Makalah Limit Kekontinuan Fungsi Limit Tak Hingga Dan Limit Di Tak Hingga [PDF]

Citation preview

KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan YME, yang rahmat- Nya maka kami dapat menyelesaikan penyusunan makalah yang berjudul “ Kekontinuan Fungsi, Limit Tak Hingga Dan Di Tak Hingga “. Penulisan makalah ini adalah merupakan salah satu tugas dan persyaratan untuk menyelesaikan tugas mata kuliah kalkulus. Dalam penulisan makalah ini kami merasa masih banyak kekurangankekurangan baik pada teknis penulisan maupun materi, mengingat akan kemampuan yang dimiliki penulis. Untuk itu kritik dan saran dari semua pihak sangat kami harapkan demi penyempurnaan pembuatan makalah ini. Dalam makalah ini kami menyampaikan ucapan terima kasih yang tak terhingga kepada pihak- pihak yang telah membantu dalam menyelesaikan makalah ini, khususnya kepada dosen mata kuliah Kalkulus. Akhirnya penulis berharap semoga makalah yang berjudul “ Kekontinuan Fungsi, Limit Tak Hingga Dan Di Tak Hingga “ dapat bermanfaat untuk kita semua. Medan, 10 Oktober 2015 Penulis



1



BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Limit tak hingga dan limit di tak hingga merupakan suatu bagian dari kalkulus. 1.2



Tujuan 1. 2. 3. 4.



Dapat memahami tentang kekontinuan fungsi. Dapat memahami tentang limit tak hingga. Dapat memahami tentang limit di tak hingga. Dapat menguasai materi limit tak hingga dan di tak hingga.



2



BAB II PEMBAHASAN A. Kekontinuan Fungsi Kita tentunya tidak asing lagi dengan penggunaan kata kontinu dalam kehidupan sehari-hari. Kata ini biasanya digunakan untuk menggambarkan suatu proses yang berkelanjutan tanpa perubahan yang mendadak di dalamnya. Sebagai contoh, pertambahan kecepatan dari benda yang jatuh bebas dari ketinggian tertentu merupakan suatu proses pertambahan yang kontinu, sedangkan saldo tabunganmu di bank yang jumlahnya bisa saja berubah secara mendadak bukanlah merupakan hal yang kontinu (diskontinu). Agar kita lebih memahami perbedaan antara kontinu dan diskontinu, contoh dari perubahan kecepatan benda yang jatuh bebas dan perubahan saldo tabungan dapat dijelaskan melalui tabel berikut.



Mari amati grafik berikut. Kedua grafik ini menjelaskan perbedaan mendasar antara hal yang bersifat kontinu dan diskontinu.



3



Dari gambar di atas terlihat bahwa grafik fungsi yang kontinu tidak memiliki celah. Dengan kata lain, limit di sebarang titik sama dengan nilai fungsi di titik tersebut. Selanjutnya, mari pelajari kekontinuan dalam cakupan yang lebih khusus yaitu kekontinuan pada fungsi.



Pengertian Kekontinuan Fungsi Kekontinuan suatu fungsi dapat dilihat dari grafiknya. Pada kasus benda jatuh bebas, kecepatan benda dapat ditentukan pada sebarang waktu, sedangkan pada kasus saldo tabungan, kita tidak dapat menentukan jumlah saldo pada sebarang waktu tanpa melihat rincian dari transaksi yang telah dilakukan. Penggunaan grafik untuk menentukan kekontinuan fungsi kontinu kurang efisien, sehingga kita memerlukan suatu definisi yang secara tepat menjelaskan tentang kekontinuan fungsi.



Definisi Kekontinuan Fungsi di Suatu Titik Misalkan suatu fungsi f (x) terdefinisi pada suatu domain yang meliputi c. f (x) dikatakan kontinu di c apabila:



Jika syarat ini tidak terpenuhi, maka f (x) dikatakan diskontinu di c. Dengan kata lain, definisi kekontinuan fungsi di c ϵ Ɍ tersebut harus memenuhi 3 hal berikut:



Berdasarkan definisi kekontinuan fungsi, diperoleh kekontinuan fungsi-fungsi yang sudah kita kenal sebagai berikut. 1) Fungsi suku banyak Fungsi suku banyak terdefinisi dan kontinu di setiap bilangan real c. 2) Fungsi trigonometri Fungsi sinus dan cosinus terdefinisi dan kontinu di setiap bilangan real c. 4



3) Fungsi rasional (pecahan) Fungsi rasional terdefinisi dan kontinu di setiap bilangan real c, kecuali titik c yang membuat penyebutnya menjadi nol. 4) Fungsi akar pangkat n Untuk n bilangan ganjil fungsi akar pangkat n terdefinisi dan kontinu di setiap bilangan real c, sedangkan untuk n bilangan genap fungsi terdefinisi dan kontinu disetiap bilangan real positifc.



Contoh 1 Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu di x = 2.



Penyelesaian: • f (x) = x2 – x – 2 Mula-mula periksa apakah f (x) terdefinisi di x = 2.



Oleh karena f (x) terdefinisi untuk setiap x ϵ Ɍ, maka f (x) terdefinisi di x = 2. Tentukan nilai f (2). f (2) = 22 – 2 – 2 = 0. Ini berarti:



5



Jadi, f (x) kontinu di x = 2. • g (x) = x–1x–2 Mula-mula periksa apakah f (x) terdefinisi di x = 2. Oleh karena f (x) terdefinisi untuk setiap bilangan real x kecuali 2, maka f (x) tidak terdefinisi dix = 2. Oleh karena f (x) tidak terdefinisi di x = 2, maka syarat kekontinuan tidak terpenuhi. Jadi, f (x) tidak kontinu di x = 2



Kekontinuan Fungsi di Bawah Operasi Fungsi Suatu fungsi baru dapat diperoleh dengan mengoperasikan beberapa fungsi yang ada. Operasi yang lazim digunakan berupa perkalian, pembagian, penjumlahan, pengurangan, pemangkatan, penarikan akar, dan komposisi. Fungsi baru mempunyai sifat yang sama dengan fungsi-fungsi asalnya. Mari simak kekontinuan fungsi dibawah operasi fungsi berikut ini. Misalkan f (x) dan g (x) adalah fungsi-fungsi yang kontinu di x = c, c ϵ Ɍ, maka:        



k. f (x) dan k. g (x) dengan k adalah konstanta, kontinu di c. f (x). g (x) kontinu di c. f(x)g(x) kontinu di c dengan g (c) ≠ 0. f (x) + g (x) kontinu di c. f (x) – g (x) kontinu di c. f n (x) dan gn (x) dengan n bilangan asli, kontinu di c. f(x)√n dan g(x)√n kontinu jika f (c) dan g (c) positif dan n bilangan genap. (f o g) (x) dan (g o f) (x) kontinu di c.



Contoh 2 Tentukan kekontinuan fungsi-fungsi berikut dititik yang diberikan. • f (x) = (x2 – 1) (x + 2) di x = 3



6



• f (x) = tan x di x = π2 Penyelesaian: • f (x) = (x2 – 1) (x + 2) Fungsi f (x) = (x2 – 1) (x + 2) dapat dipandang sebagai perkalian dua fungsi yang masing-masing merupakan fungsi yang kontinu di setiap x = c, c ϵ Ɍ. Berdasarkan kekontinuan fungsi di bawah operasi fungsi, perkaliannya juga akan kontinu di setiap x = c, c ϵ Ɍ. Ini dibuktikan dengan saat x = 3 didapat:



Jadi, f (x) kontinu di x = 3. • f (x) = tan x Fungsi f (x) = tan x dapat dipandang sebagai fungsi yang berasal dari pembagian dua fungsi yaitu f (x) = sinx / cosx. Jadi,



Saat x = π2, nilai dari fungsi ini melibatkan pembagian dengan nol Ini berarti cos (π / 2) tidak memenuhi syarat penyebut ≠ 0. Jadi, fungsi ini diskontinu di x = π2.



Kontinu Kiri Dan Kontinu Kanan Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a jika



lim f ( x)  f (a)



xa 



7



Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a jika



lim f ( x)  f (a )



x a 



Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=a Contoh : Tentukan konstanta a agar fungsi  x  a, x  2 f ( x)   2 ax  1, x  2



Kontinu di x=2 Jawab : Agar f(x) kontinu di x=2, haruslah f kontinu kiri di x=2



lim f ( x)  f (2)



x2



lim f ( x)  lim x  a  2  a



x2



f (2)  a 2 2  1  4a  1



x2



2 + a = 4a – 1 -3a = -3 a=1 f kontinu kanan di x=2



lim f ( x)  f (2)



f (2)  a 2 2  1  4a  1



x2



lim f ( x)  lim ax 2  1  4a  1



x2



Selalu dipenuhi



x 2



Kekontinuan Fungsi dalam Interval



8



Dari uraian di atas telah dipelajari cara menentukan kekontinuan fungsi pada suatu titik, namun bagaimanakah cara mengetahui kekontinuan fungsi pada suatu interval a < x < b ? Cara paling mudah untuk melihat kekontinuan fungsi yang dimaksud adalah dengan melihat grafik dari fungsi tersebut. Perhatikan grafik fungsi kontinu dan diskontinu berikut.



Grafik di atas menunjukan bahwa f (x) diskontinu dalam selang a < x < b pada saat x = c walaupun f (x) kontinu pada dua segmen interval yaitu a < x < c dan c < x < b. Dari kedua grafik ini dapat disimpulkan:  Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila f(x) kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut.  Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b ] bila : 1. f(x) kontinu pada ( a,b ) 2. f(x) kontinu kanan di x = a 3. f(x) kontinu kiri di x = b Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x Î R maka dikatakan f(x) kontinu ( dimanamana ).



9



LIMIT TAK HINGGA DAN LIMIT DI TAK HINGGA A. Pengertian Limit Tak Hingga Misal diberikan fungsi



f ( x) 



1 . Maka nilai fungsi f(x) menuju tak hingga ( ) x 1



untuk x mendekati 1 dari kanan, sedangkan menuju minus tak hingga (



) untuk x



mendekati 1 dari kiri. Pengertian tersebut dapat dinotasikan dengan limit sebagai berikut :



lim f ( x)  



Bila f ( x) 



1 ( x  1) 2



lim f ( x)  



dan



x 1



x 1



f ( x)   dan maka didapat xlim 1



lim f ( x)  



x 1



f ( x)   atau dituliskan lim x 1 Bentuk limit tersebut dinamakan Limit Tak hingga, yaitu nilai fungsi f(x) untuk mendekati 1 sama dengan tak hingga ( ) Sedangkan bentuk limit di titik mendekati tak hingga di ilustrasikan berikut : MIsal diberikan fungsi f ( x) 



1 , maka nilai fungsi akan mendekati nol bila nilai x x



menuju tak hingga atau minus tak hingga, dinotasikan :



lim f ( x)  0 dan x  Secara umum, limit fungsi dari f ( x) 



lim f ( x)  0



x  



1 ,n xn



B+ untuk x mendekati tak hingga atau



minus tak hingga sama dengan nol, maka dapat dituliskan : lim x 



1 0 xn



atau



lim



x  



1 0 xn p( x)



Bila f(x) merupakan fungsi rasional, misal f ( x)  q ( x) dengan P(x) dan q(x) merupakan polinom



maka untuk menyelesaikan limit di tak hingga dilakukan dengan cara : membagi pembilang [p(x)] dan penyebut [q(x)] dengan x pangkat tertinggi yang terjadi



10



CONTOH SOAL Hitung lim x 3



3 x 3 x



Jawab Nilai dari pembilang untuk x mendekati 3 dari arah kanan adalah mendekati 6, sedangkan nilai penyebut akan mendekati negative bilangan yang sangat kecil. BIla 6 dibagi oleh bilangan negative kecil sekali akan menghasilkan bilangan yang sangat kecil. Jadi lim



x 3



3 x = 3 x



B. Pengertian Limit Di Takhingga Perhatikan fungsi f(x) =



1 x2



, x  0 yang domainnya semua bilangan real yang



tidak nol. Jika kita cari nilai-nilai fungsi dekat dengan 0. x 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0



1 x2



y



1 100 10.000 1000000 = 106 108



1



f(x) = x 2



besar sekali disebut tak hingga -1



-0,0001 -0,001 -0,01 -0,1 -1



8



10 1000 000 = 106 10.000 100 1



1



x



Apabila x suatu bilangan baik positip maupun negatif yang sangat kecil maka nilai 1 1 x 2 menjadi sangat besar, semakin dekat x dengan nol, maka nilai x 2 menjadi semakin besar sekali, sehingga dikatakan lim x0



1 x2



.



Catatan : Simbol ∞ dibaca “tak hingga” digunakan untuk melambangkan bilangan yang sangat besar yang tak dapat ditentukan besarnya, tetapi simbol ini tidak menunjuk suatu bilangan real yang manapun. 11



Pengertian ketakhinggaan sebagaimana dipaparkan secara intuitif di atas secara formal didefinisikan sebagai berikut : Definisi : Fungsi f(x) mendekati tak hingga untuk x  c apabila untuk setiap bilangan positip M betapapun besarnya, adalah mungkin menemukan bilangan  > 0 sedemikian hingga untuk setiap x selain c jika dipenuhi |x – c| <  akan berakibat |f(x)| > M dan ditulis lim f(x)   x c



y M



y=f(x)



X



0



1



1 Contoh 1 : lim  x 1 (1 - x) 2 Buktikan bahwa Bukti : Untuk membuktikan itu berarti untuk setiap M > 0 yang diberikan betapapun besarnya adalah mungkin menemukan  > 0 sedemikian hingga untuk setiap x



yang memenuhi |x – 1| <  akan diperoleh Dari



1 (1  x ) 2



1 (1  x ) 2



 M.



 M. berarti (1- x)2 < 1 . M 1



Sehingga |1 – x| < Jika diambil  =



M



.



1 , berarti untuk setiap x pada |x – 1| < M



1 akan dipenuhi M



1 M 1  (1 – x)2 < M 1  M.  (1  x ) 2



 (x – 1)2
0 betapapun besarnya, adalah mungkin ditemukan  > 0, sedemikian hingga untuk setiap x pada |x – 1| <  akan dipenuhi



x x 1



> M.



Sedangkan limit fungsi untuk x yang bernilai besar dapat didefinisikan sebagai berikut : Definisi : Jika f(x) terdefinisi untuk x yang bernilai besar, kita katakan bahwa f(x) mendekati L sebagai limit untuk x mendekati tak hingga, dan ditulis : lim f ( x )  L , bahwa apabila diberikan   0 maka akan ditemukan



x 



suatu bilangan M sedemikian hingga dipenuhi |f(x) – L|




M. Ilustrasi geometris dari pengertian di atas adalah sebagai berikut : Y y=f(x) L+ y =L L-



O



X



M



Contoh 1. Pandanglah fungsi f(x) = 2 +



sin x x



Y 3



y=2+ y=2+



2



y=2 y=2-



1



Grafiknya beroskilasi terhadap garis y = 2. O



X 13



Amplitudo dari oskilasinya semakin kecil menuju nol. Untuk x



  , dan kurvanya terletak di antara y = 2 +  dan y = 2 -  jika x >



M Atau dengan kata lain : Jika x besar,



sin x  0 x



dan f(x)  L  2



Contoh 2 ( x 2  2 x  x 2  3x ) Tentukan lim x 



Jawab : lim( x 2  2 x  x 2  3 x )  lim x 



( x 2  2 x  x 2  3 x )( x 2  2 x  x 2  3x )



x 



 lim



x 



 lim



x 



 lim



x 







( x 2  2 x  x 2  3x ) ( x 2  2 x)  ( x 2  3x) x 2  2 x  x 2  3x x x 2  2 x  x 2  3x 1 1



2 x



 1



3 x



1



1 0  1 0 1  2



14