Makalah Peluang [PDF]

Citation preview

PELUANG



1. Definisi Peluang Hitung peluang mula-mula dikenal pada abad ke-17 yang bermula dari permainan sebuah dadu yang dilempar. Peluang (kemungkinan, probability) dari permukaan dadu yang tampak ketika dilempar, diamati dan dihitung, perhitungan sejenis ini berkembang cukup pesat menjadi teori peluang yang banyak pemakaiannya dalam kehidupan seSem-Sem. Dalam berpergian kita sering mempertanyakan apakah terjadi hujan Sem ini. Dalam berdagang kita selalu berfikir tentang kemungkinan untuk mengambil keuntungan. Masih banyak contoh lagi yang berkaitan dengan peluang. Peluang atau kebolehjadian atau dikenal juga sebagai probabilitas adalah cara untuk mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan bahwa suatu kejadian akan berlaku atau telah terjadi. Konsep ini telah dirumuskan dengan lebih ketat dalam matematika, dan kemudian digunakan secara lebih luas dalam tidak hanya dalam matematika atau statistika, tapi juga keuangan, sains dan filsafat. Peluang kejadian A dinotasikan dengan P(A) adalah perbandingan banyaknya hasil kejadian A dinotasikan n(A) terhadap banyaknya semua hasil yang mungkin dinotasikan dengan n(S) dalam suatu percobaan. Kisaran nilai peluang suatu kejadian A adalah 0 ≤ P(A) ≤ 1. ika P(A) = 0 disebut kemustahilan dan P(A) = 1 disebut kepastian.



2. Frekuensi Relatif Peluang dapat diukur secara frekuensi relatif ketika percobaan dilakukan perulangan beberapa kali. Karenanya, peluang suatu kejadian dapat diukur dari proporsi jumlah kemunculan suatu kejadian dimana percobaan diulang sebanyak jumlah tertentu. Apabila A sebagai kejadian yang ingin kita lihat, maka peluang frekuensi relatif dari kejadian A, dilambangkan P(A), didapatkan dari:



MAKALAH MATEMATIKA | PELUANG



1



Contoh Soal: Selama musim penyakit Flu, Dinas Kesehatan Kota Manado menemukan bahwa dalam satu hari pemeriksaan ke masyarakat ditemukan bahwa dari 60 warga yang diperiksa ditemukan bahwa 10 orang diantaranya terjangkit penyakit Flu. Hitunglah berapa peluang didapati warga yang terjangkit penyakit Flu dari 60 warga yang diperiksa?



Jawab: Misalkan A mewakili kejadian ditemukan warga terjangkit penyakit Flu. Jadi, karena ada 60 orang diperiksa dan 10 orang terjangkit Flu, maka P(A) = 10/60 = 0,167 (pembulatan desimal tiga digit)



3. Definisi Percobaan, Kejadian, Titik Sampel, dan Ruang Sampel a. Percobaan suatu kegiatan yang dapat diulang dengan keadaan yang sama untuk menghasilkan sesuatu



b. Kejadian kejadian atau peristiwa merupakan himpunan bagian dari ruang sampel. Jenisjenis kejadian yaitu: 1) Kejadian sederhana atau kejadian elementer adalah suatu kejadian yg hanya mempunyai satu titik contoh. Contoh: 



{1},{4},{5} merupakan kejadian sederhanadari eksperimen melempar sebuah dadu.







Kejadian



(peristiwa)



melemparkan



sekeping



mata



uang



logam,



mempunyai dua permukaan, yaitu muka gambar dan muka angka. 



Kejadian (peristiwa) melemparkan sebuah dadu, mempunyai enam permukaan, yaitu permukaan yang menunjukkan angka: 1,2,3,4,5 dan 6



2) Kejadian majemuk adalah suatu kejadian yg mempunyai titik contoh lebih dari satu. Contoh: {1,2},{2,4,6},{1,3,5} merupakan eksperimen majemuk dari eksperimen melempar sebuah dadu yang mempunyai sisi 6.



MAKALAH MATEMATIKA | PELUANG



2



c. Rumah Sampel/Rumah Contoh dan Titik Sampel/Titik Contoh 



Ruang contoh/ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yg mungkin muncul dalam percobaan. Ruang contoh biasanya di beri lambang S.







Titik contoh atau titik sampel adalah anggota-anggota dari ruang contoh atau ruang sampel.



Contoh Soal: Pada percobaan melempar dua buah mata uang logam (koin) homogen yang berisi angka (A) dan gambar (G) sebanyak satu kali. Tentukan ruang sampel percobaan tersebut ! Jawab: Pada percobaan melempar sekeping mata uang logam, hasil yang mungkin muncul dapat dituliskan dengan memakai notasi himpunan, yakni: 



Munculnya gambar (G) dengan notasi himpunan







Munculnya angka (A) dengan notasi himpunan = {A}



= {G)



Maka himpunan dari semua hasil yang mungkin muncul = {G,A} yang disebut ruang contoh atau ruang sampel untuk percobaan melempar sekeping mata uang logam. Dalam teori himpunan, ruang contoh atau ruang sampel disebut sebagai himpunan semesta (S). anggota-anggota dari ruang contoh disebut titik contoh. Jadi, pada percobaan melempar sekeping mata uang logam ruang sampel S = {G,A},mempunyai dua titik contoh yaitu G dan A. Cara mengerjakannya ada cara, yaitu:



a. Dengan Diagram Pohon Kejadian yang mungkin: AA : Muncul sisi angka pada kedua koin AG : Muncul sisi angka pada koin 1 dan sisi gambar pada koin 2



b. Dengan Tabel Ruang sampel = {(A,A), (A,G), (G,A), (G,G)} Banyak titik sampel ada 4 yaitu (A,A), (A,G), (G,A), dan (G,G)



MAKALAH MATEMATIKA | PELUANG



3



4. Cara Penyajian dan Penentuan Ruang Sampel Ada 4 macam cara untuk penyajian dan penentuan ruang sampel soal diatas, yaitu: a. Menggunakan Cara Diagram Kartesius Dengan menggunakan diagram kartesius dapat diinterpretasikan cara penyajian kemungkinan hasil tersebut, yaitu sebagai hasil pemetaan dua titik yang berurutan pada sumbu absis dan ordinat, Misalkan: 



Nasi goreng (N)







Roti (R)







Soto ayam (A)







Sate (T)







Sop (O)







Susu (S)







Kopi (K)







Teh (H)



Karena ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin maka dari banyak pasangan makanan dan minuman yang dapat dipesan, diperoleh S = { (N,H), (R,H), (A,H), (T,H), (O,H), (N,K), (R,K), (A,K), (T,K). (O,K), (N,S), (R,S),(A,S), (T,S), (O,S)}, dengan n(S)= 15



b. Menggunakan Cara Diagram Pohon Misalkan: 



Nasi goreng (N)







Susu (S)







Roti (R)







Kopi (K)







Soto ayam (A)







Teh (H)







Sate (T)







Sop (O) MAKALAH MATEMATIKA | PELUANG



4



Karena ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin maka dari banyak pasangan makanan dan minuman yang dapat dipesan, diperoleh S = { (N,H), (R,H), (A,H), (T,H), (O,H), (N,K), (R,K), (A,K), (T,K). (O,K), (N,S), (R,S),(A,S), (T,S), (O,S)}, dengan n(S)= 15



c. Menggunakan Cara Mendaftar Kita daftar setiap pasangan makanan dan minuman yang mungkin yang terjadi dari suatu pemesanan. Misalkan: 



Nasi goreng (N)







Teh (H)







Roti (R)







Kopi (K)







Soto ayam (A)







Susu (S)







Sate (T)







Sop (O)



Banyak pasangan makanan dan minuman yang dapat dipesan, yaitu (N,H), (R,H), (A,H), (T,H), (O,H), (N,K), (R,K), (A,K), (T,K). (O,K), (N,S), (R,S),(A,S), (T,S), (O,S), maka diperoleh S = { (N,H), (R,H), (A,H), (T,H), (O,H), (N,K), (R,K), (A,K), (T,K). (O,K), (N,S), (R,S),(A,S), (T,S), (O,S)}, dengan n(S)= 15.



d. Menggunakan Cara Tabulasi (tabel) Dengan menggunakan cara tabulasi (tabel) dapat dituliskan seluruh kemungkinan hasil yang muncul dari pengambilan dua kelereng sekaligus Misalkan: 



Nasi goreng (N)







Susu (S)







Roti (R)







Kopi (K)







Soto ayam (A)







Teh (H)







Sate (T)







Sop (O)



MAKALAH MATEMATIKA | PELUANG



5



Karena ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin maka dari banyak pasangan makanan dan minuman yang dapat dipesan, diperoleh S = { (N,H), (R,H), (A,H), (T,H), (O,H), (N,K), (R,K), (A,K), (T,K). (O,K), (N,S), (R,S),(A,S), (T,S), (O,S)}, dengan n(S)= 15



5. Kisaran Nilai Peluang Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n (S) = n, n ( A ) = k dan



P(A)=0 disebut Peluang Kejadian K adalah nol atau Kemustahilan P(A)=1 disebut Peluang Kejadian K adalah 1 atau Pasti terjadi / Kepastian



Contoh Soal : 1. Sebuah dadu dilambungkan satu kali. Tentukan peluang: a. Munculnya mata dadu ganjil b. Munculnya mata dadu kurang dari 3 Jawab: n(S)=6a. a. Misalkan A adalah Kejadian Ganjil Kejadian A={1,3,5}, n(A) =3 Maka Peluang munculnya mata dadu ganjil adalah =3:6 =1:2 b. Misalkan B adalah Kejadian mata dadu kurang dari 3 Kejadian B={1,2}, n(B)=3 Maka peluang munculnya mata dadu kurang dari 3 adalah =3:6 =1:2



2. Dua buah mata uang logam dilemparkan ke atas bersama-sama, tentukan: a. Peluang munculnya satu gambar b. Peluang muncul keduanya gambar Jawab: n(S) = 4 a. Misalkan A adalah kejadian satu gambar. Kejadian A = {GA , AG}, n(A) = 2 Maka peluang kejadian satu gambar=2:4 =1:2 MAKALAH MATEMATIKA | PELUANG



6



b. Misalkan B adalah kejadian keduanya gambar. Kejadian B = {GG}, n(B) = 1 Maka peluang kejadian keduanya gambar=1:4



3.



Dua buah dadu dilambungkan ke atas bersama-sama. Tentukan peluang munculnya mata dadu 4 pada dadu pertama dan mata dadu 5 pada dadu kedua Jawab: Misalkan A adalah Kejadian munculnya angka mata dadu 4 pada dadu I.Dan Kejadian B adalah kejadian munculnya angka mata dadu 5 pada dadu II. n(S)=36 Karena ada dua buah dadu maka kita buat tabel berikut: DADU II 1



2



3



4



5



6



1



(1,1)



(1,2)



(1,3)



(1,4)



(1,5)



(1,6)



2



(2,1)



(2,2)



(2,3)



(2,4)



(2,5)



(2,6)



3



(3,1)



(3,2)



(3,3)



(3,4)



(3,5)



(3,6)



4



(4,1)



(4,2)



(4,3)



(4,4)



(4,5)



(4,6)



5



(5,1)



(5,2)



(5,3)



(5,4)



(5,5)



(5,6)



6



(6,1)



(6,2)



(5,3)



(6,4)



(6,5)



(6,6)



DADU I



Kejadian A dan B adalah : {(4,5)}



4. Sebuah dadu bermata enam dilemparkan ke atas satu kali maka tentukan peluang munculnya mata dadu 9. Jawab: Mustahil terjadi, P=0 (Kemustahilan)



5. Tentukan peluang matahari akan terbit dari timur pagi hari. Jawab: Terbitnya matahari dari timur bukan sebuah percobaan. (Pasti)



MAKALAH MATEMATIKA | PELUANG



7



6. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian Frekuensi Harapan Suatu Kejadian adalah banyaknya kejadian yang diharapkan dapat terjadi pada suatu percobaan. Dengan rumus ditulisakan sebagai berikut: fh(A) = P(A) x n



Keterangan: fh(A) = Frekuensi Harapan P(A)



= Peluang kejadian A



N



= Banyak percobaan



Contoh Soal: 1. Sebuah dadu bermata 6 dilempar 20 kali. Berapa kali kemungkinan muncul angka genap. Jawab: A



= Kejadian yang diharapkan = Muncul 2, 4 dan 6, maka n(A) = 3



S



= Kejadian yang mungkin terjadi = Muncul 1, 2, 3, 4, 5 dan 6, maka n(S) = 6



P(A)



= n(A):n(S) = 3:6 = 0,5



N



= Banyak percobaan yang dilakukan = 20 kali



fh(A)



= P(A) x n = 0,5 x 20 = 10 kali.



Harapan muncul mata dadu genap dari percobaan 20 kali adlah 10 kali.



2. Dilakukan percobaan pelemparan 3 buah mata uang logam sekaligus sebanyak 240 kali pelemparan, tentukan frekuensi harapan dari pelemparan tersebut munculnya 2 gambar dan 1 angka? Jawab : S



= {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG} ⇒ n(S) = 8



A



= {AGG, GAG, GGA} ⇒ n(A) = 3



P(A)



= n(A):n(S) = 3:8



Fh(A)



= n x P(A)



Fh(A)



=240 x 3:8 =90 kali.



Dari penjabaran singkat diatas, matematika juga telah menganjurkan kepada kita agar kita memiliki harapan. Setiap kita manusia pasti memiliki harapan. Jika anda tidak mempunyai harapan sebaiknya anda berkonsultasi kepada teman, keluarga atau orang yang anda anggap berpengaruh kepada anda. Dari rumus Frekuensi harapan diatas: fh(A) = P(A) x n, dapat kita terapkan dalam kehidupan kita dalam mencapai impian-ipian kita. MAKALAH MATEMATIKA | PELUANG



8



fh(A) adalah harapan-harapan yang kita inginkan terjadi, sedangkan P(A) adalah peluang harapan kita tersebut terjadi meskipun nilainya sangat kecil dan n adalah banyaknya kita melakukan percobaan. Harapan kita akan terjadi apabila kita sering melakukan atau mencoba kegiatan yang mengarah pada harapan kita. Karena semakin besar atau sering kita melakukan percobaan (pada rumus adalah n) maka harapan kita akan terjadi.



7. Peluang Komplemen Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga:



Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).



Contoh Soal: 1. Sebuah dadu dilambungkan ke atas satu kali. Jika kejadian A adalah munculnya mata dadu genap, maka tentukan kejadian bukan A Jawab: Ruang Sampel adalah S = {1,2,3,4,5,6}, n(S)=6 Kejadian A adalah A={2,4,6}, n(A)=3 Kejadian Bukan A adalah Ac = {1,3,5} , karena A dan Ac ÎS



2. Dari seperangkat kartu Bridge, diambil secara acak sebuah kartu. Tentukan peluang terambilnya a. Bukan kartu Ace b. Bukan kartu berwarna merah Jawab: a. Banyaknya ruang sampel n(S) =52 Misalkan A adalah kejadian terambilnya kartu Ace. n(Ace) = n(A) = 4 Peluang terambilnya Ace, P(A)=4/52 =1/13 Maka peluang bukan Ace, P(Ac) = 1 – 1/13 = 12/13



MAKALAH MATEMATIKA | PELUANG



9



b. Misalkan B adalah kejadian terambilnya kartu berwarna merah. n(Merah) = n(B) = 26



(ada 26 berwarna merah)



Banyaknya ruang sampel n(S) =52 Peluang terambilnya kartu merah , P(B) Maka peluang terambilnya bukan kartu berwarna merah, P(Bc) = 1 –



8. Peluang Kejadian Majemuk Kejadian majemuk adalah kejadian yang muncul dari beberapa kejadian atau kejadian yang muncul sebagai gabungan



dari beberapa kejadian sederhana.



Berikut ini jenis-jenisnya: 1. Gabungan Dua Kejadian Untuk setiap kejadian A dan B berlaku :



Catatan : dibaca “ Kejadian A atau B dan dibaca “Kejadian A dan B”



Contoh Soal : 1. Pada pelemparan sebuah dadu, A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap. Carilah peluang kejadian A atau B ! Jawab:



2. Munculnya mata dadu prima dan mata dadu ganjil dari pelemparan sebuah dadu Jawab: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Kejadian munculnya mata dadu prima = {2, 3, 5} Kejadian munculnya mata dadu ganjil = {1, 3, 5} MAKALAH MATEMATIKA | PELUANG



10



Jadi, kejadian munculnya mata dadu prima dan mata dadu ganjil adalah {1, 2, 3, 5}



3. Kejadian munculnya mata dadu kurang dari 3 pada pelemparan sebuah dadu Jawab: Kejadian munculnya mata dadu kurang dari 3 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Jadi, kejadian munculnya mata dadu kurang dari 3 adalah {1, 2}



2. Kejadian-kejadian Saling Lepas 3. Kejadian Bersyarat 4. Teorema Bayes Teorema Bayes(1720 – 1763) mengemukakan hubungan antara P (A|B) dengan P ( B|A ) dalam teorema berikut ini :



5. Kejadian saling bebas Stokhastik



9. Peluang Kejadian Saling Lepas Dua kejadian dikatakan saling lepas jika kedua kejadian tersebut tidak dapat terjadi secara bersamaan. Untuk



dua



kejadian



saling



terpisah, A dan B,



peluang



salah



satu



terjadi, P(A atau B), adalah jumlah dari peluang masing-masing kejadian.



P(A or B) = P(A) + P(B)



Contoh Soal : Ketika memilah bola secara acak dari keranjang yang berisi 3 bola biru, 2 bola hijau, dan 5 bola merah, peluang mendapat bola biru atau merah adalah Jawab : P(Biru atau Merah) = P(Biru) + P(Merah) = 3:10 + 5:10 = 8:10 = 0.8



MAKALAH MATEMATIKA | PELUANG



11



10. Peluang Kejadian Saling Bebas Dua kejadian dikatakan saling bebas (independen) jika terjadinya kejadian yang satu tidak mempengaruhi kemungkinan terjadinya kejadian yang lain. Contoh: 



Ketika melempar koin dua kali, hasil dari lemparan pertama tidak mempengaruhi hasil dari lemparan kedua.







Ketika mengambil dua kartu dari satu set kartu permainan (52 kartu), kejadian 'mendapatkan raja (K)' pada kartu pertama dan kejadian 'mendapatkan kartu hitam' pada kartu kedua adalah tidak saling bebas. Peluang pada kartu kedua berubah setelah kartu yang pertama diambil. Kedua kejadian di atas akan menjadi saling bebas jika setelah mengambil kartu yang pertama, kartu tersebut dikembalikan ke set semula (sehingga set kartu itu lengkap kembali, 52 kartu).



Untuk dua kejadian saling bebas, A dan B, peluang untuk keduanya terjadi, P(A dan B), adalah hasil perkalian antara peluang dari masing-masing kejadian.



P(A dan B) = P(A ∩ B) = P(A) × P(B)



Contoh Soal: Misalnya, ketika melempar koin dua kali, peluang mendapat 'kepala' (K) pada lemparan pertama lalu mendapat 'ekor' (E) pada lemparan kedua adalah ? Jawab: P(K dan E) = P(K) × P(E) = 0.5 × 0.5 = 0.25



11. Peluang Kejadian Bersyarat Misalkan A dan B adalah dua kejadian dalam ruang sampel S. Kejadian A dengan syarat B adalah kejadian munculnya A yang ditentukan oleh persyaratan kejadian B telah muncul. Kejadian munculnya A dengan syarat B ditulis A|B. Demikian juga sebaliknya, kejadian B dengan syarat A, ditulis B|A adalah kejadian munculnya B dengan syarat kejadian A telah muncul.



MAKALAH MATEMATIKA | PELUANG



12



Adapun peluang kejadian bersyarat dapat dirumuskan sebagai berikut: a. Peluang munculnya kejadian A dengan syarat kejadian B telah muncul



P(A ∩ B) P(A | B) = P(B)



dengan P(B) > 0 Jika kejadian A dan B saling bebas (independen), P(A ∩ B) = P(A)P( B). Sehingga P(A | B) = P(A) P(B | A) = P(B) Jika kejadian A dan B saling terpisah, P(A ∩ B) = 0. Sehingga, jika P(B) > 0, maka P(A | B) = 0.



b. Peluang munculnya kejadian B dengan syarat kejadian A telah muncul



P(B ∩ A) P(B | A) = P(A)



dengan P(A) > 0



Contoh Soal: 1. Di sebuah daerah, peluang bahwa suatu hari akan berawan adalah 0.4. Diketahui juga bahwa peluang suatu hari berawan dan hujan adalah 0.3. Jikalau hari ini berawan, berapakah peluang bahwa hari ini akan hujan? Marilah kita lambangkan kejadian hari berawan dengan A dan kejadian hari hujan dengan H.



MAKALAH MATEMATIKA | PELUANG



13



Jawab: P(A) = 0.4 P(H ∩ A) = 0.3



P(H ∩ A) P(H | A)= P(A) 0.3 = 0.4 =



0.75



2. Di sebuah kota, rasio (perbandingan) antara pria dan wanita adalah 6:4. Tiga puluh persen dari pria adalah vegetarian (hanya makan sayur). Berapakah prosentase dari penduduk kota itu yang merupakan pria vegetarian? Jawab: Marilah kita lambangkan peluang kejadian sembarang penduduk kota itu yang kita pilih adalah pria dengan L dan peluang kejadian sembarang penduduk kota itu yang kita pilih adalah vegetarian dengan V. P(L) = 0.6 P(V | L) = 0.3



P(V ∩ L) P(V | L) = P(L) P(V ∩ L) 0.3 = 0.6 P(V ∩ L) =



0.3 × 0.6



P(V ∩ L) =



0.18



Jadi, 18 persen dari penduduk kota itu adalah pria vegetarian.



MAKALAH MATEMATIKA | PELUANG



14



Kejadian Bebas Peluang bersyarat dapat mengubah peluang suatu kejadian karena adanya keterangan tambahan yang biasa disebut kejadian bebas. Dalam hal ini, terjadinya A atau B tidak mempengaruhi terjadinya B atau A, atau terjadinya A bebas dari terjadinya B atau terjadinya B bebas dari terjadinya A. Sehingga, dua kejadian A dan B bebas jika dan hanya jika:



P(B|A) = P(B) dan P(A|B) = P(A)



Contoh Soal: 1. Suatu percobaan yang menyangkut pengambilan kartu berturutan dari sekotak kartu dengan pengembalian. Kejadian ditentukan sebagai: A : kartu pertama yang terambil as, B : kartu kedua sebuah skop Jawab: Karena kartu pertama dikembalikan, ruang sampel untuk kedua pengambilan terdiri atas 52 kartu, berisi 4 as dan 13 skop. n(S) = 52 n(A) = 4 n(B) = 13 Maka, P(B|A) = P(B)



2. Dalam kotak terdapat 7 bola yang terdiri dari 5 bola warna putih dan 2 bola berwarna biru.Carilah peluang 2 bola yang terambil itu terdiri dari 1 bola putih dan 1 bola berwarna biru, jika pengambilan sampelnya sekaligus. Jumlah bola: Bola berwarna putih ada 5 buah dan bola berwarna biru ada 2 buah. Jumlah bola berwarna putih dan bola berwarna biru = 7 buah Jawab: S



= terambil dua bola dari 7 bola



n(s)



=7C2= = = =21



MAKALAH MATEMATIKA | PELUANG



15



A



=Terambil satu bola berwarna putih dan 1 bola berwarna biru



n(A)



=5C1x2C1 =



*



= =5x2 =10 P(A)



= =



Jadi, peluang 2 bola yang terambil itu terdiri dari 1 bola berwarna putih dan satu bola berwarna biru adalah



3. Berapa banyak bilangan yang terdiri dari 3 angka dan bernilai genap yang dapat disusun dari angka 0,1,2,3,4, dan 5 tanpa pengulangan? Jawab : Karena bernilai genap maka satuan hanya dapat diisi oleh 3 angka yaitu 0,2,4 (misal:yg dipakai 0) Tanpa pengulangan maka puluhan diisi 5 angka yaitu 1,2,3,4,5 (mis:yg dipakai 1) Ratusan diisi 4 angka yaitu 1,2,3,4 maka banyak bilangan yang dapat disusun = 3x5x4 = 60 bilangan



Aturan Perkalian Misalkan terdapat sembarang bilangan a,b dan c dengan c 0. Kita masih ingat jika a = , berlaku b = a x c. Di samping itu, di dalam operasi irisan dua himpunan A dan B berlaku A B = B A. Dengan demikian, rumus peluang kejadian bersyarat di atas dapat ditulis sebagai berikut: a. Karena P(A|B) = , dengan P(B) > 0 maka P (A B) = P(B) x P(A|B) b. Karena P(B|A) = , dengan P(A) > 0 dan B



A = A



B maka P(A



B)=P(A)xP(B|A) Jika kejadian A dan kejadian B adalah dua kejadian bersyarat, peluang terjadinya A dan B adalah: P(A B) = P(B) x P(A|B) P(A B) = P(A) x P(B|A) Aturan tersebut dikenal dengan aturan perkalian untuk kejadian bersyarat. Secara lebih lengkap aturan itu berbunyi sebagai berikut: Misalkan kejadian A dan B dua kejadian yang saling bebas stokastik, artinya terjadi atau tidaknya kejadian A tidak bergantung pada terjadi atau tidaknya kejadian B dan sebaliknya, berlaku P(A|B) = P(A) dan P(B|A) = P(B).



MAKALAH MATEMATIKA | PELUANG



16



Jadi, untuk dua kejadian saling bebas stokastik, aturan perkalian di atas berubah menjadi berikut ini: Jika A dan B dua kejadian yang saling bebas stokastik, berlaku P(B A) = P(B) x P(A|B) = P(B) x P(A) P(A B) = P(A) x P(B|A) = P(A) x P(B)



Contoh Soal: 1. Misalkanlah kita mempunyai kotak berisi 20 sekering, lima diantaranya cacat. Bila dua sekering dikeluarkan dari kotak satu demi satu secara acak (tanpa mengembalikan yang pertama ke dalam kotak), berapakah peluang kedua sekering itu cacat? Jawab: Misalkan, A = kejadian bahwa sekering pertama cacat = 5 B = kejadian bahwa sekering kedua cacat = 4 A ∩ B = kejadian kedua sekering itu cacat (bahwa A terjadi dan kemudian B terjadi setelah A terjadi) Maka, P(A) = 5/20 = ¼ P(B) = 4/19 Sehingga, P (A∩B) = (¼)(4/19) = 1/19



2. Pengacakan orang dewasa yang telah tamat SMA di suatu kota kecil. Mereka dikelompokkan menurut jenis kelamin dan status pekerjaan sebagai berikut: Bekerja



Tak Bekerja



Lelaki



460



140



Wanita



40



260



Daerah tersebut akan dijadikan daerah pariwisata daan seseorang akan dipilih secara acak untuk mempropagandakannya ke seluruh negeri. Jawab Misalkan A



= lelaki yang terpilih sedangkan B = orang yang terpilih dalam



status bekerja. P(A | B)



= P(A ∩ B ): P(B) = (460:900) : (600:900) = (23:45):(2:3) = 23:30



MAKALAH MATEMATIKA | PELUANG



17



12. Faktorial Bila n suatu bilangan bulat positif maka n faktorial , dinotasikan dengan n! n! = 1 x 2 x 3 x 4 x …. x (n – 1) x n atau n! = n x (n – 1) x (n – 2) x ….. x 4 x 3 x 2 x 1



13. Permutasi Permutasi adalah pengaturan elemen-elemen dari sebuah himpunan dimana urutan dari elemen elemen tersebut diperhatikan. Secara matematik, dari sebuah himpunan yang mempunyai elemen sebanyak n, banyaknya permutasi dengan ukuran (permutasi dengan jumlah elemen) r ditulis sebagai P(n,r) atau nPr atau nPr. Rumusnya adalah: n P(n,r) = nPr = (n - r)



dimana n! (n faktorial) = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 dan 0 = 1



Contoh, dari himpunan huruf-huruf {a,b,c}, permutasi-permutasi dengan ukuran 2 (ambil 2 elemen dari himpunan tersebut) adalah {a,b}, {b,a}, {a,c}, {c,a}, {b,c}, dan {c,b}. Perhatikan bahwa urutan dari elemen-elemen itu adalah penting, dengan kata lain {a,b} adalah berbeda dengan {b,a}. Banyaknya permutasi adalah 6. 3! P(3,2) = 3P2 =



3P



2



= (3 - 2)! 3×2×1 = 1 6 = 1 =



6



MAKALAH MATEMATIKA | PELUANG



18



Contoh lainnya, berapa banyaknya cara untuk mengatur 5 buku yang berbeda di atas rak buku? Jawab:Di sini, n = 5 dan r = 5 Jadi, 5P5 = 5!/(5-5)! = 5!/0! = (5 × 4 × 3 × 2 × 1)/1 = 120. Seperti terlihat dari contoh di atas, jika n = r, rumus untuk nPr = n!



1. Lima putra dan tiga putri duduk berderet pada 8 kursi kosong sesuai dengan 8 lembar karcis bioskop yang mereka miliki. Berapa banyak cara untuk duduk yang diperoleh dengan urutan berbeda jika : Putra dan putri dapat duduk di sembarang kursi? Putra dan putri masing-masing mengelompok sehingga hanya sepasang putra dan putri yang dapat duduk berdampingan? Jawab: Terdapat 8 orang yang menempati 8 kursi dimana perbedaan urutan duduk memberikan hasil yang berbeda. Ini adalah masalah permutasi 8 unsur dari 8 unsur atau P(8, 8) diberikan oleh : P(8, 8) = 8 = 8 x 7 x 6 x 5 x 3 x 2 x 1 = 40.320 5 orang putra duduk pada 5 kursi tertentu dan pertukaran duduk hanya boleh pada ke 5 kursi tersebut, sehingga banyaknya cara duduk putra adalah P(5, 5). Demikian juga 3 putri duduk pada tiga kursi tertentu dan pertukaran duduk diatara mereka hanya boleh pada ke 3 kursi ini, sehingga banyaknya cara untuk duduk putri adalah P(3, 3). Dengan demikian, banyak cara duduk 5 putra dan 3 putri yang masing-masing mengelompok adalah P(5, 5) x P(3, 3) = 5! X 3! = 720



2. Jika huruf-huruf pada kata "BOROBUDUR" dipertukarkan, berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat diperoleh? Berapa cara yang berbeda untuk menuliskan hasil kali a4b2c2 tanpa menggunakan eksponen? Jawab: Pada kata BOROBUDUR terdapat 9 huruf dengan huruf B diulang 2 kali, huruf O diulang 2 kali, huruf R diulang 2 kali, dan huruf U diulang 2 kali.



3. Sebuah keluarga terdiri atas 5 orang. Mereka akan duduk mengelilingi sebuah meja bundar untuk makan bersama. Berapa banyaknya cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan tersebut dengan urutan yang berbeda? Jawab: Banyaknya cara agar 5 orang dapat duduk mengelilingi meja makan sama dengan banyak permutasi siklis 5 elemen, yaitu : (5 -1) = 4 = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 MAKALAH MATEMATIKA | PELUANG



19



4. Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu. Jawab: Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong. Maka banyaknya cara duduk ada : 7P3 = 7/(7-3) = 7/4 = 7.6.5 = 210



5. Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk denganurutan yang berlainan? Jawab: Banyaknya cara duduk ada (7 - 1) = 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 720 cara.



Pengertian Peluang Suatu Kejadian Definisi kejadian Kejadian atau peristiwa merupakan himpunan bagian dari ruang sampel Definisi peluang Peluang suatu kejadian yang diinginkan adalah perbandingan banyaknya titik sampel kejadian yang diinginkan itu dengan banyaknya anggota ruang sampel kejadian tersebut. Misalkan A adalah suatu kejadian yang diinginkan, maka nilai peluang kejadian A dinyatakan dengan



Peluang disebut juga dengan nilai kemungkinan. Contoh : Pada percobaan melempar sebuah dadu bermata 6, pada ruang sampelnya terdapat sebanyak 6 titik sampel, yaitu munculnya sisi dadu bermata 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Kejadian-kejadian yang mungkin terjadi misalnya : 



Munculnya mata dadu ganjil







Munculnya mata dadu genap







Munculnya mata dadu prima



MAKALAH MATEMATIKA | PELUANG



20



Jika pada percobaan tersebut diinginkan kejadian munculnya mata dadu prima, maka mata dadu yang diharapkan adalah munculnya mata dadu 2, 3, dan 5, atau sebanyak 3 titik sampel. Sedang banyaknya ruang sampel adalah 6, maka peluang kejadian munculnya mata dadu prima adalah



Atau: Menyatakan nilai peluang suatu kejadian pada



suatu percobaan dapat



dinyatakan dengan menggunakan cara :



Contoh: Pada percobaan melempar sebuah koin bersisi angka (A) dan gambar (G) dengan sebuah dadu bermata 1 sampai 6 bersama-sama sebanyak satu kali. Berapa peluang munculnya pasangan koin sisi gambar dan dadu mata ganjil ?



Banyaknya kejadian munculnya pasangan gambar dan mata dadu ganjil ada 3, yaitu (G,1), (G,3) dan (G,5). Peluang kejadian munculnya pasangan gambar dan mata dadu ganjil adalah



Batas-Batas Nilai Peluang Nilai peluang suatu kejadian (P) memenuhi sifat



, yang berarti



Jika P = 0, maka kejadian tersebut tidak pernah terjadi atau suatu kemustahilan Jika P = 1, maka kejadian tersebut merupakan kepastian.



MAKALAH MATEMATIKA | PELUANG



21



Jika A adalah suatu kejadian yang terjadi, dan A’ adalah suatu kejadian dimana A tidak terjadi, maka :



Contoh: Sebuah dadu berbentuk mata enam dilempar sekali. Tentukan nilai peluang: a. Munculnya mata dadu bilangan asli b. Munculnya mata dadu 7 Jawab: a. Nilai peluang munculnya mata dadu bilangan asli adalah 1, karena merupakan suatu kepastian. b. Nilai peluang munculnya mata dadu 7 adalah 0, karena merupakan suatu kemustahilan



14. Kombinasi Kombinasi adalah suatu susunan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan objek yang diambil sebagian atau seluruhnya dengan tidak memerhatikan urutan. Misalnya pemilihan 3 orang untuk mewakili kelompok 5 orang (misalnya Alfia, Dena, Isna, Ilman dan Sem) dalam mengikuti suatu kegiatan. Dalam masalah ini, urutan tidak dipertimbangkan karena tidak ada bedanya antara Alfia, Dena, dan Isna dengan Dena, Alfia, dan Isna. Dengan mendata semua kemungkinan 3 orang yang akan dipilih dari 5 orang yang ada, diperoleh :



{Alfia,Dena,Isna}



{Alfia,Dena,Ilman} {Alfia,Dena,Sem}



{Alfia,Isna,Ilman}



{Alfia,Isna,Sem}



{Alfia,Ilman,Sem}



{Dena,Isna,Ilman}



{Dena,Isna,Hadi}



{Dena,Ilman,Sem}



{Isna,Ilman,Sem}



Sehingga terdapat 10 cara untuk memilih 3 orang dari 5 orang yang ada.



Selanjutnya kita dapat mendefinisikan kombinasi secara formal seperti di bawah ini. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk



Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan



unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan :



MAKALAH MATEMATIKA | PELUANG



22



Contoh Soal: Diketahui himpunan



Tentukan banyak himpunan bagian



dari himpunan A yang memiliki 2 unsur !



Jawab:



Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).



MAKALAH MATEMATIKA | PELUANG



23