsi yang tergolong jenis fungsi aljabar di antaranya  Fungsi trigonometri  Fungsi invers trigonometri (siklometri)  Fungsi logaritma asli,    Fungsi eksponensial  Fungsi hiperboliks Fungsi-fungsi yang tergolong jenis fungsi aljabar di antaranya:  fungsi linier, fungsi kuadrat, fungsi kubik, dan seterusnya yang dikenal sebagai fungsi polinomial, Fungsi polinomial mempunyai bentuk 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥 𝑛 + . . . + 𝑎2𝑥 2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0, pangkat tertingginya menunjukkan orde atau derajat dari fungsi polinomial tersebu  fungsi rasional suatu fungsi berbentuk 𝑓(𝑥) =P(x)Q(x) dengan 𝑃(𝑥) dan 𝑄(𝑥) adalah polinomial atau suku banyak dalam 𝑥 dan 𝑄(𝑥) ≠0  fungsi irrasional fungsi aljabar yang mengandung faktor penarikan akar. Bentuk umumnya 𝑓(𝑥) =ng(x) dengan 𝑔(𝑥) > 0 Terdapat juga jenis fungsi khusus:  fungsi dengan nilai mutlak (modulus)  fungsi ganjil/genap.  fungsi periodik  fungsi tangga.



c. Operasi pada Fungsi Misalkan 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi-fungsi dan 𝑘 suatu konstanta, maka:



2. Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers   a. Komposisi Fungsi Dipunyai fungsi-fungsi 𝑓 dan 𝑔 dengan 𝑅𝑔 ∩ 𝐷𝑓 ≠ ∅. Fungsi komposisi 𝑓 ∘ 𝑔 didefinisikan sebagai (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓[𝑔(𝑥)] ∀ 𝑥 ∈ 𝑅𝑔 ∩ 𝐷𝑓. b. Invers Fungsi Misalkan fungsi 𝑓: 𝐴 → 𝐵. Jika terdapat fungsi  𝑔: 𝑅𝑓 → 𝐴 sehingga nilai-nilai 𝑔[𝑓(𝑥)] = 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝐴 maka fungsi 𝑔 disebut invers 𝑓 dan ditulis 𝑔 = 𝑓−1 . 3.  Limit Fungsi a. Barisan dan limit barisan Barisan adalah suatu fungsi yang domainnya adalah himpunan bilangan bulat positif atau bilangan asli (𝑁) atau himpunan bagiannya. b. Limit Fungsi



c. Limit fungsi trigonometri



4. Limit Sepihak Dipunyai fungsi 𝑓: (𝑎, 𝑏) → ℝ, dan 𝑐 di selang (𝑎, 𝑏). Limit fungsi



𝑓 untuk 𝑥 mendekati 𝑐 dari kanan adalah 𝐿, ditulis dengan lim𝑥→𝑐+ 𝑓(𝑥) = 𝐿 jika dan hanya jika untuk setiap 𝜀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 apabila 𝑐 < 𝑥 < 𝑐 + α Dipunyai fungsi 𝑓: (𝑎, 𝑏) → ℝ, dan 𝑐 di selang (𝑎, 𝑏). Limit fungsi 𝑓 untuk 𝑥 mendekati 𝑐 dari kiri adalah 𝐿, ditulis dengan lim𝑥→𝑐− 𝑓(𝑥) = 𝐿 jika dan hanya jika untuk setiap 𝜀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 apabila 𝑐 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑐. 5. Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga   Dipunyai fungsi 𝑓: ℝ– {𝑎} → ℝ. lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = +∞ ⇔ ∀ 𝑀 > 0 ∃ 𝛿 > 0 ∍ 𝑓(𝑥) > 𝑀 apabila 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿. Dipunyai fungsi 𝑓: ℝ → ℝ. lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = 𝐿 ∀𝜀 > 0 ∃ 𝑀 > 0 ∋ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 apabila 𝑥 > 𝑀. 6. Kekontinuan Fungsi Syarat untuk suatu fungsi dikatakan kontinu: yaitu  1. f(x)  ada 2. fcada 3. f(x) =f(c) KB. 3 Turunan dan Aplikasi Turunan  1. Definisi dan Rumus-rumus Turunan Fungsi a. Definisi  Salah satu masalah yang mendasari munculnya kajian tentang turunan adalah gradien garis singgung (m). gradien garis singgung 𝑓 di titik 𝑃 dapat diperoleh dari gradien garis 𝑃𝑄 dengan 𝑄 sangat dekat dengan 𝑃. Dengan kata lain, gradien garis singgung 𝑓 di titik 𝑃 (dinotasikan dengan 𝑚) dapat diperoleh dengan



b. Turunan Fungsi Turunan dari fungsi 𝑓 adalah fungsi 𝑓′ dengan



c. Teorema-teorema turunan



d. Aturan rantai Aturan rantai didasari dari turunan fungsi komposisi. Jika 𝑔 mempunyai turunan di 𝑥 dan 𝑓 mempunyai turunan di 𝑔(𝑥) Maka



Mis : y=fogx dan u=g(x) dydx=dydu.dudx



2. Turunan Fungsi Implisit dan Fungsi Invers a. Turunan fungsi implisit penulisan variabel 𝑥 dan 𝑦 dalam nilai fungsi berada pada ruas yang berbeda atau dituliskan sebagai 𝑦 = 𝑓(𝑥). Fungsi yang nilai fungsinya disajikan dalam ruas yang berbeda yaitu 𝑦 = 𝑓(𝑥) disebut fungsi eksplisit. b. Turunan Fungsi Invers Jika 𝑓 mempunyai turunan pada 𝐼 ⊂ ℝ dan 𝑓′ (𝑥) ≠ 0 pada 𝐼 maka 𝑓−1 mempunyai turunan pada 𝑓(𝐼) dan dapat ditentukan dengan



3. Aplikasi Turunan Berkaitan dengan nilai ekstrim suatu fungsi yang mencakup nilai ekstrim maksimum dan nilai ekstrim minimum Diberikan fungsi 𝑓:𝐼 → ℝ,𝐼 ⊆ ℝ, dan 𝑀 = 𝑓(𝑐) untuk suatu 𝑐 ∈ 𝐼. (a) 𝑀 merupakan nilai maksimum (mutlak) 𝑓 apabila 𝑀 ≥ 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐼. (b) 𝑀 merupakan nilai minimum (mutlak) 𝑓 apabila 𝑀 ≤ 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐼.. (c) Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi disebut nilai ekstrim



(mutlak) fungsi tersebut Kemonotonan grafik fungsi : f'(x) > 0 Kecekungan grafik fungsi : f''(x) > 0 KB.4 Antiturunan, Integral, dan Aplikasi Integral 1. Antiturunan a. Konsep Antiturunan Antiturunan adalah yang merupakan balikan dari turunan , disebut juga dengan pengintegralan tak tentu.  Integral tak tentu antara lain: ∫xrdx=xr+1r+1+c 



Kelinieran Dipunyai 𝑓 dan 𝑔 fungsi-fungsi yang mempunyai turunan dan 𝐾 suatu konstanta. Untuk 𝑓 dan 𝑔 berlaku aturan berikut.



b. Teorema pergantian dan inegral parsial  Teorema pergantian   Dipunyai 𝑔 mempunyai turunan pada 𝐷𝑔 dan 𝑅𝑔 ⊂ 𝐼 dengan 𝐼 adalah suatu selang. Jika 𝑓 terdefinisi pada selang 𝐼 sehingga  𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥), maka ∫ 𝑓[𝑔(𝑥)]𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹[𝑔(𝑥)] + 𝐶. 



Integral Parsial Jika U dan V adalah fungsi-fungsi yang mempunyai turunan pada selang buka 𝐼, maka ∫𝑈. 𝑑𝑉 = 𝑈. 𝑉 − ∫ 𝑉. 𝑑𝑈.



c. Teknik Penginegralan  Teknik pengintegralan yang diperoleh dari turunan maupun integral











Integral Fungsi Trigonometri



Integral Fungsi Rasional Teknik pengintegralannya fungsi rasional tak sejati diubah menjadi fungsi rasional sejati dengan pembagian. Setelah menjadi fungsi rasional sejati, berikutnya jadikan sebagai penjumlahan dengan penyebut faktor-faktornya.



2. Deret dan Notasi Sigma dan Jumlah Rieman a. Deret dan Notasi Sigma b. Jumlah Riemann Dipunyai [𝑎, 𝑏] suatu selang tutup. Suatu partisi 𝑃𝑛 untuk selang [𝑎, 𝑏] adalah sebarang himpunan yang terdiri (𝑛 + 1) bilangan  {𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛}, dengan 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑏. 3. Integral Tertentu Dipunyai fungsi 𝑓:[𝑎, 𝑏] → ℝ. Jika lim‖𝑃‖→0 ∑ 𝑓(𝑡𝑖). ∆𝑖 𝑥 𝑛𝑖=1 ada, maka dikatakan fungsi f terintegralkan secara Riemann pada selang [𝑎, 𝑏]. Selanjutnya ditulis lim‖𝑃‖→0 ∑ 𝑓(𝑡𝑖). ∆𝑖𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑x



Sifat Penjumlahan Selang



4. Aplikasi Integral a. Luas daerah pada bidang datar b. Volume benda putar  Metode putar  Metode cincin  Metode sel silinder (kulit tabung) c. Panjang busur suatu grafik fungsi



2



3



c. Luas Permukaan benda putar 1. Identitas Trigonometri 2. Antiturunan 3. Volume benda putar



Daftar materi yang sulit dipahami di modul ini Daftar 1. materi yang 2. sering 3. mengalami miskonsepsi



Identitas Trigonometri Antiturunan Volume benda putar 



LK 1.1 : Lembar Kerja Belajar Mandiri Judul Modul MODUL 4 KOMBINATORIKA DAN STATISTIKA Judul Kegiatan 1. Kaidah Pencacahan, Permutasi dan Kombinasi Belajar (KB) 2. Teori Peluang 3. Ukuran Pemusatan Data dan Penyebaran 4. Pembelajaran Kombinatorika dan Statistika No Butir Respon/Jawaban Refleksi 1 Daftar peta KB. 1 Kaidah Pencacahan, Permutasi dan Kombinasi konsep A. Kaidah Pencacahan dan Penjabaran Binom Newton (istilah dan 1. Aturan Pengisian Tempat adalah Misalkan ada 𝑛 tempat definisi) di tersedia dengan 𝑘1 adalah banyaknya cara mengisi tempat modul ini pertama, 𝑘2 adalah banyaknya cara mengisi tempat kedua, dan seterusnya hingga 𝑘𝑛 adalah banyaknya cara mengisi tempat ke-𝑛. Maka banyaknya cara mengisi tempat adalah 𝑘1 × 𝑘2 × 𝑘3 × … × kn 2. Kaidah Perkalian Berlaku bagi penyusunan atau pemilihan objek yang dilakukan beberapa tahap dan dilaksanakan sekaligus. Pada setiap tahap dimungkinkan beberapa cara (alternatif) penyusunan atau pemilihan. 3. Kaidah penjumlahan yaitu tindakan  pemilihan atau penyusunan yang dilakukan dalam beberapa tahap pemilihan atau penyusunan yang tidak dilaksanakan sekaligus, akan tetapi dilakukan berdasarkan salah satu tahap. B.



Permutasi 1.  Notasi faktorial Untuk setiap didefinisikan : 



bilangan asli,



2. Permutasi dari unsur – unsur yang berbeda  Permutasi obyek yang diambil dari obyek berbeda, dengan 𝑟 ≤ 𝑛 adalah yang didefinisikan dengan :    3. Permutasi yang memuat beberapa unsur sama Banyaknya permutasi n unsur yang memuat k unsur yang sama, m unsur yang sama dan p unsur yang sama dengan 𝑘 + 𝑚 + 𝑝 ≤ 𝑛 ditentukan dengan rumus :  4. Permutasi siklis Banyaknya permutasi siklis dari n unsur tersebut dirumuskan dengan :  C.



Kombinasi Suatu kombinasi unsur yang diambil dari unsur yang tersedia (tiap unsur tersebut berbeda) adalah suatu pilihan dari unsur tadi tanpa memperhatikan urutannya.  Kata kunci yang membedakan antara kombinasi dan permutasi adalah



memperhatikan atau tidak memperhatikan urutan.  Banyaknya kombinasi unsur yang diambil dari unsur yang tersedia dengan 𝑟 ≤ 𝑛 dirumuskan dengan:     1. Kombinasi dengan Pengulangan adalah memilih (𝑟 − 1) tempat dari 𝑛 + 𝑟 − 1 tempat yang tersedia. Banyaknya cara adalah



2. Binom Newton Jika (𝑎 + 𝑏)𝑛 kita jabarkan akan didapat rumus sebagai berikut :   (𝑎 + 𝑏)𝑛 = 𝑛𝐶𝑜(𝑎)𝑛(𝑏)0 + 𝑛𝐶1(𝑎)𝑛 − 1(𝑏)1 + 𝑛𝐶2(𝑎)𝑛 − 2(𝑏)2 + ⋅⋅⋅  + 𝑛𝐶𝑛 − 1(𝑎)1(𝑏)𝑛 − 1 + 𝑛𝐶𝑛(𝑎)0(𝑏)𝑛  atau dapat juga ditulis   (𝑎 + 𝑏)𝑛 = 𝑛𝐶𝑜(𝑎)0(𝑏)𝑛 + 𝑛𝐶1(𝑎)1(𝑏)𝑛 − 1 + 𝑛𝐶2(𝑎)2(𝑏)𝑛 − 2 + ⋅⋅ ⋅ + 𝑛𝐶𝑛 − 1(𝑎)𝑛 − 1(𝑏)1 + 𝑛𝐶𝑛(𝑎)𝑛(𝑏)0   KB. Teori Peluang A. Percobaan dan Peluang Suatu Kejadian 1. Percobaan adalah Setiap proses yang menghasilkan suatu kejadian 2. Ruang sampel adalah Semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan 3. Titik sampel adalah setiap hasil dalam ruang sampel B. Frekuensi Harapan  Frekuensi Harapan adalah suatu kejadian pada suatu percobaan adalah hasil kali peluang dengan frekuensi percobaan A, dinyatakan dengan rumus :  C.



Kepastian dan kemustahilan Peluang suatu kejadian mempunyai nilai 0 P   1, artinya : jika P = 0 maka kejadian dari suatu peristiwa adalah mustahil atau tidak pernah terjadi, dan jika P = 1 maka suatu peristiwa pasti terjadi. D. Komplemen dari suatu kejadian Jika AC menyatakan komplemen dari kejadian A, maka : P(AC) =1 – P(A)   E. Kejadian majemuk  Kejadian majemuk terjadi apabila ada kejadian atau percobaan yang terjadi lebih dari satu kali sehingga menghasilkan kejadian baru. 1. Prinsip inklusi Eksklusi (PIE) adalah bentuk paling umum dari prinsip penambahan pada himpunan.   2. Peluang Kejadian yang Saling Lepas



Dua kejadian disebut saling lepas jika irisan dari dua kejadian itu merupakan himpunan kosong. Himpunan A dan B dikatakan dua kejadian yang saling lepas, sebab A B = ∅. Berdasarkan teori himpunan , jika tidak saling lepas maka : 𝑃 (𝐴 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) – 𝑃(𝐴 𝐵) Karena 𝑃(𝐴 𝐵) = 0, maka : 𝑃 (𝐴   𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(B) 3. Peluang Bersyarat Jika A dan B adalah dua kejadian dalam ruang sampel S dan P(A) 0, maka peluang bersyarat dari B yang diberikan A didefinisikan sebagai :  P(B\A) = P(A B) / P(A) atau  P(A B) = P(A). P(B\A)  4. Kejadian Saling Bebas (Stokastik) Jika dua keping mata uang yang homogen dilantunkan bersama-sama, maka kejadian yang mungkin adalah :  S = {(G1,G2), (G1,A2), (A1,G2), (A1,A2)} → n(s) = 4.  Pada kejadian mata uang pertama muncul G1 dan  mata uang kedua muncul G2, maka P(G1) = dan P(G2) = . Kejadian G1 dan G2 adalah dua kejadian yang saling bebas. P(G1,G2) = P(G1G2) = P(G1) x P(G2) = x = . Secara umum, jika A dan B merupakan dua kejadian yang saling bebas maka peluang kejadian A dan B adalah :  P(A B)  = P(A) x P(B)  KB. 3 Ukuran Pemusatan dan Ukuran Penyebaran A. Distribusi Frekuensi Ada beberapa cara menyusun data, yaitu: Distribusi Data adalah Susunan dari suatu data Distribusi Frekuensi kuantitatif adalah penyusunan data menurut besarnya (kuantitasnya).  Distribusi Frekuensi kualitatif adalah penyusunan data menurut kualitasnya (kategorinya).  Runtun waktu (time series), yaitu penyusunan data menurut waktu terjadinya. Distribusi spasial, yaitu penyusunan data menurut tempat geografisnya. Di sini hanya akan dibahas cara penyusunan distribusi frekuensi kuantitatif dan pembuatan grafiknya 1. Penyusunan Distribusi Frekuensi    Cara menyusun distribusi frekuensi yaitu:



a. Tentukan banyak dan lebar inteval kelas b. Interval-interval kelas tersebut diletakkan dalam suatu kolom, diurutkan dari interval kelas terendah pada kolom paling atas dan seterusnya c. Data diperiksa dan dimasukkan ke dalam interval kelas yang sesuai 2. Penggambaran Distribusi Frekuensi a. Histogram Untuk menggambar grafik distribusi frekuensi relatif, cara adalah : interval kelas diletakkan pada sumbu X dan frekuensi relatif diletakkan pada sumbu Y, dengan frekuensi relatif interval kelas tinggi persegi panjang= frekuensi relatif interval kelas lebar interval kelas



b. Poligon  Cara menggambar Poligon :   Absis : titik tengah interval kelas  Ordinat : frekuensi interval kelas.   Hubungkan titik-titik tersebut dengan garis lurus c. Ogive Grafik ini merupakan penghalusan poligon.  Cara menggambar  distribusi kumulatif:   absis: batas interval kelas    ordinat: frekuensi interval kelas   Hubungkan antar titik-titik tersebut.    B.



Ukuran Pemusatan  Dari sekumpulan data adalah nilai tunggal yang representatif bagi keseluruhan nilai data atau dapat menggambarkan distribusi data itu, khususnya dalam hal letaknya (lokasinya) 1. Mean dan Mean Terbobot a. Mean data tidak dikelompokkan Mean dari sekumpulan observasi adalah jumlah semua observasi dibagi banyak observasi. Jika suatu sampel berukuran n dengan elemen x1, x2, ..., xn maka mean



sampel adalah  



Misal v1, v2, ... , vk adalah himpunan k nilai dan w1, w2, ..., wk bobot yang diberikan kepada mereka maka mean terbobot adalah  v = w1w1+ w1v2+…+wkw1w2+…wk = i=1kwivii=1kwi b. Mean Data dikelompokkan  Data dikelompokkan adalah sekumpulan data yang telah disederhanakan dalam bentuk distribusi frekuensi. Harga mean yang diperoleh merupakan harga pendekatan, dengan anggapan bahwa nilai yang terletak pada suatu interval kelas sama dengan harga titik tengahnya. Mean yang diperoleh merupakan mean terbobot dengan nilai bobotnya sama dengan nilai frekuensinya. Mean dari data yang dikelompokkan adalah:



2. Median  Median dari sekumpulan data adalah nilai yang berada di tengah dari sekumpulan data itu setelah diurutkan menurut besarnya . Interval median adalah interval dimana median itu berada, diperoleh dengan menghitung harga yang nomor ken/2 menurut urutan frekuensinya dari atas ke bawah (dari bawah ke atas).  a. Median data yang tidak dikelompokkan  Jika banyaknya data ganjil maka :   Md = x(n+1)2 Jika banyaknya data genap : Md =xn2+x(n2+1)2 b. Median Data yang dikelompokkan Rumus untuk menghitung median adalah Median  =  Md  =Lmd+n2-Ffmd.c Dengan : Lmd :  batas bawah interval median   n   : banyak data   F   : jumlah frekuensi interval-interval sebelum interval            median fmd     : frekuensi interval median   c      : lebar interval



Interval median adalah interval dimana median itu berada, diperoleh dengan menghitung harga yang nomor ke-n/2 menurut urutan frekuensinya dari atas ke bawah (dari bawah ke atas). 3. Kuartil  Kuartil dari sekumpulan data adalah nilai-nilai yang membagi empat secara sama dari sekumpulan data itu setelah diurutkan menurut besarnya.  a. Data tidak dikelompokkan b. Data dikelompokkan  Kuartil  I  :  K1  = LK1+ n4-Ffk1.c  Kuartil  II  :  K2  =Median = Md = Lmd+ n2-Ffmd.c Kuartil  III  :  K3  = LK3+ 3  n4-Ffk3.c Dengan LK1  : batas bawah interval kuartil I Lmd  : batas bawah interval median LK3  : batas bawah interval kuartil III n      : banyak data F      : jumlah frekuensi interval-interval sebelum interval            Kuartil fK1   : frekuensi interval Kuartil I fmd   : frekuensi interval median fK3   : frekuensi interval Kuartil III c      : lebar interval  Interval Kuartil adalah interval dimana Kuartil itu berada.



4. Modus  Modus dari sekumpulan data adalah nilai yang sering muncul atau nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi dalam kumpulan data itu.  a. Data tidak dikelompokkan b. Data dikelompokkan  Modus = Lmo +aa+b.c  dengan     Lmo : batas bawah interval modus a       : beda frekuensi antara interval modus dengan interval             sebelumnya b      : beda frekuensi antara interval modus dengan interval             sesudahnya. c      : lebar interval Interval modus  Interval modus adalah interval yang mempunyai frekuensi tertinggi. C.



Ukuran Penyebaran Data 1. Jangkauan adalah selisih data terbesar dan terkecil



2. Deviasi rata-rata adalah harga rata-rata penyimpangan tiap data terhadap meannya. Besar perbedaaan antara data dan meannya adalah harga mutlaknya. 1. Data tidak dikelompokkan  dr = i=1nxi-xn 2. Data dikelompokkan  Deviasi rata-rata untuk data yang dikelompokkan, dihitung dengan rumus : dr = i=1nfixi-xn 3. Variansi dan Deviasi Standar Variansi sampel didefinisikan sebagai jumlah kuadrat deviasi terhadap mean sampel dibagi 𝑛 – 1 Deviasi standar sampel didefinisikan sebagai akar positif dari variansi sampel a. Data tidak dikelompokkan s2=1n-1i=1n(xi-x)2 atau s2=1n-1i=1nxi2-1ni=1nxi2 Deviasi standar sampel didefinisikan sebagai akar positif dari variansi sampel, yaitu :  s = s2 b. Data dikelompokkan s2=1n-1i=1nfi(xi-x)2 atau s2=1n-1i=1nfixi2-1ni=1nfixi2 KB. Pembelajaran Kombinatorik dan Statistika A. Istilah Pengetahuan Faktual, Konseptual, Prosedural, dan Metakognitif untuk Tingkat SMA/MA/SMALB/ Paket C 1. Faktual Faktual adalah pengetahuan teknis dan spesifik,detail dan kompleks berkenaan dengan ilmu pengetahuan, teknologi, seni,dan budaya terkait dengan masyarakat dan lingkungan alam sekitar, bangsa, negara,kawasan regional, dan internasional.  2. Konseptual  Konseptual adalah terminologi/istilah dan klasifikasi, kategori, prinsip, generalisasi, teori,model, dan struktur yang digunakan terkait dengan pengetahuan teknis dan spesifik, detail dan kompleks berkenaan dengan ilmu pengetahuan, teknologi, seni, dan budaya terkait dengan masyarakat dan lingkungan alam sekitar, bangsa, negara, kawasan regional, dan internasional.  3. Prosedural  Prosedural adalah pengetahuan tentang cara melakukan sesuatu atau kegiatan yang terkait dengan pengetahuan teknis, spesifik, algoritma, metode, dan kriteria untuk menentukan prosedur yang sesuai berkenaan dengan ilmu pengetahuan,



teknologi, seni, dan budaya, terkait dengan masyarakat dan lingkungan alam sekitar, bangsa, negara, kawasan regional, dan internasional. sekitar, bangsa, negara, kawasan regional, dan internasional.  4. Metakognitif  Metakognitif adalah pengetahuan tentang kekuatan dan kelemahan diri sendiri dan menggunakannya dalam mempelajari pengetahuan teknis, detail, spesifik, kompleks, kontekstual dan kondisional berkenaan dengan ilmu pengetahuan, teknologi, seni, dan budaya terkait dengan masyarakat dan lingkungan alam sekitar, bangsa, negara, kawasan regional, dan internasional. B. Arti 4C (Communication, Collaborative, Critical Thinking, Dan Creativity) Keterampilan abad ke-21 atau diistilahkan dengan 4C (Communication, Collaboration, Critical Thinking and Problem Solving, dan Creativity and Innovation) merupakan kemampuan sesungguhnya ingin dituju sesuai dengan kondisi abad 21. 1. Communication (komunikasi)  Komunikasi adalah sebuah kegiatan mentransfer sebuah informasi baik secara lisan maupun tulisan. 2. Collaborative (kolaborasi)   Kolaborasi adalah kemampuan berkolaborasi atau bekerja sama, saling bersinergi, beradaptasi dalam berbagai peran dan tanggungjawab; bekerja secara produktif dengan yang lain; menempatkan empati pada tempatnya; menghormati perspektif berbeda.  3. Critical Thinking and Problem Solving (Berpikir Kritis dan Pemecahan  Masalah)  Berpikir kritis dan pemecahan masalah adalah kemampuan untuk memahami sebuah masalah yang rumit, mengkoneksikan informasi satu dengan informasi lain, sehingga akhirnya muncul berbagai perspektif, dan menemukan solusi dari suatu permasalahan.  4. Creativity and Innovation (Kreativitas dan inovasi)   Kreativitas dan inovasi adalah kemampuan untuk mengembangkan, melaksanakan, dan menyampaikan gagasangagasan baru kepada yang lain; bersikap terbuka dan responsif terhadap perspektif baru dan berbeda. Kreativitas juga didefinisikan sebagai kemampuan seseorang dalam menciptakan penggabungan baru.   C. Problem Based Learning (PBL) Problem Based Learning (PBL) adalah suatu model pembelajaran yang  menghadapkan siswa pada masalah nyata sehingga diharapkan siswa dapat menyusun pengetahuannya sendiri, menumbuhkembangkan inkuiri dan keterampilan tingkat tinggi, memandirikan siswa, serta meningkatkan kepercayaan dirinya. Sintak dari PBL adalah: 1. Orientasi siswa kepada Masalah



2. Mengorganisasikan siswa untuk belajar 3. Membantu penyelidikan mandiri dan kelompok 4. Mengembangkan dan menyajikan hasil karya serta memamerkannya 5. Menganalisis dan mengevaluasi proses pemecahan masalah D. Discovery Learning (DL) Model discovery merupakan pembelajaran yang menekankan pada  pengalaman langsung dan pentingnya pemahaman struktur atau ide-ide penting terhadap suatu disiplin ilmu, melalui keterlibatan siswa secara aktif dalam pembelajaran. Sintak dari Discovery Learning adalah: 1. Stimulation 2. Problem statement 3. Data collection 4. Data processing 5. Verification 6. Generalization E. Project Based Learning (PjBL) Project Based Learning adalah sebuah model atau pendekatan pembelajaran  yang inovatif, yang menekankan belajar kontekstual melalui kegiatan-kegiatan yang kompleks (Trianto, 2014), dengan sintak: 1. Penentuan penugasan proyek 2. Menyusun rencana proyek 3. Menyusun jadwal 4. Monitoring 5. Menguji hasil 6. Evaluasi pengalaman F. Literasi Literasi atau melek matematis didefinisikan sebagai kemampuan seseorang  individu merumuskan, menggunakan, dan menafsirkan matematika dalam berbagai konteks.  G. Penguatan Pendidikan Karakter (PPK)  Program Penguatan Pendidikan Karakter (PPK) adalah Program pendidikan di sekolah untuk memperkuat karakter siswa melalui harmonisasi olah hati, olah rasa, olah pikir, dan olah raga dengan dukungan pelibatan publik dan kerja sama antara sekolah, keluarga, dan masyarakat yang merupakan bagian dari Gerakan Nasional Revolusi Mental (GNRM).  1. Religius  Sikap religius mencerminkan keberimanan dan ketakwaan kepada Tuhanyang Maha Esa.  2. Integritas  Integritas artinya selalu berupaya menjadikan dirinya sebagai orang yang bisa dipercaya dalam perkataan, tindakan, dan pekerjaan.  3. Mandiri  Mandiri artinya tidak bergantung pada orang lain dan menggunakan tenaga, pikiran, dan waktu untuk merealisasikan harapan, mimpi, dan cita-cita. 



4. Nasionalis  Nasionalis berarti menempatkan kepentingan bangsa dan negara di atas kepentingan pribadi dan kelompok.  5. Gotong Royong  Gotong royong menerminkan tindakan mengahargai kerja sama dan bahu membahu menyelesaikan persoalan bersama.  2



3



Daftar materi yang sulit dipahami di modul ini Daftar materi yang sering mengalami miskonsepsi



1. 2.



Binom Newton Ukuran penyebaran data



1. 2.



Binom Newton Ukuran penyebaran data



LK 5: Lembar Kerja Belajar Mandiri Judul Modul Judul Kegiatan Belajar (KB) No Butir Refleksi 1 Daftar peta konsep (istilah dan definisi) di modul ini



MODUL 5: BILANGAN 1. Keterbagian, Faktor Bilangan Prima, Kelipatan Bilangan 2. Kongruensi Modulo 3. Notasi Sigma, Barisan dan Deret 4. Induksi Matematika Respon/Jawaban 1. Keterbagian, Faktor Bilangan Prima, Kelipatan Bilangan A. Keterbagian Bilangan bulat a membagi habis bilangan bulat b (ditulis a| b) apabila terdapat bilangan bulat k sehigga b=ak. Jika a tidak membagi habis b maka dituliskan a∤b. Beberapa teorema tentang keterbagian: a. Jika a|b dan b|c maka a|c b. Jika a|b dan a|(b+c) maka a|c c. Jika p|q maka p|qr untuk semua rZ d. Jika p|q dan p|r maka p|q+r B. Faktor Persekutuan Terbesar Suatu bilangan bulat d disebut faktor persekutuan dari a dan b apabila d|a dan d|b. Bilangan bulat positif d disebut FPB dari a dan b jika dan hanya jika: a.  d|a dan d|b b. Jika c|a danc|b maka cd Bilangan bulat a dan b disebut relatif prima (saling prima) jika FPB (a,b)=1 Beberapa teorema FPB: a. Jika FPB a,b=d maka FPB (a:d,b:d=1) b. Untuk setiap bilangan bulat positif a dan b terdapat dengan tunggal bilangan bulat q dan r sedemikian sehingga b=qa+r dengan 0≤r1 disebut bilangan prima jika mempunyai faktor positif hanya 1 dan p. Bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 dan bukan bilangan prima disebut bilangan komposit (tersusun). Teorema: a. Jika sisa pembagian b oleh a relatif prima dengan a maka b relatif prima dengan a. b. Setiap bilangan positif yang lebih besar dari 1 dapat dibagi oleh suatu bilangan prima



c. Setiap bilangan bulat n>1 merupakan bilangan prima atau n dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan-bilangan prima tertentu. d. Jika n suatu bilangan komposit maka n memiliki faktor k dengan 1 0 maka 𝐾𝑃𝐾[𝑚𝑎, 𝑚𝑏] = 𝑚 × 𝐾𝑃𝐾[𝑎, 𝑏]. c. Jika 𝑎 dan 𝑏 bilangan-bilangan bulat positif, maka 𝐾𝑃𝐾[𝑎, 𝑏] × 𝐹𝑃𝐵(𝑎, 𝑏) = 𝑎𝑏. 2. A.



a. b.



2. 3. 3.



Kongruensi Modulo Kekongruenan Definisi: a. Jika 𝑚 suatu bilangan bulat positif membagi 𝑎−𝑏 maka dikatakan 𝑎 kongruen terhadap 𝑏 modulo 𝑚 dan ditulis 𝑎≡𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚). b. Jika 𝑚 tidak membagi 𝑎−𝑏 maka dikatakan 𝑎 tidak kongruen terhadap 𝑏 modulo 𝑏 dan ditulis 𝑎≢𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚). Teorema: Untuk bilangan bulat sebarang 𝑎 dan 𝑏, 𝑎≡𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) jika dan hanya jika 𝑎 dan 𝑏 memiliki sisa yang sama jika dibagi 𝑚. Untuk 𝑚 bilangan bulat positif dan 𝑝,𝑞, dan 𝑟 bilangan bulat, berlaku  1. Sifat Refleksif  𝑝≡𝑝 (𝑚𝑜𝑑 𝑚)  Sifat Simetris  𝑝≡𝑞 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) jika dan hanya jika 𝑞≡𝑝 (𝑚𝑜𝑑 𝑚)  Sifat Transitif  Jika 𝑝≡𝑞 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) dan 𝑞≡𝑟 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) maka 𝑝≡𝑟 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) c. Jika 𝑝,𝑞,𝑟, dan 𝑚 adalah bilangan-bilangan bulat dan 𝑚>0 sedemikian hingga 𝑝≡𝑞(𝑚𝑜𝑑 𝑚), maka: 1. 𝑝+𝑟≡𝑞+𝑟(𝑚𝑜𝑑 𝑚)  2. 𝑝–𝑟≡𝑞–𝑟(𝑚𝑜𝑑 𝑚)



3. 𝑝𝑟≡𝑞𝑟(𝑚𝑜𝑑 𝑚)  d. Jika 𝑎≡𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) dan 𝑐≡𝑑 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) maka (1) 𝑎+𝑐≡𝑏+𝑑 (𝑚𝑜𝑑 𝑚)  (2) 𝑎−𝑐≡𝑏−𝑑 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) (3) 𝑎𝑐≡𝑏𝑑 (𝑚𝑜𝑑 𝑚)  e. Jika 𝑎≡𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) dan 𝑐≡𝑑 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) maka 𝑎𝑥+𝑐𝑦≡𝑏𝑥+𝑑𝑦 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) e. Jika 𝑝≡𝑝𝑞(𝑚𝑜𝑑 𝑚) maka 𝑝𝑟≡𝑞𝑟 (𝑚𝑜𝑑 𝑚𝑟). e. Jika 𝑎≡𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) maka 𝑎𝑛≡𝑏𝑛 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) untuk 𝑛 bilangan bulat positif. e. Misalkan 𝑓 suatu polinom dengan koefisien bilangan bulat, yaitu  f(x)=d0xn+d1xn-1+d2xn-2+⋯+dn-1x+dn Dengan d0,d1, …,dn masing-masing bilangan bulat. i. Jika 𝑎 suatu solusi 𝑓(𝑥)≡0(𝑚𝑜𝑑 𝑚) dan 𝑎≡𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) maka 𝑏 juga solusi 𝑓(𝑥) itu. i. Jika 𝑑|𝑚 dan 𝑎≡𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚) maka 𝑎≡𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑑) i. Misalkan (𝑎,𝑚)=𝑑  𝑎𝑥=𝑎𝑦 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) jika dan hanya jika xy (modmd) l. Misalkan (𝑎,𝑚)=1. 𝑎𝑥≡𝑎𝑦 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) jika dan hanya jika 𝑥≡𝑦 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) m. Jika 𝑎𝑥≡𝑎𝑦 (𝑚𝑜𝑑 𝑝) dengan 𝑝∤𝑎 dan 𝑝 bilangan basit, maka 𝑥≡𝑦 (𝑚𝑜𝑑 𝑝) m. Diketahui bilangan-bilangan bulat 𝑎,𝑝,𝑞,𝑚, dan 𝑚>0. 1. 𝑎𝑝≡𝑎𝑞(𝑚𝑜𝑑 𝑚) jika dan hanya jika pq(modm(a,m))  2. 𝑝≡𝑞(𝑚𝑜𝑑 𝑚1) dan 𝑝≡𝑞(𝑚𝑜𝑑 𝑚2) jika dan hanya jika 𝑝≡𝑞(𝑚𝑜𝑑[𝑚1,𝑚2])  B. Sistem Residu Definisi: a. Suatu himpunan {𝑥,𝑥,…,𝑥} disebut suatu sistem residu lengkap modulo 𝑚. Jika dan hanya jika untuk setiap y dengan 0≤𝑦