Makalah Geometri [PDF]

Citation preview

MAKALAH PERBANDINGAN GEOMETRI EUCLID, GEOMETRI INSIDENSI, DAN GEOMETRI NETRAL



DISUSUN OLEH : Kelompok 5 Nama Mahasiswa



: 1. Desi S Simanullang



(4182111036)



2. Fadlan Alkhairi



(4193311017)



3. Intan Ramadhani Gultom



(4183311031)



4. Irna Dwi Rizki Ronahaya Pohan



(4181111044)



5. Sodo Lanang BJ Katio



()



6. Wardatul Mawaddah Tanjung



(4183111057)



Dosen Pengampu



: Pardomuan N. J. M. Sinambela, S.Pd., M.Pd.



Mata Kuliah



: Geometri Euclid dan Non Euclid



PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2021



KATA PENGANTAR Segala puji bagi Tuhan Yang Maha Esa yang telah menolong hamba-Nya menyelesaikan makalah ini dengan penuh kemudahan. Tanpa pertolongan Dia mungkin kami tidak akan sanggup menyelesaikan dengan baik. Makalah ini disusun agar pembaca dapat memperluas ilmu tentang “Geometri Euclid, Geometi Insidensi, dan Geometri Netral”, yang kami sajikan berdasarkan pengamatan dari berbagai sumber. Makalah ini kami susun dengan berbagai rintangan. Baik itu yang datang dari diri kami sendiri maupun yang datang dari luar. Namun dengan penuh kesabaran dan terutama pertolongan dari Tuhan yang Maha Esa akhirnya makalah ini dapat terselesaikan. Makalah ini menjelaskan tentang “Perbandingan Geometri Euclid, Geometi Insidensi, dan Geometri Netral”. Kami juga mengucapkan banyak terima kasih kepada dosen yang telah membimbing kami agar dapat menyelesaikan makalah ini. Semoga makalah ini dapat memberikan wawasan yang lebih luas kepada pembaca. Walaupun makalah ini memiliki kelebihan dan kekurangan. Kami mohon untuk saran dan kritiknya. Terima kasih.



Medan,



April 2021



Kelompok 5



i



DAFTAR ISI COVER KATA PENGANTAR.............................................................................................................................i DAFTAR ISI..........................................................................................................................................ii BAB I. PENDAHULUAN.....................................................................................................................1 1.1 Latar Belakang.............................................................................................................................1 1.2 Rumusan Masalah........................................................................................................................2 1.3 Tujuan..........................................................................................................................................2 1.4 Manfaat........................................................................................................................................2 BAB II. PEMBAHASAN.......................................................................................................................3 2.1 Materi Geometri Euclid, Insidensi dan netral...............................................................................3 2.1.1 Geometri Euclid.....................................................................................................................3 2.1.2 Geometri Insidensi...............................................................................................................13 2.1.3 Geometri Netral...................................................................................................................16 2.2 Perbandingan Geometri Euclid,netral dan isidensi.....................................................................23 BAB III. PENUTUP.............................................................................................................................25 3.1 Kesimpulan.................................................................................................................................25 3.2 Saran...........................................................................................................................................25 DAFTAR PUSTAKA............................................................................................................................iii



ii



BAB I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Geometri adalah struktur matematika yang membicarakan unsur dan relasi yang ada antara unsur tersebut. Titik, garis, bidang, dan ruang merupakan benda abstrak yang menjadi unsur dasar geometri. Berdasarkan unsur-unsur inilah, didefinisikan pengertian-pengertian baru atau berdasar pada pengertian-pengertian baru sebelumnya. Dalam geometri didapat juga sifat-sifat pokok, yaitu sifat-sifat pertama yang tidak berdasarkan sifat-sifat yang mendahuluinya yaitu aksioma dan posulat. Aksioma adalah suatu pernyataan yang kebenarannya diterima tanpa melalui pembuktian.berdasarkan sifat pokok tersebut dapat diturunkan sifat-sifat yang disebut dengan dalil. Dalil tersebut dapat juga dibentuk berdasarkan dalil sebelumnya. Dalil merupakan sebuah pernyataan yang kebenarannya dapat diterima melalui serangkaian pembuktian. Di dalam geometri terdapat geomeri euclid, geometri insidensi dan geometri netral. Geometri



Euclid



adalah



pembelajaran



geometri



yang



didasarkan



pada



definisi,



teorema/aksioma (titik, garis dan bidang) dan asumsi-asumsi dari seorang matematikawan yunani yakni Euclid. Postulat sejajar Euclid, yakni berupa satu kalimat penting dalam sejarah kontroversi intelektual, dapat dinyatakan sebagai berikut: Jika dua garis dibagi oleh garis transversal sedemikian sehingga jumlah dua sudut interiornya (sudut dalam) pada sisi transversal adalah kurang dari 180o, garis tersebut akan bertemu pada sisi transversal tersebut. Geometri insidensi merupakan geometri yang mendasari geometri Euclides. Geometri insidensi adalah geometri yang didasari oleh aksioma insidensi, geometri ini dapat dikatakan mendasari geometri Euclides yang telah dikenal sebelumnya. Geometri Euclides didasari pada lima aksioma berikut: (1) Kelompok aksioma insidensi. (2) Kelompok aksioma urutan. (3) Kelompok



aksioma



kekongruenan.



(4)Aksioma



kesejajaran



euclides.



(5)Aksioma



kekontinuan. Jadi dapat dikatakan bahwa geometri Euclides adalah sebuah geometri insidensi yang dilengkapi dengan kelompok aksioma-aksioma 2, 3, 4, dan 5. Dari Geometri Euclid dapat diambil sarinya berupa dua Geometri yang berlainan dalam dasar logikanya, pengertian pangkalnya dan aksiomanya. Salah satunya adalah Geometri Absolut atau Geometri Netral. Pada geometri netral dijelaskan bahwa melalui suatu titik di luar garis dapat dibuat garis yang sejajar dengan garis yang diketahui, tetapi ada satu hal yaitu melalui sebuah titik tersebut tidak perlu ada tepat satu garis yang sejajar dengan garis yang diketahui. Geometri netral dilengkapi dengan sistem aksioma kesetaraan, sistem aksioma urutan, dan sistem aksioma kekongruenan tentang ruas garis, sudut, dan segitiga. Geometri netral hanya berlandaskan empat postulat awal Euclid dan mengabaikan postulat kelima atau 1



postulat kesejajaran Euclid. Akan tetapi dalam geometri netral tetap dikenal istilah kesejajaran garis karena muncul pernyataan tentang garis yang sejajar melalui pembuktian suatu teorema 1.2 Rumusan Masalah Adapun rumusan masalah pada makalah ini antara lain : 1. Apakah yang dimaksud dengan geometri euclid? 2. Apakah yang dimaksud dengan geometri insidensi? 3. Apakah yang dimaksud dengan geometri netral? 4. Bagaimana perbandingan antara geometri euclid, geometri insidensi, dan geometri netral? 1.3 Tujuan Adapun tujuan pembuatan makalah ini antara lain : 1. Mengetahui apa yang dimaksud dengan geometri euclid. 2. Mengetahui apa yang dimaksud dengan geometri insidensi. 3. Mengetahui apa yang dimaksud dengan geometri netral. 4. Mengetahui perbandingan antara geometri euclid, geometri insidensi, dan geometri netral. 1.4 Manfaat Adapun manfaat dari pembuatan makalah ini antara lain : 1. Memberikan wawasan baru kepada pembaca mengenai geometri euclid, geometri insidensi, dan geometri netral. 2. Menambah pengetahuan tentang perbandingan antara geometri euclid, geometri insidensi, dan geometri netral.



2



BAB II. PEMBAHASAN 2.1 Materi Geometri Euclid, Insidensi dan netral 2.1.1 Geometri Euclid Geometri berasal dari Yunani, Geo dan Metri berarti tanah dan pengukuran. Geo cabang matematika yang mempelajari titik, garis, bidang, dan benda-benda ruang tentang sifat dan ukurannya serta hubungannya. Pengertian Pangkal Euclides dari Aleksandria, kira-kira 300 tahun sebelum Masehi. Dalam bukunya pertama dimulai dengan 23 definisi, 5 Postulat, 5 Aksioma, dan 45 Dalil. 2.1.1.1 Definisi Definisi adalah kata, frasa atau kalimat yang mengungkapkan makna, keterangan atau ciri utama dari orang, benda, proses atau aktivitas. Atau definisi adalah rumusan tentang ruang lingkup dan ciri-ciri suatu konsep yang menjadi pokok pembicaraan atau studi. Terdapat beberapa definisi dari geometri euclid ini antara lain sebagai berikut: Definisi 1 Titik ialah yang tidak mempunyai bagian (sesuatu yang punya posisi tetapi tidak punya dimensi). Definisi 2 Garis ialah panjang tanpa lebar. Definisi 3 Ujung-ujung suatu garis yang terletak rata dengan titik-titik padanya. Definisi 4 Sauatu garis lurus ialah garis yang terletak rata titik-titik padanya. Definisi 5 Suatu bidang adalah hanya mempunyai panjang dan lebar. Definisi 6 Sisi-sisi suatu bidang adalah garis. Definisi 7 Suatu bidang datar ialah suatu bidang yang terletak rata dengan garis-garis padanya. Definisi 8 Sudut bidang terbentuk dari dua garis pada bidang yang bertemu pada sebuah titik dan tidak terletak dalam sebuah garis lurus. Definisi 9 Dan ketika garis-garis yang membentuk sudut lurus, sudut tersebut disebut rectilinear. Definisi 10 Ketika garis lurus berdiri pada sebuah garis lurus dan membentuk sudut berdekatan yang besarnya sama, masing-masing sudut tersebut adalah sudut siku-siku, dan garis yang berdiri dikatakan tegak lurus dengan garis kurus tempatnya berdiri.



3



Definisi 11 Suatu sudut tumpul ialah sudut yang lebih besar dan dari suatu sudut siku-siku. Definisi 12 Sudut lancip ialah sudut yang lebih kecil dari suatu sudut siku-siku. Definisi 13 Sudut batas ialah ujungnya (akhirnya) sesuatu. Definisi 14 Suatu bangun adalah sesuatu yang termuat dalam suatu batas atau beberap batas. Definisi 15 Suatu lingkaran ialah suatu bangun datar yang termuat dalam 1 garis sedemikian hingga semua garis lurus yang melalui suatu titik dalam bangun itu dan mengenai garis tadi sama panjang. Definisi 16 Titik itu disebut titik lingkaran. Definisi 17 Suatu garis tengah lingkaran ialah sebarang garis lurus yang melalui titik pusat dan pada kedua arahnya berakhir pada keliling lingkaran dan garis itu membagi 2 sama lingkaran itu. Definisi 18 Suatu setengah lingkaran adalah bangun yang termuat dalam suatu garis tengah dan keliling lingkaran yang terbagi oleh garis tengah itu, titik pusat setengah lingkaran sama dengan titik pusat lingkaran. Definisi 19 Bangun-bangun garis lurus ialah bangun-bangun yang termuat dalam (dibatasi oleh) garisgaris lurus. Bangun-bangun Inlateral ialah yang dibatasi oleh tiga, Quadrilateral dibatasi oleh 4 dan Multilateral dibatasi oleh lebih dari 4 garis. Definisi 20 Dari bangun-bangun Trilateral (sisi tiga) suatu segitiga sama sisi ialah yang mempunyai 3 sisi sama, suatu segitiga sama kaki ialah yang hanya 2 sisinya sama dan suatu segitiga miring ialah semua sisinya tidak sama. Definisi 21 Dan titik itu disebut titik pusat lingkaran. Definisi 22 Selanjutnya dari bangun segitiga, suatu segitiga siku-siku yang mempunyai suatu sudut sikusiku, segitiga tumpul yang mempunyai sudut tumpul, segitiga lancip ketiga sudutnya lancip. Definisi 23 Bangun-bangun sisi 4 yaitu suatu bujur sangkar yang sama sisi dan bersudut siku-siku. Suatu 4 persegi panjang yang bersudut siku-siku tetapi tidak bersudut siku-siku. Suatu jajargenjang yang sisinya dan sudutnya yang berhadapan sama. Tetapi tidak sama sisi dan tidak bersudut siku-siku, sisi empat yang lain dari ini semua disebut trapesium.



4



Definisi 24 Garis-garis lurus pararel ( sejajar ) ialah garis lurus yang terletak dalam suatu bidang datar dan jika diperpanjang tak terbatas pada ke-2 arahnya tidak akan bertemu pada arah yang manapun 2.1.1.2 Postulat Postulat adalah asumsi yang menjadi pangkal dalil yang dianggap benar tanpa perlu membuktikannya, anggapan dasar untuk satu ilmu tertentu. Contoh postulat dalam geometri Euclid : Postulat 1 Melalui dua titik sebarang dapat dibuat garis lurus. Postulat 2 Ruas garis dapat diperpanjang secara kontinu menjadi garis lurus. Postulat 3 Melalui sebarang titik dan sebarang jarak dapat dilukis lingkaran. Postulat 4 Semua sudut siku-siku sama. Postulat 5 Jika suatu garis lurus memotong dua garis lurus dan membuat sudut-sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku, kedua garis tersebut jika diperpanjang tak terbatas, akan bertemu dipihak tempat kedua sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku. 2.1.1.3 Aksioma Aksioma adalah pendapat yang dijadikan pedoman dasar dan merupakan dalil pemula, sehingga kebenarannya tidak perlu dibuktikan lagi atau aksioma yaitu suatu pernyataan yang diterima sebagai kebenaran dan bersifat umum untuk semua cabang ilmu, tanpa memerlukan pembuktian. Beberapa aksioma yang diperlukan dalam geometri ruang dikemukakan oleh Euclid. Aksioma dasar dalam geometri antara lain: 1) Hal-hal yang sama dengan hal yang sama, satu dengan yang lainnya juga sama. 2) Jika sesuatu yang sama ditambah dengan sesuatu yang sama, jumlahnya sama. Aksioma bukan istilah matematika. Aksioma dalah sebuah pernyataan logika, yang bisa diterapkan dalam seluruh aspek kehidupan. Berikut beberapa aksioma dalam geometri Euclid. Aksioma 1 Benda-benda yang sama dengan suatu benda yang sama, satu sama lainnya juga sama. Aksioma 2 Jika suatu yang sama ditambah dengan suatu yang sama, jumlahnya sama. Aksioma3 Jika suatu yang sama dikurangi dengan suatu yang sama maka sisanya sama. Aksioma 4 Benda-benda yang berhimpit satu sama lain, suatu sama lainnya sama. AB = CD Berimpit sama panjang dan semua unsurnya 5



Aksioma 5 Seluruhnya lebih besar bagiannya. Aksioma 6 Suatu gambar geometri dapat dipindah tanpa mengubah bentuk dan besarnya. Aksioma 7 Setiap sudut mempunyai garis bagi.Tiap sudut bisa dibagi menjadi 2 garis bagi yang membagi 2 sudut sama sebar Aksioma 8 Setiap sudut mempunyai titik pertengahan. Aksioma 9 Setiap segmen garis dapat diperpanjang sehingga sama dengan luas garis yang diketahui Aksioma 10 Semua sudut siku-siku adalah sama atau semua sudut lurus adalah sama. 2.1.1.4 Teorema/Proposisi Teorema adalah suatu pernyataan matematika yang masih memerlukan pembuktian. Contoh dalam geometri : jika dua buah bidang yang berbeda beririsan (berpotongan) maka irisannya berupa garis. Sedangkan Proposisi adalah suatu hasil yang terbukti dan sering menarik, tetapi biasanya tidak lebih penting daripada suatu teorema. Contoh dalam geometri : Proposisi 1 Jika diberikan garis lurus dengan panjang terbatas, maka dapat dibuat segitiga sama sisi.



Bukti: Diberikan AB. Buat lingkaran L1 dengan pusat A dan jari-jari AB............... (postulat 3) Buat lingkaran L2 dengan pusat B dan jari-jari AB............... (postulat 3) L1 dan L2 berpotongan di C. Tarik garis dari A ke C dan dari B ke C............................ (postulat 1) Segitiga ABC adalah segituga sama sisi. Proposisi 2 Jika diberikan sebuah garis lurus dan sebuah titik di luar garis, maka melalui titik tersebut dapat dibuat garis lurus yang panjangnya sama dengan garis lurus yang diberikan.



6



Bukti: Diberikan garis AB dan titik C di luar AB. Buat lingkaran L1 dengan pusat B dan jari-jari AB............... (postulat 3) Tarik garis dari B ke C.................................................... (postulat 1) Buat segitiga sama sisi melalui BC.................................. (postulat 1) Namakan segitiga BCD Perpanjang BD sampai memotong L1 di E............................ (postulat 2) Buat lingkaran L2 dengan pusat D dan jari-jari DE............... (postulat 3) Perpanjang CD sampai memotong L2 di F............................. (postulat 2) BE = AB ............... (jari-jari L1)............................................................1) DE = DF ............. (jari-jari L2) DB + BE = DC + CF ....................................................... (Aksioma 1) Karena DB = DC ............................................................ (segitiga BCD sama sisi) Maka BE = CF ............................................................... (aksioma 2)...........2) Dari 1) dan 2) diperoleh AB = CF Proposisi 3 Jika diberikan dua garis lurus dengan panjang berbeda, maka garis lurus yang lebih panjang dapat dipotong sehingga panjangnya sama dengan garis lurus yang lebih pendek. Proposisi 4 Jika dua buah segitiga memiliki dua sisi bersesuaian yang panjangnya sama dan sudut-sudut yang dibentuk oleh kedua sisi tersebut besarnya juga sama, maka panjang sisi dan besar sudut yang bersesuaian lainnya juga sama. Proposisi 5 Dalam segitiga sama kaki, sudut-sudut alas besarnya sama dan jika kedua kaki diperparjang maka sudut-sudut di bawah alas juga sama besar. Proposisi 6 Jika dua sudut dalam sebuah segitiga besarnya sama, maka sisi-sisi yang berhadapan dengan sudut tersebut panjangnya juga sama. Proposisi 7 Jika alas dua buah segitiga berimpit, dan sisi-sisi yang bersesuaian pada dalam segitigasegitiga tersebut sama panjang dan searah, maka titik potong sisi-sisi yang bersesuaian dalam setiap segitiga berimpit. 7



Proposisi 8 Jika sisi-sisi yang bersesuaian dalam setiap segitiga panjangnya sama, maka sudut-sudut yang bersesauaian besarnya juga sama. Proposisi 9 11 Sudut rectilinear dapat dibagi menjadi dua sama besar. Proposisi 10 Garis lurus terbatas dapat dibagi menjadi dua bagian yang sama panjang



Proposisi 11 Jika diberikan sebuah garis lurus dan sebuah titik pada garis lurus tersebut, maka melalui titik tersebut dapat dibuat garis lurus yang tegak lurus pada garis lurus yang diberikan.



Bukti : Diberikan sebuah garis lurus AB , dan C terletak pada garis tersebut. Akan dibuktikan bahwa melalui titik C, dapat dibuat garis lurus yang tegak lurus dengan garis lurus AB. Misalkan titik D adalah sebarang titik pada AC, maka dapat dibuat garis CE yang sama dengan CD (Proposisi 2), dan melalui DE dapat dibuat segitiga sama sisi FDE (Proposisi 1) dengan FC di dalamnya. Akan ditunjukkan bahwa garis lurus FC membentuk sudut siku-siku terhadap garis lurus AB dari titik C yang diberikan. Karena DC sama dengan CE, dan CF adalah garis persekutuan, maka kedua garis lurus DC dan CF sama dengan masing-masing dua garis lurus EC dan CF. FDE adalah segitiga sama sisi, maka DF sama dengan FE, sehingga sudut DCF sama dengan sudut ECF (proposisi 8), dan mereka saling berdekatan. Berdasarkan definisi 10,” ketika garis lurus berdiri pada sebuah garis lurus dan membentuk sudut berdekatan yang besarnya sama, masing-masing sudut tersebut adalah sudut siku-siku, dan garis yang berdiri dikatakan tegak lurus dengan garis lurus tempatnya berdiri”. Sehingga masing-masing sudut DCF dan FCE adalah sudut siku-siku, dan terbukti bahwa garis lurus FC membentuk sudut siku-siku terhadap garis lurus AB dari titik C yang diberikan. Proposisi 12 Jika diberikan sebuah garis lurus dan sebuah titik di luar garis lurus tersebut, maka melalui titik tersebut dapat dibuat garis lurus yang tegak lurus pada garis lurus yang di berikan.



8



Proposisi 13 Jika sebuah garis lurus berdiri pada sebuah garis lurus, maka akan membentuk dua sudut siku siku atau sudut yang jumlahnya sama dengan dua sudut siku siku. Proposisi 14 Diberikan sebuah garis lurus dan sebuah titik pada garis tersebut, jika dua daris lurus melalui titik tersebut dan membentuk sudut yang besarnya sama dengan dua kali sudut siku-siku, maka kedua garis lurus tersebut segaris. Proposisi 15 Jika dua buah garis lurus berpotongan, maka akan terbentuk dua sudut bertolak belakang yang besarnya sama Akibat : jika dua buah garis lurus berpotongan, maka sudut-sudut pada titik potong tersebut jumlahnya sama dengan empat sudut siku siku. Proposisi 16 Jika salah satu sisi dalam segitiga diperpanjang, maka sudut eksteriornya lebih besar dari pada sudut interior yang tidak bersisian.



Bukti: Misalkan diketahui segitiga ABC dan D pada perpanjangan BC. Pertama kita tunjukkan bahwa sudut luar ACD > A. Potong AC menjadi 2 bagian, misalkan di E ............... (proposisi 10) Perpanjang BE melalui E hingga ke F sedemikian sehingga BE = EF .............. (postulat 2) Karena AE = EC BE = EF AEB = CEF (bertolak belakang) Maka ∆AEB ≅ ∆CEF (ss-sd-ss) ............. (proposisi 4) Jadi BAE = FCE (sudut yang bersesuaian) Karena ACD > FCE .............. (aksioma 5) Maka ACD > BAE = A ............. (BAE = FCE) Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ACD > B Perpanjang AC melalui C hingga ke H Perpanjang AM melalui M hingga ke G sedemikian sehingga AM = MG ......... (postulat 2) Karena BM = MC, AM = MG, AMB = CMG (bertolak belakang) Maka ∆AMB ≅ ∆CMG (ss-sd-ss).............. (proposisi 4) Jadi ABM = GCM (sudut yang bersesuaian) 9



Karena MCH > GCM .......... (aksioma5) Maka MCH > ABM = B ............... (ABM = GCM) Karena MCH = ACD ........... (bertolak belakang) Maka ACD > B TERBUKTI Proposisi 17 Jumlah dua sudut dalam segitiga kurang dari dua sudut siku-siku.



Bukti:



Misalkan diketahui  ABC. Akan ditunjukkan bahwa  A +  B < dua sudut siku-siku. Karena Geo Euclid menitik beratkan pembuktian pada gambar, dapat disimpulkan  ABD = dua sudut siku-siku –  B ......................... (1) Menurut aksioma 2, ”jika sesuatu yang sama ditambah dengan sesuatu yang sama, nilainya sama” sehingga persamaan (1) menjadi:  ABD +  B = dua sudut siku-siku –  B +  B  ABD +  B = dua sudut siku-siku ......................... (2) Kemudian perpanjang CB melalui B ke titik D, maka  ABD adalah sudut luar  ABC. Berdasarkan Teorema 16. Dalam segitiga jika salah satu sisi diperpanjang, maka sudut eksteriornya lebih besar dari sudut interior yang tidak bersisian dengan sudut tersebut ” maka  ABD >  A ....................... (3) Dari (2), (3), dan aksioma 5, ”Seluruhnya lebih besar daripada sebagian” diperoleh:  A +  B < dua sudut siku-siku ............................... (4) Dengan cara yang sama dapat diperoleh:  A +  C < dua sudut siku-siku ............................... (5)  C +  B < dua sudut siku-siku ............................... (6) Dari (4), (5), dan (6) terbukti bahwa dalam segitiga jumlah dua sudut kurang dari dua sudut siku-siku. TERBUKTI Proposisi 18 Dalam segitiga, sudut dihadapan sisi yang lebih panjang juga lebih besar. Proposisi 19 Dalam segitiga, sisi dihadapan sudut yang lebih besar juga lebih panjang. Proposisi 20 Jumlah dua sisi dalam segitiga lebih besar dari sisi yang lainnya. 10



Proposisi 21 Jika dari ujung-ujung salah satu sisi segitiga dibuat dua garis lurus sedemikian hingga membentuk segitiga baru, maka jumlah kedua sisi (yang tidak berimpit) segitiga baru lebih kecil daripada jumlah kedua sisi (yang tidak berimpit) segitiga awal, tetapi besar sudut yang dibentuk lebih besar. Proposisi 22 Jika diberikan tiga garis lurus maka dari garis lurus, maka dapat dibentuk sebuah segitiga. 15 Proposisi 23 Jika diberikan sebuah sudut dan sebuah garis lurus, maka melalui garis lurus tersebut dapat dibuat sudut yang besarnya sama dengan yang diberikan. Proposisi 24 Jika dua buah segitiga memiliki dua sisi yang bersesuaian, tetapi sudut yang dibentuk oleh sisisisi tersebut pada segitiga pertama lebih besar, maka alas segitiga pertama lebih panjang. Proposisi 25 Jika dua buah segitiga memiliki dua bersesuaian sisi yang sama besar, tetapi sisi lainnya pada segitiga pertama lebih besar daripada yang di segitiga yang ke dua, maka sudut yang berhadapan dengan sisi yang lebih besar pada segitiga pertama juga lebih besar daripada yang di segitiga ke dua. Proposisi 26 Jika dua buah segitiga memiliki dua sudut bersesuaian sama besar dan sisi yang terkait dengan sudut-sudut tersebut sama panjang, maka sudut dan sisi yang bersesuaian lainnya juga sama besar. Proposisi 27 Jika sebuah garis lurus memotong dua garis lurus dan membentuk sudut dalam berseberangan yang sama besar, maka kedua garis lurus yang dipotong btersebut sejajar.



Bukti: Misalkan sebuah garis transversal memotong dua garis k dan m di titik A dan B dan membentuk sepasang sudut dalam bersebrangan  1 dan  2 yang sama. Andaikan k dan m tidak sejajar, maka keduanya berpotongan di titik C, dan membentuk ∆ABC. Titik C terletak di sebelah kiri AB atau di sebelah kanannya. Dalam hal ini sudut luar ∆ ABC sama dengan sudut dalam yang tidak bersisian dengannya (  1=  2). Hal ini kontradiksi dengan proposisi16, jadi pengandaian salah. Garis m dan k sejajar. TERBUKTI Proposisi 28 11



Jika sebuah garis lurus memotong dua garis lurus dan membentuk sudut eksterior sama dengan sudut interior yang tidak bersisian (sehadap), atau jumlah sudut interiornya sama dengan dua sudut siku-siku, maka kedua garis lurus yang dipotong tersebut sejajar. Proposisi 29 Jika sebuah garis lurus memotong dua garis lurus yang sejajar dan membentuk sudut dalam berseberangan yang sama besar, maka sudut eksterior sama dengan sudut interior yang tidak bersisian (sehadap), dan jumlah sudut interiornya sama dengan dua sudut siku-siku. Proposisi 30 Jika dua buah garis lurus sejajar dengan sebuah garis lurus, maka kedua garis lurus tersebut sejajar satu sama lain. Proposisi 31 Melalui sebuah titk di luar garis lurus dapat dibuat garis lurus yang sejajar dengan garis lurus tersebut. Proposisi 32 Dalam sebuah segitiga, jika salah satu sisi diperpanjang, maka besar sudut eksterior sama dengan jumlah besar sudut interior yang tidak bersisian. Proposisi 33 Garis lurus yang terkait dengan ujung-ujung garis lurus yang sejajar dan sama panjang juga sejajar dan sama panjang. Proposisi 34 Dalam jajar genjang, sudut-sudut yang tidak bersisian (berhadapan) sama besar dan diagonalnya membagi dua daerahnya sama besar. Proposisi 35 Jika dua buah jajargenjang terletak pada garis-garis sejajar yang sama dan alasanya berimpit maka luas kedua jajargenjang tersebut sama. Proposisi 36 Jika dua buah jajargenjang terletak pada garis-garis sejajar yang sama dan alasanya sama panjang maka luas kedua jajargenjang tersebut sama. Proposisi 37 Jika dua buah segitiga terletak pada garis-garis sejajar yang sama dan alasnya berimpit maka luas kedua jajargenjang tersebut sama. Proposisi 38 Jika dua buah segitiga terletak pada garis-garis sejajar yang sama dan alasanya sama panjang maka luas kedua jajargenjang tersebut sama. Proposisi 39 Jika dua buah segitiga memiliki luas yang sama dan alasnya serta sisinya berimpit, maka kedua segitiga tersebut terletak pada garis-garis sejajar yang sama. Proposisi 40 Jika dua buah segitiga memiliki luas yang sama dan alasnya serta sisinya sama panjang, maka kedua segitiga tersebut terletak pada garis-garis sejajar yang sama. 12



Proposisi 41 Jika sebuah jajargenjang memiliki alas yang berimpit dengan alas sebuah segitiga dan terletak dalam garis sejajar yang sama, maka luas jajargenjang sama dengan dua kali alas segitiga. Proposisi 42 Jika diberikan sebuah segitiga dan sebuah sudut rectilinear, maka melalui sudut rectilinier tersebut dapat dibuat jajargenjang yang luasnya sama dengan dua kali luas segitiga tersebut. Proposisi 43 Dalam jajargenjang, komplemen-komplemen jajargenjang pada diagonal memiliki luas yang sama. Proposisi 44 Jika diberikan sebuah garis lurus, sebuah sudut rectilinear, dan sebuah segitiga, maka melalui sudut dan garis lurus tersebut dapat dibuat sebuah jajargenjang yang luasnya sama dengan dua luas segitiga yang diberikan. Proposisi 45 Jika diberikan sebuah sudut dan sebuah bidang rectilinear, maka melalui sudut tersebut dapat dibuat jajargenjang yang luasnya sama dengan bidang yang diberikan. Proposisi 46 Melalui sebuah garis dapat dibuat sebuah jajargenjang. Proposisi 47 Dalam segitiga siku-siku, kuadrat sisi di hadapan sudut siku-siku sama dengan jumlah kuadrat dua sisi yang lainnya. Proposisi 48 Jika dalam segitiga kuadrat salah satu sisi sama dengan jumlah kuadrat dua sisi yang lainnya, maka sudut yang dibentuk oleh dua sisi yang lainnya tersebut adalah siku-siku. 2.1.2 Geometri Insidensi Geometri insidensi adalah geometri yang didasari oleh aksioma insidensi, geometri ini dapat dikatakan mendasari geometri Euclides yang telah dikenal sebelumnya. Geometri Euclides didasari pada lima aksioma berikut: 1. 2. 3. 4. 5.



Kelompok aksioma insidensi. Kelompok aksioma urutan. Kelompok aksioma kekongruenan. Aksioma kesejajaran Euclides. Aksioma kekontinuan



Jadi dapat dikatakan bahwa geometri Euclides adalah suatu geometri insidensi yang dilengkapi dengan kelompok aksioma-aksioma 2, 3, 4 dan 5. 2.1.2.1 Aksioma-Aksioma Insidensi Terdapat unsur tidak terdefinisi yaitu titik, garis dan bidang. Ketiga unsur ini dikaitkan satu sama lain dengan suatu aksioma pada geometri insidensi. Sistem aksioma yang digunakan adalah aksioma insidensi yang terdiri dari enam aksioma sebagai berikut: 1. Garis adalah himpunan titik-titik yang mengandung paling sedikit dua titik. 13



2. Dua titik yang berlainan terkandung dalam tepat satu garis (satu dan tidak lebih dari satu garis). 3. Bidang adalah himpunan titik-titik yang mengandung paling sedikit tiga titik yang tidak terkandung dalam satu garis (tiga titik yang tak segaris atau tiga titik yang tak kolinier). 4. Tiga titik yang berlainan yang tak segaris terkandung dalam satu dan tidak lebih dari satu bidang. 5. Apabila suatu bidang memuat dua titik berlainan dari suatu garis, maka bidang itu akan memuat setiap titik pada garis tersebut (garis terkandung dalam bidang itu atau garis terletak dalam bidang itu). 6. Apabila dua bidang bersekutu pada suatu titik maka kedua bidang itu akan bersekutu pada titik kedua yang lain. Definisi 1 Suatu himpunan titik-titik bersama dengan himpunan bagian seperti garis dan bidang yang memenuhi aksioma 1 sampai 6 disebut suatu geometri insidensi. Teorema 1 Dua garis yang berbeda bersekutu paling banyak pada satu titik. Definisi 2 Suatu garis yang memuat titik A dan titik B yang berbeda disebut garis AB Teorema 2 Apabila titik A tidak pada garis BC maka titik A , B , dan C berlainan dan tidak kolinier Bukti : Menurut ketentuan B≠ C. Andaikan A=B, oleh karena B∈ BC (B pada garis BC) maka A ∈ BC. Hal ini berlawanan dengan yang diketahui sehingga pengumpamaan A=B adalah tidak benar, maka haruslah A ≠ B. Begitu pula dengan cara yang sama dapat dibuktikan A ≠ C, jadi A , B , C berlainan. Untuk membuktikan titik A , B , C tak segaris dimisalkan A , B , C segaris maka akan ditunjukkan adanya krontradiksi. Andaikan titik A , B , C segaris maka ada garis g yang memuat A , B , dan C. Oleh karena g memuat b dan C dan B≠ C maka g=BC, hal ini kontradiksi dengan yang diketahui bahwa A tidak pada garis BC. Sehingga pengandaian bahwa A , B , C segaris mengakibatkan kontradiksi. Ini berarti A , B , C tidak segaris (tidak kolinier). Teorema 3 Suatu garis dan suatu titik yang tidak pada garis itu termuat dalam tepat satu bidang. Bukti : Misalkan A titik dan g garis dengan A ∉ g (tidak pada g). Menurut aksioma insidensi yang pertama ada dua titik berlainan pada g, misalkan titik tersebut B dan C, sehingga g=BC, jadi A ∉ BC. Menurut aksioma (2) A , B , dan C berlainan dan tidak segaris. Menurut aksioma (4) titik A , B , dan C termuat dalam satu bidang, katakanlah bidang tersebut bidang V . Oleh karena B∈ V dan C ∈ V maka, menurut aksioma (5) BC=g ⊂ V (V memuat g). Misalkan ada bidang lain V ' yang memuat garis g dan titik A jadi V ' memuat pula B dan C. Ini berarti V ' memuat A , B , dan C, menurut aksioma (4) V ' =V . Jadi C adalah satu-satunya bidang yang 14



memuat g dan A karena jika ada bidang lain yang memuat A , B , dan C bidang tersebut akan sama dengan bidang V . Definisi 3 1. Misalkan A ∉ g (titik A tidak pada garis g), bidang yang memuat garis g dan titik A kita tulis sebagai gA. 2. Misalkan titik A , B , dan C berlainan dan tidak kolinier, bidang yang memuat A , B , dan C kita tulis sebagai ABC. Definisi 4 Dua garis l dan m dinamakan sejajar (ditulis l // m) apabila 1. l dan m termuat dalam satu bidang dan 2. l dan m tidak memiliki titik sekutu Teorema 4 Apabila l // m maka l dan m termuat dalam satu bidang. Bukti : Menurut definisi kesejajaran garis, ada suatu bidang V yang memuat l dan m. Misalkan bidang V ' juga memuat l dan m, apabila titik A ∈m maka V ' dan V memuat l dan titik A. Menurut Teorema 3, haruslah V ' =V , jadi hanya ada satu (unik) bidang yang memuat dua garis yang sejajar. Teorema 5 Jika dua garis yang berbeda berpotongan, maka garis itu termuat dalam tepat satu bidang. Bukti : Misalkan l dan m garis yang berbeda yang berpotongan, misalkan pula A ∈l dan A ∈m (sebab l dan m berpotongan). Menurut Teorema 1 ada B∈ m dan B≠ A ; B ∉l. Maka ada sebuah bidang V yang memuat l dan B. Oleh karena V memuat l maka V memuat A, sehingga V juga memuat m. Jadi V memuat l dan m (bukti selesai). Teorema 6 Apabila dua bidang yang berlainan berpotongan maka himpunan titik potongnya adalah suatu garis. Bukti : Misalkan P dan Q dua bidang berbeda yang berpotongan, misalkan juga A salah satu titik temunya (potongnya). Jadi A ∈ P dan A ∈Q, maka ada titik kedua B dengan B∈ P dan B∈ Q (aksioma 6), jadi juga AB ⊆ P dan AB⊆ Q (aksioma 5). Ini berarti tiap titik AB termuat di P dan di Q atau AB⊂ P ∩Q, akan dibuktikan P ∩Q= AB. Telah dibuktikan di atas bahwa AB ⊂ P ∩Q selanjutnya membuktikan bahwa P ∩Q⊂ AB. Misalkan C ∈ P ∩Q dan misalkan C ∉ AB. Oleh karena AB dan C termuat dalam P dan dalam Q, maka P=Q (teorema 3). Hal ini bertentangan dengan yang diketahui. Jadi pemisalan bahwa C ∉ AB menimbulkan kontradiksi, sehingga haruslah C ∈ AB ini berarti bahwa P ∩Q⊂ AB. Oleh karena telah terbukti bahwa AB ⊂ P ∩Q maka P ∩Q⊂ AB. Akibatnya Apabila ada garis g dengan g ⊂V dan g ⊂W maka g=V ∩W . Definisi 5 15



Dua bidang V dan W disebut sejajar (ditulis V // W ) apabila V dan W tidak memiliki titik temu. Teorema 7 Tiap bidang memuat paling sedikit 3 garis yang tidak kongruen. Definisi 6 Apabila dua garis tidak sebidang dikatakan bahwa dua garis itu bersilangan. Teorema 8 Misalkan diketahui 4 titik A , B , C dan D yang berlainan, tidak kolinier dan tidak sebidang maka berlaku: 1. 2. 3. 4.



Apabila diketahui suatu bidang, maka ada suatu titik yang tidak terletak pada bidang itu. Apabila diketahui suatu garis, maka ada garis yang menyilangnya. Apabila diketahui suatu titik, maka ada suatu bidang yang tidak memuat titik tersebut. Ada paling sedikit enam garis dan paling sedikit empat bidang.



Definisi 7 Suatu model geometri insidensi adalah sistem ( S1 , S 2 , S3 ) yang terdiri atas tiga himpunan tertentu S1 , S 2 , S 3 . Anggota-anggota himpunan tersebut masing-masing dinamakan titik, garis, dan bidang yang memenuhi aksioma-aksioma (1) sampai dengan (6), dengan sendirinya teorema-teorema insidensi akan berlaku pada model tersebut. Geometri insidensi disebut planar atau berdimensi dua apabila S3 terdiri hanya atas satu bidang. Disebut berdimensi tiga, apabila S3 terdiri lebih dari satu bidang. 2.1.3 Geometri Netral 2.1.3.1 Pengertian Pangkal, Postulat, Definisi pada Geometri Netral Dalam geometri netral tidak diperhatikan pastulat kesejajaran dari Euclides, maka geometri ini disebut geometri absolut atau gemoetri netral. Geometri absolut ini termuat dalam geometri terurut, jadi pengertian pangkal geometri terurut juga menjadi pengertian pangkal geometri absolut. Selain itu diperkenalkan pengertian pangkal ketiga yaitu kongruensi, suatu relasi untuk pasangan titik, segmen dan interval. . Jika segmen AB kongruen dengan segmen CD, maka untuk menyatakan ini digunakan notasi AB ≡ CD. Pengertian ini tidak didefenisikan. Pengertian pangkal geometri absolut, menurut Pasch ialah a. Titik-titik A, B, C, D, … b. Keantaraan c. Kongruensi. Titik dipandang sebagai unsur yang tidak didefinisikan dan keantaraan dan kongruensi sebagai relasi-relasi yang tidak didefinisikan. Adapun aksioma-aksioma kongruensi adalah sebagai berikut :  Aksioma 6.1



16



Jika A dan B titik berlainan, maka pada sebarang sinar yang berpangkal di C dan tepat satu titik D sedemikian, hingga AB ≡CD.  Aksioma 6.2 Jika AB ≡ CD dan CD ≡ EF, maka AB ≡ EA.  Aksioma 6.3 AB ≡ BA  Aksioma 6.4 Jika [ABC] dan [A’B’C’] dan AB  A’B’ dan BC  B’C’, maka AC  A’C’.  Aksioma 6.5 Jika ABC dan A’B’C’ adalah dua segitiga dengan BC  B’C’, CA  C’A’. AB  A’B’, sedang D dan D’ adalah dua titik berikutnya sedemikian, hingga [BCD] dan [B’C’D’] dan BD  B’D’, maka AD  A’D’.  Definisi 6.1 Suatu sudut siku-siku ialah suatu sudut yang kongruen dengan pelurusnya (suplemennya); besarnya suatu sudut siku-siku sama dengan ½ .  Definisi 6.2 Lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r ialah tempat kedudukan titik P sedemikian hingga OP = r. Suatu titik Q yang memenuhi Q > r dikatakan ada di luar lingkaran. Suatu titik yang tidak pada dan tidak di luar lingkaran, dikatakan ada di dalam lingkaran. Kegagalan dalam usaha membuktikan postulat kesejajaran Euclides telah memberikan suatu isyarat adanya perkembangan teori-teori geometri yang kontradiksi dengan postulat kesejajaran ini. 2.1.3.2 Teori Saccheri dalam Geometri Netral Teorema geometri netral ini tepatnya disimpulkan dari empat postulat pertama Euclides kecuali postulat kesejajaran. Dalam mempelajari geometri netral kita bertolak dari sebagian teori Saccheri, tetapi tidak menggunakan apa yang ditetapkan Saccheri, yakni postulat kesejajaran Euclides harus dianggap valid. Kita pelajari geometri netral dengan cara mengamati teorema-teorema. Karena teorema akibatnya dibuktikan sebelum pengenalan postulat kesejajaran, demikian juga pada proposisi-proposisi geometri netral. Istilah yang digunakan dalam pengukuran segmen garis dan sudut, misalnya sudut siku-siku dan ukuran derajat sudut juga merupakan bagian dari geometri netral. 1. Jumlah sudut – sudut suatu segitiga Lemma 6.1 Jika diberikan  ABC dan  A. Maka ada segitiga A1B1C1 sedemikian sehingga A1B1C1 mempunyai jumlah sudut yang sama dengan  ABC, dan  A1  1 A 17



Bukti : Misalkan E titik tengah BC, dan F dipilih pada AE sedemikian hingga AE = EF dan E terletak antara A dan F. Maka ∆ BEA ≅ ∆ CEF dan sudut-sudut yang bersesuaian sama. Kita tunjukan ∆AFC adalah ∆A1B1C1 yang kita cari. Dengan memberikan nama sudut-sudutnya seperti pada gambar, kita tahu bahwa :  2 =  2’ ,  3



=  3’ dan



A+B+C



=1+2+3+4



=  1 +  2’ +  3’ +  4 =  CAF + AFC +  FCA Untuk melengkapi bukti, perhatikan  A =  1 + 2 yang berakibat  A =  1 +  2’ Pada persamaan tersebut, salah satu dari ruas kanan,  1 atau  2’ harus kurang atau sama 2 dengan setengah dari suku di ruas kiri yaitu  A. 1 A namakan A sebagai A1, jika tidak namakan F sebagai A1 kemudian 2 namakan dua titik yang lain dari AFC dengan B1 dan C1, maka lemma terbukti. Jika  1 ≤



Sepintas, lemma ini tidak ada artinya, pada hal tidak, sebab dalam geometri netral kita tidak dapat mengasumsikan bahwa jumlah sudut dalam segitiga selalu konstan, yang hal ini merupakan teorema Euclides yang buktinya tergantung padapostulat kesejajaran. Oleh karena itu, lemma ini penting sebab lemma itu menunjukkan bahwa jika diberikan suatu segitiga tertentu, kita dapat membuat segitiga yang nonkongruen, tetapi mempunyai jumlah sudut yang sama. Dengan demikian berarti ada tak berhingga segitiga yang tidak kongruen, tetapi semuanya mempunyai jumlah sudut yang sama dengan segitiga yang diberikan. 2.1.3.3 Teorema 6.1 (SACCHERI – LEGENDRE). Jumlah sudut sebarang segitiga kurang atau sama dengan 180°. A. Teorema Akibat (corollary). Jumlah sudut sebarang segiempat kurang atau sama dengan 360°. Teorema akibat ini sejalan dengan kesimpulan Saccheri bahwa hipotesis sudut tumpul adalah salah. Demikian 18



juga, teorema ini menyangkal bahwa jumlah sudut suatu segitiga dapat melebihi 180°. Tetapi kemungkinan bahwa jumlah sudut dalam segitiga kurang dari 180°, yang bersesuaian dengan hipotesis Saccheri tentang sudut lancip menarik perhatian kita sendiri. B. Adakah persegi panjang itu ? Adanya persegi panjang dalam geometri merupakan yang penting. Bayangkan, bagaimana bentuk geometri Euclides jika kita tidak punya atau tidak dapat menggunakan persegi panjang. Tentu saja sulit sekali akan membuat suatu persegi panjang tanpa mengasumsikan kebenaran postulat kesejajaran Euclides, atau salah satu dari teorema akibatnya, misalnya jumlah sudut segitiga adalah 180°. Akibatnya, seluruh teorema dalam pembahasan ini dapat dianggap bahwa persegi panjang itu ada. Untuk menghindari kesalah pahaman, secara formal kita definisikan istilah persegi panjang sebagai berikut. Definisi 6.3 Suatu segiempat disebut persegi panjang jika semua sudutnya adalah siku-siku. Ingat, karena Kita mempelajari geometri netral, tidak otomatis kita dapat menggunakan proposisi Euclides Yang terkenal seperti : a. sisi-sisi yang berhadapan dari suatu persegi panjang adalah sejajar, atau b. sisi-sisi tersebut sama panjang, atau c. diagonal persegi panjang membagi persegi panjang menjadi dua segitiga yang kongruen. Jika kita ingin menyatakan sebarang akibat, kita harus membuktikannya dengan berdasarkan definisi di atas tanpa menggunakan postulat kesejajaran. Teorema 6.2 Jika ada sebuah persegi panjang, maka akan ada juga sebuah persegi panjang dengan salah satu sisinya lebih panjang dari pada ruas garis tertentu. Dengan kata lain, jika ada persegi panjang ABCD dan ruas garis XY. Maka ada persegi panjang yang satu sisinya lebih panjang dari pada XY.



Bukti : Kita gunakan ABCD sebagai “kotak pembangun” (building block), untuk melukis persegi panjang yang kita inginkan. Lukis segi empat D2C2CD yang kongruen dengan ABCD sedemikian hingga C2D2 dan BA berlainan pihak terhadap CD. (Caranya dengan memperpanjang BC ke arah C sehingga panjang CC2 sama dengan BC dan memperpanjang 19



AD ke arah D sehingga panjang DD2 sama dengan AD). Maka D2C2CD adalah persegi panjang. Lebih dari itu, B, C, C2 terletak pada satu garis, karena hanya ada satu garis yang tegak lurus pada CD di A. demikian juga A, D, D2 terletak dalam satu garis. Jadi ABCC2D2D merupakan segiempat ABC2D2, dan merupakan persegi panjang. Ingat bahwa ABC2D2 mempunyai sifat : AD2 = 2 AD Dengan cara yang sama, lukis D3C3C2D2 kongruen dengan DCC2D2 sehingga C3D3 dan CD bersesuaian letaknya dan berlainan pihak terhadap C2D2. Akibatnya ABC3D3 adalah persegi panjang, dan AD3 = 3 AD Selanjutnya dengan cara yang sama, kita dapatkan bahwa untuk sebarang bilangan bulat positif n ada persegi panjang ABCnDn sedemikian hingga : ADn = n AD Pilih n cukup besar sehingga n AD > XY. Dengan demikian, persegi panjang ABCnDn merupakan persegi panjang yang kita inginkan. Teorema 6.3 Jika ada sebuah persegi panjang, maka ada persegi panjang dengan panjang dua sisi yang berdekatan masing-masing sama dengan XY dan ZW.



Bukti : Cara kita membuktikan seperti apa yang dilakukan penjahit. Dengan menggunakan teorema akibat terdahulu, maka kita memiliki persegi panjang PQRS dengan PQ > XY dan PS > ZW; kemudian kita potongnya sedemikian hingga panjang PQ = XY dan PS = ZW. Jadi ada titik Q’ pada PQ sedemikian hingga PQ’ = XY. Dari titik Q’ ditarik garis yang tegak lurus RS dengan kaki R’. kita tunjukkan bahwa PQ’R’S’ adalah persegi panjang. Sudut P, R’ dan S adalah siku-siku. Kita tunjukkan pula bahwa PQ’R’ juga siku-siku. Andaikan  PQ’R’S’ > 360°, kontradiksi dengan akibat dari teorema 6.1. Andaikan  PQ’R’ < 90°, maka  QQ’R > 90° dan jumlah sudut segi empat PQ’R’S > 360°, kontradiksi dengan akibat dari teorema 6.1. Andaikan PQ’R’ < 90°, maka QQ’R > 90° jumlah sudut segiempat QQ’R’R > 360° (kontradiksi). Jadi satu-satunya kemungkinan adalah PQ’R’ = 90’, dan PQ’R’S adalah persegi panjang. Dengan cara yang sama, ada titik S’ pada PS 20



sedemikian hingga PS’ = ZW. Tarik garis S’ tegak lurus Q’R’ dengan kaki R*. maka, sebagaiman di atas, PQ’R*S’ adalah persegi panjang. Sisi-sisinya yang berdekatan PQ’ dan PS’ masing-masing sama dengan XY dan ZW, dan teorema terbukti. Teorema 6.4 Jika ada sebuah persegi panjang, maka setiap segitiga siku-siku mempunyai jumlah sudut 180 °.



Prosedur pembuktiannya adalah dengan cara menunjukkan bahwa : 1. Setiap segitiga siku-siku adalah tiruan dari sebuah segitiga yang dibentuk dengan cara membelah persegipanjang pada diagonalnya. 2. Segitiga tersebut mempunyai jumlah sudut 180. Misalkan  ABC siku-siku di B. menurut Teorema 5.3, ada persegipanjang ABCD dengan AB = AB dan BC = BC. Hubungkan A dan C. Maka  ABC   ABC, dengan demikian  ABC dan  ABC mempunyai jumlah sudut yang sama. Misalkan : p adalah jumlah sudut  ABC dan q adalah jumlah sudut  ADC Maka : p + q = 4.90 = 360, ………………………... (1) Kita tunjukkan bahwa p = 180. Menurut Teorema 5.1, p = 180 atau p < 180. Andaikan p < 180. Dari persamaan (1) diperoleh q > 180 (bertentangan dengan teorema 1). Jadi p = 180. Teorema 6.5 Jika ada sebuah persegi panjang, maka setiap segitiga memiliki jumlah sudut 180°. Bukti :



Sekarang  ABC dapat dipotong menjadi dua segitiga siku-siku dengan menarik salah satu garis tinggi. Masing-masing segitiga ini mempunyai jumlah sudut 180 21



(Teorema 4). Oleh karena itu, sifat tersebut berlaku juga untuk sebarang  ABC.Ini merupakan hasil yang agak menyolok. Adanya satu persegi panjang yang kecil dengan satu sisi yang sangat kecil sekali yang menempati bagian daerah terpencil menjamin bahwa setiap segitiga yang mungkin (yang dapat dipikirkan) mempunyai jumlah sudut 180. Karena hal ini merupaka ciri khusus geometri Euclides, kita berusaha mengatakan bahwa jika dalam geometri itu menjadi geometri Euclides. Pernyataan ini benar, tetapi masih belum sepenuhnya ditunjukkan alasannya. Karena, untuk menggolongkan suatu geometri sebagai geometri Euclides, kita harus menunjukkan bahwa geometri tersebut memenuhi postulat kesejajaran Euclides. Hal ini akan dibahas pada bab berikutnya. C. Proposisi-proposisi Geometri Netral Bidang 1. Dua garis yang tidak berimpit mempunyai paling banyak satu titik potong. 2. Setiap segmen garis mempunyai tepat satu titik tengah. 3. Setiap sudut mempunyai tepat satu garis bagi. 4. Komplemen dari sudut-sudut yang sama adalah sama. 5. Sudut yang bertolak belakang besarnya sama. 6. Kongruensi dua segitiga adalah ss-sd-ss, sd-ss-sd, ss-ss-ss. 7. Jika dua sisi suatu segitiga adalah sama, sudut- sudut di hadapannya sama. 8. Jika dua sudut suatu segitiga sama, dua sisi di hadapannya sama. 9. Hanya ada satu garis yang tegak lurus garis tertentu melalui satu titik pada garis tertentu tersebut. 10. Hanya ada satu garis yang tegak lurus garis tertentu melalui satu titik di luar garis tertentu tersebut. 11. Titik T terletak pada sumbu segmen garis AB jika dan hanya jika TA = TB. 12. Jika dua sisi suatu segitiga tidak sama, maka sudut- sudut di hadapannya juga tidak sama, dan sudut yang lebih besar berhadapan dengan sisi yang lebih panjang. 13. Jika dua sudut suatu segitiga tidak sama, maka sisi- sisi di hadapannya juga tidak sama, dan sisi yang lebih panjang berhadapan dengan sudut yang lebih besar. 14. Segmen garis terpendek yang menghubungkan sebuah titik dan sebuah garis adalah segmen yang tegak lurus. 15. Jumlah panjang dua sisi lebih besar dari sisi yang ketiga. 16. Jika dua sisi dari segitiga yang pertama masing- masing sama dengan dua sisi segitiga yang kedua, dan sudut apit segitiga pertama lebih besar dari sudut apit segitiga kedua, maka sisi ketiga dari segitiga pertama lebih panjang dari sisi ketiga dari segitiga kedua. 17. Jika dua sisi dari segitiga yang pertama masing- masing sama dengan dua sisi segitiga yang kedua, dan sisi ketiga dari segitiga pertama lebih panjang dari sisi ketiga dari segitiga kedua, maka sudut apit segitiga kedua. 18. Besar sudut luar suatu segitiga adalah lebih besar dari salah satu sudut dalamnya yang tidak bersisian dengan sudut luar tersebut. 22



19. Jumlah dua sudut dari suatu segitiga adalah kurang dari 180o. 20. Jika dua garis dipotong oleh garis lain dan membentuk sepasang sudut dalam berseberangan yang sama dua garis tersebut sejajar. 21. Dua garis yang tegak lurus pada garis yang sama adalah sejajar. 22. Sekurang-kurangnya ada satu garis yang sejajar dengan suatu garis tertentu yang melalui titik di luar garis tertentu tersebut. 23. Misalkan garis 1 melalui titik C yang jaraknya ke pusat lingkaran kurang dari panjang jari-jarinya. Maka garis 1 memotong lingkaran di dua titik. 24. Sebuah garis merupakan garis singgung lingkaran jika dan hanya jika garis tersrebut tegak lurus pada jari-jari lingkaran. 25. Jika diketahui ∆ ABC dan segmen garis PQ sedemikian hingga PQ = AB, maka ada titik R di luar PQ sedemikian hingga ∆PQR ≅ ∆ABC. 26. Sebuah lingkaran dapat digambarkan melalui sebarang segitiga. 2.2 Perbandingan Geometri Euclid,netral dan isidensi Geometri Euclid adalah pembelajaran geometri yang didasarkan pada definisi, teorema/aksioma (titik, garis dan bidang) dan asumsi-asumsi dari seorang matematikawan yunani (330 B.C) yakni Euclid. Geometri Euclid mempelajari bidang datar. Kita dapat dengan mudah menggambarkannya dalam bidang datar. Kita bisa menggunakan buku atau kertas untuk mengetahui konsep-konsep dari geometri Euclid. Dalam bidang datar kita tahu bahwa: 1. Jarak terpendek dari dua titik adalah sebuah garis (dari dua buah titik bisa tepat dibuat satu garis). 2. Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180 derajat 3. Konsep dari jarak antar garis dapat diilustrasikan seperti pada gambar ini. Geometri Euclides sering disebut juga geometri parabolik, yaitu geometri yang mengikuti satu himpunan proposisi yang didasarkan pada lima postulat Euclid yang telah didefinisikan dalam bukunya The Elements. Lebih khusus, geometri Euclid berbeda dari jenis geometri lain dalam dalil kelima, sering disebut dengaan postulat paralel. Non-Euclidean geometri menggantikan postulat kelima ini dengan salah satu dari dua alternatif postulat dan mengarah ke geometri hiperbolik atau geometri eliptik. Ada dua jenis geometri Euclidean: geometri bidang, yang merupakan dimensi Euclidean geometri-dua, dan geometri padat, yang merupakan dimensi Euclidean geometri-tiga. Lima postulat Euclid dapat dinyatakan sebagai berikut : 1. Hal ini dimungkinkan untuk menggambar segmen garis lurus bergabung dengan dua titik. 2. Hal ini dimungkinkan untuk selamanya memperpanjang himpunaniap segmen garis lurus secara terus menerus dalam garis lurus. 3. Mengingat himpunaniap segmen garis lurus, adalah mungkin untuk menggambarlingkaran memiliki segmen sebagai jari-jari dan satu titik akhir sebagai pusatnya. 23



4. Semua sudut kanan sama satu sama lain atau kongruen. 5. Jika dua garis yang ditarik sehingga mereka berpotongan sepertiga sedemikian rupa sehingga jumlah dari sudut interior pada satu sisi kurang dari dua sudut yang tepat, maka mereka dua baris, jika diperpanjang cukup jauh, harus berpotongan satu sama lain pada sisi tertentu. Geometri Insidensi dapat dikatakan mendasari geometri Euclides, dapat dikatakan bahwa geometri Euclides adalah suatu geometri insidensi yang dilengkapi dengan kelompok aksioma-aksioma 2, 3, 4 dan 5. Geometri Insidensi ini dapat dikatakan mendasari geometri Euclides yang kita kenal semua. Menurut David Hilbert, Geometri Euclides didasarkan pada 5 kelompok aksioma yaitu: 1. 2. 3. 4. 5.



Kelompok aksioma insidensi Kelompok aksioma urutan Kelompok aksioma kongruensi Aksioma kesejajaran Euclides Aksioma kekontinuan



Geometri netral akan muncul disebabkan aksioma kesejajaran euclides dihilangkan. Geometri Netral (terkadang disebut sebagai geometri absolut) merupakan dasar-dasar geometri, Geometri Netral didasarkan kepada empat postulat pertama Euclid. Geometri Netral berlaku bagi Geometri Euclid maupun Hiperbolik. Geometri Netral merupakan geometri yang memenuhi enam postulat yang telah disebutkan yaitu postulat eksistensi, Postulat Insidensi, Postulat Penggaris, Postulat Pemisahan Bidang, Postulat Busur dan Postulat Sisi-Sudut-Sisi. Dalam geometri netral tidak diperhatikan pastulat kesejajaran dari Euclides, maka geometri ini disebut geometri absolut atau gemoetri netral. Geometri absolut ini termuat dalam geometri terurut, jadi pengertian pangkal geometri terurut juga menjadi pengertian pangkal geometri absolut. Teorema geometri netral ini tepatnya disimpulkan dari empat postulat pertama Euclides kecuali postulat kesejajaran. Dalam mempelajari geometri netral kita bertolak dari sebagian teori Saccheri, tetapi tidak menggunakan apa yang ditetapkan Saccheri, yakni postulat kesejajaran Euclides harus dianggap valid. Kita pelajari geometri netral dengan cara mengamati teorema-teorema. Karena teorema akibatnya dibuktikan sebelum pengenalan postulat kesejajaran, demikian juga pada proposisi-proposisi geometri netral. Istilah yang digunakan dalam pengukuran segmen garis dan sudut, misalnya sudut siku-siku dan ukuran derajat sudut juga merupakan bagian dari geometri netral.



24



BAB III. PENUTUP 3.1 Kesimpulan



3.2 Saran



25



DAFTAR PUSTAKA Juniati, D. 2012. Geometri Euclid. Surabaya: UNESA Press. Marlina. 2013. Ke-Isomorfismaan Geometri Insidensi. Lampung: UNILA Press. Prenowitz Walter & Meyer Jordan. 1989. Basic Concepts of Geometry. Ardsley House, United State of America.



iii