Makalah Aljabar [PDF]

Citation preview

BAB I PENDAHULUAN 1. Latar Belakang Banyak orang yang beranggapan bahwa Matematika itu rumit, karena alasan itulah banyak orang yang menghindari Matematika. Padahal Matematika dapat kita jumpai di dalam kehidupan sehari-hari, dan mau tidak mau kita pasti menggunakan Matematika. Oleh karena itu kami membuat makalah ini dengan maksud membantu pemahaman masyarakat agar mereka tidak menilai Matematika adalah sesuatu yang buruk. Bagi mahasiswa yang sedang mempelajari matematika, rumus, teori atau apapun itu yang berhubungan dengan matematika sudah merupakan bahasan kita sehari-hari yang tak dapat terpisahkan. Mudah ataupun susahdalam memahami suatu rumus atau teori, tetap harus kita pahami agar kelak dalam mengajar kita memiliki kemampuan akademik yang lebih baik dari sekarang. Sehubungan dengan meningkatkan kemampuan akademik, penulisakan membahas tentang salah satu bab dalam bidang matematika, yaitu vektor, khususnya vektor dalam ruang dua dan tiga dimensi secara geometri. Apabila diperhatikan besaranyang menyatakan besarnya kuantitas dari kata-kata tersebut ada perbedaanya yaitu ada yang hanya menunjukkan nilai saja, tetapi ada yang menunjukkan nilai dan arahnya. Besaran itu sering disebut skalar dan vektor. Setiap besaran skalar seperti panjang, suhu dan sebagainya selalu dikaitkan dengan suatu bilangan yang merupakan nilai dari besaran itu. Sedangkan untuk besaran vektor seperti gaya, percepatan, pergeseran dan sebagainya, disamping mempunyai nilai juga mempunyai arah. Jadi vektor adalah suatu besaran yang mempunyai nillai (besar / norma ) dan arah tertentu. Dalam pembahasan ini akan penulis bahas tentang ruang lingkup vektor baik itu ruang dua maupun ruang tiga dimensi.



2. Perumusan Masalah Adapun rumusan masalah yang akan dibahas dalam makalah ini antara lain sebagai berikut : a. Apa itu definisi vektor ruang berdimensi 2 dan 3? b. Apa itu sudut antara 2 vektor R2 dan R3? c. Bagaimana menguasai norma vektor? d. Bagaimana memahami titik (dot) vektor dan proyeksi? 3. Tujuan Penulisan Adapun tujuan dalam pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut : a. Memahami dan menguasai definisi vektor ruang berdimensi 2 dan 3 b. Memahami dan menguasai sudut antara 2 vektor R2 dan R3 c. Memahami dan menguasai norma vektor



1



d. Memahami dan menguasai titik (dot) vektor dan proyeksi



2



BAB II PEMBAHASAN 1. Pengantar Vektor Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain -lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak tertentu. Vektor (Gaya, Percepatan, Berat, Kecepatan dan lain lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak dan arah tertentu. Vektor bisa disajikan secara geometris sebagai ruas garis berarah atau panah dalam ruang berdimensi-2 atau ruang berdimensi-3. Arah panah menentukan arah vektor, dan panjang panah menentukan panjang vektor. Ekor dari panah tersebut disebut titik pangkal vektor, dan ujung panah disebut titik ujung vektor. Vektor dilambangkan huruf kecil cetak tebal (misalnya a, b, v, w, dsb). Ketika mendiskusikan vektor, semua bilangan riil disebut skalat, dan dilambangkan huruf kecil cetak miring (misalnya, a, b, k, m, dsb). Jika titik pangkal suatu vektor v adalah A, dan titik ujungnya adalah B, maka dituliskan



v  AB . Vektor-vektor yang panjang dan arahnya sama disebut ekuivalen atau dapat dipandang sama (walaupun terletak dalam posisi berbeda). Jika v dan w ekuivalen maka dituliskan v = w.



Jika v dan w adalah dua vektor sebarang, maka jumlah v + w adalah vektor yang ditentukan sebagai berikut: Letakkan vektor w sedemikian sehingga titik pangkalnya bertautan dengan titik ujung vektor v. Vektor v + w disajikan oleh panah dari titik pangkal v hingga ke titik ujung w.



Vektor yang panjangnya nol disebut vektor nol dan dinyatakan dengan 0. Jika v adalah sebarang vektor tak nol, maka –v, negatif dari v, didefinisikan sebagai vektor yang besarnya sama dengan v, tetapi arahnya terbalik.



3



Setiap objek pembicaraan dalam matematika memiliki ruang himpunan di mana objek itu berasal. Di dalamnya terdapat aturan-aturan yang berlaku yang dipenuhi oleh setiap anggotanya. Misalnya, semua bilangan nyata tergabung dalam sebuah himpunan bilangan yang dinamakan himpunan bilangan real (ℝ). Semua sifat-sifat dan aturan perhitungan bilangan real berlaku bagi semua himpunan anggotanya, seperti pada bilangan rasional, irasional, bulat, pecahan, dan lain- lain. Sebelum membahas lebih jauh mengenai vektor, akan diperkenalkan tentang konsep ruang, mulai dari dimensi terkecil hingga dimensi yang digeneralisasi, sebagai ruang-n. 1) Ruang Dimensi-n Himpunan bilangan nyata (real) biasanya digambarkan ke dalam sebuah gambar sederhana yang disebut garis bilangan. Garis bilangan dapat dianggap sebagai grafik sederhana yang menyatakan letak suatu bilangan, di mana bilangan yang lebih besar berada di sebelah kanan bilangan yang lebih kecil. Karena garis bilangan hanya memiliki satu dimensi yaitu panjang, maka himpunan bilangan real dapat dinyatakan sebagai ruang berdimensi-1. Meskipun kata „ruang‟ menunjukkan suatu tempat berdimensi-3, namun dalam matematika „ruang‟ mempunyai makna tersendiri. Berdasarkan definisinya, ruang dalam matematika merupakan himpunan dari objek-objek yang memiliki sifat yang sama dan memenuhi semua aturan yang berlaku dalam ruang tersebut. Definisi Ruang-1 atau R1 Ruang dimensi-1 atau ruang-1 ( R1) adalah himpunan semua bilangan real (ℝ). Himpunan bilangan real dapat digambarkan oleh garis bilangan real : Bil. Rasional & irasional



-3



-2



-1



Bulat Negatif



0 Nol



1



2



3



Bulat Positif



Jadi, garis bilangan berfungsi untuk menunjukkan letak suatu titik pada s uatu garis berdasarkan besarnya. Gagasan ini memunculkan gagasan berikutnya bahwa suatu titik dapat berada pada suatu bidang ataupun ruang. Pada pertengahan abad ke-17 lahirlah konsep ruang dimensi-2 dan dimensi-3, yang kemudian pada akhir abad ke-19 para ahli matematika dan fisika memperluas gagasannya hingga ruang dimensi-n.



2. Definisi Vektor Ruang Berdimensi 2



4



Ruang dimensi-2 atau ruang-2 (𝑅2) adalah himpunan pasangan bilangan berurutan (𝑥, 𝑦), di mana x dan y adalah bilangan-bilangan real. Pasangan bilangan (𝑥, 𝑦) dinamakan titik (point) dalam 𝑅2, misal suatu titik P dapat ditulis 𝑃(𝑥, 𝑦). Bilangan x dan y disebut koordinat dari titik P. Untuk menggambarkan titik-titik di 𝑅2 secara geometris, koordinat x dan y dianggap berada pada dua garis bilangan yang berbeda yang membentuk suatu sistem koordinat. Garis bilangan tersebut dinamakan sumbu koordinat. Sumbu koordinat tersebut digambarkan saling tegak lurus dan membentuk suatu sistem yang disebut sistem koordinat siku-siku . Pada 𝑅2 sistem ini dinamakan sistem koordinat-xy atau sistemkoordinat kartesius (Cartesian system) yang dibangun oleh :  Sumbu x (x-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat (x, 0).  Sumbu y (y-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat (0, y). Suatu titik yang berada tepat di kedua sumbu dinamakan titik asal (origin point) ditulis O(0, 0). Titik ini adalah titik di mana sumbu x dan y saling berpotongan.



Koordinat v1dan v2 dari titik ujung v disebut komponen v, dan kita tuliskan: v = (v1, v2)



3. Definisi Vektor Ruang Berdimensi 3



5



Ruang dimensi-3 atau ruang-3 (𝑅3) adalah himpunan tripel bilangan berurutan (𝑥, 𝑦, 𝑧), di mana x, y, dan z adalah bilangan-bilangan real. Tripel bilangan (𝑥, 𝑦, 𝑧) dinamakan titik (point) dalam 𝑅3, misal suatu titik P dapat ditulis 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧). Bilangan x, y, dan z, disebut koordinat dari titik P. Seperti halnya 𝑅2, 𝑅3 memiliki sistem koordinat siku-siku yaitu sistem koordinat- x y z, dengan titik asal 𝑂 0,0, 0 , yang dibangun oleh : 



Sumbu x (x-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat (𝑥,0, 0).







Sumbu y (y-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat (0, 𝑦, 0).







Sumbu z (z-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat (0,0, 𝑧).



Menjelang akhir abad 19, para matematikawan dan fisikawan mulai menemukan gagasan bahwa dimensi tidak hanya terbatas pada dimensi-3 dengan tripel bilangannya, tetapi juga kuadrupel sebagai titik pada ruang dimensi-4, kuintupel pada ruang dimensi-5, dan seterusnya. Hal ini menghasilkan generalisasi untuk ruang dimensi-n. Definisi tupel-n-berurutan Jika n adalah sebuah bilangan positif, maka tupel-n-berurutan (ordered-n-tuple) adalah sebuah urutan n buah bilangan real (𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑛 ). Definisi Ruang-n atau 𝑅𝑛 Ruang dimensi-n atau ruang-n (𝑅𝑛 ) adalah himpunan semua tupel-n-berurutan (𝑎1, 𝑎2,.., 𝑎𝑛 ), dengan 𝑎1, 𝑎2, . . . , dan 𝑎𝑛 adalah bilangan-bilangan real. Tupel-n bilangan 𝑎1, 𝑎2 , . . . , 𝑎𝑛 dinamakan titik (point) dalam 𝑅𝑛 , misal suatu titik P dapat ditulis 𝑃(𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑛 ). Bilangan 𝑎1, 𝑎2, . . . , dan 𝑎𝑛 disebut koordinat dari P. Jelas bahwa ruang dimensi-n dengan n > 3 tidak dapat divisualisasikan secara geometris, namun penemuan ini sangat berguna dalam pekerjaan analitik dan numerik, karena tidak sedikit permasalahan nyata tidak dapat divisualisasikan dengan grafis namun memerlukan penalaran dan penyelesaian secara matematis.



6



𝑅𝑛 yang merupakan generalisasi dari 𝑅1, 𝑅2, dan 𝑅3, menyebabkan sifat-sifat dan aturanaturan di dalamnya adalah sama, perbedaannya hanya terletak pada ukuran atau banyak komponen yang akan dihitung. Walaupun bab ini hanya menyajikan definisi, teorema, atau sifat-sifat dalam R2 dan R3, tetapi semuanya akan berlaku untuk , setelah dimodifikasi sesuai dimensinya. Seperti definisi jarak antar dua titik dalam R2 dan R3 berikut yang dapat digeneralisasi untuk 𝑅𝑛. Jarak Dua Titik Jarak antara dua titik 𝐴(𝑥1, 𝑦1) dan 𝐵(𝑥2, 𝑦2 ) di 𝑅2 didefinisikan oleh : |𝐴𝐵| = √(x2 − x1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 Jarak antara dua titik 𝐴(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) dan 𝐵(𝑥2, 𝑦2 , 𝑧2) di 𝑅3 didefinisikan oleh : |𝐴𝐵| = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑧2 − 𝑧1)2 4. Titik dan Garis Pada bagian sebelumnya telah dibahas pengertian titik pada R2 dan R3 serta secara umum. Definisi titik ini sama untuk semua ruang, yang berbeda hanyalah kedudukannya di dalam masing- masing ruang tersebut. Dua titik atau lebih jika dihubungkan akan membentuk garis, kumpulan garis-garis akan menjadi bidang, dan kumpulan bidang-bidang akan menjadi ruang. Geometri adalah cabang matematika yang khusus mempelajari titik, garis, dan bidang. Mengenai garis, geometri hanya terbatas pada kuantitas dan kedudukan, seperti panjang garis atau besar sudut antara dua garis, tetapi tidak pada arahnya serta kedudukannya dalam suatu bidang atau ruang. Ilmu vektor merupakan cabang dari matematika yang mempelajari ruas garis berarah yang dinamakan vektor. 5. Vektor Banyak kuantitas fisis, seperti luas, panjang, massa, suhu, dan lainnya, dapat dijelaskan secara lengkap hanya dari besarnya, misalnya 50 kg, 100 m, 30oC , dll. Kuantitas fisis ini dinamakan skalar. Dalam matematika, skalar mengacu pada semua bilangan yang bersifat konstan. Namun, ada kuantitas fisis lain yang tidak hanya memiliki besar/nilai tapi juga arah, seperti kecepatan, gaya, pergeseran, dan lain- lain. Kuantitas fisis ini dalam fisika maupun matematika dinamakan vektor. Dalam matematika, ilmu vektor menjadi salah satu cabang ilmu yang semakin luas perkembangannya serta penerapannya, dan tidak terbatas pada mempelajari besaran-besaran yang memiliki nilai dan arah tetapi sebagai suatu besaran yang memiliki banyak komponen yang membentuk satu kesatuan dari besaran itu sendiri.



7



Notasi Vektor Vektor biasanya dinyatakan dengan huruf kecil tebal (a), atau diberi tanda panah di atasnya ( 𝑎⃗), atau tanda garis bawah (𝑎 ). Definisi Vektor Sebuah vektor a dengan komponen-n (berdimensi-n) di dalam Rn adalah suatu aturan 𝑎1 tupel-n dari bilangan-bilangan yang ditulis sebagai baris (a1,a2,…,an ) atau kolom (𝑎2 ) , 𝑎𝑛 dengan a1,a2,…,an adalah bilangan-bilangan real dan dinamakan komponen dari vektor a. 𝑎1 Dengan demikian, di R2 vektor dapat ditulis : a = (a1,a2) atau a = ( ), dan di R3 vektor 𝑎2 𝑎1 dapat ditulis : a = (a1,a2,a3) atau a = (𝑎2). Pada bagian berikutnya, vektor akan sering 𝑎3 disajikan dalam bentuk baris (vektor baris). Berdasarkan definisi titik dan vektor, simbol (a1,a2,…, 𝑎𝑛) mempunyai dua tafsiran geometrik yang berbeda, yaitu sebagai titik dalam hal a1,a2,a3 adalah koordinat, dan sebagai vektor dalam hal a1,a2,…,an adalah komponen. Arti Geometrik Vektor Secara geometris, vektor dinyatakan sebagai segmen garis berarah atau panah. Arah panah menentukan arah vektor dan panjangnya menyatakan besar vektor. Ekor panah dinamakan titik awal (initial point) dan ujung panah dinamakan titik ujung/terminal (terminal point).



Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor. Misal pada R2, vektor v = (2, 3) berarti dari titik awal bergerak 2 satuan ke kanan, kemudian 3 satuan ke atas. Pada R3, misalkan sebuah vektor v = (3, 4,−2) berarti dari titik awal bergerak 2 satuan ke depan (x-positif), 4 satuan ke kanan (y-positif), dan 2 satuan ke bawah (z- negatif). Definisi berikut dapat memperjelas tafsiran geometrik vektor. Definisi Vektor Posisi Vektor posisi dari A(a1,a2,…, an) adalah suatu vektor yang titik awalnya adalah titik asal O dan titik ujungnya adalah A, dan ditulis 𝑂𝐴= (a1,a2,…, an).



8



Berdasarkan definisi ini dapat dibuktikan bahwa, dari sebuah titik dapat dibuat tepat satu buah vektor posisi. Dengan kata lain setiap titik dalam ruang memiliki vektor posisi yang berbeda-beda. Jika vektor v dengan titik awal A dan titik ujung B, maka v dapat ditulis sebagai : 𝐴𝐵 Komponen-komponen dari 𝐴𝐵 akan dijelaskan setelah mempelajari aritmetika vektor. Definisi Vektor-Vektor Ekuivalen Vektor- vektor ekuivalen adalah vektor- vektor yang memiliki panjang dan arah yang sama. Vektor- vektor ekuivalen dianggap sebagai vektor yang sama meskipun kedudukannya berbeda-beda. Jika v dan w ekuivalen maka dapat dituliskan v = w. Contoh 1 :



Keempat ruas garis berarah di atas berawal di suatu titik tertentu yang kemudian digerakkan 2 satuan ke kiri dan 5 satuan ke atas. Keempatnya dinamakan vektor dan dapat dinotasikan −2 oleh v = (−2, 5) = ( ). Keempat ruas garis berarah di atas dinamakan representasi dari 5 vektor v. Definisi Vektor Nol Vektor nol adalah vektor yang semua komponennya adalah nol, dan ditulis O = (0, 0, 0). Dengan demikian vektor nol adalah vektor yang tidak mempunyai panjang dan arah. Definisi Negatif Vektor Negatif dari vektor v, atau –v didefinisikan sebagai vektor yang mempunyai besar yang sama dengan v, namun arahnya berlawanan dengan v.



9



Definisi Vektor satuan/unit (Unit Vectors) Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya adalah 1. Definisi Vektor Basis/Satuan Standar (Standard Unit Vectors) Vektor satuan baku adalah vektor yang mempunyai panjang 1 dan terletak sepanjang sumbusumbu koordinat. Untuk R2, vektor satuan baku ditulis : i = (1,0) dan j = (0,1) Untuk R3, vektor satuan baku ditulis : i = (1,0,0) , j = (0,1,0) dan k = (0,0,1) Dengan demikian setiap vektor v = (v1, v2, v3) di R3 dapat ditulis V = (v1, v2, v3) = v1 (1,0,0) + v2 (0,1,0) + v3 (0,0,1) = v1 i, v2 j, v3 k



Contoh 2 : Nyatakan v =(2,−3, 4) dalam vektor basis. Penyelesaian : v = (2, −3, 4) = 2 (1,0, 0) + −3 ( 0,1, 0 )+ 4 (0,0, 1) = 2i – 3j + 4k 6. Aritmetika Vektor Pada bagian ini, definisi serta teorema yang diberikan hanya untuk vektor-vektor di R3, sedangkan interpretasi geometris sedapatnya diberikan dalam R3, namun kebanyakan dalam R2. Hal ini bertujuan hanya untuk mempermudah pemahaman analitik dan geometrik. Secara konsep, teoretis, dan numeris, semua definisi, teorema, dan rumus-rumus dapat dengan mudah dimodifikasi sesuai dimensi yang diinginkan.



10



Definisi Penjumlahan Vektor Diberikan vektor a= (a1,a2,a3) dan b = (b1,b2,b3) vektor- vektor di R3, maka penjumlahan a dan b didefinisikan oleh a + b = (a1 + b1 , a2 + b2, a3 + b3 ) Secara geometris, penjumlahan a + b dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan aturansegitiga (triangle law) dan aturan jajar genjang (parallelogram law). Aturan segitiga dilakukan dengan menghubungkan titik awal b dengan titik ujung a, kemudian menghubungkan titik awal a dan titik ujung b sebagai (a + b). Sedangkan aturan jajar genjang dilakukan dengan menghubungkan kedua titik asal a dan b, sehingga a dan b membentuk jajaran genjang. Diagonal yang dibuat dari titik awal kedua vektor akan menjadi (a + b). Seperti ilustrasi berikut :



Contoh 3 : Misalkan u = ( 1, 2, 3 ), v = (2,−3, 1) ,dan w = (3, 2,−1) vektor- vektor di R3, maka u + v + w = (1 + 2 + 3, 2 + (−3) + 2, 3 + 1 + (−1) = (6,1, 3) Definisi Pengurangan Vektor Diberikan vektor a= (a1,a2,a3) dan b = (b1,b2,b3), maka pengurangan a oleh b didefinisikan oleh : a - b = a + (-b) = [(a1 + (-b1) , a2 + (-b2), a3 + (-b3 )] = (a1 - b1 , a2 - b2, a3 - b3 ) Seperti halnya pada penjumlahan vektor, secara geometris pengurangan vektor dapat dilakukan dengan aturan segitiga ataupun jajar genjang seperti ilustrasi berikut.



Contoh 4 : Misalkan u = (1, 2, 3), v = (2, -3, 1), dan w = (3, 2, -1) vektor-vektor di R3 , maka



11



u − v − w = (1 − 2 − 3, 2 – (−3) − 2, 3 − 1 – (−1) = (−4,3, 3) Berdasarkan definisi ini, komponen-komponen dari vektor yang titik awalnya bukan titik asal, misal A (a1,a2,a3) dan titik ujung B = (b1,b2,b3) , sehingga a = 𝑂𝐴 = (a1,a2,a3) dan b = (b1,b2,b3) adalah : 𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 − 𝑂𝐴 = b – a = (b1,b2,b3) - (a1,a2,a3) = ( b1 - a1 ,b2 - a2 ,b3 - a3) Contoh 5 : Vektor dengan titik awal dan titik ujung berturut-turut P1(2,−7,0) dan P2(1,−3,−5) adalah P1 P2 = ( 1−2, −3− (−7 ), −5 − 0 = (−1,4,−5) Dengan memisalkan semua koordinat ada di sumbu-sumbu positif, vektor di 3, dengan koordinat 1,1,1dan (2,2,2), dapat digambarkan sebagai berikut.



Sehingga 𝐴𝐵 = (x2 – x1 , y2 – y1, z2 – z1) Definisi Perkalian Skalar-Vektor Jika v = (v1,v2,v3) adalah vektor tak- nol dan k adalah bilangan real tak-nol, maka hasil kali kv didefinisikan oleh kv = k (v1,v2,v3) = (kv1, kv2, kv3). Secara geometris, hasil kali kv adalah vektor yang panjangnya k kali panjang v, yang arahnya sama dengan v jika k > 0, dan berlawanan arah dengan v jika k < 0. Contoh 6 : 1



Misalkan suatu vektor di R2, a = (2,4). Hitunglah 3a , 2 𝑎 dan −2a , dan gambarkan keempat vektor tersebut ke dalam satu sistem koordinat. Penyelesaian : 1



Berdasarkan definisi perkalian skalar-vektor, maka 3a = (6,12) ; 2 𝑎 = (1,2) ; -2a = (−4,−8)



12



Norma/Panjang Vektor Panjang suatu garis dapat diperoleh dengan menggunakan aturan Phytagoras. Karena vektor adalah ruas garis berarah, maka panjang vektor, baik di R2 maupun R3 dapat diperoleh dengan rumus yang sama. Definisi Norma Vektor Norma atau panjang vektor v = (v1,v2,v3) didefinisikan oleh : ||v|| = √𝑣12 + 𝑣22 + 𝑣32 Berdasarkan definisi di atas, jika ||v|| = 0 maka ||v|| = 0. Dan jika v vektor satuan, maka = 1, begitu pula dengan vektor basis ||i|| = 1, ||j|| = 1 , dan ||k|| = 1 Contoh 7: Misalkan a = (3,−5,10) maka ||a|| = √9 + 25 + 100 = √ 134 Teorema : Aturan Dasar Aritmetika Vektor Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor di R2 atau R3, dan k serta l adalah skalar (bilangan real), maka hubungan berikut akan berlaku, a.



u+v=v+u



b.



(u + v) + w = u + (v + w)



c.



u+0=0+u=u



d.



u + (-u) = 0



e.



k( lu) = ( kl )u



f.



k(u+v) = ku+ kv



g.



(k + l)u = ku + lu



h.



1u = u



13



7. Perkalian Titik / Perkalian Dalam (Dot Product/Inner Product) Definisi pertama dari perkalian titik dua vektor adalah menggunakan sifat-sifat geometrisnya, yaitu norma kedua vektor dan besar sudut di antara keduanya, dengan asumsi titik-titik awalnya berimpit. Definisi 1 Jika u dan v adalah vektor-vektor di 𝑅2 dan 𝑅3, dan 𝜃 adalah sudut di antara u dan v, maka perkalian titik (dot product) atau perkalian dalam Euclidis (Euclidean inner product) 𝐮 ∙ 𝐯 didefinisikan oleh :



Perkalian ini juga dinamakan perkalian skalar (scalar product) karena hasil perkalian titik dua vektor akan menghasilkan skalar (bilangan real). Dari definisi jelas bahwa norma vektor u dan v serta nilai cosinus sebarang sudut di antara keduanya adalah bilangan real, sehingga hasil kali ketiganya adalah bilangan real. Jika salah satu atau kedua vektor merupakan vektor nol, maka hasilnya adalah nol.



Contoh 8 : Misalkan 𝐮 = (0,0,1) dan 𝐯 = (0,2,2) sedangkan sudut di antaranya adalah 45°, maka 1 √2



𝐮 ∙ 𝐯 = ||𝐮|| ||𝐯|| cos 45° = (√02 + 02 + 12 ) (√02 + 22 + 22 ) ( ) = 2 Definisi ke-dua dari perkalian titik dua vektor adalah menggunakan komponen-komponen dari masing-masing vektor. Definisi 2 Jika 𝐮 = (𝑢1, 𝑢2) dan 𝐯 = (𝑣1, 𝑣2) adalah vektor di 𝑅2, maka perkalian titik/perkalian dalam 𝐮 ∙ 𝐯 didefinisikan oleh : 𝐮 ∙ 𝐯 = 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2 Jika 𝐮 = (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) dan 𝐯 = (𝑣1, 𝑣2 , 𝑣3) adalah vektor di 𝑅3, maka perkalian titik 𝐮 ∙ 𝐯 didefinisikan oleh : 𝐮 ∙ 𝐯 = 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2 + 𝑢3𝑣3 14



Contoh 9 : Misalkan 𝐚 = (0, 3, −7) dan 𝐛 = (2,3, 1) maka 𝐚 ∙ 𝐛 = 0.2 + 3.3 + (−7) .1 = 2 ∎ Kedua definisi ini saling berkaitan karena salah satu definisi diperoleh dari definisi yang lain. Dalam beberapa buku, salah satu definisi dituliskan sebagai “definisi”, kemudian definisi yang lainnya dituliskan sebagai “teorema” yang diturunkan dari definisi sebelumnya. Biasanya kedua definisi digabungkan untuk mencari besar sudut di antara u dan v jika komponen u dan v diketahui. Contoh 10 : Misalkan 𝐮 = (2, −1,1) dan 𝐯 = (1, 1, 2), Hitunglah 𝐮 ∙ 𝐯 dan tentukan sudut di antara keduanya. Penyelesaian : ||𝐮|| = √22 + (−1)2 + 12 = √6



||𝐯|| = √12 + 12 + 22 = √6 dan



𝐮 ∙ 𝐯 = 2.1 + (−1) .1 + 1.2 = 3



sehingga,



𝐮 ∙ 𝐯 = ||𝐮|| ||𝐯|| cos 𝜃 ⇔ cos 𝜃 =



𝑢.𝑣 ||𝑢||||𝑣||



=



3 6 √ √6



1 2



1 2



= ⇔ 𝜃 arc cos ( ) = 60° ∎



Teorema : Sudut Antara Dua Vektor Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol, dan 𝜃 adalah besar sudut di antara kedua vektor tersebut, maka 𝜃 lancip (0° < 𝜃 < 90°) jika dan hanya jika 𝐮 ∙ 𝐯 > 0 𝜃 tumpul (90° < 𝜃 < 180°) jika dan hanya jika 𝐮 ∙ 𝐯 < 0 𝜃 siku-siku (𝜃 = 90°) jika dan hanya jika 𝐮 ∙ 𝐯 = 0 Dua vektor yang membentuk sudut siku-siku dinamakan ortogonal (tegak lurus). Teorema : Sifat-sifat Perkalian Titik Jika u, v, dan w adalah vektor- vektor di 𝑅2 atau 𝑅3 dan k adalah skalar, maka a. 𝐮 ∙ 𝐯 = 𝐯 ∙ 𝐮 b. 𝐮 ∙ (𝐯 + 𝐰) = 𝐮 ∙ 𝐯 + 𝐮 ∙ 𝐰 c. 𝑘 (𝐮 ∙ 𝐯) = (𝑘𝐮) ∙ 𝐯 = 𝐮 ∙ (𝑘𝐯) d. 𝐯 ∙ 𝐯 > 0 jika 𝐯 ≠ 𝟎 dan 𝐯 ∙ 𝐯 = 0 jika 𝐯 = 𝟎 8. Proyeksi Dua vektor yang titik asalnya berimpit dapat menghasilkan vektor lain yang dinamakan vektor proyeksi. Perhatikan ilustrasi berikut.



15



Misalkan a dan b berimpit di titik asalnya. Jika dari titik ujung b ditarik garis menuju a sedemikian sehingga tegak lurus a (diproyeksikan terhadap a), maka vektor yang dapat dibuat dengan titik asal yang sama dan berujung di titik di mana b diproyeksikan pada a dinamakan vektor proyeksi b terhadap a. Vektor ini disebut juga proyeksi ortogonal b pada a. Dengan cara yang sama dapat diperoleh vektor proyeksi a terhadap b. Notasi Vektor Proyeksi Vektor proyeksi b terhadap a dinotasikan proy𝐚 𝐛 Vektor proyeksi a terhadap b dinotasikan dengan proy𝐚𝐛 Teorema : Proyeksi Ortogonal Jika u dan v adalah vektor di 𝑅2 atau 𝑅3 dan keduanya bukan vektor nol, maka 𝑎 .𝑏



𝑎 .𝑏



proy𝐚 𝐛 = ‖𝑎‖2 a



dan proyb a = ‖𝑏‖2 b



Sedangkan panjang dari vektor-vektor proyeksi tersebut adalah 𝑎 .𝑏



𝑎 .𝑏



||proy𝐚 𝐛|| = ‖𝑎‖



dan ||proyb a|| = ‖𝑏‖



Contoh 11 : Jika 𝐚 = (1, 0, −2) dan 𝐛 = (2,1, −1) , tentukan vektor proyeksi a pada b. Penyelesaian : 𝐚 ∙ 𝐛 = 4 dan ||𝐛||2 = 6 maka proyeksi ortogonal a pada b adalah 𝑎 .𝑏



4



4



2 2



proyb a = ‖𝑏‖2 b = 6 ( 2,1,-1) = (3 , 3 , 3 ) 9. Perkalian Silang (Cross Product) Berikut akan diperkenalkan sebuah operasi antar vektor dalam 𝑅3. Jika perkalian titik akan menghasilkan skalar/bilangan, maka perkalian silang akan menghasilkan vektor. Dan jika proyeksi ortogonal suatu vektor terhadap vektor la in akan menghasilkan vektor baru yang berimpit dengan vektor tersebut, maka perkalian silang dua vektor akan menghasilkan vektor baru yang tegak lurus dengan kedua vektor tersebut. Definisi Perkalian Silang Jika 𝐮 = (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) dan 𝐯 = (𝑣1, 𝑣2 , 𝑣3) adalah vektor di 𝑅3, maka perkalian silang 𝐮 × 𝐯 didefinisikan oleh



16



𝐮 × 𝐯 = (𝑢2𝑢3 − 𝑢3𝑢2 , 𝑢3𝑢1 − 𝑢1𝑢3 , 𝑢1𝑢2 − 𝑢2𝑢1) atau dalam notasi determinan 𝑢2 𝑢3 𝑢1 𝑢3 𝑢1 𝑢2 𝑢 × 𝑢 = (| |,− | |,| |) 𝑢2 𝑢3 𝑢1 𝑢3 𝑢1 𝑢2 Rumus di atas dapat dibuat pola yang mudah diingat. Bentuklah matriks 2 × 3 : 𝑢1 𝑢2 𝑢3 [ ] 𝑢1 𝑢2 𝑢3 Komponen pertama dari 𝑢 × 𝑢 adalah determinan matriks tersebut setelah kolom pertama dicoret, komponen ke-2 adalah negatif dari determinan matriks setelah kolom ke-2 dicoret, dan komponen ke-3 adalah determinan matriks setelah kolom ke-3 dicoret. Contoh 12 : Misalkan 𝑢 = (1, 2, −2) dan 𝑢 = (3, 0, 1), maka 1 [ 3 2 𝑢 × 𝑢 = (| 0



−2 1 |,− | 1 3



−2 1 |,| 1 3



2 −2 ] 0 1



2 |) = 2, −7, −6 ∎ 0



Secara geometris, perkalian silang 𝑢 × 𝑢 dapat diinterpretasikn oleh gambar berikut,



Arah 𝑢 × 𝑢 dapat ditentukan dengan “aturan tangan kanan” (right hand rule). Misalkan 𝑢 adalah sudut di antara u dan v, dan anggaplah u terotasi sejauh sudut 𝑢 menuju v (sehingga berimpit dengan v). Jika jari-jari tangan kanan menunjukkan arah rotasi u maka ibu jari menunjukkan arah 𝑢 × 𝑢. Dengan menggunakan definisi ataupun dengan mempraktekkan aturan ini, dapat diperoleh hasil-hasil berikut : 𝑢×𝑢=𝑢×𝑢=𝑢×𝑢=𝑢 𝑢×𝑢=𝑢,



𝑢×𝑢=𝑢,



𝑢×𝑢=𝑢



𝑢 × 𝑢 = −𝑢 ,



𝑢 × 𝑢 = −𝑢 ,



𝑢 × 𝑢 = −𝑢



Diagram berikut dapat membantu untuk mengingat hasil perkalian di atas.



17



Perkalian silang 𝑢 × 𝑢 dapat dinyatakan secara simbolis dalam bentuk determinan 3 × 3 :



Contoh 13 : Contoh 11 dapat dikejakan dengan cara :



Teorema : Hubungan Perkalian Silang dan Perkalian titik Jika u dan v adalah vektor di 𝑢3, maka : a. 𝑢 ∙ (𝑢 × 𝑢) = 0



( 𝑢 × 𝑢 ortogonal ke u )



b. 𝑢 ∙ (𝑢 × 𝑢) = 0



( 𝑢 × 𝑢 ortogonal ke u )



c. ||𝑢 × 𝑢||𝑢 = ||𝑢||𝑢 ||𝑢||𝑢 – (𝑢 ∙ 𝑢)2 (Identitas Lagrange/Lagrange Identity) Teorema : Sifat-Sifat Perkalian Silang Jika u, v, dan w dalah sebarang vektor di 𝑢3 ddan k adalah sebarang skalar, maka : a. 𝑢 × 𝑢 = − (𝑢 × 𝑢) b. 𝑢 × (𝑢+ 𝑢) = (𝑢 × 𝑢) + (𝑢 × 𝑢) c. (𝑢 + 𝑢) × 𝑢 = (𝑢 × 𝑢) + (𝑢 × 𝑢) d. 𝑢 (𝑢 × 𝑢) = (𝑢𝑢) × 𝑢 = 𝑢 × (𝑢𝑢) e. 𝑢 × 𝑢 = 𝑢 × 𝑢 = 𝑢 f. 𝑢 × 𝑢 = 𝑢 𝑢1 𝑢2 𝑢3 g. 𝑢 ∙ (𝑢 × 𝑢) = (𝑢 × 𝑢) ∙ 𝑢 = |𝑢1 𝑢2 𝑢3| 𝑢1 𝑢2 𝑢3 Berdasarkan teorema-teorema sebelumnya, dapat diturunkan teorema berikut. Teorema : Aplikasi Geometri Perkalian Silang Jika u, v, dan w vektor-vektor di 𝑢3 dengan titik asal yang sama, maka a. Jika 𝑢 adalah sudut di antara u dan v, maka ||𝑢 × 𝑢|| = ||𝑢|| ||𝑢|| sin 𝑢 b. Norma dari 𝑢 × 𝑢 sama dengan luas jajaran genjang yang dibentuk oleh u dan v, atau Luas jajar genjang = ||𝑢 × 𝑢|| c. Volume bangun yang dibentuk oleh ketiganya adalah 𝑢𝑢𝑢[𝑢 ∙ (𝑢 × 𝑢) ].



18



Contoh 14 : a, b, dan c adalah sebarang vektor di 𝑢3 yang berimpit di titik awalnya. Jika ketiganya dihubungkan akan membentuk suatu bangun dimensi-3 (parallelpiped).



Luas masing-masing sisinya adalah :



Sedangkan volume bangun tersebut adalah : 𝑢𝑢𝑢(𝑢 ∙ 𝑢 × 𝑢 )) Rumus volume di atas biasanya digunakan untuk mengetahui apakah ketiga vektor berada pada bidang yang sama. Jika volume yang dihitung bernilai nol, maka ketiganya berada pada bidang yang sama, dan sebaliknya jika volumenya tidak sama dengan nol. Fungsi abs(absolute)/mutlak berguna untuk mempositifkan hasil akhir perhitungan volume. Contoh 15 Tentukan apakah ketiga vektor 𝑢 = (1, 4, −7), 𝑢 = (2, −1, 4), dan 𝑢 = (0, −9, 18) terletak pada satu bidang di 𝑢3 atau tidak. Penyelesaian : 1 4 −7 1 4 𝑢). 𝑢 × 𝑢 = |2 −1 4 | 2 − 0 −9 18 0 −9 = (1) (−1) (18) + (4) (4) (0) + (−7) (2) (−9) — { (7)(−1) (0) +



(1) (4) (−)9 +



(4) (2) (18) } = −18 + 126 − 144 + 36 =0 Jadi, ketiga vektor tersebut terletak pada satu bidang di 𝑢3 ∎ Contoh 16 : Carilah luas segitiga yang dibentuk oleh 𝑢1 (2,2, 0) , 𝑢2 (−1,0, 2) ,dan 𝑢3(0,4, 3) .



19



penyelesaian :



̅̅̅̅̅̅̅̅ dan Luas segitiga tersebut adalah ½ luas jajaran genjang yang dibentuk 𝑢1𝑢2 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅,dimana 𝑢1𝑢3 ̅̅̅̅̅̅̅̅ = (−1,0, 2) – (2,2, 0) = (−3, −2, 2) 𝑢1𝑢2 ̅̅̅̅̅̅̅̅ = (0,4, 3) – (2,2, 0) = (−2, 2, 3) 𝑢1𝑢3 ̅̅̅̅̅̅̅̅ × ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑢1𝑢2 𝑢1𝑢3 = (−10, 5, −10) 1 ̅̅̅̅̅̅̅̅ × 𝑢1𝑢3 ̅̅̅̅̅̅̅̅ = 1 (15) = 7 1 Sehingga Luas segitiga = 𝑢1𝑢2 2



2



20



2



BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan Vektor adalah suatu besaran yang memiliki arah dan besar tertentu.Contoh : kecepatan, gaya, percepatan, kuat medan listrik, dan onduksi magnetik. Vektor terdiri dari vektor di ruang-2 (bidang) dan vektor di ruang-3.Pada vektor di ruang-2 (bidang) kita dapat menentukan koordinat di bidang yang terdiri dari koordinat x dan y. Namun koordinat bidang tidak cukup untuk menentukan posisi suatu objek di permukaan bumi.Dalam hal ini kita membuthkan satu koordinat ruang (vektor di ruang-3) yang terdiri dari koordinat x, y, dan z. Sekarang setiap objek dimanapun dapat ditentukan koordinatnya dari suatu titik O tertentu dengan urutan (x, y, z). 3.2 Saran Alangkah baiknya kita mengenal Matematika dulu sebelum kita menganggap Matematika itu sulit, karena bila kita telah mengenal Matematika dengan baik dan menikmati bagaimana Matematika itu bekerja akan terasa bahwa Matematika itu tidaklah seburuk apa yang kita pikirkan.



21



DAFTAR PUSTAKA T.Sutojo, S.Si., M.Kom., Bowo N., S.Si., M.Kom. 2010. ALJABAR LINIER & MATRIKS. Yogyakarta: Andi Publisher. Kartono. 2005. Aljabar Linear, Vektor dan Eksplorasinya dengan Maple Edisi 2. Jakarta: Garaha Ilmu.



22



23