Makalah MTK Modul 7 [PDF]

Citation preview

BAB I PENDAHULUAN A.



Latar Belakang Matematika adalah suatu bahan kajian yang memiliki objek abstrak dan



dibangun melalui proses penalaran deduktif yaitu kebenaran suatu konsep diperoleh sebagai akibat logis dari kebenaran sebelumnya sehingga berkaitan antar konsep dalam matematika bersifat sangat kuat dan jelas (Kurikulum Matematika,2004:5). Pembelajaran matematika di sekolah dasar merupakan dasar bagi penerapan konsep matematika pada jenjang berikutnya. Konsekuensinya dalam pelaksanaan pembelajaran matematika di sekolah dasar harus mampu menata dan meletakkan dasar penalaran siswa yang dapat membantu memperjelas menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari dan kemampuan berkomunikasi dengan bilangan simbol-simbol serta lebih mengembangkan sikap logis,kritis,cermat,disiplin,terbuka,optimis dan menghargai matematika Dalam mengirimkan surat kepada seseorang kita harus nengetahui alamat tujuannya secara lengkap dan benar, hal ini dikarenakan untuk mempermudah dalam pengiriman surat. Jika alamat yang kita cantumkan itu benar dan lengkap maka suratpun akan lebih cepat sampai. Alamat rumah seseorang berhubungan dengan denah atau peta, maka dari itu dirasa sangat penting anak-anak usia SD/MI mempelajari sistem koordinat yang berhubungan dengan denah dan letak suatu benda. Agar anak mengerti tata cara membuat denah ataupun membaca denah sejak dini. Oleh karena itu pada makalah ini saya akan membahas lebih dalam tentang sitem koordinat.



1



BAB II PEMBAHASAN Kegiatan Belajar 1 SISTEM BILANGAN REAL DAN KOORDINAT A. Sistem Bilangan Real 1.



Berbagai Sistem Bilangan



Sistem matematika adalah himpunan unsur-unsur dengan operasi yang didefinisikan. Operasi-operasi yang telah kita kenal antara lain aljabar dan logaritma. Sedangkan sebagian himpunan dalam aljabar adalah himpunanhimpunan bilangan. Apakah bilangan real itu dan apa sifat-sifatnya ? Untuk menjawabnya, kita mulai dengan beberapa sistem bilangan yang sederhana berikut ini. 



Bilangan-bilangan bulat dan rasional



Diantara sistem bilangan yang paling sederhana adalah bilangan-bilangan asli (= Natural), 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … Dengan bilangan ini kita dapat menghitung: buku-buku kita, teman-teman kita, uang kita, dan lain sebagainya. Jika kita gandengkan negatifnya dan nol, kita akan peroleh bilangan-bilangan bulat (= dari bahasa Jerman, Zahlen): …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … Bila kita mencoba mengukur panjang, berat benda, atau tegangan listrik, bilanganbilangan bulat tidak akan memadai. Bilangan ini terlalu kurang untuk memeberikan ketelitian yang cukup dalam sebuah pengukuran. Kita dituntut untuk juga mempertimbangkan hasil bagi (rasio) dari bilangan-bilangan bulat, yaitu bilangan-bilangan seperti: Bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk , dimana m dan n adalah bilangan bulat dan , disebut bilangan-bilangan rasional (= Quotient ). Apakah bilangan rasional berfungsi mengukur semua panjang? Fakta yang mengejutkan ini ditemukan pertama kali oleh orang Yunani kuno beberapa abad sebelum masehi. Mereka memperlihatkan bahwa meskipun  merupakan panjang sisi miring sebuah segi tiga siku-siku dengan sisi 1 , bilangan ini tidak dapat 2



dituliskan sebagai suatu hasil bagi dua bilangan bulat. Jadi  adalah suatu bilangan tak rasional (irasional). Demikian juga Jika kita belum terbiasa untuk bisa membedakan bilangan rasional dan bilangan irasional secara langsung, maka ada satu ciri khusus yang yang bisa kita jadikan pedoman untuk membedakan keduanya. 2.



Bilangan-bilangan real



Sekumpulan bilangan (rasional dan irasional) yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol kita namakan bilangan-bilangan real. Atau dengan kata lain, bilangan real adalah bilangan yang dapat berkoresponden satu-satu dengan sebuah titik pada garis bilangan. Pada garis bilangan tersebut terdapat titik asal yang diberi lambang 0 (nol) sebagai titik awal untuk mengukur jarak ke arah kanan atau kiri. Setiap titik pada garis bilangan mempunyai lambang yang tunggal, disebut koordinat titik, dan garis bilangan yang dihasilkan diacu sebagai garis real. Dengan mengetahui anggota dari masing-masing himpunan bilangan yang termasuk kelompok bilangan real, bagaimanakah hubungan masing-masing himpunan bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks jika kita gambarkan dalam diagram venn? 3.



Operasi pada Bilangan Real



Operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. a.



Operasi penjumlahan Contoh: 1.    4 + 6  = 10 2.    4 + (-6 ) = -2



b.



Operasi pengurangan Contoh: 1.    -6 – 4 = -6 + (-4) = -10 2.    3 -6 – 4 = -6 + (-4) = -10



c.



Operasi perkalian



3



Contoh: 1.    6 x 4 = 24 2.    6 x (-4) = -24 3.    (-6) x (-4) =  24 d.



Operasi pembagian



Contoh: 1. 12 : 2 = 6 2. 12 : -2 = -6 3. (-12) : (-2) = 6 4. a.



Macam-macam Bilangan Real



Bilangan Asli (A) Bilangan asli adalah suatu bilangan yang mula-mula dipakai untuk membilang. Bilangan asli dimulai dari 1,2,3,4,… A = {1,2,3,4,…}



b.



Bilangan Genap (G) Bilangan genap dirumuskan dengan 2n, nÎA



c.



Bilangan Ganjil (Gj) Bilangan ganjil dirumuskan dengan 2n -1, nÎA Gj = {1,3,5,7,…}



d.



Bilangan Prima (P) Bilangan prima adalah suatu bilanganyang dimulai dari 2 dan hanya dapat dibagi oleh bilngan itu sendiri dan ± 1 P = {2,3,5,7,…}



e.



Bilangan Komposit (Km) Bilangan komposit adalah suatu bilangan yang dapat dibagi oleh bilangan yang lain Km = {4,6,8,9,…}



f.



Bilangan Cacah (C) Bilangan Cacah adalah suatu bilangan yang dimulai dari nol C = {0,1,2,3,4,…}



4



g.



Bilangan Bulat (B) Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, bilangan nol, dan bilangan bulat   positif. B = {…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}



h.



Bilangan Pecahan (Pc) Bilangan pecahan adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b, a sebagai pembilang dan b sebagai penyebut,dengan a dan b ÎB serta b ≠0



i.



Bilangan Rasional (Q) Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk , a dan b ÎB serta b ≠0. (Gabungan bilangan bulat dengan himpunan bilangan pecahan)



j.



Bilangan Irasional (I) Bilangan irasional adalah suatu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk , a dan b ÎB serta b ≠0. Contoh:  π = 3,14159…, e = 2,71828….



k.



Bilangan Real (R) Bilangan real adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan real biasanya disajikan dengan sebuah garis bilangan.



Contoh:                   -1         -2         -3         0          1          2          3          4 l.



Bilangan Khayal (Kh) Bilangan khayal adalah suatu bilangan yang hanya bias dikhayalkan dalam pikiran, tetapi kenyataannya tidak ada.



m. Bilangan Kompleks (K) Bilangan Kompleks adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan dan khayal.



5



5.



Sifat-sifat Operasi Bilangan Bulat



a.    Sifat Komutatif: a+b=b+a a.b = b.a Contoh: 1. 5 + 6 = 6 + 5 = 11 2. 9 . 3  = 3 . 9  = 27 b.    Sifat Assosiatif: (a + b) + c = a + (b + c) (a . b) . c = a . (b . c) Contoh: 1. (5 + 2) + 3 = 5 + (2 + 3) = 10 2. (5 x 2) x 3 = 5 x (2 x 3) = 30 c.    Sifat Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan a x (b + c) = ab + ac Contoh: 5 x (3 + 6) = 5 . 3 + 5 . 6= 15 + 30= 45 d.    Terdapat Dua Elemen Identitas Setiap bilangan a mempunyai dua elemen identitas, yaitu 1 dan 0,sehingga memenuhi: a+0=a a.1=a e.     Terdapat Elemen Invers Setiap bialngan a mempunyai balikan atau invers penjumlahan, yaitu – a yang memenuhi: a + (-a) = 0 Setiap a ≠ 0 mempunyai balikan perkalian.



6



B. Sistem Koordinat Kartesius 1.



Menentukan Posisi Titik Pada Sistem Koordinat Kartesius



Perhatikan gambar berikut. Y 6 5 4 3 2 1 -6



-5



-4



-3



-2



-1



1



2



3



4



5



6



-1 -2 -3 -4 -5 -6



Gambar tersebut disebut Koordinat Kartesius. Sistem Koordinat Kartesius terdiri atas sumbu mendatar (sumbu-x) dan sumbu tegak (sumbu-y). Fungsi kedua sumbu tersebut adalah untuk menentukan letak suatu titik. Titik-titik pada koordinat Kartesius merupakan pasangan titik pada sumbu-x dan sumbu-y (x, y).



7



X



Dimana x disebut absis dan y disebut ordinat. Perpotongan antara sumbu-x dan sumbu-y di titik 0 (nol) disebut pusat koordinat. Berdasarkan sistem koordinat Kartesius tersebut kamu dapat memperoleh informasi berikut ini : 



Titik warna merah terletak pada koordinat (-4,5).







Titik warna biru terletak pada koordinat ( 5,-2 ).







Titik warna hijau terletak pada koordinat (2,3)







Tititk warna ungu terletak pada koordinat ( -3,-1)



C. Rumus Jarak Teorema Pyhtagoras dapat digunakan untuk menentukan jarak antar titik



P1



(x1, y1) dan P2 (x2, y2), yaitu : P1P2 = √ nnnnnnnnnnnnnnn (x2 – x1)2 + (y2 - y1)2 D. Persamaan Lingkaran Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik (x,y) pada bidang yang berjarak sama terhadap satu titik tetap yang disebut pusat lingkaran, jarak titik-titik (x,y) terhadap titik pusat disebut jari-jari (radius) dan dilambangkan r. Persamaan lingkaran yang bertitik pusat di P(a,b) dan melalui titik Q(x,y) dengan jarak antara titik P dan Q disebut jari-jari r dan rumus jari-jarinya adalah : r2 = (x – a)2 + (y – b)2 r=



√ nnnnnnnnnnnn (x – a)2 + (y – b)2



E. Hubungan Koordinat Kutub dengan Koordinat Kartesius Hubungan antara koordinat kartesius (x,y) dan koordinat kutub (r, 0) ditun-jukkan oleh persamaan. sin = cos =



y y = r sin r y y = r cos r



r2 = r2 + y2 dan tan = =



y r



8



Kegiatan Belajar 2 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR A. Persamaan Linear Persamaan atau identitas adalah suatu pernyataan yang memuat ungkapan “samadengan” dan diberi notasi “=” tetapi tidak memuat variabel. Dalam artian, Persamaan merupakan kalimat matematika terbuka yang memuat tanda “=”. Kalimat matematika terbuka adalah suatu pernyataan yang memuat variable (peubah) yang nilainya belum jelas atau belum bisa ditentukan. Dalam menyelesaikan suatu persamaan harus dicari suatu bilangan sehingga persamaan tersebut menjadi nilai atau proporsi yang tepat. Jika bilangan tersebut menghasilkan proporsi yang benar maka himpunan penyelesaian diperoleh. Contoh : Jika x+3=10 maka himpunan penyelesaian selesai dengan hasil x={7}. Persamaan dibagi beberapa jenis diantaranya : 1. Persamaan linier satu variabel (peubah) 



Definisi persamaan linier satu peubah



Persamaan linier satu peubah adalah persamaan yang hanya memuat sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya adalah satu. Contoh:2x + 7 = 6x + 3 merupakan persamaan linier satu peubah karena peubahnya satu (yaitu  x) dan pangkatnya adalah 1. 



Penyelesaian Suatu Persamaan linier satu peubah



Menyelesaikan suatu persamaan artinya adalah mencari nilai pengganti dari peubah sehingga menjadi pernyataan yang benar. Contoh: 5t - 6 = - 11, adalah persamaan linier satu peubah. t = - 1   merupakan  penyelesaian  persamaan  itu  karena  jika t diganti dengan –1, maka pernyataan  5(- 1) - 6 = - 11  merupakan pernyataan yang benar. Sedangkan t = 1bukan penyelesaian karena  jika t diganti dengan 1,  maka  pernyataan  5(1) 6 = - 11  merupakan  pernyataan  yang salah.



9







Cara mencari penyelesaian persamaan linier satu peubah



Tiga langkah berikut dapat dilakukan dalam menyelesaikan persamaan linier dengan satu peubah: a. Menambah kedua ruas dengan bilangan yang sama. b. Mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama. c. Membagi  atau  mengalikan  kedua  ruas  dengan  bilangan  yang sama bukan nol. ContohSoal : Tentukan penyelesaian dari persamaan 2x - 3 = - 3x + 7 dan tentukan himpunan penyelesaiannya! Penyelesaian: 2x - 3 = - 3x + 7 3x + 2 x - 3 = 3x + (- 3x ) + 7…  (kedua ruas ditambah dengan 3x ) 5x - 3 = 7 5x - 3 + 3 = 7 + 3   ................... (kedua ruas ditambah 3) 5x = 10 x=2        ............................  (kedua ruas dibagi dengan 5 ) Maka, himpunan penyelesaiannya adalah: { 2}. 2. Persamaan linier dua variabel (peubah) Persamaan Linear dua peubah yaitu suatu sistem persamaan yang terdiri dari dua persamaan linear yang masing-masing mengandung dua peubah atau variabel dan pangkat kedua peubah itu adalah satu. Menyelesaikan sistem persamaan linier dua peubah artinya adalah mencari nilai pengganti dari setiap peubah nilai yang dimaksud, maka persamaan itu berubah menjadi kalimat yang bernilai  benar. Secara umum dinyatakan dalam bentuk : aX 



+ 



bY 



dX  +  eY  =  f         dengan a,b,c,d,e,f adalah bilangan real keterangan : a,d = koefisien dari x b,e = koefisien dari y



10



= 



c



c,f = konstanta x dan y = nilai penyelesaian dari system persamaan linier dua variabel Dalam menyelesaikan persamaan linier dua variabel, dapat diselesaikan dengan beberapa metode diantaranya : a. Mensubstitusi



Metode Substitusi artinya



adalah



menggantikan.



Cara



substitusi



dilakukan  dengan  cara  mencari  nilai  salah  satu  peubah  pada  suatu persamaan kemudian  menggantikan  nilai  itu  pada  persamaan  yang  lain. Cara ini lebih efisien jika dilakukan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier yang peubahnya  ada  yang  berkoefisien b.



Metode Eliminasi



Mengeliminasi artinya menghilangkan. Cara eliminasi dilakukan dengan cara ”menghilangkan” salah satu peubah. Dengan demikian, persamaan yang semula terdiri dari dua peubah akhirnya menjadi satu peubah. Selanjutnya dapat ditentukan penyelesaiannya. c.



Metode Substitusi dan Eliminasi



Metode penyelesaian ini menggunakan metode eliminasi dan substitusi untuk menyelesaikan persamaan linier 2 variabel. d.



Metode Substitusi



Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut: 3x + 2y = -2 x – 2y = 10 . Penyelesaian : x – 2y    = 10          x = 2y + 10 3x + 2y = -2 Subsitusikan persamaan (1) ke (2) 3x + 2y  = -2 3( 2y + 10 )  + 2y  = -2



11



6y + 30 + 2y  = - 2 8y  = -32 y   = - 4 Subsitusikan nilai y = -4 ke persamaan (1) x  =  2y + 10 x  =  2(-4)  + 10 x =  -8 + 10 x =  2 maka HP dari persamaan diatas adalah (x,y) = ( 2, -4 ). e.



Metode Eliminasi



Jika  2x + 5y = 11  dan 4x – 3y = -17, tentukanlah nilai dari  2x – y = . . . . Penyelesaian: Eliminasi x 2x + 5y   = 11      |X 2|   4x  + 10y  = 22 4x  - 3y   = -17    |X 1|   4x  –  3y   = -17                                   13y  = 39                                      y  = 39 / 13                                     y  = 3 Eliminasi y 2x + 5y   = 11   |X 3|  6x  + 15y = 33 4x  - 3y   = -17  |X 5|  20x - 15y = -85                                     ___________+                               26x  = -52                                  x  = -52 /26                                  x  = -2 setelah nilai variabel ditemukan subtitusilah ke pers yang ditanya: Nilai : 2x – y = .. 2(-2) – 3 = - 7



12



f.



Metode Substitusi Eliminasi



Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut: 2x+3y=1 3x+y = 5 Penyelesaian : 2x + 3y = 1  [x3]    6x + 9y = 3 3x +  y  = 5  [x2]    6x + 2y = 10                        7y = -7                  y = -7/7                  y = -1 kesalahan satu persamaan (cari yang paling tepat atau sederhana) 3x + y = 5 3x - 1 = 5 3x = 5 + 1 x = 6/3 x = 2  maka, Hpnya adalah (x,y) = (-1,2) g.



Metode grafik



Tentukan peryelesaian dari persamaan di bawah ini dengan grafik 2x + 3y = 6 x+y=2 Jawab : membuat garis persamaan pertama dengan cara mencari titik potong terhadap sumbu X dan sumbu Y Titik potong sumbu x syaratnya y =0           Titik potong sumbu Y syaratnya  x = 0 2x + 3y = 6                                                      2x + 3y = 6 2x + 3.0= 6                                                      2.0 + 3y = 6 2x = 6                                                                     3y   = 6 x = 3                                                                        y    = 2



13



3. Persamaan Kuadrat Persamaan kuadrat didefinisikan sebagai kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan (=) dan pangkat tertinggi dari variabelnya dua. Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum:   Dengan a, b, dan c Є  R dan a ≠ 0. a = koefisien x2 b = koefisien x c = konstanta Contoh : Tentukan setiap koefisien variabel x2, koefisien variabel x dan konstanta dari persamaan kuadrat berikut: a.       3x2 – 2x + 4 = 0 b.      –x2 + 5x – 7 = 0 Jawab: a.       3x2 – 2x + 4 = 0                koefisien x2 = 3                         koefisien x = –2                         konstanta = 4                             b.      –x2 + 5x – 7 = 0 koefisien x2 = –1 koefisen x = 5 konstanta = –7 



Jenis Akar Persamaan Kuadrat 1.



Jika D > 0, maka ax2 +bx+c=0 memiliki dua akar real yang



berlainan







2.



Jika D = 0, maka ax2 +bx+c=0 memiliki dua akar real yang sama.



3.



Jika D < 0, maka ax2 +bx+c=0 akar-akarnya tidak real Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat



Dalam menyelesaikan setiap persamaan kuadrat yang Anda cari adalah akar-akar persamaan kuadrat atau nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut.



14



Menyelesaikan persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan beberapa cara, yaitu memfaktorkan, menyempurnakan, dan dengan rumus abc. a)      Memfaktorkan Sifat yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan adalah sifat faktor nol, yaitu: Untuk setiap p dan q bilangan riil dan berlaku p x q = 0 maka p = 0 atau q = 0 



Memfaktorkan Jenis ax2 + bx = 0



Untuk memfaktorkan persamaan kuadrat dengan bentuk ax2 + bx = 0 dapat dilakukan dengan memisahkan x sesuai dengan sifat distributif, yaitu: ax2 + bx = 0 x(ax + b) = 0 Jadi, x = 0 atau ax + b = 0. Contoh Soal Selesaikanlah persamaan kuadrat di bawah ini: a.       x2 – 5x = 0 jawab  : x2-5x = 0 x(x-5)=0 x=0 atau x-5=0 x=5 jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0,5} b.      4x2 + 3x = 0 Jawab : x(4x + 3) = 0 x = 0 atau 4x + 3 = 0 4x = –3  atau x = − ¾ Jadi, HP adalah {-− ¾ , 0} b)     Menggunakan Rumus abc Dalam melengkapkan kuadrat sempurna, diperoleh cara mencari nilai akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah dengan menggunakan rumus :



15



Contoh soal : Carilah akar-akar persamaan kuadrat di bawah ini dengan menggunakan Rumus  ABC X2 – 4X – 12 = 0 B. Pertidaksamaan Linear Pertidaksamaan adalah suatu kalimat matematika yang mengandung satu atau lebih



peubah



dan



relasi.  Seperti



halnya



persamaan,



menyelesaikan



pertidaksamaan merupakan suatu proses mendapatkan suatu bilangan sehingga pertidaksamaan tersebut menjadi proporsi yang benar. Bilangan yang diperoleh nantinya merupakan nilai penyelesaiian untuk suatu pertidaksamaan yang dicari. Himpunan semua nilai pertidaksamaan merupakan himpunan penyelesaian (himpunan terselesaikan). Contoh :x-6   3 (mengandung sebuah relasi Pertidaksamaan dibagi beberapa jenis : a)   Pertidaksamaan linier satu peubah atau variabel Pertidaksamaan linier satu peubah adalah pertidaksamaan yang hanya memuat sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya adalah satu. Pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi dari variable (peubah) adalah satu Himpunan penyelesaian pertidaksamaan dapat ditulis dalambentuk  notasi himpunan atau dengan garis biangan. Contoh : 1.    2n + 9 = 21, merupakan pertidaksamaan linier satu peubah banyak peubahnya satu (yaitu n ) dan pangkatnya adalah 1. 2.    5t + 7m = 12 , bukan pertidaksamaan linier satu peubah karena peubahnya dua (yaitu  t dan  m ). 3.    y + 4 = 3y2+ 3 , bukan pertidaksamaan linier satu peubah walaupun peubahnya hanya satu tetapi paubahnya ada yang berpangkat 2.



16



 Cara mencari penyelesaian pertidaksamaan linier satu peubah Hal-hal



yang



perlu



diperhatikan



dalam



menyelesaikan  pertidaksa-maan



linier  satu peubah adalah: 1.        Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan  ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama, maka tanda pertidaksamaan tetap. 2.        Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama dan tidaknol, maka tanda pertidaksamaan tetap. 3.        Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangannegatif yang sama dan tidak nol, maka tanda pertidaksamaan menjadi sebaliknya. Contoh soal : Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan di bawah ini ! a. 3x – 1 > 5                                              b. 3x + 4 ≤ 5 ( x - 1 ) Jawab :                                                      Jawab : 3x – 1 >5                                                   3x + 4 ≤ 5 ( x - 1 ) 3x > 5 + 1                                                  3x + 4 ≤ 5 x - 5 3x >6                                                         3x – 5x ≤ -5 – 4 x> 6/3                                                       -2x ≤ -9 x >2                                                           x ≥ 9/2 HP = { x │x > 2,  x Є R }                   HP = { x │x ≥ 9/2,  x Є R }     b)     Pertidaksamaan Kuadrat Suatu kalimat terbuka yang memuat variabel dengan pangkat positif dan memiliki pangkat tertinggi dua dihubungkan dengan tanda disebut pertidaksamaan kuadrat. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat : ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c ≥ 0 ax2 + bx + c < 0 ax2 + bx + c ≤ 0 dengan a, b, dan c Є R dan a ≠ 0.



17



 Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat lebih mudah apabila menggunakan garis bilangan. Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berbedacara dengan menentukan suatu himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear. Pada pertidaksamaan linear, dapat langsung menentukan daerah penyelesaian setelah memperoleh himpunan penyelesaiannya sedangkan pada pertidaksamaan kuadrat harus menentukan daerahnya terlebih dahulu untuk dapat menentukan himpunan penyelesaiannya.  Langkah-langkah



untuk



menyelesaikan



pertidaksamaan



kuadrat adalah sebagai berikut: 1.



Nyatakan pertidaksamaan kuadrat ke bentuk salah satu ruas sama dengan nol dan ruas yang lain adalah bentuk kuadrat.



2.



Tentukan pembuat nol daribentuk kuadrat itu.



3.



Letakkan pembuat nol dalam garis bilangan.



4.



Tentukan tanda dari setiap daerah pada garis bilangan.



5.



Tentukan penyelesaiannya sesuai yang dikehendaki pada pertidaksamaannya.



Contoh Soal Tentukan himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan kuadrat   x2 – 5x – 14 < 0 Jawab: x2– 5x – 14 < 0 x2 – 5x – 14 = 0 (x – 7) (x + 2) = 0 x – 7 = 0 atau x + 2 = 0 x = 7 atau x = –2



18



BAB III PENUTUP A. Kesimpulan Bilangan real adalah bilangan yang merupakan gabungan dari bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan real yang dilengkapi dengan sifat – sifat bilangan disebut sistem bilangan real. Sifat – sifat bilangan real dibagi menjadi : 



a.  Sifat-sifat Al-jabar







b.  Sifat-sifat urutan







c.  Sifat-sifat kelengkapan



Sumbu diagram terdiri dari dua garis yang berpotongan tegak lurus. Garis yang mendatar disebut sumbu x dan yang tegak disebut sumbu y. Titik potong sumbu x dan y disebut titik asal. Titik ini dinyatakan sebagai titik nol. Setiap titik pada bidang Cartesius dihubungkan dengan jarak tertentu ke sumbu x yang disebut absis, sedangkan jarak tertentu ke sumbu y disebut koordinat. Absis dan ordinat mewakili pasangan bilangan atau pasangan berurut yang disebut koordinat. Dalam kehidupan sehari-hari bidang koordinat kartesius sangat mutlak dibutuhkan. Salah satunya adalah dalam hal penerbangan, seorang pilot harus memahami cara membaca dan menentukan letak suatu tempat pada bidang koordinat kartesius. Persamaan linier terdiri dari persamaan linier satu variabel dan persamaan linier dua variable Penyelesaian SPLDV terdapat 4 cara yaitu : 1.      Metode substitusi 2.      Metode Eliminasi 3.      Metode substitusi dan Eliminasi 4.      Metode Determinan Pertidaksaman linear adalah suatu kalimat matematika yang memuat satu atau lebih variabel yang kesemuanya berpangkat satu dan dihubungkan dengan relasi    , < ,  , atau >. 19



Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang memuat satu variabel (peubah) dan berpangkat dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah sebagai berikut. ax2 + bx + c = 0 dengan a ¹ 0. Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat terdapat tiga cara yaitu: a)      faktorisasi, b)      melengkapkan kuadrat dan c)       rumus yaitu  Bentuk umum dari pertidaksamaan kuadrat adalah : ax2+ bx + c ( ) 0, dengan a ¹ 0. B. Saran Demikianlah pokok bahasan makalah ini yang dapat kami paparkan, Besar harapan kami makalah ini dapat bermanfaat untuk kalangan banyak. Karena keterbatasan pengetahuan dan referensi, penulis menyadari makalah ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu saran dan kritik yang membangun sangat diharapkan agar makalah ini dapat disusun menjadi lebih baik lagi dimasa yang akan datang.



20