Pembahasan LIMIT - Limit Tak Hingga Trigonometri [PDF]

Citation preview

Limit Tak Hingga Trigonometri



1.



lim



𝑥→∞



A. B.



2 𝑥 6 sin 𝑥



sin



Pembahasan:



= ….



1



1



D. 3



6 1



E. 6



3



C. 2 Pembahasan: Misal 𝑥 =



1 𝑝



⇒𝑝=



1 3 𝑥 2 𝑥→∞ 1−cos( ) 𝑥



5. Jika lim



7 3 5 sin +tan −sin 𝑥 𝑥 𝑥 9 3 1 𝑥→∞ tan𝑥−tan𝑥−sin𝑥



lim



= ….



A. 1 B. 3 C. 5



D. 7 E. 9



Pembahasan: 1



𝑝→0



3.



sin 7𝑝 + tan 3𝑝 − sin 5𝑝 7 + 3 − 5 = =1 tan 9𝑝 − tan 3𝑝 − sin 𝑝 9−3−1 2 𝑥 1 𝑥→∞ tan3 ( ) 2𝑥



sin3 ( )



lim



= ….



A. 23 B. 24 C. 25



D. 26 E. 27



B. 3



E. 2



6.



1



1 4



2



3



sin 2𝑝 2 lim = ( ) = 43 = 26 1 1 𝑝→0 tan3 (2 𝑝) 2 2 𝑥



3 𝑥



1



3



A. 0 2 3 3 2



www.m4th-lab.net www.youtube.com/m4thlab



adalah ….



D. 2 E. 6



2



A. − 3



D. 3



2



E. 1



3



1 3



Pembahasan: Misal 𝑥 =



1 𝑝



⇒𝑝=



lim (csc 2 2𝑝 −



𝑝→0



𝑥 2 tan( ) tan( )



1



lim [csc 2 (𝑥 ) − 4 𝑥 2 ] = ….



𝑥→∞



C.



3



C.



, maka nilai 𝑃 adalah ….



tan2 3𝑝 𝑝2 = 𝑝→0 1 − cos 2𝑝 2 tan2 3𝑝 𝑝2 lim = 𝑝→0 2 sin2 𝑝 2 9 𝑝2 = → 𝑝 = ±3 2 2



Misal 𝑥 = 𝑝 ⇒ 𝑝 = 𝑥



B.



2



Pembahasan: 1 1 Misal 𝑥 = 𝑝 ⇒ 𝑝 = 𝑥



1



𝑥→∞



𝑃2



D. 1



C.



Pembahasan:



4. Nilai dari lim



=



A. 4



B. − 1



tan2( )



lim



1



Misal 𝑥 = 𝑝 ⇒ 𝑝 = 𝑥 lim



1 ) tan 2𝑝 tan 3𝑝 tan 2𝑝 tan 3𝑝 𝑝2 lim = lim ( × ) 𝑝→0 𝑝→0 3 3𝑝 𝑝 2 = ×3 3 =2 (



𝑥



sin 2𝑝 2 1 lim = = 𝑝→0 sin 6𝑝 6 3 2.



1



Misal 𝑥 = 𝑝 ⇒ 𝑝 = 𝑥



1 𝑥



1 1 1 ) = lim ( 2 − 2) 𝑝→0 sin 2𝑝 4𝑝 4𝑝 2 2 4𝑝 − sin 2𝑝 = lim ( ) 𝑝→0 4𝑝2 . sin2 2𝑝



Dengan menggunakan nilai hampiran (maclaurin) diperoleh:



1



Limit Tak Hingga Trigonometri 4𝑝2 − sin2 2𝑝 lim ( ) 𝑝→0 4𝑝2 . sin2 2𝑝 8𝑝3 4𝑝 − (2𝑝 − 6 ) = lim 𝑝→0 4𝑝2 . (2𝑝 )2



1



C. − 2



2



2



Pembahasan: 1



(



) 32 4 64 6 2 2 4𝑝 − (4𝑝 − 6 𝑝 + 36 𝑝 ) = lim ( ) 𝑝→0 16𝑝4 32 4 64 6 𝑝 − 36 𝑝 = lim ( 6 ) 𝑝→0 16𝑝4 32 64 2 − 𝑝 = lim ( 6 36 ) 𝑝→0 16 32 = 6 16 1 = 3



sin2 𝑝 − cos 𝑝 + 1 sin2 𝑝 − (cos 𝑝 − 1) = lim 𝑝→0 𝑝→0 𝑝 tan 𝑝 𝑝 tan 𝑝 1 sin2 𝑝 + 2 sin2 (2 𝑝) = lim 𝑝→0 𝑝 tan 𝑝 1 𝑝2 + 2 ( 𝑝2 ) 4 = 2 𝑝 1 =1+ 2 3 = 2 lim



9. SBMPTN 2017 SAINTEK 124 lim 𝑥 (sec



𝑥→∞



7. Nilai dari lim



𝑥→∞



2 𝑥 2 tan( ) 𝑥



4𝑥.sin2( )



D. 4 E. 8



4 ( ) sin2 2𝑝 4 sin2 2𝑝 𝑝 lim = lim 𝑝→0 𝑝→0 𝑝 tan 2𝑝 tan 2𝑝 4 sin 2𝑝 sin 2𝑝 = lim ( × ) 𝑝→0 𝑝 tan 2𝑝 = 4(2)(1) =8 lim



𝑥→∞



A. B.



E. −1



2



C. 0



1 lim (sec √𝑝 − 1) 𝑝→0 𝑝 Misal √𝑝 = 𝑘 lim



= lim



3 2 1 2



www.m4th-lab.net www.youtube.com/m4thlab



(



1



1



− 1) = lim 𝑘 2 ( 𝑘→0



1−cos 𝑘 cos 𝑘



)



1 2 sin2(2 𝑘)



𝑘→0



𝑘 2 cos 𝑘



1 2. 4 𝑘 2



1 = 2



= ….



1



𝑘→0 𝑘 2 cos 𝑘



= 1 1 𝑥 𝑥 1 1 ( ) tan( ) 𝑥 𝑥



1



D. − 2



Pembahasan: 1 1 Misal 𝑥 = 𝑝 ⇒ 𝑝 = 𝑥



𝑥



sin2( )−cos( )+1



− 1) = ….



1



B.



Pembahasan: 1 1 Misal 𝑥 = ⇒ 𝑝 = 𝑝



1 √𝑥



A. 1



adalah ….



A. −8 B. −4 C. 0



8.



1



Misal 𝑥 = 𝑝 ⇒ 𝑝 = 𝑥



𝑘2



D. −1 E. −2



2



Limit Tak Hingga Trigonometri 10. SBMPTN 2017 SAINTEK 129 1 1 1 2𝑥 2 tan (𝑥 ) − 𝑥 sin (𝑥 ) + 𝑥 lim = …. 2 𝑥→∞ 𝑥 cos ( ) 𝑥 A. 2 D. −1 B. 1 E. −2 C. 0



𝑥



𝑥



−



1



) = ....



𝑥+1



D. 1



2



1



E. 2



3 2



1



1



Misal 𝑥 = 𝑝 ⇒ 𝑥 = 𝑝 1 1 1 lim (𝑥 3 sin ( ) + 𝑥) . ( − ) 𝑥→∞ 𝑥 𝑥−1 𝑥+1



D. 1 E. +∞



1



Misal 𝑥 = 𝑝 ⇒ 𝑝 = 𝑥



1 − cos 𝑝 ) 𝑝→0 sin 𝑝 1 2 sin2 2 𝑝 = lim ( ) 𝑝→0 sin 𝑝



lim (csc 𝑝 − cot 𝑝) = lim (



𝑝→0



1 𝑥−1



Pembahasan:



Pembahasan: 1



1



𝑥



lim (𝑥 3 sin ( ) + 𝑥) . (



C.



lim csc − cot = ….



A. −∞ B. −1 C. 0



13. SBMPTN SAINTEK 2017 Kode 138



B. 2



11. SBMPTN 2017 SAINTEK 131 𝑥→∞



1



1 cos 𝑝 sin 𝑝2 lim ( ) cot 𝑝 sin 𝑝2 = lim =1 𝑝→0 𝑝 𝑝→0 𝑝 sin 𝑝



A.



2 sin 𝑝 tan 𝑝 − +𝑝 𝑝 𝑝 𝑝2 lim × cos 2𝑝 𝑝→0 𝑝 𝑝 2 tan 𝑝 2 𝑝 − sin 𝑝 + 𝑝 = lim =2 𝑝→0 cos 𝑝



1



1



Misal 𝑥 = 𝑝 ⇒ 𝑝 = 𝑥



𝑥→∞ 5



Pembahasan: 1 1 Misal 𝑥 = 𝑝 ⇒ 𝑝 = 𝑥



1



Pembahasan:



1 2 sin 2 𝑝 1 = lim ( ) sin 𝑝 𝑝→0 sin 𝑝 2 =0



1 3 1 2𝑝2 = lim (( ) sin 𝑝 + ( )) ( ) 𝑝→0 𝑝 𝑝 1 − 𝑝2 1 sin 𝑝 2 )( + 𝑝) 𝑝2 ( ) 2 𝑝→0 𝑝 𝑝 1 − 𝑝2 2 = lim (1 + 𝑝) ( ) 𝑝→0 1 − 𝑝2 2 = (1 + 0) ( ) 1−0 =2 = lim (



14. SBMPTN 2017 SAINTEK 139 5 𝑥 cot (𝑥 + 1) lim = …. 𝑥→∞ 1 − 𝑥2 1 A. −1 D. − 4 1



1



B. − 2



E. − 5



1



C. − 3 12. SBMPTN SAINTEK 2017 Kode 135/150 1 1 lim 𝑥 cot ( ) sin ( 2 ) = …. 𝑥→∞ 𝑥 𝑥 A. −2 D. 1 B. −1 E. 2 C. 0



www.m4th-lab.net www.youtube.com/m4thlab



Pembahasan: 1



1



Misal 𝑥 = 𝑝 ⇒ 𝑝 = 𝑥 lim



𝑥→∞



5 𝑥 cot (𝑥 + 1) 1 − 𝑥2



3



Limit Tak Hingga Trigonometri 1 𝑝



( ) cot( 1



= 1lim 𝑝



5



+1 𝑝 2 1



17. SBMPTN 2017 SAINTEK 146 2 4 csc 2 (𝑥 ) − 𝑥 3 sin (𝑥 ) lim = …. 𝑥→∞ 𝑥2 23 A. − 4



)



1−( )



→∞



𝑝



1 5 ( ) cot( 𝑝+1 ) 𝑝 𝑝 1 1 𝑝→0 (1−𝑝)(1+𝑝) 1 5𝑝 ( ) cot( ) 𝑝 1+𝑝 1 1 𝑝→0 (𝑝)(𝑝−1)(𝑝)(𝑝+1)



= lim



B. − C. −



= lim



D. −



1



= lim



1 𝑝



5𝑝 ) 1+𝑝



𝑝→0 (𝑝−1)( )(𝑝+1) tan(



=−



E. −



1 5



21 4 19 4 17 4 15 4



Pembahasan: 15. SBMPTN SAINTEK 2017 KODE 140 3 sin 𝑥 lim = …. 2 1 𝑥→∞ (1 − cos ) . 𝑥 2 sin 𝑥 𝑥 3 A. 0 D.



Misal 𝑥 =



B.



⇒𝑝=



csc 2 2𝑝 − lim



1 𝑥



sin 4𝑝 𝑝3



1 𝑝2



𝑝→0



2



2



1 𝑝



E. 3



3



C. 1 Pembahasan: 1



1



Misal 𝑥 = 𝑝 ⇒ 𝑝 = 𝑥 sin 3𝑝



lim



𝑝→0



(1 − cos 2𝑝) (



1 sin 𝑝) 𝑝2



sin 3𝑝 . 𝑝2 𝑝→0 2 sin2 𝑝 . sin 𝑝



= lim



3𝑝 3 = 3 2𝑝 3 = 2



16. SBMPTN 2017 SAINTEK 145/151 1 2 lim 2𝑥 . tan . sec = …. 𝑥→∞ 𝑥 𝑥 A. 0 D. 3 B. 1 E. 4 C. 2 Pembahasan: 1



1 sin 4𝑝 − sin2 2𝑝 𝑝3 = lim 1 𝑝→0 𝑝2 𝑝2 sin 4𝑝 = lim ( 2 − ) 𝑝→0 sin 2𝑝 𝑝 1 = −4 4 1 16 = − 4 4 15 =− 4



18. SBMPTN 2017 SAINTEK 147 2 cos2 (𝑥 ) lim = …. 1 𝑥→∞ 𝑥 tan (2𝑥 ) 1 A. 2 D. 4 B. 1 C. 2



E. 8



Pembahasan: 1



1



Misal 𝑥 = 𝑝 ⇒ 𝑝 = 𝑥



cos2 2𝑝 1 lim = =2 1 1 𝑝→0 1 ( ) tan 𝑝 𝑝 2 2



1



Misal: 𝑥 = 𝑝 ⇒ 𝑝 = 𝑥



2 2 tan 𝑝 lim ( ) tan 𝑝 . sec 2𝑝 = lim =2 𝑝→0 𝑝 𝑝→0 𝑝 cos 2𝑝



www.m4th-lab.net www.youtube.com/m4thlab



4



Limit Tak Hingga Trigonometri 19. SBMPTN 2017 SAINTEK 149 3 sin 𝑥 lim = …. 4 𝑥→∞ (1 − cos ) 𝑥 𝑥 3 A. 0 D. 4 B. C.



2



E. 1



3 3



1



C.



1



E.



3 1



1 6



4



Pembahasan: 1



Misal 𝑥 = 𝑝 ⇒ 𝑝 = 𝑥 𝑝→0



B.



8



Pembahasan:



lim



20. SBMPTN 2017 SAINTEK 152 1 1 lim 𝑥 sec (1 − cos ) = …. 𝑥→∞ 𝑥 √𝑥 1 1 A. 2 D. 5



sin 3𝑝 1 (1 − cos 4𝑝) ( ) 𝑝



1



𝑝 sin 3𝑝 𝑝→0 2 sin2 2𝑝



= lim



=



3 8



1



Misal 𝑥 = 𝑝 ⇒ 𝑝 = 𝑥



1 − cos √𝑝 1 lim ( ) sec 𝑝 (1 − cos √𝑝) = lim ( ) 𝑝→0 𝑝 𝑝→0 𝑝 cos 𝑝 1 2 sin2 2 √𝑝 = lim 𝑝→0 𝑝 1 = 2( ) 4 1 = 2



Download Soal-soal Latihan Matematika Lengkap di: www.m4th-lab.net Pelajari Video Pembelajaran Matematika Gratis di: www.youtube.com/m4thlab



www.m4th-lab.net www.youtube.com/m4thlab



5