Makalah Aplikasi Aljabar [PDF]

Citation preview

MAKALAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER “Penerapan Sistem Persamaan Linear, Matriks, dan Determinan dalam Kehidupan Sehari-hari”



Disusun Oleh: Rizky Sandy Pratama



(4101415113)



Fajar Prasetio Bayu Nugroho (4101415138) Destiana Putri Cahyani



(4101416032)



Krisna Oktafiana



(4101416033)



Tuti Rizkiana



(4101416034)



Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2016 i



KATA PENGANTAR



Puji dan Syukur Penulis Panjatkan ke Hadirat Tuhan Yang Maha Esa karena berkat limpahan Rahmat dan Karunia-Nya sehingga penulis dapat menyusun makalah ini tepat pada waktunya. Makalah ini membahas tentang penerapan sistem persamaan linear, matriks, dan determinan dalam kehidupan sehari-hari. Makalah ini diajukan guna memenuhi tugas mata kuliah Aljabar Linear Elementer. Dalam penyusunan makalah ini, penulis banyak mendapat tantangan dan hambatan, akan tetapi dengan bantuan dari berbagai pihak tantangan itu bisa teratasi. Olehnya itu, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan makalah ini. Penulis menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kesempurnaan baik dari bentuk penyusunan maupun materinya. Kritik konstruktif dari pembaca sangat penulis harapkan untuk penyempurnaan makalah selanjutnya. Akhir kata semoga makalah ini dapat memberikan manfaat kepada kita sekalian.



Semarang, 26 September 2016



Penulis



ii



DAFTAR ISI COVER ................................................................................................................. i KATA PENGANTAR......................................................................................... ii DAFTAR ISI ...................................................................................................... iii BAB I. PENDAHULUAN A. Latar Belakang ................................................................................................. 1 B. Rumusan Masalah ............................................................................................ 1 C. Tujuan .............................................................................................................. 1 D. Manfaat ............................................................................................................ 1 BAB II. ISI A. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS 1.1 Sistem Persamaan Linear ............................................................................2 1.2 Eliminasi Gauss ..........................................................................................2 1.3 Sistem Persamaan Linear Homogen ...........................................................3 1.4 Matriks dan Operasi Matriks ......................................................................4 1.5 Aturan-aturan Ilmu Hitung Matriks ............................................................6 1.6 Fungsi Determinan ......................................................................................6 B. PENERAPAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI a. Aplikasi 1 : Arus Lalu Lintas ......................................................................6 b. Aplikasi 2 : Jaringan Listrik ........................................................................8 c. Aplikasi 3 : Persamaan-persamaan Kimia ..................................................9 d. Aplikasi 4 : Biaya Total Produksi .............................................................10 e. Aplikasi 5 : Ekologi : Demografi dari Kura – Kura Laut yang Berkepala Besar 13 f. Aplikasi 6 : Pesan yang Dikodekan ..........................................................15 BAB III. PENUTUP A. Kesimpulan .................................................................................................... 17 B. Saran ............................................................................................................... 17 DAFTAR PUSTAKA .........................................................................................18 iii



BAB I PENDAHULUAN



A. Latar Belakang Mungkin masalah yang paling penting dalam matematika adalah menyelesaikan sistem persamaan linear. Lebih dari 75% dari semua masalah matematika yang dijumpai dalam aplikasi ilmiah maupun industri melibatkan penyelesaian sistem linear hingga tahap tertentu. Dengan menggunakan metode-metode matematika modern, seringkali kita dapat mereduksi suatu masalah yang rumit menjadi suatu sistem persamaan linear. Sistem-sistem linear muncul dalam penerapan bidang-bidang seperti perdagangan, ekonomi, sosiologi, ekologi, demografi, genetika, elektronika, teknik, dan fisika. Berdasarkan latar belakang masalah diatas maka penulis mengambil judul “Penerapan Sistem Persamaan Linear, Matriks, dan Determinan dalam Kehidupan Sehari-hari”.



B. Rumusan Masalah 1. Apakah yang dimaksud sistem persamaan linear ? 2. Apakah yang dimaksud eliminasi gauss ? 3. Apakah yang dimaksud sistem persamaan linear homogen ? 4. Apa sajakah operasi-operasi matriks ? 5. Apa sajakah aturan-aturan ilmu hitung matriks ? 6. Apakah yang dimaksud fungsi determinan ? 7. Bagaimana penerapan sistem persamaan linear dan matriks dalam kehidupan sehari-hari ? C. Tujuan 1. Untuk mengetahui sistem persamaan linear. 2. Untuk mengetahui eliminasi gauss. 3. Untuk mengetahui sistem persamaan linear homogen. 4. Untuk mengetahui operasi-operasi matriks. 5. Untuk mengetahui aturan-aturan ilmu hitung matriks. 6. Untuk mengetahui fungsi determinan. 7. Untuk mengetahui penerapan sistem persamaan linear dan matriks dalam kehidupan sehari-hari.



1



BAB II ISI A. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS 1.1 Sistem Persamaan Linear Definisi : Suatu sistem yang memiliki m persamaan dan n variabel. ( Bilangan yang tidak diketahui ).



a11 x1  a 21 x1  



a12 x 2  ...  a 22 x 2  ...  



a1n x n  a2n xn  



b1 b2



a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm



SPL mempunyai m persamaan dan n variable. Matriks yang diperbesar (augmented matrix)  a11 a  21    a m1



a12 ... a1n a 22 ... a 2 n   a m 2 a mn



b1  b2    bm 



Solusi ( Pemecahan ) SPL, dibagi menjadi 2, yaitu : 1. Konsisten  Solusi Tunggal  Solusi Banyak 2. Tidak Konsisten (tidak mempunyai penyelesaian) 1.2 Eliminasi Gauss Pada bagian ini kita akan memberikan prosedur yang sistematik untuk memecahkan sistem-sistem persamaan linear; prosedur tersebut didasarkan kepada gagasan untuk mereduksi matriks yang diperbesar menjadi bentuk yang cukup



2



sederhana sehingga sistem persamaan tersebut dapat dipecahkan dengan memeriksa sistem tersebut. 1 [0 0



0 0 1 1 0 2] 0 1 3



Matriks di atas adalah contoh matriks yang dinyatakan dalam bentuk eselon baris terreduksi (reduced row-echelon form). Supaya berbentuk seperti ini, maka matriks tersebut harus mempunyai sifat-sifat berikut. 1. Jika baris tidak terdiri seluruhnya dari nol, maka bilangan taknol pertama dalam baris tersebut adalah 1. (Kita namakan 1 utama). 2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka semua baris seperti itu dikelompokkan bersama-sama di bawah matriks. 3. Dalam sebarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya tidak terdiri dari nol, maka 1 utama dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan dari 1 utama dalam baris yang lebih tinggi. 4. Masing-masing kolom yang mengandung 1 utama mempunyai nol di tempat lain. Matriks yang memiliki sifat-sifat 1,2 dan 3 dapat dikatakan dalam bentuk eselon baris (row-echelon form). Prosedur untuk meredusi matriks menjadi bentuk eselon baris terreduksi dinamakan eliminasi Gauss-Jordan, sedangkan untuk mereduksi matriks menjadi bentuk eselon baris dinamakan eliminasi Gauss. Terkadang lebih mudah memecahkan sistem persamaan linear dengan menggunakan eliminasi Gauss untuk mengubah matriks yang diperbesar menjadi ke dalam bentuk eselon baris tanpa meneruskannya ke bentuk eselon baris terreduksi. Bila hal ini dilakukan, maka sistem persamaan-persamaan yang bersesuaian dapat dipecahkan dengan sebuah cara yang dinamakan substitusi balik (back-substitution). 1.3 Sistem Persamaan Linear Homogen Sebuah sistem persamaan-persamaan linier dikatakan homogen jika semua suku konstan sama dengan nol; yakni sistem tersebut mempunyai bentuk



3



a11x1 + a12x2 + ……+ a1nxn = 0 a21x2 + a22x2 + ……+ a2nxn = 0 :



:



:



:



am1x1 + am2x2 + ……+ amnxn = 0 Tiap-tiap sistem persamaan linier homogen adalah sistem yang konsisten, karena x1 = 0, x2 = 0,….., xn = 0 selalu merupakan pemecahan. Pemecahan terebut, dinamakan pemecahan trivial (trivial solution); jika ada pemecahan lain, maka pemecahan tersebut dinamakan pemecahan taktrivial (nontrivial solution). Karena sistem persamaan linier homogen harus konsisten, maka terdapat satu pemecahan atau tak terhingga banyaknya pemecahan. Karena salah satu di antara pemecahan ini adalah pemecahan trivial, maka kita dapat membuat pernyataan berikut. Untuk sistem persamaan-persamaan linier homogeny, maka persis salah satu di antara pernyataan berikut benar. 1. Sistem tersebut hanya mempunyai pemecahan trivial. 2. Sistem tersebut mempunyai tak terhingga banyaknya pemecahan tak trivial sebagai tambahan terhadap pemecahan trivial tersebut. Terdapat satu kasus yang sistem homogennya dipastikan mempunyai pemecahan tak trivial ; yakni, jika sistem tersebut melibatkan lebih banyak bilangan tak diketahui dari banyaknya persamaan. Untuk melihat mengapa hanya demikian, tinjaulah contoh berikut dari empat persamaan dengan lima bilangan tak diketahui. 1.4 Matriks dan Operasi Matriks Matriks Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilanganbilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks. 𝑎11 𝑎21 A=[ ↓ 𝑎𝑚1



𝑎12 𝑎22 ↓ 𝑎𝑚2



𝑎13 = 𝑎23 = ↓ 𝑎𝑚3 =



𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 ↓ ] 𝑎𝑚𝑛



4



Operasi Matriks 1. Penjumlahan : Definisi : jika A dan B adalah sebarang dua matriks yang ukurannya sama, maka jumlah A + B adalah matriks yang di peroleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. Matriks-matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat di tambahkan. A =[



𝑒 𝑏 ] , B =[ 𝑔 𝑑



𝑎 𝑐



A+B=[



𝑎 𝑐



𝑏 𝑒 ]+[ 𝑑 𝑔



𝑓 ] ℎ 𝑓 𝑎+𝑒 ] =[ ℎ 𝑐+𝑔



𝑏+𝑓 ] 𝑑+ℎ



2. Perkalian dengan konstanta Definisi : Jka A adalah suatu matriks dan c adalah scalar, maka hasil kali cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing=masing entri dari A oleh c. 𝑎 c[ 𝑐



𝑏 𝑐𝑎 ]=[ 𝑑 𝑐𝑐



𝑐𝑏 ] 𝑐𝑑



3. Perkalian, dengan syarat Am x n Bn x o = Cm x o Definisi : Jika A adalah matriks m x r dan B matriks r x n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n yang entri- entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri dalam baris I dan kolom j dari AB, pilihlah baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikanlah entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan kemudian tambahkanlah hasil kali yang dihasilkan. 𝑒 𝑏 ], B = [𝑓 ] 𝑑 𝑎𝑒 + 𝑏𝑓 𝑎 𝑏 𝑒 AB = [ ] [𝑓 ]= [ ] 𝑐𝑒 + 𝑑𝑓 𝑐 𝑑 A=[



𝑎 𝑐



Transpose Definisi : Jika A adalah sebarang matriks m x n, maka Transpos A dinyatakan oleh At dan didefinisikan dengan matriks n x m yang kolom pertmanya adalah baris pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juaga dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari A, dan seterusnya. 𝑎 A = [𝑑 𝑔



𝑏 𝑒 ℎ



𝑐 𝑎 t 𝑓 ]  A = [𝑏 𝑖 𝑐



𝑑 𝑒 𝑓



𝑔 ℎ] 𝑖



5



1.5 Aturan-Aturan Ilmu Hitung Matriks Walaupun banyak dari aturan-aturan ilmu hitung bilangan riil berlaku juga untuk matriks, namun terdapat beberapa pengecualian. Salah satu dari pengecualian yang terpenting terjadi dalam perkalian matriks. Untuk bilangan-bilangan rill a dan b, kita selalu mempunyai ab = bayang sering dinamakan hukum komutatif untuk perkalian. Akan tetapi, untuk matriks-matriks, maka AB dan BA tidak perlu sama. Teorema 2. Dengan menganggap bahwa ukuran-ukuran matriks adalah sedemikian sehingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat diperagakan, maka aturan-aturan ilmu hitung matriks berikut akan shahih. (a) A + B = B + A (b) A + (B + C) = (A + B) + C (c) A(BC) = (AB)C (d) A(B + C) = AB + AC (e) (B + C)A = BA + CA (f) A(B - C) = AB – AC (g) (B - C)A = BA – CA (h) a(B + C) = aB+ aC (i) a(B - C) = aB – aC (j) (a + b)C = aC + bC (k) (a - b)C = aC – bC (l) (ab)C = a(bC) (m) a(BC) = (aB)C = B(aC)



(Hukum komutatif untuk penambahan) (Hukum asosiatif untuk penambahan) (Hukum asosiatif untuk perkalian) (Hukum distributif) (Hukum distributif)



Teorema 3. Dengan menganggap bahwa ukuran-ukuran matriks adalah sedemikian rupa sehingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat dikabulkan, maka aturan-aturan ilmu hitung matriks yang berikut akan shahih. (a) (b) (c) (d)



A+0=0+A=A A–A=0 0 – A = -A A0 = 0; 0A = 0



Teorema 4. Setiap sistem persamaan linear tidak mempunyai pemecahan, persis satu pemecahan, atau tak terhingga banyaknya pemecahan.



1.6 Fungsi Determinan Definisi : misalkan A adalah matriks kuadrat. Fungsi determinan dinyatakan oleh det, dan kita definiskan det(A) sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari A jumlah det(A) kita namakan determinan A.



6



B. PENERAPAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR, MATRIKS, DAN DETERMINAN DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI  Aplikasi 1 : Arus Lalu-Lintas Dibagian kota yang ramai dari satu kota tertentu, dua kelompok jalan satu-arah berpotongan seperti diperlihatkan pada gambar dibawah ini. Rata-rata jam dari volume lalu lintas yang memasuki dan meninggalkan bagian ini selama jam sibuk diberikan dalam gambar.



Tentukan banyaknya lalu lintas antara pada setiap perempatan ! Penyelesaian : Pada setiap perempatan banyaknya mobil yang masuk harus sama dengan mobil yang keluar. Seperti contoh, pada perempatan A, banyaknya mobil yang masuk adalah 𝑥1 + 450 dan banyaknya yang keluar adalah 𝑥2 + 610. Jadi 𝑥1 + 450 = 𝑥2 + 610



(Perempatan A)



Dengan cara yang serupa 𝑥2 + 520 = 𝑥3 + 480



(Perempatan B)



𝑥3 + 390 = 𝑥4 + 600



(Perempatan C)



𝑥4 + 640 = 𝑥1 + 310



(Perempatan D)



Matriks yang diperbesar untuk ini adalah 1 −1 0 0 160 1 −1 0 | −40 ) (0 0 1 −1 210 0 −1 0 0 1 −330



7



Bentuk esolon baris tereduksi untuk matriks ini adalah 1 (0 0 0



0 −1 330 0 −1|170) 1 −1 210 0 0 0



0 1 0 0



Sistem ini konsisten dan karena terdapat satu peubah bebas, maka terdapat banyak penyelesaian yang mungkin. Diagram arus lalu-lintas di atas tidak memberi informasi yang cukup untuk menentukan 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 secara tunggal. Jika banyaknya lalulintas diketahui antara setiap pasang perempatan, maka banyaknya lalu-lintas di jalan raya selebihnya dengan mudah dapat dihitung. Sebagai contoh, jika banyaknya lalulintas antara perempatan C dan D memiliki rata-rata 200 mobil per jam, maka 𝑥4 = 200. Kita kemudian dapat menyelesaikan 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 dinyatakan dalam 𝑥4 . 𝑥1 = 𝑥4 + 330 = 530 𝑥2 = 𝑥4 + 170 = 370 𝑥3 = 𝑥4 + 210 = 410  Aplikasi 2 : Jaringan Listrik Dalam suatu jaringan listrik kita mungkin menentukan besar arus di setiap cabang yang dinyatakan dalam resistensi dan tegangan. Sebagai contoh lihat gambar berikut. 8 volt



𝑖1 4 ohm



2 ohm



A



𝑖2



3 ohm



𝑖3



B 2 ohm



9 volt



Sumber listrik biasanya adalah baterai (diukur dalam volt) yang menggerakan muatan dan menghasilkan kuat arus. Arus ini akan mengalir ke luar dari terminal baterai yang digambarkan oleh garis vertikal yang lebih panjang. Resistensi diukur dalam ohm. Kode huruf menyatakan simpul (node) dan 𝒊 menyatakan arus antar simpul. Arus – arus diukur dalam ampere. Tanda panah menunjukkan arah dari arus. Akan tetapi jika salah satu arus, misalkan i2, ternyata menjadi negatif, ini berarti bahwa arus sepanjang cabang itu berlawanan arah dengan tanda panah.



8



Untuk menentukan kuat arus, digunakan hukum – hukum kirchhoff : 1. Pada setiap simpul jumlah dari kuat arus yang masuk sama dengan jumlah jumlah arus yang keluar. 2. Di sekeliling setiap simpul (loop) tertutup jumlah aljabar dari tegangan harus sama dengan jumlah aljabar penurunan tegangan. Penurunan tegangan E untuk setiap tahanan diberikan oleh hukum Ohm : 𝐸 =𝑖𝑅 dimana 𝑖 menyatakan arus dalam ampere dan R adalah resistensi dalam ohm. Marilah kita mencari arus – arus dalam jaringan yang dilukiskan pada Gambar. Dari hukum pertama, kita peroleh 𝑖1 − 𝑖2 + 𝑖3 = 0



(simpul A)



−𝑖1 + 𝑖2 − 𝑖3 = 0



(simpul B)



Berdasarkan hukum kedua, 4𝑖1 + 2𝑖2 = 8



(simpul atas)



2𝑖2 + 5𝑖3 = 9



(simpul bawah)



Jaringan tersebut dapat dinyatakan oleh matriks yang diperbesar 1 −1 1 (−1 1 −1 4 0 2 0 2 5



0 |0) 8 9



Matriks ini dengan mudah dapat direduksikan menjadi bentuk eselon baris 1 −1 1 2 0 1 −3 0 0 1 (0 0 0



0 4 ||3 1 9)



Penyelesaian dengan substitusi balik akan menghasilkan 𝑖1 = 1, 𝑖2 = 2 𝑑𝑎𝑛 𝑖3 = 1.  Aplikasi 3 : Persamaan-Persamaan Kimia Dalam proses fotosintesis tumbuh-tumbuhan menggunakan energi terpancar dari sinar matahari untuk mengubah karbondioksida (CO₂) dan air (H₂O) menjadi glukosa (C₆H₁₂O₆) dan oksigen (O2). Persamaan kimia dari reaksi ini berbentuk



:



x1CO2 + x2H2O  x3O2 + x4C6H12O6 Supaya persamaan menjadi seimbang maka kita harus memilih 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 dan 𝑥4 sehingga banyaknya atom-atom karbon, hidrogen dan oksigen adalah sama pada setiap 9



ruas dari persamaan. Karena karbon dioksida mengandung satu atom karbon dan glukosa mengandung enam atom karbon maka untuk menyeimbangkan atom-atom karbon kita membutuhkan syarat bahwa: x1 = 6x4 Dengan cara yang serupa untuk menyeimbangkan atom-atom oksigen dibutuhkan syarat: 2x1 + x2 = 2x3 + 6x4 dan akhirnya untuk menyeimbangkan atom-atom hidrogen dibutuhkan syarat 2x2 = 12x4 Jika kita memindahkan semua peubah-peubah ke ruas kiri dari ketiga persamaan ini maka kita peroleh sistem linear homogen x1 - 6x4 = 0 2x1 + x2 - 2x3 - 6x4 = 0 2x2 - 12x4 = 0 Sistem ini memiliki penyelesaian tak trivial. Untuk dapat menyeimbangkan persamaan kimia diatas harus dicari penyelesaian (x1,x2,x3,x4) yang entri-entrinya adalah bilangan bulat tak negatif. Jika sistem diselesaikan dengan cara yang biasa maka x 4 adalah peubah bebas dan x1 = x2 = x3 = 6x4 Khususnya jika diambil x4 = 1, maka x1 = x2 = x3 = 6 sehingga persamaan berbentuk 6CO2 + 6H2O  6O2 + C6H12O6  Aplikasi 4 : Biaya Produksi Total Suatu perusahaan menghasilkan tiga produk. Biaya produksinya dibagi dalam tiga kategori. Pada setiap kategori ini, diberikan suatu taksiran untuk biaya produksi suatu barang dari masing-masing produk. Dibuat juga suatu taksiran untuk jumlah dari masing-masing produk yang akan dihasilkan untuk setiap kuartal. Taksiran-taksiran ini diberikan dalam Tabel 3 dan 4. Perusahaan tersebut ingin menyajikan pada rapat pemegang saham satu tabel yang menunjukkan biaya total untuk setiap kuartal dalam masing-masing dari ketiga kategori : bahan mentah, tenaga kerja, dan biaya tambahan (overhead) Berikut tabelnya :



10



Tabel 3 BIAYA PRODUKSI PER BARANG (dollar) Produk BIAYA A



B



C



BAHAN MENTAH



0,10



0,30



0,15



TENAGA KERJA



0,30



0,40



0,25



0,10



0,20



0,15



BIAYA TAMBAHAN DAN SERBANEKA



Tabel 4 JUMLAH YANG DIHASILKAN PER KUARTAL Musim PRODUK PANAS



GUGUR



DINGIN



SEMI



A



4000



4500



4500



4000



B



2000



2600



2400



2200



C



5800



6200



6000



6000



Penyelesaian : Mari kita tinjau masalah tersebut dinyatakan dalam matriks. Masing-masing dari kedua tabel dapat dinyatakan oleh matriks.



 0,10 0,30 0,15    M =  0,30 0,40 0,25   0,10 0,20 0,15    dan



 4000 4500 4500 4000    P =  2000 2600 2400 2200   5800 6200 6000 6000    11



Jika kita membuat hasil kali MP, maka kolom pertama dari MP akan menyatakan biaya untuk musim panas. 1. Bahan mentah : (0,10)(4000) + (0,30)(2000) + (0.15)(5800) = 1870 2. Tenaga kerja : (0,30)(4000) + (0,40)(2000) + (0,25)(5800) = 3450 3. Biaya tambahan dan serbaneka : (0,10)(4000) + (0,20)(2000) + (0,15)(5800) = 1670 Biaya untuk musim gugur diberikan dalam kolom kedua dari MP : 1. Bahan mentah : (0,10)(4500) + (0,30)(2600) + (0,15)(6200) = 2160 2. Tenaga kerja : (0,30)(4500) + (0,40)(2600) + (0,25)(6200) = 3940 Entri-entri dalam baris 1 dari MP menyatakan biaya total dari bahan mentah untuk setiap musim. Entri-entri dalam baris 2 dan 3 masing-masing menyatakan biaya total untuk tenaga kerja dan biaya tambahan, untuk setiap musim. Biaya tahunan dalam setiap kategori dapat diperoleh dengan cara menjumlahkan entri-enri dalam setiap baris. Angka-angka dalam setiap kolom dapat dijumlahkan untuk memperoleh biaya produksi total untuk setiap musim. Tabel 5 meringkaskan biaya produksi total. MUSIM PANAS



GUGUR



DINGIN



SEMI



TAHUN



BAHAN MENTAH



1.870



2.160



2.070



1.960



8.060



TENAGA KERJA



3.450



3.940



3.810



3.580



14.780



1.670



1.900



1.830



1.740



7.140



6.990



8.000



7.710



7.280



29.980



BIAYA TAMBAHAN DAN SERBANEKA BIAYA PRODUKSI TOTAL



12



 Aplikasi 5 : Ekologi : Demografi dari Kura – Kura Laut yang Berkepala Besar (Loggerhead Sea Turtle) Pengelolaan dan pemeliharaan dari banyak jenis margasatwa tergantung pada kemampuan kita untuk membuat model dinamika populasi. Suatu teknik pemodelan yang standar adalah dengan membagi siklus hidup dari satu jenis dalam beberapa tahap. Model yang bersangkutan mengasumsikan bahwa ukuran populasi untuk setiap tahap hanya tergantung kepada populasi betina dan peluang dari kelangsungan hidup dari satu betina dari satu tahun ke tahun berikutnya tergantung hanya kepada tahap dari siklus hidup dan tidak tergantung kepada umur sebenarnya daribetina tersebut. Sebagai contoh, suatu model dengan empat tahap untuk menganalisa dinamika populasi dari kura-kura yang berkepala besar. Pada setiap tahap kita menaksir peluang dari kelangsungan hidup selama periode satu tahun. Kita juga menaksir kemampuan berkembang biak yang dinyatakan dalam jumlah telur yang diharapkan dikeluarkan dalam satu tahun tertentu. Hasil-hasilnya diringkaskan dalam tabel dibawah ini. Umurumur perkiraan untuk setiap tahap tertulis dalam kurung di sebelah uraian masingmasing tahap. MODEL EMPAT TAHAP UNTUK DEMOGRAFI KURA – KURA YANG BERKEPALA BESAR



Nomor Tahap



Uraian (umur dalam tahun)



Peluang



Telur yang



kelangsungan hidup



dikeluarkan



tahunan



per tahun



1



Telur, menetas (< 1)



0,67



0



2



Muda dan pradewasa (1 – 21)



0,74



0



3



Ternak baru (22)



0,81



127



4



Ternak dewasa (23 – 54)



0,81



79



13



Jika di menyatakan lamanya waktu tahap ke-i, dan si adalah tingkat peluang kelangsungan hidup tahunan untuk tahap tersebut, maka dapat diperlihatkan bahwa bagian yang tersisa dalam tahap i pada tahun berikutnya adalah 1 −𝑠𝑖 𝑑𝑖 −1



pi = (



1 −𝑠𝑖 𝑑𝑖



)si



Dan bagian dari populasi yang tetap bertahan dan pindah ke tahap i + 1 tahun berikutnya adalah qi =



𝑠𝑖 𝑑𝑖 (1 −𝑠𝑖) 1 − 𝑠𝑖 𝑑𝑖



Jika ei dimisalkan sebagai banyaknya telur rata-rata yang dikeluarkan oleh satu anggota dari tahap i (i = 2, 3, 4) dalam satu tahun,dan dibentuk matriks  p1 e2   q1 p 2 L=  0 q2  0 0 



e3 0 p3 q3



e4   0  0   p 4 



Maka L dapat digunakan untuk meramalkan populasi kura-kura untuk setiap tahap di tahun-tahun mendatang. Matriks L disebut matriks Leslie (Leslie matriks) dan model populasi yang berkorespondensi dengannya kadang-kadang disebut sebagai model populasi Leslie (Leslie population model). Dengan menggunakan angka-angka dari tabel “model empat tahap untuk demografi kura-kura yang berkepala besar” maka matriks Leslie untuk model tersebut adalah 0 127 79   0   0 0   0,67 0,7394 L=  0 0,0006 0 0     0  0 0 , 81 0 , 8077  



Misalkan populasi-populasi awal pada setiap tahun masing-masing adalah 200.000, 300.000, 500, dan 1500. jika populasi-populasi awal ini dinyatakan dengan suatu vektor xo, maka populasi-populasi pada setiap tahap sesudah satu tahun dapat ditentukan dengan menghitung : 0 127 79   200 .000   182 .000   0      0 0   300 .000   355 .810   0,67 0,7394 x1 = Lx0 =  = 0 0,0006 0 0   500   190        0 0 0,81 0,8077   1.500   1.617  



Untuk menentukan vektor populasi sesudah dua tahun maka kalikan lagi dengan matriks L. 14



x2 = Lx1 = L2x0 Pada umumnya populasi sesudah k tahun dapat ditentukan dengan menghitung x k = Lkx. Untuk melihat kecenderungan jangka waktu yang lebih lama dapat dihitung x 10, x25, x50. Hasil-hasilnya diringkas dalam tabel dibawah ini : PROYEKSI POPULASI KURA-KURA YANG BERKEPALA BESAR Nomor tahap



Populasi awal



10 tahun



25 tahun



50 tahun



1



200.000



114.264



74.039



35.966



2



300.000



329.212



213.669



103.795



3



500



214



139



68



4



1.500



1.061



687



334



Model ini meramalkan bahwa jumlah total dari kura-kura pada usia berkembang biak akan menurun sebesar 80% dalam periode lima puluh tahun.  Aplikasi 6 : Pesan yang Dikodekan Cara yang mudah untuk mengirim satu pesan yang dikodekan adalah dengan memberi satu nilai bilangan bulat dari setiap huruf dari abjad dan mengirim pesan tersebut sebagai deretan bilangan-bilangan bulat. Sebagai contoh, pesan SEND MONEY Dapat dikodekan sebagai 5, 8, 10, 21, 7, 2, 10, 8, 3 Disini, S dikodekan oleh 5, E dikodekan oleh 8, dan seterusnya. Sayangnya, kode jenis ini pada umumnya amat mudah dirusak. Dalam pesan yang lebih panjang kita mungkin dapat menebak huruf mana yang direpresentasikan oleh satu bilangan yang didasarkan kepada frekuensi relatif dari munculnya bilangan itu. Jadi, misalnya jika 8 adalah bilangan yang paling sering muncul dalam pesan yang dikodekan 15



tersebut, maka adalah mungkin sekali bahwa bilangan ini mewakili huruf E, yaitu huruf yang paling sering digunakan dalam bahasa inggris. Kita dapat menyamarkan pesan selanjutnya dengan menggunakan perkalian matriks. Jika A adalah suatu matriks yamg entri-entrinya semua adalah bilangan bulat dan determinannya bulat. Kita dapat menggunakan matriks demikian untuk mentransformasikan pesan tersebut. Pesan yang sudah ditransformasikan akan lebih sulit diuraikan. Untuk menggambarkan teknik ini misalkan : 1 2 A= [2 5 2 3



1 3] 2



Pesan yang dikodekan dimasukkan ke dalam kolom-kolom dari matriks B yang memiliki tiga baris. 5 B= [ 8 10



21 7 2



10 8] 3



Hasil kali 1 2 1 5 AB = [2 5 3] [ 8 2 3 2 10



21 7 2



31 37 10 8 ] = [80 83 54 67 3



29 69] 50



Menghasilkan pesan yang dikodekan yang akan dikirim ; 31, 80, 54, 37, 83, 67, 29, 69, 50 Orang yang menerima pesan dapat mengkodekan pesan ini kembali dengan mengalikannya dengan A-1 1 −1 1 31 [2 0 −1] [80 −4 1 1 54



37 29 5 83 69] = [ 8 67 50 10



21 7 2



10 8] 3



Untuk membuat suatu matriks pengkodean A, kita dapat mulai dengan matriks satuan I dan secara berturut-turut menerapkan operasi baris III, dengan berhati-hati menjumlahkan kelipatan bulat dari satu baris pada baris lainnnya. Operasi baris I dapat juga dipergunakan. Matriks A yang terjadi akan memiliki entri-entri bilangan bulat dan karena Det(A) = ± det (I) = ± 1 Maka A-1 juga akan memiliki entri-entri bilangan bulat.



16



BAB III PENUTUP A. Kesimpulan Sistem persamaan Linear adalah suatu sistem yang memiliki m persamaan dan n variabel (Bilangan yang tidak diketahui). Prosedur untuk meredusi matriks menjadi bentuk eselon baris terreduksi dinamakan eliminasi Gauss-Jordan, sedangkan untuk mereduksi matriks menjadi bentuk eselon baris dinamakan eliminasi Gauss. Sebuah sistem persamaanpersamaan linier dikatakan homogen jika semua suku konstan sama dengan nol. Operasioperasi matriks yaitu penjumlahan, perkalian dengan konstanta, Perkalian, dengan syarat Am x n Bn x o = Cm x o, dan transpose. Aturan-aturan ilmu hitung matriks yaitu antara lain hukum komutatif untuk penambahan, hukum asosiatif untuk penambahan, hukum asosiatif untuk perkalian, hukum distributive, dan lain-lain. Fungsi determinan yaitu misalkan A adalah matriks kuadrat. Fungsi determinan dinyatakan oleh det, dan kita definiskan det(A) sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari A jumlah det(A) kita namakan determinan A. Penerapan



sistem persamaan linear dan matriks dalam kehidupan sehari-hari yaitu antara lain pada arus lalu lintas, jaringan listrik, persamaan-persamaan kimia, biaya produksi total, dan ekologi : demografi dari kura-kura laut berkepala besar, dan pesan yang dikodekan. B. Saran Alangkah baiknya kita mengenal Matematika dulu sebelum kita menganggap Matematika itu sulit, karena bila kita telah mengenal Matematika dengan baik dan menikmati bagaimana Matematika itu bekerja akan terasa bahwa Matematika itu tidaklah seburuk apa yang kita pikirkan.



17



DAFTAR PUSTAKA Anton, Howard. 1991. Aljabar Linear Elementer : Edisi Kelima. Jakarta: Erlangga. J. Leon, Steven. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya : Edisi Kelima. Jakarta : Erlangga.



18