Makalah Geometri Ruang Limas1 [PDF]

Citation preview

MAKALAH GEOMETRI RUANG LIMAS



Dosen : Nurul Aini, S.Pd, M.Pd.



Progam Studi : Pendidikan Matematika 2017-A



Disusun Oleh : Kelompok 7



175016



Mohamad Adi Pramana



175020



Novita Sari



175022



Salsabila Rahmadania Susamto



175033



Suci Roifatul Muniroh



155082



Siti Julaikah



SEKOLAH TINGGI KEGURUAN ILMU PENDIDIKAN PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA JOMBANG 2017



ii



DAFTAR ISI



HALAMAN JUDUL..........................................................................................



i



DAFTAR ISI .......................................................................................................



ii



1. Definisi dan Beberapa Istilah yang Berhubungan Dengan Limas ..........



1



2. Macam-Macam Bidang Banyak ..............................................................



2



3. Beberapa Istilah yang Terdapat Pada Bidang Banyak ............................



4



4. Luas Permukaan Limas ...........................................................................



6



5. Volume Limas .........................................................................................



7



6. Teorema Minelaus dan De Ceva Dalam Planimatri ................................



8



7. Latihan Soal ............................................................................................ 10 DAFTAR PUSTAKA



1



LIMAS 1.



Definisi dan Beberapa Istilah yang Berhubungan Dengan Limas Limas adalah bangun ruang yang mempunyai alas berbentuk segi n (segitiga, segi empat, atau segi lima) dan bidang sisi tegaknya mempunyai bentuk segitiga yang berpotongan pada satu titik. Titik potong dari sisi-sisi tegak limas di sebut dengan titik puncak limas



Gambar limas segitiga dan jaring-jaringnya



Gambar limas segi empat dan jaring-jaringnya Kerucut bisa juga di sebut sebagai limas yang mempunyai alas dengan bentuk lingkaran. Limas yang mempunyai alas berbentuk persegi biasa atau umum disebut dengan piramida. Sama seperti prisma, pemberian nama pada limas juga berdasarkan bentuk dari alasnya. Jika alas yang di miliki limas berbentuk segitiga maka limas tersebut di namakan limas segitiga. Dan jika alas yang di miliki oleh suatu limas berbentuk segi lima beraturan maka limas itu disebut dengan limas segi lima beraturan. Sama seperti prisma, luas permukaan limas juga diperoleh dengan cara menentukan jaring-jaring limas tersebut. Kemudian, menjumlahkan luas bangun datar dari jaringjaring yang terbentuk.



2 2.



Macam-Macam Bidang Empat 1. Bidang empat tegak yang salah satu rusuknya tegak lurus pada bidang alas atau proyeksi titik puncak tepat pada salah satu titik sudut alas.



Ket : TA tegak lurus bidang alas ABC 2. bidang empat siku-siku adalah bidang empat yang memepunyai tiga rusuk bertemu pada satu titik sudut tegak lurus. Ket : TA  AC, TA  AB, AC  AB



3. Bidang empat teratur adalah bidang empat yang keempat bidangn batasnya kongruen. Ini berarti bidang empat yang rusuk-rusuknya semua sama panjang. Ket : Δ TAB  Δ TAC  Δ TBC  Δ ABC



4. Limas berisi tiga beraturan adalah bidang empat, tetapi belum tentu merupakan bidang berupa segitiga sama sisi, sedangkan sisi-sisi tegaknya cukup segitiga sama T



kaki, sehingga tidak perlu sam sisi. Ket : Δ TAB ≡ Δ TBC ≡ Δ TAC ≡ Δ TAC



C



A B



3 5. bidang empat ortoghonal adalah suatu bidang empat dengan sepasang rusuk yang saling berhadapan dan bersilangan saling tegak lurus.



C



Ket : TA bersilangan  dengan BD TB bersilangan  dengan AD TD bersilangan  dengan AB



D T



A



Teorema 6. 10 : B



Jika dalam sebuah bidang empat titik kaki sebuah garis tinggi dari suatu titik sudut berimpit dengan titik tinggi sisi di depan titik sudut itu, maka bidang empat itu orthogonal. Bukti : Diketahui : bidang empat ABCD.CT = garis tinggi T = titik tinggi sisi ABD Buktikan : AB  CD AC  BD BC  AD Pembuktian : CT merupakan garis tinggimaka CT  ABD, maka : CT  AB CT  AD



4 CT  BD 



BC  AD



Titik tinggi dalam segitiga ABD. BT  AD Karena CT  AD dan BT  AD, maka : AD  Δ BTC sehingga AB  AD (terbukti)







AB  CD



Titk tinggi dalam segitiga abd. DT  AB Karena CT  AB dan DT  AB, maka : AB  Δ DTC sehingga AB  CD (terbukti)







AC  BD



Titik tinggi dalam segitiga ABD. AT  BD Karena CT  BD dan AT  BD, maka : BD  Δ ATC sehingga AC  BD (terbukti) Maka bidang empat ABCD orthogonal. (terbukti)



3.



Beberapa Istilah yang Terdapat Pada Bidang Banyak 1. Bidang berat adalah bidang yang memuat suatu rusuk dan melalui pertengahan rusuk yang berhadapan. Dalam bidang empat T. ABC, ADT merupakan salah satu bidang beratnya.



T



C D



A



B



5 2. Garis bidang empat adalah garis penghubung titik sudut dengan titik berat sisi yang depannya. PT merupakan salah satu garis berat. Ada empat macam garis berat! P



C



T



A



B



3. Titik berat bidang empat adalah perpotongan sembarang dua garis berat bidang empat. Titik Z merupakan titik berat. P



C A



T



Teorema : Dalam sebuah bidang empat ke empat garis beratnya melalui sebuah titik dan saling membagi menurut perbandingan 3 :1. P



P



Z



G



G



A T



C



Z



D A



D



D B



6 Pembuktian : Titik T dan G merupakan titik berat pada Δ CBP dan Δ ABC maka gari berat kedua segitiga tersebut yaitu AT dan GP berpotongan di D (D pertengahan BC) Garis berat dibidang empat P.ABC yang terletak pada Δ APD yaitu AG dan PT berpotongan di Z. Δ ADP, dihubungkan G dan T GT // AP dan GT : PA = DG : PD = 1:3 ……………(1) Δ GZT



- Δ AZP



GT : PA = GZ : AZ = TZ : ZP ……………………...(2) Dari (1) dan (2) :APB GT :PA = GZ : AZ = TZ : ZP = 1:3 Maka : GZ : AZ = TZ : ZP = 1:3 atau AZ : GZ = ZP : TZ = 3:1 (terbukti) 4.



Luas Permukaan Limas Luas Permukaan Limas Perhatikan limas segitiga T.ABC pada gambar (a) dan jaringjaring limas pada gambar (b). Luas permukaan limas tersebut adalah sebagai berikut :



Luas permukaan limas T.ABC luas bidang ABC + luas bidang TAB + luas bidang TBC + luas bidang TCA = luas alas + luas ∆TAB + luas ∆TBC + luas ∆TCA = luas alas + jumlah luas semua segitiga tegak Maka untuk setiap limas berlaku rumus : Luas permukaan limas = lua alas + jumlah luas semua segitiga tegak



7 5.



Volume Limas Untuk menentukan rumus volume limas, dapat dicari dengan bantuan sebuah kubus. Perhatikan gambar kubus di bawah ini.



Gambar tersebut diatas menunjukkan sebuah kubus ABCD.EFGH. Kubus memiliki 4 buah diagonal ruang yang saling berpotongan di titik O. Jika diamati secra cermat, keempat diagonal ruang tersebut membentuk 6 buah limas segiempat, yaitu limas segiempat O.ABCD, O.EFGH, O.ABFE, O.BCGF, O.CDGH dan O. DAEH.Dengan demikian , volume kubus ABCD.EFGH merupakan gabungan volume keenam limas tersebut. 6 × volume limas O.ABCD = Volume kubus ABCD.EFGH Volume limas o.abcd = = = = =



1 6 1 6 1 6 1 6 2 6



× AB × BC × CG ×𝑠 ×𝑠 ×𝑠 × 𝑠2 × 𝑠 × 𝑠2 ×



2𝑠 2 𝑠



× 𝑠2 × 2



1



𝑠



= 3 × 𝑠2 × 2 𝑠



Oleh karena 𝑠2 merupakan luas alas kubus ABCD.EFGH dan 2 merupakan tinggi limas O.ABCD maka, Volume limas O.ABCD



= =



1 3 1 3



𝑠



× 𝑠2 × 2 × 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑎𝑙𝑎𝑠 × 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 𝑙𝑖𝑚𝑎𝑠



8 6.



Teorema Minelaus dan De Ceva Dalam Planimatri Untuk mencari panjang suatu garis perlu mempelajari teorema minelaus dan de ceva. Beberapa istilah yang ada : a. Transversal : sebarang garis yang memotong ketiga sisi sebuah segitiga (atau perpanjangannya) PR adalah transversal C



P



Q



A



R



b. Transversal titiksudut : garis transversal yang melalui sebuah titik sudut. C



A1



A



B



Garis AA adalah tranversal sudut A 



TEOREMA MINELAUS Jika sebuah segitiga kakinya (atau perpanjangannya) dipotong oleh sebuah transvesal, maka diantara bagian-baigian sisi segitiga terdapat hubungan : AB1 BC1 CA1 = 1 dengan :   CB1 AC1 BA1 C1 adalah titik potong transversal pada AB A1 adalah titik potong transversal pada BC B1 adalah titik potong transversal pada AC Bukti : langkah-langkah : a. Pada ABC, garis AB diperpanjang, garis BC diperpanjang dan garis AC diperpanjang. b. Kemudian dari perpanjangan itu dibuat garis transversal C1B1 yang melalui titik potong C1A1B1.



9 c. Tarik melalui A, B, dan C garis yang sejajar yang memotong transversal C 1B1 pada P, Q, R, maka didapat : B



A



S c



B1



C1 P



Q



R



A1



Pada Δ APB1dan Δ CRB 1 (sebangun) Maka



AB1 AP = …………………. (1) CR CB1



Pada Δ BQA1 dan Δ CRA1 (sebangun) Maka



BA1 BQ = ………………….( 2) CR CA1



Pada Δ BQC1 dan Δ APC1 (sebangun) Maka



BC 1 BQ = …………………..(3) AP AC1



Dari (1), (2), (3), Didapat :



AB1 CB1 



=



BC 1 AC1



=



CA1 BA1



=



CR AP BQ = = = 1 (terbukti) CR AP BQ



TEOREMA DE CEVA Jika dalam sebuah segitiga trasversal titik sudut yang melalui sebuah titik, maka antara bagian–bagian sisi-sisi segitiga terdapat hubungan :



AB1 CB1



=



Bukti :



BC 1 AC1



=



CA1 BA1



=1



10 B



C1



A



AB1 CB1



BC 1 AC1 CA1 BA1



A1



C



B1



=



LuasABB1 LuasASB1 LuasASB   LuasCBB1 LuasCSB1 LuasCSB



=



LuasBCC1 LuasBSC1 LuasBSC   LuasACC1 LuasASC1 LuasASC



=



LuasCAA1 LuasCSA1 LuasCSA   LuasBAA1 LuasBSA1 LuasBSA



Dari (1), (2), dan (3) didapat :



AB1 CB1 7.



×



BC 1 AC1



×



CA1 BA1



=



LuasASB LuasCSB



=



LuasBSC LuasASC



=



LuasCSA LuasBSA



= 1 (terbukti)



Latihan Soal 1. Sebuah bangun berbentuk limas dengan alas berbentuk persegi dengan sisi 12 cm. Tentukanlah volume limas tersebut jika tingginya 30 cm! Penyelesaiannya: Diketahui : sisi alas (s) = 12 cm tinggi limas (t) = 30 cm Ditanya : volume limas (v)? Jawab : 1 𝑣 = 3 × 𝐿𝑎𝑙𝑎𝑠 × 𝑡 = = =



1 3 1 3 1 3



×𝑠×𝑠×𝑡 × 12 × 12 × 30 × 4320



= 1440 𝑐𝑚3 Jadi volume limas tersebut adalah 1440 cm3



11



2. Alas sebuah limas segi empat beraturan berbentuk persegi. Jika tinggi segitiga 17 cm dan tinggi limas 15 cm, tentukan luas permukaan limas. Penyelesaian: Diketahui : tinggi segitiga = 17 cm tinggi limas = 15 cm Ditanya : luas permukaan limas? Jawab : Jika dibuat gambarnya akan tampak seperti gambar di bawah ini.



 Untuk mencari luas permukaan limas yang pertama anda cari adalah panjang rusuk segiempat. Dalam hal ini AB = 2 x EF. EF dapat dicari dengan teorema Pythagoras. 𝐸𝐹 = √𝐹𝑇 2 − 𝐸𝑇 2 = √172 − 152 = √289 − 225 = √64 𝐸𝐹 = 8 𝑐𝑚  Hitung panjang sisi segiempat (AB) yakni: AB = 2 x EF AB = 16 cm  Hitung luas alas yang bentuknya persegi yakni: Luas alas = AB2 Luas alas = (16 cm)2 Luas alas = 256 cm2  Hitung luas segitiga yakni: 1 𝐿∆ = × 𝐴𝐵 × 𝐹𝑇 2 1 = × 16 × 17 2 1 = × 272 2 = 136 𝑐𝑚2  Hitung luas permukaan limas: 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑘𝑎𝑎𝑛 = 𝐿𝑎𝑙𝑎𝑠 + (4 × 𝐿∆ ) = 256 𝑐𝑚2 + (4 × 136 𝑐𝑚2 )



12



= 256 𝑐𝑚2 + 544 𝑐𝑚2 = 800 𝑐𝑚2 Jadi luas permukaan limas tersebut adalah 800 cm2 3. Limas segiempat memiliki volume 256 cm3. Jika luas alas limas adalah 48 cm2 . Tentukan tinggi limas! Penyelesaiannya: Diketahui : volume limas (v) = 256 cm3 Luas alas (L) = 48 cm2 Ditanya : tinggi limas (t) Jawab : 1 𝑣 = 3 × 𝐿𝑎𝑙𝑎𝑠 × 𝑡 256 =



1 3



× 48 × 𝑡



256 × 3 = 48 × 𝑡 256 × 3 =𝑡 48 768 48



=𝑡



16 = 𝑡 𝑡 = 16 𝑐𝑚 Jadi tinggi limas tersebut adalah 16 cm 4. Sebuah limas segiempat memiliki volume 2400 cm3. Tentukanlah luas alas limas jika tingginya 30 cm! Penyelesaiannya: Diketahui : volume limas (v) = 2400 cm3 Tinggi limas (t ) = 30 cm Ditanya : Luas alas (L) Jawab : 1 𝑣 = × 𝐿𝑎𝑙𝑎𝑠 × 𝑡 3 1 2400 = × 𝐿𝑎𝑙𝑎𝑠 × 30 3 2400 × 3 = 𝐿𝑎𝑙𝑎𝑠 × 30 2400 × 3 = 𝐿𝑎𝑙𝑎𝑠 30 7200 = 𝐿𝑎𝑙𝑎𝑠 30 240 = 𝐿𝑎𝑙𝑎𝑠 𝐿𝑎𝑙𝑎𝑠 = 240 𝑐𝑚2 Jadi luas alas limas tersebut adalah 240 cm2



13 5. Suatu limas t.ABC, terdapat alas dan salah satu sisi tegak yang memiliki bentuk segitiga siku-siku ( perhatikan gambar dibawah ), apabila panjang dari BC = BT maka berapakah volume dari limas itu?



Penyelesaian : Diketahui : alas segitiga (AB) = 6 cm Tinggi segitiga (AC) = 8 cm Tinggi limas (AT) = 8 cm Ditanya : volume limas (v)? Jawab : 1 𝑣 = × 𝐿𝑎𝑙𝑎𝑠 × 𝑡 3 1 1 𝑣 = × ( × 𝑎 × 𝑡) × 𝑡 3 2 1 1 𝑣 = × ( × 𝐴𝐵 × 𝐴𝐶) × 𝐴𝑇 3 2 1 1 𝑣 = × ( × 6 × 8) × 8 3 2 1 1 𝑣 = × ( × 48) × 8 3 2 1 𝑣 = × 24 × 8 3 1 𝑣 = × 192 3 𝑣 = 64 𝑐𝑚3 Jadi volume limas tersebut adalah 64 cm3



14 DAFTAR PUSTAKA http://www.rumusmatematikadasar.com/2016/05/contoh-soal-dan-pembahasan-volumelimas.html, Diakses pada tanggal 26 Mei 2018 https://www.rumusmatematika.org/2015/06/limas.html?m=1 , diakses pada tanggal 27 Mei 2018 https://mafia.mafiaol.com/2014/02/soal-dan-pembahasan-luas-permukaan-limas.html, Diakses pada tanggal 26 Mei 2018 http://rumusrumus.com/rumus-volume-limas-segitiga/, Diakses pada tanggal 27 Mei 2018 http://www.scribd.com, diakses pada tanggal 26 Mei 2017 http://zenius-study.weebly.com/uploads/6/7/3/3/6733740/mat221.pdf , diakses pada tanggal 27 Mei 2018