LK 1 Profesional (Modul 1 Geometri) [PDF]

Citation preview

Medan, 26 Maret 2021 Dibuat Oleh : Nama : SESUAIKAN SARUMAHA, S.Pd Nomor Peserta PPG : 2111310320 LPTK PPG : Universitas Muhammadiyah Sumatera Utara (UMSU) LK 1 : Lembar Kerja Mandiri Judul Modul Judul Kegiatan Belajar (KB)



No Butir Refleksi 1 Daftar Peta Konsep (istilah dan definisi) di modul ini



MODUL 1 GEOMETRI 1. KB 1 Geometri Datar 2. KB 2 Geometri Ruang 3. KB 3 Geometri Transformasi 4. KB 4 Pembelajaran Geometri Respon/ Jawaban KB 1 GEOMETRI DATAR Geometri adalah suatu kajian ilmu tentang titik, garis dan bidang. 1. Titik, Garis, dan Bidang  Titik adalah benda geometri dalam pikiran yang tidak memiliki ukuran. Suatu titik disimpulkan menggunakan huruf kapital.  Suatu garis terbentuk dari tak berhingga titik yang tak kosong.  Sebuah bidang terbentuk dari tiga titik yang tidak segaris (tak kolinear), dari sebuah garis dan sebuah titik yang tidak terletak pada garis tersebut, dari dua buah garis yang sejajar, dan dari dua buah garis yang berpotongan. 2.



Segitiga a. Pengertian Segitiga Gabungan dari tiga segmen/ruas garis yang titik-titiknya tidak kolinier disebut segitiga. b. Garis – garis Istimewa pada Segitiga dan melukisnya  Garis berat pada suatu segitiga adalah garis yang ditarik dari suatu titik segitiga ke pertengahan sisi di depannya.  Garis bagi pada suatu segitiga ialah garis yang membagi suatu sudut pada segitiga menjadi dua bagian sudut yang besarnya sama.



 Garis tinggi pada suatu segitiga adalah garis yang ditarik dari satu titik secara tegak lurus ke sisi di depannya atau perpanjangan sisi di depannya c. Keliling dan Luas suatu segitiga  Jika diketahui Segitiga , dengan sisi-sisinya , C dan . Jika keliling segitiga ABC disimbolkan dengan , maka = + +  Jika diketahui segitiga ABC,dengan adalah garis tinggi, dan alas , dan Luas segitiga disimbolkan 1 , maka = × × 2 Secara umum, pada suatu segitiga, dengan alas , tinggi , luas , maka 1 = × × 2 d. Kekongruenan segitiga Segitiga-segitiga yang sama dan sebangun tersebut disebut dengan segitiga yang kongruen.  Dua segitiga sama dan sebangun, jika dua buah sisinya dan sudut apit sisi itu sama (S-Sd-S). (S= Sisi, Sd: Sudut)  Dua segitiga sama dan sebangun, jika satu sisi sama dan kedua sudut pada sisi itu sama. (Sd-S-Sd)  Dua segitiga sama dan sebangun, jika satu sisinya sama, sudut pada sisi itu dan sudut dihadapan sisi itu sama. (S-Sd-Sd)  Dua segitiga sama dan sebangung, jika segitiga itu siku-siku dan sebuah sisi siku-siku dan sisi miringnya sama. 3. Segiempat Segi empat adalah gabungan dari empat ruas garis yang ditentukan oleh empat titik, tiga titik di antaranya tidak segaris.



Macam-macam Segiempat adalah: Jajargenjang, Persegi Panjang, Persegi, Trapesium, dan Layang-Layang. 4. Luas dan Keliling Bangun Datar a. Luas Bangun Datar  Luas Persegi Panjang adalah: L=pxl  Luas Persegi adalah: L=SxS Atau L = S2  Luas Jajargenjang adalah : L = AB x t Dengan AB adalah alas  Luas Belahketupat adalah: d xd L= 1 2 2  Luas Layang-Layang adalah: d xd L= 1 2 2  Luas Trapesium adalah:  AB  CD .t L= 2 Dengan AB dan CD adalah sisi atas dan sisi bawah trapesium (sisi-sisi sejajar) dan t adalag garis tinggi. b. Keliling Bangun Datar Keliling bangun datar merupakan jumlahan ukuran sisi-sisi terluar yang membentuk suatu bangun. 5. Lingkaran a. Pengertian Lingkaran Lingkaran adalah garis lengkung (kurva) yang bertemu pada kedua ujungnya, dan merupakan himpunan titik-titik yang jaraknya sama terhadap titik tertentu (titik pusat). b. Jari – jari Tali Busur dan Diameter  Jari-jari lingkaran adalah ruas garis yang menghubungkan sebuah titik pada lingkaran



 



  



dengan titik pusat lingkaran. Jari-jari lingkaran biasanya disimbolkan r (radius). Tali busur lingkaran merupakan ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran. Ruas garis yang ditarik dari pusat dan tegak lurus tali busur, disebut apotema. Jadi apotema ialah jarak dari titik pusat ke tali busur. Sebagian dari lingkaran yang terletak di antara kedua ujung tali busur AB disebut busur Juring dibatasi oleh dua jari jari dan busur. Tembereng dibatasi oleh tali busur dan busur.



c. Garis Singgung Lingkaran Garis singgung adalah garis yang mempunyai persekutuan dengan lingkaran pada dua buah titik yang berimpitan. Titik tersebut yang disebut sebagai titik singgung. d. Sudut Keliling, Sudut Pusat dan Busur Lingkaran  Sudut keliling ialah sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yang berpotongan pada lingkaran.  Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari lingkaran.  Besarnya sebuah busur lingkaran adalah besarnya sudut pusat pada busur itu. e. Luas Lingkaran Rumus Luas Lingkaran adalah: L = π.r2



KB 2 GEOMETRI RUANG 1. Kedudukan Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang Tiga aksioma dalam geometri ruang adalah:  Aksioma 1. Melalui dua buah titik hanya dapat dilukis sebuah garis lurus saja.  Aksioma 2. Jika sebuah garis lurus dan sebuah bidang datar mempunyai dua titik persekutuan, maka garis lurus itu terletak seluruhnya pada bidang datar itu.  Aksioma 3. Tiga buah titik sembarang (artinya: ketiga titik itu tidak terletak pada sebuah garis lurus) selalu dapat dilalui oleh sebuah bidang datar. a. Hubungan antara Dua Bidang Dalam geometri ruang, hubungan yang mungkin terjadi antara dua bidang adalah kedua bidang berhimpit, kedua bidang sejajar, kedua bidang berpotongan. Pada kondisi kedua bidang berpotongan, maka titik-titkk persekutiuan antara dua bidang tersebut berupa garis, yang biasanya disebut sebagai garis potong. b. Hubungan antara Dua buah Garis Dua buah garis dapat: berpotongan (terletak pada satu bidang), sejajar (terletak pada satu bidang), atau bersilangan (tidak terletak pada satu bidang). Jika a terletak pada bidang U, sedangkan b tidak terletak pada bidang U; b menembus bidang U di sebuah titik P yang tidak terletak pada garis a. Pada geometri, hubungan antara garis dan bidang dapat berupa: terletak pada bidang, sejajar bidang, atau menembus bidang.



c. Konsep Persekutuan antara Objek dalam Ruang Dua objek dalam ruang memiliki persekutuan karena dua objek tersebut tidak sejajar. Dua garis sebidang akan memiliki persekutuan berupa titik potong karena kedua garis tersebut tidak sejajar. Jadi, jika dua objek dalam ruang memiliki persekutuan, dipastikan bahwa dua objek tersebut tidak sejajar.  Persekutuan antara Dua Bidang Suatu garis merupakan persekutuan dari dua bidang U dan V jika terletak pada bidang U dan terletak pada bidang V, ditulis, ( ∈ ∧ ∈ )⟹ ∈( , ).  Persekutuan antara Dua Garis Dua garis dapat memiliki persekutuan jika terletak dalam 1 bidang. d. Persekutuan antara Garis dan Bidang  Kesejajaran Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis sejajar  Ketegaklurusan Ada tiga hal yang dikaji pada uraian ketegaklurusan, yaitu: (a) dua garis tegak lurus; (b) garis tegak lurus bidang; dan (c) dua bidang yang saling tegak lurus. Pada dasarnya tegak lurus artinya memiliki ukuran sudut 900. 2. Jarak dalam Ruang Dalam geometri jarak berarti panjang ruas garis terpendek antara dua objek geometri. a. Jarak antara dua Titik dalam Ruang Jika titik dan titik , dimana ≠ , maka jarak anatar titkk dan titik merupakan panjang ruas garis



b. Jarak antara Titik dan Garis Jika garis dan titik dimana tidak pada , maka utuk menentukan jarak ke yaitu:  Menentukan garis yang melalui , dan tegak lurus . Sebuh garis ℎ .  Garis ℎ dan berpotongan, sebut titik potongnya  Jarak antara dan garis terlukis, yaitu c. Jarak Titik dan Bidang Jika tidak terletak pada bidang , maka kita dapat menentukan jarak antara titik dengan bidang , yaitu:  Melalui , buat garis ℎ yang tegak lurus dengan bidang .  Garis tersebut menembus bidang pada satu titik, sebut titik tembusnya  Jarak dan bidang terlukis, yakni d. Jarak antara dua Garis Sejajar Jika garis dan garis ℎ merupakan garis-garis yang sejajar ( //ℎ), maka kita dapat menentukan jarak antara garis dan ℎ sebagai berikut:  Ambil sebuah titik pada , misal titik P  Melalui P, buat garis yang berpotongan tegak lurus garis ℎ, misal titkk potongnya adalah Q  Maka jarak antar garis dan ℎ terlukis, yaitu e. Jarak antara Garis dan Bidang Jika garis dan garis ℎ merupakan garis-garis yang sejajar ( //ℎ), maka kita dapat menentukan jarak antara garis dan ℎ sebagai berikut.  Ambil sebuah titik pada ,



misal titik P  Melalui P, buat garis yang berpotongan tegak lurus garis ℎ, misal titkk potongnya adalah Q  Maka jarak anatar garis dan ℎ terlukis, yaitu f. Jarak antara dua Bidang sejajar Jarak antara 2 bidang U dan V, ∥ , adalah panjang ruas garis PQ dengan ⊥ dan ⊥ , dengan ∈ dan ∈ g. Jarak antara dua Garis Bersilang Dua garis pada bidang dikatakan bersilangan jika tidak terletak pada 1 bidang yang sama. 3. Sudut dalam Ruang a. Sudut antara dua Garis Sudut antara garis g dan h yang saling bersilangan, dapat ditentukan dengan menentukan sudut g dan h’, dengan ℎ′∥ℎ, g dan h’ berpotongan. b. Sudut antara Garis dan Bidang Untuk menentukan sudut garis g ke bidang U adalah menentukan sudut antara garis g dan proyeksi garis g pada bidang U. c. Sudut antara dua Bidang Pada ruang, bidang membatasi ruang-ruang menjadi bagian-bagian. Dua bidang yang tidak sejajar akan memiliki persekutuan berupa garis, dan membentuk sudut antara dua bidang. 4. Volume Bangun Ruang Volume bangun ruang adalah banyaknya isi ruang yangdigunakan oleh suatu bangun. a. Kubus V = S3 b. Balok V=pxlxt c. Tabung V = π r2 t



d. Kerucut 1 V = π r2 t 3 e. Limas Segitiga 1 V= . La . t 2 f. Limas Segiempat 1 V = . La . t 3 g. Bola 4 V = . π . r3 3 h. Prisma V = Luas Alas x t KB 3 GEOMETRI TRANSFORMASI 1. Pengertian Transformasi Geometri Transformasi geometri pada bidang adalah proses mengubah setiap titik koordinat menjadi titik koordinat lain pada bidang tertentu. 2. Pencerminan Suatu pencerminan pada sebuah garis s adalah suatu fungsi Ms yang didefinisikan untuk setiap titik pada bidang sebagai berikut:  Jika P  s maka Ms (P) = P.  Jika P  s maka Ms (P) = P’ sehingga garis s adalah sumbu PP a. Pencerminan terhadap Sumbu X Jika titik ( , ), dicerminkan terhadap sumbu- maka akan menghasilkan pencerminan titik ′( ′, ′) dengan ′= ( absis a tetap), dan ′=− (ordinat b menjadi kebalikannya/lawannya). b. Pencerminan terhadap Sumbu Y Jika titik P kita cerminkan terhadap sumbu , maka sumbu Y merupakan sebagai sumbu cermin dalam diagram kartesius. Jika titik ( , ) kita cerminkan terhadap sumbu- , maka pencerminannya atau P’( ′, ′) adalah P’(-a,b).



c. Pencerminan terhadap Garis y = X Pencerminan titik pada bidang kartesius, dapat dikembangkan lagi terhadap garis = . Jika titik ( , ) dicerminkan terhadap garis y = x , akan diperoleh bayangan ′( ′, ′), di mana ′= dan ′= . d. Pencerminan terhadap Garis y = -X Pencerminan titik ( , ) terhadap garis =− menghasilkan bayangan ′( ′, ′) dengan ′=− dan ′=− . e. Pencerminan terhadap Titik Asal Pencerminan titik ( , ) terhadap titik asal (0,0) menghasilkan bayangan ′( ′, ′) dengan ′=− dan ′=− f. Pencerminan terhadapat Garis x = h Pencerminan titik ( , ) terhadap garis =ℎ menghasilkan bayangan ′( ′, ′) dengan ′=2ℎ− dan ′= . g. Penccerminan terhadap Garis y = k Pencerminan titik ( , ) terhadap garis = menghasilkan bayangan ′( ′, ′) dengan ′= dan ′=2 − . h. Pencerminan terhadap Titik (m,n) Pencerminan titik ( , ) terhadap titik ( , ) menghasilkan bayangan (2 − , 2 − ) dengan ′=2 − dan ′=2 − . 3. Translasi Translasi adalah perpindahan atau pergeseran setiap titik dengan arah dan jarak yang sama. a. Translasi Titik Jika sembarang trasnlasi dari A ke B, ditulis dengan AB , kita bisa menyatakan pergeseran tersebut sebagai vektor b. Translasi Garis Persamaan garis + = , jika  p ditranlasikan dengan vektor T   q  maka dapat ditulis sebagai berikut. Persamaan garis + =



T  p 



q    ( + )+ ( + ) = , di mana m dan n adalah koefisien dan c konstanta, c. Translasi Kurva Bentuk umum dari translasi kurva dapat dinyatakan sebagai berikut. T  p 



q  = 2+ +   ( + )= ( + )2+ ( + )+ Dengan m dan k adalah koefisien dan l konstanta.



4. Rotasi Rotasi atau perputaran pada bidang merupakan suatu transformasi yang memutar setiap titik pada suatu bidang. Transformasi tersebut memindahkan titik-titik dengan memutar titik-titik tersebut sejauh terhadap suatu titik pusat rotasi. a. Rotasi terhadap Titik pusat O (0,0) Rotasi terhadap titik pusat O(0,0) dilambangkan dengan (0, ). Rotasi titik P terhadap titik pusat O(0,0) sebesar sudut b. Rotasi terhadap Titik P (a,b) Rotasi terhadap titik pusat P(a,b) dilambangkan dengan ( , ). Jika suatu titik Q(x,y) diputar sejauh berlawanan dengan arah jam terhadap titik pusat P(a,b) maka bayangannya adalah Q’(x’,y’) dengan ′− = ( − ) −( − ) ′− = ( − ) +( − ) 5. Dilatasi Dilatasi merupakan suatu transformasi mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) bentuk bangun geometri tetapi tidak mengubah bentuk bangun tersebut. a. Dilatasi dengan Pusat (0,0) Dilatasi dengan titik pusat (0,0), dengan faktor k akan membawa titik ( , ) ke titik ′( ’, ’) dengan rumus x’ = kx dan y’= ky.



b. Dilatasi dengan Pusat (a,b) Dilatasi dengan titik pusat P(a,b) dengan faktor skala k, dinotasikan dengan dengan Dilatasi [P, k] atau [(a,b), k]. Dilatasi dengan titik pusat (a,b), dengan faktor skala k akan membawa titik ( , ) ke titik ( ’, ’) dengan ’= ( − )+ dan ′= ( − )+ 6. Hasil Kali Transformasi Hasil kali transformasi atau komposisi transformasi adalah transformasi yang diperoleh dari gabungan dua transformasi atau lebih. a. Komposisi Pencerminan Pencerminan dengan pencerminan dapat dikomposisikan atau dikalikan. Misal pencerminan terhadap dua garis sejajar secara berurutan akan ekuivalen dengan translasi sebesar dua kali jarak kedua garis tersebut. Arah translasi menurut arah refleksinya. b. Komposisi Dilatasi Dilatasi terhadap [P,k1] dilanjutkan dengan dilatasi terhadap [P,k2] dapat diwakili oleh satu dilatasi yaitu [P,k1 × k2] atau dapat dituliskan: [P,k1] ∘ [P,k2] = [P,k1 × k2] c. Komposisi Translasi Misalkan titik ( , ) ditranslasikan oleh 1 dilanjutkan dengan translasi 2 menghasilkan bayangan ". Dua tranlasi tersebut dapat ditulis sebagai berikut: ( , ) T1oT2  P  k 



 q l    ′′( + + , + + ) d. Komposisi Rotasi Misalkan RA adalah rotasi sejauh A dengan pusat rotasi di titik pusat O(0,0) dan RB adalah rotasi sejauh B di titik pusat O(0,0). Jika titik P(x,y) dirotasikan oleh RA dilanjutkan dengan rotasi oleh RB



maka secara pemetaan, bentuk transformasinya dapat dituliskan RA sebagai berikut. ( , )  RB ′( ′, ′)  ′′( ′′, ′′) KB 4 PEMBELAJARAN GEOMETRI 1. Penting nya Teori Belajar dalam Geometri merupakan materi ajar yang abstrak. Karena geometri ini abstrak maka pembelajaran geometri perlu dirancang dengan baik. Saudara harus memahami bagaimana cara peserta didik belajar. Zevenbergen (2006) mengatakan bahwa agar guru dapat mengajar matematika dengan efektif, guru harus mengetahui bagaimana peserta didik belajar matematika. 2. Pembelajaran Geometri Pembelajaran berbasis masalah atau Problem Based Learning (PBL) adalah pembelajaran yang menggunakan masalah sebagai konteks pembelajaran. Masalah yang disajikan dapat berupa masalah nyata yang tidak terstruktur (ill-structured) atau masalah terbuka (open-ended). Pembelajaran berbasis masalah, biasanya dilakukan dengan memberikan masalah nyata di awal tahap pembelajaran sebagai sarana bagi peserta didik untuk membangun pengetahuannya atau mengembangkan berpikir kritis dan kreatif. 3. Model Pembelajaran Berbasis Masalah untuk materi Geometri Menurut Permendikbud Nomor 65 Tahun 2013 tentang Standar Proses, Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) didefinisikan sebagai suatu rencana kegiatan pembelajaran tatap muka untuk satu pertemuan ataupun lebih. RPP disusun berdasarkan Kompetensi Dasar (KD) atau subtema dan dilaksanakan dalam satu kali pertemuan atau lebih. RPP dikembangkan dari silabus untuk lebih mengarahkan kegiatan pembelajaran



peserta didik untuk mencapai Kompetensi Dasar. 4. Perangkat Pembelajaran Geometri Agar pembelajaran dapat terlaksana dengan baik, maka guru harus menyiapkan pembelajaran dengan sebaik-baiknya. Jika saudara mengganggap perlu, sudara bias berdiskusi antarguru untuk memberikan masukan perbaikan terhadap perangkat pembelajaran yang sudah disusun. Perangkat-perangkat pembelajaran yang saudara siapkan antara lain: (1) silabus yang sudah dikembangkan, (2) RPP, (3) bahan ajar dan sumber belajar, (4) media pembelajaran, (5) instrumen penilaian dan kisi-kisi, (6) instrumen pengamatan dan kisi-kisi, (7) lembar jurnal siswa/guru, (8) bahan ajar remidial dan pengayaan, (9) jawaban tes/soal, dan (10) pedoman pensekoran jika dibutuhkan. 5. Pelaksanaan Pembelajaran Geometri Mahasiswa dapat mempelajari Video Media Pembelajaran Modul 1 KB 4 berikut ini yang dapat dilihat pada VMP-M1-KB4 Peta Konsep Modul 1 GEOMETRI KB. 1 Geometri KB. 2 Geometri Datar Ruang 1. Titik, Garis dan Bidang 2. Segitiga 3. Segiempat 4. Lingkaran



1. Kedudukan Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang 2. Jarak dalam Ruang 3. Sudut dalam Ruang 4. Vulome Bangun Ruang



KB. 3 Geometri Transformasi



KB. 4 Pembelajaran Geometri



1. Pentingnya Teori Belajar dalam Pembelajaran Geometri 1. Pengertian 2. Model Pembelajaran Berbasis Transformasi Masalah 2. Pencerminan 3. Perangkat Pembelajaran Berbasis 3. Translasi Masalah untuk Materi Geometri 4. Rotasi 4. Perangkat Pembelajaran Geometri 5. Dilatasi 5. Pelaksanaan Pembelajaran 6. Hasil Kali Geometri Transformasi



2.



Daftar materi yang sulit di pahami di modul ini



3.



Daftar materi yang sering mengalami miskonsepsi



1. 2. 3. 1.



Geometri Transformasi Garis garis Istimewa pada Segitiga Geometri Ruang Geometri Datar  Garis dan Bidang  Luas dan Keliling Bangun Datar 2. Geometri Ruang  Kedudukan Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang  Jarak dalam Ruang  Sudut dalam Ruang  Volume bangun Ruang 3. Geometri Tranformasi